บทที่ สมภาค¸šทที่ 3(2).pdf · บทที่ . 3. สมภาค....

บทท 3

สมภาค (Congruence)

สมภาค (congruences) เปนเรองเกยวกบการหารลงตวซงกลาวไวในบทท 2

เปนทยอมรบกนวาสมภาคเปนพนฐานส าคญในการศกษาทฤษฎจ านวน แนวคดของสมภาค

ปรากฏครงแรกในหนงสอเลขคณต (Disquisitions Arithmeticae) ของ คารล ฟรดรช

เกาส (Carl Friedrich Gauss, ค.ศ . 1777-1855) นกคณตศาสตรชาวเยอรมน เมอ

ค.ศ. 1801 เปนบคคลแรกทรเรมใชสญลกษณและความสมพนธสมภาค ความสมพนธนชวย

ใหตอบปญหาทตองคดค านวณซบซอนสามารถค านวณไดงายขน และยงเปนแนวทางน าไปส

เรองราวทนาสนใจใหม ๆ อกมากมาย เกาสเปนนกคณตศาสตรทรอบรในสาขาตาง ๆ ของ

คณตศาสตรเกอบทกแขนง จงมผลงานเกยวกบคณตศาสตรเกอบทกเรอง ทานไดให

ความส าคญกบทฤษฎจ านวนเปนอยางมาก ทานกลาวย าวา “คณตศาสตรเปนราชนของ

วทยาศาสตรและทฤษฎจ านวนเปนราชนของคณตศาสตร” (Mathematics is the

Queen of Science, and the theory of number is the Queen of

Mathematics) ในบทนจะกลาวถงสมบตของสมภาค ระบบสวนตกคางมอดโล m สมภาคเชงเสน

ทฤษฎเศษเหลอของชาวจน ทฤษฎบทของวลสน ทฤษฎบทเลกของแฟรมา และทฤษฎบท

ของออยเลอร

3.1 สมบตของสมภาค

ในบทแรกของหนงสอเลขคณต เกาสกลาวถงบทนยามของสมภาคซงแสดง

ความสมพนธระหวางจ านวนเตม 2 จ านวนดงน (จราภา ลมบพศรพร, 2555, น. 89;

จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 108; Rosen, K. H., 2005, p. 142)

64 ทฤษฎจ านวน

บทนยาม 3.1.1

ให m เปนจ านวนเตมบวก a และ b เปนจ านวนเตม ถา m a b กลาววา

ถา a สมภาคกบ b มอดโล m (a is congruent to b modulo m ) เขยนแทนดวยสญลกษณ a b mod m เรยก m วาเปน มอดลส (modulus)

ถา m | a b กลาววา a ไมสมภาคกบ b มอดโล m (a and b are

incongruent modulo m ) เขยนแทนดวยสญลกษณ a b mod m

ตวอยาง 3.1.1

5 2 mod3 เพราะวา 3 5 2



25 12 mod8 เพราะวา 8 | 25 12

การใช Wolfram Alpha เพอตรวจสอบบางสมภาค เชน 5 2 mod3 และ

25 12 mod8 ดงภาพท 3.1.1

ผลลพธ 5 is congruence to 2 (mod3)

ผลลพธ 25 is not congruence to 12 (mod8)

ภาพท 3.1.1 5 2 mod3 และ 25 12 mod8

5 congruence 2 mod 3

25 congruence 12 mod 8

บทท 3 สมภาค 65

สมภาคในชวตประจ าวน เชน นาฬกา มอดโลกบ 12 ชวโมง หรอ 24 ชวโมง และ มอดโลกบ 60 นาทและวนาท ปฎฑน มอดโลกบ 7 วน ในหนงสปดาหและมอดโลกบ 12 เดอน ในหนงป สมภาคในบางครงหมายถงเทากบ ดงทฤษฎบทตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 108-109; Rosen, K. H., 2005, p. 142)

ทฤษฎบท 3.1.1

ถา a และ b เปนจ านวนเตมใด ๆ จะไดวา a b mod m กตอเมอมจ านวนเตม

k ทท าให a b km

บทพสจน

สมมต a b mod m แลว m a b

ดงนนจะมจ านวนเตม k ท km a b หรอ a b km

ถามจ านวนเตม k ทท าให a b km แลว km a b

จะไดวา m a b ดงนน a b mod m


เนองจาก 19 2 mod7 โดยทฤษฎบท 2.1.1 ไดวา 19 2 3 7

การพจารณาจ านวนเตม 2 จ านวน ถาสมภาคกนแลวจะเหลอเศษเทากนดงทฤษฎ

บทตอไปน (สมวงษ แปลงประสพโชค, 2545, น. 46-47)


ถา a และ b เปนจ านวนเตมใด ๆ แลว a b mod m กตอเมอ a และ b

ถกหารดวย m แลวเหลอเศษเทากน


บทพสจน

ให a b mod m จากบทนยาม 2.1.1 ดงนน m a b

จะมจ านวนเตม k ท a b km หรอ a b km

จากทฤษฎบท 3.1.1 ในการน า m ไปหาร b

จะมจ านวนเตม q และ r ได ทท าให

b qm r โดยท 0 r m

จาก a km b แทนคา b

จะได a km qm r k q m r โดยท 0 r m

นนคอ เมอน า m ไปหาร a และ b จะเหลอเศษเทากบ r เชนกน

ถาน า m ไปหาร a และ b แลวเหลอเศษ r เทากน

จะไดวา มจ านวนเตม 1 2

q ,q ทท าให

1

a q m r โดยท 0 r m

2

b q m r โดยท 0 r m

ดงนน 1 2a b q q m แต

1 2q q เปนจ านวนเตม จะไดวา

m a b นนคอ a b mod m

ตวอยาง 3.1.3 41 27 mod7

เนองจาก 41 5.7 6 และ 27 3.7 6

ดงนน เศษเหลอจากการหาร 41 และ 27 ดวย 7 คอ 6 เทากน

ตวอยาง 3.1.4 21 14 mod5

เนองจาก 21 5.4 1 เหลอเศษ 1 และ 14 2.5 4 เหลอเศษ 4

ดงนนมเศษเหลอไมเทากน

ความสมพนธสมภาคเปนความสมพนธสมมล (equivalence relation)

ดงทฤษฎบทตอไปน (จราภา ลมบพศรพร, 2555, น. 91; จรนทรทพย เฮงคราวทย,

2558, น. 109)



ก าหนดให a,b,c เปนจ านวนเตมใด ๆ และ m เปนจ านวนเตมบวก จะไดวา ถา

สมภาคมอดโล m มสมบตดงตอไปน 1) สมบตสะทอน (reflexive property)

ถา a a modm

2) สมบตสมมาตร (symmetric property)

ถา a b modm แลว b a mod m

3) สมบตถายทอด (transitive property)

ถา a b modm แลว b c mod m แลว a c mod m

บทพสจน

1) เนองจาก m a a ดงนน a a moda

2) จาก a b modm จะได m a b

จะได m 1 b a ดงนน m b a

นนคอ b a modm

3) จาก a b modm และ b c modm

จะได m a b และ m b c จะได m a b b c

ดงนน m a c นนคอ a c modm


1) 10 10 mod5

2) 14 8 mod6 และ 8 14 mod6

3) 22 10 mod6 และ 10 4 mod6 จะได 22 4 mod6


ทฤษฎบทตอไปนแสดงสมบตทส าคญของสมภาค (สมวงษ แปลงประสพโชค,

2545, น. 50-56; จราภา ลมบพศรพร, 2555, น. 92-95; ณรงค ปนนม และ นตตยา

ปภาพจน, 2547, น. 129-130; Raji, W., 2013, pp. 52-54)


