บทที่ 3...
TRANSCRIPT
บทที ่3 การเคลื่อนทีใ่นหนึ่งมติิ
3.1 ตาํแหน่งและการกระจดั
ตําแหน่ง (position) คือ การบอกให้ทราบวา่ วตัถหุรือสิง่ของที่เราพิจารณาอยูท่ี่
ใด เทียบกบัจดุอ้างอิง
วตัถอุยูท่ี่ตําแหน่ง x = x1 ที่เวลา t1 หมายถงึ วตัถอุยูท่ี่ระยะทาง x1 จากจดุ O
(จดุอ้างอิง) ที่เวลา t1
ถ้าวตัถเุลื่อนที่ไปอยูท่ี่ x2 ที่เวลา t2 แสดงวา่ วตัถไุด้มีการเคลื่อนที่ไประหวา่งเวลา
t1 และ t2
-X +Xx1 x2O
การกระจัด (displacement)
การเปลี่ยนตําแหน่งของวตัถจุาก x = x1 ไปเป็น x = x2 หรือ x2 – x 1
การกระจดั หมายถงึ การเปลี่ยนตําแหน่งของวตัถไุปจากตําแหน่งปกติ (สมดลุ)
2.2 ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ย
ความเร็ว (velocity) คือ การกระจดัตอ่เวลา
ความเร็วเฉลี่ย (average velocity) คือ การกระจดัหารด้วยชว่งเวลา
อตัราเร็ว (speed) เป็นปริมาณสเกลาร์ หมายถงึ ระยะทางของการเคลื่อนที่
ทัง้หมดโดยไมค่ํานงึถงึทิศทางหารด้วยเวลา
อตัราเร็วเฉลี่ย (average speed) คือ ระยะทางทัง้หมดที่เคลื่อนที่หารด้วยเวลา
-X +Xx1 x3O x2
พิจารณาการเคลื่อนที่ของวตัถจุาก x1 ไป x3 และจาก x3 กลบัมา x2 ใช้เวลา
ทัง้หมด (t2 – t1)
อตัราเร็วเฉลี่ย = (x3 – x1) + (x3 – x2) / (t2 – t1)
ความเร็วเฉลี่ย = (x2 – x1) / (t2 – t1)
ตวัอย่าง โยนลกูบอลขึน้ในแนวดิ่ง ลกูบอลลอยขึน้ไปได้สงู 5 เมตร แล้วตก
กลบัมายงัมือในเวลา 2 วินาที
อตัราเร็วเฉลี่ย = ระยะทางทัง้หมดที่เคลื่อนที่ / เวลา
= (5 เมตร + 5 เมตร) / 2 วินาที
= 5 เมตรตอ่วินาที
ความเร็วเฉลี่ย = การกระจดัทัง้หมด / เวลา
= 0 / 2
= 0 เมตรตอ่วินาที
(การกระจดัเป็นศนูย์เพราะ ลกูบอลกลบัมาที่เดิม)
2.3 ความเร็วและอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
ความเร็วขณะใดขณะหนึง่ (instantaneous velocity) คือ ความเร็วของวตัถใุน
ชว่งเวลาสัน้มากขณะผา่นจดุจดุหนึง่หรือที่เวลาใดเวลาหนึง่
X
t
x2
x1
OO
t1 t2
Q
P
ความชนัเป็นความเร็วที่ผา่น Q
ความชนัเป็นความเร็วเฉลี่ย
ความเร็วเฉลี่ย
ความชนัของเส้นตรงที่ลากผา่น PQ คือ (x2 – x1) / (t2 – t1)
ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
ความเร็วของวตัถทุี่ Q เป็นความเร็วขณะใดขณะหนึง่ที่เวลา t2 หรือ ที่จดุ Q
หาได้จากลมิิตของความชนั
ตวัอย่าง ความสมัพนัธ์ระหวา่งตําแหน่งกบัเวลาเป็นไปตามสมการ x = 5t2 เมตร
