แคลคูลัสเบื้องต้น หน้า...

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|1


สารบญ ลมตและความตอเนองของฟงกชน

ความหมายของลมต 1

ลมตของฟงกชน 3

ทฤษฎบทเกยวกบลมตของฟงกชน 7

ลมตอนนต 24

ลมตทอนนต 26

ความตอเนองของฟงกชน 31

อนพนธของฟงกชนและการประยกตอนพนธของฟงกชน

อนตราการเปลยนแปลงและอตราการเปลยนแปลงเฉลย 40

อนพนธของฟงกชน 44

การหาอนพนธโดยใชสตร 51

การหาอนพนธโดยปรยาย 69

อนพนธอนดบสง 71

ความหมายของอนพนธเชงเรขาคณตวเคราะห 75

การประยกตของอนพนธ 80

การเขยนกราฟของฟงกชน 80

การหาคาสงสดและคาตาสดของฟงกชน 87

กฎของโลปตาล 99

การเคลอนทในแนวเสนตรง 101

อตราสมพทธ 107

การประมาณคาดวยคาเชงอนพนธ 109

ปรพนธของฟงกชนและการประยกตปรพนธของฟงกชน

ปฏยานพนธ 111

อนทกรลไมจากดเขต 112

เทคนคการอนทกรล 123

การประยกตของอนทกรลไมจากดเขต 129

อนทกรลจากดเขต 135

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|3 พนททปดลอมดวยเสนโคง 142

ปรมาตรของทรงตนทเกดจากการหมน 151

บทนาความหมายของลมตฟงกชน

ตวอยาง 1 กาหนดฟงกชน f(x) = 2x 1+ จงหาคาของฟงกชน f เมอกาหนดคา x ดงน

ขณะ x < 0 แตมคาใกลเคยงกบ 0 มากขนเรอยๆ คาของ f(x) ใกลเคยงกบ ………………

ขณะ x > 0 แตมคาใกลเคยงกบ 0 มากขนเรอยๆ คาของ f(x) ใกลเคยงกบ ………………

ตวอยาง 2 กาหนดฟงกชน 2x 1 ;x 1f(x)

3 x ;x 1 + <= − ≥

จงหาคาฟงกชน f เมอกาหนดคา x ดงน



ตวอยาง 3 กาหนดฟงกชน x 1 ;x 2

f(x) 3 x ;x 2+ <

= − ≥ จงหาคาฟงกชน f เมอกาหนดคา x ดงน

x < 0 f(x) x > 0 f(x)

–1 1

–0.5 0.5

–0.1 0.1

–0.01 0.01

–0.001 0.001

–0.0001 0.0001

–0.00001 0.00001

x < 1 f(x) x > 1 f(x)

0 2

0.5 1.8

0.8 1.5

0.9 1.1

0.99 1.01

0.999 1.001

0.9999 1.0001

0.99999 1.00001




ตวอยาง 4 กาหนดฟงกชน f มกราฟดงรป

พบวา

ขณะ x < –6 แตมคาใกลเคยงกบ – 6 มากขนเรอยๆ คาของ f(x) ใกลเคยงกบ ………………

ขณะ x > –6 แตมคาใกลเคยงกบ – 6 มากขนเรอยๆ คาของ f(x) ใกลเคยงกบ ………………

ขณะ x < –3 แตมคาใกลเคยงกบ – 3 มากขนเรอยๆ คาของ f(x) ใกลเคยงกบ ………………

ขณะ x > –3 แตมคาใกลเคยงกบ – 3 มากขนเรอยๆ คาของ f(x) ใกลเคยงกบ ………………







1. ลมตของฟงกชน

x f(x) x f(x)

1 3

1.9 2.1

1.99 2.01

1.999 2.001

1.9999 2.0001

1.99999 2.00001

y

x02

4

7

2−3−

4−5−

5 93−6−


บทนยาม 1. กาหนดใหฟงกชน f(x) และ a เปนจานวนจรง

(1) จะกลาววา ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล a ทางซายหาคาได กตอเมอ

มจานวนจรง L ททาใหคาของ f(x) เขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทางซายมอ

ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ x alim f(x) L

-®=

(2) จะกลาววา ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล a ทางขวาหาคาได กตอเมอ

มจานวนจรง L ททาใหคาของ f(x) เขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทางขวามอ

ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ x alim f(x) L

+®=

(3) จะกลาววา ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล a หาคาได กตอเมอ

มจานวนจรง L ททาใหคาของ f(x) เขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทง

ทางดานซายและขวามอของ a

ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ x alim f(x) L®

=

หมายเหต

(1) ลมตของฟงกชน เราไมสนใจวาจะสามารถหาคาฟงกชน f(a) ไดหรอไมได

แตสนใจคาของ f(x) ในขณะท x มคาเขาใกลคา a แต x ≠ a

(2) x เขาใกล a ทางซาย แทนดวย x a−→ คอ x มคานอยกวา a และ x มคาเขาใกล a

(3) x เขาใกล a ทางขวา แทนดวย x a+→ คอ x มคามากกวา a และ x มคาเขาใกล a

***(4) x alim f(x) L®

= กตอเมอ x alim f(x) L

-®= และ

x alim f(x) L

+®=

โดย a เปนจานวนจรง ทซงม x ใน fD ซง x < a และ x > a ***

( a เปนจดลมตและเปนสมาชกในโดเมนของ f )

y = g(x)

x

L

y

0

(a, f(a))

y = f(x)

a

x

x

L

y

x 0

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|6 นยาม 2 จดลมต (Limit point , Cluster point or Accumulation point)

กาหนดให ⊂A R และ x R∈

x เปนจดลมตของ A กตอเมอ สาหรบทกๆชวงเปด I ซง x I∈

จะไดวา (I {x}) A ∅− ∩ ≠

ตวอยางเชน (1) กาหนด A = [1, 5)

จะไดจานวนจรง x ซง 1 ≤ x ≤ 5 ทกจานวนเปนจดลมตของ A

(2) กาหนด B = {1, 1 1 1, , ,...2 3 4

} จะม 0 เปนจดลมตของ B

ขอสงเกต จดลมตของเซต A ไมจาเปนตองเปนสมาชกของเซต A

นยาม 3. ลมตของฟงกชน

กาหนดให f เปนฟงกชนจากสบเซตของ R ไป R และ L,a R∈

โดยท a เปนจดลมตของ fD

f เขาใกล L ท a กตอเมอ สาหรบทกๆจานวนจรงบวก ε

จะมจานวนจรงบวก δ ซงสาหรบทก ๆ x ใน fD

ถา 0 x a< − < δ แลว f(x) L− < ε

ขอตกลง

1. ฟงกชนทจะกลาวถงตงแตนเปนตนไปจะหมายถงฟงกชนจากสบเซตของ R ไป R ยกเวนระบเปนอยางอน

2. ในการกลาวถง f เขาใกล L ท a อาจจะกลาวละคาวา “ a เปนจดลมตของ fD “ หรอ

“สาหรบทกๆ x ใน fD ” โดยขอใหเขาใจตรงกนวามขอความนอยเสมอแมจะไมระบไว

1 5•

0 1•

12

•13

•14

••••

0 x

L − ε

•

L ο

a

L + ε

ο

y

y f(x)=

0 x

L − ε

•

L ο

a

L + ε

ο

y

y f(x)=

a − δ a + δ


ตวอยาง 1 กาหนดฟงกชน f ซงนยามดงน x 1 ; x 1

f(x)x 2 ; x 1

ìï + £ï= íï - >ïî

จงพจารณาคาของ x 1x 1 x 1

lim f(x), lim f(x), lim f(x)- + ®® ®

วธทา

จากตารางจะได x 1lim f(x)

-® …………..…… และ

x 1lim f(x)

+® ……….……

ดงนนจะไดวา x 1lim f(x)®

…………………

ตวอยาง 2 กาหนดฟงกชน f ซงนยามดงน 2x 4

f(x)x 2

-=

-

จงพจารณาคาของ x 2x 2 x 2

lim f(x), lim f(x), lim f(x)- + ®® ®

วธทา

จากตาราง x 2lim f(x)

-®..………….… และ

x 2lim f(x)

+®……….……

ดงนน จะไดวา x 2lim f(x)®

……………………

x f(x) x f(x)

x f(x) x f(x)

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|8 ตวอยาง 3 กาหนดให f เปนฟงกชน ซงมกราฟดงรป

จงหา

(1) x 2lim f(x)

-® ……………….

x 2lim f(x)

+® ……………….

x 2lim f(x)®

……………….

(2) x 1lim f(x)

-®-……………….

x 1lim f(x)

+®- ……………….

x 1lim f(x)®-

……………….

(3) x 3lim f(x)

−→……………….

x 3lim f(x)

+→ ………………

x 3lim f(x)→

.......................

ตวอยาง 4 กาหนดให f เปนฟงกชน ซงมกราฟดงรป

จงหา

(1) x 2lim f(x)

-® ……………….

x 2lim f(x)

+® ……………….

x 2lim f(x)®

……………….

(2) x 2lim f(x)

-®- ……………….

x 2lim f(x)

+®- ……………….

x 2lim f(x)®-

……………….

(3) x 0lim f(x)

−→ ………………….

x 0lim f(x)

+→ …………..……..

x 0lim f(x)→

.....................

y

x –2 2 0

1

–1

2

y

x

–1 2 0

2

–2

1

3


2. ทฤษฎบทเกยวกบลมตของฟงกชน

กาหนดให a, c, A, B เปนจานวนจรง และ m, n เปนจานวนนบ ถา f, g เปนฟงกชนทม

โดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตจานวนจรง โดยท x alim f(x) A®

= และ x alim g(x) B®

= แลว

(1) x alim c®

=………………………………………………………..

(2) x alim cf(x)®

=…………………………………………………….

(3) ( )x alim f(x) g(x)®

± = ……………………………………………

(4) ( )x alim f(x) g(x)®

× = …………………………………………….

(5) x a

f(x)lim

g(x)→

= ………………………………………………….

(6) n

x alim[f(x)]®

=……………………………………………………

(7) n

x alim f(x)®

=……………………………………………………..

(8) ( )mn

x alim f(x)®

= ………………………………..และ n ³ 2 และ mnA เปนจานวนจรง

การหาลมตของฟงกชนพหนาม (polynomial of function)

(9) x alim x®

=………………………

(10) n

x alim x®

= ……………………

(11) n n 1n n 1 1 0x a

lim(c x c x ... c x c )--®

+ + + + = ……………………………………..…..

การหาลมตของฟงกชนของฟงกชน(function of function) ดงน

(13) กาหนดฟงกชนของฟงกชน fog(x) โดย x alim g(x) A®

=

(13.1) ถา x Alim f(x) f(A)®

= จะไดวา x a x alim f(g(x)) f(lim g(x))® ®

= = f(A)

(13.2) ถา x Alim f(x) f(A)®

¹ จะไดวา x a g(x) A x Alim f(g(x)) lim f(g(x)) lim f(x)® ® ®

= =

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|10 หมายเหต

(1) ทฤษฎบทขางตน ยงคงเปนจรงสาหรบการลมตดานเดยว หรอ x a x alim f(x), lim f(x)

- +® ®

(2) ในการใชทฤษฎบทขางตน ถา f(a) = 0 , g(a) = 0 , f(a) = ±∞ หรอ g(a) = ±∞

เมอหาลมตแลวจะอยในรป 00

, ∞∞

, 0 ⋅ ∞ , ∞ – ∞ , 00 , 0¥ หรอ 1¥

เราไมอาจจะตอบไดเลยวาคาลมตหาคาไดหรอหาคาไมได

เรยกรปแบบลมตนวา รปแบบทไมกาหนด(Inderterminate Form : IF)

(3) จากทฤษฎบทขางตน สรปขนตอนการหาลมตของฟงกชน f(x) ท x = a ดงน

ตวอยาง 1 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน (รปแบบลมตทไมเปนแบบ IF)

(1) x 2lim( 10)®

- (2) x 7lim x®

(3) 4

x 2lim x®

(4) 5

x 1

2lim x

3®-

(5) 4

x 2lim(3x 7x)®-

+ (6) 3 2

x 2lim(x 5)(x x)®

- -

ถา f(a) ไมเปนรปแบบ IF

(1) ถา f(a) หาคาได

แลว

(2) ถา f(a) อยในรป

แลว หาคาไมได

ถา f(a) เปนรปแบบ IF

จดใหอยในรป หรอ แลวใชวธ

แยกตวประกอบ

คณดวยเทอมทเปนคอนจเกต

ใชกฎของโลปตาล (เรองอนพนธ)

ขนท 1 แทนคา x = a ใน f(x)

เหมอนกบการหาคา f(a)

ขนท 2 พจารณาคา f(a) ทได


(7) x 8

x 3 2xlim

164

x

®

-

- (8)

2

x 3

x 2x 3lim

2x 1®

- --

(9) 2x 3

2x 6lim

x 1®

-

- (10)

2

x 3

x 1lim

x 3®-

-+

(11) 3

x 2lim x 1®

+ (12) 2 3x

x 1lim 10 -

®

(13) 2

x 2lim log(x 3x)®

+ (14) 2x 2

| x 3 |lim

x 9®

-

-

(15) x

2xlim sin

4®p

æ ö+ p÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø (16)

x2

4xlim tan

3 2xp®

æ ö-p ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -p +è ø

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|12 ตวอยาง 2 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน (การหาลมตในรปแบบ IF โดยการแยกตวประกอบ)

(1) 2

2x 2

x 4lim

x x 6®

-

+ -

(2) 2

x 5

x 25lim

x 5®-

-+

(3) 2

2x 3

x x 12lim3 4x x→−

− −+ +

(4) 3 2

2x 1

4x 5x 3x 2lim

x 2x 1®

- + - +

- +


(5) 2

3x 2

x 2x 8lim

x 2®-

- -+

(6) 2x 0

2 x 2limx x x→

−− −

(7) x x

x 1x 2

9 8 3 9lim3 27+→

− ⋅ −−

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|14 ตวอยาง 3 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน (การหาลมตในรปแบบ IF โดยการคณดวยสงยค)

(1) x 0

x 16 4lim

x®

+ -

(2) x 1 2

x 1lim

x 3 2®

-

+ -

(3) 2

x 3 2

x 9lim

12 x 3®

-

- -

(4) x 2

2x 2lim

1 x 1®

-

- -


(5) x 1

x 2 2x 3lim

3x 7 2x 6®-

+ - +

+ - +

(6) 3

x 1

x 1lim

x 1→

−−

(7) 3

3x 0

x 1 1lim

2 8 x→

+ −

− −


(8) x 3

3 2x 3 3 x 1 5xlimx 3→

+ + + − −

(9) ( )2 23x 0

1lim 1 x 1 x (1 x)(1 x ) (1 x)(1 x )

x→+ − − − + − + − −

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|17 ตวอยาง 4 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน (การหาลมตทางเดยว)

(1) x 1lim x 1

+®-

(2) 2

2x 2

x 4limx x 2−→

−− −

(3) x 3

x 6 xlim3 x−→

+ −−

(4) x 2

| x 2 |lim

x 2−→

−−

(5) x 2

| x 2 |lim

x 2+→

−−


(6) 3 2

2x 0

x x xlim

x-®

+ +

(7) 3 2

2x 0

x x xlim

x+®

+ +

(8) 2x 4

|| x 2 | 2 |lim

x 16+®

- -

-

(9) 2x 4

|| x 2 | 2 |lim

x 16-®

- -

-

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|19 ตวอยาง 5 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน (การหาลมตโดยการแทนตวแปรใหม)

(1) x 5

3 x 4limx 5→

− +−

(2) 3x 3

x 3limx 2 1→

−

− −

(3) x 2 x

xx 21 x2

3 8 3lim

3 3

−

→ − −

− −

−

(4) x x 1

3x 2

2 x 2limx 1 1

+

→

−

− −

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|20 ตวอยาง 6 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน (ฟงกชนตรโกณมต)

(1) x

1 cos xlimsin x→s

+

(2) 2

x2

1 cos x sin xlim1 sin xs→

+ +−

(3) 2

x4

1 2 sin xlimsec x 2 tan xs→

−−


การหาลมตของฟงกชนทตองพจารณาลมตซายและลมตขวา

ตวอยาง 7 กาหนดฟงกชน 3

2x 5; x 3

2 3xf(x)