ก าหนดให a,b,c,d เปนจ านวนเตมใด ๆ และ m เปนจ านวนเตมบวก จะไดวา

1) ถา a b modm แลว

1.1) a c b c modm

1.2) a c b c modm

1.3) ac bc modm

1.4) ac bc modmc ส าหรบจ านวนเตม c 0

1.5) n na b modm ส าหรบจ านวนเตม n 0

2) ถา a b modm และ ถา c d modm แลว

2.1) a c b d modm

2.2) a c b d modm

2.3) ac bd modm

3) ถา ca cb modm แลว ma b mod

c

เมอ c เปนจ านวนเตมบวก

4) ถา ca cb modm แลว

ma b mod

c,m


5) ถา ca cb modm และ c,m 1 แลว a b modm



บทพสจน พสจนแตละขอดงน

1.1) จาก a b modm แลว m a b ดงนน ถาบวกเขาและลบออก

ดวยจ านวนเตม c จะได m a b c c

ดงนน m a c b c นนคอ a c b c modm

1.2) จาก a b modm แลว m a b ดงนน ถาลบออกและบวกเขา

ดวยจ านวนเตม c จะได m a b c c

ดงนน m a c b c นนคอ a c b c modm

1.3) จาก a b modm แลว m a b จะมจ านวนเตม k ทท าให

a b km และ ac bc kc m จะได m a b c

ดงนน m ac bc นนคอ ac bc modm

1.4) จาก a b modm แลว m a b จะมจ านวนเตม k ทท าให

a b km และจะได ac bc k mc

ดงนน mc ac bc นนคอ ac bc modmc

ส าหรบจ านวนเตม c 0

1.5) ให P n แทนขอความ n na b modm

1) จาก a b modm ดงนน P 1 เปนจรง

2) สมมต P k เปนจรงนนคอ k ka b modm

จะแสดง P k 1 เปนจรง นนคอ

จะแสดงวา k 1 k 1a b modm

พจารณา k ka a b b modm

จะได k 1 k 1a b modm

ดงนน P k 1 เปนจรง โดยหลกการอปนยเชงคณตศาสตร

จะได P n เปนจรง ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n

นนคอ n na b modm เปนจรง ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n


2.1) จาก a b modm และ c d modm

จะได m a b และ m c d จะมจ านวนเตม r และ s

ทท าให a b rm และ c d sm

จะได a b c d a c b d r s m

ดงนน m a c b d นนคอ a c b d modm


จะได m a b และ m c d จะมจ านวนเตม r และ s

ทท าให a b rm และ c d sm

จะได a b c d a c b d r s m

ดงนน m a c b d นนคอ a c b d modm


จะได m a b และ m c d จะมจ านวนเตม r และ s ทท าให

a b rm และ c d sm

ดงนน ca cb cr m และ bc bd bs m

จะได ca cb bc bd ac bd rc sb m

ดงนน m ac bd นนคอ ac bd modm

3) จาก ca cb modm

จะได m ca cb จะได m c a b แต c m

จะได m

a bc

นนคอ ma b mod

c

4) ให d c,m จะได c

d และ m

d เปนจ านวนเตมและ

c m, 1

d d

จาก ca cb modm จะได m ca cb หรอ


ca cb km ส าหรบจ านวน k บางจ านวนทหารดวย d จะได

c m

a b kd d

ดงนน m c

a bd d

แต c m, 1

d d

ดงนน m

a bd

นนคอ

ma b mod

c,m

5) จาก 4) เราทราบวา

ma b mod

c,m

แต c,m 1

ดงนน a b modm


1) 50 20 mod15 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.1

จะได 50 5 55 20 5 25 mod15

2) 50 20 mod15 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.2

จะได 50 5 45 20 5 15 mod15

3) 19 16 mod3 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.3

จะได 19 2 38 16.2 32 mod3

4) 19 16 mod3 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.4

จะได 19 2 38 16.2 32 mod3.2 6

5) 20 10 mod5 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.5

จะได 2 220 400 10 100 mod5

6) 19 3 mod8 และ 17 9 mod8 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 2.1

จะได 19 17 36 3 9 12 mod8


จะได 19 17 2 3 9 6 mod8



จะได 19.17 323 3.9 27 mod8

9) พจารณา 30 6 mod4 จะได 15.2 3.2 mod4

เนองจาก 2,4 2 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 3 จะได 415 3 mod 2

2

10) พจารณา 33 15 mod9 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 4

จะได

911 5 mod 3

3,9

11) พจารณา 42 7 mod5 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5

จะได

56 1 mod 5

7,5

ตวอยางตอไปนเปนการประยกตใชโดยการน าความสมพนธสมภาคมาชวยในการ

ตอบปญหาทตองคดค านวณซบซอนสามารถคดค านวณไดงายขน

ตวอยาง 3.1.7 จงแสดงวา 202 1 เมอถกหารดวย 41 ลงตว

วธท า เนองจาก 52 9 mod41 โดยทฤษฎบท 2.1.4 ขอ 1.5

จะได 4 4

52 9 mod41

2 2

202 9 9 mod41

นนคอ 202 81 . 81 mod41

แต 81 1 mod41 โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.5

จะได 81 . 81 1 1 mod41 โดยทฤษฎบท 3.1.3 ขอ 3

ดงนน 202 1 . 1 mod41

จะได 202 1 mod41

นนคอ 202 1 เมอถกหารดวย 41 ลงตว


การใช Wolfram Alpha เพอตรวจสอบ 202 1 เมอถกหารดวย 41 ลงตว ดงภาพท 3.1.2

ผลลพธ 0

ภาพท 3.1.2 202 1 เมอถกหารดวย 41 ลงตว

ตวอยาง 3.1.8 จงหาเศษเหลอทไดจากการหาร 302 ดวย 17

วธท า

เนองจาก 42 1 mod17 โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.5)

จะได 7 7

42 1 mod17

7

282 1 mod17

จาก 22 4 mod17

ดงนน

30 28 22 2 2 1 . 4 mod17 โดยทฤษฎบท 3.1.3 ขอ 3)

และ 4 13 mod17

จะได 302 13 mod17

นนคอ เศษเหลอทไดจากการหาร 302 ดวย 17 คอ 13

การใช Wolfram Alpha เพอตรวจสอบเศษเหลอทไดจากการหาร 302 ดวย 17

ดงภาพท 3.1.3

202 1mod41


ผลลพธ 13

ภาพท 3.1.3 เศษเหลอทไดจากการหาร 302 ดวย 17

3.2 ระบบสวนตกคางมอดโล m

เราทราบแลววาสมภาคเปนความสมพนธสมมลบนเซตของจ านวนเตม ดงทฤษฎบท

3.1.3 เมอเซตของจ านวนเตมถกแบงออกเปนเซตยอยทไมมสวนรวมกนทกค (pairwise

disjoint subsets) จะเรยกเซตนวา ชนสมภาคมอดโล m (congruence classes

modulo m ) (Rosen, K. H., 2005, p. 143) เชน

10 5 0 5 10 mod5

9 4 1 6 11 mod5

8 3 2 7 12 mod5

7 2 3 8 13 mod5

6 1 4 9 14 mod5

เรยกตวอยางในเซตนวา ชนสมภาคมอดโล 5

จากทฤษฎบท 2.2.1 ขนตอนวธการหารให m เปนจ านวนเตมบวก ส าหรบแตละ

จ านวนเตม a จะม q และ r เพยงค เดยวเทานน ทท า ให a qm r โดยท

0 r m หรอ a r qm โดยท r 0,1,2, ,m 1 ดงนนสมาชกทตางกน

ในเซต 0,1,2, ,m 1 จะไมสมภาคกนมอดโล m และทก ๆ จ านวนเตม a จะม

จ านวนเตม r เพยงตวเดยวเทานนท a r modm เมอ r คอเศษเหลอทไดจากการ

302 mod17


หาร a ดวย m หรอเรยกวา สวนตกคาง (residue) ของ r มอดโล m ดงบทนยาม

ตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 116; Rosen, K. H., 2005, p. 143)


ส าหรบจ านวนเตม a และ r ถา a r modm จะเรยกวาเปน สวนตกคาง

(residue) ของ r มอดโล m ถา 0 r m จะเรยก r วาเปน สวนตกคางทไมเปนลบคานอยสดของ a มอดโล m (least nonnegative residue of a modulo m ) ถา r 0 นนคอ จ านวนเตม a หารดวย m ไมลงตว จะเรยก r วาเปน สวนตกคางทเปนบวกคานอยสดของ a มอดโล m (least positive residue of a

modulo m )


