บทที่ 1 ลำดับและอนุกรม (sequence and series) · web...
TRANSCRIPT
เอกสารแนะแนวทางท่ี 1 เรื่องลิมติของลำาดับ** จุดมุง่หมายสำาหรบัหวัขอ้นี้ต้องการดวูา่พจน์ในลำาดับ มสีภาพเป็นเชน่ไร ในขณะท่ี n มคี่ามากขึ้นเรื่อย ๆ อยา่งไมม่ท่ีีสิน้สดุ **กำาหนดลำาดับอนันต์ จงเขยีนกราฟ พรอ้มกับพจิารณาลักษณะของ ในขณะที่ n มค่ีามากขึ้นอยา่งไมม่ท่ีีสิน้สดุ***ลำาดับ เขยีนแบบแจกแจงสมาชกิได้ดังน้ี …………………………………………………………….หรอืเขยีนในรูปเซตของคู่อันดับ ได้ดังน้ี ………………………………………………………………………นำามาเขยีนกราฟได้ดังน้ี
จากรูปจะเหน็วา่ ขณะท่ี n มค่ีามากขึ้น ค่าของ จะมีลักษณะ…………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………… เขยีนแทนด้วยสญัลักษณ์…………………………………………………………………………………………………………………ต.ย.1 กำาหนดลำาดับอนันต์ต่อไปน้ี จงเขยีนแสดงลำาดับในรูปของเซตของคู่อันดับและเขยีนกราฟ และพจิารณาวา่ลำาดับน้ี เขา้ใกล้จำานวนจรงิใด เมื่อ n มค่ีามากขึ้นอยา่งไมม่ท่ีีสิน้สดุ
2)
สรุปได้วา่…………………………………………..สรุปได้วา่…………………………………………..
3) 4)
1
สรุปได้วา่………………………………………… สรุปได้วา่…………………………………………5)
สรุปได้วา่…………………………………………สรุปกันอีกครัง้
การหาลิมติของลำาดับ คือ การพจิารณาค่าของ ของลำาดับ เมื่อ n มค่ีามากขึ้นเรื่อย ๆ ไมม่ท่ีีสิน้สดุ (ซึ่งใชส้ญัลักษณ์ n ) วา่มลัีกษณะอยา่งไร ซึ่งพจิารณาได้ดังน้ีลักษณะท่ี 1 เมื่อ n ค่าของ เขา้ใกล้ค่าคงท่ีค่าหน่ึง เชน่ ลำาดับ จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ เขา้ใกล้ 0 เขยีนแทนด้วย
ลักษณะท่ี 2 เมื่อ n ค่าของ เท่ากับค่าคงท่ีค่าหน่ึง เชน่ ลำาดับ 2 , 2 , 2 , …. , 2 , …. จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ = 2เขยีนแทนด้วย
ลักษณะท่ี 3 ค่าของ เพิม่ขึ้นหรอืลดลงไมม่ขีอบเขตเมื่อ n เชน่1. ลำาดับ 1 , 2 , 3 , 4 , … , n , … จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ 2. ลำาดับ -1 , -2 , -3 , -4 , … , -n , … จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ จากลำาดับทัง้ 2 จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ เพ่ิมขึ้นหรอืลดลงอยา่งไมม่ขีอบเขต ลักษณะอยา่งน้ี กล่าวได้วา่ ลำาดับน้ีไมม่ลิีมติ หรอืหาลิมติไมไ่ด้
ลักษณะท่ี 4 ค่าของ เพิม่ขึ้นและลดลงสลับกันไป เมื่อ n เชน่ลำาดับ 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , … จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ ไมเ่ขา้ใกล้หรอืเท่ากับค่าใดค่าหน่ึง หรอืลำาดับ 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , … จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ มีค่าเพิม่ขึ้นและลดลงอยา่งมรีะเบยีบ แต่ไมเ่ขา้หรอืเท่ากับค่าคงที่ค่าใดค่าหน่ึงลำาดับลักษณะน้ี ถือวา่ไมม่ลีิมติ หรอืหาค่าลิมติของลำาดับไมไ่ด้
ลักษณะท่ี 5 เมื่อ n ค่าของ เปล่ียนแปลงโดยไมม่กีฎเกณฑ์ท่ีแน่นอน เชน่ ลำาดับ 2 , 5 , -8 , 7 , 11 , … เป็นลำาดับซึ่งเราบอกไมไ่ด้วา่ เมื่อ n แล้วค่าของ
มค่ีาเป็นอยา่งไรลำาดับลักษณะน้ีหาลิมติไมไ่ด้ หรอืเป็นลำาดับท่ีไมม่ลีิมติ
จากท่ีกล่าวมาแล้วขา้งต้นพอสรุปได้วา่
2
1.ลำาดับที่มลิีมติ คือ ลำาดับที่มค่ีาของ เขา้ใกล้หรอืเท่ากับค่าคงท่ีค่าใดค่าหนึ่ง เมื่อ n เรยีกลำาดับท่ีหาลิมติได้วา่ ลำาดับลู่เขา้หรอืลำาดับคอนเวอรเ์จนต์ (Convergent Sequence)2. ลำาดับที่หาลิมติไมไ่ด้คือ ลำาดับท่ีค่าของ ไมเ่ขา้ใกล้หรอืเท่ากับค่าคงท่ีค่าใดค่า
