a resoluÇÃo de problemas no ensino da matemÁtica · leituras e as análises dos dados levantados...
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A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: perspectivas para a prática pedagógica
Elis Regina Pereira1
Luciane Ferreira Mocrosky2
Resumo: Neste artigo apresenta-se aspectos de um trabalho orientado pela pergunta: “como utilizar a ‘Resolução de Problemas’ nos processos de ensino e aprendizagem das operações com números racionais no ensino fundamental?”. Neste estudo foi realizada uma intervenção pedagógica, pautada no desenvolvimento de atividades que visavam a contribuir para o enfrentamento dos desafios educacionais, de promover a aprendizagem da matemática, que faça sentido ao aluno, que o capacite a resolver problemas e a aplicar os conceitos já compreendidos enquanto aprende matemática, o que justifica o tema escolhido. As leituras e as análises dos dados levantados apontam para possibilidades do objetivo de promover o ensino das operações com números racionais através da metodologia de Resolução de Problemas ser viável. Entretanto é reconhecido tratar-se de um desafio para o professor que deverá habituar seu aluno a explorar, a inquerir, a duvidar, a testar hipóteses levantadas por ele mesmo, a querer mais, a compreender o que faz, a não aceitar o que não faz sentido, a insistir em dar sentido àquilo que num primeiro olhar pode querer dizer nada.
Palavras-chave: Metodologia; Resolução de Problemas; Números Racionais; Educação Matemática; Ensino Fundamental.
Abstract: This article presents some aspects of a piece of work which was guided by the following question: “how to use the ‘Troubleshooting’ in the process of teaching and learning of operations with rational numbers in elementary school?” In this research was achieved an educational intervention, based on the development of activities aimed at contributing to face the educational challenges, to promote the mathematics learning which makes sense to the students, enabling them to solve problems and to apply the concepts already understood at the same time as learning mathematics, which justifies the chosen theme. The readings and analysis of the collected data point to the possibilities of the goal of promoting the teaching of operations with rational numbers through the Troubleshooting methodology to be viable. However, it is well-known that this is a challenge for the teacher who must get the students into the habit of exploring, doubting, testing hypotheses raised by themselves in order to understand what they do, not to accept what doesn’t make sense, to insist on giving meaning to what, at a first glance, may not mean anything. 1Especialização em Parapsicologia pelo IPAPPI. Especialização em Educação Matemática. Licenciatura em
Matemática pela UEL. Professora do Colégio Estadual Pedro Macedo, da Rede Pública Estadual. 2 Orientadora PDE. Professora da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.
Key word: Methodology; Troubleshooting; Rational Numbers; Mathematics Education; Elementary School.
Introdução
Muitos pesquisadores que têm se debruçado sobre a educação matemática
apontam que, em geral, a organização dos programas escolares e as metodologias,
que vêm sendo praticadas no cenário educacional brasileiro, têm dificultado a
aprendizagem do aluno (IMENES, LELIS, 1997; ONUCHIC, 1999; ALLEVATO, 2005;
D’AMBRÓSIO, 1989; DANYLUK, 1998; DANTE, 1989). Para Imenes e Lellis (1997,
p.6), “[...] gasta- se muito mais tempo treinando cálculos mecânicos do que
trabalhando com ideias, há conteúdos que não desenvolvem o raciocínio, nem têm
aplicações práticas [...]”.
Na prática cotidiana da escola, observa-se a primazia ao preparo para
aquilo que interessa particularmente a um plano de ação pedagógica, que tem no
cerne a reprodução de um modo de aprendizagem e não aos modos como o aluno
pode aprender. Isso, muitas vezes tem levado ao insucesso do estudante na escola.
Reflexos do como os pesquisadores mencionados compreendem os rumos
do ensino da matemática podem ser observados em documentos oficiais, que
anunciam orientações para o ensino na educação básica. Há, nesses documentos,
uma forte indicação para o trabalho com as tendências em educação matemática,
afim de que se abra o caminho de um ensino que faça sentido ao aluno.
A proposta das Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica
–DCE- (PARANÁ, 2006, p.63), ilustra a constatação já mencionada ao explicitar que
o ensino de matemática deve apoiar-se nas tendências metodológicas:
etnomatemática, modelagem matemática, mídias tecnológicas, história da
matemática e principalmente na resolução de problemas. Ainda, voltando-se os
olhares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – Matemática, vê-se essas
orientações presentes, com destaque para que
[...] no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las (BRASIL, 1997, p.43).
Com esse viés, ancorar o ensino na perspectiva da metodologia da
resolução de problemas, pode ser um caminho que favoreça auxiliar o aluno na
construção do seu conhecimento, na elaboração dos conceitos matemáticos e na
revelação de modos de aprender, de manifestar os significados compreendidos e os
sentidos que a matemática escolar vai fazendo para cada um, em sua trajetória de
vida. Isso porque é ciência que
[...] aprender Matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade e conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível (PARANÁ, 1990, p.66).