เนองจาก 7 3 mod4

7 11 mod4

7 15 mod4

ดงนน 3,11 และ 15 เปนสวนตกคางของ 7 มอดโล 4 และ 3 เปนสวน

ตกคางทไมเปนลบคานอยสดของ 7 มอดโล 4

ตอไปจะกลาวถงระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล m และชนสวนตกคาง ดงบท

นยามตอไปน (ณรงค ปนนม และ นตตยา ปภาพจน, 2547, น. 134; จราภา ลมบพศรพร,

2555, น. 97; จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 117)



เซตของจ านวนเตม 1 2 na ,a , ,a เรยกวาเปน เซตสวนตกคางบรบรณมอดโล m

(complete residues set modulo m ) หรอ ระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล m

(complete residues system modulo m ) ถาส าหรบแตละจ านวนเตม a

จะม i

a เมอ i 1,2, ,m 1 เพยงจ านวนเดยวเทานนทท าให ia a modm

ชนสมมล (equivalence class) ของ i

a คอ a a เปนจ านวนเตมและ

ia a modm เรยกวา ชนสวนตกคาง (residues class)

จากบทนยาม 3.2.2 จะไดวา ระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล m ทสมาชกแตละ

ตวเปนสวนตกคางทไมเปนลบคานอยสดมอดโล m เรยกวา สวนตกคางทไมเปนลบคานอย

สดมอดโล m (least nonnegative residues modulo m )


1) 0,1,2,3,4,5 เปนระบบบรบรณของสวนตกคางมอดโล 6

2) 12,13,8, 3,22,11 เปนระบบบรบรณของสวนตกคางมอดโล 6

ถาน าสมาชกแตละตวในเซต สมาชกใน 12,13,8, 3,22,11 มาหาสวนตกคางท

ไมเปนลบคานอยสดมอดโล 6 จะไดดงน

12 0 mod6 , 13 1 mod6 , 8 2 mod6

3 3 mod6 , 22 4 mod6 , 11 5 mod6

จะเหนวา สมาชกใน 12,13,8, 3,22,11 จะสมภาคกบสมาชกในระบบสวน

ตกคางบรบรณมอดโล 6 ในลกษณะหนงตอหนงไดพอด ถาน าระบบสวนตกคางบรบรณ มอ

ดโล 6 มาหาเซตยอยทมสมาชกของเซตยอยเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ 6 เรยกเซตนวา

เปน ระบบสวนตกคางลดรปมอดโล 6 ดงบทนยามตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย,

2558, น. 118)



เซตยอยของระบบบรบรณของสวนตกคางมอดโล m ทอยในรป 1 2 ka ,a , ,a จะ

เรยกวา ระบบสวนตกคางลดรปมอดโล m (reduce residue system modulo

m ) กตอเมอ

1) ia ,m 1 ส าหรบทก ๆ i 1,2, ,k

2) i ja a modm ถา i j

3) ส าหรบจ านวนเตม n ท n,m 1 จะไดวาม k

a ทท าให

kn a modm

ส าหรบเซตยอยของระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล m อยในรป

a 0 a m, a,m 1 จะเรยกวา ระบบสวนตกคางลดรปทไมเปนลบคานอย

สดมอดโล m (least nonnegative reduced system modulo m)


1) 0,1,2,3,4,5,6,7 เปนระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล 8

แต 1,3,5,7 เปนระบบสวนตกคางลดรปทไมเปนลบคานอยสดมอดโล 8

2) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 เปนระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล 10

แต 1,3,7,9 เปนระบบสวนตกคางลดรปทไมเปนลบคานอยสดมอดโล 10

3.3 สมภาคเชงเสน

ในหวขอนจะกลาวถงการหาผลเฉลยและทฤษฎบทเกยวกบการหาผลเฉลยของ

สมภาคเชงเสน โดยเราจะเรมจากบทนยามดงตอไปน (นพพร ธนะชยขนธ, 2543, น. 81;

สมวงษ แปลงประสพโชค, 2545,น. 62; Raji, W., 2013, p. 60)



ให a,b และ m เปนจ านวนเตม ซง m 0 เรยกสมภาคทอยในรป

ax b modm วา สมภาคเชงเสนทม x เปนตวแปร (a linear congruence

in one variable x) เรยก 0

x ทท าให 0ax b modm เปนจรงวา ผลเฉลย

(solution) ของ ax b modm และถามจ านวนเตม 1

x ทท าให

1ax b modm เปนจ านวนจรงอกซง 0 1

x x modm แลวจะเรยก 0

x และ

1x วาเปนผลเฉลยทไมตางกนหรอผลเฉลยทสมภาคกน (congruent solution) แต

ถา 0

x ไมสมภาคกบ 1

x มอดโล m จะเรยก 0

x และ 1

x วาเปนผลเฉลยทตางกน

หรอผลเฉลยทไมสมภาคกน (incongruent solution)

ตวอยาง 3.3.1 จงหาผลเฉลยของ 2x 3 mod5

วธท า เนองจาก 2x 3 mod5 เปนสมภาคเชงเสนมอดโล 5 ทม x เปนตวแปรใน

มอดโล 5 จะมสมาชกในเซตของสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดเพยง 5 ตว ไดแก

0, 1,2,3,4 ทจะน าไปแทนคาของ x ในสมการ 2x 3 mod5 ดงน

แทนคา x 0 จะได 2 0 3 mod5





ดงนน x 4 เปนหนงในผลเฉลยของ 2x 3 mod5

กลาวคอ x 4 mod5 คอผลเฉลยของสมภาค

การใช Wolfram Alpha เพอหาผลเฉลยของ 2x 3 mod5 ดงภาพท

3.3.1


ผลลพธ x 4 5n และ n

ระบบสวนตกคางนอยสด มอดโล 5 คอ x 4

ภาพท 3.3.1 ผลเฉลยของ 2x 3 mod5

ตวอยาง 3.3.2 จงหาผลเฉลยของ 2x 6 mod4

วธท า เนองจาก 2x 6 mod4 เปนสมภาคเชงเสนมอดโล 4 ทม x เปนตวแปรใน

มอดโล 4 จะมสมาชกในเซตของสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดเพยง 4 ตว ไดแก

0, 1,2,3 ทจะน าไปแทนคาของ x ในสมการ 2x 6 mod4 ดงน





จะเหนวา x 1 และ x 3 เปนผลเฉลยของ 2x 6 mod4 และ

1 3 mod4 ดงนน x 1 และ x 3 เปนผลเฉลยทไมสมภาคกน

กลาวคอ x 1 mod4 และ x 3 mod4 คอผลเฉลยของสมภาค

จากตวอยางท 3.3.1 และ 3.3.2 เหนไดวาสมภาค ax b modm อาจม

หรอไมมผลเฉลยกได ซงวธการพจารณาวาสมภาค ax b modm จะมผลเฉลยหรอไม

นนจะอาศยทฤษฎบทตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 126-127; จราภา ลม

บพศรพร, 2555, น. 103-105; ณรงค ปนนม และ นตตยา ปภาพจน, 2547, น. 140-

142; Burton, D. M., 2007, pp. 76-77)