ให้ Q เป็นตําแหน่งที่ 2.00 วินาที คา่ของตําแหน่ง P ที่เวลาตา่งๆ ใกล้ Q และคา่ของ
ความชนัของเส้น PQ ดงัตาราง ลมิิตของความชนัที่ Q เป็น 20.00 เมตรตอ่วินาที
t (s) P (m) Q(m) ความชันของ PQ (m/s)
1.50 11.25 20.00 17.50
1.80 16.20 20.00 19.00
1.90 18.05 20.00 19.50
1.98 19.602 20.00 19.90
1.99 19.8005 20.00 19.95
1.995 19.9001 20.00 19.98
1.999 19.9800 20.00 20.00
1.9999 19.9980 20.00 20.00
ตารางแสดงคา่ x ของ P และ Q ที่เวลาตา่งๆ และคา่ความชนัของเส้น PQ
จากตาราง แสดงวา่ความชนัไมเ่ปลี่ยนเมื่อ t เข้าใกล้ 2.00 วินาทีมาก
2.4 ความเร่ง
ความเร่ง (acceleration) หมายถงึ การเปลี่ยนแปลงความเร็วตอ่เวลา
ถ้าที่เวลา t2 วตัถมุีความเร็ว v2 และที่เวลาก่อนนัน้คือ t1 วตัถมุีความเร็ว v1
ความเร่งเฉลี่ย =
ความเร่งขณะใดขณะหนึง่ =
กราฟของความเร็วกบัเวลา ความชนัของเส้นสมัผสัที่จดุตา่งๆ คือ ความเร่ง
ของวตัถทุี่จดุนัน้ๆ
อตัราเร่ง เป็นปริมาณสเกลาร์ ไมค่ิดทิศทางเชน่เดียวกบัอตัราเร็ว
กราฟระหว่างการกระจัดกบัเวลา (x-t)
ตวัอยา่งการเคลื่อนที่แบบตกอิสระระหวา่ง x กบั t จะได้กราฟเส้นโค้งพาราโบลา
การกระจดั (x)
t (วินาที)
ความเร็วที่ตําแหน่ง x0 = ความชนัของเส้นสมัผสัเส้นกราฟ ณ ตําแหน่ง (0, x0)
t
(t, x)
(0, x0)
x
x0
ความชนัของ T1 = v(t) = v
T0
T1
ความชนัของ T0 = v0
ความเร็วขณะใดขณะหนึง่ = ความชนัของเส้นสมัผสัเส้นกราฟ
O
กราฟระหว่างความเร็วกบัเวลา (v – t)
t
v
t
v0
at
v
v0
O
ความชนัของเส้นกราฟ = (v – v0) / (t – 0)
a = (v – v0) / (t – 0)
v = v0 + at
ระยะทาง x หาได้จาก
x = พืน้ที่สี่เหลี่ยม + พืน้ที่สามเหลี่ยม
ความเร่ง = ความชนัของเสน้กราฟระหวา่ง v กบั t ขณะเวลา t ใดๆ
กราฟระหว่างความเร่งกับเวลา (a – t)
วตัถทุี่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วเพิ่มขึน้หรือลดลงอยา่งสมํ่าเสมอ
v
tOv
tO
t
a
O
a = v / t
vav = a t
หาความเร็วเฉลี่ย
ได้จาก
พืน้ที่ใต้กราฟ a - t
ความเร็วเพิ่มขึน้
ความเร็วลดลง
t
a
t
-a
Ot
a
สมการการเคลื่อนที่กรณีความเร่งเป็นค่าคงตวั
วตัถทุี่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วแบบ
เพิ่มขึน้หรือลดลงอยา่งสมํ่าเสมอ กราฟ
ความเร็วกบัเวลาเป็นกราฟเส้นตรง
ความชนัทกุจดุบนเส้นตรงเทา่กนั
เวลา (t)
ความเร็ว
v0
tความชนั = มีคา่เทา่กบัความเร่ง ( a0 )
v
O
