คําชี้แจง - kroobannok.com · ชุดฝ...

ชดฝกทกษะเสรมการเรยนร ชดท 1 เรอง การทบทวนความรเรองเลขยกกาลง

ณปภช บญสมศร

คาชแจง

ชดฝกทกษะเสรมการเรยนร รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 3 รหสวชา ค30203

ชนมธยมศกษาปท 5 ชดท 1 เรอง ทบทวนความรเรองเลขยกกาลง หนวยการเรยนรท 1

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม ชดนจดทาขนเพอใชประกอบการจดการเรยนร

ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 โรงเรยนละหานทราย

รชดาภเษก สานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 32 โดยแบงเนอหาของหนวยการ

เรยนรท 1 ออกเปน 3 หนวยยอย โดยจดทาชดกจกรรม 4 ชด ดงน

ชดท 1 เรอง ทบทวนความรเรองเลขยกกาลง

ชดท 2 เรอง ทบทวนความรเรองรากท n ของจานวนจรง

และจานวนจรงในรปกรณฑ

ชดท 3 เรอง ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

ชดท 4 เรอง ฟงกชนลอการทม

ชดฝกทกษะเสรมการเรยนรน ใชประกอบการเรยนการสอนพรอมกบแผนการจดการ

เรยนรรายวชาคณตศาสตรเพมเตม 3 รหสวชา ค30203 ชนมธยมศกษาปท 5 และหนงสอ

เรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 3 ชนมธยมศกษาปท 4 – 6 ซงในชดฝกทกษะน

ประกอบดวย คาชแจง ชอหนวยการเรยนร ผงมโนทศนแสดงหนวยการเรยนร และหนวยยอย

ผลการเรยนร จดประสงคการเรยนรรายชวโมง แบบทดสอบกอนเรยน กจกรรมการเรยนร

กจกรรมฝกทกษะเสรมการเรยนร แบบทดสอบหลงเรยนพรอมเฉลยแบบทดสอบกอนเรยน/

หลงเรยน และเฉลยกจกรรมฝกทกษะเสรมการเรยนร

การใชชดฝกทกษะเสรมการเรยนรใหมประสทธภาพ สามารถชวยยกระดบคณภาพ

การศกษาใหสงขนได โดยครใชชดฝกทกษะเปนสอเสรมการเรยนรทงในและนอกเวลาเรยน

นกเรยนใชเปนแหลงเรยนร สาหรบศกษาเพมเตมดวยตนเอง และประเมนความสามารถ

จากการปฏบตกจกรรมทสอดคลองกบจดประสงคการเรยนรรายชวโมงอยางตอเนอง จงชวย

ใหเกดการเรยนรไดอยางมประสทธภาพ

นายเฉลมพล คนชม



สารบญ

เรอง หนา

คาชแจง

ผงมโนทศนแสดงหนวยการเรยนรท 1 : ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม ….1

ผลการเรยนร หนวยยอยท 1 ทบทวนความรเรองเลขยกกาลง ...............................................2

จดประสงคการเรยนรรายชวโมง ..............................................................................................2

แบบทดสอบกอนเรยน หนวยยอยท 1 ทบทวนความรเรองเลขยกกาลง ................................3

ใบความรท 1 เรอง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม .......................................5

แบบฝกทกษะท 1 เรอง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม ................................9

ใบความรท 2 เรอง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ................................13

แบบฝกทกษะท 2 เรอง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ.........................19

แบบทดสอบหลงเรยน หนวยยอยท 1 ทบทวนความรเรองเลขยกกาลง ..............................24

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน-หลงเรยน หนวยยอยท 1 ทบทวนความรเรองเลขยกกาลง .....26

เฉลยแบบฝกทกษะท 1 เรอง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม ..............................27

เฉลยแบบฝกทกษะท 2 เรอง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ.........................28

บรรณานกรม .........................................................................................................................33



1.ศกษาคาชแจง จดประสงคการเรยนร

2. ทาแบบทดสอบกอนเรยน

3. ดาเนนการใชชดฝกทกษะ

4. ทาแบบทดสอบหลงเรยน

5. เฉลยแบบทดสอบ

ขนตอนการใชชดฝกทกษะเสรมการเรยนร



หนวยการเรยนรท 1

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

และฟงกชนลอการทม

หนวยยอยท 1

ทบทวนความรเรองเลขยกกาลง


ฟงกชนลอการทม


ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

1



สรปสาระสาคญเกยวกบบทนยามและทฤษฎบทเรองเลขยกกาลง รากท n

ในระบบจานวนจรงและจานวนจรงในรปกรณฑได

1. หาคาตอบในรปอยางงายของเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมได

2. หาคาตอบในรปอยางงายของเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะได

2



คาชแจง ใหทาเครองหมาย ทบอกษรหนาคาตอบทถกตองเพยงคาตอบเดยว

1. ถา a และ b เปนจานวนจรงทไมเทากบ 0 แลว รปอยางงายของ ( ) ( )232342 baba −− คอ

ขอใด

ก. 62ba ข. 26ba

ค. b6

a2 ง. a6

b2

2. ถา x, y และ z เปนจานวนจรงทไมเทากบ 0 แลว ( ) ( ) ( )21332 xyz4yz3xy −− ตรงกบขอใด

ก. xyz108 ข. 108xy2z

ค. 108xy5z

ง. 1

108y5z

3. ถา a, b และ c เปนจานวนจรงทไมเทากบ 0 แลว 3b

เปนรปอยางงายของจานวนใด

ก. 44

34

b8ab24a ข.

44-

-34

b8ab24a

ค. 24a−6

8b7 ง.

3a6ba−6b2

4. ขอใดเปนคาตอบในรปอยางงายของ ( )( )

4

8

3

2qp62qp12

++

−

−

ก. 16(p + 2q)12 ข. 16(p + 2q)20

ค. 16(p + 2q)21 ง. 16

(p+q)44

5. ถาจานวน … x … (a + 1)14(b + 2)14 เปนรปอยางงายของ ( ) ( )( ) ( )

2

24

53

63b22a2b1a4

++++

−−

แลว x มคาเทาใด

ก. 210 ∙ 35 ข. 212 ∙ 33

ค. 212 ∙ 34 ง. 214 ∙ 34

3



6. ขอใดเปนคาตอบของจานวน 61

31

99 ⋅

ก. 3 ข. 9

ค. 13

ง. 19

7. 32

)278( ⋅ - 61

126 )3(2 ⋅ มคาเทาใด

ก. 12 ข. 18

ค. 27 ง. 36

8. สมการในขอใดมคาตอบเทากบ 16 และ 161

ก. 082xx 21

=−+ ข.

023xx 32

34

=+−

ข. 02xx 45

25

=−− ง. 25xx 4

141

=+−


31

00

32 127(3a)3a

8

1−++−

−

−

ก. 311 ข.

411

ค. 43 ง.

31

10. คาตอบของ 61

126 )3(2 ⋅ + 34

32

3

3−

มคาเทาใด

ก. 3 ข. 9

ค. 18 ง. 27

4



=

=

=

=

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม

บทนยาม 1 ถา a เปนจานวนจรงและ n เปนจานวนเตมบวก แลว

µÑÇn

n a...aaaa ××××=

บทนยาม 2 1a 0 = เมอ a ≠ 0

บทนยาม 3 nn

a1a =−

เมอ a ≠ 0

เรยก an วา เลขยกกาลง เรยก a วาฐานของเลขยกกาลง และ เรยก n วาเลขชกาลง

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม มสมบตตามทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 1 ถา a, b เปนจานวนจรงทไมเปน 0 และ m, n เปนจานวนเตม จะได

1.

nmnm aaa +=×

2. ( ) mnnm aa =

3. ( ) nnn baab =

4. n

nn

ba

ba

=

5. nmnm aaa −=÷

ตวอยางท 1 จงทาใหเปนรปอยางงายและมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวก

1. ( ) 4035 zyx −−−

= 404345

)z()y()x(−−−−−

= 01220

zyx

= 1220yx

2.

3743

4305

cba2cba4−−−

−−−

= 34)(7)(3)(4)(03

52

cba2

)(2 −−−−−−−−

−

5



3.

2

533

404

yx8yx2

−

−−

−

= 2

39

4

yx22

−

= ( ) 235 yx2 −−

= 2610 yx2 −−

= 26

10

yx2

4.

52n4n

3n23n

yxyx

−+

+−

⋅⋅

= 5)(2n3)(n4)(n2)(3n yx −−++−− ⋅

= 8n62n yx +−− ⋅

5. 12

12

2

144

−−

−−

−

+−

xx

xx

=

x

1

x

2

1x

4

x

4

2

2

−

+−

=

2

2

2

x

x2x

xx44

−

+−

= x2

xx442

−

+−

= x2

)x2)(x2(

−

−−

= 2 – x

6. 1n

3n

1n

2n

52

156

+

+

−−

+−

⋅

= 1n

3n

1n

2n

52

5)(32)(3

+

+

−−

+−

⋅⋅⋅

= 1n

3n

1n1n

2n2n

52

5323

+

+

−−−−

+−+−

⋅

= 1)(n1)n(

3)(n2)n(1)n(2)n(

523

++−−

+++−−−−+−

= 0

53

523

= 5323

7.