2x congruent3mod5



ให a,b และ m เปนจ านวนเตม ซง m 0 และ d a,m จะไดวา

1) สมภาคเชงเสน (linear congruence) ax b modm มผลเฉลยใน

จ านวนเตมกตอเมอ d b

2) ถา d b แลวสมภาคเชงเสน ax b modm มผลเฉลยอย d ตว ท

ผลเฉลยไมสมภาคกนในมอดโล m และผลเฉลยเหลานน คอ

0

mx x t modm

d เมอ t 0,1,2, ,d 1 โดยท

0x เปนผลเฉลย

หนงของ a b mx mod

d d d

บทพสจน

1) สมมตวา ax b modm มผลเฉลย

จะไดวา 0

x เปนจ านวนเตม ทท าให 0ax b modm

โดยบทนยาม 3.1.1 แสดงวา 0m ax b

เนองจาก d m และ d a ดงนน d b

สมมตวา d b จะมจ านวนเตม k ทท าให b dk และจาก

d a,m โดยทฤษฎบท 2.3.3 จะไดวาม 0 0

x ,y ทท าให

0 0

d ax my จะไดวา

0 0

0 0

b dk

ax my k

ax k my k

ดงนน 0

m ax k b นนคอ 0ax k b modm

แสดงวา ax b modm มผลเฉลยคอ 0

x k

การพสจนขอ 2 แบงเปน 2 ตอน


2) ตอนท 1 จาก a m, 1

d d

และ b

1d

แสดงวา a b mx mod

d d d

มผลเฉลยให 0

x เปนผลเฉลยหนงของ a b mx mod

d d d

จะไดวา 0

m a bx

d d d

แสดงวามจ านวนเตม k ทท าให

0

a b mx k

d d d 3.3.1

ให t เปนจ านวนเตม จะแสดงวา 0

mx t

d เปนผลเฉลยของสมการ

เพราะวา 0 0

m ama x t b ax t b

d d

0adx amt bd

d d d

0

a b ad x mt

d d d

m ad k mt

d d

(แทนคาจาก 3.3.1

am k t

d

จาก d a และ t เปนจ านวนเตม จะได 0

mm a x t b

d

นนคอ 0

ma x t b modm

d

แสดงวา

0

mx t

d เปนผลเฉลยของ

ax b modm ส าหรบทกจ านวนเตม t

ตอไปจะแสดงวาผลเฉลยของ ax b modm จะเขยนอยในรป

0

mx q

d เมอ q เปนจ านวนเตม

ให 1

x เปนผลเฉลยของ ax b modm


จะได 1ax b modm เนองจาก 0

ma x t b modm

d

จะไดวา 1 0

max a x t modm

d

ดงนน 1 0

a a m mx x t mod

d d d d

จาก a m, 1

d d

โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5 จะไดวา

1 0

m mx x t mod

d d

แสดงวาจะม จ านวนเตม 1

t ทท าให 1 0 1

m mx x t t

d d

จะไดวา 1 0 1

mx x t t

d

นนคอ ม 1

q t t เปนจ านวนเตมทท าให 1 0

mx x q

d

สรป ผลเฉลยของ ax b modm จะเขยนอยในรป

0

mx x t modm

d

เมอ t เปนจ านวนเตม

โดยท 0

x เปนผลเฉลยหนงของ a b mx mod

d d d

ตอนท 2 ให d a,m และ t เปนจ านวนเตม จะตองแสดงวา

ax b modm มผลเฉลย d ตว ทผลเฉลยไมสมภาคกนในมอดโล m

จาก d, t เปนจ านวนเตม โดยขนตอนวธการหารจะไดวา ม q,r เปนจ านวน

เตมทท าให

t dq r โดยท 0 r d

ดงนน 0 0 0

m m mx t x dq r x mq r

d d d


แสดงวา 0 0

m mx t x r modm

d d

โดยท 0 r d 1

สรป ผลเฉลยของ ax b modm จะมอย d ตวเทานนทผลเฉลยไมสม

ภาคกนในมอดโล m คอ

0

mx x t modm

d เมอ t 0,1,2, ,d 1

จากทฤษฎบท 3.3.1 เราพบวา

(1) ถา d | b แลวสมภาคเชงเสน ax b modm ไมมผลเฉลย

(2) ถา 0

x เปนผลเฉลยหนงของสมภาคเชงเสน a mx 1 mod

d d

แลว

1 0

bx x

d จะเปนผลเฉลยของ a b m

x modd d d

สมภาคเชงเสนทมผลเฉลยและมเพยงผลเฉลยเดยว ดงทฤษฎบทตอไปน

(ณรงค ปนนม และ นตตยา ปภาพจน, 2547, น. 142; สมวงษ แปลงประสพโชค, 2545,

น. 63; Burton, D. M., 2007, p. 77)


ถา a,m 1 แลวสมภาคเชงเสน ax b modm มเพยงผลเฉลยเดยว

บทพสจน

เพราะวา a,m 1 จะไดวา มจ านวนเตม r และ q ทท าให ar ms 1

เปนการรวมเชงเสน คณดวย b จะได

a rb m sb b

a rb b m sb

ดงนน a rb b modm

นนคอ rb เปนผลเฉลยของ ax b mod m ถาม q เปนผลเฉลยอก


คาหนง จะได aq b mod m ดงนน ax arb mod m

แต a,m 1 จะไดวา q rb mod m

สรปจะไดวา ax b mod m มผลเฉลยเพยงเดยว

ตวอยาง 3.3.3 จงหาผลเฉลยของ 4x 1 mod 15

วธท า 4x 1 mod 15 มผลเฉลย 1 ตว เพราะวา 4,15 1 ซง 1 1

ตวอยาง 3.3.4 จงหาผลเฉลยของสมภาคเชงเสนตอไปน มผลเฉลยหรอไม

1 3x 6 mod 15

2 4x 8 mod 15

3 6x 11 mod 15

วธท า 1 3x 6 mod 15 มผลเฉลย 3 ตว เพราะวา 3,15 3 ซง 3 6

2 4x 8 mod 15 มผลเฉลย 1 ตว เพราะวา 4,15 1 ซง 1 8

3 6x 11 mod 15 ไมมผลเฉลย เพราะวา 6,15 3 ซง 3 | 11


วธท า เนองจาก 9,21 3 ซง 3 15 ดงนน มผลเฉลย 3 ตว

จาก 9x 15 mod 21

9 15 21x mod

3 3 3

จากทฤษฎบท 3.3.1 ขอ 2

จะได 3x 5 mod 7

เพราะวา 12 5 mod 7 และ 3,7 1


ดงนน x 4 mod 7 หรอ x 4 +7t mod 21 เมอ t 0,1,2

นนคอ สมภาคเชงเสน มผลเฉลยคอ x 4,11,18 mod21


การใช Wolfram Alpha เพอหาผลเฉลยของ 9x 15 mod 21 ดงภาพท

3.3.2

ผลลพธ ระบบสวนตกคางนอยสด มอดโล 21 คอ

x 7n 4 และ n 0,1,2

ภาพท 3.3.2 ผลเฉลยของ 9x 15 mod 21



จาก 4x 100 mod 56

4 100 56x mod

4 4 4


จะได x 25 mod 14

เพราะวา 3 25 mod 14 (เพราะวา 3 25 28 และ 14 28)

ดงนน x 3 mod 14 หรอ x 3 +14t mod 56 เมอ t 0,1,2,3

นนคอ สมภาคเชงเสน มผลเฉลยคอ x 3,17,31,45 mod56

การใช Wolfram Alpha เพอหาผลเฉลยของ 4x 100 mod 56


9x congruent15mod21



x 14n 3 และ n 0,1,2,3




จาก 66x 121 mod 737

66 121 737x mod

11 11 11



เพราะวา 11 78 mod 67 (เพราะวา 11 78 67 และ 67 67 )


ดงนน x 13 mod 67

หรอ x 13 +67t mod 737 เมอ t 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

นนคอ สมภาคเชงเสน มผลเฉลยคอ

x 13,80,147,214,281,348,415,482,549,616,683 mod737

การใช Wolfram Alpha เพอหาผลเฉลยของ 66x 121 mod 737


4x congruent 100mod56



x 67n 13 และ n 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10


ตอไปจะกลาวถงตวผกผนมอดโล ดงบทนยามตอไปน (Raji, W., 2013, p.