Frente aos entendimentos que foram se fazendo durante os estudos
realizados no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE)3 destinado a
docentes do Estado do Paraná, investiu-se na perspectiva da Resolução de
Problemas (RP) como uma metodologia para o ensino e a aprendizagem de
matemática.
Neste artigo, apresenta-se alguns aspectos do referido estudo, onde foi
realizado uma intervenção pedagógica pautada no desenvolvimento de atividades
que visavam contribuir com o enfrentamento dos desafios educacionais. Desafios
compreendidos pela busca de modos de promover a aprendizagem da matemática
que faça sentido ao aluno, que o capacite a resolver problemas e a aplicar os
conceitos já compreendidos “enquanto aprendem matemática” (ALLEVATO, 2005,
p.38).
À luz da interrogação norteadora: “como utilizar resolução de problemas
nos processo de ensino e de aprendizagem das operações com números
racionais no ensino fundamental?”, buscou-se modos de intervir em sala de aula,
com atividades sobre as operações envolvendo os números racionais, e que se
dirigiam à aprendizagem dos conceitos pelos alunos, valendo-se da metodologia da
RP.
3 Informações sobre o Programa de Desenvolvimento Educacional, desenvolvido no Estado do Paraná, estão
disponíveis no endereço www.diaadiaeducacao.pr.gov.br, bem como artigos já desenvolvidos pelos professores concluintes do referido Programa.
Resolução de problemas: uma visada histórico-pedagógica
A presença de problemas para organizar o conhecimento matemático
produzido tem sua história nas mais remotas civilizações. Um exemplo pode ser
encontrado no Papirus de Rhind, (1650 a.C): uma coletânea egípcia com mais de 80
problemas envolvendo aritmética, frações, cálculo de áreas, volumes, progressões,
repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares, trigonometria
básica e geometria, com suas respectivas soluções. A intenção desse compêndio
não é clara! Especula-se que ele tenha tido fins pedagógicos, mas não se pode
descartar a possibilidade de ser apenas um registro de anotações de estudos que
foram preservados. Contudo, pode-se afirmar que nele há intencionalmente o
direcionamento para um modo de expor conteúdos, com textos que envolvam os
assuntos em uma problemática, mesmo diante da suspeita de que os enunciados
tenham sido criados para satisfazer as necessidades de assegurar o domínio das
técnicas que permitem resolver os problemas propostos.
De um modo geral, percebe-se que a presença de problemas tem sido
recorrente para a difusão de conhecimentos matemáticos ao longo da história da
humanidade. Nesse trajeto, Nunes (2010) observa que por um bom tempo foi muito
valorizado, na educação, a solução de um problema. O que se destacou no cenário
educacional foi a elaboração de problemas e a respectiva resolução como uma
alternativa utilizada para finalizar uma unidade curricular, com o intuito de fixar um
conteúdo pelo treinamento dos assuntos já tratados.
Assim, o viés mais marcante na história do ensino da matemática não
revelou os problemas com possibilidade para descobertas dos alunos, nem como
modo de mostrar as estratégias de enfrentamento das situações desconhecidas ou
mesmo como possibilidade para despertar o interesse por estudos. Por
constatações que se assemelham às já expostas, Stanick e Kilpatrick (1989, p. 1)
afirmam que “os problemas têm ocupado um lugar central no currículo da
Matemática escolar desde a antiguidade, mas a resolução de problemas não”.
Esse cenário que envolve problemas e sua resolução com fins pedagógicos
não se manteve inalterado. Segundo Nunes (2010), a obra How to solve it? de
George Polya (1945) foi o marco, pois trouxe um novo sentido orientador para a
utilização de problemas no ensino da matemática. Nela, o autor inova ao valorizar a
importância de um planejamento que permita ao estudante se lançar em busca de
soluções para o desconhecido.
O estudo de Polya reflete consideravelmente no ensino da matemática,
principalmente em resposta aos esforços infrutíferos do movimento da Matemática
Moderna, que tinha como base uma cultura voltada para a ciência e a tecnologia,
não se preocupando com a aplicação do conteúdo, somente com a abstração
(ALLEVATO, 2005). Segundo Onuchic (1999, p.199-218), num panorama mundial,
a resolução de problemas ganhou visibilidade curricular no início da década de 1970
embora, no Brasil, essa perspectiva pedagógica tenha sido valorizada apenas a
partir da segunda metade da década de 1980.
Os estudos de Allevatto (2005), Onuchic (1999), Nunes (2010), apontam
que, para Polya, resolver um problema consiste encontrar um caminho que
possibilite vencer um obstáculo; achar uma saída não conhecida, que envolva
estratégias de ação, possibilitando alcançar um objetivo que não pode ser alcançado
de imediato por meios conhecidos.
Essa concepção indica, mais claramente, para um método a ser seguido.