................สมการ (1.1)
การหาระยะทางที่วตัถเุคลื่อนที่ได้ พิจารณาจาก
กราฟ ชว่งเวลา t สัน้ๆ วตัถมุีความเร็ว v
ระยะทางที่วตัถเุคลื่อนที่ได้ในชว่งเวลา t คือ v
t
ระยะทางของการเคลื่อนที่ทัง้หมด ได้จากการรวม
vt ทัง้หมด โดยเริ่มจาก t = 0 จนถงึ t = t1
ระยะทางทัง้หมดสมมตวิา่เป็น (x1 – x0)
ความเร็ว
เวลาt1t
v1
v
v0
O
................สมการ (1.2)
ความเร็ว
เวลาt1t
v1
v
v0
O
จากกราฟ vt เป็นพืน้ที่ใต้กราฟ
การรวมพืน้ที่ vt ทัง้หมดจะได้พืน้ที่ใต้กราฟทัง้หมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหม ูมีคา่เทา่กบั
(1/2)(v0+v1)(t1-0)
........สมการ (1.3)
ระยะทางทัง้หมด
แทนคา่ v จากสมการ (1.1) จะได้
........สมการ (1.4)
v – v0 = a0t ดงันัน้ t = (v – v0)/a0
แทนคา่ t ลงในสมการ (1.3) จะได้
........สมการ (1.5)
สรุปเป็นสูตร
สตูรทัง้ 4 สตูรนีใ้ช้ได้ถกูต้องเฉพาะกรณีที่ a มีคา่คงตวัเทา่นัน้
ตวัอย่าง ถ้าการเคลื่อนที่ของก้อนหินในแนวดิง่ เกิดจากการโยนขึน้ด้วยความเร็วต้น
5.0 เมตรตอ่วินาที ซึง่จะมีความเร่งคงตวัในทิศลงมีคา่ 10 เมตรตอ่ (วินาที)2 ก้อน
หินจะใช้เวลาเทา่ใดจะถงึจดุสงูสดุ และใช้เวลาอีกเทา่ใดจงึจะกลบัถงึจดุที่โยน
ความเร็วเฉลี่ยของชว่งขาขึน้เป็นเทา่ใด และระยะทางถงึจดุสงูสดุเป็นเทา่ใด กราฟ
ของความเร็วสําหรับชว่งเวลาทัง้ขึน้และลงจะเป็นอยา่งไร
วธิีทาํ กําหนดให้ x เป็น การกระจดัในทิศขึน้
v เป็น ความเร็วในทิศขึน้
a เป็น ความเร่งในทิศขึน้ (a = -10 m/s2)
จากสมการ v = u + at
ความเร็วที่จดุยอดจะเป็น 0 และความเร็วต้น 5.0 m/s จะได้
0 = 5.0 + (-10 )t
t = 0.50 s
ก้อนหินใช้เวลา 0.50 วินาที จะถงึจดุสงูสดุ ANS1
เวลาในชว่งขาลง = เวลาในชว่งขาขึน้ เทา่กบั 0.50 วินาที เพราะการเคลื่อนที่ของ
ก้อนหินเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอยา่งเดิมในระยะทางเทา่กนักบัขาขึน้
ก้อนหินใช้เวลาอีก 0.50 วินาทีจงึจะกลบัถงึจดุที่โยน ANS2
ความเร็วเฉลี่ยของชว่งขาขึน้
(v + v0) / 2 = (0 + 5.0)/2
= 2.5 m/s ANS3
ระยะทางถงึจดุสงูสดุ = ความเร็วเฉลี่ย เวลา= 2.5 0.5 = 1.25 m ANS4
และกราฟของความเร็วกบัเวลาจะเป็นดงัรูป
O
-5.0
5.0
0.5 1.0 t(s)
v(m/s)
อาจตรวจสอบความถูกตอ้งของคาํตอบได้
จากสมการ
ใช้คา่เวลาของคําตอบ 1 แทนคา่จะได้
x = 5.0 0.5 + (1/2) 10 (0.50 )2 m = 1.25 m ตรงกบัคําตอบที่ 4