62)


ถา a,m 1 ผลเฉลยของสมภาคเชงเสน ax 1 modm จะเรยกวา ตวผกผน

(inverse) ของ a มอดโล m เขยนแทนดวยสญลกษณ a

ตวอยาง 3.3.8 จงหาตวผกผนของ 7 มอดโล 48

วธท า 7x 1 mod48 ตวผกผนของ 7 มอดโล 48 คอ 7

เพราะวา 7 7 1 mod48

นนคอ x 7 mod48

3.4 ทฤษฎเศษเหลอของชาวจน

ในหวขอน เราจะกลาวถงการหาผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคเชงเสนสองสม

ภาคหรอมากกวาสองสมภาค ตามหลกฐานทางประวตศาสตร ทเกดขนในสมยจนโบราณ

ประมาณครสตศตวรรษแรก ไดตงปญหาวา “จงหาจ านวนเตมเมอหารดวย 3 จะเหลอเศษ

2 เมอหารดวย 5 จะเหลอเศษ 3 และเมอหารดวย 7 จะเหลอเศษ 2” ปญหาดงกลาว

สามารถเขยนใหอยในระบบสมภาคเชงเสนไดดงน

66x congruent121mod737


x 2 mod 3 3.4.1

x 3 mod 5 3.4.2

x 2 mod 7 3.4.3

ปญหาดงกลาวไดมปรากฏในหนงสอเลขคณต (Introduction Arithmaticae)

ของนกคณตศาสตรชาวกรกชอ นโคมาคส (Nicomachus) แตในขณะเดยวกนประมาณ

ครสตศตวรรษท 7 ไดพบปญหาของพรหมคปต (Brahmagupta) หาพนทรปสเหลยม

แนบในวงกลม ในประเทศอนเดย อยางไรกตามประมาณป ค.ศ. 1247 การหาผลเฉลย

รวมกนของระบบสมภาคเชงเสนไดถกตพมพโดย Ch’in Chiu-Shao เปนนกคณตศาสตร

ชาวจน เพอใหเปนเกยรตแกชาวจนจงเรยกทฤษฎบทเกยวกบการหาผลเฉลยรวมกนของ

ระบบสมภาคเชงเสน วา ทฤษฎเศษเหลอของชาวจน (Chinese remainder theorem)

ดงทฤษฎบทตอไปน (นพพร ธนะชยขนธ, 2543, น. 90-91; สมวงษ แปลงประสพโชค,

2545, น. 67-68; Rosen, K. H., 2005, p. 159)

ทฤษฎบท 3.4.1 ทฤษฎบทเศษเหลอของชาวจน (chinese remainder theorem)

ให 1 2 r

m ,m , ,m เปนจ านวนเฉพาะสมพทธบวกทกค แลวระบบสมภาคเชงเสน

ตอไปน

1 1x a mod m

2 2x a mod m

r rx a mod m

จะมผลเฉลยรวมกนเพยงผลเฉลยเดยวมอดโล (unique solution modulo)

1 2 rM m m m


บทพสจน

ก าหนดให 1 2 r

M m m m และ k 1 2 k 1 k 1 rk

MM m m m m m

m

เนองจาก 1 2 r

m ,m , ,m เปนจ านวนเฉพาะสมพทธบวกทกค

ดงนน k kM ,m 1 เพราะฉะนนสมภาคเชงเสน k k

M x 1 modm

มเพยงผลเฉลยเดยว ผลเฉลยใหเปน k

x

จะได k k kM x 1 modm และจะได k k k k k

a M x a modm

พจารณา k

M เนองจาก i k

m M ถา i k ก าหนดให

1 1 1 r r ry a M x a M x จะไดวา

1 1 1 r r r k k k k k ky a M x a M x a M x modm a modm

ดงนน y เปนผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคเชงเสน ตอไปจะแสดงวา ระบบสมภาคเชงเสนมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยวทแตกตางกน

มอดโล M

ก าหนดให x เปนผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคเชงเสน

จะไดวา k kx a modm ส าหรบ k 1,2, , r

ดงนน k ky a modm ดงนนจะได k

m y x

เนองจาก 1 2 r

m ,m , ,m เปนจ านวนเฉพาะสมพทธบวกทกค

จะได 1 2 rm ,m , ,m y x

นนคอ 1 2 rx y modm ,m , ,m หรอ x y modM

ตวอยาง 3.4.1 จงหาผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคเชงเสน

x 2 mod 3

x 3 mod 5

x 2 mod 7


วธท า จาก 1 2 r

M m m m

1 1 1 2 2 2 3 3 3x a M x a M x a M x modM

kk

MM

m และ

kx คอผลเฉลยของ k k

M x 1 modm

จาก 1 2

m 3, m 5 และ 3

m 7 จะได M 3 5 7 105

ดงนน 1 2 3

3 5 7 3 5 7 3 5 7M 35, M 21, M 15

3 5 7

จาก 1 2

a 2, a 3 และ 3

a 2

ตอไปจะหา k

x จาก k kM x 1 modm ดงน

135x 1 mod3 จะได 1

x 2 mod3 (เพราะวา 1 70 mod3 )





นนคอ x 2 35 2 3 21 1 2 15 1 233 mod105

x 23 mod105 (เพราะวา 223 23mod 105 ;105 2 210 )

เปนผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคเชงเสน

การใช Wolfram Alpha เพอหาผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคในตวอยาง

3.4.1 ดงภาพท 3.4.1

ผลลพธ 23

ภาพท 3.4.1 ผลเฉลยรวมกนของ x 2 mod 3 x 3 mod 5 และ

x 2 mod 7

ChineseRemainder[{2,3,2},{3,5,7}]


3.5 ทฤษฎบทของวลสน

จอหน วลสน (John Wilson, ค.ศ. 1741-1793) ซงเปนศษยคนหนงของนก

คณตศาสตรชาวองกฤษชอ เอดเวรด วอรนนง (Edward Waring ค.ศ. 1734-1798)

วอรนนง ไดกลาวไวในหนงสอซงถกตพมพในป ค.ศ. 1770 วาศษยของเขาชอ วลสน ไดตง

ขอคาดการณ (Conjecture) ไววา ถา p เปนจ านวนเฉพาะ แลว p หาร p 1 ! 1

ลงตว แนวคดพนฐานมาจากการค านวณ ซงวลสนสงเกตวา 2 หาร 1 1 ! 1 2, 3

หาร 3 1 ! 1 3, 5 หาร 5 1 ! 1 25 และ 7 หาร 7 1 ! 1 721

เปนตน อยางไรกตามทงวอรนนงและวลสนไมสามารถพสจนขอความคาดการณนได

จนกระทงป ค.ศ. 1771 นกคณตศาสตรชาวอตาล ชอ โฌแซฟ หลยส ลากรองฌ (Joseph

Louis Lagrange ค.ศ. 1736-1813) ไดพสจนขอความดงกลาวนไดส าเรจ และเรยกชอ

ทฤษฎบทดงกลาววา ทฤษฎบทของวลสน (Wilson’s theorem) ดงจะกลาวถงทฤษฎ

บทของวลสนในรปสมภาค ดงน (Rosen, K. H., 2005, pp. 215-216)

ทฤษฎบท 3.5.1 ทฤษฎบทของวลสน (Wilson’s theorem)

ถา p เปนจ านวนเฉพาะ จะไดวา p 1 ! 1 modp

บทพสจน

ถา p 2 จะไดวา 2 1 ! 1 mod2 ดงนน เปนจรงส าหรบ p 2

ส าหรบ p 2 โดยทฤษฎบท 3.3.1 ให a เปนจ านวนเตม ซง 1 a p 1

ดงนน a,p 1 โดยทฤษฎบท 3.3.2 จะมจ านวนเตม 'a ซง '1 a p 1

ทท าให 'aa 1 modp ดงนน a 1 หรอ a p 1 ท าใหไดวา ทก a ท

2 a p 2 ม 'a เพยงตวเดยวท '2 a p 2 จะจบคกนได p 3

2

ค

ทผลคณแตละคจะสมภาคกบ 1 มอดโล p

เพราะฉะนน 2 3 4 p 2 1 modp ทท าให

p 1 ! 1 2 3 4 p 2 p 1 1 p 1 1 modp


ตวอยาง 3.5.1 จงใชทฤษฎบทของวลสนหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 30!