Assim Polya (1995) considera quatro fases a serem percorridas pelo aluno para
resolver um problema: 1) compreensão; 2) estabelecimento de um plano; 3)
execução do plano; 4) retrospecto ou verificação.
Sucintamente, essas etapas podem ser desdobradas em ações que
requerem inicialmente a leitura cuidadosa do problema, a interpretação atenta, a
minuciosidade na coleta de dados explícitos e implícitos no enunciado. O papel do
professor é ajudar o aluno, instigando-o, favorecendo o interesse pela busca do que
está desconhecido; fazendo perguntas, explorando oralmente a situação-problema.
Todas as informações encontradas e as suposições devem ser anotadas para que
as estratégias sejam traçadas. Comentar que há relação da situação problema com
alguma situação semelhante, que seja do conhecimento do aluno, pode favorecer no
planejamento das ações.
No decorrer das décadas, em que a resolução de problemas, a partir da obra
de Polya, vem sendo estudada e praticada no ensino da matemática, muitas
perguntas vêm sendo postas a fim de trazer clareza para o trabalho assumido pela
escola, pelo professor e pelo aluno. Assim, ao enveredar-se pela pedagogia da
resolução de problemas, se faz necessário explicitar o entendimento que se está
tendo por problema, já que muitas vezes o que é um problema para uma pessoa,
pode não ser para outra.
Recorrendo à literatura, encontramos muitas definições, das quais vamos
expor as que paulatinamente vão favorecendo nossa compreensão, explicitando, ao
final, a concepção por nós assumida.
Em seu estudo, Dante (1989, p. 9) oferece uma definição pragmática de
problema: “qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la".
Entretanto, não aponta para o pensar, comprometido com a busca pela solução,
pela importância que esse encontro enseja à pessoa.
Avançando nas literaturas em busca de maiores esclarecimentos, nos
deparamos com Pereira (1980) que considera problema como sendo toda situação
na qual o indivíduo necessita obter novas informações e estabelecer relações entre
elementos conhecidos e os contidos num objetivo a que se propõe realizar para
atingi-lo. Compreende-se que essa definição dá um passo à frente por envolver não
apenas o pensar de quem está resolvendo o problema, mas a necessidade desse
pensar em função de um interesse pela busca. Assim, vê-se que avança no
entendimento, mas deixa latente a dúvida de que a necessidade de ir em diante à
resolução não seja por interesse real, mas por assumir o compromisso com algo que
se mostra como ideal a ser perseguido.
Caminhando na direção de trazer, com mais nitidez, o que seja um
problema, encontramos em Saviani (1985, p. 21) que
Uma questão em si não caracteriza o problema, nem mesmo aquela cuja resposta é desconhecida; mas uma questão cuja resposta se desconhece e se necessita conhecer, eis aí um problema. Algo que eu não sei não é um problema; mas se eu ignoro alguma coisa que preciso saber eis-me, então, diante de um problema.
Essa fala aponta para o entendimento de Onuchic (1999, p. 215) de que
problema é "tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em
resolver". Desse modo, assumi-se esse entendimento para o conceito de problema a
ser desenvolvido neste trabalho.
Assim como há vários modos de compreender o que seja um problema, há
desdobramentos para as concepções sobre “resolução de problemas”. Schroeder e
Lester (1989, p. 34), apresentam três possibilidades diferentes para a abordagem
pedagógica da “resolução de problemas”, como sendo: ensinar sobre resolução de
problemas, ensinar a resolver problemas e ensinar matemática “através” da
resolução de problemas.
O ensino sobre resolução de problemas aproxima-se da proposta de Polya
(1995), especificada pelas fases de compreender o problema, estabelecer um plano,
executar o plano e verificar a solução encontrada. Nessa perspectiva, problema é
compreendido como um conteúdo a ser trabalhado, portanto o ensino traz em seu
bojo modos de resolver um problema.
A perspectiva anunciada de ensinar para resolver problemas considera a
aplicação da matemática já conhecida na solução de problemas rotineiros ou não. O
encaminhamento prioritário é o de apresentar muitos exemplos com conteúdos que
estão sendo estudados, onde se espera que os alunos transfiram o que aprenderam
para outros problemas.
Atualmente a concepção que tem ganhado espaço é aquela que considera o
ensino da matemática “através” da resolução de problemas. Isso solicita que o
movimento de cada indivíduo, em direção à construção do seu conhecimento
matemático, perpasse e seja perpassado pela resolução de problemas, pois, nessa
abordagem, “pretende-se que aconteça ensinar, aprender e avaliar a matemática
construída pelos alunos com a guia e direção do professor através da resolução se
problemas”(NUNES, 2010).
A metodologia da resolução de problemas em matemática: um
encaminhamento possível
A metodologia da “Resolução de Problemas” tem sido compreendida como
uma alternativa favorável para evitar o uso imediato de dados e fórmulas, já que
nessa perspectiva resolver problemas é uma atividade de investigação. A ênfase é
de que tarefas envolvendo problemas ou atividades seja o veículo pelo qual a
disciplina escolar seja desenvolvida.
