a reconstruction of the tables of briggs’ arithmetica

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HAL Id: inria-00543939 https://hal.inria.fr/inria-00543939 Submitted on 6 Dec 2010 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica logarithmica (1624) Denis Roegel To cite this version: Denis Roegel. A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica logarithmica (1624). [Research Report] 2010. inria-00543939

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Page 1: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

HAL Id: inria-00543939https://hal.inria.fr/inria-00543939

Submitted on 6 Dec 2010

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmeticalogarithmica (1624)

Denis Roegel

To cite this version:Denis Roegel. A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica logarithmica (1624). [ResearchReport] 2010. �inria-00543939�

Page 2: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

A reconstruction of the tables of

Briggs’ Arithmetica logarithmica

(1624)

Denis Roegel

6 December 2010

This document is part of the LOCOMAT project:http://www.loria.fr/~roegel/locomat.html

Page 3: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica
Page 4: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

I ever rest a lover of all them that love the Mathematickes

Henry Briggs, preface to [69]

1 Briggs’ first table of logarithms (1617)

Henry Briggs (1561–1631)1 is the author of the first table of decimal logarithms, publishedin 1617, of the first extensive table of decimal logarithms of numbers (1624), and of thefirst extensive table of decimal logarithms of trigonometric functions (1633).

After having been educated in Cambridge, Briggs became in 1596 the first professorof geometry at Gresham College, London [106, p. 120], [96, p. 20], [118]. Gresham Col-lege was England’s scientific centre for navigation, geometry, astronomy and surveying.2

Briggs stayed there until 1620, at which time he went to Oxford, having been appointedthe first Savilian Professor of Geometry in 1619 [96, p. 24].

While at Gresham College, Briggs became friends with Edward Wright. He also seemsto have spent time doing research in astronomy and navigation [96, pp. 29–30]. Briggs hadin particular published several tables for the purpose of navigation in 1602 and 1610 [119].Several of Briggs’ tables were published under the name of others [96, p. 8].3

In 1614, John Napier (1550–1617) published his Mirifici logarithmorum canonis de-scriptio, the description of his table of logarithms [68, 89]. It is through this work thatBriggs was early exposed to the theory of logarithms. After Napier’s publication, Briggswent to visit him in Scotland in the summers of 1615 and 1616 and they agreed on theneed to reformulate the logarithms, a task that Briggs took over.

Briggs published his first table of decimal logarithms in 1617 [9, 82]. It was a smallbooklet of 16 pages, of which the first page was an introduction, and the remaining 15pages were tables. Briggs’ table gave the decimal logarithms of the integers 1 to 1000 to14 places.

2 The Arithmetica logarithmica (1624)

Seven years after his first table of logarithms, Briggs published his Arithmetica logari-thmica which gave the logarithms of the numbers from 1 to 20000 and from 90001 to100000 with 14 decimals [10].4

Some copies of Briggs’ table also contain an appendix with the logarithms of theinterval 100000–101000, but as we haven’t seen it, we do not reproduce it here.5 For adescription of these extra sheets and their use, see Malcolm [61, pp. 303–305].

1Briggs was baptized on February 23, 1560 (old style), which is 1561 new style. He died on January26, 1630 (old style), which is 1631 new style [51].

2Gresham College was a very fluctuating institution, and the main reason for its claim to scientificresponsability was the work and influence of Briggs. The flourishing period of Gresham College endedwith the death of Henry Gellibrand in 1636 [2, p. 20].

3For more biographical information on Briggs, consult Smith [94], Ward [106], Sonar [96] and Kaun-zner [52]. Sonar gives an overview of Briggs’ works prior to his tables of logarithms [96].

4A copy of the Arithmetica logarithmica can be found on google books (id: L88WAAAAQAAJ).5One example, among others, is appended alone to the French edition of Vlacq’s Arithmetica lo-

garithmica located at the Harald Cohen Library of the University of Liverpool (call number SPECRYL.P.2.12) [29].

3

Page 5: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

Although scarce now, it seems that Briggs’ book was printed in (relatively) too manycopies, so that it could be obtained in the streets of London for a very small price [36,pp. 381–382].

3 Briggs’ methods

In order to compute decimal logarithms, Briggs considered several methods, each methodmaking it possible for him to move a step further.6

3.1 Square roots

A straightforward way to compute new logarithms from existing ones is to use the squareroot. For instance, if log n = a and logm = b are known, then log

√mn = a+b

2. The

use of square roots had already been alluded to by Napier in his Construction, to whichBriggs added some comments [72].7

Briggs used this method as follows. He first considered the logarithms of 2n√10. Their

values are actually very easy to compute:

log 10 = 1

log√10 = 0.5

log4√10 = 0.25

. . . . . .

log2n√10 = 2−n

Briggs computed these values until n = 54, with 32 decimal places for the last valuesof the roots and 40 decimal places for the last values of the logarithms [10, pp. 10–11].The last entries of his table are

101

252 = 1.00000 00000 00000 51127 65972 80129 47

101

253 = 1.00000 00000 00000 25563 82986 40064 70

101

254 = 1.00000 00000 00000 12781 91493 20032 35

whose logarithms are

1

252= 0.00000 00000 00000 22204 46049 25031 30808 47263

1

253= 0.00000 00000 00000 11102 23024 62515 65404 23631

1

254= 0.00000 00000 00000 05551 11512 31257 82702 11815.

6Various overviews of Briggs’ methods have been published, for instance by Delambre [20], Hutton [48],and others [26, 25], and the reader is directed to our bibliography for further information.

7Some authors have oversimplified Briggs’ method and presented Napier’s use of square roots asBriggs’, see for instance Abellan [1]. On the other hand, it is obvious that Briggs’ methods were theresults of Napier’s and Briggs’ exchanges during Briggs’ visits to Scotland.

4

Page 6: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

Briggs stopped extracting roots as soon as the digits of 2n√10 after the unit were

exactly halved from one root to the next. Briggs in fact computed some decimals more,but his main table contains the values above. The number of significative digits of thelast square root after the zeros is slightly more than the 15 digits Briggs needed for histable.

Briggs realized that when x = 1+ r is close to 1, then log x ≈ 1+αx, where α is someproportionality factor that he sought to determine.8 By a mere proportion (the so-called“golden rule”), Briggs found that

α ≈55511151231257827021181583

127819149320032344165000000≈ 0.434294481903251804.

Briggs’ result is correct given the two values he divided, but it is only accurate to 16places with respect to the value sought which is

1

ln 10= 0.43429448190325182765 . . .

Now, if 2n√x = 1 + r and log(1 + r) ≈ αr, then log x ≈ 2nαr and this gives a way to

compute the logarithm of x, by successive square root extractions.The accuracy of the result can easily be estimated. Let r′ and α′ be the significative

parts of r and α. We can assume 0.1 ≤ r′ < 1 and 0.1 ≤ α′ < 1. If r′ and α′ have 18exact (rounded) significative digits, the error on each value is less than 5 · 10−19, hencetheir product will be wrong by at most 10−18. The product will have more than 16 exact(rounded) significative digits and usually at least 17. Since 2n is computed exactly, log xcan be computed with 17 exact (rounded) significative digits.

Of course, computing these square roots was tedious. It will therefore not be a surpriseto discover that Briggs made a computation error in his 54 square root extractions, butthis error happened to have no consequences, contrary to Napier’s error in the construc-tion of his tables. It must also be observed that Briggs computed the roots with moredecimals than he really needed. His value of

√10 was given to 26 decimal places, but he

would have obtained the same final digits for the 54th root if he had kept only about 17decimal places of

√10. This follows easily if we write

√10 = a+ b, where b < 10−17:

101

254 = (a+ b)1

253 = a1

253

(

1 +b

a

)1

253

= a1

253

(

1 +1

253b

a+ · · ·

)

We have1

253b

a< 3.51 . . . · 10−33

and therefore there are about 33 correct decimal places in a1

253 which is what Briggseventually obtains. A more detailed analysis of Briggs’ errors is given by Ian Bruce inhis notes to the translation of the Arithmetica logarithmica.9

8Whiteside’s account in that respect is historically inaccurate, as he writes that Briggs observed thatfor small x, loge(1 + x) ≈ x [108, p. 10].

9See http://www.17centurymaths.com.

5

Page 7: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

3.2 Shortcuts and logarithms of the first primes

After the first series of square root extractions, Briggs continued with the computation oflog 2 [10, pp. 12–15]. He introduced a faster method. Instead of starting with the squareroot of 2, he found a power of 2 which was close to a power of 10. He took 1024 = 210

and divided this number by 1000. Then, he computed the logarithm of 1.024 using themethod of the previous section. He extracted the root 47 times and obtained

1.00000 00000 00000 16851 60570 53949 77

the exact value being

1.00000 00000 00000 16851 60570 53949 7663 . . .

The 47th square root is in the area in which Briggs considers that log(1+x) ≈ αx. IfBriggs had started with 2, he would have extracted the square root 52 times, so in thiscase he was able to save five square root extractions.

Once Briggs had the last square root, he could compute the value of the logarithmusing α and the “golden rule.” He found

0.00000 00000 00000 07318 55936 90623 9368

the exact value being

0.00000 00000 00000 07318 55936 90623 933137

From that, Briggs obtained

log 1.024 ≈ 0.01029 99566 39811 95265 27744

and then

log 1024 ≈ 3.01029 99566 39811 95265 27744

and this is 10 log 2, hence

log 2 ≈ 0.30102 99956 63981 19526 527744

This value is correct to 19 decimal places.Once Briggs had the value of log 2, he easily obtained log 5, given that log 1, log 2,

and log 10 were known: log 10− log 5 = log 2, hence

log 5 = 1− log 2 ≈ 0.69897 00043 36018 805

Briggs then computed log 3. He started with 69 = 10077696 and applied the methodwhich he used to compute log 2. Eventually, he found log 6 ≈ 0.77815 12503 83643 63 and

log 3 = log 6− log 2 ≈ 0.47712 12547 19662 44.

6

Page 8: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

3.3 The use of finite differences

In the next chapter of the Arithmetica logarithmica, Briggs expounds another methodin order to ease the computation of the square roots [10, pp. 15–17].10 After havingextracted many roots, Briggs obviously noticed some patterns. Using modern notations,we can easily express them. Let y0 be the initial number, y1 =

√y0, y2 =

√y1, etc. Then,

we set yn = 1 + An. Briggs called the values of An the first differences.11

As shown above, Briggs had noticed that when An is small, log yn ≈ αAn. Moreover,An+1 ≈ An

2. This of course follows from

√1 + x = 1 + x

2+ · · · , but Briggs didn’t know

this series expansion.Once this pattern had been noticed, it was natural to see how much An+1 was differing

from An

2, and therefore Briggs considered the “second”12 differences Bn+1 = An

2− An+1.