มอดโล 31

วธท า จากทฤษฎบทของวลสน p 31 เปนจ านวนเฉพาะ

ดงนน 31 1 ! 1 mod31

30! 1 mod31

แต 30 1 mod31

นนคอ 30! 30 mod31

การใช Wolfram Alpha เพอหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 30!

มอดโล 31 ดงภาพท 3.5.1

ผลลพธ 30

ภาพท 3.5.1 สวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 30! มอดโล 31

ทฤษฎบทตอไปจะกลาวถงบทกลบของทฤษฎบทของวลสนเปนจรง (จราภา ลมบพ

ศรพร, 2555, น. 130-131; Rosen, K. H., 2005, pp. 216-217)

ทฤษฎบท 3.5.2 บทกลบของทฤษฎบทของวลสน

ถา n เปนจ านวนเตมบวก ซง n 2 ถา n 1 ! 1 modn แลว n เปน

จ านวนเฉพาะ

บทพสจน

สมมต n เปนจ านวนประกอบ และ n 1 ! 1 modn

เนองจาก n เปนจ านวนประกอบ n ab ซง 1 a n และ 1 b n

30!mod31


จาก a n ดงนน a n 1 ! แตจากสมมตฐาน n 1 ! 1 modn

โดยบทนยาม 3.1.1 จะไดวา n n 1 ! 1

เพราะวา a n

โดยทฤษฎบท 2.1.1 ขอ 3 จะไดวา a n 1 ! 1

โดยทฤษฎบท 2.1.1 ขอ 9 จะไดวา a n 1 ! 1 n 1 !

นนคอ a 1 แสดงวา a 1 เกดขอขดแยง เพราะวา a 1

เราอาจประยกตใชทฤษฎบทของวลสนโดยใชขอความแยงสลบท ในการตรวจสอบ

วาจ านวนเตมทก าหนดใหเปนจ านวนเฉพาะหรอไม กลาวคอ ถา n 1 ! 1 modn

แลว n ไมเปนจ านวนเฉพาะ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.5.2 จงแสดงวา n 6 เปนจ านวนเฉพาะหรอไมโดยใชทฤษฎบทของวลสน

วธท า จาก n 6 โดยใชขอความแยงสลบทของทฤษฎบทของวลสน

จะเหนวา 6 1 ! 5! 120 0 1 mod6

เพราะฉะนนทฤษฎบทของวลสน จะไดวา 6 ไมเปนจ านวนเฉพาะ

3.6 ทฤษฎบทเลกของแฟรมา

นกคณตศาสตรชาวฝร งเศสชอ ปแยร เดอ แฟรมา (Pierre de Fermat,

ประมาณ ค.ศ. 1601-1665) คนพบทฤษฎบททส าคญตาง ๆ มากมายในทฤษฎจ านวน ใน

ป ค.ศ. 1640 แฟรมาสงจดหมายถงเพอนซงเปนนกคณตศาสตรชาวฝรงเศสชอ เบอรนารด

แฟรนเคล เดอ เบสซ (Bernard Frénicle de Bessy, ค.ศ. 1604-1674) ขอความใน

จดหมายวา “จ านวนเฉพาะ p หาร p 1a 1 ลงตว เมอ a เปนจ านวนเตมใด ๆ ซงหาร

ดวย p ไมลงตว” แตแฟรมาไมไดเขยนวธพสจนในจดหมาย ขอความของแฟรมานเปนท

รจกกนในนามทฤษฎบทเลกของแฟรมา (Fermat’s little theorem) ซงตงขนเพอแยก

ความแตกตางระหวางทฤษฎบทเลกของแฟรมาและทฤษฎบทสดทายของแฟรมา

(Fermat's last theorem) จนกระท ง ในป ค .ศ . 1736 เลออนฮารด ออยเลอร

(Leonhard Euler, ค.ศ. 1707-1783) ไดเปนผพสจนทฤษฎบทเลกของแฟรมาเปนคน


แรก (จราภา ลมบพศรพร , 2555, น. 125-126; ณรงค ปนนม และ นตตยา ปภาพจน,

2547, น. 156; Rosen, K. H., 2005, pp. 217-218)

ทฤษฎบท 3.6.1 ทฤษฎบทเลกของแฟรมา (Fermat’s little theorem)

ก าหนดให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตม ถา p | a แลว

p 1a 1 modp

บทพสจน

ก าหนดให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตม ซง p | a

พจารณาจ านวนเตม p 1 จ านวนดงน a,2a,3a, , p 1 a

ถา ia 0 modp ส าหรบบาง i 1,2, ,p 1

จะไดวา p ia โดยทฤษฎบท 2.5.1

จะไดวา p i หรอ p a แตเนองจาก p | a เพราะฉะนน p i เกดขอขดแยง

เพราะวา 1 j p 1

ดงนน ia ja modp ส าหรบบาง i, j ซง 1 i j p

เนองจาก p,a 1 โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5 จะไดวา i j modp

นนคอ p i j เกดขอขดแยง เพราะวา 0 i j p

ดงนน ia ja modp p 1 ส าหรบบาง i, j ซง 1 i j p

เพราะฉะนนสวนตกคางทเปนบวกคานอยสดของ a,2a,3a, , p 1 a

มอดโล p คอ 1,2, , p 1 โดยไมค านงถงล าดบ ท าใหไดวาส าหรบแตละ

i 1,2, , p 1 จะม ij 1,2, , p 1 ซง i

ia j modp

คณสมภาคทงหมดเขาดวยกนจะได

a,2a,3a, , p 1 a 1 2 3 p 1 modp

หรอ p 1a p 1 ! p 1 ! modp


เพราะวา p 1 !,p 1 โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5

จะไดวา p 1a 1 modp

เราจะประยกตใชทฤษฎบทเลกของแฟรมาเพอชวยในการหาเศษเหลอทเกดจาก

การหารจ านวนเตมใด ๆ ดวยจ านวนเฉพาะ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.6.1 จงหาเศษเหลอทเกดจากการหาร 10157 ดวย 31

วธท า พจารณา 1015 30 33 25 จะได 1015 30 33 257 7

จากทฤษฎบทเลกของแฟรมา p 1a 1 modp โดยท p 31 และ a 7

จะไดวา 307 1 mod7

พจารณา 257 จะได

27 49 18 13 mod31

4

8

16

7 13 13 324 14 mod31

7 14 14 196 10 mod31

7 10 10 100 7 mod31

จะได 1 8 16257 7 7 7 7 10 7 490 25 mod31

ดงนน 1015 3330 33 257 7 1 25 25 mod31

นนคอ เศษเหลอทเกดจากการหาร 10157 ดวย 31 คอ 25

การใช Wolfram Alpha เพอหาเศษเหลอทเกดจากการหาร 10157 ดวย 31


ผลลพธ 25

ภาพท 3.6.1 เศษเหลอทเกดจากการหาร 10157 ดวย 31

7^1015mod31


ทฤษฎบทเลกของแฟรมาสามารถขยายไปสกรณทจ านวนเตม a อาจไปเปน

จ านวนเฉพาะสมพทธกบจ านวนเฉพาะ p ดงทฤษฎบทตอไปน (จราภา ลมบพศรพร,

2555, น. 127; Rosen, K. H., 2005, p. 218)


ก าหนดให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตม แลว pa a modp

บทพสจน ก าหนดให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตม

ถา p a แลว a 0 modp โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.5

จะได pp a แลว pa a 0 modp ดงนน pa a modp

ถา p | a โดยทฤษฎบท 3.6.1 เราทราบวา p 1a 1 modp

คณดวย a ทงสองขางของสมภาคจะได pa a modp

ตวอยาง 3.6.2 จงหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 2013 มอดโล 11

วธท า จากทฤษฎบทเลกของแฟรมา โดยท p 11 และ a 3

จะไดวา 103 1 mod11

พจารณา 210 10 20 1

จาก 20

10210 10 20 13 3 3 3

จะได 20

103 3 1 3 mod11

ดงนน เศษเหลอทเกดจากการหาร 2013 มอดโล 11 คอ 3

นนคอ 3 เปนสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 2013 มอดโล 11

การใช Wolfram Alpha เพอหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 2013