Sobre isso, os Parâmetros Curriculares de Matemática destacam que
[...] o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema, porque no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisam desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; o problema não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;
aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se observar na história da Matemática; o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problema [...] a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação de aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se podem aprender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas (MEC, 1997, p.43).
Nessa perspectiva, conforme Polya (1995) já sinalizava, a postura docente
assume importância primordial. Para este estudioso, o professor deve ser um
orientador da atividade pedagógica. Esse entendimento se faz presente no texto dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (MEC, 1997, p.24-34): o professor deve ser
mediador entre o conhecimento matemático e o aluno, organizador da
aprendizagem, incentivador da aprendizagem e não mais aquele que expõe os
conteúdos, mas aquele que fornece as condições necessárias para resolver as
questões que o aluno não tem condições de obter sozinho.
A esse respeito, Buriasco (1999) destaca características mais marcantes na
postura assumida por docentes ao conduzir o ensino numa metodologia tradicional e
em uma abordagem diferenciada, como a resolução de problemas. São elas:
Metodologia tradicional Metodologia da resolução de problemas
Explica a matéria O professor apresenta um problema
escolhido por ele ou não
Mostra os exemplos Os alunos tentam resolver o problema com o
conhecimento que têm
Propõe problemas semelhantes aos
exemplos dados para os alunos resolvam
Quando os alunos encontram dificuldade
(falta de conteúdo para continuar a resolução)
o professor apresenta, de alguma maneira
esse conteúdo
Faz a correção no quadro Terminada a resolução, há uma discussão
sobre a solução e os conteúdos envolvidos
Propõe problemas com maior grau de
dificuldade, porém parecidos
Novo problema é apresentado
Ele ou um aluno resolve no quadro
E parte para outro assunto
Quadro 1: Posturas docentes
Fonte: Buriasco (1999, p.65)
Com as leituras efetuadas, compreende-se que conduzir o ensino valendo-
se da resolução de problemas solicita que o professor atue no sentido de assegurar
um espaço de discussão no qual os alunos pensem sobre os problemas que irão
resolver, elaborem uma estratégia, apresentem sua hipótese e façam o registro da
solução encontrada ou de recursos que utilizaram para chegarem ao resultado. Do
mesmo modo, entende-se que essa postura favorece a formação do pensamento
matemático, pois, antes do emprego de regras que vão ao encontro de
generalizações, valoriza-se as compreensões que permitem encontrar um modo
particular de pensar sobre uma determinada situação, articulado a conhecimentos
prévios4 e a revelação de novos conteúdos necessários para dar conta do
empreendimento. Isso quer dizer que ao aluno cabe elaborar estratégias, lançando
mão de recursos como a oralidade, sinais matemáticos, desenhos, representações
diversas e o que se sentir à vontade para utilizar (SMOLE, DINIZ, 2001).
Para Onuchic e Allevato (2008), conduzir o ensino seguindo a metodologia
da resolução de problemas, tem por pressuposto a liberdade de ação para que as
estratégias se revelem, para que se consiga ver o chamado por caminhos ainda não
percorridos, que indiquem conteúdos necessários para serem reforçados ou, ainda,
aqueles a serem trabalhados que são imprescindíveis para a investigação
intencionada. Essas autoras reforçam que embora não haja um modo rígido de
condução dos trabalhos, algumas etapas balizadoras podem ser consideradas para
guiar o trabalho. Por exemplo
-Formar grupos e entregar uma atividade. [...] -[...] O professor deve lançar questões desafiadoras e ajudar os alunos a se apoiarem, uns nos outros, para superar as dificuldades.[...] As resoluções realizadas nos grupos devem ser apresentadas, por escrito, ao professor. -[...] Com o trabalho dos alunos terminado, o professor, na lousa, anota os resultados obtidos pelos diferentes grupos. Anota resultados certos, errados, feitos por diferentes caminhos, etc. -Plenária. O professor chama todos os alunos para uma assembleia plena. Como todos trabalharam sobre o problema dado, têm condições de participar, juntamente com o professor, na exploração e discussões dos resultados. -Análise dos resultados. Nesta fase os pontos de dificuldade encontrados pelos alunos são trabalhados. [...]. -Consenso. A partir de análise feita, com a devida retirada das dúvidas, busca-se um consenso sobre o resultado pretendido. -Formalização. A partir do consenso, num trabalho conjunto, professor e alunos, com o professor na lousa, fazem uma síntese daquilo que se
4 Por conhecimento prévio entendemos o que o aluno sabe que e que não pode ser confundido com pré-
requisito. Sobre isso, o leitor interessado pode ir ao texto de Weisz (2000 ).
objetivava aprender a partir do problema ou da situação-problema e, formalmente, o professor coloca as definições, identifica as propriedades, faz as demonstrações, etc (ONUCHIC, ALLEVATO, 2008, p. 83-84).