2 x ; x 3

ìï -ï <-ïï -= íïïï + ³-ïî

จงหา x 3lim f(x)→−


3 x ; x 3f(x) x 9

; x 3x 3

ìï - £ïïï= í -ïï >ï +ïî

จงหา x 3lim f(x)→

ตวอยาง 9 กาหนดฟงกชน 2x 6x 9

f(x)x 3- +

=-

จงหา x 3lim f(x)→


ตวอยาง 10 กาหนดฟงกชน f(x) = 24 x- จงหา x 2lim f(x)®

ตวอยาง 11 กาหนดฟงกชน f(x) = | 2 x | 3

| x 5 |- --

จงหา (1) x 5lim f(x)→

(2) x 2lim f(x)→


การหาลมตของฟงกชนเชงประกอบ(composite functions)

ตวอยาง 12 กาหนด f(x) = 2

10 ; x 3

x 9; x 3

x 3

= −

≠ −

และ g(x) = 2x – 1

จงหา (1) x 2lim(f g)(x)→

(2) x 3lim(g f)(x)→

ตวอยาง 13 กาหนด f(x) =

2x 4x 2−−

และ g(x) = x 5 ; x 4

x 2 ; x 4

+ =

− ≠

จงหา (1) x 2lim(gof)(x)→

(2) x 4lim(fog)(x)→


ตวอยาง 14 กาหหนด 3

3

x 2 2; x 2

x 2f(x)x 8

; 0 x 2x 4x

ìï + -ï >ïï -ï= íï -ï < <ïïï -î

จงหา

(1) 2

x 0lim f(x 2)

+®+ (2)

x 1

f(x 1)lim

2x-®

+

ตวอยาง 15 กาหนด f(x) = 23x จงหา h 0

f(x h) f(x)lim

h→

+ − เมอ h ∈ R


การหาคาคงทจากเงอนไขของฟงกชนทมลมต

ถากาหนดวา f เปนฟงกชนทมลมต(หาลมตได)ท x = a แสดงวา

x a x a x alim f(x) lim f(x) lim f(x)

− +→ → →= =

ตวอยาง 16 กาหนด f(x) = 2kx 1 ; x 2

x 4 ; x 2x 2

+ ≤ − − > − +

จงหาคา k Î ททาให f มลมตท x = –2

ตวอยาง 17 กาหนด f(x) = 2

kx 5 ; x 3

x 1 ; x 3

ìï - ³ïïíï + <ïïî ถา k Î ททาให f มลมตท x = 3

จงหา 2

x 4x 3

f(x 1)lim f(x ) lim

x 2− +→→

−+

+


3. ลมตอนนต(infinite limit)

ลกษณะกราฟของฟงกชนทมลมตท a เปนอนนตมรปแบบตางๆดงน

หมายเหต ในกรณท x alim f(x)

-®= ¥ (หรอ – ∞) หรอ

x alim f(x)

+®= ¥ (หรอ – ∞) หรอ

x alim f(x)®

= ¥ (หรอ – ∞) กตาม เราจะเรยกเสนตรง x = a

วาเปน เสนกากบแนวตง(vertical asymtote)

y

0

x

x = a

a

เสนกากบแนวตง y

0

x

x = a

a

เสนกากบแนวตง x a(5) lim f(x)

®= ¥

x a(6) lim f(x)

®= -¥

x a x a(7) lim f(x) , lim f(x)

- +® ®= -¥ = ¥

x a x a(8) lim f(x) , lim f(x)

- +® ®= ¥ = -¥

y

0

x

x = a

a

เสนกากบแนวตง y

0

x

x = a

a

เสนกากบแนวตง

y

0

x

x = a

a


-®= ¥

y

0

x

x = a

a

f


-®= -¥

y

0

x

x = a

a


+®= ¥

y

0

x

x = a

a


+®= -¥

y

0

x

x = a

a


-®= -¥


การหาลมตของฟงกชน f(x)g(x)

ทมลมตอนนต

ให a Î , f และ g เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของ โดยท x alim f(x) A®

=

และ x alim g(x) 0®

=

ตวอยาง 1 กาหนดฟงกชน f(x) = 2

x 2x 1+-

จงหา

(1) x 1lim f(x)

-® (2)

x 1lim f(x)

+®

(3) x 1lim f(x)

-®- (4)

x 1lim f(x)

+®-

0

g(x) 0-®

x a

f(x) Alim

g(x) 0-®= ¥

0

0 g(x)+

x a

f(x) Alim

g(x) 0+®= -¥

0

g(x) 0-®

x a

f(x) Alim

g(x) 0-®= -¥

0

0 g(x)+

x a

f(x) Alim

g(x) 0+®= ¥

A < 0 A > 0

x a

f(x) Alim

g(x) 0®

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|28 ตวอยาง 2 จงหาลมตแตละขอตอไปน

(1) 2x 1

1lim

(x 1)® - (2)

x 2

1 2xlim

| x 2 |®

--

(3) 3x 1

2x 5lim

(x 1)®-

+

+


4. ลมตทอนนต

บทนยาม 2. กาหนดให A Î และ f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของ

(1) xlim f(x)®¥

= A กตอเมอ ถา x มคามากขนอยางไมมขอบเขต แลว คาของ f(x) จะเขาใกล A

(2) xlim f(x)®-¥

= A กตอเมอ ถา x มคานอยลงอยางไมมขอบเขต แลว คาของ f(x) จะเขาใกล A

(3) xlim f(x)®¥

= ∞ กตอเมอ ถา x มคามากขนอยางไมมขอบเขต แลว

คาของ f(x) จะมคามากขนอยางไมมขอบเขต

(4) xlim f(x)®-¥

= ∞ กตอเมอ ถา x มคานอยลงอยางไมมขอบเขต แลว

คาของ f(x) จะมคามากขนอยางไมมขอบเขต

(5) xlim f(x)®¥

= –∞ กตอเมอ ถา x มคามากขนอยางไมมขอบเขต แลว

คาของ f(x) จะมคานอยลงอยางไมมขอบเขต

(6) xlim f(x)®-¥

= –∞ กตอเมอ ถา x มคานอยลงอยางไมมขอบเขต แลว

คาของ f(x) จะมคานอยลงอยางไมมขอบเขต

ตวอยางลกษณะกราฟของฟงกชนทมลมตทอนนต

xlim f(x)®¥

= A และxlim f(x)®-¥

= -¥ xlim f(x)®-¥

= A และ xlim f(x)®¥

= ¥

ทฤษฎบทลมตทอนนต

(1) ถา c ∈ R และ c ≠ 0 จะไดวา xlim c c®¥

= และ xlim c c®-¥

=

(2) กาหนดให xlim f(x) A®¥

= และ xlim g(x) B®¥

= เมอ A, B เปนจานวนจรง จะไดวา

(2.1) x xlim cf(x) c lim f(x) cA®¥ ®¥

= = เมอ c ∈ R

(2.2) xlim[f(x) g(x)]®¥

± = x

f(x)lim®

± x

g(x)lim®¥

= A ± B

(2.3) xlim[f(x) g(x)]®¥

· = x

f(x)lim®¥

×x

g(x)lim®¥

= AB

(2.4) x

f(x)lim

g(x)®¥

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø = x

x

lim f(x)

lim g(x)®¥

®¥

= AB

;B ≠ 0

หมายเหต ขอ (2) ยงคงเปนจรง เมอพจารณา x → –∞

y

0 x

y = A A

f

y

0 x

y = A A

f

∞ – ∞ ∞ – ∞

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|30 (3) กาหนดให c ∈ R , c ≠ 0 และ f เปนฟงกชน

(2.1) ถา xlim f(x)®¥

= ¥ หรอ xlim f(x)®¥

= -¥ แลว x

clim 0

f(x)®¥=

(2.2) ถา xlim f(x)®-¥

= ¥ หรอ xlim f(x)®-¥

= -¥ แลว x

clim 0

f(x)®-¥=

(4) กาหนดให k ∈ R+

(4.1) ถา x > 0 แลว k

xlim x→∞

= ∞

(4.2) ถา x < 0 และ xk ∈ R แลว k

kkx

; x 0lim x

; x 0→−∞

∞ >= −∞ <

(5) กาหนด f(x) = p p 1 p 2

n1 2 3q q 1 q 2

n1 2 3

A x A x A x ... A

B x B x B x ... B

- -

- -

+ + + +

+ + + + พจารณาดงน

กรณท 1 ถา p < q จะได nlim®¥

f(x) = 0

กรณท 2 ถา p = q จะได nlim®¥

f(x) = 1

1

A

B

กรณท 3 ถา p > q จะได nlim®¥

f(x) หาคาไมได

หมายเหต ขอ (5) ยงคงเปนจรง เมอพจารณา x → –∞

(6) กาหนดให k ∈ จะได x

x

0 ; | k | 1

lim k 1 ; | k | 1

; | k | 1®¥

ìï <ïïï= =íïï >ïïî

ถา xlim f(x) a→±∞

=

เรยกเสนตรง y = a วาเปน เสนกากบแนวนอน (Horizontal asymtote)

ขอควรระวง

รปแบบไมกาหนดตอไปนหาคาไมได ∞ +(–∞) ≠ ∞ , 0 ⋅∞ , 0∞ , 1∞ , ∞0 00

, ∞∞

หาไมได

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|31 ตวอยาง 1 จงหาลมตตอไปน

(1) xlim 25→∞

=......................... (2) xlim 2x→−∞

= ............................

(3) x

2lim

x 1→∞ + = ......................... (4)

x

7lim

x 2→−∞ + = ........................

(5) x

x

1lim2→∞

= ......................... (6) x

xlim 3−→−∞

= ...........................

(7) 2x

4 2lim(3 )

x x→∞+ − (8)

2

2x

5x 3lim

3x 1→∞

+−

(9) 3

3x

3x 2x 1lim

5 2x→−∞

− +−

(10) 2

3x

2x 3x 1lim

3x 5→∞

+ +−

(11) 4 2

2x

x 4x 5lim

3x 1→∞

+ −+

(12) 2

x

4x 3x 1lim

(2x 5)(x 1)→∞

− +− −


(13) 4 2

2x

4x 3xlim

x 5→∞

+−

(14) 2x

2x 3lim

3x 2→−∞

+

+

(15) ( )2

xlim x x x→∞

+ −

(16) ( )2 2

xlim x 1 x x 1 2x→−∞

+ + + + −


(17) x x

xx

2 3lim

5→∞

−

(18) x x

x xx

5 5lim

5 5

−

−→∞

+−

(19) x x x

x xx

4 (6 ) 2(9 )lim

2 3

− − −

− −→−∞

− −

+

(20) x x x

x xx

3 2 1 6lim2 1 4→∞

+ + − −


5. ความตอเนองของฟงกชน

5.1 นยามของความตอเนองของฟงกชน

บทนยาม 3. กาหนดให f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ a ∈

จะกลาววา f เปนฟงกชนตอเนองท x = a กตอเมอ

(1) ………………………………

(2) ……………………………….

และ (3) ……………………………….

หมายเหต ถา f ขาดคณสมบต (1) หรอ (2) หรอ (3) ขอใดขอหนงในบทนยาม 3.

เราจะกลาววา f ไมตอเนอง ท x = a

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

จากรปถาพบวากราฟของฟงกชนขาดตอนท x = a สามารถสรปไดวาฟงชนนนเปนฟงกชนทไม

ตอเนองท x = a

y

x 0 a

f

y

x 0 a

f

y

x 0 a

f

y

x 0 a

f

y

x 0 a

f

x 0 a

f

y

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|35 ตวอยาง 1 จงพจารณาวาฟงกชนตอไปน

(1) ถาให f(x) = 2x x 2x 2− −−

แลว f เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 หรอไม

(2) ถาให g(x) =

2x 4; x 2

x 21 ; x 2

ìï -ï ¹ -ïïí +ïï = -ïïî

แลว g เปนฟงกชนตอเนองท x = –2 หรอไม

(3) ถาให h(x) = x 2 ; x 4

x | 4 x |; x 4

x 4

ìï + £ïïïí -ï >ïï -ïî

แลว h เปนฟงกชนตอเนองท x = 4 หรอไม


ตวอยาง 2 กาหนดฟงกชน f(x) = 2x 5x 6

x 2+ ++

เมอ x ∈ และ x ≠ – 2

ถาตองการให f ตอเนองท x = – 2 แลว จะตองนยาม f(–2)

ตวอยาง 3 กาหนดฟงกชน

2

3

x 1; x 1

f(x) x 1k ; x 1

ìï -ïï ¹ï= í -ïï =ïïî

ถา f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 จงหาคา k

ตวอยาง 4 กาหนดฟงกชน 2 x 3

; x 1f(x) x 1kx 1 ; x 1

ìï - +ïï <ï= í -ïï + ³ïïî

ถา f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 จงหาคา k



2

Ax B ; x 1

x 6xf(x) ; 1 x 6

x 5x 6Bx A ; x 6

ìï + £ïïïï -ï= < <íï - -ïïï + ³ïïî

โดยท f มความตอเนองท x = 1 และ x = 6 จงหา 9A + 44B

ตวอยาง 6 กาหนดให x 3 ; x 3

2x 10 x 13f(x)

a ; x 3

− ≠ + − += =

โดยท a เปนจานวนจรง

ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด x = 3 จงหาคา a (PAT 1 : 5 มนาคม 2554)


5. 2 ทฤษฎบทของฟงกชนตอเนอง

(1) ฟงกชนพหนาม f(x) = anxn + an–1x

n–1 + … + a1x + a0

เปนฟงกชนตอเนองท x = c เมอ c เปนจานวนจรงใดๆ

(2) ฟงกชนตรรกยะ f(x) = p(x)q(x)

เมอ p(x) , q(x) เปนฟงกชนพหนาม โดย q(x) ≠ 0

เปนฟงกชนตอเนองท x = a เมอ a เปนจานวนจรงททาให q(a) ≠ 0

หมายเหต บทกลบของขอ (2) บอกเราวา

“ ถา จานวนจรง a ททาให q(a) = 0 จะทาใหฟงกชน r(x) ไมตอเนองท x = a ”

(3) ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองท x = a และ c เปนจานวนจรงใดๆ แลว

f ± g เปนฟงกชนตอเนองท x = a

f ⋅ g เปนฟงกชนตอเนองท x = a

fg

เปนฟงกชนตอเนองท x = a เมอ g(a) ≠ 0

cf เปนฟงกชนตอเนองท x = a

(4) (ความตอเนองของฟงกชนประกอบ)

ถา f เปนฟงกชนตอเนองท x = a และ g เปนฟงกชนตอเนองท x = f(a)

แลว gof จะเปนฟงกชนตอเนองท x = a

ตวอยาง กาหนดฟงกชนตอไปนจงพจารณาวาเปน ฟงกชนตอเนอง และ ฟงกชนไมตอเนอง

ทจดใดบาง

(1) x 2

f(x)| x 3 |

-=

+ (2) 2

x 2f(x)

x 3x 2-

=- +

(3) 2

2

xf(x)

1 x=

+


5.3 ฟงกชนตอเนองบนชวง

(1) ฟงกชนตอเนองทางเดยว

บทนยาม 4. กาหนดให f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ a ∈ R

จะกลาววา f เปนฟงกชนตอเนองทางขวาท x = a กตอเมอ

(1) f(a) หาคาได

(2) x alim f(x)

+® หาคาได

และ (3) x alim f(x)

+® = f(a)

จะกลาววา f เปนฟงกชนตอเนองทางซายท x = a กตอเมอ

(1) f(a) หาคาได

(2) x alim f(x)

-® หาคาได

และ (3) x alim f(x)

-® = f(a)

ตวอยาง 1 กาหนดฟงกชน f(x) = 2x ; x 0

x ; x 0

ìï £ïïíï >ïïî จงพจารณาวา

(1) f ฟงกชนตอเนองทางซายท x = 0 (2) f ฟงกชนตอเนองทางขวาท x = 0

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|40 (2) ฟงกชนตอเนองบนชวง

บทนยาม 5. 1. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปด (a, b) กตอเมอ

f เปนฟงกชนตอเนองททกๆจดในชวงเปด (a, b)

2. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] กตอเมอ

(1) f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปด (a, b)

(2) f เปนฟงกชนตอเนองทางขวาท x = a

(3) f เปนฟงกชนตอเนองทางซายท x = b

ตวอยาง 2 กาหนดฟงกชน f(x) =

2x 25; x 5

x 510 ; x 5

ìï -ï ¹ïïí -ïï =ïïî

จงตรวจสอบวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [5, 8] หรอไม

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|41 5.4 สมบตของฟงกชนตอเนองบนชวงปด

บทนยาม 6. (คาสงสดและคาตาสด)

กาหนดให c ∈ [a, b] และ f เปนฟงกชนซงม [a, b] เปนสบเซตของโดเมนของ f

(1) f(c) เปนคาสงสดของ f(x) บน [a, b] กตอเมอ f(c) ≥ f(x) ทกๆ x ∈ [a, b]

