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8/3/2019 A Two-dimentional Intepolation Function for Irregalarly-spaced Data

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A t w o - d i m e n s i o n a l i n te r p o la t io nfo r i r r e g u l a r l y - s p a c e d d a t a

f u n c t i o n

b y D O N A L D S H E P A R DHarvard Col legeC a m b r id g e , Ma s s a c h u s e t t sI N T R O D U C T I O N

I n m a n y f i e ld s u s i n g e m p i r i c a l a r e a l d a t a t h e r e a r i s e sa n e ed f o r i n t e r p o l a t i n g f r o m i r r e g u l a r l y - s p a c e d d a t at o p r o d u c e a c o n t i n u o u s s u r f a c e . T h e s e i r r eg u l a r l y -s p a c e d l o c a t i o n s , h e n c e r e f e r r e d t o a s " d a t a p o i n t s , "m a y h a v e d iv e r s e m e a n i n g s : i n m e t e r o l o g y , w e a t h e ro b s e r v a t i o n s t a t i o n s ; i n g e o g r a p h y , s u r v e y e d l o c a t i o n s ;i n c i t y a n d r e g i o n a l p la n n i n g , c e n t e r s o f d a t a - c o l l e c t i o nz o n e s ; i n b i o l o g y , o b s e r v a t i o n l o c a t i o n s . I t i s a s s u m e dt h a t a u n i q u e n u m b e r ( s u c h a s r a i n f a l l i n m e t e o r o l o g y ,o r a l t i t u d e i n g e o g r a p h y ) i s a s s o c i a t e d w i t h e a c h d a t ap o i n t .

I n o r d e r t o d i s p l a y t h e se d a t a i n s o m e t y p e o f c o n -t o u r m a p o r p e r sp e c t i v e v i e w , t o c o m p a r e t h e m w i t hd a t a f o r t h e s a m e r e g i o n b a s e d o n o t h e r d a t a p o i n t s ,o r t o a n a l y z e t h e m f o r e x t r e m e s , g r a d i e n t s , o r o t h e rp u rp o s e s , i t i s e x t r e m e ly u s e fu l , i f n o t e s s e n t i a l , t od e f i ne a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f i t ti n g t h e g i v e n v a l u e se x a c t l y . I n t e r p o l a t e d v a l u e s o v e r a f in e g r id m a y t h e nb e e v a lu a te d . In u s in g s u c h a fu n c t io n i t i s a s s u m e dt h a t t h e o r i g i n a l d a t a a r e w i t h o u t e r r o r , o r t h a t c o m -p e n s a t i o n f o r e r r o r w i ll b e m a d e a f t e r i n t e r p o l a t i o n .

I n e s s en c e , a n o p e r a t i o n a l s o l u t i o n t o t h e p r o b l e mo f t w o - d i m e n s i o n a l i n t e r p o l a t i o n f r o m ir r e g u l a r l y - s p a c e dd a ta p o in t s i s d e s ir e d . I t i s a s s u m e d th a t a f in i t en u m b e r N o f t r i p le t s (x i , Y i , g i ) a re g i v e n , w h e r e x i ,Y i a r e t h e l o c a t i o n a l c o o r d i n a t e s o f t h e d a t a p o i n t D ; ,a n d z i i s t h e c o r r e s p o n d i n g d a t a v a l u e . D a t a p o i n tl o c a t i o n s m a y n o t b e c o i n c i d e n t . A n i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n z = f ( x , y ) t o a s s i g n a v a l u e t o a n y l o c a t i o nP ( x , y ) i n t h e p l a n e i s s o u g h t . T h i s t w o - d i m e n s i o n a li n t e r po l a t io n f u n c t i o n i s t o b e " s m o o t h " ( c o n t i n u o u sa n d o n c e d i f f e r e n t i a b l e ) , t o p a s s t h r o u g h t h e s p e c i f i e dp o in t s , ( i . e . , f(xi,Yi)=Zi), a n d t o m e e t t h e u s e r ' s i n t u i-t i v e e x p e c t a t i o n s a b o u t t h e p h e n o m e n o n u n d e r i n v e st i -g a t i o n . F u r t h e r m o r e , t h e f u n c t i o n s h o u l d b e s u i t a b l ef o r c o m p u t e r a p p l i c a t i o n a t r e a s o n a b l e c o s t .E X I S T I N G A P P R O A C H E S

A l t h o u g h m a n y s o l u t i o n s t o r e l a te d p r o b l e m s i n t w o -d i m e n s i o n a l i n t e r p o l a t i o n h a v e b e e n i n l o n g u s e , i n t e r -

p o l a t i o n f u n c t i o n s m a k i n g a n e x a c t f i t f o r i r r e g u l a r l y -s p a c e d d a t a a r e r a r e . W h e n t h e d a t a p o i n t s a l r e a d yf o r m a r e g u l a r l a t t i c e , m a n y s o l u t i o n s a r e p o s s i b l e .A m o n g t h e m o s t s i g n i f i c a n t s o l u t i o n s f o r a r e c t a n g u l a rg r i d a r e f i tt i n g a h y p e r b o l i c p a r a b o i o i d t o e a c h f o u r d a t ap o i n t s b y d o u b l e l i n e ar i n t e r p o l a t i o n x , f i t t i n g a p o l y -n o m i a l t o t h e s u r r o u n d i n g 4 , 9 , 1 6 o r 2 5 p o i n t s u s i n gN e w t o n ' s d i v i d e d d i f f e r e n ce s f o r m y l a ( d i s c u ss e d i n 2a n d 3 ) , o r e m p l o y i n g b i c u b i c s p l i n e i n t e r p o l a t i o n .4 F o ra t r i a n g u la r l a t t i c e , f i t t i n g a p l a n e to e a c h th re e p o in t si s e a s y a n d e f f e ct i v e . D o w n i n g , ha s d e v e l o p e d a c o m -p u t e r c o n t o u r i n g p r o g r a m w h i c h i n t e r p o l a t e s i n t e r v e n -i n g p o i n t s f r o m a s q u a r e l a t t i c e , m a k i n g p o s s i b l e p l a n a ri n t e r p o l a t i o n o v e r a t r i a n g u l a r g r i d . 5 I f i r r e g u l a r d a t a -p o i n t l o c a t i o n s a r e a l l o w e d a n d c o n t i n u i t y i s n o t r e -q u i r e d , a l g o r i t h m s s u ch a s T o b l e r ' s d o u b l e q u a d r a t i cs u r fa c e in t e rp o la t io n 6 a re p o s s ib l e . F in a l ly , i f t h e in t e r -p o l a t i o n f u n c t i o n n e e d n o t f i t t h e g i v e n v a l u e s e x a c t l y ,t r e n d s u r f a c e f i t t in g 7 m a y b e a p p r o p r i a t e t o r e d u c ed i s t o r t i o n f r o m p o s s i b l e d a t a e r r o r .