= 1nn

1nn

22222423

−

−

⋅−⋅⋅−⋅

=

)2

11(2

)2

43(2

n

n

−

−

=

2

1

2

22

4

2

6

−

−

=

2

12

2

=1

2

2

2×

= 2

8.

= ( )222024 333 −− ⋅⋅

= 44 33 −⋅

= 03

= 1

1nn

1nn

222423−

−

−⋅−⋅

246

9124381

⋅⋅ −

6



สญกรณวทยาศาสตร(Scientific Notation)

บทนยาม 4 จานวนจรงบวกทเขยนในรปสญกรณวทยาศาสตร หมายถง จานวน

ทเขยนในรปสญกรณวทยาศาสตร หมายถง จานวนทเขยนในรปผลคณ

ของจานวนจรง A โดยท 1 ≤ A < 10 กบจานวนทอยในรป 10n เมอ n เปน

จานวนเตม

ตวอยางท 2 จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร

1. 1,002,000,000 = 1.002 × 109

2. 0.0000004123 = 4.123 × 10-7

3. 0.0078 = 7.8 × 10-3

4. 17,600,000 = 1.76 × 107

5. 323 × 105 = 3.23 × 102 × 105

= 3.23 × 107

6. 6,000 × 10-7 = 6 × 103 × 10-7

= 6 × 10-4

ตวอยางท 3 จงหาคาในแตละขอตอไปน

1. ( )( )

0012.0

008.0006.0

=

( )( )4

33

1012108106

−

−−

×××

=

×

×

−

−−

4

33

101010

1286

= 2104 −×

=

1004

251

=

2. ( )( )

00033.0

000009.0000,220

=

( )( )5

64

10331091022

××× −

= 7106 −×

= 6

107

7



3. ( )( )

000000048.0

000,000,000,240000064.0 = ( )( )

9

97

104810241064

−

−

×××

= 111032 ×

( ) ( )( )2

2

12,0000.0009320,000.4 = ( ) ( )

( )23

424

10121091032

×

××

= ( )( )( )6

48

101212109103232

×××××

= 61064 ×

= 610106.4 ××

= 7106.4 ×

8



1. กาหนดให x, y และ z เปนจานวนจรงทไมเทากบ 0 จงเขยนจานวนตอไปน

ใหอยในรปอยางงาย มเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวก (ขอละ 1 คะแนน)

1.1 ( )( )6234 yxyx −−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.2 ( )( )( )3235 4xyzz3yy2x −

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 ( ) ( )232342 yxyx −−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 ( ) ( ) ( )21332 xyz4yz3xy −−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.5 44

34

y8xy24x

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9



1.6 321

234

zy18xzy27x

−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.7 7

63

5

64

12yz9x

6zy4x

⋅

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.8 32

2

4

22

z14x5z

10yzy7x

⋅

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.9 3

3

2

3xyy4x

−

−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.10 2

22

3

y3x2xy

−

−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.112

32

322

zy9xzy3x

−−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10



1.12( ) ( )

34

234232

y3xyxy4x

−−

−−−−−

−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.13

22

22

213

zyxzyx

−

−−

−−−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.14

12

223

32

zyxzyx

−

−−

−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.15( )( )

4

8

3

2yx62yx12

++

−

−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.16

21

32

223

z18xyzy6x

−

−

−−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11



1.17

22

835

532

zy125xzy25x

−

−−

−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.18

22

225

23

zy8xzy32x

−

−−

−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.19 ( ) ( )

( ) ( )

2

24

53

63y22x2y1x4

++++

−−

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.20 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

32

132

3z44y42x93z1y84x

−−−

++++++

=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12



เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ

บทนยาม ถา n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 x และ y เปนจานวนจรง y เปนรากท n

