ESTIMASI ARAH KEDATANGAN: DARI DELAY AND SUM SAMPAI COMPRESSIVE SENSING

KOREDIANTO USMAN, INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNGANDRIYAN BAYU SUKSMONO, INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

Penentuan arah kedatangan sinyal adalah salah satu aplikasi yang penting pada bidang radar dan sonar. Perkembangan terakhir yang terkait dengan teknik ini adalah pada bidang behind the wall radar dan ground penetrating radar yang mulai banyak dipakai pada skala kecil dan rumah. Algoritma penentuan arah sinyal ini secara umum terdiri dari dua skema besar yaitu skema yang berbasis maximum likelihood dan skema berbasis subspace. Pada perkembangannya, algoritma yang berbasis subspace memperoleh perhatian yang besar di kalangan peneliti karena memiliki keunggulan pada ketajaman resolusi dan kemampuan mendeteksi beberapa sumber sekaligus. Meski memiliki keunggulan ini, algoritma estimasi arah kedatangan berbasis subspace ini permasalahan komputasi yang inherent yaitu dengan algoritma ini. Revolusi pada algoritma berbasis subspace pada teknik komputasinya karena skema awal yang ditawarkan mensyaratkan komputasi yang berat antara lain pada proses perhitungan matriks kovarian dan proses invers atau eigen-analysis dari matriks kovarian ini. Paper ini bertujuan untuk meresume perkembangan teknik komputasi dari algoritma estimasi sudut kedatangan dari sisi tahapan-tahapan perkembangan serta modifikasi algoritma yang ada termasuk kelebihan dan kekurangan masing-masingnya. Presentasi diawali dengan landasan teori dan model matematika sistem, deskripsi dari algoritm, [diceritakan urutan doa kemudian cs]. Pada bagian akhir dari paper ini, dibahas tentang peran teknik compressive sensing dalam upaya untuk, menyederhanakan kompleksitas permasalahan algoritma estimasi arah kedatangan dengan mengurangi jumlah sampel data yang diterima. Proyeksi peran compressive sensing pada teknik estimasi arah kedatangan di masa yang akan datang dipaparkan juga pada bagian akhir paper. Ada pun kontribusi penulis pada paper ini adalah melakukan komparasi dari teori-teori estimasi arah kedatangan dalam lingkungan yang sama. Categories and Subject Descriptors: Digital Signal Processing: Antenna Array Signal ProcessingGeneral Terms: Direction of Arrival Estimation, Beamforming , Signal Resolution, Delay and Sum, Minimum Variance Distortionless Response, MUSIC, Root-MUSIC, ESPRIT, Unitary ESPRIT.Additional Key Words and Phrases: Angle Scanning, Subspace Method, Covariance Matrix, Eigen-Value Decomposition

1. INTRODUCTIONPerkembangaSMART antennas have been widely used in many applications such as radar, sonar, and communication systems. The performance of smart antennas relies heavily on the accurate estimation of the direction of arrival (DOA) of each signal, and various techniques for DOA estimation have been proposed [1]–[12]. The most commonly used techniques are multiple signal classification (MUSIC) [3], [4], estimation of signal parameters via rotational invariance technique (ESPRIT) [5]–[7], and their variations [8], [9]. These subspace-based techniques lead to an acceptable DOA estimation if the number of signal sources is less than the number of antenna elements. In the case where the total number of interfering and target signal sources is larger than the number Author’s addresses: K. Usman and A.B. Suksmono, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi Bandung, Laboratorium Telematika Radio dan Gelombang Mikro, Jl. Ganesha No.10 Bandung, Indonesia 40132.