E v e n w i t h i n t h e s t i p u l a t i o n s o f c o n t i n u i t y a n d e x a c tf i t, s o m e o f t h e p r e c e d i n g m e t h o d s f o r r e g u l a r d a t al o c a t i o n s m a y b e e x t e n d e d t o i r r e g u l a r l y - s p a c e d d a t a ,b u t t h e y t e n d t o b e c u m b e r s o m e o r u n d u l y a r b i t r a r y .O n e s o l u t i o n i s t o c o n n e c t p a i r s o f d a t a p o i n t s u n t i l t h es e c t i o n o f t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e d a t a p o i n t s h a sb e e n p a r t i t i o n e d i n t o t r i a n g l e s; o r a m i x t u r e o f q u a d r i -l a t e r a ls a n d t r i a n g l e s. N o r d b e c k a n d B e n g t s s o n u s e dt r i a n g le s , f i t t i n g a p l a n e to th e th re e t r i p l e t s d e f in in ge a c h t r i a n g le , s F i s h e r u s e d q u a d r i l a t e r a l s i n t he i n t e r i o ro f t h e re g i o n a n d t r ia n g l e s a t th e b o u n d a r y ? H e e m -p l o y e d d o u b l e l i n e a r i n t e r p o l a t i o n o v e r t h e q u a d r i l a t e r -a l s a n d p l a n a r i n t e r p o l a t i o n o v e r t h e t r i a n g l es . T h e s et w o s o l u t i o n s a r e a t t r a c t i v e s i n c e b o t h a r e c o m p u t a t i o n -a l ly s i m p l e o n c e t h e r eq u i s i te s u b d i v i s i o n o f t h e d o m a i nh a s b e e n c a r r i e d o u t . T h e y i n v o l v e f i tt i n g a c o l l e c t i o no f l o c a l , e a s i l y - e v a l u a t e d f u n c t i o n s t o t h e o r i g in a l d a t a .A s e r i o u s d r a w b a c k i s t h e n e c e s s it y o f f o r m i n g a n e t -w o r k a m o n g t h e p o i n ts t o d e t e r m i n e h o w t h e d o m a i nf o r i n t e r p o l a t i o n i s t o b e p a r t i t i o n e d . T h e r e s u l t i n gi n t e r p o l a t i o n i s s e n si t iv e t o t h i s p a r t i t i o n , b u t n o a d e -q u a t e m e a n s o f e s t a b l i s h i n g i t i s a v a i l a b l e . T h e s u g g e s -t i o n ( m e n t i o n e d i n 8 ) t h a t t h e n e t w o r k b e c h o s e n t om i n i m i z e th e s u m o f t h e p e r i m e t e r s o f t h e t h r e e - a n df o u r - s i d e d s u b - d o m a i n s , h a s b e e n t o o c o m p l e x 1 o f o l l o w

517


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5 1 8 P r o c e e d i n g s - - 1 9 6 8 A C M N a t i o n a l C o n f e r e n c e

i n p ra c t i c e . E v e n i f su c h a s u b d iv i s io n w e re to b ef o u n d , i t m i g h t n o t b e u n i q ue . T h e o n l y c o m p u t e rp r o g r a m t o u s e t h is p a r t it i o n i n g m e t h o d , S Y M A PV e r s i o n I I I , 9 r e q u i r e d t h e u s e r t o s p e c if y t h e p a r t i t i o na c c o r d i n g t o s o m e w h a t a r b i t r a r y c o n v e n t i o n s. A l t h o u g hthe s u r f a c e p r o d u c e d b y th e s e p i e c e w i s e i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s w a s c o n t i n u o u s , i t s d e r i v a t i v e w a s d i s c o n -t i n u o u s a t th e b o u n d a r i e s o f su b - d o m a i n s .

A n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h , e a s i e r f o r th e u s er a n d m o r ee l e g a n t , w o u l d b e t o f i t a p o l y n o m i a l o r t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n i n t w o v a r i a b l e s w i t h e n o u g h c o e f f i c i e n ts s ot h a t i t a s s u m e s e x a c t l y a l l t h e d a t a v a l u e s . B e r e z i ns u g g e s ts a g e n e r a l f o r m u l a f o r f i tt i n g a p o l y n o m i a l o fd e g re e N - I i n x a n d y t o N d a t a p o i n t s . 3 . T h o u g h i tm e e t s a ll t h e c r i t e ri a , th e c o m p u t a t i o n s b e c a m e e x c e e d -i n g l y l o n g w i t h l a r g e n u m b e r s o f d a t a p o i n t s . T o f i n da n i n t e r p o l a t e d v a l u e g i v e n 10 00 d a t a p o i n t s , f o r e x a m -p l e , w o u l d r e q u i r e e v a l u a t i n g a n d m u l t i p l y i n g 9 9 9s c a l a r p r o d u c t s o f t w o - d i m e n s i o n a l v e c t o r s .

E x i s ti n g m e t h o d s o f tw o - d i m e n s i o n a l e x a c t i n t e rp o l a -t i o n a r e o f t w o t y p e s : a s i n g le , g l o b a l f u n c t i o n , o f t e no f u n m a n a g e a b l e c o m p l e x i t y ; o r a s u i t a b l y - d e f i n e d c o l -l e c t io n o f si m p l e , l o c a l f u n c t i o n s w h i c h m a t c h a p p r o -p r i a t e l y a t t h ei r b o u n d a r i e s . T h e f u n c t i o n d e v e l o p e di n t h is p a p e r i s o f th e l a t t e r t y p e , so c o n s t r u c t e d t h a tt h e s u b - d o m a i n f o r e a c h l oc a l f u n c t i o n i s a u t o m a t i c a l l yd e f i n e d , a n d t h e f u n c t i o n i s c o n t i n u o u s l y d i f fe r e n t i a b l ee v e n a t t h e j u n c t i o n s o f l o c a l f u n c t i o n s .A N A P P R O A C H U S I N G W E I G H T E D A V E R A G E S

I t b e c a m e c l e a r t h a t a s u r f a c e b a s e d o n a w e i g h t e da v e r a g e o f th e v a l u e s a t t h e d a t a p o i n t s , w h e r e t h ew e i g h t i n g w a s a f u n c t i o n o f t h e d i st a n c e s t o t h o s ep o in t s , w o u ld s a t i s fy th e c r i t e r i a . A n in i t i a l i n v e r s ed i s t a n c e f u n c t i o n w a s t e s t e d ; i n i t t h e v a l u e a t a n yp o i n t P i n t h e p l a n e w a s a w e i g h t e d a v e r a g e o f t h ev a lu e s a t t h e d a t a p o in t s D ~ .