ของ x กตอเมอ xyn = เชน 2 เปนรากท 2 ของ 4 กตอเมอ 422 =

บทนยาม ให x เปนจานวนจรงทมรากท n จะกลาววา จานวนจรง y เปนคาหลกของราก

ท n ของ x กตอเมอ

1. y เปนรากท n ของ x

2. yx > 0

และแทนคาหลกของรากท n ของ x ดวย n x

ให m, n เปนจานวนเตม โดยท m ≥ 0 และ n > 0 ถา a เปนจานวน ซงหาคา

n1

a ไดแลว mn1

nm

)(aa = เชน 82)4()(44 33321

23

====

93)27()(2727 223231

32

====

บทนยาม ให a เปนจานวนจรง p, q เปนจานวนเตม (p, q) = 1, q > 0 และ q1

a ∈ R

โดยเมอ q < 0 แลว a ตองไมเปน 0 จะไดวา pq1

qp

)(aa =

เชน 231

32

)(22 =

271

31

))((3

1

)(9

1

9

19 332

1232

123

23

=====−

13



สมบตของเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ มดงน

1. ถา a เปนจานวนจรงทมรากท m และ n เปนจานวนเตมททาให an เปนจานวนจรง

แลว an จะมรากท n

2. ถา m, n เปนจานวนตรรกยะ และ a เปนจานวนจรงททาให am และ an เปนจานวนจรง

แลว nmnm aaa +=×

3. ถา m, n เปนจานวนตรรกยะและ a เปนจานวนจรงททาให am และ an เปนจานวนจรง

แลว ( ) mnnm aa =

4. ถา n เปนจานวนตรรกยะและ a, b เปนจานวนจรงททาให an และ bn เปนจานวนจรง

แลว ( ) nnn baab =

5. ถา n เปนจานวนตรรกยะ และ a, b เปนจานวนจรงททาให an และ bn เปนจานวนจรง

และ b ≠ 0 แลว n

nn

ba

ba

=

6. ถา m, n เปนจานวนตรรกยะและ a เปนจานวนจรงททาให am และ an เปนจานวนจรง

แลว

nmn

m

aaa −=

7. ถา a < 0 และ m, n เปนจานวนเตมบวกค แลว nm

n1

m a)(a =

8. ถา a เปนจานวนจรงใด ๆ และ m, n เปนจานวนเตมบวกค แลว แลว nm

n1

m a)(a =

9. ถา a เปนจานวนจรง โดยท a ≠ 0 และ m, n เปนจานวนเตม โดยท n ≥ 2 ซง n1

a

และ m1

a เปนจานวนจรงแลว n1

mmn1

)(a)(a =

14




1. 23

21

22 ⋅ = 23

21

2+

= 22

= 4

2. 34

31

5)(5)(−

−⋅− = )

34(

31

5)(−+

−

= 15)( −−

= 5

1−

3. 41

43

9

9 = 41

43

9−

= 21

9

= 9

= 3

4. 10

52

53

]3)(

3)([−

− = 1052

53

]3)[(−

−

= 1051

]3)[(−

= 23)(− = 9

ตวอยางท 2 ถา a และ b เปนจานวนจรงบวก แลวจงหาคาตอบในขอตอไปน

1. 32

6

3

)b

27a( = 32

6

32

332

3

)(b

)(a)(3 ⋅

= 4

22

ba3

= 4

2

b9a

5. 25

51

)((32) = 21

5 )(2

= )(25

= 24

6. 35

52

)8)((−

− = 32

8)(−

−

= 23 )8( −−

= 22)( −− = 4

1

7.

61

4 ]8)[(− = 64

8)(−

= 32

8)(−

= 23 )8( −

= (-2)2

= 4

8. 41

42 ]4)(3)[( −−

= 41

441

2 ]4)[(]3)[( −⋅−

= 44

42

43 −⋅−

4321

⋅

2.

)a

b()b

a(32

21

2

23

31

⋅

= 32

21

3

32

a

bba

⋅

= 3

21

32

32

ba−−

= 25

b−

= 5b

1

= bb

12

15




1. 111]1)[( 22

21

2 ==−=−

2. 222]2)[( 21

42

41

2 ==−=−

3. 42)8()(888]8)[( 223231

32

64

61

4 =====−=−

4. 21688)8()(888]8)[( 3321

23

46

41

6 =====−=−

5. [(−3)2(−4)4]14 = [(−3)2 ]

14 [(−4)4]