(2) f(c) เปนคาตาสดของ f(x) บน [a, b] กตอเมอ f(c) ≤ f(x) ทกๆ x ∈ [a, b]

ลกษณะหนงของคาสงสดและตาสดของฟงกชน f(x) บน [a, b]

สมบตของฟงกชนตอเนองบนชวงปด

(1) ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] แลว

จะตองมจานวนจรง c และ d ใน [a, b] ซงทาให

(1.1) f(c) เปนคาสงสดของ f(x) บน [a, b]

(1.2) f(d) เปนคาตาสดของ f(x) บน [a, b]

(2) (ทฤษฎบทคาระหวางกลาง)

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b]

และ k Î ซง f(a) £ k £ f(b)

แลว จะตองมจานวนจรง c ∈ (a, b)

ซงทาให f(c) = k

x

f(c)

y

0 a c b d

f(d)

x

f(a)

y

0 a c b

k

f(b)

f(c)

y

x 0 a c b

f(c)

y

0 a c b

x

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|42 ตวอยาง 1 กาหนดฟงกชน f(x) = x3 + x – 1 บนชวง [0, 1]

(1) จงพจารณาวา f มคาสงสดและตาสดบน [0, 1] หรอไม

(2) จงพจารณาวาสมการ x3 + x – 1 = 0 มคาตอบบนชวง [0, 1] หรอไม

ตวอยาง 2 จงพจารณาวาสมการ 3 2

2

x 2x x 1 5x 1 4

+ - +=

+ มคาตอบในชวง [0, 1] หรอไม


1. อตราการเปลยนแปลงเฉลยและอตราการเปลยนแปลงของฟงกชน

กาหนดฟงกชน y = f(x) และให (x1, y1) และ (x2, y2) เปนจดหนงทสอดคลองกบ y = f(x)

นนคอ y1 = f(x1) และ y2 = f(x2)

กาหนด x = …………………… แทนการเปลยนแปลงของ x จาก x1 ถง x2

y = …………………… แทนการเปลยนแปลงของ y จาก y1 ถง y2

นนคอ y = ………………………………………………………………

อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x จาก x1 ถง x1 + x มบทนยามตอไปน

บทนยาม 1. กาหนดฟงกชน y = f(x)

อตราการเปลยนแปลงเฉลย ของ y เทยบกบ x จาก x ถง x + x คอ

yx

D=

D

บทนยาม 2. กาหนดฟงกชน y = f(x) เมอคา x เปลยนเปน x + x เมอ x ≠ 0

อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ในขณะท x มคาใดๆ คอ

x 0

ylim

xD ®

D=

D

ความหมายทางเรขาคณต

x 0

ylim

xD ®

DD

…………………………………

ความหมายทางเรขาคณต

yx

DD

= …………………………………….

y

x 0 x x + x

y = f(x)

P

Q

y

x 0 x x + x

y = f(x)

P

Q


ตวอยาง 1 กาหนดฟงกชน y = f(x) = 2x 2x – 1+

(1) จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x จาก x = –2 ถง x = 3

(2) จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x จาก x ถง x + 2

(3) จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x จาก x ถง x + x

(4) จงหาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ในขณะท x มคาใดๆ

(5) จงหาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ในขณะท x = 5


ตวอยาง 2 กาหนดฟงกชน y = x 1+ จงหาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x

(1) ในขณะ x ใดๆ (2) ในขณะท x = 3

ตวอยาง 3 กาหนดฟงกชน 22x 1 ; x 1

f(x)4x 3 ; x 1

ì - £ïïï= íï - >ïïî

จงหาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ในขณะท x = 1

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|46 ตวอยาง 4 กาหนดฟงกชน y = | x 2- |

จงหาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ในขณะท x = 2

ตวอยาง 5 จากวงกลมรศมยาว r เซนตเมตร จงหา

(1) อตราการเปลยนแปลงเฉลยของพนทวงกลมเทยบกบความยาวของรศม

เมอความยาวรศมเปลยนจาก r เปน r + h

(2) อตราการเปลยนแปลงของพนทวงกลมเทยบกบความยาวของรศม ขณะทรศมยาว r เซนตเมตร


2. อนพนธ (Derivative)

2.1 นยามของอนพนธ

บทนยาม 3. กาหนดฟงกชน y = f(x) ซงโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง

(1) ถา x 0

f(x x) f(x)lim

xD ®

+D -D

หาคาได

แลว เราจะกลาววา ฟงกชน f มอนพนธท x

และ คาลมตทได เรยกวา อนพนธของ f ท x และเขยนแทนดวย f ′(x)

(2) ถา x 0

f(x x) f(x)lim

xD ®

+D -D

หาคาไมได

แลว เราจะกลาววา ฟงกชน f ไมมอนพนธท x \


(1) เราจะเขยน f ′(x) = x 0

f(x x) f(x)lim

xD ®

+D -D

เมอ ลมตหาคาได

(2) นอกจากสญลกษณ f (x)′ แลวยงมสญลกษณอนๆ อกทใชแทนอนพนธของ f ท x ใดๆ

เชน dydx

(อานวา ดวายบายดเอกซ )

หรอ d

f(x)dx

(อานวา ดเอฟเอกซบายดเอกซ )

หรอ y′ เปนตน

(3) f (a)′ หรอ x a

dydx =

แทนอนพนธของ f ท x = a นนคอ

f (a)′ = x 0

f(a x) f(a)lim

xD ®

+D -D

เมอ ลมตหาคาได

= x a

f(x) f(a)lim

x a®

--

เมอ ลมตหาคาได (เพราะ x x a∆ = − )

(5) ในนยามของอนพนธอาจเอกสารบางเลมอาจจะแทน x ดวย h แตความหมายเดยวกน

นนคอ f ′(x) = h 0

f(x h) f(x)lim

h®

+ -

และ f ′(a) = h 0

f(a h) f(a)lim

h®

+ -


ตวอยาง 1 กาหนดฟงกชน y = f(x) = 2x x 2− + โดยอาศยนยามของอนพนธ

จงหา f ′(x) และ f ′(2)

ตวอยาง 2 กาหนดฟงกชน y = f(x) = 2 x+ โดยอาศยนยามของอนพนธ

จงหา f ′(x) และ f ′(2 )


ตวอยาง 3 โดยสมบตของ 0 0

sin cos 1lim 1 , lim 0q® q®

q q -= =

q q เมอ θ ∈

กาหนดฟงกชน y = sin x โดยอาศยนยามของอนพนธ จงหา dydx

และ x

3

dydx p

=

ตวอยาง 4 กาหนดฟงกชน y = f(x) = 2x 1 ; x 1

2x ; x 1

+ < ≥

จงหา f ′(1)

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|50 ตวอยาง 5 กาหนดฟงกชน y = f(x) = |1 x− | จงหา f ′(1)

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|51 ตวอยาง 6 กาหนดฟงกชน f เปนฟงกชนทตอเนองบน

(1) ถา f(0) = 1 และ 1

f (0)2

¢ = - จงหา 4 2x 0

xf(x) xlim

1 x 1→

−

+ −

(2) ถา f(–2) = 1 และ 2x 2

xf(x) x f(x) 3lim 5

x 3x 2®-

+ + +=

+ + จงหา f ′(–2)


2.2 ความตอเนองของฟงกชนทมอนพนธ

เมอ x ≠ c พจารณา x c x c

x c x c

f(x) f(c)lim(f(x) f(c)) lim (x c)

x c

f(x) f(c)lim lim(x c)

x c

f (c) 0

0

® ®

® ®

æ ö- ÷ç ÷- = × -ç ÷çè ø-

-= × -

-

¢= ×

=

ดงนน x clim f(x) f (c)®

¢=

นนคอ f เปนฟงกชนตอเนองท x = c

หมายเหต จากทฤษฎบท 1 เราจะไดวา

ถา f เปนฟงกชนทไมตอเนองท x = c แลว f จะเปนฟงกชนทไมมอนพนธไดท x = c

ตวอยาง 7 จงหาคา c ททาใหฟงกชนทกาหนดใหตอไปน ไมสามารถหาอนพนธไดท x = c

(1) f(x) = 2

x 3

x 5x 4

+

- + (2) g(x) =

23x 1 ; x 1

3x 1 ; x 1

+ ≥ −

+ < −

ทฤษฎบท 1 : ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x = c แลว f จะเปนฟงกชนทตอเนองท x = c

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|53 ตวอยาง 8 กาหนดฟงกชน f(x) = |x – 1| จงพจารณา

(1) f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 หรอไม (2) f เปนฟงกชนทมอนพนธท x = 1 หรอไม

ลกษณะกราฟของฟงกชน ณ จดทมอนพนธ

ความหมายทางเรขาคณตของฟงกชน f ทมอนพนธท x = c จะแสดงไดดวยกราฟของ f ทจด (c, f(c)) เปน

เสนโคงราบเรยบ ดงนนถาเสนโคงหกมมแหลม ณ จดใด เราจะไดวา f จะไมมอนพนธทจดนน ดงเชนตวอยาง

ทไดทาไปแลว และดงรปทแสดงดานลาง

ตวอยาง 9 จงหาคา c ททาใหฟงกชน f(x) = | 2x 1− | ไมสามารถหาอนพนธไดท x = c

y

x

c

(c, f(c))

f มอนพนธท x = c

0

y = f(x)

y

x

c

(c, f(c))

f ไมมอนพนธท x = c

0

y = f(x)


3. การหาอนพนธโดยใชสตร

การหาอนพนธของฟงกชนพหนาม

1. ถา f(x) = a เมอ a เปนคาคงตว จะได d

f (x) (a) 0dx

¢ = =

2. ถา f(x) = nx เมอ n เปนจานวนจรง จะได n n 1df (x) (x ) nx

dx-¢ = =

การหาอนพนธของฟงกชนตรโกณมต

4. d

(sin x)dx

= cos x

5. d

(cos x)dx

= –sin x

6. d

(tan x)dx

= sec2 x เมอ x ≠ (2n 1)

2p+

,n ∈

7. d

(cotx)dx

= –cosec2 x เมอ x ≠ ns , n ∈

8. d

(sec x)dx

= sec x tan x เมอ x ≠ (2n 1)

2p+

, n ∈

9. d

(cos ec x)dx

= –cosce x cot x เมอ x ≠ ns, n ∈

การหาอนพนธของฟงกชนลอการทมและเอกซโพเนนเชยล

10. xd(a )

dx = xa ln a 11. x xd

(e ) edx

=

12. ad

(log x)dx

= a1

log ex

= 1

x ln a 13.

d(ln x)

dx =

1x

การหาอนพนธของพชคณตของฟงกชน

กาหนดให f และ g เปนฟงกชนทมอนพนธท x และ c เปนคาคงตว จะได

14. d d

(cf(x)) c (f(x))dx dx

=

15. d d d

(f(x) g(x)) (f(x)) (g(x))dx dx dx

± = ±

16. d d d

(f(x)g(x)) f(x) (g(x)) g(x) (f(x))dx dx dx

= × + ×

17. 2

d dg(x) (f(x)) f(x) (g(x))d f(x) dx dx

dx g(x) (g(x))

× - ×æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø โดยท g(x) ≠ 0

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|55 การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ

18. (กฎลกโซ : Chain Rule) ถา y = g(u) และ u = f(x) โดย g′(u) และ f ′(x) หาคาได

จะได dy d d(g(u)) (f(x))

dx du dx= ×

หรอ dy dy dudx du dx

= ×

นนคอ (gof) (x) g (f(x)) f (x)′ ′ ′= ⋅

19. ถา y = ( )nf(x) เมอ n Î และ f′(x) หาคาได จะได ( )n 1dyn f(x) f (x)

dx

-¢= ×

การหาอนพนธของอนเวอรสฟงกชน

20. ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนงและหาอนพนธไดท x โดยม g เปนฟงกชนผกผน(g = 1f- )

และ ( )f g(x) 0¢ ¹ แลว g จะมอนพนธท x และจะได 1

g (x)f (g(x))

¢ =¢

นนคอ dy 1dx dx

dy

=

ตวอยาง 1 จงหา dydx

หรอ f ′(x) ของฟงกชนทกาหนดใหตอไปน

(1) f(x) = 9 (2) 7f(x) x=

(3)

53y x= (4) 3f(x) x−=

(5) f(x) = 21

x (6) y = 3 x

(7) y = 52x− (8) 5f(x) 3x=



หรอ f ′(x) และ f ′(a) ของฟงกชนทกาหนดใหตอไปน

1. y = 3 22x 3x 2- + ; a = –2 2. f(x) = 3 22x – x – 3x 1 + ; a = 3

3. y =3 22 1 3

xx x+ − ; a = –1 4. f(x) =

3 2

1 3

2x 4x+ ;a = 1

5. f(x) = 3 2 1x

x+ ; a = 1 6. y =

1 x; a 4

x

+=


ตวอยาง 3 : อนพนธของผลคณของฟงกชน จงหา dydx

หรอ f¢(x)

(1) y = (3x – 5)(2x + 3)

(2) f(x) = 2(x 2x)(5 2x)− −

(3) y = 2 2(x 3x)(x 2x)+ −

(4) y = 3 22(3x x )(3 x )+ -


ตวอยาง 4 : อนพนธของผลหารของฟงกชน จงหา dydx

หรอ f¢(x)

(1) y = 1

7x 5-

(2) y = 8x 52x 1

+-

(3) f(x) = 23x 2x

4x 3+-

(4) f(x) = 2

1

3x 5x 2− +


ตวอยาง 5 : อนพนธของฟงกชนประกอบ จงหา dydx

หรอ f ′(x) ของฟงกชนทกาหนดใหตอไปน

(1) f(x) = 3(3x 5)-

(2) y = 3 4(2x 3x)-

(3) f(x) = 2 5(2x x 2)− +

(4) y = 2x 3x+


(5) y = 2 3(3x 4x )−+

(6) f(x) = 3

1

(3x 5)−

(7) f(x) = 2

1

3x x 1+ +

(8) f(x) = 3

1

1 6x-


(9) f(x) = ( )43x+1 5+

(10) f(x) = 33x (3x 2)+ +

(11) y = 2 3

2

(2x 1)

x 1

-

+



หรอ f ′(x) และ f ′(a) ของฟงกชนทกาหนดใหตอไปน (ฟงกชนตรโกณมต)

(1) f(x) = 2sin x ; a = 2p

(2) y = cos x ; a = 4p

(3) f(x) = tan x ; a = 6s

(4) y = sin x cos x ; a = 3p

(5) sin x

f(x) ; a1 cos x 2

p= =

+

(6) f(x) = sin(3x) ; a9p

= -

(7) y = 2cos(1 x )− ; a = 1


(8) y = 23 cos (x) ; a 0=

(9) 2y tan (x)=

(10) y = 2sin (3x 1)-

(11) f(x) = 2 2cos (1 x )-



หรอ f ′(x) และ f ′(a) ของฟงกชนทกาหนดใหตอไปน (expo/log)

(1) f(x) = x2 ; a = –4 (2) y = 4 xe ; a = 0

(3) f(x) = 2log x ; a = 2 (4) y = ln x ; a = 1

(5) f(x) = xx e× (6) y = (2x 1)e +

(7) f(x) = ( )2ln x 1+ (8) y = ( )2ln 1 sin x+

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|65 ตวอยาง 8 กาหนดให f(2) = –3, f (2) 4¢ = , g(2) = 1 และ g (2) 5¢ = จงหาคาตอบตอไปน

(1) ถา h(x) = 5f(x) + f(x)g(x) จงหา h (2)¢

(2) ถา y = x f(x) g(x)+ จงหา x 2dydx =

(3) ถา h(x) = 22x g(x)f(x)+

จงหา h (2)¢

(4) ถา h(x) = 2f(3x 1) 3g(x 1)- - + จงหา h¢ (1)

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|66 ตวอยาง 9 จงใชกฎลกโซคานวณหาอนพนธ ในแตละขอตอไปน

(1) 4 2 2f(x) x 2x , g(x) x 5= − = + จงหา (fog) (x)′

(2) 2 32

1f(x) x , g(x) 1 x

x= + = + จงหา (gof) (x)′

(3) 2f(2x 3) x 5 , g(x) 2x 1− = − = + จงหา (fog) (x)′

ตวอยาง 10 จงใชกฎลกโซคานวณหา dydx

ในแตละขอตอไปน

(1) y = 3(1 2u)− และ u = 2x x−

(2) y = 3w 2w 1+ − , w = 2u 1− และ u 2x 1= +

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|67 ตวอยาง 11 จงหาคาตอไปน (แนวขอสอบตางๆ)