มอดโล 11 ดงภาพท 3.6.2


ผลลพธ 3

ภาพท 3.6.2 สวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 2013 มอดโล 11

นอกจากนเราอาจประยกตใชทฤษฎบทเลกของแฟรมาเพอหาตวผกผน (inverse)

ของจ านวนเตมมอดโลจ านวนเฉพาะ p ดงทฤษฎบทตอไปน (จราภา ลมบพศรพร, 2555,

น. 128; Rosen, K. H., 2005, p. 218)


ก าหนดให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตม ถา p | a แลว p 2a เปน

ตวผกผน (inverse) ของ a มอดโล p

บทพสจน

สมมต p | a โดยทฤษฎบทเลกของแฟรมา จะไดวา p 1a 1 modp

เพราะฉะนน p 2 p 1a.a a 1 modp

ดงนน p 2a เปนตวผกผนของ a มอดโล p

ตวอยาง 3.6.3 ก าหนดให p 11 และ a 2 จงหาตวผกผนของ a มอดโล p

วธท า

จากทฤษฎบท 3.6.2 จะไดวา p 2 11 2 9a 2 mod112 512 6

นนคอ 6 เปนตวผกผนของ 2 มอดโล 11

การใช Wolfram Alpha เพอหาตวผกผนของ 2 มอดโล 11 ดงภาพท 3.6.3

3^201mod11


ผลลพธ 6

ภาพท 3.6.3 ตวผกผนของ 2 มอดโล 11

3.7 ทฤษฎบทของออยเลอร

นกคณตศาสตรชาวสวสชอ เลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler, ค.ศ.

1707-1783) ไดเปนผพสจนและตพมพทฤษฎบทเลกของแฟรมาเปนคนแรกในป ค.ศ.

1736 ตอมาในป ค.ศ. 1760 ออยเลอร ไดพสจนนยทวไปของทฤษฎบทเลกของแฟรมาจาก

กรณสมภาคทมมอดลสเปนจ านวนเฉพาะไปสกรณมอดลสเปนจ านวนเตมบวก ใด ๆ ดง

บทนยามตอไปน (Rosen, K. H., 2005, p. 233)

บทนยาม 3.7.1 ฟงกชนออยเลอร-ฟ (Euler phi-function)

ก าหนดให m เปนจ านวนเตมบวกใด ๆ ฟงกชนออยเลอร-ฟ (Euler phi-function)

เขยนแทนดวย m หมายถงจ านวนของจ านวนเตมบวกทไมเกน m และเปนจ านวน

เฉพาะสมพทธกบ m

ตวอยาง 3.7.1 จงหา 12

วธท า 12 4 เพราะมจ านวนเตมบวก 4 จ านวน ทเปนจ านวนเตมบวกทไมเกน 12

และเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ 12 คอ 1,5,7 และ 11

inverse of 2 mod 11



ก าหนดให m เปนจ านวนเตมบวก เรยกเซตของจ านวนเตม m ตวโดยทสมาชก

แตละตวเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ m และไมมสมาชกสองตวใด ๆ ทตางกนสมภาค

กนมอดโล m วาระบบสวนตกคางลดรปมอดโล m (reduce residue system

modulo m )

ตวอยาง 3.7.2 จากตวอยาง 3.7.1 จะไดวาระบบสวนตกคางลดรปมอดโล 12 คอ เซต

1,5,7,11

กอนทจะกลาวถงทฤษฎบทของออยเลอร เราจะพสจนทฤษฎบทตอไปนซงแสดงวา

ถา a เปนจ านวนเตมบวกซงเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ m แลวส าหรบแตละ

i 1,2, , m จะม ij 1,2, , m ซ ง i ijaa a modm ดงทฤษฎบท

ตอไปน (จราภา ลมบพศรพร , 2555, น. 134-135; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 143;

Rosen, K. H., 2005, p. 233)


ก าหนดให m เปนจ านวนเตมบวก ถา 1 2 m

a ,a , ,a

เปนจ านวนเตมบวกซง

ia m และ i

a ,m 1 ส าหรบทก 1 i m ถา a เปนจ านวนเตมบวก ซง

a,m 1 แลวจ านวนเตม 1 2 m

aa ,aa , ,aa

จะสมภาคมอดโล m กบ

1 2 ma ,a , ,a

โดยไมค านงถงล าดบ

บทพสจน ก าหนดให a เปนจ านวนเตมบวก ซง a,m 1

พจารณา 1 2 m

aa ,aa , ,aa

จะแสดงวา 1 i m จะม i1 j m ซง

ii jaa a modm


ถา i jaa aa modm ส าหรบบาง 1 i j m เนองจาก

a,m 1 โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5 จะไดวา i ja a modm

ซงเปนไปไมได เพราะฉะนน i jn a a เกดขอขดแยง เพราะวา

i j0 a ,a m

ท าใหไดวา i j

0 a a m

ดงนน i jaa aa modm ส าหรบ i, j 1,2, , m ซง i j

เนองจาก ia ,m 1 และ a,m 1

จะได iaa ,m 1 ส าหรบทก 1 i m

ให i

aa เปนจ านวนทเลอกมาจ านวนหนง จะมจ านวนเตม ir ซง

i1 r m

และ ir,m 1 จะได

i iaa r modm 3.7.1

แตเนองจาก i

0 r m เพราะฉะนนจะม i1 j m ซง i ijr a

ดงนนจาก 3.7.1 จะได i ijaa a modm

ทฤษฎบทตอไปน จะกลาวถงทฤษฎบทของออยเลอร (จราภา ลมบพศรพร, 2555,

น. 135; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 144; Rosen, K. H., 2005, p. 235)

ทฤษฎบท 3.7.2 ทฤษฎบทของออยเลอร (Euler’s theorem)

ก าหนดให m เปนจ านวนเตมบวก และ a เปนจ านวนเตม ซง a,m 1 จะไดวา m

a 1 modm

บทพสจน สมมต a,m 1 ก าหนดให

1 2 ma ,a , ,a

เปนจ านวนเตมซง

i

0 a m และ ia ,m 1 ส าหรบ 1 i m

เนองจาก a,m 1 โดยทฤษฎบท 3.7.1 จะไดวาจ านวนเตม

1 2 m

aa ,aa , ,aa

สมภาคกบ 1 2 m

a ,a , ,a

โดยไมค านงถงล าดบ


ดงนน

1

2

m m

1

2

aa a modm

aa a modm

aa a modm

คณสมภาคเหลานเขาดวยกนจะได

1 2 1 2m maa aa aa a a a modm

หรอ

m

1 1 2m ma aa a a a a modm

เนองจาก ia ,m 1

ดงนน 1 2 m

a a a ,n 1

โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5 จะไดวา m

a 1 modm

จากทฤษฎบทของออยเลอร ถา m p เปนจ านวนเฉพาะแลว

m p p 1 ดงนน ถา a,p 1 แลว pp 1a a 1 modm

จะเหนวาทฤษฎบทเลกของแฟรมาเปนกรณเฉพาะของทฤษฎบทออยเลอรเมอมอดลส m

เปนจ านวนเฉพาะ

ตวอยาง 3.7.3 จงหาเศษเหลอทไดจากการหาร 5011 ดวย 180

วธท า เนองจาก 11,180 1 และ

2 2 1 1 1180 2 3 5 180 1 1 1 48

2 3 5

(วธการหา m ท m มคามาก จะกลาวในหวขอ 5.2 ฟงกชนออยเลอร-ฟ)