14

= |−3 |24 |−4 |

44

= 3 12 ∙ 4 = 4√3

ตวอยางท 4 ถา x, y และ z เปนจานวนจรง แลวจงหาคาตอบในขอตอไปน

1. 41

62 )y(x = 41

641

2 )(y)(x ⋅

= 46

42

yx ⋅

= 423

21

yx ⋅

2. 21

64810 ]zyx2)[(− = 21

621

421

821

10 ][z][y][x]2)[( ⋅⋅⋅−

= 3245 zyx2 ⋅⋅⋅−

= 324 zy32x

ตวอยางท 5 จงหาคาตอบในรปอยางงายของ 31

31

31

31

)252715(625405 ++−

วธทา 31

31

31

31

)252715(625405 ++− = 3

1

2

331

431

331

)5315()(55)(25 ++⋅−

= )5

33)((5)5(552532

31

31

31

⋅++⋅−

= )5(9)5(5525 31

31

31

31

⋅++⋅−

= 31

9)552(1 ++−

= 3

1

5)14( = 3 514

16



ตวอยางท 6 จงหาผลคณในขอตอไปน

1. )yyx)(xy(x 32

31

31

32

31

31

++−

วธทา

)yyx)(xy(x 32

31

31

32

31

31

++− = 331

331

)(y)(x −

= x – y

2. 332

32

)y(x +

วธทา

332

32

)y(x + = 332

232

32

32

232

332

)(y))(y3(x)(y)3(x)(x +++

= 234

32

32

34

2 yy3xy3xx +++

ตวอยางท 7 จงแกสมการ 03613xx 21

=+−

วธทา

3613xx 21

+− = 0

3613x)(x 21

221

+− = 0

4)9)(x(x 21

21

−− = 0

9x 21

− = 0 หรอ 4x 21

− = 0

21

x = 9 หรอ 21

x = 4

x = 81 หรอ x = 16

17



ตวอยางท 8 จงแกสมการ 0910xx 32

34

=+−

วธทา

910xx 32

34

+− = 0

910x)(x 32

232

+− = 0

1)9)(x(x 32

32

−− = 0

9x 32

− = 0 หรอ 1x 32

− = 0

32

x = 9 หรอ 32

x = 1

x = 27 หรอ x = 1

18



1. จงหาคาของจานวนในแตละขอตอไปน (ขอละ 1 คะแนน)

1.1 21

4 = …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.2 31

27)(− = …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.3 41

256− = …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.4 23

16 = …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.5 64

8)(− = …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.6 86

625 = …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.7 53

32− = …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.8 45

16−

= …………………………………………………......= ………………………………………………….....

1.9 61

31

99 ⋅ = …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.10 56

54

66 ⋅ = …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.11 34

32

3

3−

= …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.12 58

57

6

6−

= …………………………………………………......= …………………………………………………......

1.13 32

)278( ⋅ = ………………………………………………....= …………………………………………………......

1.14 61

126 )3(2 ⋅ = ……………………………………………….....= …………………………………………………......

19



1.15 32

827

= …………………………………………......= …………………………………………………......

1.16 25

52

)10)((−

= ……………………………………………………………………………………………………..…………......

= …………………………………………………..................................................................................................

.= …………………………………………………………………………………………………………….…......

1.17 )y)(xy(x 21

21

21

21

+−

= ……………………………………………………………………………………………………..…………......

= …………………………………………………..................................................................................................

.= …………………………………………………………………………………………………………….…......

1.18 221

21

)y(x −

= ……………………………………………………………………………………………………..…………......

= …………………………………………………..................................................................................................

.= …………………………………………………………………………………………………………….…......

1.19 321

21

)y(x −

= ……………………………………………………………………………………………………..…………......

= …………………………………………………..................................................................................................

.= …………………………………………………………………………………………………………….…......

1.20 )yyx)(xy(x 32

31

31

32

31

31

++−

= ……………………………………………………………………………………………………..…………......

= …………………………………………………..................................................................................................

.= …………………………………………………………………………………………………………….…......

20



2. กาหนดให x, y และ z เปนจานวนจรงบวก และ a, b เปนจานวนจรง

จงทาใหอยในรปอยางงายและมเลขชกาลงเปนจานวนบวก(ขอละ 1 คะแนน)

2.1 331

32

)y(x−

⋅

= …………………………………………………..……………………………………………………………...

= …………………………………………………..…………………………………………………………......

= …………………………………………………..…………………………………………………………......

2.2 21

53

33

yxyx

−−

= …………………………………………………..……………………………………………………………...

= …………………………………………………..…………………………………………………………......

= …………………………………………………..…………………………………………………………......

2.3

41

32

31

2

34

35

4

zyx

zyx

⋅⋅

⋅⋅−

−

= …………………………………………………..……………………………………………………………...

= …………………………………………………..…………………………………………………………......

= …………………………………………………..…………………………………………………………......

2.4 41

32

32

)b(a ⋅

= …………………………………………………..……………………………………………………………...

= …………………………………………………..…………………………………………………………......

= …………………………………………………..…………………………………………………………......

3. จงแกสมการในขอตอไปน (ขอละ 2 คะแนน)

3.1 082xx 21

=−+

………………………………………………..……………………………………………………………...………………………

…………………………..……………………………………………………………...……………………………………………

……..……………………………………………………………...…………………………………………………..………………

21



3.2 032xx 31

32

=−−

………………………………………………..……………………………………………………………...………………………

…………………………..……………………………………………………………...……………………………………………

……..……………………………………………………………...…………………………………………………..………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3.3 023xx 32

34

=+−

………………………………………………..……………………………………………………………...………………………

…………………………..……………………………………………………………...……………………………………………

……..……………………………………………………………...…………………………………………………..………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3.4 02xx 45