L e t z~ b e th e v a lu e a t d a t a p o in t Di , a n d d[P, Di] b et h e C a r t e s i a n d i s t a n c e b e t w e e n P a n d D . W h e r e th er e f e r e n c e p o i n t P i s u n d e r s t o o d , d[P, Di] w i l l b e s h o r t -e n e d to d~. T h e in t e rp o la t e d v a lu e a t P u s in g th i sf i r s t i n t e rp o la t io n fu n c t io n i s :

f~(p) = ,(di)-Uzil /[ (di)-Ul i f d i ~ 0 fo r a l l Di[~ :, i=1 (u>o)i f d i = 0 fo r s o m e D i .

N o t i c e t h a t a s P a p p r o a c h e s a d a t a p o i n t Di, d i " * O,a n d t h e i a ' t e r m s i n t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o re x c e e d a l l b o u n d s w h i l e t h e o t h e r t e r m s r e m a i n b o u n d -e d . T h e r e f o r e l i r a f l ( P ) = z i a s d e s i r e d , a n d th e

p-.~D if u n c t i o n f j ( P ) i s c o n t i n u o u s .

C h o ic e o f E x p o n e n tU s i n g c o o r d i n a t e s P ( x , y ) a n d D i ( x i , y i ) , p a r t i a l d i

f e re n t i a t io n y i e ld s :

f , . , . (x ,y ) =

N Ni ~ j ~ (di)-u-2 dj)-u(x--xi)zi(zi--zJi # j

NI E (di)-l:i = l

R e p l a c i n g ( x - x i ) b y ( y - y i ) i n t h e a b o v e e q u a t i o n g i vt h e c o r r e s p o n d i n g e x p r e s s i o n fo ~ x ~ x ( x , y ) . T h e p a r t id e r iv a t iv e s o f f~ e x i s t a t a l l p o in t s . F o r P in a n e igb o r h o o d o f Di, f , x b e h a v e s a s ( x - x i ) ( d i ) " -2 , o r -'-(di) .-~. T h u s f o r u > l , f l x a p p r o a c h e s 0 w i t h x - x i ( ow i th di ) a s P - - - . D j . F o r u = l , b o t h l e ft a n d r i g h t -s ip a r t i a l d e r i v a t i v e s e x i s t ; t h e s e i n g e n e r a l a r e n o n - z ea n d o p p o s i t e i n s ig n . F o r u < l , n o d e r i v a t i v e e x i s tT h u s t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e i n t e r p o l a t i o n f u n c t i ob e d i f f e r e n t i a b l e n e c e s s i t a t e s t h a t t h e e x p o n e n t e x c e e1 . E m p i r i c a l t e s t s s h o w e d t h a t h i g h e r e x p o n e n t s ( u > 2t e n d t o m a k e t h e s u r f a ce r e l at i v e l y f l a t n e a r a l l d ap o i n t s , w i t h v e r y s t e e p g r a d i e n t s o v e r sm a l l i n t e r v ab e t w e e n d a t a p o i n t s . L o w e r e x p o n e n t s p r o d u c e a s ufa c e r e l a t iv e ly f l a t , w i th s h o r t b l ip s to a t t a in th e p ro pv a l u e s a t d a t a p o i n t s . A n e x p o n e n t o f u = 2 n o t o ng i v es s e e m i n g l y s a t i s f a c t o r y e m p i r i c a l r e su l t s f o r p up o s e s o f g e n e r a l s u r f a c e m a p p i n g a n d d e s c r i p t i o n , ba l s o p r e s e n t s t h e e a s i es t c a l c u l a t i o n . I n C a r t e s i a n c o od i n a t e s ( d i ) - 2 : l / [ ( x - x i ) 2 + ( y - y i ) 2 ] .

S h o r t c o m i n g s o f P u r e I n v e r s e - D i s t a n c e W e i g h t i n gT h o u g h t h e a b o v e m e t h o d w a s s u f f i c i e n t l y s i m p l e a n

g e n e ra l t o b e q u i t e a t t r a c t iv e , i t d id h a v e s e v e ra l s h o rc o m i n g s .

1 ) W h e n t h e n u m b e r o f d a t a p o i n t s i s l a r g e , tc a l c u l a t i o n o f z = f j ( P ) b e c o m e s p r o p o r t i o n a t el o n g e r . E v e n t u a l l y t h e m e t h o d w i l l b e c o m e ie f f i c i e n t o r im p ra c t i c a l .

2 ) O n l y t h e d i s t a n ce s t o P f r o m t h e d a t a p o i n t s Da n d n o t t h e d i r e c t i o n , a r e c o n s i d e r e d . T h e r e f ot h e f o l l o w i n g t w o c o n f i g u r a t i o n s o f c o - l i n ep o i n t s , f o r e x a m p l e , w o u l d y i e ld i d e n t i c a l i n t ep o l a t e d v a l u e s a t P:( a ) x . . . . x . . . . + x

DI D_, P D3( b ) x + x . . . . x

Di P D2 D3I f t h e m e t h o d i s t o b e i n t u i t i v e l y r e a s o n a b l


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A Tw o- D i men s i ona l l n i erpo l a t i on F unc t i on f or Irregul arl y -S paced D at a 519

3)

4)

t h e v a lu e a t P i n c o n f i g u r a t i o n ( a ) s h b u l d b ec lo s e r t o th e v a lu e a t D 3 t h a n i n c o n f i g u r a t i o n(b ) a n d c o n v e r s e ly fo r t h e v a lu e a t D ~ , b e c a u s ea n i n t e r v e n i n g d a t a p o i n t s h o u l d b e e x p e c t e dt o s c r e en t h e e f f e c t o f th e m o r e d i s t a n t p o i n t .T h e z e r o d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e s o b t a i n e d a t e v e r yd a t a p o i n t D ~ r e p r e s e n t a n a r b i t r a r y a n d u n d e s i r -a b l e c o n s t r a i n t o n t h e i n t e r p o l a t e d s u r f a c e .C o m p u t a t i o n a l e r r o r b e c o m e s s i g n i f ic a n t i n t h en e i g h b o r h o o d o f p oi n t s Di , a s t h e p r e d o m i n a n tt e r m r e s u l ts f r o m t h e d i f f e r e n c e o f t w o a l m o s te q u a l n u m b e r s .