Operações com números racionais “através” da resolução de problemas: da
elaboração à realização de uma proposta de unidade didática
A proposta elaborada no programa PDE teve por meta promover o ensino
das operações com números racionais “através” da metodologia da RP, envolvendo
atividades que evidenciassem diversas personalidades dos números racionais
(ONUCHIC, ALLEVATTO, 2008).
Optou-se, desse modo, por uma unidade didática5, por compreender que o
tema a ser trabalhado, operações com números racionais, perpassa outros assuntos
da organização curricular. Por ser um tema amplo, a unidade didática teve a
intenção de trazer esse conteúdo de ensino, sem a pretensão de esgotá-lo em um
curto intervalo do ano letivo. Desse modo as atividades elaboradas tiveram o intuito
de deflagrar o ensino, avaliar as condições de trabalho, os avanços dos estudantes,
as necessidades de reelaborar os problemas, contando com a participação do aluno.
Como já mencionado, a intenção era construir um caminho onde o aluno se
envolvesse na resolução de um problema com a perspectiva de reconhecimento de
unidades, do inteiro e suas partes, compondo novas unidades ou reconhecendo
partes de um todo. Nesse sentido procurou-se evitar o entendimento comum de que
frações indicam sempre as mesmas coisas, as quais dão margem para a
compreensão de que elas não passam de agrupamentos de números inteiros
dispostos na relação parte todo. Isso significa lançar luz sobre as “personalidades”
(ONUCHIC; ALLEVATO, 2008) dos números racionais para que as discussões
possam ocorrer. A unidade didática foi elaborada no 1º semestre de 2011 e foi
realizada no 2º semestre de 2011, com alunos de 6º ano do ensino fundamental em
uma escola estadual de Curitiba. Nesse contexto, os conteúdos trabalhados foram
aqueles elencados no livro didático da escola onde a professora PDE atua. Isso quer
dizer que foi considerado o planejamento de ensino que anuncia o material didático
aprovado no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) e, nele, os conteúdos da
unidade pedagógica números racionais no 6º ano. A saber:
5 Disponível: www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portal/pde. Produção Didático-Pedagógica na Escola. Acesso:
09/06/2012.
● A forma fracionária dos números racionais: ideia de fração, comparação de números fracionários, frações equivalentes, redução de frações ao mesmo denominador, operações com frações, frações e a porcentagem. ● A forma decimal dos números racionais: representação decimal, operações com números decimais e números decimais e a porcentagem.
A implementação ocorreu no último bimestre do ano de 2011 e oportunizou
aos alunos um trabalho participativo, colaborativo e de tomada de constante
decisão. Em equipes, formadas por 4 alunos, foram distribuídos os problemas e
solicitada a leitura atenta para a compreensão do que estava sendo perguntado,
para que se dispusessem na elaboração de um inventário de possibilidades
vislumbradas, pelos membros de cada equipe. Discussões feitas, os alunos
passaram a negociação entre os modos possíveis já visualizados à execução dos
mesmos, ou seja, colocar o pensado em ação.
Nesse modo de caminhar, o professor se mostrou como um incentivador, ao
procurar despertar o interesse das equipes para a resolução dos problemas
propostos, como um animador ao chamá-los à investigação das estratégias
previamente planejadas e de perspectivas que foram se revelando por conta do
modo atento e envolvido com que estavam caminhando, como um orientador ao não
tolher a criatividade e o poder de decisão de cada um em seu grupo, mas de
colaborar nas sínteses ocorridas em diversos momentos do trabalho que serviram
de abertura para que investissem mais enfaticamente no caminho escolhido ou que
favorecesse a percepção da necessidade de mudança de rumo diante de decisões
infrutíferas.
Ao propor cada um dos problemas elaborados, manteve-se as mesmas
recomendações para que os alunos seguissem um roteiro (ONUCHIC, ALEVATTO,
2008), onde não fosse negligenciada a manutenção do registro das ações efetuadas
em função de um estilo de trabalho que busca trazer para a sala de aula a discussão
de um assunto, o reconhecimento do professor, bem como do aluno, dos conteúdos
já dominados, daqueles que solicitam serem articulados e do que ainda não faz
parte de seu conhecimento e que necessitam ser empregados na resolução dos
problemas, por conta das estratégias que emergiram no trabalho em equipe.
Desse modo, foram inicialmente formadas as equipes, distribuído um
problema de cada vez e papeis em branco onde deveriam ser registradas as
discussões ocorridas na equipe, as tentativas de resolução, o replanejamento das
estratégias, os conhecimentos que julgavam necessários para pôr o plano em ação,
os motivos pelos quais achavam que uma estratégia não teria sucesso e aqueles
que julgavam favoráveis aos planejado.