Briggs then noticed that Bn+1 ≈ Bn

4. In other words, Briggs noticed that

yn − 1

2− (yn+1 − 1) ≈

yn−1−12

− (yn − 1)

4

This follows easily, if we set yn−1 = 1 + x. Then, yn =√yn−1 = 1 + x

2− x2

8+ · · · and

yn+1 =√yn = 1 + x

4− 3x2

32+ · · · , and the previous approximation is equivalent to

x

4−

x2

16+ o(x2)−

(

x

4−

3x2

32+ o(x2)

)

≈x

8−(

x

8−

x2

32+ o(x2)

)

x2

32+ o(x2) ≈

x2

32+ o(x2)

but Briggs still only had an experimental approach.Briggs then went on and considered the third differences Cn+1 = Bn

4− Bn+1 and he

noticed that Cn+1 ≈ Cn

8. Afterwards, he noticed that Dn+1 ≈ Dn

24, En+1 ≈ En

25, etc. But

he did not prove this result.

3.3.1 Developments of√1 + x

If we set x = An, we have√1 + x = 1 + An+1

= 1 +1

2An − Bn+1

= 1 +1

2An −

1

4Bn + Cn+1

= 1 +1

2An −

1

4Bn +

1

8Cn −Dn+1

= 1 +1

2An −

1

4Bn +

1

8Cn −

1

16Dn + En+1

= · · ·

10An overview of Briggs’ method can be found in Sonar’s book [96, pp. 197–201]. A more detailedanalysis can be found in Hutton’s survey [48, pp. 60–73].

11In this section, except for yn, we use Ian Bruce’s notations. Briggs actually only used A, B, C, etc.,but following Bruce, we have added indices.

12These are of course not the second differences in the usual sense.

7

Page 9: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

These equations can be extended into an infinite series, but we haven’t proved thatthese series converge.

We can obtain developments of Bn, Cn, Dn, etc. in terms of x. Setting f(x) =(1 + x)2 − 1 = x2 + 2x, we have:

Bn =An−1

2− An =

f(x)

2− x =

x2

2

Cn =Bn−1

4− Bn =

(f(x))2

2

4−

x2

2=

(x2 + 2x)2

8−

x2

2=

x3

2+

x4

8

Dn =Cn−1

4− Cn =

7x4

4+

7x5

8+

7x6

16+

x7

8+

x8

64

En =21x5

8+ · · ·

Fn =217x6

16+ · · ·

Gn =1953x7

16+ · · ·

Briggs actually gave these developments until Jn and up to the terms in x10 [10, p. 16].

We can analyze these expressions as follows. Setting Φ1n = An, Φ2

n = Bn, Φ3n = Cn,

etc., we define ϕ(n, k) = 1 +∑k−1

i=1 (−1)i+1 12iΦi

n. Then√1 + x = ϕ(n, k) + (−1)k+1Φk

n+1.As indicated by the expansions of An, Bn, etc., it seems that

for all k, Φkn = ak

(

Φ1n

)k+ · · · (1)

That this is so is actually easy to prove.13 We can proceed by induction. AssumeΦk

n = a (Φ1n)

k+ b (Φ1

n)k+1

+ c (Φ1n)

k+2+ · · · and note that An−1 = f(An), or, in other

words, Φ1n−1 = f(Φ1

n). Then,

Φk+1n =

1

2kΦk

n−1 − Φkn

=1

2k

(

a(

Φ1n−1

)k+ b

(

Φ1n−1

)k+1+ · · ·

)

− a(

Φ1n

)k − b(

Φ1n

)k+1+ · · ·

=1

2k

(

a(

f(Φ1n))k

+ b(

f(Φ1n))k+1

+ · · ·)

− a(

Φ1n

)k − b(

Φ1n

)k+1+ · · ·

=1

2k

[

a(

2Φ1n +

(

Φ1n

)2)k

+ b(

2Φ1n +

(

Φ1n

)2)k+1

+ · · ·]

− a(

Φ1n

)k − b(

Φ1n

)k+1+ · · ·

=1

2k

[

a(

2k(

Φ1n

)k+ · · ·

)

+ b(

2k+1(

Φ1n

)k+1+ · · ·

)

+ · · ·]

− a(

Φ1n

)k − b(

Φ1n

)k+1+ · · ·

= a′(

Φ1n

)k+1+ b′

(

Φ1n

)k+2+ · · ·

13In his article on Briggs’ anticipation of the binomial theorem, Whiteside derives the binomial expan-sion by grouping the terms of the developments from the expansion of

√1 + x, but omitting the proof

of the property (1) of Φkn. The proof is therefore not complete. For a comparison, note that Whiteside

writes e0 for our An, e−1 for An+1, ∆1

0 for Bn, ∆20 for Cn, etc., ∆1

−1 for Bn+1, ∆2−1 for Cn+1, etc.

Whiteside’s ∆kp is our Φk+1

n−1−p [108].

8

Page 10: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

We therefore have Φkn

Φk

n−1

≈ akxk

akf(x)k= akx

k

ak(2x)k= 1

2k, which is what Briggs noticed.

We also have Φkn+1 = ak

xk

2k+ · · · . and therefore ϕ(n, k) contains all the terms xi,

for i < k. This is why ϕ(n, k) necessarily has the same development as the binomialexpansion of

√1 + x = 1 + x

2− 1

8x2 + 1

16x3 − · · · up to xk−1.

3.3.2 Backwards computation

Once Briggs had computed Ai, Bi, . . . , for i ≤ n, he was able to use these valuesbackwards to compute approximations of . . . , Cn+1, Bn+1, and An+1, and therefore havingthe next square root, with a less tedious computation.

Taking again the above developments of√1 + x, the computation would proceed as

follows:

En+1 ≈En

25Dn+1 =

Dn

16− En+1 Cn+1 =

Cn

8−Dn+1

Bn+1 =Bn

4− Cn+1 An+1 =

An

2− Bn+1

Briggs applied this method when x was very small. Briggs could then compute ap-proximations of the square roots without explicitely extracting these roots.

As an example, Briggs considered the extraction of the roots of 69

107= 1.0077696 [10,

pp. 15–17]. Briggs first computed the first nine successive square roots:

. . . . . .

24√1.0077696 = 1 + A4 = 1.00048 38402 68846 62985 49253 5

25√1.0077696 = 1 + A5 = 1.00024 18908 78824 68563 80872 7

26√1.0077696 = 1 + A6 = 1.00012 09381 26397 13459 43919 4

27√1.0077696 = 1 + A7 = 1.00006 04672 35055 30968 01600 5

28√1.0077696 = 1 + A8 = 1.00003 02331 60505 65775 96479 4

29√1.0077696 = 1 + A9 = 1.00001 51164 65999 05672 95048 8

Using the computed values of A4, A5, A6, A7, A8, and A9, Briggs computed B5, B6,C6, B7, C7, D7, B8, C8, D8, E8, and finally B9, C9, D9, E9. The latter value beingsufficiently small, the computation was then run backwards, first computing E10 ≈ E9

32,

then D10, C10, etc. He then obtained A10 = 1.00000 75582 04436 30121 42907 60, theexact value being 1.00000 75582 04436 30121 42907 64 . . .. This procedure is carried outuntil An+1 =

An

2when restricted to Briggs’ 32 significative digits.

As mentioned above, Briggs also gave the developments in An and he suggested touse them to compute An+1. Using An, Briggs could compute Bn, Cn, Dn, etc., and thencompute An+1 [10, p. 16]. This process can then be repeated and the sequence of squareroots obtained.

9

Page 11: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

3.4 Prime numbers

Using the previous methods, Briggs was able to compute the logarithms of 1, 2, 3, 5,10 and all logarithms obtained from these by multiplication or division. Next, Briggsconsidered the logarithms of prime numbers [10, pp. 17–19].

Briggs assumed that the logarithms of numbers were known up to n, and he wantedto compute the logarithm of n + 1. In order to do so, Briggs found several arithmeticalrelations involving n+ 1 and integers whose logarithms are known.

For instance, in order to compute log 79, Briggs considered the products:

a = 79× 18 = 1422,

b = 49× 29 = 1421,

c = 71× 20 = 1420.

Since a, b, and c are consecutive, we have b2 − 1 = ac and b2

ac= 1 + 1

ac. This number

is close to 1 and its logarithm can be computed with the first method. From that, log 79follows.

Briggs used this method to compute the logarithms of the primes up to 97. In theArithmetica logarithmica, he gave all the triples (a, b, c) that he used [10, p. 18].

3.5 Fractions

In the chapter 10 of the Arithmetica logarithmica [10, pp. 19–21], Briggs considers thelogarithms of fractions and obtains the equivalent of log a

b= log a − log b, or, in Briggs’

words, “if the logarithm of the denonimator is taken from the logarithm of the numerator,there remains the logarithm of the fraction.”14

3.6 Subtabulation

3.6.1 Subtabulation using first differences (linear interpolation)

In the chapter 11 of the Arithmetica logarithmica [10, pp. 21–24], Briggs considers thesubtabulation of logarithms, that is, the problem of finding logarithms between two valuesof a table, or of finding to which number corresponds a logarithm which is between twovalues in a table.

Subtabulation is an important means to compute new values of a table. For instance,if we divide the interval [9123, 9124] in ten subintervals, we will find approximations ofthe logarithms of 9123.1, 9123.2, etc., which do immediately provide approximations ofthe logarithms of 91231, 91232, etc.

Briggs observes that the increments log(n + 1) − log n become smaller when n getslarger, and that linear interpolation is more accurate for large values of n. Briggs il-lustrates the use of linear interpolation to find a =

√1200. He first finds A = log a =

1.539590 . . ., then B = 2 − A = 0.460409 . . .. If B = log b, then ab = 100. Briggs findsc = 2886 such that C = log c = 3.46029 . . . has a decimal part slightly smaller than that

14The original text reads Si Logarithmus Denominatoris auferatur è Logarithmo Numeratoris, restabit

Logarithmus Partium.

10

Page 12: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

of B. Therefore log(ac) = log a + log c = 4.9998869497 . . . is slightly smaller than 5 andac is slightly smaller than 105. Briggs finds h = 99973 such that log h is known andlog h < log ac < log(h+1). Finally, the interpolation gives log ac−log h

ac−h≈ log(h+1)− log h.