หน่ึง เมื่อ n เรยีกลำาดับท่ีหาลิมติไมไ่ด้วา่ ลำาดับลู่ออกหรอืลำาดับไดเวอรเ์จนต์ (Divergent Sequence)
นัน่คือ ถ้าลำาดับ มลิีมติเท่ากับ L เมื่อ n เขยีนแทนด้วย
เอกสารแนะแนวทางท่ี 2 เรื่องทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมติทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมติให ้ เป็นลำาดับของจำานวนจรงิ และ เป็นค่าคงตัว จะได้วา่1. ถ้า แล้ว
เชน่ = ………… = …………… = ………… = …………2. 3. 4.
5. เมื่อ สำาหรบัทกุจำานวนเต็มบวก
6. ให ้ เป็นจำานวนจรงิบวกใด ๆ จะได้วา่ และ
เชน่
7. ให้ เป็นจำานวนจรงิ ถ้า แล้ว
ถ้า แล้ว เชน่
8. ถ้า (ลำาดับไดเวอรเ์จนต์) และ เป็นค่าคงตัว แล้ว = ………… เชน่ แล้ว = ………………….
3
9. เมื่อ เป็นลำาดับของจำานวนจรงิท่ีมากกวา่หรอืเท่ากับ 0 และ เป็นจำานวนเต็มท่ี มากกวา่ 2 เชน่ = …………………… = ……………………10. ถ้า หาค่าได้ และ k เป็นจำานวนตรรกยะ แล้ว เชน่ = …………………… จงหาค่าของ1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
4
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
5
เอกสารฝึกหัดตรวจสอบดวูา่ลำาดับ ท่ีกำาหนดให้ เป็นลำาดับลู่เขา้หรอืลู่ออก ถ้าเป็นลำาดับลู่เขา้ จงหาลิมติของลำาดับ
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
6
เอกสารแนะแนวทางท่ี 3 เรื่องผลบวกอนุกรมอนันต์พจิารณาอนุกรมอนันต์ต่อไปน้ี ให ้ เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมอนันต์ จะได้ S2 = S3 = S4 = S5 = 1.96875 S10 = 1.99902344 S15 = 1.99996948 S25 = 1.99999997ใหนั้กเรยีนสงัเกตค่าของ n และค่าของ Sn มลัีกษณะเป็นอยา่งไร..............................................................................เรยีก วา่ลำาดับผลบวกยอ่ย
ผลบวกของอนุกรมอนันต์ใด คือ ลิมติของลำาดับผลบวกยอ่ยของอนุกรมนัน้ เมื่อลำาดับนัน้มลิีมติ
ลิมติของลำาดับผลบวกยอ่ยของอนุกรม คือ
นัน่คือ ผลบวกของอนุกรมอนันต์ คือ
จากตัวอยา่งขา้งต้น ลำาดับผลบวกยอ่ยของอนุกรม คือ................................................ตัวอยา่งท่ี 1 จงหาผลบวกของอนุกรม
ตัวอยา่งท่ี 2 จงหาผลบวกของอนุกรม
7
**** สำาหรบัอนุกรมอนันต์ท่ีมผีลบวกเรยีกวา่ อนุกรมลู่เขา้หรอือนุกรมคอนเวอร์เจนต์ และ อนุกรมอนันต์ท่ีไมม่ผีลบวก เรยีกวา่ อนุกรมลู่ออกหรอือนุกรมไดเวอรเ์จนต์ *****จากตัวอยา่งที่กล่าวมาแล้ว จะเหน็วา่อนุกรมอนันต์ใดจะเป็นอนุกรมลู่เขา้ หรอือนุกรมลู่ออก นัน้หาได้ดังนี้1. หา ของอนุกรมนัน้
2. หา ถ้าหา ได้แสดงวา่อนุกรมนัน้เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรอือนุกรมอนันต์
นัน้หาผลบวกได้
แต่ถ้า หาไมไ่ด้ อนุกรมนัน้เป็นอนุกรมลู่ออก หรอือนุกรมอนันต์นัน้หาผลบวก
ไมไ่ด้สำาหรบัอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ อาจพจิารณาหาได้ดังน้ีกำาหนด เป็นอนุกรมเรขาคณิตในกรณีท่ี ถ้า r = 1 จะได้ลำาดับผลบวกยอ่ยของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คือ ซึ่งไมม่ลิีมติถ้า r = -1 จะได้ลำาดับผลบวกยอ่ยของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คือ ซึ่งไมม่ลิีมติในกรณี จะได้ หรอื จากอนุกรมเรขาคณิต จะได้ = = ………………………………………………………………………………….