Assim, tornou-se uma rotina a sequência:
- Formadas as equipes– entrega de uma atividade (um problema) para o
grupo e folhas em branco, numeradas, para o registro das ações efetuadas
pelos alunos.
- Registro das resoluções nos grupos: cada grupo deve manter registro de
todos os passos dados em direção da resolução do problema, inclusive dos
esboços individuais. “Vocês não devem apagar as tentativas e, diante da
constatação de um erro, trocar a folha para a numeração seguinte, mantendo
o registro para o acompanhamento das ideias, estratégias, dúvidas, evolução
na compreensão dos conceitos trabalhados”.
- Socialização dos modos de solucionar o problema, dos resultados e das
possibilidades ainda abertas, estimulando a análise pelos alunos.
- Consenso – partindo da analise realizada pelos alunos e mediada pelo
professor, buscar-se-á um consenso sobre as possíveis soluções para o
problema sugerido.
- Formalização do conteúdo - feita pelo professor, com o auxilio dos
estudantes. Nessa etapa serão apontados os novos conceitos, destacados os
conteúdos prévios, as estratégias utilizadas e as generalizações possíveis.
Comparação de frações: um viés da unidade didática
Os problemas que envolvem a comparação entre frações são uma das
atividades que compõem a unidade didática elaborada durante a participação no
programa PDE. O problema a seguir foi o deflagrador para as discussões e busca de
estratégias que pudessem desvelar caminhos e soluções.
Na casa de Dona Neuza, toda sexta-feira é dia de pizza. A semana passada, eles pediram três pizzas de mesmo tamanho e sabores diferentes, porém divididas de formas diferentes: uma de calabresa em 08 pedaços, uma napolitana em 10 pedaços e uma muçarela em 12 pedaços. Carlos, o filho mais velho, comeu 3/8 da pizza de calabresa; Roberto comeu 3/10 da pizza napolitana e Davi 4/12 da pizza de muçarela. Quem comeu mais pizza?
Quadro 2: Problema deflagrador da aula Fonte: Unidade didática PDE
Seguindo a metodologia já anunciada, foi entregue aos alunos folhas em
branco e solicitada a leitura atenta da situação proposta, bem como a discussão em
busca de caminhos que apontassem soluções. Entretanto, antes mesmo de uma
socialização de possibilidades vislumbradas, de pronto, respostas finais foram
aparecendo. A fala da equipe 1 ilustra esse modo de proceder: “Davi comeu mais,
pois 4 é mais do que 3”.
Foi possível perceber certa ansiedade dos alunos na tentativa de resolver o
problema de modo a concluir a tarefa rapidamente, conforme é feito em exercícios
expostos em livros: pergunta e resultado, lançando mão de algumas “continhas”.
Constatação feita, fizemos uma rodada de discussão em plenária, buscando
socializar isso que se mostrou de imediato. São exemplos manifestos por alguns
grupos:
Ao socializar as estratégias mais utilizadas nesse primeiro lance de
tentativas dos grupos, constatou-se que elas se balizaram na tentativa de expressar
uma resposta, a qual poderia ser avaliada como certa ou errada. Voltando-nos
atentamente o modo de trabalho de cada equipe observamos a pouca discussão
sobre o que estava sendo pedido e um direcionamento aos números isolados que
compunham cada fração para, a partir deles, arriscarem uma resposta. Por exemplo,
no recorte citado anteriormente a decisão por Davi levou em consideração o número
de pedaços comidos e não a porção do todo, pois 4 é maior do que 3.
Mesmo sendo um 6º ano, as frações 4/12, 3/10, 3/8 têm sido entendidas por
alguns alunos, como números 4, 3, 10, 8, 12, numa relação direta envolvendo 5
quantidades possíveis de serem comparadas entre si.
Solicitando que o roteiro fosse seguido, foi reforçada a importância de
discutirem o problema, entendendo o que está sendo buscado e como fariam para
encontrar uma solução. Assim, as equipes retomaram a atividade esforçando-se
para manter o registro das negociações. A seguir trazemos um exemplo ilustrativo:
Entretanto, acompanhando cada equipe, vimos que alguns alunos não
avançavam pela dificuldade em visualizar a situação. Alguns tentaram desenhar
pizzas, mas perdiam a noção do todo pela falta de proporção nas representações.
Assim, foi distribuído a cada equipe um conjunto de 8 discos de EVA, com unidades
divididas em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes iguais, respectivamente, conforme figura 1
Figura 1: Discos de frações Fonte : Acervo da autora
Esse material foi construído antecipadamente, com o propósito de ser
fornecido aos alunos quando necessário. Essa distribuição e incentivo para o uso foi
feito por considerar que diante de muitas tentativas, alguns alunos precisavam de
algo mais concreto para trabalhar. Desse trabalho, constatamos a importância de
manipular material didático, ver o que ocorre e caminhar na direção de
paulatinamente subtrair o concreto e encontrar generalizações. Tratou-se assim, nas
atividades, o processo de abstração em cada equipe e nela, o de cada aluno.