Briggs obtains ac ≈ h+ log ac−log hlog(h+1)−log h

= 99973.9726 . . . and then a ≈ 34.64101615 . . .As can be seen, Briggs has transferred the linear interpolation to the end of his table,

where it is most accurate.But Briggs’ process is tedious when c is large and not composed of small factors.

In order to simplify this process, Briggs constructed a table of numbers from 1024 to9800, whose factors were only integers smaller than 10, together with their logarithms.Briggs used this table in an example where he computed the square root of 10800 [10,pp. 23–24]. He then needed to find a number whose logarithm had a decimal part closeto 0.98328812225653 and he took 9600 whose logarithm is 3.98227123303957. When itcomes to dividing by 9600, it is then much simpler than dividing by, say, 2886, whichcontains the factor 37.

3.6.2 Subtabulation using second differences

The 12th chapter of the Arithmetica logarithmica [10, pp. 24–27] is devoted to subtabu-lation using second differences. In the first example, Briggs considers two numbers andtheir logarithms and seeks to place nine equidistant numbers in between and to find theirlogarithms. Briggs first considers the case where the second differences are almost equal.

In general, if ∆1, ∆2, ∆3, etc., are the first, second, third, etc., differences of anequidistant series of terms, an interpolation between the term A and the next one isgiven by

zx = A+ x∆1 + x ·x− 1

2∆2 + x ·

x− 1

2·x− 2

3∆3 + · · ·

This is Newton’s forward difference formula, the differences ∆n being forward differ-ences.15

If the second differences are constant, this expression reduces to z = A + x∆1 + x ·x−12∆2. We can take x = 0, 1

10, 2

10, . . . , 1, which gives:

z0.0 = A

z0.1 = A+1

10∆1 −

9

200∆2 z0.2 = A+

2

10∆1 −

16

200∆2

z0.3 = A+3

10∆1 −

21

200∆2 z0.4 = A+

4

10∆1 −

24

200∆2

z0.5 = A+5

10∆1 −

25

200∆2 z0.6 = A+

6

10∆1 −

24

200∆2

z0.7 = A+7

10∆1 −

21

200∆2 z0.8 = A+

8

10∆1 −

16

200∆2

z0.9 = A+9

10∆1 −

18

200∆2 z1.0 = A+

10

10∆1

We have the following differences:

15Other interpolation formulæ use backward or central differences.

11

Page 13: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

z0.1 − z0.0 =1

10∆1 −

45

1000∆2 z0.2 − z0.1 =

1

10∆1 −

35

1000∆2

z0.3 − z0.2 =1

10∆1 −

25

1000∆2 z0.4 − z0.3 =

1

10∆1 −

15

1000∆2

z0.5 − z0.4 =1

10∆1 −

5

1000∆2 z0.6 − z0.5 =

1

10∆1 +

5

1000∆2

z0.7 − z0.6 =1

10∆1 +

15

1000∆2 z0.8 − z0.7 =

1

10∆1 +

25

1000∆2

z0.9 − z0.8 =1

10∆1 +

35

1000∆2 z1.0 − z0.9 =

1

10∆1 +

45

1000∆2

This is exactly Briggs’ scheme, although he does not explain how he found it. Hisfirst example is the interpolation between log 91235 and log 91236. The first and seconddifferences are ∆1 = 0.00000476014799 and ∆2 = −0.00000000005217 [10, p. 24]. Writingin units of the 14th place, ∆1 = 476014799 and ∆2 = −5217. Briggs obtains:

1

10∆1 = 47601479.9

z0.1 − z0.0 = 47601479.9 + 234.765 = 47601714.7

z0.2 − z0.1 = 47601479.9 + 182.595 = 47601662.5

z0.3 − z0.2 = 47601479.9 + 130.425 = 47601610.3

z0.4 − z0.3 = 47601479.9 + 78.255 = 47601558.2

z0.5 − z0.4 = 47601479.9 + 26.085 = 47601506.0

z0.6 − z0.5 = 47601479.9− 26.085 = 47601453.8

z0.7 − z0.6 = 47601479.9− 78.255 = 47601401.6

z0.8 − z0.7 = 47601479.9− 130.425 = 47601349.5

z0.9 − z0.8 = 47601479.9− 182.595 = 47601297.3

z1.0 − z0.9 = 47601479.9− 234.765 = 47601245.1

and from these differences, he obtains the values of zx for the nine intermediate values.Briggs also gives a shortcut to compute directly a value such as z0.7 [10, pp. 25–26].

This shortcut uses a table of the cumulated factors of ∆2. In this case,

z0.7 = z0.0 + 71

10∆1 −

105

1000∆2

Briggs gives another example where he seeks√147 [10, pp. 26–27]. From the logarithm

of 147, Briggs finds log√147 = 1.08365866737409. Using the table given in his chapter 11,

Briggs finds the nearest complement log 8192 = 0.91338994363175, the total of which is0.99704861100584 (ignoring the integer part). He then finds two consecutive integerswhose logarithms have a decimal expansion which is approaching:

log 99322 ≈ 4.99704545615255

log 99323 ≈ 4.99704982872152

12

Page 14: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

By linear interpolation, Briggs finds that

log 99322.7 < 4.99704861100584 < log 99322.8

The interval obtained by linear interpolation will not always be correct, and presum-ably Briggs would have taken the next interval if the logarithm had lied outside of thepresumed interval.

In any case, using the interpolation with second differences, Briggs then computeslog 99322.7 and log 99322.8. Finally, Briggs uses another linear interpolation to in-terpolate between log 99322.7 and log 99322.8 and he finds 99322.721509238, the cor-rect value (if the decimal part 4.99 . . . 584 were correct) being 99322.721509228879 . . ..Dividing 99322.721509238 by 8192, Briggs finds 12.12435565298316, the correct value(if the decimal part 4.99 . . . 584 were correct) being 12.12435565298204 and the exactsquare root being 12.12435565298214. As a comparison, Briggs gives the true root as12.124355652982141054.16

Briggs has used these methods to fill the blanks between 1 and 20000 and between90001 and 100000.

3.6.3 Subtabulation by quinquisection

In the 13th chapter of the Arithmetica logarithmica [10, pp. 27–32], Briggs gives a newmethod which is suitable for the interval 20000–90000. Briggs does not explain how heobtained this method and we consider here a possible way of discovery.

Briggs had evidently been trying different approaches, using the differences in variousways. His idea here is to compute the values of the logarithms from 5 to 5 using previouslycomputed logarithms. Then the values in between would be found by subtabulation. Asa start, we consider the logarithms from 20000 to 20005, given here to 22 places togetherwith their first differences:

n log n ∆1

20000 4.30102999566398119521370.0000217141812451551372

20001 4.30105170984522635035090.0000217130956175145002

20002 4.30107342294084386485110.0000217120100984230585

20003 4.30109513495094228790960.0000217109246878645330

20004 4.30111684587563015244260.0000217098393858226471

20005 4.3011385557150159750897

Since the logarithms only increase slowly, the first differences are approximately equalto log 20005−log 20000

5= 0.00002171201020 . . .. If only the values of log(5n) are known, this

approximation of the first differences can be used to find an approximation of log 20001,but as it should be clear from the above values, the value of log 20001 will only be correctto about eight places. Briggs, instead, wanted to have 14 decimal places.

16There is actually a typographical error in the Arithmetica logarithmica, where the exact root is givenas 12.124355652982441054 [10, p. 27].

13

Page 15: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

In order to obtain a more accurate interpolation, Briggs applies a correction to themean difference, as he did in chapter 12 using second differences. It is likely that Briggsstarted with a range of logarithms, for instance one that he had computed using theprevious method. Here, we will consider that the values of log n are known for n = 20000,20001, . . . Briggs could then put the first, second, third, . . . , differences in a table.

In order to simplify the exposition, we take the notations used by Legendre in 1815 [57].y, y′, y′′, etc., are the values of the logarithm for 20000, 20001, 20002, etc. The variousdifferences are δy, δy′, . . . , δ2y, . . .

20000 y = aδy

20001 y′ δ2yδy′ δ3y

20002 y′′ δ2y′ δ4yδy′′ δ3y′ δ5y

20003 y′′′ δ2y′′ δ4y′

δy′′′ δ3y′′ δ5y′

20004 yiv δ2y′′′ δ4y′′

δyiv δ3y′′′ δ5y′′

20005 yv= a′ δ2yiv δ4y′′′

δyv δ3yiv δ5y′′′

20006 yvi δ2yv δ4yiv

δ3yv

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20010 yx= a′′

There are now basically two issues. First, given the values of a, a′, a′′, . . . , Briggs musthave been looking for patterns to compute approximations of y′, y′′, y′′′, yiv, . . . Second,once Briggs had approximations of the δiyj, he had to compute yj from them. These twoproblems are of course related, and Briggs must have tried to express δa = a′ − a usingthe subtabulated differences. We can for instance write:

δa = a′ − a = δy + δy′ + δy′′ + δy′′′ + δyiv

= (δy′′ − δ2y′ − δ2y) + (δy′′ − δ2y′) + δy′′ + (δy′′ − δ2y′′) + (δy′′ + δ2y′′ + δ2y′′′)

= 5δy′′ − 2δ2y′ − δ2y + 2δ2y′′ + δ2y′′′

= 5δy′′ − 2δ2y′ − (δ2y′ − δ3y) + 2(δ2y′ + δ3y′) + (δ2y′′ + δ3y′′)

= 5δy′′ − δ2y′ + δ3y + 2δ3y′ + δ3y′′ + δ2y′′

= 5δy′′ − δ2y′ + (δ3y′ − δ4y) + 2δ3y′ + δ3y′′ + δ2y′′

= 5δy′′ − δ2y′ + 3δ3y′ − δ4y + δ3y′′ + δ2y′′

= 5δy′′ − δ2y′ + 3δ3y′ − (δ4y′ − δ5y) + (δ3y′ + δ4y′) + δ2y′′

= 5δy′′ − δ2y′ + 4δ3y′ + δ5y + δ2y′′

= 5δy′′ + (δ2y′′ − δ2y′) + 4δ3y′ + δ5y

= 5δy′′ + 5δ3y′ + δ5y

So, we have the simple expression

δa

5= δy′′ + δ3y′ +

δ5y

5(2)

14

Page 16: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

There are of course much quicker ways to derive this equation [57, 40], but Briggscertainly found it after painstaking effort. The right-hand side of the equation usesdifferences which are positioned midway from a and a′. Briggs calls δa

5the mean first

difference.20000 y = a

δy20001 y′ δ2y

δy′ δ3y20002 y′′ δ2y′ δ4y

δy′′ δ3y′ δ5y20003 y′′′ δ2y′′ δ4y′

δy′′′ δ3y′′

20004 yiv δ2y′′′

δyiv

20005 yv= a′

Already before finding this formula, Briggs must have known that δy ≈ δy′ ≈ δy′′ · · · ≈δa5

but this equation shows that δa5

can be obtained from δy′′ using a small correction

δ3y′ + δ5y

5. In fact, looking at the first differences was probably enough for Briggs to

notice that δa5

was closest to δy′′. For instance, if a = log 20000, we have, as seen above,

δa

5= 0.0000217120102 . . .