Survey Paper : Maret 2014

2 K. Usman and A.B. Suksmono

of antenna elements, only some of the DOAs of the signals can be properly estimated. In MUSIC-class techniques, the DOAs are determined by finding the directions for which their antenna response vectors lead to peaks in the MUSIC spectrum formed by the eigenvectors of the noise subspace. The maximum number of DOAs detectable, i.e., the capacity of DOA estimation technique, is equal to the rank of the reciprocal subspace of the selected noise subspace. Thus, the capacity of DOA estimation using MUSIC is no more than 1 where is the number of antenna elements in the antenna array [13]. For ESPRIT-class techniques, two subarrays are used to obtain two signal subspaces such that the eigenvectors of one signal subspace relative to the eigenvectorsof the other are rotated in terms of the DOAs of the signals. The DOAs are then estimated by computing the rotation matrix. As a result, the capacity of DOA estimation using ESPRIT-class techniques is bounded by the number of antenna elements in the subarrays [9], [14]. This limits the application of subspace-based techniques to cases where the number of signal sources is less than the number of antenna elements. In addition, these techniques require subspace estimation and eigendecomposition which entail high computational complexity [7], [15], [16], thereby limiting their use to applications where fast DOA estimation is not required. Further, using these techniques in the presence of multiple signal sources, the DOAs of the target signals and interference are all estimated, and as a consequence, these techniques cannot identify which signal source corresponds to which estimated DOA.

Sistematika penulisan paper ini adalah sebagai berikut: Bagian 2 me-review tentang algoritma-algoritma klasik estimasi arah kedatangan sinyal khususnya yang berbasis sub-space, dilanjutkan dengan ulasan hasil penelitian yang menilai performa dari algoritma klasik ini. Pembahasan dilanjutkan dengan penelitian-penelitian lanjutan yang bertujuan untuk memperbaiki proses komputasi dari algoritma klasik. Bagian 3 me-review tentang teori compressive sensing. Dilanjutkan dengan penelitian-penelitian yang terkait dengan aplikasinya. Bagian ini difokuskan pada arah penggunaannya pada estimasi arah kedatangan. Bagian 4 adalah pembahasan pada skema-skema penerapan compressive sensing pada estimasi arah kedatangan yang telah dilakukan, dimulai dari skema yang ditawarkan, hasil yang diperoleh serta kelemahan dan kelebihan dari skema yang ditawarkan. Bagian 5 mengilustrasikan permasalahan yang masih harus diselesaikan pada teknik penggunaan compressive sensing pada estimasi arah kedatangan. Bagian 6 adalah proyeksi arah penelitian ke depan dan menutup diskusi pada paper ini.

NotasiUntuk kepetingan keseragaman notasi, maka disepanjang tulisan ini, berikut ini adalah notasi-notasi yang digunakan:A* : menyatakan kompleks konjugate dari matriks AAT : menyatakan transpose dari matriks A.AH : menyatakan transpose hermition dari matriks A (operasi transpose kemudian dilakukan operasi kompleks conjugate)A-1 : Menyatakan inverse dari matriks A

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal : dari Capon’s sampai Compressive Sensing 3 A+ : menyatakan pseudo inverse dari matriks A.sup(A) : menyatakan support dari matriks A (indeks pada posisi tak nol)diag(A) : vektor yang berisi elemen diagonal dari matriks persegi A

2. ESTIMASI ARAH KEDATANGAN SINYAL2.1 Deskripsi permasalahan estimasi arah kedatangan sinyalPada aplikasi seperti radar, arah kedatangan sinyal didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh sinyal yang datang dengan suatu referensi. Referensi yang umum untuk arah kedatangan adalah arah azimut dan elevasi. Gambar 1 mengilustrasikan contoh.

Gambar 1 mengilustrasikan ULA dengan sinyal datang pada sudut .2.2 Model Matematika

Algoritma Estimasi arah kedatangan sinyal diturunkan dari model matematik dilanjutkan dengan penyederhanaan-penyederhaannya. Untuk keperluan pemodelan ini, ditinjau skema susunan array antena yang tersusun secara linier dengan jarak konstan seperti pada Gambar 2. Susunan antena ini disebut dengan Uniform Linear Array (ULA).

