A Simple Algorithm for Generating A Simple Algorithm for Generating Unordered Rooted TreesUnordered Rooted Trees

中野 眞一　　　　宇野 毅明中野 眞一　　　　宇野 毅明　群馬大学 　　 　情報学研究所

　　　　　　　　　　　　（総研大の博士課程に入　　　　　　　　　　　学したい

人募集中）

2003 年 5 月 23 日　アルゴリズム研究会

研究背景

列挙の研究は面白い列挙の研究は面白い

　・ キレイな結果の出る問題が残っている　　　　（アルゴリズム的な研究がされつくしていない）

　・ 近年、工学的な応用が増えた　　　　（計算機パワーの増大＆アルゴリズムの進展で、　　　　列挙という手法を使ったモデルを解けるようになった）

問題：根付き木の列挙

問題：　頂点数が 1 から n までの根付き木を列挙せよ。ただし、根が同一かつ同型なものは同一視せよ。

例えば、 1 頂点から子供を付け足していくバックトラック法で列挙できるが、同型なものをたくさん出力してしまう

応用：グラフマイニング

問題：　入力した根付き木の中に頻出する（ α 回以上現れる）根付き木を列挙せよ

解法：　１頂点からなる木を１つずつ大きくしていき、頻出すれば出力、頻出でなくなったら引き返す、というバックトラック型の探索をする

入力した木

順序木と無順序木

順序木：各頂点に、その子供の順序が与えられている木 ⇒ 　無順序木：順序が与えられていない木

２つの順序木が同型　⇔　 根と、順序を保存する同型写像が存在

これらは無順序木として同型だが、順序木としては異なる

順序木の depth sequence

順序木の depth sequence ： 　　左を優先して深さ優先探索し、訪れた頂点の深さをpre-order で並べる

２つの順序木が同型　⇔ depth sequence が等しい

0,1,2,3,3,2,2,1,2 0,1,2,2,3,3,2,1,2 0,1,2,1,2,3,3,2,2

left heavy embedding

L(v) ： v から下の部分木の depth sequence

bro(v ) ： v の左隣の兄弟

T が Left-heavy embedding ： ⇔ 任意の頂点 v について、 L(bro(v)) ≧ L(v)

・ left heavy embedding と無順序木は１対１対応⇒ left… を列挙しましょう

0,1,2,3,3,2,2,1,2 0,1,2,2,3,3,2,1,2 0,1,2,1,2,3,3,2,2

辞書順：長いほうが大きい

left heavy embedding の親left-heavy embedding T の親 P(T) 　 ： T の最も右の葉を取った木

RP(T) ： left heavy embedding T の最も右のパス・ RP(T) の各頂点 v について、 L(v) の末尾が１つ削られる　　　　　　⇒ 　 P(T) は left heavy embedding

0, 1,2,3,3,2 ,1,2,2 0, 1,2,3,3,2, 1,2

T P(T)

Family tree

Left-heavy embedding の親子関係をグラフで表現

・これを深さ優先探索する・木 T の子供が作れれば　探索できる

left heavy embedding の子

・ T の子供 S は、 RP(T) の右に葉をつけたもの

・逆は、成り立つとは限らない RP(S) の任意の頂点 v について、 L(v) ≦ L(bro(v))

⇔ 　 S が left heavy embedding

　⇔ 　 S は T の子供

T S 多項式時間で列挙可能

もう少しがんばる

子供の候補は n 個子供のチェック多項式時間

子供になる条件１

vi ： RP(T) の深さ i の頂点

■ L(vi ) が L(bro(vi )) の prefix でない

　　　⇒ L(vi ) に何を付け足しても L(vi ) ＜ L(bro(vi ))

■ L(vi ) が L(bro(vi )) の prefix

（ L(bro(vi )) = L(vi ) d1 d2 d3 … ）

付けた葉の深さが d1 以下

⇔ L(vi ) ≦ L(bro(vi ))

　

vibro(vi )

・ 任意の vi について 成り立てば、子供

子供になる条件２

v* ： prefix となるものの中で最も浅い頂点

copydepth ： v* の深さ

v* について先の条件が成り立てば任意の vi について成り立つ

d1

v*

深さ 1 から copydepth までの葉を付けたものが子供

copy depth の保持

vibro(vi )

d1

・ 付け足した頂点 u の深さが d1 と同じ

　⇒ L(v* ) が L(bro(v* )) の prefix かつ一番浅い

　⇒ d1 の次の頂点の深さが copy depth

・ d1 より浅い

⇒ u は prefix

　その他は prefix でない ⇒ u の深さが copy depth

アルゴリズムをまとめると

T: 木 , d ： copy depth 、 L: T の depth sequence,

根付き木 ( T, v )

1: T を出力 （前の出力との差分）2: j := L での d の次の深さ3: 根付き木 ( T+ 深さが j の葉 , j )

4: for i=0 to j-1

5: 根付き木 ( T+ 深さ i の葉 , i )

・ 1 反復の計算量 ＝ O( 子供の数 ) ⇒ 1 反復あたり O(1)

・ 出力 は 1 反復あたり差分 1 ⇒ 1 回あたり O(1)

・ メモリ使用量は O(n)

n 頂点の根付き木の列挙

問題： 頂点数がちょうど n の根付き木を列挙せよ　 ⇒ 根付き木を列挙し、頂点数が n のもののみ出力計算量は？＃頂点数 n の根付き木　　 ≧ α ＃頂点数 n-1 の根付き木ならば、 1 つあたり定数時間

（ # 頂点数 n の根付き木）を押さえる

問題： 頂点数 n-1 の木から、それ固有の、頂点数 n の木を 2 つ作る⇒ 　　＃頂点数 n の根付き木

　　≧ ２ × ＃頂点数 n-1 の根付き木

まとめと今後の展開

・頂点数が 1 から n の根付き木を列挙する、 1 つ当たり定数時間のアルゴリズムを提案した

・このアルゴリズムの計算時間が頂点数が n の根付き木にたいしても、 1 つ当たり定数時間であることを証明した

今後は：・ グラフマイニングに応用したい・ 根のついていない木、平面に埋め込んだ木なども、同じように列挙したい