δy = 0.0000217141812 . . .

δy′ = 0.0000217130956 . . .

δy′′ = 0.0000217120100 . . .

δy′′′ = 0.0000217109246 . . .

So δy′′ can also be obtained from δa5

using the correction −δ3y′ − 15δ5y.

After that, Briggs must have noticed that δ2y ≈ δ2y′ ≈ δ2a25

, and more exactly δ2a25

≈δ2yiv.

Probably after a long search, Briggs came up with

δ2a

25= δ2yiv + 2δ4y′′′ +

7

5δ6y′′ +

2

5δ8y′ +

1

25δ10y (3)

This formula also uses differences which are symmetrically located between a and a′′.The next equation is

δ3a

125= δ3yvi + 3δ5yv + · · · (4)

and Briggs found a general way to obtain these formulæ without having to go througha long algebraic manipulation. The coefficients of these equations are given by Briggs inhis Arithmetica logarithmica [10, p. 29].

In order to use these equations, we can see that the differences decrease quickly andbecome neglectible at some point. Neglecting all differences of order greater than 5 resultsin the following simplified equations:

δa

5= δy′′ + δ3y′ +

δ5y

5

δ2a

25= δ2yiv + 2δ4y′′′

δ3a

125= δ3yvi + 3δ5yv

δ4a

625= δ4yviii

δ5a

55= δ5yx

15

Page 17: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

The last two equations give us a means to compute δ5y (or δ5yv, δ5yx, etc.) and δ4y′′′

(or δ4yviii, etc.). Using the equation for δ3a125

, we can compute δ3yvi (or δ3y′), and usingthe equation for δ2a

25, we can compute δ2yiv. Finally, the first equation gives δy′′.

The following table shows in boxes the values that have been approximated. Thepattern of boxes is repeated every five values.

20000 y = aδy

20001 y′ δ2yδy′ δ3y

20002 y′′ δ2y′ δ4yδy′′ δ3y′ δ5y

20003 y′′′ δ2y′′ δ4y′

δy′′′ δ3y′′ δ5y′

20004 yiv δ2y′′′ δ4y′′

δyiv δ3y′′′ δ5y′′

20005 yv= a′ δ2yiv δ4y′′′

δyv δ3yiv δ5y′′′

20006 yvi δ2yv δ4yiv

δyvi δ3yv δ5yiv

20007 yvii δ2yvi δ4yv

δyvii δ3yvi δ5yv

20008 yviii δ2yvii δ4yvi

δyviii δ3yvii δ5yvi

20009 yix δ2yviii δ4yvii

δyix δ3yviii δ5yvii

20010 yx= a′′ δ2yix δ4yviii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

All that now remains to do is to compute the other differences δy, δy′, δy′′′, and δyiv.Assuming δ5y = δ5y′ = δ5y′′, we compute δ4y′′, δ4y′, and δ4y. All the other values follow,until the first differences, and finally the logarithms themselves: y′ = a+δy, y′′ = y′+δy′,etc.

This method, Briggs’ quinquisection, was reused in the Trigonometria britannica [11].

3.6.4 The method of quinquisection and Newton’s interpolation

As could be expected, Briggs’ method of quinquisection and Newton’s forward differenceformula agree. Briggs’ quinquisection is actually a special case of Newton’s formula seenfrom a different vantage point. In this section, we only give some hints for the comparison,but we do not give a complete proof.17

In order to compare the two methods, we can rewrite the method of quinquisection us-ing only the differences involved in Newton’s formula. We will only sketch the derivation,but the details can easily be filled. We have seen above that we have δy′′ = δa

5−δ3y′− δ5y

5,

17For details on Newton’s work on interpolation and subtabulation by finite differences, see White-side [113], [114, pp. 672–681]. Newton was apparently unaware of Briggs’ work on finite differences andsubtabulation [111, pp. 13–14], [112, p. 234], [113, pp. 3–5].

16

Page 18: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

but it is better to start with δyxii, in order to avoid indices before a. By an easy trans-formation, we obtain

δyxii =1

5δa′′ −

1

53δ3a′ +

14

56δ5a

Next, we consider the following equations:

δyxi = δyxii − δ2yxi δyx = δyxi − δ2yx

δ2yx = δ2yix + δ3yix δ2yxi = δ2yx + δ3yx

δ3yix = δ3yx − δ4yix δ3yx = δ3yxi − δ4yx

δ4yix = δ4yviii + δ5yviii δ4yx = δ4yix + δ5yix

We keep only the terms of order 4 or lower and obtain

δ4yix =1

54δ4a+ · · · δ2yx =

1

52δ2a′ +

1

53δ3a′ −

4

54δ4a+ · · ·

δ4yx =1

54δ4a+ · · · δ2yxi =

1

52δ2a′ +

2

53δ3a′ −

1

53δ4a+ · · ·

δ3yx =1

53δ3a′ −

1

54δ4a+ · · · δyxi =

1

5δa′′ −

1

52δ2a′ −

3

53δ3a′ +

1

53δ4a+ · · ·

δ3yix =1

53δ3a′ −

2

54δ4a+ · · · δyx =

1

5δa′′ −

2

52δ2a′ −

4

53δ3a′ +

9

54δ4a+ · · ·

We then introduce δ2a′′ using δ2a′ = δ2a′′− δ3a′ and make similar other replacements,leading to

δyx =1

5δa′′ −

2

52δ2a′′ +

6

53δ3a′′ −

21

54δ4a′′ + · · ·

This formula contains explicitely all terms of orders up to the fourth. We can comparethese first four terms with those of Newton’s forward difference formula. We have

δyx =1

5δa′′ +

1

15− 1

2δ2a′′ +

1

15− 1

15− 2

3δ3a′′ +

1

15− 1

15− 2

15− 3

4δ4a′′ + · · ·

The first value obtained by quinquisection therefore agrees to our level of accuracywith the value that would have been obtained by Newton’s interpolation formula. Thesame applies to δyxi, δyxii, etc.

3.6.5 Link with Bürgi’s interpolation

Together with the publication of Jost Bürgi’s “Coss,” List and Bialas have suggested thatBürgi may have used for the computation of his Canon sinuum an interpolation schemeidentical or similar to Briggs’ quinquisection [58, pp. 76–77, 100, 116–123]. Briggs hadalso used his quinquisection when he computed sines in the Trigonometria britannica.Bürgi, however, kept the details of his interpolation scheme somewhat secret, and weknow little more than that it was based on differences. It would be preposterous tosuggest that Briggs was inspired by Bürgi, perhaps through Ursus, as we have shownthat Briggs could very well arrive to his scheme independently.

17

Page 19: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

Although Bürgi considers interpolating one-degree intervals by steps of 2′′ or 4′′ [58,pp. 76–77], that is dividing in 1800 or 900 smaller intervals, Oechslin suggested an inter-pretation of Bürgi’s description in the case of quinquisection [75, pp. 81–92]. Consideringagain the following table

y = aδy

y′ δ2yδy′ δ3y

y′′ δ2y′ δ4yδy′′ δ3y′ δ5y

y′′′ δ2y′′ δ4y′

δy′′′ δ3y′′ δ5y′

yiv δ2y′′′ δ4y′′

δyiv δ3y′′′ δ5y′′

yv= a′ δ2yiv δ4y′′′

δyv δ3yiv δ5y′′′

yvi δ2yv δ4yiv

δ3yv

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yx= a′′

we can transform it into

y = a5δy

y′ 52δ2y5δy′ 53δ3y

y′′ 52δ2y′ 54δ4y5δy′′ 53δ3y′ 55δ5y

y′′′ 52δ2y′′ 54δ4y′

5δy′′′ 53δ3y′′ 55δ5y′

yiv 52δ2y′′′ 54δ4y′′

5δyiv 53δ3y′′′ 55δ5y′′

yv= a′ 52δ2yiv 54δ4y′′′

5δyv 53δ3yiv 55δ5y′′′

yvi 52δ2yv 54δ4yiv

53δ3yv

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yx= a′′

Oechslin (who does not mention Briggs) wants to interpolate between a and a′. So,he will compute five values for the first differences, between a and a′. The third of thesefive values is δa. All these values will be divided by 5 and then added to one anotherto produce y′, y′′, etc. Oechslin’s five values are therefore approximations of 5δy, 5δy′,etc. But in order to obtain these approximations, Oechslin needs approximations of theirdifferences, that is approximations of 5δ2y, 5δ2y′, etc. He in fact obtains approximationsof 52δ2y, 52δ2y′, etc., which he then divides by 5. Eventually, and to start with, Oechslinneeds approximations of the last differences, which are here 55δ5y, 55δ5y′, etc. But, asshown above, an approximation of 55δ5y, 55δ5y′, etc., is δ5a. An approximation of 54δ4y,

18

Page 20: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

54δ4y′, etc., is δ4a. An approximation of 53δ3y, 53δ3y′, etc., is δ3a. An approximation of52δ2y, 52δ2y′, etc., is δ2a. And an approximation of 5δy, 5δy′, etc., is δa.

In order to increase the accuracy, we can take

55δ5yx ≈ δ5a

54δ4yviii ≈ δ4a

53δ3yvi ≈ δ3a

52δ2yiv ≈ δ2a

5δy′′ ≈ δa

and then write

54δ4y′ ≈ 54δ4y +δ5a

5

54δ4y′′ ≈ 54δ4y′ +δ5a

5. . . . . .

53δ3y′ ≈ 53δ3y +54δ4y

5

53δ3y′′ ≈ 53δ3y′ +54δ4y′

5. . . . . .

If we apply this interpolation to a table of sines for each degree between 0◦ and 10◦,with five differences and 10 decimal places, we obtain the intermediate values with onlyfive or six exact places. If instead we apply the interpolation to a table of sines for allminutes from 0′ to 10′, we obtain eight to nine exact decimal places.