Uma primeira iniciativa na direção de resolver o problema compreendendo o
solicitado pode ser vista na figura 2, onde as equipes investiram em verificar a parte
do todo que cada um comeu: Carlos 3/8, Roberto 3/10 e Davi 4/12.
Figura 2 : Estratégias dos alunos Fonte: Acervo da autora
A maioria tentou comparar as partes que cada um comeu para a tomada de
decisão sobre a maior. A pergunta feita por muitos alunos em suas equipes era: o
que é maior, 3/8, 3/10 ou 4/12? Durante a comparação, alguns relacionaram as
partes entre elas, outros tentaram comparar a soma das partes com o todo:
Figura 3 : Estratégias dos alunos Fonte : Acervo da autora
Percebeu-se que os alunos, mesmo diante da solução do problema, se
empenharam em explorar o material, fazendo outras comparações que permitissem
estabelecer relações. Por exemplo, 2/8 equivale a 3/12. Assim, continuaram
buscando por generalizações, como podemos observar na figura 4.
Figura 4: Estratégia do grupo 3 Fonte : Acervo da autora
Na sequência, antes de tentarmos generalizações, propôs-se mais
atividades complementares. Na medida em que as equipes traçavam os planos,
indicando caminhos e apresentando conclusões, novas perguntas foram feitas a
respeito do enunciado proposto. Com isso, procurou-se fazer com que os alunos,
com seus colegas de equipe, repetissem os procedimentos em outras situações,
buscando, cada vez mais, sentido no efetuado. São elas:
- Que fração de cada pizza teriam que comer para que todos comessem a
mesma quantidade de pizza, restando ainda partes de todas as pizzas?
- Que fração cada um teria que comer para comerem toda a sua pizza?
- Se Roberto tivesse comido 4 pedaços da pizza napolitana, que fração ele
teria comido? E se Dona Neuza tivesse comido o dobro do que Roberto comeu, que
fração ela teria comido?
- Compare o resultado do item anterior com outras divisões do disco de
frações e veja se essa quantidade pode ser escrita de modo diferente.
Após todas as equipes terem investido na solução de cada problema, foi
feito o registro das soluções no quadro, e durante a plenária eles foram explicando
como procederam para encontrar a solução. Uma fala articulada de uma das
equipes resume a tarefa: “Medimos o tamanho do pedaço, mas vimos que a
comparação deveria ser entre as porções comidas”. Seguindo, os alunos
sobrepuseram as porções, de onde concluíram que não bastava comer mais
pedaços, pois eles tinham tamanhos diferentes. A figura 5 ilustra o dito.
Figura 5: Estratégia dos alunos grupo 2 Fonte: Acervo da autora
Trabalho realizado, passou-se ao encaminhamento para a formalização do
conteúdo de ensino, tendo em vista a compreensão dos alunos. Entretanto, a tarefa
de comparar frações não foi concluída com estas atividades.
Elaborada uma síntese parcial, esta foi sendo construída com a aplicação de
outras atividades planejadas para a unidade didática. Desse modo, em cada
problema proposto, os conceitos eram retomados, por conta das necessidades
surgidas no investimento das tarefas. A cada passo tinha-se a oportunidade de
refazer trajetos, e ir em direção à consolidação da aprendizagem.
Uma síntese compreensiva do estudo
A elaboração da unidade didática foi orientada pela interrogação: como
utilizar Resolução de Problemas no processo de ensino e de aprendizagem
das operações com números racionais no ensino fundamental. Isso significa
dizer que buscou-se, desde o planejamento, um novo sentido orientador para o
ensino que não se esvaziasse de conteúdo matemático, mas que não se restringisse
à aprendizagem de técnicas para operar em situações que vem se mostrando
padrão no cotidiano das aulas de matemática. Esteve no campo dos interesses
conhecer estratégias dos alunos que revelassem a mobilização de conhecimentos
prévios, bem como do pensamento matemático presente na trajetória escolhida
pelos alunos.
Este estudo revelou a ideia de problema ligado diretamente a estratégias:
docente e discente. Com relação ao professor, destacou-se pela possibilidade de
investigação de modos de conduzir o ensino que se dirija a aprendizagem do aluno,
desvinculando problema de exercício de fixação, que normalmente são conduzidos
no final de um processo de ensino, fechado em regras e modelos a serem seguidos.
Tratando-se do aluno, mostrou-se pelo lançar-se na tentativa constante de
envolvimento com algo a ser realizado, com o comprometimento com a procura
daquilo que ainda não se sabe, de caminhos, de soluções.