(1) กาหนดให f(x) = x2 – 2|x| และ g(x) = x2 + 1 จงหาคา (g f)'( 2) (f g)'(2)− +

(2) กาหนดให f(x) = 3x 1+ ถา g เปนฟงกชนซง (f g)(x) = x2 + 1 ทก x ∈ ℝ

จงหา f ′(1) + g ′(1)

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|68 (3) ให f : R → R , g : R → R และ h : R → R เปนฟงกชนทมอนพนธทกอนดบ

โดยท h(x) = 2x 4 , g(x) h(f(x) 1)+ = − และ f (1) g (1) 1′ ′= =

จงหาคาของ f(1) (PAT1 มนาคม 2555)

(4) ถา 3xf(2x 1) 4x g(x)+ = + และ f( 1) 1, f ( 1) 1, g(1) 9, g (1) 15′ ′− = − = − = =

จงหา (f g) ( 1)′ −

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|69 (5) กาหนดให h(x) = (fog)(x) และ g(3) = 6, g′(3) = 4, f ′(3) = 2 และ f ′(6) = 7

จงหา h′(3)

(6) ถา 2(g f)(x) f(x) x 2x− = − , f(0) = 1 และ g (x) 1′ > ทกๆ x R∈

จงหา (f g) (1)′

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|70 (7) กาหนดให f, g, h มสมบตวา

x 6(f g)(x) 3x 14, f x 2, h(2x 1) 6g(x) 12

3

+= − = − − = +

แลวคาของ h (0)′ เทากบเทาใด (PAT1 : ธ.ค. 2554)

(8) กาหนดให f และ g เปนฟงกชนพหนาม โดยท 2(f(x)) f(x) g(x) x 2+ = + + และ

g (x) 2 f(x) f (x)′ ′= โดยท f(0) = 1 จงหา (f g) (0)′

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|71 ตวอยาง 12 (อนพนธของอนเวอรสฟงกชน)

(1) กาหนด x = 2y 3y+ จงหา dydx

(2) กาหนด 3f(x) x x 2= + - และให g เปนฟงกชนผกผนของ f จงหา g′(0)

(3) ถา f(x) = x + 1 และ g(x) = x และ F(x) = (f g)(x) เมอ x ≥ 1

จงหา (F–1) ′(2)


4. การหาอนพนธโดยปรยาย***

ฟงกชนรป y = f(x) ซงเรยกวา ฟงกชนโดยชดแจง (explicit function)

เชน x2 + y2 = 1 ; xy = 2 ; y2 = x ; x2 + xy + y2 = 0

สมการเหลานไมไดเขยน y ในเทอมของ x อยางชดแจง เรยกฟงกชนนวา ฟงกชนโดยปรยาย

(implicit function) เราจะมวธการหา dydx

ดงน

กาหนดฟงกชน f(x, y) = C เมอ C เปนคาคงท และ y = f(x) เปนฟงกชนทหาอนพนธได การ

หา dydx

ดาเนนการดงน

(1) หาอนพนธทงสองขางเทยบกบตวแปร x จะได

d d

(f(x, y)) [C]dx dx

=

d

(f(x, y)) 0dx

=

(2) การหา d

(f(x, y))dx

มวธการและใชสตรการหาอนพนธเชนเดยวกบทกลาวมาแลว และ

เนองจาก y เปนฟงกชนของ x ดงนนการหาอนพนธพจนทเปนตวแปร y ตองใชกฏลกโซ

เชน 2d(y )

dx จะมลกษณะเหมอนกบ 2d

(g(x) )dx

เมอ y = g(x)

ดงนน 2d dy(y ) 2y

dx dx=

(3) เขยนสมการทไดจากขน (2) ใหมเพอหา dydx


จากทกาหนดให y เปนฟงกชนของ x ทหาอนพนธได ซงสอดคลองกบสมการ

ดงตอไปน

(1) x2 + y2 = 1 (2) xy = –2


ตวอยาง 2 จงหา P

dydx

จากทกาหนดให y เปนฟงกชนของ x ทหาอนพนธไดซงสอดคลองกบสมการ

และ P ดงตอไปน

(1) 2 2x y 32x+ + = ; P(0, 3 )

(2) 2y 2y x 1 0− + + = ; P(–1, 2)


เมอกาหนดฟงกชน x = 2y 2y 1+ +


5. อนพนธอนดบสง

กาหนด y = f(x) ซงเปนฟงกชนทหาอนพนธได จะพบวา f ′(x) หรอ dydx

ทไดยงเปนฟงกชน

ของ x ถาฟงกชนทไดนเปนฟงกชนทหาอนพนธได เรยกอนพนธทไดนวา อนพนธอนดบท 2 ของ f ซง

เขยนแทนดวย f ′′(x) หรอ 2

2

d ydx

สญลกษณของอนพนธอนดบท 2 อนๆ ไดแก d dy

( )dx dx

หรอ d

(f (x))dx

¢ หรอ y′′

ในทานองเดยวกน เราสามารถหาอนพนธอนดบทมากขนของ f เชน

อนพนธอนดบท 3 ของ f(x) เขยนแทนดวย ………. หรอ ………..



อนพนธอนดบท n ของ f(x) เขยนแทนดวย ………. หรอ ………..

และถาเขยนอนพนธอนดบสงของ f ตามความหมายในรปลมต จะไดดงน

x 0

f (x) lim∆ →

′′ =

x 0

f (x) lim∆ →

′′′ =

(4)

x 0f (x) lim

∆ →=

ตวอยาง 1 กาหนดฟงกชน y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1 จงหา f (x)′′ และ f (4)′′′


ตวอยาง 2 กาหนดฟงกชน f(x) = 5 4 3 2x – 3x 2x – 4x – 6x 3 + +

จงหาอนพนธอนดบสงทงหมดของ f

ตวอยาง 3 กาหนดฟงกชนแตละขอตอไปน จงหาอนพนธอนดบสองของฟงกชน

(1) f(x) = 2x 1x+

(2) y = 2x 1+


ตวอยาง 4 กาหนดให y = f(x) จงหา 2 3 4

2 3 4

dy d y d y d ydx dx dx dx

+ + +

(1) f(x) = sin x

(2) f(x) = 2xe−

ตวอยาง 5 กาหนดฟงกชน f(x) = 3 22x 4x

x+ + จงหา

h 0

f (1 h) f (1)lim

h®

¢ ¢+ -


ตวอยาง 6 กาหนดให f และ g เปนฟงกชนพหนามซง g(1) = –2 , g′(1) = 12

, g′′(1) = –13

f ′ (–2) = –6 และ 3 f ′′ (–2) = f ′ (–2) จงหา (fog)¢¢(1)

ตวอยาง 7 กาหนดให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง

โดยท f(2x+1) = 24x 14x+ จงหาคาของ f(f (f (2553))′ ′′ (PAT1 ต.ค. 2553)


6. ความหมายของอนพนธเชงเรขาคณตวเคราะห

บทนยาม 4. กาหนดให y = f(x) เปนสมการเสนโคง

(1) เสนสมผสเสนโคงของ f ทจด P(x, y) จะมความชนเทากบ f ′(x)

(2) ความชนของเสนโคงของ f ณ จด P(x, y) คอ ความชนของเสนสมผสเสนโคง ณ จดP(x, y)

ดงนน ถากาหนดเสนโคง y = f(x) โดยมจด P(x1, y1) อยบนเสนโคง ซงทาใหหาคา f ′(x) ได

แลวเราสามารถหาสมการของเสนสมผสทสมผสเสนโคงทจด P ไดดงน

(1) หาความชนของเสนสมผสทจด P ซงเทากบ ………………….

(2) หาสมการเสนสมผสทจด P โดยใชสตร ………………………….…………………..

จากความรเกยวกบเรขาคณตวเคราะห “เสนตรงทตงฉากกน กตอเมอ ผลคณของความชนได –1”

เราจะไดสมการเสนตงฉากกบเสนโคงทจด P ดงน

(1) หาความชนของเสนตงฉากทจด P ซงเทากบ ……………………

(2) หาสมการเสนตงฉากทจด P โดยใชสตร ………………………………………..

ตวอยาง 1 กาหนดเสนโคง y = x2 – 3x จงหา

(1) สมการของเสนสมผสเสนโคงทจด P(3, 0)

(2) สมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนโคงทจด P(3, 0)

y

x

y = f(x)

P(x1, y1)

0

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|79 ตวอยาง 2 กาหนดเสนโคง y = 2x 2x 4- +

(1) ถา A เปนจดทเสนโคงตดกบเสนตรง x = 0 จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคงทจด A

(2) ถา B เปนจดทเสนโคงตดกบเสนตรง y = 3 จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคงทจด B

ตวอยาง 3 จงใหความหมายของขอความตอไปน

(1) ความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) มคาเทากบ 24 ทจด x = 4 ……………………….

(2) ความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด x = 6 มคาเทากบ –2 ……………………….

(3) ความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (1, 2) มคาเทากบ −3 ..……………………….

(4) ความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) มคาเทากบ 5 ทจด (3,4) …….……………………..

(5) ความชนของเสนโคง y = f(x) ท x = 7 เทากบ 12 …………………………………..….....

(6) ความชนของเสนโคง y = f(x) มคาเทากบ −11 ท x = −3 ……………...……………….....

(7) ความชนของเสนโคง y = f(x) ทจด (−2, 5) เทากบ −7 .………………….….………….....

(8) ความชนของเสนโคง y = f(x) มคาเทากบ −4 ทจด (9, 0) .………………..…….……….....

(9) เสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (2, 5) คอ 2x + y = 9 ...............................................

(10) เสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (–2, 1) ขนานกบเสนตรง y = 5x + 3

…………..….……………………………………………………………………………..

(11) เสนตรง y = 4x − 5 เปนเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (2, 3)

…………..….……………………………………………………………………………..

(12) เสนตรง 2x + y = 5 ขนานกบเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (3, –1)

…………..….……………………………………………………………………………..


ตวอยาง 4 กาหนดเสนโคง 3 1y 2x

x= − ทจดซง x = 1 จงหา

(1) สมการของเสนสมผสเสนโคง

(2) สมการของเสนทตงฉากกบเสนสมผส (PAT 1)

ตวอยาง 5 กาหนดเสนโคง f(x) = 25 x- จงหา

(1) จดบนเสนโคงททาใหเสนสมผสเสนโคง ณ จดนขนานกบเสนตรง x + 2y – 1 = 0

(2) สมการของเสนสมผสทจดทไดจากขอ (1)


ตวอยาง 6 กาหนดเสนโคง f(x) = 2

1x

จงหาพนทของรปสามเหลยมในควอดรนตทสอง

ซงปดลอมดวยแกน x แกน y และเสนสมผสเสนโคงของ f ณ จด ( 12

- , 4)

ตวอยาง 7 จงหาสมการของเสนสมผสวงกลม x2 + y2 = 1 โดยสมผสทจด P(12

- , 32

)

ตวอยาง 8 กาหนดสมการเสนโคง y = f(x) = 23x 4x 2+ +

จงหาสมการเสนสมผสเสนโคง f ′ ทจด x = 1

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|82 ตวอยาง 9 กาหนดให 1L เปนเสนตรงซงมสมการเปน 4x – 3y + 10 = 0

และ 2L เปนเสนสมผสเสนโคง 2 8 7y x x

3 3= - +

ถา 2L ขนานกบ 1L แลว ระยะหางระหวางเสนตรง 1L และ 2L เทากบเทาใด (PAT1)


เราสามารถนาความรเรองอนพนธไปประยกตใชกบปญหาตางๆ ได หลายลกษณะ ในทนจะกลาวถง

เพยง 6 หวขอ

(1) การเขยนกราฟของฟงกชน

(2) การหาคาสงสดและคาตาสดของฟงกชน

(3) กฎของโลปตาล

(4) การเคลอนทแนวเสนตรง

(5) อตราสมพทธ

(6) การประมาณคาดวยคาเชงอนพนธ

1. การเขยนกราฟของฟงกชน

ฟงกชนเพม ฟงกชนลด เวาขนและเวาลง

(Increasing and Decreasing Function and Concavity)

ในหวขอน เปนการนาความรเกยวกบอนพนธของฟงกชนมาประยกตในการเขยนกราฟของฟงกชน

โดยใชตรวจสอบลกษณะของฟงกชน 4 ลกษณะคอ

(1) ฟงกชนเพม (increasing function)

(2) ฟงกชนลด (decreasing function)

(3) เวาขน (concave upward)

(4) เวาลง (concave downward)

ฟงกชนเพมและฟงกชนลด

บทนยาม 5. กาหนดให A ⊂ R และ f เปนฟงกชนจาก A ไป R และ B ⊂ A จะกลาววา

(1) f เปนฟงกชนเพมบน B กตอเมอ

ถา x1 , x2 ∈ B และ x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)

(2) f เปนฟงกชนลดบน B กตอเมอ

ถา x1 , x2 ∈ B และ x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)


การตรวจสอบฟงกชนลดและฟงกชนเพม

ลกษณะกราฟของฟงกชนลดและฟงกชนเพม

จากความรเรองความชนของเสนสมผสเสนโคง การตรวจสอบฟงกชนเพมหรอลดดงน

ทฤษฎบท 2. กาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบน [a, b] และหาอนพนธไดบน (a, b)

(1) ถา f ′(x) > 0 สาหรบทก x ∈ (a, b) แลว f จะเปนฟงกชนเพมบน [a, b]

(2) ถา f ′(x) < 0 สาหรบทก x ∈ (a, b) แลว f จะเปนฟงกชนลดบน [a, b]

หมายเหต ขอความใน ทฤษฎบท 2. ยงคงเปนจรง เมอเปลยนชวงเปนชวงอนนต ตวอยางเชน

(1) กาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบน [a, ∞) และหาอนพนธไดบน (a, ∞)

ถา f ′(x) < 0, ∀ x ∈ (a, ∞) แลว f จะเปนฟงกชนลดบน [a, ∞)

(2) กาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบน (–∞, a] และหาอนพนธไดบน (–∞, a)

ถา f ′(x) > 0, ∀ x ∈ (–∞, a) แลว f จะเปนฟงกชนเพมบน (–∞, a]

ตวอยาง 1 กาหนดฟงกชน y = f(x) = x3 + x2 – 5x – 5

จงหาชวงททาให f เปนฟงกชนเพม และชวงททาให f เปนฟงกชนลด

x1

f(x1)

f(x2)

x2

y

X 0

ฟงกชนเพม ฟงกชนลด

x1

f(x1)

f(x2)

x2

y

X

0


การเวาขนและเวาลง

บทนยาม 6. กาหนดให f เปนฟงกชนทหาอนพนธท c ได

(1) กราฟของ f จะเปนเวาขน ทจด P(c, f(c)) กตอเมอ มชวงเปด (a, b) ซง c∈(a, b)

และทาใหกราฟของ f บน (a, b) อยเหนอเสนสมผสเสน โคงของ f ท P

(2) กราฟของ f จะเปนเวาลง ทจด P(c, f(c)) กตอเมอ มชวงเปด (a, b)ซง c∈(a, b)

และทาใหกราฟของ f บน (a, b) อยใตเสนสมผสเสนโคงของ f ท P

*** ลกษณะของกราฟของฟงกชนทเปนเวาขน ***

จากรปพบวา f ′(x) หรอความชนของเสนสมผสมคาเพมขนขณะ x มคาเพมขน

นนคอ f ′(x) เปนฟงกชนเพมบน (a, b)

*** ลกษณะของกราฟของฟงกชนทเปนเวาลง ***

จากรปพบวา f ′(x) หรอความชนของเสนสมผสมคาลดลงขณะ x มคาเพมขน

นนคอ f ′(x) เปนฟงกชนลดบน (a, b)

ขอสงเกต จากทฤษฎบท 2. และนยาม 6 กลาวไดวา

(1) ถาอนพนธอนดบทสอง f ′′ ของฟงกชน f มคาเปนบวกบนชวงหนง

แลวอนพนธอนดบทหนง f ′ ของ f จะเปนฟงกชนเพม ซงทาใหกราฟของ f เวาขนบนชวงนน

(2) ถาอนพนธอนดบทสอง f ′′ ของฟงกชน f มคาเปนลบบนชวงหนง

แลวอนพนธอนดบทหนง f ′ ของ f จะเปนฟงกชนลด ซงทาใหกราฟของ f เวาลงบนชวงนน

ทาใหไดขอสรปในการตรวจสอบเสนโคงวาเปนแบบเวาขนหรอเวาลง ดงน

x

y

0 a b c

P(c, f(c))

x

y

0 a b c

P(c, f(c))

x

y

0 a b c

P(c, f(c))

y

0 a b c

P(c, f(c))