Oechslin’s scheme is actually not as accurate as Briggs’, although they may looksimilar. In order to compare the two schemes, let us take a simpler case with only threedifferences. Such an example is given by Oechslin [75, pp. 83].

y = a

y′

δ3ay′′

δa δ3ay′′′ α4

δ3ayiv α5

δ3ayv = a′ δ2a

α1 δ3ayvi α6

α2 δ3ayvii α7

δa′ δ3ayviii α8

α3 δ3ayix

δ3ayx = a′′

19

Page 21: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

In Oechslin’s example, δ3a is constant. Consider now the values of yvi, yvii, yviii, andyix. We have

α1 = δa+α4 + α5 + δ2a

5α2 = δa+

α4 + α5 + δ2a+ α6

5

α3 = δa′ +α8

5α4 = δ2a− 2

δ3a

5

α5 = δ2a−δ3a

5α6 = δ2a+

δ3a

5

α7 = δ2a+ 2δ3a

5α8 = δ2a+ 3

δ3a

5

yvi = yv +α1

5yvii = yvi +

α2

5

yviii = yvii +δa′

5yix = yviiii +

α3

5

therefore

yvi = a′ +δa

5+

3

25δ2a−

3

125δ3a

yvii = a′ + 2δa

5+

7

25δ2a−

5

125δ3a

yviii = a′ + 2δa

5+

δa′

5+

7

25δ2a−

5

125δ3a

yix = a′ + 2δa

5+ 2

δa′

5+

8

25δ2a−

2

125δ3a

(yx) = a′ + 2δa

5+ 3

δa′

5+

11

25δ2a−

5

125δ3a

The last value is the one that we would obtain by a further step, but normally we usethe value a′′.

We can compare these equations with those obtained by Briggs in the same conditions.Assuming δ4a = 0, we find

δa

5= δy′′ + δ3y′

δ2a

25= δ2yiv

δ3a

125= δ3yvi

20

Page 22: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

and

δ2y′′′ = δ2yiv − δ3y

δ2y′′ = δ2y′′′ − δ3y

δyv = δy′′ + δ2y′′ + δ2y′′′ + δ2yiv =δa

5− δ3y + (δ2y′′′ − δ3y) + (δ2yiv − δ3y) + δ2yiv

=δa

5− 3δ3y + 2δ2yiv + δ2y′′′ =

δa

5− 4δ3y + 3δ2yiv

yvi = a′ + δyv = a′ +δa

5+ 3δ2yiv − 4δ3y

= a′ +δa

5+

3

25δ2a−

4

125δ3a

yvii = a′ + 2δa

5+

7

25δ2a−

7

125δ3a

yviii = a′ + 2δa

5+

δa′

5+

7

25δ2a−

8

125δ3a

yix = a′ + 2δa

5+ 2

δa′

5+

8

25δ2a−

6

125δ3a

(yx) = a′ + 2δa

5+ 3

δa′

5+

10

25δ2a

Oechslin’s formulæ slightly differ from these ones. In this case, Briggs’ formulæ givethe exact values, and Oechslin’s scheme is therefore only an approximation. For instance,if we apply Briggs’ scheme to Oechslin’s example where he interpolates a function suchthat a = 10, a′ = 20, a′ = 40, δa = 10, δa′ = 20, δ2a = 10, δ3a = 5, the formulæ abovegive exactly Oechslin’s values, and in particular the interpolated value of yx is 40.2 [75,pp. 83]. But Briggs’ scheme gives the correct value 40.

Oechslin’s interpretation applied to larger intervals is not more satisfactorily, and itseems doubtful that this was Bürgi’s scheme, as Bürgi would certainly have noticed adifference between his tables and previous sine tables.

In fact, Bürgi’s description does not seem to allude to quinquisection, and we may haveto look for another idea, as was suggested in our study of Bürgi’s progression tables [88].

3.7 The radix method

In Chapter 14 of the Arithmetica logarithmica [10, pp. 33–36], Briggs gives the so-calledradix method, for finding the logarithm of a number.18 This method involves the useof radices, or numbers of the form 1 + r

10n, together with their logarithms. There are

several variants of this method. A number N is for instance decomposed in a productN0(1 + q1)(1 + q2) . . ., where logN0 is known and the qi are fractions r · 10−n found inan iterative way. The value of logN is then obtained by a mere addition using the radixtable. Historical descriptions of the writings on the radix method were published byEllis [23, 24] and Lupton [59, 60] and further analyses are given by Glaisher [38].

In his first example, Briggs considers the number x = 3.66067578833852 and showshow to compute the number of which it is the logarithm, that ism its antilogarithm. From

18Given that Vlacq omitted Briggs’ chapters 12 and 13, the radix method appears in Chapter 12 ofVlacq’s Arithmetica logarithmica [104].

21

Page 23: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

x, Briggs subtracts 3, then log 3 = 0.477121254719662, log 1.4 = 0.146128035678238, andlog 1.09 = 0.037426497940624 and finds nearly 0, so that x ≈ 3+log 3+log 1.4+log 1.09.All these logarithms are found in the radix table given by Briggs [10, p. 32]. It should benoted that Briggs did not subtract log 1.5, although x − 3 − log 3 > log 1.5, so that thismethod can obviously be applied in different ways. In any case, Briggs concludes thatx = log(103 · 3 · 1.4 · 1.09) = log 4578. In a second example, Briggs suggests to first takethe nearest smaller logarithm in the main table (1–20000, 90001–100000), to subtract itfrom the given number x and to continue with the radix table.

The same radix table can be used to find the logarithm of any number. Briggsconsiders the problem of finding the logarithm of x = 3041.851528656. In order to expressBriggs’s method, we first define ν(x) to be the truncation of x to one significant digit.19

For instance, ν(0.0002800160 . . .) = 0.0002. The method then consists in first dividingthis number by x0 = 3041, whose logarithm lies in the main table.20 Then the following

sequence is constructed: r1 = x− x0 = 0.851528656, q1 = ν(

r1x−r1

)

, r2 = x− x0(1 + q1),

q2 = ν(

r2x−r2

)

, r3 = x−x0(1+q1)(1+q2), q3 = ν(

r3x−r3

)

, r4 = x−x0(1+q1)(1+q2)(1+q3),

q4 = ν(

r4x−r4

)

, r5 = x− x0(1 + q1)(1 + q2)(1 + q3)(1 + q4), . . .

With this procedure, x is approximated by x0(1 + q1)(1 + q2)(1 + q3)(1 + q4) andtherefore log x = log x0 + log(1 + q1) + log(1 + q2) + · · · , all of these logarithms beingknown. In the case of the above example, Briggs found 3041.851528656 = 3041 · 1.0002 ·1.00008 · · · and therefore log 3041.851528656 = log 3041 + log 1.0002 + log 1.00008 + · · · .In fact, since Briggs chose 3041.851528656 = 3041 · 1.0002 · 1.00008, we have exactlylog 3041.851528656 = log 3041 + log 1.0002 + log 1.00008. Briggs gives a second examplefollowing the same principle, with x = 2966.82051456 and finds q1 = 0.0002, q2 = 0.00007,q3 = 0.000006, etc., and eventually log 2966.82051456 = 3.472291273349534, the correctvalue being 3.472291273349533 . . ..

The radix method is fairly straightforward for a manual application, the most difficultpart being the computation of the ratios ri

x−ri. In the Arithmetica logarithmica, Briggs

organized the computations in such a way that one presumes they could be taught easilyusing standard forms.

According to Glaisher [38], this method was first applied in 1618 in an anonymousappendix to the second edition of Wright’s translation of Napier’s Descriptio [69]. Byan analysis of the notations, Glaisher has concluded that the author was in fact WilliamOughtred.

4 The computers

Briggs was aided by other computers for which he prepared forms that they could fill [96,p. 51]. We do unfortunately not know the names of those who assisted Briggs, except ina few instances. Edmund Gunter, who published the first decimal logarithms of trigono-metric functions [41], may have been one of them [36, p. 381]. There also remains a letterfrom J. Wells to Briggs, dated January 9, 1621, from which it appears that Wells assisted

19We could express ν(x) formally as ν(x) = E(

x

10E(log x)

)

×10E(log x) where E(x) is the greatest integersmaller than x.

20If Briggs’ main table had been complete, he would certainly have divided x by 30418.

22

Page 24: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

Briggs in the computations of the logarithms [80, vol. 1, pp. 5–6], [36, p. 381]. Wells wasthe later author of a Sciographia in 1635 [107].

There is also Euclid Speidell’s testimony [98] (cited by Egen [21, p. 257]), accordingto which Briggs was assisted by eight computers for one year. This does not totally fitwith the time elapsed between publications, but it gives nevertheless a general idea ofhow the calculations were performed.

5 Vlacq’s table and Briggs’ projects

In 1628, Adriaan Vlacq published a table giving the logarithms of the numbers from 1 to100000 with only 10 places, which he called a second edition of Briggs’ table, although itactually wasn’t [104].

Glaisher [36, pp. 380–381] cites an excerpt from a letter dated October 25th, 1628from Briggs to Pell in which Briggs mentions his projects and how they were altered byVlacq:21

My desire was to have those Chiliades that are wantinge betwixt 20 and 90 cal-culated and printed, and I had done them all almost by my selfe, and by somefrendes whom my rules had sufficiently informed, and by agreement the busi-ness was conveniently parted amongst us; but I am eased of that charge andcare by one Adrian Vlacque, an Hollander, who hathe done all the whole hun-dred chiliades and printed them in Latin, Dutche, and Frenche, 1000 bookesin these 3 languages, and hathe sould them almost all. But he hathe cutt of 4of my figures throughout; and hathe left out my Dedication, and to the reader,and two chapters the 12 and 13, in the rest he hathe not varied from me atall.

It is likely that Briggs had planned to fill the missing interval with 14 places, andeven that this project had reached an advanced stage, but that Vlacq’s publication cuthis project short [4, p. 220]. According to Glaisher, there is no doubt that Briggs’ friendswere annoyed at Vlacq’s publication of 1628 [35, p. 301]. And indeed, in 1631, RichardNorwood wrote, referring to Miller’s 1631 edition of Vlacq’s tables:

And here I have just occasion to blame the ill dealings of these men, notonly towards my selfe, as I have before noted in the Preface to the Reader,but likewise towards Mr. Briggs, both in the matter before mentioned, and inprinting a second edition of his Arithmetica Logarithmica in Latine, whilesthe lived, against his minde and liking: and brought them over to sell, when thefirst were unsolde; so frustrating those additions which Mr. Briggs intendedin his second Edition, and moreover leaving out some things, that were inthe first edition, of special moment. A practice of very ill consequence, andtending to the great discouragement of such as take paines in this kind.22

21The full letter is reproduced in Halliwell’s Rara mathematica [44, pp. 55–57].22[74], cited in [67, p. 172]

23

Page 25: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

According to Hallowes, Briggs must then have felt that he could not complete both thetables of the logarithms of numbers and the logarithms of trigonometric functions, thatthe completion of the Arithmetica logarithmica had been reduced to a certain routine,and he must then have turned to the trigonometric functions exclusively [45, p. 85].