Muitos esclarecimentos se fizeram. Viu-se os alunos envolvidos,
interessados em diversificar os enunciados, preocupados em procurar outras
variáveis que não as solicitadas nas atividades previamente elaboradas. Entretanto,
constatou-se muitas dificuldades no trabalho. Na experiência vivida percebeu-se que
o tempo para investir nessa metodologia de ensino não é o mesmo daquele em que
se prioriza técnicas como o objetivo da aprendizagem. Além disso, destacou-se
diferenciadamente os processos de ensino e de aprendizagem que, com relação ao
tempo, compreendem: o tempo de ensino e o tempo de aprendizagem que não são
medidos com a mesma unidade cronológica,
Com a metodologia aqui proposta e praticada, viu-se também diante da
dificuldade de conseguir fazer o aluno manter os registros dos diversos passos
dados em direção à resolução dos problemas. Muitas das tomadas de decisão, de
investimentos feitos em busca de novos rumos, que seriam dados a serem
retomados em outras caminhadas, foram se apagando ao longo das aulas.
Sobre isso, uma dificuldade que se sobressaiu foi a de manter todos os
registros de cada grupo. Constatou-se, no decorrer das atividades, a tendência de
eliminar o erro, deixando apenas aquilo que denota sucesso. Perdeu-se muitas
possibilidades de tratar “o erro” não como algo errado, mas como parte do processo
de aprendizagem.
Algumas atividades também não foram como o desejado. O proposto como
problema derivou de experiência com o assunto. Entretanto, ao apresentá-lo aos
alunos, o intento não foi alcançado. Pensou-se em situações de onde se teve um
problema para o ensino que não se constitui assim para a aprendizagem.
Os insucessos não devem ser entendidos como fracasso, mas como o que
nutre a ação pedagógica, que direciona para o aprofundamento do tema, tendo
novas experiências que considerem os resultados aqui encontrados. O caminho
seguido, de voltar-se sobre o feito, permite afirmar que a metodologia aqui
trabalhada favoreceu a compreensão, mas que é preciso mais. É importante manter
um ritmo de trabalho que instigue o aluno, que o impulsione a ir em busca de algo,
se responsabilizando pela sua aprendizagem, saindo da passividade de quem
recebe conhecimento de fora para dentro. Eis um desafio a ser enfrentado pelo
professor: habituar o aluno a explorar, a inquerir, a duvidar, a testar hipóteses
levantadas por ele mesmo, a querer mais, a compreender o que faz, a não aceitar o
que não faz sentido, a insistir em dar sentido àquilo que num primeiro olhar pode
querer dizer nada.
Eis para o professor, um problema!
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A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: perspectivas para a prática pedagógica
Elis Regina Pereira1
Luciane Ferreira Mocrosky2
Resumo: Neste artigo apresenta-se aspectos de um trabalho orientado pela pergunta: “como utilizar a ‘Resolução de Problemas’ nos processos de ensino e aprendizagem das operações com números racionais no ensino fundamental?”. Neste estudo foi realizada uma intervenção pedagógica, pautada no desenvolvimento de atividades que visavam a contribuir para o enfrentamento dos desafios educacionais, de promover a aprendizagem da matemática, que faça sentido ao aluno, que o capacite a resolver problemas e a aplicar os conceitos já compreendidos enquanto aprende matemática, o que justifica o tema escolhido. As leituras e as análises dos dados levantados apontam para possibilidades do objetivo de promover o ensino das operações com números racionais através da metodologia de Resolução de Problemas ser viável. Entretanto é reconhecido tratar-se de um desafio para o professor que deverá habituar seu aluno a explorar, a inquerir, a duvidar, a testar hipóteses levantadas por ele mesmo, a querer mais, a compreender o que faz, a não aceitar o que não faz sentido, a insistir em dar sentido àquilo que num primeiro olhar pode querer dizer nada.
Palavras-chave: Metodologia; Resolução de Problemas; Números Racionais; Educação Matemática; Ensino Fundamental.
Abstract: This article presents some aspects of a piece of work which was guided by the following question: “how to use the ‘Troubleshooting’ in the process of teaching and learning of operations with rational numbers in elementary school?” In this research was achieved an educational intervention, based on the development of activities aimed at contributing to face the educational challenges, to promote the mathematics learning which makes sense to the students, enabling them to solve problems and to apply the concepts already understood at the same time as learning mathematics, which justifies the chosen theme. The readings and analysis of the collected data point to the possibilities of the goal of promoting the teaching of operations with rational numbers through the Troubleshooting methodology to be viable. However, it is well-known that this is a challenge for the teacher who must get the students into the habit of exploring, doubting, testing hypotheses raised by themselves in order to understand what they do, not to accept what doesn’t make sense, to insist on giving meaning to what, at a first glance, may not mean anything. 1Especialização em Parapsicologia pelo IPAPPI. Especialização em Educação Matemática. Licenciatura em
Matemática pela UEL. Professora do Colégio Estadual Pedro Macedo, da Rede Pública Estadual. 2 Orientadora PDE. Professora da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.