= …………………………………………………………………………………………………………..
ถ้า หาไมไ่ด้ นัน่คือ ไมม่ ี อนุกรมเรขาคณิตน้ีไมม่ลิีมติ
ถ้า = 0 นัน่คือ
นัน่คือ ผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิต เมื่อ
*****เขยีนแทนผลบวกอนันต์ของอนุกรมด้วย S******** สำาหรบัอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ จะได้ S
เมื่อ
8
ตัวอยา่งท่ี 3 จงหาผลบวกของอนุกรม ตัวอยา่งท่ี 4 จงหาผล
บวกของอนุกรม
ตัวอยา่งท่ี 5 จงหาผลบวกของอนุกรม
เอกสารฝึกหัด1. จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ (ถ้าม)ี ในแต่ละขอ้ต่อไปนี้1. 2. 4 – 1.6 + 0.64 + ...
3. 4.
5. 6.
2. จงใชค้วามรูเ้รื่องอนุกรม เขยีนจำานวนต่อไปน้ี ใหอ้ยูใ่นรูปเศษสว่นของจำานวนเต็ม 1) 2) 3)
9
3. จงหาค่า ท่ีทำาให ้
4. สามเหล่ียมด้านเท่ารูปหน่ึง มด้ีานยาวด้านละ เซนติเมตร สามเหล่ียมด้านเท่ารูปที่สอง เกิดจากการเชื่อมจุดกึ่งกลางด้าน ทัง้สามของสามเหล่ียมด้านเท่ารูปแรกและสามเหล่ียมด้านเท่ารูปท่ีสามเกิดจากการเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านทัง้สามของ สามเหล่ียมด้านเท่ารูปที่สอง เป็นเชน่น้ีเรื่อย ๆ ไป จงหาผลบวกของความยาวของเสน้รอบรูปของรูปสามเหล่ียมทัง้หมด ถ้ากระบวนการสรา้งสามเหล่ียมน้ีเกิดต่อเน่ืองโดยไมม่ทีี่สิน้สดุ
5. อนุกรมเรขาคณิตอนันต์อนุกรมหน่ึงมผีลบวกของ 4 พจน์แรกเท่ากับ และหาผลบวกของอนุกรมน้ีเท่ากับ จงหาอนุกรมน้ี
6. ลกูบอลยางลกูหน่ึงถกูปล่อยลงมาจากท่ีสงู 90 เซนติเมตร ลกูบอลเมื่อกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นสงู ของความสงูท่ีตกลง มาทกุครัง้ จงหาระยะทางที่ลกูบอลเคล่ือนท่ีจนกวา่มนัจะหยุดนิ่ง
10
7. เหมอืงทองคำาแหง่หน่ึง ขุดทองคำาได้น้อยลงรอ้ยละ 13 ของปีก่อนๆ ถ้าในปีแรกขุดทองคำาได้เป็นมูลค่า 26 ล้านบาท จงหามูลค่าของทองคำาที่ขุดได้ตลอดกาล
เอกสารแนะแนวทางท่ี 4 เรื่องอนุกรม ( Series )
บทนิยาม ถ้า เป็นลำาดับจำากัด เราจะเรยีก วา่เป็นอนุกรมจำากัด ถ้า เป็นลำาดับอนันต์ เราจะเรยีก วา่เป็นอนุกรมอนันต์สญัลักษณ์แทนการบวก
= อ่านวา่ การบวก เมื่อ ถึง
เรยีก วา่ พจน์ท่ี ของอนุกรม เมื่อ
= อ่านวา่ การบวก มค่ีาตัง้แต่ 1 ขึ้นไป
เรยีก วา่ พจน์ท่ี ของอนุกรม เมื่อ
ตัวอยา่งท่ี 1 จงเขยีนจำานวนต่อไปน้ีแทนด้วยสญัลักษณ์แทนการบวก1. 2. 1+2+3+4+…..