โดยทฤษฎบทของออยเลอร จะได


180 4811 11 1 mod180

คณดวย 211 ทงสองขาง จะได

5011 121 mod180

ดงนน เศษเหลอทเกดจากการหาร 5011 ดวย 180 คอ 121

การใช Wolfram Alpha เพอหา 180 และเศษเหลอทไดจากการหาร 5011

ดวย 180 ดงภาพท 3.7.1 และ ภาพท 3.7.2

ผลลพธ 48

ภาพท 3.7.1 180 48

ผลลพธ 121

ภาพท 3.7.2 เศษเหลอทไดจากการหาร 5011 ดวย 180

ตวอยาง 3.7.4 จงหาเลขทาย 2 ตวของ 2563

วธท า ตวอยางนเปนการหาเศษเหลอเหมอนกนตวอยาง 3.7.3 คอการหาเศษเหลอทได

จากการหาร 2563 ดวย 100

เนองจาก 3,100 1 และ

2 2 1 1100 2 5 100 1 1 40

2 5

11^50mod180

Phi (180)


โดยทฤษฎบทของออยเลอร จะได

100 403 3 1 mod180

โดยชนตอนวธการหาร 256 6 40 16 ดงนน

6

256 6 40 16 40 16 16 163 3 3 3 1 3 3 mod100 3.7.2

แตเนองจาก 43 81 19 mod100

เพราะฉะนน

16 4 2 2 2

3 19 361 61 39 1521 21 mod100 3.7.3

ดงนนจาก 3.7.2 และ 3.7.3 จะได

2563 21 mod100

ดงนน เลขทาย 2 ตวของ 2563 คอ 21

การใช Wolfram Alpha เพอหาเลขทาย 2 ตวของ 2563 ดงภาพท 3.7.3

ผลลพธ 21

ภาพท 3.7.3 เลขทาย 2 ตวของ 2563

ในบทท 3 ไดกลาวถงสมบตทส าคญเกยวกบสมภาค ซงสมภาคเปนความสมพนธ

สมมลบนเซตของจ านวนเตมทชวยในการหาผลเฉลยทตองคดค านวณซบซอนใหงายขน จาก

ขนตอนวธการหารในบทท 2 ถาหารไมลงตวจะมเศษเหลอจะเรยกเศษเหลอนนวา

สวนตกคาง และสวนตกคางทมากกวาหรอเทากบศนย จะเรยกวาสวนตกคางทไมเปนลบคา

นอยสด ส าหรบการหาผลเฉลยของสมภาคเชงเสน อาจมหรอไมมผลเฉลยกได ตองอาศย

ทฤษฎทส าคญชวยในการตรวจสอบ สวนทฤษฎเศษเหลอของชาวจนกเปนอกทฤษฎหนงท

ชวยในการหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชงเสน และในบทนยงไดกลาวถง ทฤษฎบทของ

3^256mod100


วลสน ทฤษฎบทเลกของแฟรมา และทฤษฎบทของออยเลอร ทเกยวของกบการหารลงตว

ของจ านวนเฉพาะอกดวย ในบทท 3 เปนพนฐานส าคญทจะชวยในการหาผลเฉลยทเปน

จ านวนเตมของระบบสมการไดโอแฟนไทน ดงจะกลาวในบทท 4 ตอไป

แบบฝกหดบทท 3

1. ถา a b modm จงพสจนวา a,m b,m

2. ถา 1a b modm และ 2

a b modm และ 1 2m ,m 1 แลว

จงพสจนวา 1 2a b modm m

3. ถา 2 2a b modp เมอ p เปนจ านวนเฉพาะ แลว p a b หรอ

p a b

4. จงแสดงวา 2,4,6, ,2m ไมเปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล m เมอ

m เปนจ านวนเฉพาะค 5. จงหาเศษเหลอซงเกดจากการหาร a ดวย m เมอก าหนด a และ m ดงตอไปน

5.1 100a 2 และ m 5 5.2 58a 3 และ m 7

5.3 98a 2 และ m 11 5.4 a 3 และ m 13 6. จงหาเศษเหลอทไดจากการหาร 1! 2! 3! 99! 100! ดวย 15

7. 103224 หารดวย 13 เหลอเศษเทาไร 8. จงหาเศษเหลอทไดจากการหาร จ านวนในแตละขอตอไปน

8.1 5020 หารดวย 7 8.2 6541 หารดวย 7 8.3 107 หารดวย 51 8.4 215 หารดวย 127

9. จงหาผลเฉลยทงหมดของสมภาคเชงเสนตอไปน

9.1 2x 5 mod7 9.2 235x 54 mod7

9.3 29x 5 mod34 9.4 35x 5 mod14

9.5 19x 30 mod40 9.6 980x 1500 mod1600


9.7 17x 14 mod21 9.8 128x 833 mod1001

9.9 140x 133 mod301

9.10 40x 191 mod6191

10. จงหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชงเสน ตอไปน

10.1 x 3 mod4

x 2 mod5

10.2 x 5 mod12

x 7 mod19

10.3 2x 1 mod3

3x 2 mod5

5x 4 mod7

10.4 5x 3 mod7

2x 4 mod8

3x 6 mod9

11. ถาหยบลกหนจากถงซงบรรจลกหนจ านวนหนงครง 3,4,5,7 และ 11 ลกแตละครงจะเหลอ ลกหนอยในถง 1 ลกเสมอ จงหาจ านวนลกหนในถง (ตอบจ านวนนอยทสดเทาทสดเทาทเปนไปได)

12. ถาหยบไขออกจากตะกราใบหนงครงละ 3,4,5 ฟองตามล าดบ จะเหลอไขในตะกรา 2,3,4 ฟอง ตามล าดบ แตถาจะหยบครงละ 7 ฟอง ไขหมดตะกราพอด จงหาจ านวนไขในตะกราทนอยทสดเทาทเปนไปได

13. จงใชทฤษฎบทของวลสนหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ n มอดโล p ในแตละขอตอไปน 13.1 n 88! p 89 13.2 n 21! p 23

13.3 n 64! p 67 13.4 31!

n p 1122!

14. จงพสจนวา ถา p เปนจ านวนเฉพาะคแลว 2 p 3 ! 1 modp

15. จงใชทฤษฎบทเลกของแฟรมาหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ n มอดโล m ในแตละขอตอไปน 15.1 202n 29 m 13 15.2 71n 71 m 17

15.3 100000n 3 m 19 15.4 999999n 99 m 23

16. จงหา m ส าหรบจ านวนเตม m ตงแต 1 ถง 25


17. จงใชทฤษฎบทเลกของออยเลอรหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ n มอดโล m ในแตละขอตอไปน 17.1 198n 29 m 20 17.2 79n 79 m 9

17.3 100000n 3 m 14 17.4 999999n 99 m 26

18. ให n เปนจ านวนเตมทหารดวย 3 ไมลงตว จงพสจนวา 7n n mod63

19. ให n เปนจ านวนเตมทหารดวย 9 ลงตว จงพสจนวา 7n n mod63

20. ให n เปนจ านวนเตมทเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ 72 จงพสจนวา

12n 1 mod72

21. จงหาจ านวนเตม ซงหารดวย 2,3,6 แล 12 แลวเหลอเศษ 1,2,3 และ 5 ตามล าดบ

22. จงหาจ านวนเตม ซงหารดวย 3,4,5 แล 6 แลวเหลอเศษ 2,3,4 และ 5 ตามล าดบ

23. โจรสลดกลมหนงม 17 คน ไดขโมยเหรยญทองค ามา 1 ถง กลมโจรคดจะแบงเหรยญ คนละเทา ๆ กน ปรากฏวาเหลอเศษ 3 เหรยญ แตในขณะทยงตกลงไมไดวาเศษทเหลอจะเปนของใครปรากฏวาโจรสลดไดถกฆาตาย 1 คน จงตองแบงเหรยญกนใหม คดแลวเหลอเศษ 10 เหรยญ แตยงไมตกลงแบง โจรสลดไดถกฆาตายอก 1 คน จงตองแบงเหรยญ กนใหมระหวางผทมชวตรอดน ซงแบงไดพอด จงหาจ านวนเหรยญทนอยทสดทถกขโมย

บทที่ สมภาค¸šทที่ 3(2).pdf · บทที่ . 3. สมภาค....

Documents