I M P R O V I N G T H E W E I G H T I N G F U N C T I O NA s a s o l u t i o n t h e b a s i c w e i g h t i n g f u n c t i o n d i s cu s s e d

p r e v i o u s l y w a s r e t a i n e d , s u b j e c t t o t h e f o l l o w i n g m o d i -f i c a t i o n s a n d c o r r e c t i o n t e r m s .Select ing Nearby Points

S i n c e t h e a b o v e w e i g h t i n g f u n c t i o n m e a n s t h a t o n l yn e a r b y d a t a p o i n t s a r e s i g n if i c a n t i n c o m p u t i n g a n yi n t e r p o l a t e d v a l u e , a c o n s i d e r a b l e s a v i n g i n c o m p u t a -t i o n c o u l d b e e f f e c t ed b y e l i m i n a t i n g c a l c u l a t i o n s w i t hd i s t a n t d a t a p o i n t s . A s t h e i r i n c lu s i o n t e n d e d t o m a k et h e s u r f a c e o f h i g h e r o r d e r , e x t r a p o i n t s o f i n f le c t i o nc o u l d a l s o b e e l im i n a t e d b y i n t e r p o l a t i n g f r o m n e a r b yp o i n t s o n l y . T o s e l e c t n e a r b y p o i n t s , e i t h e r ( 1) a n a r -b i t r a r y d i s t a n c e c r it e r i o n ( al l d a t a p o i n t s w i t h i n s o m er a d i u s r o f t h e p o i n t P ) , o r (2 ) a n a r b i t r a r y n u m b e rc r i t e r io n ( t h e n e a r e s t n d a t a p o i n t s ) c o u l d b e e m p l o y e d .T h e f o r m e r c h o i c e , t h o u g h c o m p u t a t i o n a l l y e a s i er ,a l l o w e d t h e p o s s i b i l i t i e s t h a t n o d a t a p o i n t s , o r a nu n m a n a g e a b l y l a rg e n u m b e r o f d a t a p o i n ts , m i g h t b ef o u n d w i t h i n t h e r a d i u s r . T h e l a t te r c h o i c e r e q u i r e d am o r e d e t a il e d s e a r c h i n g a n d r a n k i n g p r o c e d u r e f o rd a t a p o i n t s , a n d p r e s u p p o s e d t h a t a s i n gl e n u m b e r o fi n t e r p o l a t i n g p o i n t s w a s b e s t , r e g a r d l e s s o f t h e re l a t iv el o c a t i o n a n d s p a c i n g o f t h e p o i n ts . A c o m b i n a t i o n o ft h e t w o c r i t e r i a c o m b i n e d t h e i r a d v a n t a g e s . I n o r d e rt h a t t h e i n t e r p o l a t i o n w o r k r e a s o n a b l y i f t h e d a t ap o i n t s w e r e g r i d d e d , a m i n i m u m o f f o u r d a t a p o i n t sw a s c h o se n . A m a x i m u m o f te n w a s e s ta b l i sh e d t ol im i t t h e c o m p l e x i t y a n d a m o u n t o f c o m p u t a t i o n r e -q u i re d . F u r th e r , a n in i t i a l s e a rc h r a d iu s r i s e s t a b l i s h e da c c o r d i n g t o t h e o v e r a l l d e n s i t y o f d a t a p o i n t s . I f Ni s t h e t o t a l n u m b e r o f d a t a p o i n t s a n d A i s t h e a r e ao f t h e l a r g e s t p o l y g o n e n c l o s e d b y t h e d a t a p o i n t s , ri s d e f i n e d s u c h t h a t s e v e n d a t a p o i n t s a r e i n c l u d e d ,o n th e a v e ra g e , i n a c i r c l e o f r a d iu s r . T h a t i s :

= 7 6 ) ../-r 2T o s e l e c t a n d w e i g h i n t e r p o l a t i n g d a t a p o i n t s , a c o l -

l e c t i on C ' o f d a t a p o i n t s n e a r P a n d fi n a l s e a r c h r a d i u s

r ' a r e d e f i n e d b e l o w . F i r s t l etC e = { D] di < r } a n d n ( C e ) = t h e n u m b e r o f e l e m e n t s

in C e. N e x t c o n s i d e r a n o r d e r i n g o f t h e D i b y i n c r e a s -i n g d is t a n c e f r o m P . T h e s u b s c r i p t s !i a r e d e f i n e d s u c ht h a t O


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52 0 Proceedi ngs - - 1968 A C M N at i ona l C onf erence

Including Direct ionI n o r d e r t o i m p r o v e t h e i n t e r p o l a t i o n i t w a s c l e a r t h a t

a d i r e c t i o n f a c t o r , i n a d d i t i o n t o a d i s t a n c e f a c t o r , w a sn e e d e d in d e f in in g w e ig h t in g s . In tu i t i v e ly th i s r e p re -s e n t ed t h e " s h a d o w i n g " o f t h e i n fl u e n c e o f a d a t ap o i n t f r o m P b y a n e a r e r o n e i n t h e s a m e d i r e c t i o n . Ad i r e c t i o n a l w e i g h t i n g t e r m f o r e a c h d a t a p o i n t D ; n e a rP w a s d e f in e d b y

, i : i l - < o s < ' P o - ' ) i ] lr X , s , ]J I L D j ~ C J .T h e c o s i n e o f t h e a n g l e D+PDj c a n b e e v a l u a t e d b y t h ei n n e r p r o d u c t a s

I(x-xD ( x - x A + (y - y i ) ( y - y j ) ] / d id j .S i nc e f o r a ll an g l es 0 , - l < c o s ( O ) < l , i t f o l lo w s t h a t0 < _ C < 2 . I f o t h e r d a t a p o i n t s Dj a r e i n r o u g h l y t h es a m e d i r e c t i o n f r o m P a s D z , th e n t h e ( l - c o s ) f a c t o r sa r e n e a r z e r o a n d li i s n e a r z e r o . I f , o n t h e o t h e rh a n d , t h e o t h e r d a t a p o i n t s a r e r o u g h l y o p p o s i t e Pf r o m D ~, t h e n t h e ( l - c o s ) f a c t o r s a n d h e n c e t i a r en e a r 2 .