6 Briggs’ and Vlacq’s legacy

Briggs’ table served as a basis for Vlacq’s own Arithmetica logarithmica, and therefore isthe foundation of almost all later extensive tables of logarithms until the 20th century.

For 300 years, Briggs’ scheme lay uncompleted. There have been several undertakings,but none that would carry out completely Briggs’ scheme was ever printed before 1952.The most famous of them, the Tables du cadastre, only guaranteed 12 places23 and didnot go beyond Briggs’ 14 places [35, p. 301]. Edward Sang’s tables were most extensive,but were never printed [18].

Edward Sang was one of the few to be critical towards the usefulness of the Tables ducadastre for checking the tables of Briggs or Vlacq [91]. Obviously, if 12 decimal placesare exact (in the above sense) in the Tables du cadastre, this means that the error onthe unrounded logarithm is less than 5 · 10−13. The 13th and 14th decimals are thereforeuncertain and the values of the Tables du cadastre cannot be used reliably (except incertain cases) to check these decimals in other tables with certainty.

Eventually, in 1924, the tercentenary of Briggs’ table was celebrated by startingthe publication of Thompson’s Logarithmetica Britannica [100], which was completedin 1952 [101]. Thompson’s table gave the logarithms of all integers up to 100000 with 20decimal places.

7 The tables’ errors

Briggs’ table contains a number of errors and an errata is given at the beginning ofthe Arithmetica logarithmica. A supplementary errata was given by Lefort in 1858 [55,p. 147]. A comparison of Briggs’ table with Prony’s Tables du cadastre was made around1800 by Letellier and Guyetant, two employees of the French cadastre, and their resultwas added at the end of Briggs’ somewhat incomplete volume at the Bibliothèque Sainte-Geneviève in Paris.24 They compared the 13th and 14th decimals of Briggs’ table withthose of the Tables du cadastre, and since the Tables du cadastre are only guaranteedto give 12 exact decimals,25 only large errors in Briggs’ table could be found this way.The errata which was therefore gathered was restricted to errors occuring before the 12thdecimal for n > 10000. For n < 10000, the Tables du cadastre contain more accuratevalues of the logarithms and the errata sometimes gives errors beyond the 11th decimal.

23Here and in the sequel, it should be understood that we mean that the error is smaller than 5 ·10−13,which in fact does not guarantee the first 12 decimal places.

24Bibliothèque Sainte-Geneviève, FOL V 64(2) INV 84 RES. Prony has apparently added the sameerrata to his own copy of the Arithmetica Logarithmica [56, p. 996], which he bought in Montpellier.(minutes of the Bureau des longitudes, 8 frimaire 11, where Prony announced his errata [28])

25More exactly, the error on the 12th decimal of the unrounded logarithm is smaller than half a unitof the 13th place.

24

Page 26: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

The comparison could have been done systematically until the 14th place in this interval,but it was apparently not done.26 In any case, it is known that there are a large numberof small errors in Briggs’ table.27

A more comprehensive errata was given in 1952 by Thompson in his LogarithmeticaBritannica [101, pp. lxxviii–lxxxiii]. An overview of the erratas is given by Fletcheret al. [30, p. 794]. Thompson found almost 1200 errors, ignoring errors of one unit in thefourteenth decimal, and the number of errors affecting the first twelve decimals appearsto be over 180.

8 Structure of the tables and recomputation

The original Arithmetica logarithmica contains an introduction of 88 pages, immediatelyfollowed by the first page of the tables, giving the logarithms of all integers from 1 to 20000and from 90001 to 100000 to 14 decimal places. These tables were recomputed using theGNU mpfr multiple-precision floating-point library developed at INRIA [31], and givethe exact values. The comparison of our table and Briggs’ will therefore immediatelyshow where Briggs’ table contains errors, and this is of course one of the purposes ofthis reconstruction. Apart from the change in accuracy, we have tried to be as faithfulas possible to the original tables. We have however added some values in a few caseswhere Briggs had left blanks. The original tables had for instance a blank space for thedifference between log 2 and log 1 and we have put the correct value.

In addition to the reconstruction of Briggs’ Arithmetica logarithmica, we have alsoreconstructed the “ideal” Arithmetica logarithmica, that is, a table giving the logarithmsfor the whole range from 1 to 100000, as Briggs had wanted it. This reconstruction isgiven in a separate document [87].

9 Acknowledgements

It is a pleasure to thank Ian Bruce who, by providing translations of key parts of Briggs’Arithmetica logarithmica and Trigonometria britannica, made the present analysis mucheasier.

26The logarithms below 10000 in the Tables du cadastre do not contain added figures for comparison,which seems to hint to the fact that no comparison was made. Moreover Lefort also seems to regret thisomission [55, p. 147]. On the other hand, as shown in our study of the Tables du cadastre [90], theselogarithms were computed to 19 decimals, but their accuracy was not 19 decimals. It should also benoted that as a consequence of this comparison and of the trust Prony had in his tables, he mistakenlyattributed some errors to Briggs, when the errors were in fact in Prony’s tables [90].

27In 1910, before the publication of his own tables, Henri Andoyer wrote that the last place of Briggs’tables was usually wrong by several units [3].

25

Page 27: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

References

The following list covers the most important references28 related to Briggs’ tables. Notall items of this list are mentioned in the text, and the sources which have not been seenare marked so. We have added notes about the contents of the articles in certain cases.

[1] Juan Abellan. Henry Briggs. Gaceta Matemática, 4 (1st series):39–41, 1952. [This

article contains many incorrect statements.]

[2] Ian R. Adamson. The administration of Gresham College and its fluctuatingfortunes as a scientific institution in the seventeenth century. History ofEducation, 9(1):13–25, March 1980.

[3] Marie Henri Andoyer. Nouvelles Tables trigonométriques fondamentales. Comptesrendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, 150:591–592,janvier-juin 1910.

[4] Anonymous. Contributions to scientific biography. The Edinburgh journal ofscience, 5:219–222, 1831.

[5] Évelyne Barbin et al., editors. Histoires de logarithmes. Paris: Ellipses, 2006.

[6] Peter Barlow. A new mathematical and philosophical dictionary; etc. London:Whittingham and Rowland, 1814.

[7] Janet Beery and Jacqueline Stedall, editors. Thomas Harriot’s doctrine oftriangular numbers: the ‘Magisteria magna’. Zürich: European MathematicalSociety, 2009.

[8] H. S. Bennett. English books and readers, III: 1603–1640. Cambridge: CambridgeUniversity Press, 1970.

[9] Henry Briggs. Logarithmorum chilias prima. London, 1617. [The tables were

reconstructed by D. Roegel in 2010. [82]]

[10] Henry Briggs. Arithmetica logarithmica. London: William Jones, 1624. [An English

translation of the introduction was made by Ian Bruce and can be found on the web.]

[11] Henry Briggs and Henry Gellibrand. Trigonometria Britannica. Gouda: PieterRammazeyn, 1633. [The tables were reconstructed by D. Roegel in 2010. [85]]

[12] Ian Bruce. The agony and the ecstasy — the development of logarithms by HenryBriggs. The Mathematical Gazette, 86(506):216–227, July 2002.

28Note on the titles of the works: Original titles come with many idiosyncrasies and features (line

splitting, size, fonts, etc.) which can often not be reproduced in a list of references. It has thereforeseemed pointless to capitalize works according to conventions which not only have no relation with theoriginal work, but also do not restore the title entirely. In the following list of references, most titlewords (except in German) will therefore be left uncapitalized. The names of the authors have also beenhomogenized and initials expanded, as much as possible.

The reader should keep in mind that this list is not meant as a facsimile of the original works. Theoriginal style information could no doubt have been added as a note, but we have not done it here.

26

Page 28: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

[13] Evert Marie Bruins. On the history of logarithms: Bürgi, Napier, Briggs, DeDecker, Vlacq, Huygens. Janus, 67(4):241–260, 1980.

[14] Florian Cajori. A history of mathematics. New York: Macmillan and co., 1894.

[15] Moritz Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Leipzig:B. G. Teubner, 1900. [volume 2, pp. 737–739, 743–748 on Briggs]

[16] Julian Lowell Coolidge. The story of the binomial theorem. The AmericanMathematical Monthly, 56(3):147–157, March 1949.

[17] Lesley B. Cormack. Charting an empire. Chicago: University of Chicago Press,1997.

[18] Alex D. D. Craik. The logarithmic tables of Edward Sang and his daughters.Historia Mathematica, 30(1):47–84, February 2003.

[19] Jean-Baptiste Joseph Delambre. Histoire de l’astronomie du moyen âge. Paris:Veuve Courcier, 1819.

[20] Jean-Baptiste Joseph Delambre. Histoire de l’astronomie moderne. Paris: VeuveCourcier, 1821. [two volumes, volume 1, pp. 532–545 and volume 2, pp. 76–88 on Briggs]

[21] Peter Nikolaus Caspar Egen. Handbuch der allgemeinen Arithmetik, volume 1.Berlin: Duncker und Humblot, 1833.

[22] Alexander J. Ellis. On an improved bimodular method of computing natural andtabular logarithms and anti-logarithms to twelve or sixteen places, with very brieftables. Proceedings of the Royal Society of London, 31:381–398, 1881.

[23] Alexander J. Ellis. On the potential radix as a means of calculating logarithms toany required number of decimal places, with a summary of all preceding methodschronologically arranged. Proceedings of the Royal Society of London, 31:398–413,1881.

[24] Alexander J. Ellis. Postscript to the chronological summary of methods ofcomputing logarithms in my paper on the potential radix. Proceedings of theRoyal Society of London, 32:377–379, 1881.

[25] Jean-Marie Farey et Patrick Perrin. Les logarithmes de Briggs (1624). In Lamémoire des nombres, pages 319–341. IREM de Basse Normandie, 1997. [The same

article was also published separately in 1995 [26].]

[26] Jean-Marie Farey and Patrick Perrin. Les logarithmes de Briggs. Repères-IREM,21:61–77, October 1995. [This is a separate publication of [25].]

[27] Mordechai Feingold. The mathematicians’ apprenticeship: science, universitiesand society in England, 1560–1640. Cambridge: Cambridge University Press,1984.