หากใช้สตูรระยะทางนี ้หาเวลาการเคลื่อนที่ขาลง ซึง่การกระจดัขาลงเป็น
-0.125 เมตร เพราะ การกระจดัมีทิศลง ใช้ความเร็วต้นเป็นศนูย์ (จากจดุยอด)
แทนคา่จะได้
-0.125 = 0 – (1/2)(-10) t2
t = +0.5 , -0.5 s ตรงกบัคําตอบที่ 1 และ 2
ตวัอย่างที่ 1 วตัถกุ้อนหนึง่มีการกระจดัเป็นไปตามสมการ x = 10t2 + 5 เมตร
จงคํานวณหาคา่ ก. ความเร็วที่เวลา t = 2 วินาที ข. ความเร่งที่เวลา t = 3 วินาที
วธิีทาํ
ก. ความเร็วขณะใดขณะหนึง่ = dx = d (10t2+5)dt dt
v(t) = 20 t เมตรตอ่วินาที
t = 2 วินาที , v = 20 x 2 = 40 เมตรตอ่วินาที
ข. ความเร่งขณะใดขณะหนึง่ = dv = d (20t)dt dt
a(t) = 20 เมตรตอ่วินาที 2
t = 3 วินาที , a = 20 เมตรตอ่วินาที 2
ตวัอย่างที่ 2 อนภุาคอนัหนึง่เดิมอยูน่ิ่ง แล้วทําให้เกิดความเร่ง = 3t เมตรตอ่วินาที 2
เมื่อ t คือ เวลา จงหาความเร่ง ความเร็ว และการกระจดั ภายหลงัเมื่อเคลื่อนที่ได้
นาน 5 วินาที
วธิีทาํ
ก. ความเร่ง a = 3t = 3x5 = 15 m/s2
ข. ความเร็ว
เมื่อ t0 = 0 , t = 5 s และ a = 3t จะได้
ค. การกระจดั
เมื่อ t0 = 0 , t = 5 s และ v = 3t2 / 2 จะได้
ตวัอย่างที่ 3 รถยนต์คนัหนึง่เคลื่อนที่ได้ 30 กิโลเมตร ในครึ่งชัว่โมงแรก และ
เคลื่อนที่ได้ระยะทาง 50 กิโลเมตร ในครึ่งชัว่โมงตอ่มา อตัราเร็วเฉลี่ยใน 1 ชัว่โมง
มีคา่เทา่ใด
วธิีทาํ อตัราเร็วเฉลี่ย = ระยะทาง
เวลา
= 30 กิโลเมตร + 50 กิโลเมตร
1/2 ชัว่โมง + 1/2 ชัว่โมง
= 80 กิโลเมตร/ชัว่โมง
คาํตอบ อตัราเร็วเฉลี่ย 80 กิโลเมตร/ชัว่โมง
ตวัอย่างที่ 4 ก้อนหินตกแบบเสรีจากที่สงูแหง่หนึง่ จะใช้เวลานานเทา่ใด ความเร็ว
ของก้อนหินจะเป็น 4 เทา่ของความเร็ว เมื่อสิน้วินาทีที่ 1 ของการเคลื่อนที่
วธิีทาํ หาความเร็วของก้อนหินเมื่อสิน้วินาทีที่ 1
จาก v = u + at
v = 0 + (-10) x 1
v = -10 เมตร/วินาที
หาเวลาที่ก้อนหินมีความเร็ว 40 m/s
จาก v = u + at
-40 เมตร/วินาที = 0 + (-10) x t
t = 4 วินาที
คาํตอบ ก้อนหินตกลงมาใช้เวลา 4 วินาที
ตวัอย่างที่ 5 วตัถชุิน้หนึง่เคลื่อนที่ในแนวตรงด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที
โดยมีความเร่ง 5 เมตร/วินาที 2 ขณะที่วตัถเุคลื่อนที่ได้ระยะทาง 480 เมตร วตัถุ
เคลื่อนที่มาแล้วกี่วินาที
วธิีทาํ
จากสตูร s = ut + ½ at 2
480 เมตร = 10 เมตร/วินาที . t + ½ x 5 เมตร/วินาที 2 . t2
960 = 20t + 5t2