T h e co s i n e f u n c t i o n w a s u s ed a s t h e m e a s u r e o f d i r e c -t i on b o t h b e c a u se o f a p p r o p r ia t e n e s s a n d c o m p u t a t i o n a le a s e . T h e d i s t a n c e w e i g h ti n g f a c t o r sj i s i n c lu d e d in th en u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r b e c a u se p o i n t s n e a r Ps h o u ld b e m o r e i m p o r t a n t i n s h a d o w i n g t h a n d is t a n tp o i n t s . C o u n t i n g d i r e c t i o n , a n e w w e i g h t i n g f u n c t i o nwi = (si) 2 X (1 + t i ) m a y b e d e f i n e d . T h e l a t e s t v e r s i o no f t h e i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n i s:[ z , ~ , ~C w i z i ] / / !f 3 ( e ) = ' O i C , w i] i f d i#O fo r a l l D i

i f d i= O fo r som e D i

D e t e r m i n i n g S l o p eD e s p i t e t h e f o r e g o i n g m o d i f i c a t i o n s t o t h e w e i g h t i n g

fu n c t io n , i t s h o u ld b e r e c a l l e d th a t fo r P su f f i c i e n t lyn e a r so m e d a t a p o i n t D i ( d i i s smal l ) , si w i l l e q u a l di ~a n d w i w i ll v a r y a s d / 2 a s i n t h e o r i g i n a l i n t e r p o l a t i o nfu n c t io n . A s b e fo re , th e in t e rp o la t e d s u r fa c e w il l s t i llh a v e z e r o g r a d i e n t a t e v e r y D ~ . T o c o r r e c t t h i s u n d e -s i r a b l e p r o p e r t y , i n c r e m e n t s w e r e a d d e d t o t h e f u n c t i o nv a l u e s a t n e a r b y d a t a p o i n t s s o t h a t t h e i n t e r p o l a t e ds u r fa c e w o u ld a c h ie v e d e s i r e d p a r t i a l d e r iv a t iv e s a t D ~.

F i r s t , c o n s t a n t s A i a n d B i a r e d e t e r m i n e d f o r e a c hd a t a p o i n t D i r e p r e s e n t i n g t h e d e s i r e d s l o p e i n t h e xa n d y d i r e c t io n s a t Di. Ai a n d B i a r e w e i g h t e d a v e r -a g e s o f d i v i d e d d i f f e r e n c e s o f z a b o u t Di . L e t C i " =C b i . - - { D i } . T h e n

A i

B i ~ .

E Wj (Zi--Zi) (X--Xi)DjEC~' (d[ Dj, Di])2E WDisC;' J

andwj ( zTzD (yj- YD

DisC: ' (dI Dj, Di]) 2EDisC;' w j

N e x t , a p a r a m e t e r v w i t h t h e d i m e n s i o n o f d i s t a n c e i sd e f i n e d b a s e d o n t h e t o t a l r a n g e o f t h e z ~ a n d t h ed e s i r e d s lo p e s : f

v = O. l[max~z i~-- min{z i}] / [max{ (A i2+Bi2)}P .T h i s p a r a m e t e r w i ll b o u n d t h e m a x i m u m e f f ec t th e s l o pet e r m s m a y h a v e o n t h e f i n a l i n t e r p o l a t e d v a l u e o f z .T h e f a c t o r o f 0 .1 r e p r e s e n t s a n a r b i t r a r y ch o i c e f o ra p p l i c a t io n s t o c o n t o u r m a p p i n g w i t h a c o n t o u r in t e r -v a l o f o n e - f i f t h t h e r a n g e o f z i. T h e e f f e c t o f s l o p et e r m s w i l l b e l i m i t e d t o o n e - h a l f t h e c o n t o u r i n t e r v a l .T o i n c l u d e t h e e f f e c t o f s l o p e i n i n t e r p o l a t i n g a v a l u ea t P ( x , y ) a n i n c r e m e n t A z~ i s c o m p u t e d f o r e a c h

D i ~ C'p a s a f u n c t i o n o f P .I :A Z t = [ A i ( x - - x i ) + B i ( y - y i ) ] [ v - ' ~ / l

L e t P m o v e a l o n g a s t ra i g h t li n e a w a y f r o m D i a n dvc o n s i d e r t h e e f f e c t o n A zi . T h e f a c t o r o f ~ w a s

i n s e r te d b e c a u s e i t d e c r e a s e s m o n o t o n i c a l l y f r o m 1 t o0 a s di i n c r e a s e s f r o m 0 t o ~ , b e h a v i n g l i k e d~ l f o rl a rg e di. T h u s , r e g a r d l e s s o f di, f o r a n y d a t a p o i n t D i

I Az i I < -- O . l t m a x t z i } - - m in I z i i ]a s d e s i r e d . A l s o , e v a l u a t i n g t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a tD i g ives

( A z i )3 x X = X iy = Y i

= A i a n d . ~ ( A z i )x ~ - x iY = Y i

= B i .

T h u s t h e i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n d e f i n e d b e l o w w i l l g i v et h e d e s i r e d p a r t i a l d e r i v a t i v e s A i a n d B / a t D i a n db e h a v e s o t h e r w i s e l i k e f 3 -


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A l~wo-Dim ension al Interpolat ion Fu nct ion for Irregularly-Spaced Data 52 1

[ ~ w i(zi+Azi)] / [ ~ w i) if di~:O o r allI DiC' DiC' DisC'f 4 ( e ) = L z i i f d i=O for

s o m e D i s C '

R educ i ng C omput at i ona l E rrorW h e n t h e f o r e g o i n g i n t e r p o l a t i o n a l g o r i t h m i s u s e d

w i t h a d i g i t a l c o m p u t e r , r o u n d i n g a n d t r u n c a t i o n c a nc a u s e c o n s i d e r a b l e i n a c c u r a c y w h e n P i s v e r y c l o s e toDi. S in ce l i r a f ( P ) = z i , t h e c o m p u t a t i o n a l p r o b l e m i sP - " D ia v o i d e d b y e s t a b l is h i n g s o m e e , d e p e n d i n g o n t h e c o m -p u t e r ' s p r e c i s i o n , a n d d e f i n i n g f ( P ) = z i wi th in an ~ -n e i g h b o r h o o d o f D i . I f s e v e r a l d a t a p o i n t s o c c u r w i t h i nan ~ - n e i g h b o r h o o d Ne(P) of P, t h e n t h e i r v a l u e s a r ea v e r a g e d .