3. 9+12+15+18+21 4. 1+4+9+…+121
5. 6.
7. 8.
ตัวอยา่งท่ี 2 จงหาค่าของจำานวนต่อไปนี้
1.
…………………………………………………………………………….
11
2.
…………………………………………………………………………….
3.
…………………………………………………………………………….
4. …………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….
5. …………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….
6. …………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….
7. ………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………….
เอกสารแนะแนวทางท่ี 5 เรื่องสมบติัของสญัลักษณ์แทนการบวกสมบติัของสญัลักษณ์แทนการบวก
1. เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
เชน่ = ………………………………….. = …………………………………..
12
2.
เชน่
=…………………………………………………………………………………………………….
3. เชน่ ……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………….………………………………………………….…………………………………………………….………………………………………………….…………………………………………………….………………………………………………….…………………………………………………….………………………………………………….ตัวอยา่งท่ี 1 ถ้า f(x) = 5x - 7 จงหาค่าของ
ตัวอยา่งท่ี 2 ให ้f(x) = จงหา
2.1 2.2
การใช ้ เป็นสญัลักษณ์แทนการบวก จำานวนท่ีใชเ้ป็นจำานวนเริม่ต้นไมจ่ำาเป็นต้องเป็น 1 เสมอไป อาจเป็นจำานวนเต็มใดก็ได้ เชน่ =
เอกสารแนะแนวทางท่ี 6 เรื่องสตูรผลบวกของอนุกรมจำากัด
13
สตูรผลบวกของอนุกรมจำากัด
1. = 2. =
3. =
ตัวอยา่งท่ี 1 จงหาค่าของ
1. = 2. =
3. =
4. 1 + 2 + 3 +…. + 89
5.
6. =
7. 8.
9. 10.
ตัวอยา่งท่ี 2 จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมและผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม
14
ตัวอยา่งท่ี 3 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1(2+3)+4(4+3)+9(6+3)+16(8+3)+...+n2(2n+3)+…
ตัวอยา่งท่ี 4 ถ้า 1+2+3+4+...+n = 153 แล้วจงหาค่าของ n
ตัวอยา่งท่ี 5 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม
15
ตัวอยา่งท่ี 6 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม
ตัวอยา่งท่ี 7 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม
ตัวอยา่งท่ี 8 จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้8.1
8.2
16
8.3
เอกสารแนะแนวทางเรื่อง 7 อนุกรมผสมระหวา่งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต
เชน่ , เป็นต้นอนุกรมผสมระหวา่งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต จะเป็นอนุกรมลู่เขา้ เมื่อ เมื่อ คือ อัตราสว่นรว่มของอนุกรมเรขาคณิต แต่ถ้า อนุกรมน้ีเป็นอนุกรมลู่ออกตัวอยา่ง จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้1. 2.
17
3. 4.
เมื่อ
เอกสารฝึกหัดจงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้1. 2.
3. 4.
18
5. 6.
ใบความรูเ้รื่อง 7 อนุกรมผสมระหวา่งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิตเชน่ , เป็นต้นอนุกรมผสมระหวา่งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต จะเป็นอนุกรมลู่เขา้ เมื่อ เมื่อ คือ อัตราสว่นรว่มของอนุกรมเรขาคณิต แต่ถ้า อนุกรมน้ีเป็นอนุกรมลู่ออกตัวอยา่ง จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้1. 2.
3. 4. เมื่อ
19
เอกสารฝึกหัดจงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้1. 2.
3. 4.
5. 6.
20
เอกสารแนะแนวทาง 8 เรื่องอนุกรมอื่น ๆท่ีควรทราบ1.อนุกรมพ ี(p-series)
ถ้า อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เขา้ เชน่
ถ้า อนุกรม เป็นอนุกรมลู่ออก เชน่
2. อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เขา้ตัวอยา่ง จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้1.
2.
3.
4.
21
22