(t - 12)(t + 16) = 0
t = 12 และ -16 วินาที แตเ่วลาเป็นลบไมม่ีความหมาย ดงันัน้วตัถุ
เคลื่อนที่มาแล้ว 12 วินาที
คาํตอบ วตัถเุคลื่อนที่มาแล้ว 12 วินาที
21
21
ตวัอย่างที่ 6 รถยนต์คนัหนึง่ออกวิ่งจากจดุหยดุนิ่งไปตามถนนตรงด้วยขนาด
ความเร่งคงตวัและวิ่งไปได้ไกล 75 เมตร ภายในเวลา 5 วินาที ขนาดของความเร่ง
ของรถยนต์เป็นทา่ใด
วธิีทาํ จากสตูร s = ut + ½ x at2
75 เมตร = 0 + ½ a 25 วินาที 2
a = 6 เมตร/วินาที 2
คาํตอบ ขนาดความเร่งของรถยนต์เป็น 6 เมตร/วินาที 221
21
ตวัอย่างที่ 7 โยนก้อนหินไปตามแนวดิง่ด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที ถามวา่
ก. เมื่อใดก้อนหินมีความเร็วเป็นศนูย์
ข. ก้อนหินขึน้ไปได้สงูสดุเทา่ใด
ค. เป็นเวลานานเทา่ใดก้อนหินจงึจะตกลงมาถงึตําแหน่งเริ่มต้น
วธิีทาํ
ก. จากสตูร v = u + at
0 = 10 เมตร/วินาที + (-10) เมตร/วินาที 2 x t
t = 1 วินาที
คาํตอบ ก้อนหินมีอตัราเร็วเป็นศนูย์หลงัจากโยนขึน้ไปนาน 1.0 วินาที
ข. จากสตูร s = (u+v)t / 2
= (10 เมตร/วินาที + 0 ) × 1.0 วินาที
2
= 5.0 เมตร
คาํตอบ ก้อนหินขึน้ไปได้สงูสดุเป็นระยะ 5.0 เมตร
ค. เมื่อก้อนหินตกถงึพืน้ s = 0
s = ut +1/2at2
s = 10t + ½ (-10) เมตร/วินาที 2 x t
0 = 10t – 5t2
0 = 5t(2 – t)
t = 2.0 s
คาํตอบ จะต้องใช้เวลา 2.0 วินาที ก้อนหินจงึตกถงึพืน้
ตวัอย่างที่ 8 อิเลก็ตรอนตวัหนึง่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 1.0 x 10 4 เมตร/วินาที
เข้าสูบ่ริเวณสนามไฟฟา้และถกูเร่งโดยสนามไฟฟา้เป็นระยะทาง 1.0 เซนติเมตร
เมื่อออกจากสนามไฟฟา้ อิเลก็ตรอนนัน้มีความเร็ว 4.0 x 106 เมตร/วินาที จง
คํานวณหาความเร่ง
วธิีทาํ จากสตูร v2 = u2 + 2 as
(4.0 x 104 เมตร/วินาที) 2 = (1.0 x 104 เมตรตอ่วินาที) 2 + 2a x 1.0 x 10-2 เมตร
16.0 x 1012 = 0.0001 x 1012 + 2a x 1.0 x 10-2
a = 8.0 x 1014 เมตร/วินาที 2
คาํตอบ ความเร่งของอิเลก็ตรอนมีคา่เทา่กบั 8.0 x 1014 เมตรตอ่วินาที 2
ตวัอย่างที่ 9 โยนก้อนหินขึน้ไปในแนวดิง่จากพืน้ดิน ด้วยความเร็วต้น 20 เมตร/วินาที
หลงัจากโยนไปแล้วเป็นเวลาเทา่ไร ก้อนหินจงึตกลงมาด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที
วธิีทาํ กําหนดให้ความเร็วในทิศขึน้เป็น +
จาก v = u + at
ความเร็วขณะตก = 10 เมตร/วินาที
-10 เมตร/วินาที = 20 เมตร/วินาที + (-10) x t
t = 3 วินาที