A l t h o u g h t h e i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n i s t e c h n i c a l ly d is -c o n t i n u o u s , t h e d i s c o n t i n u i t y is o f t h e s a m e o r d e r a sm a c h i n e e r r o r t i m e s t h e m a g n i t u d e o f t h e g r a d i e n t .E r r o r c r ea t e d b y t h is e - n e i g h b o r h o o d is n o g r e a t e rt h a n t h a t c a u s e d e l s e w h e r e b y m a c h i n e i m p r e c i s i o n . I np rac t i ce t h e p ro b l em i s i n s ig n i f i can t b ecau se t h e fu n c-t i o n i s ev a lu a t ed a t d i sc r e t e p o in t s o n ly . Th e f i n a li n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n i s t h u s g i v e n b y :

I I ~ wi(zi+Azi)] / [ ~ w i)] i fdi>E for al lDisC ' DisC' Di

f(P ) = [ ~_, zi] ,/ [ ~, A ] i f di


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5 2 2 P r o c e e d i n g s - - 1 9 6 8 A C M N a t i o n a l C o n f e r e n c e

L E V L L

SYMBOLS

I 2 3 4 5o o . o o . o o o + + + + f + o o o o o o o o o e e e e e e e e e O l I N* * * * o * * * * + + + + + + + * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 @ @ M ~ I l I I I I I I I. . . . l . . . . + + + + 2 + + + + 0 0 0 0 3 0 0 0 0 ~ @ ~ I I I I ~ I I I I. . . . .0.. . ++++H+++ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 @ @ @ ~ d ~ @ I I I I l I I I I. . .. . .. . . + + + + + + ++ + 0 0 0 0 0 0 00 0 . . . . ~ . ~ ..... I I I I

* . . . . +"-~ I . . . . 4----- 2 . . . . ----3 .. . . + . . . . ~ . . . + . . . . 5 . . . . + . . . . 6 . . . . + . . . . ? .. . *I ~+++~+++++++++++++ eee . eeee ee e . eee . eeeeeeeeeeeee eeeeeee lI ++++++++++++ eeee eeeeee eee eeeeeeeeee eeeeee eeee eee II ++++~++ oooeoooooeeooeeoooeoooeooeooooooeeooeee I7 - I + ~ + + + + + + + H + + + + + + e o o o o o o e o o o o o o e o o . . o e o o o o o o o o e e o e I~ + + ~ + + + + + + + ~ + + + + + + + + + + + + + i + . + + . + . + + + + + + + + + + + + + + + + + " " : ' " ' " ' " . . . . .. . . . " ' . ' " . " i ' " " . . . .. . . " ' " ' " . . I~ +++++++ ~+~ ~+ ++~ + o oeeeooe oomeooeoeooooe oo eeoc ooeooooII * * + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + . o o o e o e o , o o e o e o o o e e o o o o o e o e e o e e o o o o II ++ +++ +++++ + +++ +++ ++ e o e e o o o e o e o o o e e e e o e o o e o o e o o o e o o o o e o I1 + + + ++++ ++ ++~ ~++ ooosoeeo oooooooooooooooooo eo~o ooo] .~ + ++++~+ e e o e o e o e e e e e o o e o e o o e o oo o e e o e e o e o e I6 - I + + + + + + * + + + * + + Z + + + + + + + + + + + + + + + + + o . . o o . . o o . o o o o . o o e o e . . . o e . . . o . * II o e o e o o o o oo e o e o o o o o oo o o o o o o oI + ++ ++++ + + oo ooooooeoooooooo I+4"4 "4" 4"++ +++ +++ 4"+ ++ ++4 "4 " +4" +++ ++4 "+ + ++ ++ +++ + 4-+ ++* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . . o o . . . +++II * + + + * + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + * + + + + + + + + + + + * + + + + + + + + + + + + + + + + + + * + + + + + + + + * + II + + + + + + + + * + + + + + + + + + + + + H + + + + + + + + + + + + * + + + + + + + + + H + + + + II + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + I5 - 2 + + + + + + + + + + + + * + + + + * + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2I + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 01{ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 0 0 0 0 0 II + + + + + + + + + + + * + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 II + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ~ - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1~ - ~ + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I + * + * + ++ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + + + + + + + + + O O O D J O O O O O O O O O O O O O O D O O O 0 0 0 0 0 0 O O O O 0 0 II + + + + + + + + + + +* ++ + + + + ++ + + + + O 0 0 0 0 U O O O G O O O O O O O O O O O O O O O O U 0 0 0 @ @I4 - I O 00 + + + + + + ++ + + + + + O 0 0 O O O U O U O O u O O O O D O G O O U O O O O 0 0 0 0 @ @ 8 8 8 8 @ 8 8 @ 8 1i O u uO O U O O 0 0 O b O O O O C O O U U O U O O U O O O O O O O O O O O O O G O 8 @ @ @ @ ~ @ e @ @ @ @ @ @ @ I3 0 0 0 ~ U u u O u U U U O u J U d U O O O O O O O U U U O u O O U u U O O O O O O O O O U O O 0 0 0 0 0 @ @ 8 88 8 @ V~ @ 8 @@ 8 8 88 8 8 88 3I U O C O O O O O U U O U U U U U O O O O U U u O O u O O O O O b D O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 @ @ @ @ 8 @ @ ~ @ @ @ e @ @ @ @e @ @ @ @ I~ O O U C O O U U O ~ O D O O O O O O O W O O O O O O O O U O O O O O O O U O O U O 0 0 0 0 00 @ @ @ @@ @ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @ @@ @ @ e @@ @ II U ~ O U U O U d O u U O U O O O O O U D O O O O G O O d O U U O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ @ ~ w @ ~ e @ ~ @ @ ~ e @ e e Ii o o u u u o u u o o o o o o o o o o o u u u o o o o o o o o o o o u o o o o o o o o o e @ e e @~ B @ @ B e @ e e@ @ I I I l l l l l l l l i U U O U UO 0 , . , 00 d U U0 0 W U U U0 J 0 00 0 U 00 0 0 UO 0 0 O U 0 0 00 0 0 0 @ ~ e @ @ @ B @ e e e o @ I I I I I I I I I I I I I 3- I J O O O u 0 u O U O U U U U U J b 0 d U O U U 0 0 O U O U O 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 @ ~ @ @ @ @ ~ @ @ @ U I l l l l l l l l l l l l l II U O O 0 ~ 0 U U 0 ~ Jd U d 0 0 0 0 0 O O J 0 0 0 C~ O 0 0 0 0 O U O 0 0 0 0 0 00 ~ @ @ e @ @ @ e e @ l l l I i I I l l I Ii O O O d O O O U O O J O O O u O O O U O d O U O O O O O O d J O O 0 0 0 0 0 @ ~@ @@ @@ ~e r~ @@ ~@ l l l l l l l l l l l l I ~ @ I IL 0 u U U u d 0 ~ 0 d uo 0 u U u 0 0u 0 d U 0 00 0 U 0 ~ UU U 0 , U 0 U 0 0 ~ @ @ @ ~ @ @ ~ @ I I I I I I I I I I I I I ~ I I I I I I~ + U O U ~ 0 U ~ 0 u 0 0 0 G O u 0 0 0 0 0 U O O C u 0 U 0 0 0 0 0 0 0 0 G 0 ~ 8 @ @ @ ~ @ @ @ @ ~ U U l I ~ I I I I I I I I I I I I ~I O o 0 u O u 0 u u o u 0 ~ O u 0 0 u o o ~ o 0 O O u o 0 0 O u 0 0 0 0 0 0 @ @ e ~ @ @ @ @ ~ @ ~ @ @ I I I I l l I I I I I I IIOUOUOOUOOUduUOOOO.2UdOOOO6OOOOOOOUOUO ~ ~ @ I I I I I I I I m n n I I I I I S U U I I I II 0 0 0 0 U 0 0 O 0 0 u uO 0 0 U U U U 0u 0 0 0 0 0 0 00 0 0 U 0 0 0 0 ~ @ @ ~ @ @ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I2 - 1 0 u 0 0 0 U 0 d U d J 0 ~ U 0 d 0 0 0 U 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 @ @ @ @ ~ @ @ @ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I+ O 0 0 U O U U U 0 0 U O U U 0 O O O O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U U 0 0 @ @ ~ @ @ @ @ ~ @ ~ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 41 0 0 0 0 u U 0 U 0 J U d 00 0 O O O U U U U 0 O O U 0 0 0 0 0 0 0 @ @ @ @ e @Q ~ @ @ ~ I I I I I @ I i I I I @ I I II O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U 0 U U 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U O U ~ @ @ ~ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ i i i i i i i i i I i I i i i i i i I I I iIG,,O0600000000uUOOUUOOOOOOOOOUOOO @ @ ~ @ @ M @ 8 B @ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I1 0 0 0 u O U U U O 0 0 0 0 0 O O U 0 0 0 0 0 O U U U0 0 0 0 0 0 0 6 ~ @ ~ @ @ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I i I i I i~ 0 0 O 0 0 0 0 0 0 0 U U 0 0 0 0 0 0 0 0 O U 0 0 0 00 0 0 U 0 0 0 ~ @ @ ~ 8 8@ @ @ e l I I I I I I I I I I I m l l l l 5I O O u O O O 3 O O O O O O o O O O O J O O O O O 0 0 0 0 0 0 O O @ , ~ @ @ @ @ @ @ ~ @ , ~ @ l l l l I I I I I I I l l l l Il - I O b O O O O u U u o u O d U O O U U O O J U U O O U O 0 0 0 0 0 @ ,~ @@ @* ~T ~@ @@ @@ ~@ I ~ I I I I i I I i i ~ i i I I i i i I I1 0 b o c o o 0 0 u u o o u 0 0 0 o o 0 o o o o o o o o o o o 0 0 @ 8 @ @ ~ @ ~ @ I I I I I I I I I I I I I I l l I I I I I I I I I II O C 0 d 0 J J 0 0 b 0 0 U0 d 0 0 O O O O O O U 0 0 0 0 00 0 O @ @ @ @ ~ @ ~ @ I I I U U I I I @ I I @ I I I I I I I I I I+O 00L, d 0 u ~ O O J 0 0 0 0 0 0 U 0 0 0 0 U 0 0 0 0 0 0 0 0 @ @ ~ ~ @ I I ~ I l ~ I I I I I I I I I i I i i i i i 4L O U U 0 U O O J 0 u O 0 O 0 0 0 0 0 0 0 u 0 0 d ~ U 0 0 O U 0 ~ @ @ ~ @ ~ ~ H I I I I I I I I H I I I I I I II U U O O O u O O d O U O O O O O d O O u d O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 @ @ @ , ~ @ @ @ @ @ @ @ I ~ I I I I ~ I I I I I I I I I I @ I I II d 0 0 0 0 U 0 d U U 0 O ~ O 0 0 0 0 0 0 U ~ 0 0 0 0 u O U O 0 ~ @ @ ~ @ @ 8 @ ~ @ @ ~ @ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I i i i1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b ' U U 0 u ~ 0 0 C 0 0 0 ~ 0 J U 0 0 0 0 0 8 @ @ @ ~ ~ ~ I I I I I ~ I I I I I @ I I I I I I I I I I. . . . 4"---- I . . . . +-----2 . . . . + . . . . 3 . . . . + . . . . 4-----+--~5 .. . . + . . . . 6-- '-+ . . . . 7 . . . . *SYMAP