การตรวจสอบการเวาขนและเวาลง

ทฤษฎบท 3. กาหนดให f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวง (a, b) และ c ∈ (a, b)

(1) ถา f ′′(c) > 0 แลว กราฟของ f จะเปนแบบเวาขน ทจด P(c, f(c))

(2) ถา f ′′(c) < 0 แลว กราฟของ f จะเปนแบบเวาลง ทจด P(c, f(c))

สาหรบจดของกราฟทเปนจดเปลยนจากเวาขนเปนเวาลง หรอเปลยนจากเวลงเปนเวาขน เราเรยก

จดนวา จดเปลยนความเวา ซงมนยามดงน

จดเปลยนความเวา (point of inflection)

บทนยาม 7. จด P(c, f(c)) บนกราฟของฟงกชน f จะเรยกวาเปนจดเปลยนความเวา

กตอเมอ มชวงเปด (a, b) ซง c ∈ (a, b) และทาใหขอใดขอหนงตอไปนเปนจรง

(1) f ′′(x) > 0 เมอ a < x < c และ f ′′(x) < 0 เมอ c < x < b

( P เปนจดเปลยนเวาขนเปนเวาลง)

(2) f ′′(x) < 0 เมอ a < x < c และ f ′′(x) > 0 เมอ c < x < b

( P เปนจดเปลยนเวาลงเปนเวาขน)

ลกษณะตาแหนงของจดเปลยนความเวา

จากนยาม เราอาจกลาวไดวา

ถา f ′′(c) หาคาได และ f ′′ เปนตอเนองท c และ P(c, f(c)) เปนจดเปลยนเวา แลว f ′′(c) = 0

วธการหาจดเปลยนความเวาและชวงท เวาลง เวาขน ของฟงกชน มขนตอนดงน

(1) หาคา c จากการแกสมการ f ′′(c) = 0

(2) เขยนเสนจานวน แลวจดคา c ทไดจากขอ (1) เรยงจากนอยไปมาก

(3) ตรวจสอบคา f ′′(x) วาเปลยนเครองหมาย ในแตละชวง (ทบ.3)

(4) P(c, f(c)) เปนจดเปลยนความเวา กตอเมอ f ′′(x) เปลยนเครองหมายบนชวงระหวาง c

จดเปลยนความเวา

เวาขน เวาลง เวาขน เวาขน เวาลง

y

x 0

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|87 ตวอยาง 2 กาหนดฟงกชน y = f(x) = x3 + x2 – 5x – 5 (โจทยตวอยาง 1)

(1) จงหาชวงททาให f เปนเวาขนบนชวงนน และ ชวงททาให f เปนเวาลงบนชวงนน

(2) จงหาจดเปลยนความเวา

(3) จงเขยนกราฟของฟงกชน

ขอควรระวง กราฟของ f ไมจาเปนตองมจด P(c, f(c)) เปนจดเปลยนความเวา ถงแมวา f ′′(c) = 0 กตาม

เชน ถากาหนดให f(x) = x4 (มกราฟดงรป)

x

y

(0, 0)


ตวอยาง 3 กาหนดฟงกชน f(x) = 2 2(x 1)−

(1) จงหาชวงททาให f เปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด

(2) จงหาชวงททาให f เปนแบบเวาขน และเปนแบบเวาลง

(3) จงหาจดเปลยนความเวา

(4) จงเขยนกราฟของ f


ตวอยาง 4 กาหนดฟงกชน f(x) = 5 3x 5x− จงวาดกราฟของ f(x)


2. คาสงสดสมพทธและคาตาสดของฟงกชน (Maximum and Minimum Value)

2.1 คาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธ (Relative Maxima and Minima)

บทนยาม 8. กาหนดให c เปนจานวนจรงทอยในโดเมนของฟงกชน f

(1) f(c) เปนคาสงสดสมพทธ ของ f ถามชวงเปด (a, b) ซง c ∈ (a, b) ททาให

f(c) ≥ f(x), ∀x ∈ (a, b) และเรยก (c, f(c)) วาเปนจดสงสดสมพทธ

(2) f(c) เปนคาตาสดสมพทธ ของ f ถามชวงเปด (a, b) ซง c ∈ (a, b) ททาให

f(c) ≤ f(x), ∀x ∈ (a, b) และเรยก (c, f(c)) วาเปนจดตาสดสมพทธ

ลกษณะของตาแหนงของจดทเปนจดสงสดสมพทธและจดตาสดสมพทธ

A(a, f(a)) เปนจดตาสดสมพทธ

B(b, f(b)) เปนจดสงสดสมพทธ

C(c, f(c)) เปนจดตาสดสมพทธ

D(d, f(d)) เปนจดสงสดสมพทธ

E(e, f(e)) เปนจดตาสดสมพทธ

ทฤษฎบท 4. ถาฟงกชน f มคาสงสดสมพทธ หรอตาสดสมพทธท c แลว

f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) หาคาไมได

จากทฤษฎบท 4. จะไดวา

(1) “ถา f ′(c) หาคาได และ f ′(c) ≠ 0 แลว f ′(c) จะไมเปนทงคาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธ”

(2) เสนสมผสของเสนโคง ณ จด c ทเปนจดสงสดสมพทธ หรอตาสดสมพทธ จะมความชนเทากบ 0

ซงทาใหเสนสมผสนนขนานกบแกน x หรออาจจะไมสามารถหาความชนได

(3) จานวนจรง c ท f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) หาคาไมได เรยกวาเปน คาวกฤต ของ f ดงนยาม

คาวกฤต (Critical Number)

บทนยาม 9. จานวนจรง c ทอยในโดเมนของฟงกชน f จะเรยกวาเปน คาวกฤต ของ f

ถา f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) หาคาไมได

ถา c เปนคาวกฤตของ f แลวจะเรยกจด (c, f(c)) วาเปน จดวกฤต ของ f

หมายเหต จดสงสดสมพทธ หรอจดตาสดสมพทธทกจดเปนจดวกฤต

แตจดวกฤตทกจดไมจาเปนตองเปนจดสงสดสมพทธ หรอจดตาสดสมพทธ

x

A

B

C E

D

y

0 e d c b a


ขนตอนในการหาจดสงสดสมพทธหรอตาสดสมพทธ

ขนท 1 หาคาวกฤต ซงหาจาก คา c ททาให f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) หาคาไมได

ขนท 2 นาคาวกฤต c ทไดจากขนท 1 ไปตรวจสอบวา f(c) เปนคาสงสดสมพทธหรอตาสดสมพทธ

วธท 1 การตรวจสอบโดยใชอนพนธอนดบหนง ( ดเครองหมายของความชนของเสนสมผส )

(1) ถาความชนเปลยนจากบวกไปเปนลบ จดดงกลาวเปนจดสงสดสมพทธ ดงรป

(2) ถาความชนเปลยนจากลบไปเปนบวก จดดงกลาวเปนจดตาสดสมพทธ ดงรป

วธท 2 ตรวจสอบโดยใชอนพนธอนดบทสอง (ดจากเครองหมายของ f ′′(x) )

วธทากคอ หาคา f ′′(x) แลวนาคา c ทเปนจดวกฤตไปแทนคา

ถา (1) f ′′(x) < 0 จดดงกลาวเปนจดสงสดสมพทธ

(2) f ′′(x) > 0 จดดงกลาวเปนจดตาสดสมพทธ

(3) f ′′(x) = 0 สรปไมได *** ตองใชวธการตรวจโดยวธท 1

หมายเหต วธท 2 น จะใชตรวจสอบเฉพาะคาวกฤต c ซง f ′(c) = 0 เทานน

จดวกฤต

f ′′(c) > 0

y

x

a c

f ′(c) = 0

คาวกฤต 0

จดวกฤต

y

x a b c

f ′(c) = 0

คาวกฤต 0

(c) < 0

จดวกฤต y

x b

f ′(c) = 0

คาวกฤต

เครองหมายของ f ′(x)

0

จดวกฤต

y

x b

f ′(c) หาคาไมได

คาวกฤต

เครองหมายของ f ′(x) 0

จดวกฤต

y

x

f ′(c) = 0

คาวกฤต

เครองหมายของ f ′(x)

0

จดวกฤต

y

x b

f ′(c) หาคาไมได

คาวกฤต

เครองหมายของ f ′(x) 0

a a

a ab

c c

c c

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|92 ตวอยาง 1 กาหนดใหฟงกชนในแตละขอตอไปน จงหา คาวกฤต จดวกฤต จดสงสดสมพทธและจด

ตาสดสมพทธ พรอมทงวาดกราฟของฟงกชน

(1) 3 2f(x) x 3x – 9x – 10= +

(2) 4 2f(x) x – 8x=

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|93 ตวอยาง 2 กาหนดให y = f(x) แตละขอเปนฟงกชนทหาอนพนธไดทก x ∈

จงใหความหมายของขอความตอไปน

(1) x = 2 เปนคาวกฤตของฟงกชน y = f(x) ………………………………………………..

(2) ฟงกชน y = f(x) ม x = −1,และ x = 1 เปนคาวกฤต ……………………………………..

(3) ฟงกชน y = f(x) มคาสงสดสมพทธท x = −3 ……………………………………………..

(4) ฟงกชน y = f(x) มคาตาสดสมพทธท x = 4 ………………………………………………

(5) ฟงกชน y = f(x) มคาสงสดสมพทธท x = 5 แตมคาตาสดสมพทธท x = 2 …………………

(6) จด (−2, 4) เปนจดสงสดสมพทธของ y = f(x) ……………………………………………..

(7) จด (−1, −1) เปนจดตาสดสมพทธของ y = f(x) ……………………………………………

(8) ให y = f(x) มคาสงสดสมพทธเทากบ 5 ทจด x = 1 ………………………………………..

(9) ให y = f(x) มคาตาสดสมพทธเทากบ 1 ทจด x = 5 ………………………………..………

(10) ให y = f(x) มคาสงสดสมพทธเทากบ 9 ทจด x = 3 และกราฟของฟงกชนผานจด (2, −3)

…………………………………………………………………………………………….

ตวอยาง 3 ให f(x) = 3x – 10 และ F(x) = (f g)(x) = ax2 + bx + c

ถา F(0) = 1 และ F มคาสงสดสมพทธท x = –2 เทากบ 5 จงหาคาของ g(1)

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|94 ตวอยาง 4 กาหนดให y = f(x) เปนฟงกชนพหนามซงมคาตาสดสมพทธเทากบ 3 ทจด x = 2

และมเสนตรง 3x + y – 7 = 0 เปนเสนสมผสกราฟทจด (1, 4)

ถา g(x) = 2x f(x) จงหาคา g (2) g (1)′ ′−

ตวอยาง 5 ให f เปนฟงกชนพหนามกาลงสาม ซงมคาสงสดสมพทธเทากบสามเทาของคาตาสดสมพทธ

และ f(0) = 2 ถา f มคาสงสดสมพทธท x = – 1 และมคาตาสดสมพทธท x = 1

จงหาf(4)


ตวอยาง 6 กาหนดให A, B Î ,B ≠ 0 และ 2

Ax 9 ; x 1f(x)

Bx Ax 5 ; x 1

+ ≤= + + >

ถา f เปนฟงกชนตอเนองททกๆ x และมคาตาสดสมพทธท x = 2 จงหาคาของ A + B

ตวอยาง 7 กาหนดใหกราฟของ อนพนธของฟงกชน f เปนดงรป

จากรป

(1) จงหาชวงท f เปนฟงกชนลด .................................................................................

(2) จงหาชวงท f เปนฟงกชนเพม................................................................................

(3) f มจดตาสดสมพทธทจดซง x มคาเทาใด ..................................................................

(4) f มจดสงสดสมพทธทจดซง x มคาเทาใด....................................................................

(5) จงหาชวงท f มกราฟเปนสวนของเสนตรง..................................................................

(6) จงหาชวงท f มกราฟขนานกบแกน X......................................................................

(7) จงหาคา x ทเปนคาวกฤต.......................................................................................

(8) จงหาคา x ของจดทเปนจดเปลยนเวา.........................................................................

Y

X0

2

2-

1 2 3 4 5 6

y f (x)¢=·

·

· ·

·

·(4,2)

(2, 2)-

·

7· ·


2.2 คาสงสดสมบรณและคาตาสดสมบรณ (Absolute Maxima and Minima)

จากรป

จะพบวา f(c) และ f(e) เปนคาสงสดสมพทธ

แตม f(c) เปนคาสงสดของ f(x) เมอ x ∈ [a, b]

ในขณะทม f(d) เปนคาตาสดสมพทธแตไมเปนคา

ตาสดของ f(x) เมอ x ∈ [a, b]

คาสงสดและคาตาสดของ f บน [a, b] ดงกลาวเราเรยกวาคาสงสดสมบรณและคาตาสดสมบรณ

ซงมนยามดงน

บทนยาม 10. กาหนดฟงกชน f ซงมโดเมนเทากบ D และ c ∈ D

(1) f มคาสงสดสมบรณท c เมอ f(x) ≤ f(c) สาหรบทก x ∈ D

(2) f มคาสงสดสมบรณท c เมอ f(x) ≤ f(c) สาหรบทก x ∈ D

จากความรเรองความตอเนองของฟงกชน เราจะไดวา

ทฤษฎบท 5. กาหนด f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] แลว จะม c, d ∈ [a, b]

ซงทาให f(c) เปนคาสงสดสมบรณ และ f(d) เปนคาตาสดสมบรณ ของ f


1. ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (a, b) หรอชวงครงเปด (a, b] , [a, b) แลว

อาจจะหาคาสงสดสมบรณหรตาสดสมบรณของ f ไมได เชน ตวอยางกราฟตอไปน

จากรป f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปด (a, b) จากรป f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปด (a, b)

จะไดวาคาตาสดสมบรณของ f คอ f(c) แตไมสามารถหาคาสงสดสมบรณและตาสดสมบรณ

แตไมสามารถหาคาสงสดสมบรณของ f ได ของ f ได

2. ถา f ไมตอเนองบน [a, b] กอาจจะไมมคาสงสดสมบรณ หรอตาสดสมบรณของ f

ดงตวอยาง เชน

จะพบวา โดเมนของ f คอ [–2, 2] แต f ไมตอเนองท 0 กราฟของ f จะเปนดงรป

จากรปจะพบวา ไมสามารถหาคาสงสดสมบรณและคาตาสดสมบรณของ f ได

x

y

0 e d c b a

x

y

0 c

f

b a

x

y

0

f

b a

1; 2 x 2 x 0

f(x) x0 ; x 0

ìïï - £ £ ¹ïï= íïï =ïïî

x

y

0 2

–2


ขนตอนการหาคาสงสดสมบรณและตาสดสมบรณ

กาหนดฟงกชนตอเนอง f บน [a, b] ดาเนนการหาคาสงสดสมบรณและตาสดสมบรณ ดงน

(1) หาคาสงสดสมพทธและตาสดสมพทธของ f ทกคา

(2) หาคา f(a) และ f(b)

(3) คาทมากทสดระหวางคาสงสดสมพทธ และ f(a), f(b) จะเปนคาสงสดสมบรณ

(4) คาทนอยทสดระหวางคาตาสดสมพทธ และ f(a), f(b) จะเปนคาตาสดสมบรณ

ตวอยาง 7 กาหนดฟงกชน y = f(x) = 3 21 1x x 2x

3 2+ - เมอ x ∈ [–3, 4]

จงหาคาสงสดสมบรณ และคาตาสดสมบรณ


ตวอยาง 8 กาหนดฟงกชน y = f(x) = 2/31 x- เมอ x ∈ [–1, 8] จงหา

(1) คาสงสดสมพทธ และคาตาสดสมพทธ

(2) คาสงสดสมบรณ และคาตาสดสมบรณ


2.3 โจทยประยกตเกยวกบคาสงสดและคาตาสด

เราสามารถนาความรเกยวกบการหารคาสงสดสมบรณและตาสดสมบรณมาแกโจทยปญหาท

เกยวกบคาสงสดและคาตาสดได ซงมแนวทางในการแกปญหาดงน

1. พจารณาวาโจทยปญหานตองการใหหาคาสงสดหรอตาสด ใหกาหนดสงนนเปนตวแปรตวทหนง

เชน สมมตใหเปน y

2. พจารณาตอไปวา คา y ขนอยกบคาอะไร และคาเหลานคงตวหรอไม ถาไมคงตวเราจะตอง

สมมตตวแปรสาหรบคาเหลาน เชนสมมตใหเปน x คาของ y จะขนอยกบคาของ x นนเอง

3. เขยนสมการ แสดงความสมพนธระหวาง y กบ x โดยการเขยนคา y ในรปของ x ดงนนใน

ขนนเราจะได y = f(x)