Gambar. 2. Susunan Antena ULA dengan 3 elemen antena

Dengan asumsi bahwa sinyal datang pada jarak yang yang relatif jauh maka berkas sinyal yang datang pada susunan antena tersebut dapat dianggap sejajar. Dengan menganggap sinyal paling atas sebagai referensi, maka perbedaan jarak tempuh gelombang dari antena yang atas dengan antena tengah dan antara antena yang tengah dengan yang bawah adalah sebesar:

Δ=d⋅sin (θ ) ............................................... (1)Perbedaan jarak ini menyebabkan keterlambatan fasa dari antena yang bawah dibandingkan dengan antena atas sebesar:

d

d

4 K. Usman and A.B. Suksmono

ψ= Δλ⋅2π=

d⋅sin (θ )λ

⋅2 π=2 πλ

⋅d⋅sin (θ )................... (2)

Dengan menotasikan sinyal sumber sebagai s(n) dan sinyal yang datang pada antena berturut-turut sebagai x1(n), x2(n) dan x3(n) , maka persamaan vektor sinyal datang x(n) dapat ditulis dalam vektor menjadi:

x (n)=[ x1(n )x2(n )x3(n )]=[ s (n)⋅1

s(n )⋅e− jΔ

s (n)⋅e− j2 Δ]=[ 1

e− j 2 π

λ⋅d⋅sin (θ )

e− j 2⋅2 π

λ⋅d⋅sin ( θ )]⋅s(n )

........... (3)

Persamaan di atas disingkat menjadi:

x (n)=a (θ )⋅s (n) .................................(4)

Dengan a() disebut sebagai steering-vector. Jika jumlah antena digeneralisasi menjadi M, maka steering-vector a() dapat ditulis sebagai:

a (θ )=[1

e− j⋅2π

λ⋅d⋅sin (θ )

e− j⋅2⋅2 π

λ⋅d⋅sin ( θ )

⋮

e− j ( M−1 )⋅2π

λ⋅d⋅sin (θ )]

................................... (5)Pada kondisi terdapat beberapa sumber yang datang (k), maka persamaan sinyal sumber juga dapat digeneralisasi menjadi:

s(n )=[ s1 (n) s2(n ) … sk(n ) ]T ..............................(6)

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal : dari Capon’s sampai Compressive Sensing 5 2.3Algoritma Klasik Estimasi arah Kedatangan dan Analisis

Performanya

2.3.1 Algoritma Delay-and-SumAlgoritma estimasi arah kedatangan dengan metode delay-and-sum ini termasuk algoritma klasik dan menjadi acuan bagi perkembangan skema estimasi arah kedatangan. Metode ini dimodelkan pertama kali oleh Sidney P. Applebaum [1, 1976]. Metode ini terbukti digemari para praktisi radar dan sonar hingga saat ini, termasuk implementasinya pada FPGA, sebagai contoh Peng Chen mengimplementasikannya menggunakan FPGA [Peng Chen 2008]. Van Veen [Van Veen 1988] memformulasikan kembali skema delay-and-sum ini dalam kajiannya tentang versatile adaptive beamformer.

Struktur dari algoritma Delay and sum dapat dilihat pada Gambar 3.

Gambar. 3. Skema delay-and-sum. Pada gambar di atas terdapat tiga tap delay dengan bobot w1, w2, dan w3. Pada N-tap delay, terdapat N buat tap dengan N buah bobot.

Untuk skema sum-and-delay, estimasi arah kedatangan dilakukan dengan scanning semua bobot yang mungkin dengan arah scanning pada rentang sudut tertentu, tipikalnya adalah dari -90 sampai 90 derajat.