~HON~T RAII ON UF INTERPOLAT ION FROM FOUR IRREGULARLY~SPACEDD A T A POINIS NUMB~hS SHOW DATA POINTS LOCATIONS AND LEVELSCU~TDU~ HAP PRODUCED dY SYMAP, VERSION 5 AT HARVARD UN IVE RS ' ITY .


7/8

A T w o-Dim ens io na l Interpo la t ion F un ct ion for Irregu lar ly -Spaced Data 5 2 3

D E M O N S T R A T I O N O F I N T E R P O L A T I O N F R O MF O U R I R R E G U LA R L Y - S P A C E D D A T A P O I N T S

L o c a t i o n a n d V a lu e a t D a t a P o i n t sd a t a

p o i n t l o c a t i o n a l d a t an u m b e r c o o r d i n a t e s v a l u e l e v e l

i x i Y i z i1 6 .00 6 .75 0.0 12 6 .80 2 .25 5 .0 53 0.8 0 1.13 2.5 34 1.90 6.00 1.5 2

V a l ue R a n g e C o r r e s po n d i n g t o E a c h L e v e l o f Sy m b o f i s ml e v e l r a n g e

l [ - -0 .5, 1 .0)2 [ l .0 , 2 .0)3 [2 .0, 3 .0)4 [3 .0, 4 .0)5 [4.0, 5.5]

( N u m b e r s o n m a p i n d ic a t e d a t a - p o i n t l e v el sa n d l o c a t i o n s . )

C o m p u t i n g t i m e f o r m a p - m a k i n g u n d e r S Y M A P V e r-s i on V p r o g r a m is r o u g h l y p r o p o r t i o n a l t o t h e m a pa r e a , a n d r i s es g r a d u a l l y a s t h e n u m b e r o f d a t a p o i n t si n c r e a se s . P r e p a r i n g a m a p 1 0 " b y 1 0 " s q u a r e o n t h eI B M 7 0 94 r e q u i r e s a b o u t .3 5 . m i n u t e w i t h f o u r d a t ap o in t s , . 7 0 m in u te w i th 2 00 d a ta p o in t s , a n d 1 .3m i n u t e s w i t h 6 0 0 d a t a p o i n t s . V e r s i o n V h a s b e e na d a p t e d t o r u n a l s o o n t h e I B M 3 6 0 / 5 0 . 1