4. หาคาสงสดของ y หรอคาตาสดของ y โดยใชกระบวนการการหาคาสงสดสมบรณหรอคาตาสด

สมบรณของ f

ตวอยาง 1 กลองรปทรงสเหลยมมมฉากใบหนงไมมฝาปดดานบน และกนเปนรปสหลยมมมฉาก ทา

จากกระดาษแขงสเหลยมมมฉาก กวาง 16 เซนตเมตร และยาว 21 เซนตเมตร โดยการ

ตดมมทงสออกเปนรปสเหลยมจตรส แลวพบขนไปเปนกลอง จงหาขนาดของรปสเหลยม

จตรสทตดออกไป ซงทาใหกลองทได มปรมาตรมากทสด

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|100 ตวอยาง 2 จงหาปรมาตรทมากทสดของรปทรงกระบอกฐานกลม ซงสามารถบรรจอยภายในกรวยกลมท

มความสงตรงยาว 12 เซนตเมตร และรศมของฐานยาว 4 เซนตเมตร ถาแกนของกรวย

กลมและทรงกระบอกอยในแนวเดยวกน

ตวอยาง 3 พอคาตลาดนด ทราบวาถาเขาตงราคาถงเทาราคาคละ 20 บาท ในหนงเดอน เขาจะขาย

ได 1,000 ค ถาเขาลดราคละ 1 บาท เขาจะขายไดเพมขนเดอนละ 100 ค ถาเขาลด

ราคาคละ 2 บาท เขาจะขายไดเพมขนเดอนละ 200 ค เปนเชนนเรอยๆไป อยากทราบวา

เขาควรจะตงราคาถงเทาคละเทาไรจงจะไดเงนจากการขายมากทสดในหนงเดอน

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|101 ตวอยาง 4 ชายคนหนงพายเรอในทะเลแหงหนง ซงมชายหาดเปนแนวเสนตรง เขาอยหางจากจด B

ซงเปนจดชายฝงทอยใกลเขามากทสดเปนระยะทาง 2 กโลเมตร และเขาตองการเดนทางไป

ใหถงจด C ซงเปนจดบนชายฝง ระดบเดยวกบ B 6 กโลเมตร ถาชายคนนพายเรอดวย

อตราเรว 3 กโลเมตรตอชวโมง และวงดวยความเรว 5 กโลเมตรตอชวโมง จงหาวาเขาควร

พายเรอไปขนฝง ณ จดใดแลววงตอไปใหถง C ซงทาใหใชเวลานอยทสด


3. กฎของโลปตาล (L′Hospital’s Rule)

การหาอนพนธสามารถใชคานวณหาลมตของฟงกทอยในรปแบบทไมกาหนด(Indeterminate Forms)

ตางๆ ดงน


(1) ถา f (x)g (x)

′′

ยงอยในรปทไมกาหนดอก เราสามารถใชกฎโลปตาลซาแตไปเรอยๆ กลาวคอ

(n)

(n)x a x a x a x a

f(x) f (x) f (x) f (x)lim lim lim ... lim

g(x) g (x) g (x) g (x)→ → → →

′ ′′= = = =

′ ′′

(2) ถาฟงกชนเมอแทนคาลมตแลวอยในรป 0 ∞ , ∞ – ∞ , 00 , 0¥ หรอ 1¥

ตองทาใหอยในรปของ 00

หรอ ∞∞

แลวจงใชกฎของโลปตาล

ตวอยาง 1 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน

(1) 5

4x 2

x 32lim

x 2x 12®

-

- - (2)

100

x 1

x 1lim

1 x®

--

(3) 5

3x 2

x x 30lim

x 8®-

+ +

+ (4)

5x 1

x 1lim

x 1→

−

+

กฎของโลปตาล

ถา f(x) และ g(x) ตางกมคาเปนศนย หรอไมนยามทจด x = a

นนคอ อยในรปของ หรอ แลว

เมอ หาคาได


ตวอยาง 2 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน

(1) x 0

sin xlim

x→ (2)

x

ln xlim

x→∞

(3) x

2x

elim

x 2x→∞ + (4)

2

xx

5x 1lim

e→∞

+

(5) 2x 0

1 1lim( )

1 cos xsin x→−

−


4. การเคลอนทแนวเสนตรง(Motion Along a Line)

ความเรว ความเรง (Velocity and Acceleration)

กาหนดใหวตถเคลอนทตามแนวเสนตรง โดยมสมการเคลอนท y = s(t)

เมอ y แทนระยะทางทวตถอยหางจากจดคงทจดหนงในขณะเวลา t แลว

ความเรวเฉลย ของวตถ จาก t1 ถง t2 หมายถง อตราการเปลยนแปลงระยะทางของวตถ

จาก t1 ถง t2 มคา เทากบ 2 1

2 1

s(t ) s(t )

t t

-

-

ความเรงเฉลย ของวตถ จาก t1 ถง t2 หมายถง อตราการเปลยนแปลงความเรวของวตถ

จาก t1 ถง t2 มคา เทากบ 2 1

2 1

v(t ) v(t )t t

--

ความเรว ของวตถในขณะเวลา t ใดๆ หมายถง อตราการเปลยนแปลงระยะทางของวตถ

ในขณะเวลา t ใดๆ มคา เทากบ ds

f (t) v(t)st

¢= =

ความเรง ของวตถในขณะเวลา t ใดๆ หมายถง อตราการเปลยนแปลงความเรวของวตถ

ในขณะเวลา t ใดๆ มคา เทากบ dv

v (t) a(t)st

¢= =

อตราเรวเฉลยของวตถ หมายถงคาสมบรณของความเรวเฉลยของวตถ

อตราเรวของวตถ หมายถงคาสมบรณของความเรวของวตถ

อตราเรงของวตถ หมายถงคาสมบรณของความเรงของวตถ

ขอสงเกต 1. อตราเรวเฉลย อตราเรว อตราเรงเฉลย และอตราเรง เปนปรมาณสเกลาร

2. ความเรวเฉลย ความเรว ความเรงเฉลย และความเรง เปนปรมาณเวกเตอร

มเครองหมายแสดงทศทาง

3. y = s(t) เปนความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาถงแมมกราฟเปนเสนโคง

ไมไดหมายความวาวตถเคลอนทตามเสนโคงนน

สมการเคลอนท

y = s(t)

ความเรว

ความเรง

อนพนธ อนพนธ


ความหมายของเครองหมายของความเรวและความเรง

ความหมายของเครองหมายกเชนเดยวกนกบทกลาวไปแลวกบเรอง ฟงกชนเพม ฟงกชนลด

เพราะความเรวเปนอนพนธของระยะทาง (s) และความเรงเปนอนพนธของความเรว (v) ซงสรปไดดงน

(ทางขวา)

กาหนดให s(t) = แทนระยะทางของวตถทอยหางจากจดคงทจดหนงในขณะเวลา t

v(t) = แทนความเรวของวตถในขณะเวลา t

a(t) = แทนความเรงของวตถในขณะเวลา t

ถา v(t) > 0 แลว วตถจะเคลอนทโดยทาให s มคาเพมขน (s เปนฟงกชนเพมท t)

ถา v(t) < 0 แลว วตถจะเคลอนทโดยทาให s มคาลดลง (s เปนฟงกชนลดท t)

ถา a(t) > 0 แลว วตถจะเคลอนทโดยทาให v มคาเพมขน (v เปนฟงกชนเพมท t)

ถา a(t) < 0 แลว วตถจะเคลอนทโดยทาให v มคาลดลง (v เปนฟงกชนลดท t)

การวเคราะหทศทางการเคลอนท :

พจารณาจากเครองหมายของ v(t) เชน

การวเคราะหหาชวงเวลาทวตถเคลอนทเรวขนหรอชาลง :

ดจากเครองหมายของ v(t) และ a(t) ดงน

(1) ถา v(t) และ a(t) มเครองหมายเหมอนกนแลว วตถจะเคลอนทโดยทาใหอตราเรวเพมขน

(2) ถา v(t) และ a(t) มเครองหมายตางกน แลว วตถจะเคลอนทโดยทาใหอตราเรวลดลง

เชน

จดคงท ทศทางบวก

s(t)

0 +++ – – – ––

การเคลอนท

เครองหมายของ v(t)

= 0

+++

0

1t 2

t

t

+ + + + – – – – – – – –

เครองหมายของ a(t)

+ + + + เครองหมายของ v(t) 0

3t

+ + + + + + + – – – – – – – –

เรวขน เรวขน ชาลง ชาลง

วตถไมเคลอนท


การวเคราะหการเคลอนท :

เนองจาก a(t) เปนอนพนธอนดบสองของ s(t) ดงนน เราสามารถใชความรเรองคาสงสดสมพทธ

หรอตาสดสมพทธ ในการพจารณาการเคลอนทของวตถได ตวอยางเชน

(1) ถา v(t1) = 0 และ a(t1) > 0 แลว จะไดวา s(t1) เปนคาตาสดสมพทธ

แสดงวา ณ เวลา t1 คาของ s จะเปลยนจากฟงกชนลดไปเปนฟงกชนเพม

วตถเคลอนทไปทางซาย แลวเปลยนไปทางขวามอ

(2) ถา v(t1) = 0 และ a(t1) < 0 แลว จะไดวา s(t1) เปนคาสงสดสมพทธ

แสดงวา ณ เวลา t1 คาของ s จะเปลยนจากฟงกชนเพมไปเปนฟงกชนลดลง

วตถเคลอนทไปทางขวา แลวเปลยนไปทางซายมอ

ตวอยาง 1 กาหนดใหวตถเคลอนทตามแนวเสนตรง มสมการการเคลอนท s(t) = 31t 2t

2- จงหา

(1) ความเรวเฉลยและอตราเรวเฉลยของวตถ จาก t = 0 ถง t = 1

(2) ความเรวและอตราเรวของวตถในขณะทเวลา t = 1

s ลดลง

s เพมขน t=t1

s ลดลง

s เพมขน

t=t1

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|107 ตวอยาง 2 ถาโยนลกบอลลกหนงขนไปตามแนวดง มสมการการเคลอนท s(t) = –16t2 + 96t

เมอ s เปนระยะทาง(ฟต) ทลกบอลอยสงจากจดโยนในขณะเวลา t วนาท จงหา

(1) ความเรวของลกบอลในขณะเวลา t = 2 วนาท

(2) อตราเรวของลกบอลในขณะเวลา t = 4 วนาท

(3) ระยะทางทลกบอลขนไปสงสด

ตวอยาง 3 กาหนดใหวตถเคลอนทตามแนวเสนตรง โดยมสมการการเคลอนท

s(t) = t3 – 6t2 + 9t + 4 ; 0 ≤ t ≤ 5 จงหา

(1) ชวงเวลาทวตถเคลอนท โดยทาให s มคาเพมขน

(2) ชวงเวลาทวตถเคลอนท โดยทาให s มคาลดลง

(3) เวลาทวตถเคลอนท โดยทาให s มคามากทสด และนอยทสด

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|108 ตวอยาง 4 วตถอนหนงเคลอนทตามเสนตรง โดยมสมการการเคลอนท

s(t) = t3 – 9t2 + 24t

จงหา (1) ความเรงเฉลย จาก t = 2 ถง t = 4

(2) ความเรงของวตถเมอ t = 3

(3) อตราเรงของวตถเมอ t = 2.5

(4) ในขณะเวลาท t = 1 วตถมอตราเรวเพมขนหรอลดลง

ตวอยาง 5 วตถ P เคลอนทตามแนวเสนตรง โดยมสมการการเคลอนท

s(t) = t3 – 12t2 + 36t – 20

เมอ t เปนเวลา(วนาท) และ s(t) เปนระยะทางมหนวยเปนเซนตเมตร

จงอธบายลกษณะการเคลอนของ P เมอ t ∈ [–1, 9]

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|109 ตวอยาง 6 ถาวตถอนหนงเคลอนทตามแนวนอน โดยมสมการการเคลอนท

s(t) = t4 – 6t3 + 12t2 – 10t + 3 เมอ t ≥ 0

เมอ t เปนเวลา(วนาท) และ s(t) เปนระยะทางมหนวยเปนเมตร

จงหา (1) ชวงเวลาททาใหความเรวเพมและชวงเวลาททาใหความเรวลด

(2) ชวงเวลาททาใหอตราเรวเพมและชวงเวลาททาใหอตราเรวลด

(3) เวลาทวตถเปลยนทศทางของการเคลอนท

(4) จงเขยนลกษณะการเคลอนทของวตถ


5. อตราสมพทธ (Related Rates)

อตราสมพทธ คอ ความสมพนธระหวางอตราการเปลยนแปลงของสงสองสงเมอเทยบกบเวลา

สมมตให x และ y แทนปรมาณของสงของสองสงทแปรผนตามเวลา t และมความสมพนธกนดวย

สมการ f(x, y) = 0

dxdt

แทนอตราการเปลยนแปลงของ x เทยบกบเวลา t

dydt

แทนอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบเวลา t

จดมงหมาย คอ เมอเราทราบอตราการเปลยนแปลงของ x หรอ ของ y อยางใดอยางหนง เราจะ

หาอตราการเปลยนแปลงของสงทเหลอไดอยางไร

เครองมอสาหรบการคานวณ คอ การหาอนพนธโดยปรยาย โดยใหถอวาทง x และ y เปนฟงกชน

ของ t

เชน

ตวอยาง 1 ถาปมลมใสลกบอลลนทรงกลมใบหนงพบวา ปรมาตรของลกบอลลนเพมขนดวยอตรา

150 ซม. 3 / วนาท จงหาวารศมของลกบอลลนนจะเพมขนดวยอตราเทาใด ในขณะทเสน

ผานศนยกลางของบอลลนยาว 50 ซม.

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|111 ตวอยาง 2 บนไดตรงอนหนงยาว 5 เมตร วางพงกบกาแพงทอยในแนวตงฉากกบพน ถาบนไดเลอนออก

จากกาแพงโดยใหปลายดานทตดอยกบพนเลอนออกจากกาแพงดวยอตราเรว 2 เมตรตอ

วนาท ในขณะทปลายบนไดดานนนอยหางจากกาแพง 4 เมตร จงหาวาในขณะนนปลาย

บนไดอกดานหนงจะเลอนลงมาดวยอตราเทาใด

ตวอยาง 3 ถงนาใบหนงมรปทรงเปนกรวยกลม โดยมยอดแหลมอยดานลาง ดงรป มสวนสง 4 เมตร

และรศมฐาน 2 เมตร ถาเปดนาลงในถงดวยอตรา 2 ลบ.เมตรตอนาท

ในขณะทมนาในถงลก 3 เมตร จงหา

(1) อตราการเปลยนแปลงของสวนสงของระดบนาในถง

(2) อตราการเปลยนแปลงของรศมของผวนาในถง

กาแพง

พน

บนได


6. การประมาณคาดวยคาเชงอนพนธ (Approximation with Differential)

จากสญลกษณ dyf (x)

dx′= แทนอนพนธ(derivative) ของ f(x) เทยบกบตวแปร x เราถอวา dy

dx

เปนตวแปรหนงทแทนปรมาณอยางหนง ไมไดถอวาเปนอตราสวนของปรมาณสองปรมาณ

แตในหวขอนเราจะกาหนดตวแปร dx และ dy แทนปรมาณ โดยเรยกตวแปรทงสองวา คาเชง

อนพนธของ x และของ y (differential of x and of y) ตามลาดบ ซงเมอนามาหาอตราสวน จะเทากบ

f (x)′ ซงคาเชงอนพนธดงกลาวจะมประโยชนตอการหาคาโดยประมาณ

ฃฃฃฃ

ความหมายทางเรขาคณตของคาเชงอนพนธ

กาหนดให y = f(x) มจด P และ Q อยบนกราฟ โดย P(x, f(x)) และ Q(x+x, f(x+x))

เมอ x คอ การเปลยนแปลงของ x

y คอ การเปลยนแปลงของ y บน y = f(x)

นนคอ y = f(x + x) – f(x)

เนองจาก ความชนเสนสมผส PR เทากบ dy

f (x)dx

′ =

ดงนน ระยะทางทมทศทาง จาก S ไป R เทากบ dy = f (x)dx′

ถากาหนดให dx = x ดงนน เมอในขณะท x มคานอยๆ แลว dy ≈ y

และดวยเหตทเราคานวณหา dy ไดงายกวา จากสตร dy f (x)dx′=

ดงนนหากคาของ dx = x มคานอยๆ เราสามารถใชคาของ dy เปนคาโดยประมาณของ y โดย

วธการดงทจะกลาวตอไปน

บทนยาม ให y = f(x) เปนฟงกชนทหาอนพนธได

dx แทนคาเชงอนพนธของตวแปรอสระ x (differential of x)

dy แทนคาเชงอนพนธของตวแปรตาม y (differential of y)