Spektrum amplitudo sebagai fungsi sudut scanning dapat dituliskan sebagai:

P(w )=∑n=1

L

wi⋅xi (n)

....................(7)

Arah kedatangan sinyal adalah pada i pada nilai w yang menyebabkan P(w)

bernilai maksimum.

arg (θ )⃗max (P(w )) P(w )=∑n=1

L

wi⋅xi (n)

................... (8)

Nilai x(n) adalah vektor sinyal terima yang dinyatakan pada Persamaan 4.

Skema Delay and Sum ini memiliki keuntungan dalam hal kesederhanaan. Karena kesederhanaan ini, skema Delay and Sum sering menjadi pilihan

V(n)

+

w3

w2

w1

6 K. Usman and A.B. Suksmono

implementasi untuk berbagai aplikasi, baik radio [Peng Chen, 2008] maupun audio [Yuan Zeng, 2014]. Walau pun memiliki keuntungan pada sisi kesederhanaannya, algoritma ini memiliki beberapa kelemahan. Kelemahan ini antara lain adalah rendahnya kemampuan resolusi sinyal yang rendah atau dengan kata lain, algoritma tidak dapat mendeteksi adanya dua sinyal yang memiliki arah kedatangan yang berdekatan. Kelemahan lainnya adalah sensitifitas sinyal terhadap noise dan interferensi [H. Cox, 1987]

2.3.2 Algoritma CaponCapon menawarkan skema estimasi arah kedatangan yang berbeda dibandingkan dengan skema Delay and Sum [Capon, 1969]. Perbedaan ini antara lain pada sisi pengolahan sinyal yang diterima dan dari segi persamaan spektrum sinyal. Jika algoritma Algoritma Capon memiliki kelebihan dan kekurangan jika dibandingkan dengan algoritma Sum and Delay. yang memiliki kemampuan resolusi yang lebih baik dari skema Delay and Sum sebelumnya adalah algoritma Capon [Capon 1969]. Algoritma Capon disebut juga dengan algoritma Minimum Variance Distortionless Response (MVDR). Kemampuan resolusi yang lebih baik ini dikarenakan spektrum sinyal diperoleh dari invers dari covariance matrix. Algoritma Capon dapat dituliskan sebagai berikut:

s1 : hitung matriks estimasi kovariansi Rxx dari vektor sinyal datang x(n)

Rxx=E (x (n )⋅x (n )H )= 1N

⋅x (n)⋅x( n)H

......................(9)s2 : Hitung matriks invers dari covariance matrix Rxx (yaitu Rxx

-1)s3 : bangkitkan steering vektor a() seperti Persamaan 5 untuk suatu sudut .s4 : Hitung spektrum sinyal P() untuk setiap nilai dari 0 sampai 360 derajat

dengan persamaan

P(θ )= 1a(θ )H⋅Rxx

−1⋅a (θ) ............................................(10)

s5 : Tentukan arah kedatangan arah kedatangan sinyal diperoleh pada saat nilai P() bernilai maksimal (atau lokal maksimal jika terdapat beberapa sumber).

Dari sisi performa, para peneliti menemukan dua kekurangan utama dari algoritma Capon yaitu:

1. komputasi yang berat2. rentan terhadap interferensi dari jammer yang berkorelasi dengan

sinyal.

Komputasi yang berat terkait dengan proses perhitungan matriks covariansi yang kompleksitisnya adalah pangkat tiga (O(n3)). Serta perhitungan proses inversi dari matriks kovariansi tersebut [Golub, 1990].