27

Page 29: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

[28] Jean-Marie Feurtet. Procès-verbaux du Bureau des longitudes (juillet 1795–mai1804) : le Bureau des longitudes (1795–1854) : De Lalande à Le Verrier. thèsepour le diplôme d’archiviste paléographe, Ecole nationale des Chartes, 2005.

[29] Alan Fletcher. Early logarithmic works. Nature, 148(3763):728, 1941.

[30] Alan Fletcher, Jeffery Charles Percy Miller, Louis Rosenhead, and Leslie JohnComrie. An index of mathematical tables. Oxford: Blackwell scientificpublications Ltd., 1962. [2nd edition (1st in 1946), 2 volumes]

[31] Laurent Fousse, Guillaume Hanrot, Vincent Lefèvre, Patrick Pélissier, and PaulZimmermann. MPFR: A multiple-precision binary floating-point library withcorrect rounding. ACM Transactions on Mathematical Software, 33(2), 2007.

[32] Jean-Pierre Friedelmeyer. L’invention des logarithmes par Neper et le calcul deslogarithmes décimaux par Briggs. Activités mathématiques et scientifiques,61:105–122, February 2007.

[33] David Gibb. A course in interpolation and numerical integration for themathematical laboratory, volume 2 of Edinburgh Mathematical Tracts. London:G. Bell & sons, Ltd., 1915.

[34] George Alexander Gibson. Napier’s logarithms and the change to Briggs’slogarithms. In Knott [54], pages 111–137.

[35] James Whitbread Lee Glaisher. Notice respecting some new facts in the earlyhistory of logarithmic tables. The London, Edinburgh and Dublin PhilosophicalMagazine and Journal of Science, Series 4, 44:291–303, 1872.

[36] James Whitbread Lee Glaisher. On early logarithmic tables, and their calculators.The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal ofScience, Series 4, 45(301):376–382, May 1873.

[37] James Whitbread Lee Glaisher. Report of the committee on mathematical tables.London: Taylor and Francis, 1873. [Also published as part of the “Report of the forty-third

meeting of the British Association for the advancement of science,” London: John Murray, 1874.]

[38] James Whitbread Lee Glaisher. The earliest use of the radix method forcalculating logarithms, with historical notices relating to the contributions ofOughtred and others to mathematical notation. The Quarterly journal of pureand applied mathematics, 46:125–197, 1915.

[39] James Whitbread Lee Glaisher. On early tables of logarithms and the earlyhistory of logarithms. The Quarterly journal of pure and applied mathematics,48:151–192, 1920.

[40] Herman Heine Goldstine. A history of numerical analysis from the 16th throughthe 19th century. New York: Springer, 1977.

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[41] Edmund Gunter. Canon triangulorum, sive tabulæ sinuum et tangentiumartificialium ad radium 10000,0000.& ad scrupula prima quadrantis. London:William Jones, 1620. [The tables were reconstructed by D. Roegel in 2010. [84]]

[42] Jean-Pierre Hairault. Calcul des logarithmes décimaux par Henry Briggs. InBarbin et al. [5], pages 113–129.

[43] Anders Hald. A history of probability and statistics and their applications before1750. New York: John Wiley & Sons, 2003.

[44] James Orchard Halliwell, editor. Rara mathematica; or, a collection of treatiseson the mathematics and subjects connected with them, from ancient ineditedmanuscripts. London: John William Parker, 1839.

[45] D. M. Hallowes. Henry Briggs, mathematician. Transactions of the HalifaxAntiquarian Society, pages 79–92, 1962.

[46] James Henderson. Bibliotheca tabularum mathematicarum, being a descriptivecatalogue of mathematical tables. Part I: Logarithmic tables (A. Logarithms ofnumbers), volume XIII of Tracts for computers. London: Cambridge UniversityPress, 1926.

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[49] G. Huxley. Briggs, Henry. In Charles Coulston Gillispie, editor, Dictionary ofScientific Biography, volume 2, pages 461–463. New York: Charles Scribner’s Sons.

[50] Graham Jagger. The making of logarithm tables. In Martin Campbell-Kelly,Mary Croarken, Raymond Flood, and Eleanor Robson, editors, The history ofmathematical tables: from Sumer to spreadsheets, pages 48–77. Oxford: OxfordUniversity Press, 2003.

[51] Graham Jagger. The will of Henry Briggs. BSHM Bulletin: Journal of the BritishSociety for the History of Mathematics, 21(2):127–131, July 2006.

[52] Wolfgang Kaunzner. Über Henry Briggs, den Schöpfer der Zehnerlogarithmen. InRainer Gebhardt, editor, Visier- und Rechenbücher der frühen Neuzeit, volume 19of Schriften des Adam-Ries-Bundes e.V. Annaberg-Buchholz, pages 179–214.Annaberg-Buchholz: Adam-Ries-Bund, 2008.

[53] Johannes Kepler, John Napier, and Henry Briggs. Les milles logarithmes ; etc.Bordeaux: Jean Peyroux, 1993. [French translation of Kepler’s tables and Neper’s

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[54] Cargill Gilston Knott, editor. Napier Tercentenary Memorial Volume. London:Longmans, Green and company, 1915.

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[55] Pierre Alexandre Francisque Lefort. Description des grandes tables logarithmiqueset trigonométriques, calculées au bureau du cadastre, sous la direction de Prony,et exposition des méthodes et procédés mis en usage pour leur construction.Annales de l’Observatoire impérial de Paris, 4 (supplément):123–150, 1858.

[56] Pierre Alexandre Francisque Lefort. Note sur les deux exemplaires manuscrits desgrandes tables logarithmiques et trigonométriques, calculées au bureau ducadastre, sous la direction de Prony. Comptes rendus hebdomadaires des séancesde l’Académie des sciences, 46:994–999, janvier-juin 1858.

[57] Adrien Marie Legendre. Sur une méthode d’interpolation employée par Briggs,dans la construction de ses grandes tables trigonométriques. In Additions à laConnaissance des tems, ou des mouvemens célestes, à l’usage des astronomes etdes navigateurs, pour l’an 1817, pages 219–222. Paris: Veuve Courcier, 1815.

[58] Martha List and Volker Bialas. Die Coss von Jost Bürgi in der Redaktion vonJohannes Kepler. Ein Beitrag zur frühen Algebra, volume 5 (Neue Folge) of NovaKepleriana. München: Bayerische Akademie der Wissenschaften, 1973.

[59] Sydney Lupton. Notes on the radix method of calculating logarithms. TheMathematical Gazette, 7(106):147–150, July 1913.

[60] Sydney Lupton. Notes on the radix method of calculating logarithms (continued).The Mathematical Gazette, 7(107):170–173, October 1913.

[61] Noel Malcolm and Jacqueline Stedall, editors. John Pell (1611–1685) and hiscorrespondence with Sir Charles Cavendish: the mental world of an early modernmathematician. Oxford: Oxford university press, 2005.

[62] Thomas Manning. New method of computing logarithms. PhilosophicalTransactions of the Royal Society of London, 96:327–341, 1806. [description of a

variant of the radix method]

[63] Andrei Andreivich Markov. Differenzenrechnung. Leipzig: B. G. Teubner, 1896.[Translated from the Russian.]

[64] Francis Maseres. Scriptores logarithmici, volume 2. London: J. Davis, 1791.

[65] Frédéric Maurice. Mémoire sur les interpolations, contenant surtout, avec uneexposition fort simple de leur théorie, dans ce qu’elle a de plus utile pour lesapplications, la démonstration générale et complète de la méthode dequinti-section de Briggs et de celle de Mouton, quand les indices sontéquidifférents, et du procédé exposé par Newton, dans ses Principes, quand lesindices sont quelconques. In Additions à la Connaissance des temps ou desmouvements célestes, à l’usage des astronomes et des navigateurs, pour l’an 1847,pages 181–222. Paris: Bachelier, 1844. [A summary is given in the Comptes rendus

hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, 19(2), 8 July 1844, pp. 81–85, and the

entire article is translated in the Journal of the Institute of Actuaries and Assurance Magazine,

volume 14, 1869, pp. 1–36.]

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Page 32: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

[66] Erik Meijering. A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modernsignal and image processing. Proceedings of the IEEE, 90(3):319–342, March 2002.

[67] Leo Miller. Milton and Vlacq. Papers of the Bibliographical Society of America,73:145–208, 1979.

[68] John Napier. Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Edinburgh: AndrewHart, 1614.

[69] John Napier. A description of the admirable table of logarithmes. London, 1616.[English translation of [68] by Edward Wright, reprinted in 1969 by Da Capo Press, New York.

A second edition appeared in 1618.]

[70] John Napier. Mirifici logarithmorum canonis constructio. Edinburgh: AndrewHart, 1619. [Reprinted in [71] and translated in [72]. A modern English translation by Ian

Bruce is available on the web.]

[71] John Napier. “Logarithmorum canonis descriptio” and “Mirifici logarithmorumcanonis constructio”. Lyon: Barthélemi Vincent, 1620. [Reprint of Napier’s descriptio

and constructio. At least the constructio was reprinted by A. Hermann in 1895.]

[72] John Napier. The construction of the wonderful canon of logarithms. Edinburgh:William Blackwood and sons, 1889. [Translation of [70] by William Rae Macdonald.]

[73] Katherine Neal. Mathematics and empire, navigation and exploration: HenryBriggs and the northwest passage voyages of 1631. Isis, 93(3):435–453, 2002.

[74] Richard Norwood. Trigonometrie. Or, the doctrine of triangles. London: WilliamJones, 1631. [Reprinted in 1971 by Theatrum Orbis Terratum (Amsterdam). Not seen.]

[75] Ludwig Oechslin. Jost Bürgi. Luzern: Verlag Ineichen, 2000.

[76] Robert Keith Otnes. How Briggs computed logarithms. Journal of the OughtredSociety, 4(2):26–27, 1995. [not seen]

[77] Penny cyclopædia. Briggs (Henry). In The Penny cyclopædia of the society forthe diffusion of useful knowledge, volume V, pages 422–423. London: CharlesKnight and Co., 1836.

[78] Alfred Israel Pringsheim, Georg Faber, and Jules Molk. Analyse algébrique. InEncyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, tome II, volume 2,fascicule 1, pages 1–93. Paris: Gauthier-Villars, 1911. [See p. 54 for remarks on Briggs.]

[79] Jean-Charles Rodolphe Radau. Études sur les formules d’interpolation. BulletinAstronomique, Série I, 8:273–294, 1891.