25

=−−

………………………………………………..……………………………………………………………...………………………

…………………………..……………………………………………………………...……………………………………………

……..……………………………………………………………...…………………………………………………..………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3.5 25xx 4

141

=+−

………………………………………………..……………………………………………………………...………………………

…………………………..……………………………………………………………...……………………………………………

……..……………………………………………………………...…………………………………………………..………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

22



3.6 01x

2x

32

54

=+

−

………………………………………………..……………………………………………………………...………………………

…………………………..……………………………………………………………...……………………………………………

……..……………………………………………………………...…………………………………………………..………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4. จงหาคาตอบอยางงาย (ขอละ 1 คะแนน)

4.1 31

21

31

21

0 (0.027)48(0.25)25 +⋅−+−

………………………………………………..……………………………………………………………...………………………

…………………………..……………………………………………………………...……………………………………………

……..……………………………………………………………...…………………………………………………..………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4.2 23

31

00

32 127(3a)3a

8

1−++−

−

−

………………………………………………..……………………………………………………………...………………………

…………………………..……………………………………………………………...……………………………………………

……..……………………………………………………………...…………………………………………………..………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4.3 )2(21672910256)5(16 3

161

61

31

+

−−

………………………………………………..……………………………………………………………...………………………

…………………………..……………………………………………………………...……………………………………………

……..……………………………………………………………...…………………………………………………..………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

23



คาชแจง ใหทาเครองหมาย ทบอกษรหนาคาตอบทถกตองเพยงคาตอบเดยว

1. ถา x, y และ z เปนจานวนจรงทไมเทากบ 0 แลว ( ) ( ) ( )21332 xyz4yz3xy −− ตรงกบขอใด

ก. xyz108 ข. 108xy2z

ค. 108xy5z

ง. 1

108y5z

2. ถา a, b และ c เปนจานวนจรงทไมเทากบ 0 แลว 3b

เปนรปอยางงายของจานวนใด

ก. 44

34

b8ab24a ข.

44-

-34

b8ab24a

ค. 24a−6

8b7 ง.

3a6ba−6b2

3. ถา a และ b เปนจานวนจรงทไมเทากบ 0 แลว รปอยางงายของ ( ) ( )232342 baba −−

คอขอใด

ก. 62ba ข. 26ba

ค. b6

a2 ง.

a6

b2

4. ถาจานวน … x … (a + 1)14(b + 2)14 เปนรปอยางงายของ ( ) ( )( ) ( )

2

24

53

63b22a2b1a4

++++

−−

แลว x มคาเทาใด

ก. 210 ∙ 35 ข. 212 ∙ 33

ค. 212 ∙ 34 ง. 214 ∙ 34

5. ขอใดเปนคาตอบในรปอยางงายของ ( )( )

4

8

3

2qp62qp12

++

−

−

ก. 16(p + 2q)12 ข. 16(p + 2q)20

ค. 16(p + 2q)21 ง. 16

(p+q)44

6. 32

)278( ⋅ - 61

126 )3(2 ⋅ มคาเทาใด

ก. 12 ข. 18

ค. 27 ง. 36

24




31

00

32 127(3a)3a

8

1−++−

−

−

ก. 311 ข.

411

ค. 43 ง.

31


31

99 ⋅

ก. 3 ข. 9

ค. 13

ง. 19

9. คาตอบของ 61

126 )3(2 ⋅ + 34

32

3

3−

มคาเทาใด

ก. 3 ข. 9

ค. 18 ง. 27

10. สมการในขอใดมคาตอบเทากบ 16 และ 161

ก. 082xx 21

=−+ ข.

023xx 32

34

=+−

ข. 02xx 45

25

=−− ง. 25xx 4

141

=+−

25



กอนเรยน หลงเรยน

ขอท คาตอบ ขอท คาตอบ

1 ค 1 ง

2 ง 2 ก

3 ก 3 ค

4 ข 4 ค

5 ค 5 ข

6 ก 6 ข

7 ข 7 ก

8 ง 8 ก

9 ก 9 ง

10 ง 10 ง

26



1. กาหนดให x, y และ z เปนจานวนจรงทไมเทากบ 0 จงเขยนจานวนตอไปน

ใหอยในรปอยางงาย มเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวก (ขอละ 1 คะแนน)