ซงสอดคลองกบสมการ dy = f ′(x) dx

y

x 0

dx =x

x x + x

y = f(x)

P

Q

R dy

y

S


วธการประมาณคาฟงกชน

กาหนดฟงกชน y = f(x) และ a Î ทสามารถหา f(a) ได

เราตองการหา f(a + x) เมอ x มคานอยมากๆ

เนองจาก f(a + x) – f(a) = y ⇒ f(a + x) = f(a) + y

ดงนนหาก x มคานอยมากๆ จะได y ≈ dy แต dy f (x)dx′= ดงนน

ตวอยาง 1 จงใชความรเรองอนพนธ หาคาโดยประมาณของ 5 33

ตวอยาง 2 จงใชความรเรองอนพนธ หาคาโดยประมาณของ ln10.2

f(a x) f(a) f (a)dx′+ ∆ ≈ +


1. ปฏยานพนธ (Antiderivative) เราไดศกษาวธการหาอนพนธของฟงกชนทกาหนดใหไปแลว ในบทน เราจะกลาวถงการดาเนนการ

ทถอวาเปนการดาเนนการผกผนของอนพนธ กลาวคอ ถากาหนดฟงกชน f เราตองหาฟงกชน F ทม

อนพนธเทากบ f

บทนยาม 1 กาหนดฟงกชน f จะเรยกฟงกชน F วา ปฏยานพนธ ของ f เมอ

F′(x) = f(x)

สาหรบทก x ในโดเมนของ f

จากนยามจะพบความสมพนธระวางการดาเนนการ การหาอนพนธ(derivative) และ

การหาปฏยานพนธ(antiderivative) ดงน

ตวอยาง กาหนด f ดงตอไปน จงหา F ทเปนปฏยานพนธของ f

(1) f(x) = 2x

(2) f(x) = 5 3x

กาหนด f(x)

หา f ′(x)

หา f(x)

กาหนด

การหาอนพนธ

การหาปฏยานพนธ


2. อนทกรลไมจากดเขต (Indefinite Integral)

ขนตอนการหาปฏยานพนธทไดกลาวไปแลวเราเรยกวา การอนทเกรต(integration) เรยกผลทไดวา

อนทกรล(intregral)หรอปรพนธ ซงมฟงกชน F(x) ทเปนปฎยานพนธของ f(x) ไดมากมาย ตางกนเพยงพจนคา

คงตวเทานน นนคอ

ถา F(x) เปนปฏยานพนธของ f(x) แลว F(x) + C เปนปฏยานพนธของ f(x)

เราเรยก F(x) + C ทเปนรปทวไปของปฏยานพนธของ f(x) วา อนทกรลไมจากดเขตของ f(x) ดงนยาม

บทนยาม 2 กาหนดฟงกชน f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง

และ F(x) เปนฟงกชนซง F′(x) = f(x) สาหรบทกๆ x ในโดเมนของ f

อนทกรลไมจากดเขตของ f(x) เขยนแทนดวยสญลกษณ f(x)dx∫ ซงนยามวา

f(x)dx F(x) C∫ = + เมอ C เปนคาคงตว

สญลกษณ f(x)dx∫ อานวา “อนทกรล(ปรพนธ)ไมจากดเขตของ f(x) เทยบกบตวแปร x” หรออานวา

“อนทกรลของเอฟเอกซ” และเรยกสวนประกอบของ f(x)dx∫ ดงน

(1) สญลกษณ ∫ เรยกวา เครองหมาย “อนทกรล” (integral)

(2) สญลกษณ f(x) เรยกวา “ตวถกอนทเกรต” (integrand)

(3) สญลกษณ dx เปนสวนทบอกใหเราทราบวา เปนการอนทเกรตเทยบกบตวแปร x

สตรการหาอนทกรลไมจากดเขต ให k และ C เปนคาคงตว

∫ k du = ku + C

∫ nu du = n 1u

Cn 1

++

+, n ≠ –1

∫ kf(u) du = k ∫ f(u) du

∫ [ f(u) ± g(u) ] du = ∫ f(u) du ± ∫ g(u) du

∫ sin u du = – cos u + C

∫ cos u du = sin u + C

∫ 2sec u du = tan u + C

∫ 2cos ec u du = – cot u + C

∫ sec u tan u du = sec u + C

∫ cosec u cot u du = – cosec u + C

∫ ua du = ua

ln a + C

∫ ue du = ue + C

∫ 1u

du = ln |u| + C ; u ≠ 0

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|116 ตวอยาง 1 จงหาอนทกรลไมจากดเขต ตอไปน

(1) 1 dxò (2) 7 dxò

(3) 1 dx2ò (4) 3 dx-ò

(5) x dxò (6) 2x dxò

(7) 3x dxò (8)

12x dxò

(9) 2x dx-ò (10)

23x dx

-ò

(11) 512x dxò (12)

143x dx

--ò

(13) 3x x dxò (14) 2

2dx

x xò


(15) 2(3x x 2) dx+ -ò

(16) 3 2(12x 3x 2x 4) dx- + -ò

(17) 5/2 1/5

2 1( 2) dxx x

+ -ò

(18) 33

x 1( x ) dx2 x

- +ò


(19) ( )2x 3x 4 dx +ò

(20) ( )22x 3 dx+ò

(21) 4 2

4

x 6x 7dx

x

+ -ò

(22) 2(1 x)

dxx

+ò


(23) ∫ 2

4

(1 x)

x

+dx (24) ∫ ( 2x 1− )(2x + 1) dx

(25) ∫ ( cos x + sin x ) dx (26) ∫ ( xe + cos x) dx

(27) ∫ (1x

+ x) dx (28) ∫ (2x 2x 3

x+ −

) dx

(29) ∫ (e x + cos x – sec2 x) dx (30) ∫ ( x2 + 2x

) dx


ความสมพนธระหวางการอนทกรลไมจากดเขตกบการอนพนธ

f '(x) dx f(x) c= +ò

ตวอยาง 2 จงหาหาคาตอบแตละขอตอไปน

(1) กาหนดให 2f (x) 3x 4x 6′ = − + จงหา f(x) ททาให f(1) = 7

(2) กาหนดให 2f (x) 6x 2x 1′ = − + จงหา f(x) ททาให f(2) = 3

(3) กาหนดให 2 1f (x) 3x x

2′ = − − โดยท f(1) = 0 จงหา f(−1)

(4) กาหนดให f (x) 4x 3′ = + โดยท f(−2) = 5 จงหา f(2)

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|121 ตวอยาง 3 จงหาหาคาตอบแตละขอตอไปน

(1) กาหนด f (x) 4x 8¢¢ = + โดยท f (1) = 0¢ และ f(2) 1= จงหา f(−1)

(2) กาหนด 2f (x) 6x 10¢¢ = - โดยท f (2) = 3¢ - และ f(2) 1= จงหา f(1)

ตวอยาง 4 จงหาหาคาตอบแตละขอตอไปน

(1) กาหนดให y = f(x) โดยท 2f (x) 12x 4¢¢ = - และจด (0, 1) เปนจดสงสดสมพทธ

จงหา f(2)

(2) กาหนดใหความชนของ f ¢ เทากบ 6x − 2 และ f มคาตาสดสมพทธเทากบ 7 ท x = 1

จงหา f(0)


ตวอยาง 5 กาหนดให 2f (x)=3ax 2bx 2¢ + + เมอ a, b เปนจานวนจรง

ถา f(0) = –2 , f ′ (1) = 5 และ f ′′(0) = –12

จงหาสมการเสนสมผสของเสนโคง f ท x = 1

ตวอยาง 6 กาหนดให 2f (x) x 4x 3¢ = - +

ถากราฟของ f ผานจด (1, 7) จงหาคาสงสดสมพนธ และตาสดสมพทธของ f


ตวอยาง 7 กาหนดให f เปนฟงกชน ซง f′′(x) = 2x + 1

ถาคาสงสดสมพทธของ f เทากบ 12

ท x = – 1 จงหาคาตาสดสมพทธของ f

ตวอยาง 8 กาหนดให 2

2 3f (x) 2x 4x 1′ = − + และ g(x) = 21 x− ถา (fog)(1) = 1 จงหา f(x)


ตวอยาง 9 กาหนด f(x) = 2(3x 2) dx−∫ และ g(x) = 4x 2xf '(x)+

จงหา g′(2)

ตวอยาง 10 กาหนดให f(x) = 3x + 1 และ (fog)′(x) = 23x 1+

ถา g(0) = 1 และ G′(x) = g(x) จงหา G(1) – G(0)


ตวอยาง 11 กาหนดให f(x) = 3 2ax bx 2x – 2+ + เมอ a, b เปนจานวนจรง

ถา f ′ (1) = 5 และ f ′′(0) = –12 จงหาสมการเสนสมผสของเสนโคง f ท x = 0

ตวอยาง 12 ใหเสนโคงซงมสมการ y = f(x) มอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคงทจดใด ๆ

เทากบ x – 2 และความชนของเสนโคงนทจด (2, 43

) มคาเทากบ 3

ถา f มความชนทจด (a, b) เทากบ 11 จงหา a + b


เทคนคการอนทเกรต***

1. การอนทเกรตดวยการแทนคา(Integration by Substitution)

เปนเทคนคการอนทเกรตสาหรบการหาอนทกรลในรปแบบ

f(g(x)) g '(x)dx∫

ซงมสตรดงน

ตวอยาง 1 จงหาอนทกรลไมจากดเขต ตอไปน

(1) 52(2x 1) dx+ò

(2) 23(2 3x) dx--ò

(3) 4(3x 2) dx+ò

f(g(x)) g '(x)dx∫ = ∫ f(u) du

เมอ u = g(x) และ du = g′(x)dx


(4) ò x(1 + x2 )10 dx

(5) 2x 1 dx+ò

(6)

3

2

xdx

x 1+ò


(7) 3 2(x x) x 1dx- +ò

(8) ∫ 2xe2 dx

(9) ∫ cos 2x dx

(10) ∫ sin x cos 4 x dx

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|129 2. การอนทเกรตทละสวน (Integration by Parts)

เปนเทคนคการอนทเกรตสาหรบการหาอนทกรลในรปแบบผลคณของฟงกชนพชคณต

หรอฟงกชนอดสย เชน ∫ 2x ln x dx , ∫ x xe dx เปนตน ซงการหาอนทกรลนไมสามารถหาโดยใช

การอนทเกรตดวยวธการแทนคาได

ซงมสตรดงน

วธการอนทเกรตทละสวนดวยสตรน อาศยกาจดตวอนทเกรตใหอยในรปหนงทจะชวยให

อนทเกรตได โดยอาศยการเลอก u และ dv ทเหมาะสม ใหนกเรยนสงเกตการเลอก u และ dv จาก

ตวอยางประกอบ


(1) ∫ ln x dx (2) ∫ x xe dx

(3) ∫ x 2 xe dx (4) ∫ x 2 ln x dx

∫ u dv = uv – ∫ v du

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|130 3. การอนทเกรตดวยการแยกเศษสวนยอย

(Integration by Method of Partial Fraction)

เปนการอนทเกรตฟงกชนตรรกยะโดยการทาใหเปนเศษสวนยอย ซงกอนถงตวอยางการหา

อนทกรลดวยวธน จะใหหลกการ การแยกเศษสวนยอยของฟงกชนตรรกยะ ดงน

จาก F(x) = P(x)Q(x)

พจารณา Q(x)

รปแบบท 1 : ถา Q(x) แยกตวประกอบเปนพหนามดกรหนงทไมซากน

จะไดเศษสวนยอยในรป A

ax b+ เมอ A เปนคาคงตว

เชน 5x 3

(x 1)(x 2)−

− + =

A Bx 1 x 2

+- +

เมอ A, B เปนคาคงตว

รปแบบท 2 : ถา Q(x) แยกตวประกอบเปนพหนามดกรหนงทซากน

จะไดเศษสวนยอยในรป 1 2 k2 k

A A A...

ax b (ax b) (ax b)+ + +

+ + +

เมอ A1, A2, … , Ak เปนคาคงตว

เชน 3x 3

(x 2)

+

+ = 1 2 3

2 3A A A

x 2 (x 2) (x 2)+ +

+ + +

เมอ A1, A2, A3 เปนคาคงตว

รปแบบท 3 : ถา Q(x) แยกตวประกอบเปนพหนามดกรสองทไมซากน

จะไดเศษสวนยอยในรป 2Ax B

ax bx c

+

+ + เมอ A, B เปนคาคงตว

เชน 1 1 2 22 2 2 2

2x 3 A x B A x B

(x 1)(x x 2) x 1 x x 2

− + += +

+ − + + − +

เมอ A1, A2, B1 และ B2 เปนคาคงตว

รปแบบท 4 : ถา Q(x) แยกตวประกอบเปนพหนามดกรสองทไมซากน

จะไดเศษสวนยอยในรป

1 1 2 2 k k2 2 2 2 kA x B A x B A x B

...ax bx x (ax bx x) (ax bx x)

+ + ++ + +

+ + + + + +

เมอ A1, A2, … , Ak และ B1, B2, … , Bk เปนคาคงตว

เชน 1 1 2 22 2 2 2 2

3x 4 A x B A x B

(x 1) x 1 (x 1)

− + += +

+ + +

เมอ A1, A2, B1 และ B2 เปนคาคงตว

หมายเหต แต ณ ทน จะขอเสนอตวอยางทไมอยากเกนไปสาหรบม.ปลาย สวนทเหลอ

สามารถศกษาไดจากหนงสอแคลคลสเบองตนในระดบปรญญาตรได


ตวอยาง 3 จงเขยน 25x 1

x x 2

+

+ - ใหอยในรปผลบวกของเศษสวนยอย


(1) 3(x 2)

x(x 1)(x 3)+

- +∫ dx

(2) 21

dxx 5x 6+ +

∫


3. การประยกตของอนทกรลไมจากดเขต

3.1 การประยกตเกยวกบเรขาคณต

กาหนดให y = f(x) เปนสมการเสนโคง เราจะพบความสมพนธระหวางการหาอนพนธกบ

การหาอนทกรล ในเชงเรขาคณต ดงแผนภาพน

อยางไรกตาม เนองจากสมการ (1) ทไดออกมายงตดคาคงท c อย หมายความวามหลายเสน

โคง ทใหความชนเทากน เราจะเรยกสมการเสนโคงทไดจากการอนทเกรต จะเปนสมการของ ระบบเสน

โคง ไมใชเปนสมการของเสนโคงเสนหนงสเนใดโดยเฉพาะ แตสามารถหาสมการทเฉพาะไดโดยการเพม

เงอนไขบางอยางลงไป

ตวอยาง 1 จงหาสมการของระบบของเสนโคงทมความชน ณ จด (x, y) ใดๆ เทากบ 2

สมการเสนโคง

f(x)

ความชนของเสนโคง

ณ จด (x, y) บนเสนโคง

= f ′(x)

อตราการเปลยนแปลงความชน

ของเสนโคง ณ จด (x, y)

บนเสนโคง

= f ′′(x)

อนพนธ

อนทเกรต

อนทเกรต อนพนธ

การหาสมการเสนโคงเมอกาหนดความชน

กาหนด dydx

= f ′(x)

เขยนใหมไดเปน dy = f ′(x) dx

อนทเกรตทงสองขาง ∫ dy = ∫ f ′(x) dx

จะไดสมการ y = f(x) + c ....(1)

หมายเหต : แตถาโจทยกาหนดอตราการเปลยนแปลง

ความชนของเสนโคงกหาความชนกอนแลว

จงหา f(x) ดวยวธการเดยวกน

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|133 ตวอยาง 2 จงหาสมการเสนโคงตามเงอนตอไปน

(1) เสนโคงทมความชน ณ จด (x, y) ใดๆ เทากบ 2x และผานจด (–1, 2)

(2) เสนโคงทมความชน ณ จด (x, y) ใดๆ เทากบ 5 xy 3−−

และผานจด (2, –1)

ตวอยาง 3 กาหนดให y = f(x) เปนเสนโคง ทมความชน ณ จด (x, y)ใดๆ เทากบ 3kx 10x 6− +

เมอ k เปนคาคงท โดยทเสนสมผสของเสนโคงนทจด (1, 3) ขนานกนแกน x

จงหา (1) f(–1) (2) จงหาจดสงสดสมพทธและตาสดสมพทธ (ถาม)