[80] Stephen Jordan Rigaud, editor. Correspondence of scientific men of theseventeenth century, including letters of Barrow, Flamsteed, Wallis, and Newton,printed from the originals in the collection of the right honourable the Earl ofMacclesfield. Oxford: university press, 1841. [2 volumes]

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[81] Denis Roegel. A reconstruction of Adriaan Vlacq’s tables in the Trigonometriaartificialis (1633). Technical report, LORIA, Nancy, 2010. [This is a recalculation of

the tables of [105].]

[82] Denis Roegel. A reconstruction of Briggs’s Logarithmorum chilias prima (1617).Technical report, LORIA, Nancy, 2010. [This is a recalculation of the tables of [9].]

[83] Denis Roegel. A reconstruction of De Decker-Vlacq’s tables in the Arithmeticalogarithmica (1628). Technical report, LORIA, Nancy, 2010. [This is a recalculation

of the tables of [104].]

[84] Denis Roegel. A reconstruction of Gunter’s Canon triangulorum (1620).Technical report, LORIA, Nancy, 2010. [This is a recalculation of the tables of [41].]

[85] Denis Roegel. A reconstruction of the tables of Briggs and Gellibrand’sTrigonometria Britannica (1633). Technical report, LORIA, Nancy, 2010. [This is

a recalculation of the tables of [11].]

[86] Denis Roegel. A reconstruction of the tables of Thompson’s LogarithmeticaBritannica (1952). Technical report, LORIA, Nancy, 2010. [This is a unpublished

reconstruction of the tables in [101], not available for copyright reasons.]

[87] Denis Roegel. Briggs’ ideal canon of logarithms. Technical report, LORIA, Nancy,2010. [This is a recalculation of the tables of [10], including the gap left empty by Briggs.]

[88] Denis Roegel. Bürgi’s Progress Tabulen (1620): logarithmic tables withoutlogarithms. Technical report, LORIA, Nancy, 2010.

[89] Denis Roegel. Napier’s ideal construction of the logarithms. Technical report,LORIA, Nancy, 2010.

[90] Denis Roegel. The great logarithmic and trigonometric tables of the FrenchCadastre: a preliminary investigation. Technical report, LORIA, Nancy, 2010.

[91] Edward Sang. On last-place errors in Vlacq. Nature, 42(1094):593, 1890.

[92] Demetrius Seliwanoff. Lehrbuch der Differenzenrechnung. Leipzig: B. G. Teubner,1904.

[93] John William Shirley. Thomas Harriot, a biography. Oxford: Oxford universitypress, 1983. [not seen]

[94] Thomas Smith. Vitæ quorundam eruditissimorum et illustrium virorum. London:David Mortier, 1707. [Contains a 16-pages separately paginated biography of Briggs

“Commentariolus de vita et studiis clarissimi & doctissimi viri, D. Henrici Briggii, olim

geometriæ in academia Oxoniensi professoris saviliani,” of which a translation is given

pp. lxvii–lxxvii of volume 1 of [101].]

[95] Thomas Sonar. The grave of Henry Briggs. The Mathematical Intelligencer,22(3):58–59, September 2000.

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[96] Thomas Sonar. Der fromme Tafelmacher : Die frühen Arbeiten des Henry Briggs.Berlin: Logos Verlag, 2002.

[97] Thomas Sonar. Die Berechnung der Logarithmentafeln durch Napier und Briggs,2004.

[98] Euclid Speidell. Logarithmotechnia, or, the making of numbers called logarithmsto twenty five places from a geometrical figure. London: Henry Clark, 1688.[reproduced by Maseres [64]]

[99] Dirk Jan Struik. Vlacq, Adriaan. In Charles Coulston Gillispie, editor, Dictionaryof Scientific Biography, volume 14, pages 51–52. New York: Charles Scribner’sSons.

[100] Alexander John Thompson. Henry Briggs and his work on logarithms. TheAmerican Mathematical Monthly, 32(3):129–131, March 1925.

[101] Alexander John Thompson. Logarithmetica Britannica, being a standard table oflogarithms to twenty decimal places of the numbers 10,000 to 100,000. Cambridge:University press, 1952. [2 volumes, unpublished reconstruction by D. Roegel in 2010 [86].]

[102] Herbert Westren Turnbull. James Gregory: a study in the early history ofinterpolation. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2),3(3):151–172, 1933.

[103] Erik Vestergaard. Henry Briggs’ differensmetode. Normat — Nordisk MatematiskTidsskrift, 45(2):49–61, 1997.

[104] Adriaan Vlacq. Arithmetica logarithmica. Gouda: Pieter Rammazeyn, 1628. [The

introduction was reprinted in 1976 by Olms and the tables were reconstructed by D. Roegel in

2010. [83]]

[105] Adriaan Vlacq. Trigonometria artificialis. Gouda: Pieter Rammazeyn, 1633. [The

tables were reconstructed by D. Roegel in 2010. [81]]

[106] John Ward. The lives of the professors of Gresham College. London: John Moore,1740. [pp. 120–129 on Briggs. This part was reprinted in The Monthly Magazine, vol. 28,

no. 190, 1st October 1809, pp. 275–281.]

[107] John Wells. Sciographia, or the art of shadovves... All performed, by the doctrineof triangles... and by helpe of... logarithmes. London: T. Harper, 1635. [not seen]

[108] Derek Thomas Whiteside. Henry Briggs: The binomial theorem anticipated. TheMathematical Gazette, 45(351):9–12, February 1961.

[109] Derek Thomas Whiteside. Newton’s discovery of the general binomial theorem.The Mathematical Gazette, 45(353):175–180, October 1961.

[110] Derek Thomas Whiteside. Patterns of mathematical thought in the laterseventeenth century. Archive for History of Exact Sciences, 1:179–388, 1961.

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[111] Derek Thomas Whiteside, editor. The Mathematical Papers of Isaac Newton:Volume I, 1664–1666. Cambridge: Cambridge University Press, 1967.

[112] Derek Thomas Whiteside, editor. The Mathematical Papers of Isaac Newton:Volume III, 1670–1673. Cambridge: Cambridge University Press, 1969.

[113] Derek Thomas Whiteside, editor. The Mathematical Papers of Isaac Newton:Volume IV, 1674–1684. Cambridge: Cambridge University Press, 1971.

[114] Derek Thomas Whiteside, editor. The Mathematical Papers of Isaac Newton:Volume VII, 1691–1695. Cambridge: Cambridge University Press, 1976.

[115] Thomas Whittaker. Henry Briggs. In Dictionary of National Biography, volume 2,pages 1234–1235. London: Smith, Elder, & Co., 1908. [volume 6 (1886), pp. 326–327,

in the first edition]

[116] James K. Whittemore. The calculation of logarithms. The Annals ofMathematics, Second Series 9(1):1–28, October 1907. [This article describes Weddle’s

method, which is a variant of the radix method.]

[117] J. Hill Williams. Briggs’s method of interpolation; being a translation of the 13thchapter and part of the 12th of the preface to the “Arithmetica Logarithmica”.Journal of the Institute of Actuaries and Assurance Magazine, 14:73–88, 1869.

[118] Robin Wilson. The oldest mathematical chair in Britain. EMS Newsletter,64:26–29, June 2007.

[119] Edward Wright. Certaine errors in nauigation, detected and corrected. London:Felix Kingston, 1610. [contains several tables computed by Briggs]

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias prima.

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Chilias prima.

Num.absolu.

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Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias prima.

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Chilias prima.

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Chilias prima.

Num.absolu.

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Chilias prima.

Num.absolu.

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Chilias prima.

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Chilias prima.

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Logarithmi.Num.absolu.

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Logarithmi.

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Chilias prima.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias prima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.

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Chilias secunda.

Num.absolu.

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Chilias secunda.

Num.absolu.

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Chilias secunda.

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Chilias tertia.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias tertia.

Num.absolu.

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Chilias quarta.

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Chilias quinta.

Num.absolu.

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Chilias quinta.

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Chilias septima.

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Chilias septima.

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Chilias nona.

Num.absolu.

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Chilias nona.

Num.absolu.

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Chilias nona.

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Chilias vndecima.

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Chilias vndecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias vndecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.

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Chilias vndecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias vndecima.

Num.absolu.

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Chilias vndecima.

Num.absolu.

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Chilias vndecima.

Num.absolu.

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Chilias vndecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias duodecima.

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Chilias duodecima.

Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias duodecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias duodecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias duodecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias duodecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias duodecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias duodecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.

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Chilias duodecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Page 155: A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica

Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias duodecima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias decimatertia.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Num.absolu.

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Num.absolu.

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Chilias decimaseptima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias decimaseptima.

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Chilias decimaoctaua.

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Chilias decimaoctaua.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.

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Chilias decimaoctaua.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.

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Chilias decimanona.

Num.absolu.

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Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias decimanona.

Num.absolu.

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Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias decimanona.

Num.absolu.

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Num.absolu.

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Num.absolu.

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Num.absolu.

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Num.absolu.

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Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias vicesima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias vicesima.

Num.absolu.

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Logarithmi.Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias vicesima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.

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Chilias nonagesima prima.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima prima.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima prima.

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Chilias nonagesima prima.

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Chilias nonagesima prima.

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Chilias nonagesima prima.

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Chilias nonagesima prima.

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Chilias nonagesima prima.

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Chilias nonagesima prima.

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Chilias nonagesima secunda.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima secunda.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima tertia.

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Chilias nonagesima quarta.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias nonagesima quarta.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima quarta.

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Chilias nonagesima quinta.

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Chilias nonagesima quinta.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima quinta.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias nonagesima sexta.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias nonagesima sexta.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias nonagesima sexta.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.

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Chilias nonagesima sexta.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima sexta.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima sexta.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias nonagesima sexta.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima septima.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima septima.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima septima.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima septima.

Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias nonagesima septima.

Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias nonagesima septima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias nonagesima septima.

Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias nonagesima septima.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias nonagesima septima.

Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias nonagesima septima.

Num.absolu.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias nonagesima octaua.

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Chilias nonagesima octaua.

Num.absolu.

Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias nonagesima octaua.

Num.absolu.

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Chilias nonagesima octaua.

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Chilias nonagesima octaua.

Num.absolu.

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Chilias centesima.

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Briggs’ 1624 table of logarithms (reconstruction, D. Roegel, 2010)

Chilias centesima.

Num.absolu.

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Logarithmi.Num.absolu.

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Chilias centesima.

Num.absolu.

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Chilias centesima.

Num.absolu.

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Chilias centesima.

Num.absolu.

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Chilias centesima.

Num.absolu.

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