1.1 ( )( )6234 yxyx −− = x2 y3

1.2 ( )( )( )3235 4xyzz3yy2x − = 24x6y5

z

1.3 ( ) ( )232342 yxyx −− = y6

x2

1.4 ( ) ( ) ( )21332 xyz4yz3xy −−

1.5 44

34

y8xy24x =

3y

1.6 321

234

zy18xzy27x

− = 3x5y2z

1.7 7

63

5

64

12yz9x

6zy4x

⋅ = x7z

2y

1.8 32

2

4

22

z14x5z

10yzy7x

⋅ = y4z5

1.9 3

3

2

3xyy4x

−

−

= 64y12

27z9

1.10 2

22

3

y3x2xy

−

−

= 4x6

9y10

1.11 2

32

322

zy9xzy3x

−−

= 1

9x8y2z8

1.12

( ) ( )34

234232

y3xyxy4x

−−

−−−−−

− = − y3

48

1.13

22

22

213

zyxzyx

−

−−

−−−

= x4z12

y4

1.14

12

223

32

zyxzyx

−

−−

−

=

z2

x2y10

27



1.15

( )( )

4

8

3

2yx62yx12

++

−

−

= 16(x + 2y)20

1.16

21

32

223

z18xyzy6x

−

−

−−

= 9x8z10

y8

1.17

22

835

532

zy125xzy25x

−

−−

−

= 625x12

y24z12

1.18

22

225

23

zy8xzy32x

−

−−

−

= z4

256x8y16

1.19 ( ) ( )

( ) ( )

2

24

53

63y22x2y1x4

++++

−− = 212 ∙ 34(x + 1)14(y + 2)14

1.20 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

32

132

3z44y42x93z1y84x

−−−

++++++ = 12 ∙ 45(x + 2)4(z + 3)2

1. จงหาคาของจานวนในแตละขอตอไปน (ขอละ 1 คะแนน)

1.1 21

4 = . 21

2 )(2 = 2

1.2 31

27)(− = 31

3 )3(− = 3−

1.3 41

256− = หาคาตอบไมได

1.4 23

16 = 23

4 )(2 = 6(2) = 64

1.5 64

8)(− = 64

3 )2)(−

1.6 86

625 = 1255)(5 386

4 ==

28



1.7 5

3

32− = 8)2()2)(( 353

5 −=−=−

1.8 45

16−

= 545

4 2)(2 −−= =

321

1.9 61

31

99 ⋅ = 333)3()(3 31

32

61

231

2 =⋅=⋅

1.10 56

54

66 ⋅ = 36666 256

54

==⋅

1.11 34

32

3

3−

= 933 234

32

==+

1.12 58

57

6

6−

= 12556 358

57

==+

1.13 32

)278( ⋅ = 369432)32( 2232

33 =×=⋅=⋅

1.14 61

126 )3(2 ⋅ = 1832 2 =⋅

1.15 32

827

=

49

23

23

2

232

3

3

==

1.16 25

52

)10)((− = 10)10)(( 25

52

−=−

1.17 )y)(xy(x 21

21

21

21

+− = yx)y()(x 221

221

−=−

1.18 221

21

)y(x − = y))(y2(xx)(y))(y2(x)(x 21

21

221

21

21

221

+−=+−

1.19 321

21

)y(x − = 321

221

21

21

221

321

)())(y3(x)(y)3(x)(x y++−

= 23

21

21

23

yy3x3xyx ++−

1.20 )yyx)(xy(x 32

31

31

32

31

31

++−

= 33

133

1

)y()(x − = x – y

2. กาหนดให x, y และ z เปนจานวนจรงบวก และ a, b เปนจานวนจรง จงทาให

อยในรปอยางงายและมเลขชกาลงเปนจานวนบวก(ขอละ 1 คะแนน)

2.1 331

32

)y(x−

⋅ = y

xyx2

12 =⋅ −

2.2 21

53

33

yxyx

−− = =

−−25

23

23

23

yx

yx

25

23

23

23

yx++ 43yx=

29



2.3 41

32

31

2

34

35

4

zyx

zyx

⋅⋅

⋅⋅−

−

= 21

21

21

21

21

61

121

21

31

125

122

121

42

124

125

44

z

y)(xzyxzyx

zyx

zyx

zyx ⋅=⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅ −

−

−

−

−

2.4 41

32

32

)b(a ⋅ = )b(a 122

122

⋅ = 61

b)(a ⋅

3. จงแกสมการในขอตอไปน (ขอละ 2 คะแนน)