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|134 ตวอยาง 4 กาหนดให y = f(x) เปนเสนโคง มอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคงทจดใดๆ

เทากบ 2 และความชนของเสนโคงทจด (1, 4) มคาเทากบ 4 จงหา

(1) สมการของเสนโคง

(2) สมการเสนสมผสเสนโคงทจดวงเสนโคงนตดกบเสนตรง x = – 2

ตวอยาง 5 กาหนดให R แทนเซตจานวนจรง ถา f : R R® เปนฟงกชนโดยท

f (x) 6x 4¢¢ = + สาหรบจานวนจรง x และความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x)

ทจด (2, 19) เทากบ 19 แลวคาของ f(1) เทากบเทาใด [PAT1: 6 ม.ค. 2553]

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|135 3.2 การประยกตเกยวกบการเคลอนท

ในเรองอนพนธของฟงกชน เราไดกลาถงการเคลอนทของวตถในแนวเสนตรง โดยกลาวถง

การหาความเรว ความเรง จากการหาอนพนธของสมการของการเคลอนท และเนองจากการอนทเกรตเปน

การดาเนนการทตรงขามกบการหาอนพนธ ดงนน ถากาหนดความเรง เราสามารถหาความเรวได และถา

กาหนดความเรว เราสามารถหาสมการการเคลอนทได ดงแผนภาพ

การหาอนพนธ การอนทเกรต

ตวอยาง 1 วตถอนหนงเคลอนทตามแนวเสนตรง โดยมความเรงในขณะเวลา t วนาท เทากบ

a(t) = 120t – 12 2t ; t ∈ [0, 10]

และขณะทเรมตนจบเวลา วตถเคลอนทดวยความเรว 0 เมตร/วนาท และไดระยะทาง 4 เมตร

จงหา (1) ความเรวของวตถ เมอ t = 10 วนาท (2) ระยะทางเมอ t = 5

สมการการเคลอนท s(t)

ความเรว v(t)

ความเรง a(t) สมการการเคลอนท s(t)

ความเรว v(t)

ความเรง a(t)

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|136 ตวอยาง 2 ถาปลอยวตถชนหนงใหตกลงมาในแนวดงจากยอดตกซงสง 100 เมตร เหนอพนดน และให

s(t) แทนระยะทางทวตถอยหางจากยอดตกในขณะเวลา t และ v(t) แทนความเรวของ

วตถในขณะเวลา t จงหา

(1) v(t)

(2) a(t)

(3) ความเรวของวตถในขณะกระทบพนดน

ตวอยาง 3 ถาปลอยวตถชนหนงใหตกลงมาในแนวดงจากยอดตกซงสง 100 เมตร เหนอพนดน และให

s(t) แทนระยะทางทวตถอยหางจากพนดนในขณะเวลา t และ v(t) แทนความเรวของ

วตถในขณะเวลา t จงหา

(1) v(t)

(2) a(t)


แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|137 ตวอยาง 4 ถาขวางวตถชนหนงลงมาตามแนวดง จากลกบอลลนซงอยสงจากพนดน 117.6 เมตร

ดวยความเรวตน 49 เมตร/วนาท จงหา

(1) ความเรวของวตถในขณะเวลา t

(2) ระยะทางทวตถอยหางจากพนดนในขณะเวลา t


ตวอยาง 5 โยนวตถชนขนไปในอากาศ ในแนวดงดวยความเรวตน 98 เมตร/วนาท จงหา

(1) สมการการเคลอนทของวตถ

(2) วตถขนไปสงสดเมอเวลาเทาใด

(3) ระยะทางสงสดทวตถขนไปได

(4) เมอเวลาใดทวตถอยสง 249.9 เมตร จากจดเรมตน


4. อนทกรลจากดเขต (Definite Integral)

ในหวขอนเราจะกลาวถงความสมพนธระหวางอนทกรล และพนทใตกราฟ ใหนกเรยนพจารณา

ตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงหาพนทของอาณาบรเวณซงลอมรอบดวยกราฟ 2y 1 x= − แกน X

จากกระบวนทแสดงในตวอยางขางตน สรปกระบวนการไดดงน

กาหนดฟงกชน y = f(x) ซงเปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b]

ขนท 1 แบงชวงปด [a, b] ออกเปน n ชวงยอย ทมความกวางเทาๆกนเทากบ b axn−∆ =

โดยใหมจดแบงอยท 0 1 2 na x x x ... x b= < < < < =

ขนท 2 เลอกคา *ix ในแตละชวงปด i 1 i[x , x ]− เมอ i = 1, 2, 3, ... n

แลวผลบวก n *

n i ii 1

S f(x ) x∑=

= ∆

ขนท 3 หาลมต nnlim S→∞

คา nnlim S→∞

ทไดเรยกวาอนทกรลจากดเขต(definite integral) ของฟงกชน f บนชวงปด [a, b]

ดงนยามตอไปน

y

x0


นยาม 3. อนทกรลจากดเขต(definite integral)

กาหนดฟงกชน y = f(x) ซงเปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b]

ถาคาลมตของ n *

i in i 1lim f(x ) x∑→∞ =

∆ หาคาได แทนคาดวย b

af(x)dx∫

ดงนน n *

i in i 1lim f(x ) x∑→∞ =

∆ = b

af(x)dx∫

เรยก b

af(x)dx∫ วาอนทกรลจากดเขตของ f จาก a ถง b

โดยเรยก a และ b วา “ลมตลาง” และ “ลมตบน” ของการอนทกรลตามลาดบ

การหาอนทกรลจากดเขตในบทนยามขางตนนอาจเรยกวา รมนนอนทกรล (Riemann Integral)

เพอเปนเกยรตใหกบนกคณตศาสตรชาวเยอรมนทชอวา Bernhard Riemann ซงเปนผสรางมโนมตพนฐาน

เกยวกบการอนทกรลจากดเขต ตอไปเปนทฤษฎบททจะชวยในการหาอนทกรลจากดเขตไดงายขน

ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส (Fundamental Theorem of Calculus)

กาหนดให y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b]

ถา F(x) เปนฟงกชนบนชวง [a, b] โดยท F′(x) = f(x) แลว

b

af(x)dx∫ = F(b) – F(a)

ใชสญลกษณ b

a

bf(x)dx F(x)

a=∫ = F(b) – F(a)

สมบตบางประการของอนทกรลจากดเขต

กาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ k เปนคาคงตว

1. b

a

f(x) dx∫ หาคาไดเสมอ 2. b

a

f(x) dx∫ = –a

b

f(x) dx∫

3. a

a

f(x)∫ dx = 0 4. b

a

kf(x) dx∫ = kb

a

f(x) dx∫

5. b

a

f(x) dx∫ = c

a

f(x) dx∫ + b

c

f(x) dx∫

6. ถา f(x) ≥ 0 สาหรบทก x ∈ [a, b] แลว b

a

f(x) dx∫ ≥ 0

ถา f(x) ≤ 0 สาหรบทก x ∈ [a, b] แลว b

a

f(x) dx∫ ≤ 0

7. จะมจานวน c ∈ [a, b] ซงทาให b

af(x)dx f(c)(b a)= −∫

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|140 ตวอยาง 1 จงหาอนทกรลจากดเขต ตอไปน

(1) 3 31

2x dx∫ (2) 1 3 20(8x 6x 1) dx+ +∫

(3) 1 22(3x 4)

−

−−∫ dx (4)

1 20x(1 x) dx−∫

(5) 1

2 33

1 1( )dxx x

−

−−∫ (6)

2 3 22 31

1 1(x ) dx

x x+∫


(7) ln 2 2x0

e dx∫ (8) /2

/2cos5x dx

s

−s∫

(9) 1 2 313x x 1 dx

−+∫ (10)

31

0 4

xdx

x 9+∫

ตวอยาง 2 จงหาคาของ 3

1f(x)dx∫ เมอกาหนดให f(x) =

3 x ; 1 x

x 1 ; 2 x

£ £ 3£ £ 3

− −


ตวอยาง 3 จงหาคาของ 3

2| x 1 | dx

−−∫

ตวอยาง 4 ถา a เปนจานวนจรงทสอดคลองกบ 2 2

2 2

2 2

a(4 x )dx 4 x dx- -

- = -ò ò

แลว sin(4a) เทากบเทาใด

ตวอยาง 5 ถา 2f (x) 3x x 5¢ = + - และ f(0) = 1 แลว 1

1

f(x)dx-ò มคาเทาใด

[PAT1: 11ก.ค. 2552]


ตวอยาง 6 ถา 2f (x) x 1¢ = - และ 1

0

f(x)dx 0=ò แลว | f(1) | มคาเทากบเทาใด

[PAT1: 10 ต.ค. 2552]

ตวอยาง 7 กาหนดให f(x) เปนฟงกชนพหนามกาลงสอง ถาความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x)

ทจด (1, 2) มคาเทากบ 4 และ 2

1

f(x)dx 12-

=ò แลว f( 1) f ( 1)¢¢- + - มคาเทากบเทาใด

[PAT1: 3 ก.ค. 2553]

ตวอยาง 8 ถา 2

n 2n0

1a dx

x= ∫ เมอ n เปนจานวนเตมบวก จงหาผลบวกของอนกรม n

n 1(1 2n)a

∞

=−∑

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|144 ตวอยาง 9 ให f เปนฟงกชนพหนาม ถา x – 1 และ x – 3 หาร f(x) เหลอเศษ 1 และ 2 ตามลาดบ

แลว ( )3

2 3

1

3x f(x) (x 1)f (x) dx¢+ +ò เทากบเทาใด

ตวอยาง 10 ให f เปนฟงกชนพหนาม ถากราฟของ y = f(x) ตดกบกราฟของ y = 2x 1+

ท x = 2 และ x = 4 แลว ( )4

1 2

2

x f (x) x f(x) dx- -¢ -ò เทากบเทาใด


5. พนททปดลอมดวยเสนโคง

บทนยาม 4 กาหนดฟงกชน f เปนฟงกชนทตอเนองภายในชวงปด [a, b]

บรเวณทปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก x = a ถง x = b หมายถง

บรเวณทลอมรอบดวยกราฟของ f แกน x เสนตรง x = a และ x = b

จากสมบตของการหาอนทกรลจากดเขตทไดกลาวไปแลว เราจะแยกการหาพนททปดลอมดวยเสน

โคง ออกเปน 2 กรณ ดงน

1. ถา f(x) ≥ 0 สาหรบทก x ∈ [a, b]

แลว A เปนพนทเหนอแกน X และ A = b

a

f(x) dx∫

2. ถา f(x) ≤ 0 สาหรบทก x ∈ [a, b]

แลว A เปนพนทใตแกน X และ A = –b

a

f(x) dx∫

บทนยาม 5 กาหนดฟงกชน f และ g เปนฟงกชนทตอเนองภายในชวงปด [a, b]

บรเวณทปดลอมดวยเสนโคงของ f และ g จาก x = a ถง x = b

หมายถง บรเวณทลอมรอบดวยกราฟของ f และ g เสนตรง x = a และ x = b

การหาพนทของบรเวณดงกลาว ขนอยกบลกษณะของกราฟ f และ g วากราฟของฟงกชนใดอย

สงกวาซงสรปสตรวธการหาไดดงน

กาหนดให f และ g เปนฟงกชนทตอเนองภายในชวงปด [a, b] และ f(x) ≥ g(x) สาหรบทก

x ∈ [a, b]

ถา A แทนดวยพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง f และ g จาก x = a ถง x = b แลว

A = b

a[f(x) g(x)] dx−∫

y = f(x)

Y

X a b 0

A

y = f(x) Y

X a b 0 A

Y

X a

b 0

A y = f(x)

y = g(x)


0

y

x

11−

2−

3y x 1= −

ตวอยาง 1 ในแตละขอตอไปน จงหาพนทแรเงา

(1)

(2)

(3)

0

y

x2y 4 x= −

2

2

2−

3 2y x 3x 2x= − +

0

y

x1 2

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|147 (4)

(5)

(6)

2y x=

0

y

x

y x 2= +(2,4)

( 1,1)−

0

y

x

2y 1 x= −y 2 x= −

( 1,3)−

21

0

y

x1

3y x= − 3y x=

1−

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|148 ตวอยาง 2 กาหนดฟงกชน f จานวนจรง a และ b ในแตละขอตอไปน

จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก x = a ถง x = b

(1) f(x) = 24x 1+ ; a = –1 ; b = 2

(2) f(x) = 2x 25− ; a = –2 ; b = 1

(3) f(x) = 6 + x – x2 ; a = –3 ; b = 1


(4) f(x) = (x – 1) 3 ; a = –1 ; b = 2

(5) f(x) = cos x ; a = 4p ; b =

43p

(6) f(x) = 3 2x 6x 8x− +

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|150 ตวอยาง 3 จงหาพนทในแตละขอตอไปน

(1) พนททปดลอมดวยเสนโคง f(x) = 3x และ g(x) = 2x จาก x = 0 ถง x = 2

(2) พนทของบรเวณทปดลอมดวยสนโคง y = x2 และเสนโคง y = x

(3) พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง y = x 3 และ y = x

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|151 (4) พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง f(x) = sin x และ g(x) = cos x

จาก x = 0 ถง x = 2s

(5) พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง y = x 3 และ เสนตรง y = x + 6

และ 2y + x = 0

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|152 ตวอยาง 4 กาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [0, 5] มกราฟดงรป

โดยพนทปดลอมดวยกราฟของ f และแกน x บนชวง [0, 2] เทากบ 8 ตารางหนวย

พนททปดลอมดวยกราฟของ f และแกน x บนชวง [2, 5] เทากบ 15 ตารางหนวย

และ F เปนฟงกชนบนชวง [0, 5] โดยท F (x) f(x)′ =

ถา F(0) = 10 จงหาคาของ F(2) และ F(5)

ตวอยาง 5 กาหนดให A แทนพนทของอาณาบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง y = 1 – 2x และแกน x

B แทนพนทของอาณาบรเวณทใตเสนโคง 2xy4

= เหนอแกน x จาก x = –c ถง x = c

จงหาคา c ททาให A = B [PAT1 7 ม.ค. 2552]

0

y

x2 5

แคลคลสเบองตน ...................................................................................... หนา|153 ตวอยาง 2 ถา f เปนฟงกชนซงมกราฟ ดงรป

จงหาคาในแตละขอตอไปน

(1) 3

0

f(x)dxò (2) 3

0

f(x) dxò (3) ( )3

0

f(x) f(x) dx-ò

พนท 4 ตารางหนวย พนท 12 ตารางหนวย

X

Y

0 1 3

y f(x)=


6. ปรมาตรของทรงตนทเกดจากการหมน(Volume of Solid of Revolution)

เมอหมนบรเวณบนระนาบรอบเสนตรงจะไดรปทรงสามมตซงเรยกวาทรงตนทเกดจากการหมน

ซงมสองวธในการหาปรมาตร ดงน

Disk method :

หมนระนาบทปดลอมดวย หมนระนาบทปดลอมดวย

y = f(x) , x = a , x = b และ y = 0 y = f(x) , y = c , y = d และ x = 0

ปรมาตร b

2

a

V y dx= pò ปรมาตร d

2

c

V x dy= pò

Shell method :

หมนระนาบทปดลอมดวย หมนระนาบทปดลอมดวย

y = f(x) , x = a , x = b และ y = 0 y = f(x) , y = c , y = d และ x = 0

ปรมาตร b

a

V 2 xy dx= pò ปรมาตร d

c

V 2 yx dy= pò

x

Y

X 0

a b

y = f(x)

f(x) …

y

Y

X 0

c

d y = f(x)

x . . .

Y Y

X

X


ตวอยาง 1 จงหาปรมาตรของทรงสามมตอนเกดจากการหมนรอบแกน x ของบรเวณทลอมรอบเสนโคง

y = 2x 2x 3- + + กบแกน x

ตวอยาง 2 จงหาปรมาตรของทรงสามมตอนเกดจากการหมนรอบแกน y ของบรเวณทลอมรอบเสนโคง

2y 8x= และเสนตรง y = –4, y = 4 และแกน y


ตวอยาง 3 จงหาปรมาตรของทรงสามมตอนเกดจากการหมนรอบเสนตรง y = 6 ของบรเวณท

ลอมรอบเสนโคง 2y 4x x= - และแกน x

ตวอยาง 4 จงหาปรมาตรของทรงสามมตอนเกดจากการหมนรอบแกน x ของบรเวณทลอมรอบเสนโคง

y = 2x กบแกน y = x + 2

แคลคูลัสเบื้องต้น หน้า...

Documents