T o p r e p a r e t h e m a p i n F i g u r e 1 , a s i s n o r m a l l y t h ec a s e i n S Y M A P V e r s i o n I V a n d V , t w o le v e ls o f i n t e r -p o l a t i o n w e r e a c t u a l l y u s e d . F i r s t , e v e r y t h i rd v a lu ea c r o s s , a n d e v e r y s e c o n d v a l u e d o w n w a s c o m p u t e db y t h e p r e c e d i n g a l g o r i t h m . T h e n d o u b l e l i n e a r i n t e r -p o l a t i o n w a s u s e d a t t h e i n t e r v e n i n g l o c a t i o n s . B a r e l ya l t e r i n g t h e a p p e a r a n c e o f t h e m a p , t h i s t w o - l e v e l p r o c e -d u r e r e d u c e s c o m p u t i n g t i m e b y 7 0 % . A l t h o u g h V e r -s io n s I V a n d V a re s t il l s l i g h t ly s lo w e r th a n V e rs io nI I I , t h e i r f l e x i b i l i t y a n d c o n v e n i e n c e a r e c o m p e n s a t i n ga d v a n t a g e s .C O N C L U S I O N S

T h e f o r e g o i n g a l g o r i t h m i s g e n e r a l i z a b l e t o i n t e r p o l a -t i o n f r o m d a t a p o i n t s i n t h r e e - o r h i g h e r - d i m e n s i o n a ls p a c e w i t h f e w m o d i f i c a t i o n s . I n h i g h e r - d i m e n s f o n a ls p a c e , t h e C a r t e s i a n m e t r i c re p l a c e s t h e t w o - d i m e n s i o n -

a l d i s t a n c e . A l s o , e x p r e s s i o n s i n v o l v i n g s c a l a r p r o d u c t so r s l o p e in c r e m e n t s r e q u i r e a n o t h e r t e r m f o r e ac h a d -d i t i o n a l d i m e n s i o n . F i n a l l y , t h e r a d i u s r i s e v a l u a t e df r o m t h e v o l u m e o f t h e m i n i m a l p o l y h e d r o n , i n s t e ado f t h e a r e a o f t h e m i n i m a l p o l y g o n , c o n t a i n i n g a l lt h e d a t a p o i n t s .

I n g e n e r a l n o m e t h o d o f i n t e r p o l a t i o n i s p r e c i se l ya c c u r a t e e x c e p t a t t h e p o i n t s t h r o u g h w h i c h t h e f u n c -t i o n h a s b e e n f i t te d . T h e f o r e g o i n g f u n c t i o n w a s d e -v e l o p e d w i t h p a r t i c u l a r c o n s i d e r a t i o n f o r v a r i a b l e s s u c ha s p o p u l a t i o n d e n s i t y , h o u s i n g c o n d i t i o n s , a n d o t h e r sf r o m t h e f i e ld s o f p l a n n i n g a n d g e o g r a p h y . F o r s u c hw o r k , l i tt l e is k n o w n a b o u t t h e e x a c t p r o p e r t i e s o f t h ev a r i a b l e i n v o l v e d ; t h u s t h e i n v e s t i g a t o r ' s in t u i t i v e j u d g -m e n t , i n th e a b s e n c e o f a n o b j e c t i v e m e a s u r e , m a yr e p r e s e n t a n a c c e p t a b l e e v a l u a t i o n o f t h e a p p r o p r i a t e -n e s s o f a n y i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n u s e d . T h o u g h t h ef o r e g o i n g i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n c o n t a i n s a r b i t r a r yc h o i c e s , it h a s a t l e a st p r o v i d e d a w o r k a b l e t o o l a s s is t -i n g in t h e a n a ly s i s o f a r e a l d a t a v i a c o m p u t e r m a p p i n g .I t i s h o p e d t h a t t h e m e t h o d w i ll a i d i n t h e d e r i v a t i o no f m o r e r e f i n e d t w o - a n d h i g h e r - d i m e n s i o n a l i n t e r p o l a -t i o n f u n c t i o n s .

R E F E R E N C E SP S W I T Z E R C M M O H R R E H E I T M A NS t a t is t ic a l a n a l y s e s o f o c e a n t e r ra i n a n d c o n t o u r p l o t t in gp r o c e d u r e sP ro je ct T r id e n t R e p o r t 1 4 4 04 6 4 A r th u r D L i t t l e In cApril 1964J F S T E F F E N S E NI n t e r p o l a t i o nWil l i a m s a n d Wi lk in s B a l t im o re 1 9 2 7 C h a p 19I S B E R E Z I N N P Z H I D K O VC o m p u t i n g m e t h o d sA d d is o n -We s le y P u b l i s h in g C o m p a n y In cM a s s 1 9 6 5 V ol I C h a p 2 R e a d in g

C d e B O O RB i c u b i c s p l i n e i n t e r p o l a t i o nJ Ma th and Phys 41 212-218 1962J A D O W N I N GT h e a u t o m a t i c c o n s t r uc t i o n o f c o n t o u r pl o t s w i t ha p p l i c a t i o n s t o n u m e r i c a l a n a l y s i s r e s e a r c hD e fe n s e D o c u m e n ta t io n C e n te r R e p o r t A D 6 4 98 1 1J a n u a ry 1 9 6 6W R T O B L E RA n i n t e r p o l a t io n a l g o r i t h m f o r g e o g r a p h ic a l d a t aUnivers i ty o f Mich igan unda ted


8/8

5 2 4 P r o c e e d i n g s - 1 9 6 8 A C M N a t i o n a l C o n f er e n c e

7 W C K R U M B E I NTrend surface analysis of contour-type maps withirregular control point spacingJ G e o p h y s R e 6 4 8 2 3 -8 3 4 1 9 5 98 B E B E N G T S S O N S N O R D B E C KConstruction o f isarithms and isarithmic maps by

computersU n i v e r s i t y o f L u n d S w e d e n B I T 4 8 7 - 10 5 1 9 64

9 A H S C H M I D TSYMAP A user's manualT r i - C o u n t y R e g i o n a l P l a n n i n g C o m m i s s i o n L a n s i n gM i c h i g a n M a y 1 9 6 610 User's referemce manual for synagraphic computermapping "SYMAP" version VL a b o r a t o r y fo r C o m p u t e r G r a p h i c s H a r v a r d U n i v

June 1968

a two-dimentional intepolation function for irregalarly-spaced data

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