3.1 082xx 21

=−+

0)24)(x(x 21

21

=−+

0)2(x, 04)(x 21

21

=−=+

04)(x 21

=+ , 16x,4)()(x , 4x 2221

21

=−=−=

0)2(x 21

=− 4x,(2))(x , 2 x, 2221

21

===

แทนคา x ในสมการ 082xx 21

=−+

16x = 082(16)16 , 21

=−+

082(4)16 ≠−+

4x = 082(4)4 , 21

=−+

088 =−

คา x ททาใหสมการเปนจรง คอ 4

3.2 032xx 31

32

=−−

0)1x)(3(x 31

31

=+−

1,27x −=


32

=−−

,27x = 03)2(3)(3 31

332

3 =−−

032(3))(3 2 =−−

0369 =−−

099 =−

คา x ททาใหสมการเปนจรง คอ 27 และ -1

,1x −=

03)2(-1)(-1 31

332

3 =−−

0321 =−+

033 =−

30



3.3 023xx 32

34

=+−

0)1x)(2(x 32

32

=−−

0)1x(,0)2(x 32

32

=−=−

21

32

8x0,2)(x ==−

1 x , 0)1x( 32

==−


34

=+−

คา x ททาใหสมการเปนจรง

คอ 21

8 และ 1

3.4 02xx 45

25

=−−

0)1x)(2(x 45

45

=+−

0)1x(,0)2(x 45

45

=+=−

2x,0)2(x 45

45

==−

444

5

)2()(x =

51

5 16x16,x ==

1 x, 01)x( 45

45

==+ , 1x =

3.5 2

5xx 41

41

=+−

25

x

1x41

41

=+

41

21

5x22x =+

025x2x 4

121

=+−

0)2x)(1(2x 41

41

=−−

0)2x(,0)1(2x 41

41

=−=−

161 x,0)1(2x 4

1

==−

16 x , 0)2x( 41

==−

21

8x = , 02)3(8)(8 32

21

34

21

=+−

02)3(8)(8 31

32

=+−

02))3(2))(2 31

332

3 =+−

0264 =+−

022 =+−

1 x = , 02)3(1)(1 32

34

=+−

0231 =+−

022 =+−


25

=−−

1x = , 02)1((1) 45

25

≠−−

51

61x = , 02)16()(16 45

51

25

51

=−−

02))2())(2 45

51

425

51

4 =−− 0224 =−−

044 =−

คา x ททาใหสมการเปนจรง คอ51

16

16

1 x,0)1(2x 41

==− 16 x , 0)2x( 4

1

==− แทนคา x ในสมการ

25xx 4

141

=+−

161x =

, 25)

161()

161( 4

141

=+−

252

21

=+, 2

525=

16x = ,

25)16()16( 4

141

=+−

25

212 =+

, 25

25=

คา x ททาใหสมการเปนจรง คอ 16 และ 161

31



3.6 01x

2x

32

54

=+

−

0 2x 54

=−

5554

2)()(x = 54 2x =

45

2x =

4. จงหาคาตอบอยางงาย (ขอละ 1 คะแนน)

4.1 31

21

31

21

0 (0.027)48(0.25)25 +⋅−+−

31

3

331

321

)103(

21)2()

41(1 +⋅−+=

103

21

1031

211 +=+−+=

103

105

103

21

+=+=

54

=

4.2 23

31

00

32 127(3a)3a

8

1−++−

−

−

1311383

2

−++−=

31322 +−=

311+=

34

=

4.3

)2(21672910256)5(16 3

161

61

31

+

−−

346

1

4

661

431

4 22310)4())5(2 +

−−=

แทนคา x ในสมการ

01x

2x

32

54

=+

−

45

2x = ,

01)(2

2)(2

32

45

54

45

=+

−

01)(2

22

32

45 =

+

−

คา x ททาใหสมการเปนจรง คอ 45

2

31

34

37

215223 ⋅−−⋅=

)15223(2 231

−−⋅=

31

2)5(−=

32



บรรณานกรม

กนกวล อษณกรกล และ รณชย มาเจรญทรพย. แบบฝกหดและประเมนผลคณตศาสตร ม.5

ค 013. กรงเทพมหานคร : รงเรองสาสนการพมพ. ม.ป.ป.

กมล เอกไทยเจรญ. สาระเรยนรเพมเตมคณตศาสตร ม.5 เลม 1. กรงเทพมหานคร :

ฐานบณฑต. 2537.

กระทรวงศกษาธการ. คมอครรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 3 ชนมธยมศกษาปท 4 – 6

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน

พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร : โรงพมพ สกสค. ลาดพราว, 2556.

_________. หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 3 ชนมธยมศกษา

ปท 4 – 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษา

ขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร : โรงพมพ สกสค. ลาดพราว, 2556.

กวยา เนาวประทป. เทคนคการเรยนคณตศาสตรเลขยกกาลง ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

และฟงกชนลอการทม. กรงเทพมหานคร : ฟสกสเซนเตอร, 2548.

คณต มงคลพทกษสข. คณตศาสตร O-NET & PAT1 พมพครงท 4. กรงเทพมหานคร : สานกพมพ Science Center, 2552.

33



23

คําชี้แจง - kroobannok.com · ชุดฝ...

Documents