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal : dari Capon’s sampai Compressive Sensing 7 Ada pun pengaruh interferensi terhadap algoritma Capon diteliti oleh Michael Zoltowski [Zoltowski, 1988]. Pada paper tersebut, Zoltowski menunjukkan sensitifitas dari algoritma MVDR Beamforming pada kasus multiple interference. Performa sistem menurun dengan drastis pada kondisi interferensi tersebut.Sampai saat ini, upaya untuk melakukan penyederhanaan perhitungan dengan menghindari perhitungan kompleksitas masih dilakukan secara parsial, misalnya dengan melakukan pengelompokan array antena ke dalam sub-array [Leverett Bezanson, 2013]. Peningkatan performa algoritma Capon dilakukan juga oleh Zoltowski pada paper tahun 1988 tentang performansi MVDR di atas. Ia menemukan bahwa penambahkan algoritma Total Least Square (TLS) menurunkan permasalahan sensitifitas algoritma ini terhadap terhadap interference. Namun hal tersebut dibayar dengan tambahan kompleksitas dan komputasi ekstra.

2.3.3 Algoritma MUSICAlgoritma MUSIC diusulkan oleh Ralph O. Schmidt [Schmidt, 1986]. Walau pun diterbitkan di IEEE transaction tahun 1986, skema dasarnya ini telah dipublikasikan oleh Schmidt pada beberapa lebih awal (1977-1979) di beberapa publikasi. Algoritma MUSIC adalah salah satu algoritma breakthrough di bidang beamforming. Algoritma ini termasuk yang paling banyak diteliti dan dikembangkan oleh para peneliti selama beberapa dekade. Keberhasilan algoritma ini dalam mendeteksi beberapa sumber sekaligus dengan resolusi yang sangat tinggi menjadi daya tarik utama dari algoritma ini. Algoritma MUSIC termasuk pelopor dalam penggunaan eigen-analysis sehingga sering disebut eigen-assisted based algorithm.Untuk ilustrasi, berikut ini disampaikan tahapan-tahapan pada algoritma MUSIC.

s1 : hitung matriks estimasi kovariansi Rxx dari vektor sinyal datang x(n)s2 : Hitung dekomposisi Eigen dari Rxx

Rxx=U⋅Σ⋅U H

..........................................(11)U menyatakan matriks eigen vektor dari Rxx dan menyatakan matriks diagonal dengan elemen diagonal adalah eigen-value dari matrix Rxx.

s3 : Identifikasi nilai eigen dominal pada (k buah) dan nilai eigen tak dominan (L-k buah), L adalah jumlah antena dalam array. Selanjutnya matriks eigen vektor U dipartisi menjadi dua bagian k kolom dan L-k kolom sesuai dengan pembagian nilai eigen domin dan tak dominan. Eigen-vektor bagian k kolom disebut signal sub-space Us dan kolom L-k disebut noise sub-space Un. Dengan demikian dapat vektor eigen U dapat ditulis menjadi:

U = [Us Un] .......................... [12]

s4 : bangkitkan steering vektor a() seperti Persamaan 5 untuk suatu sudut .

s5 : hitung spektrum sinyal P() untuk setiap nilai dari 0 sampai 360 derajat dengan persamaan

8 K. Usman and A.B. Suksmono

P(θ )= 1a(θ )H⋅U n⋅a(θ ) .......................... [13]

s5 : Tentukan arah kedatangan arah kedatangan sinyal diperoleh pada saat nilai P() bernilai maksimal (atau lokal maksimal jika terdapat beberapa sumber).

Spektrum sinyal pada algoritma MUSIC seperti pada persamaan (13) akan bernilai maksimum ketika penyebutnya bernilai nol atau mendekati nol. Kondisi ini tercapai jika steering vector a() tegak lurus dengan noise subspace Us. Kondisi ini tercapai jika steering vector adalah kombinasi linier dari signal subspace.Analisis performa algoritma MUSIC telah banyak dilakukan oleh para peneliti [Mostofa Kaveh, 1986; Petre Stoica, ]. Mostofa Kaveh melakukan pengujian performa algoritma MUSIC dengan parameter kemampuan resolusi MUSIC dengan dua sinyal datang pada lingkungan yang ber-noise [Mostofa Kaveh, 1986]. Hasil simulasinya menunjukkan bahwa algoritma MUSIC memiliki performa yang sangat baik pada SNR yang lebih dari 10 dB. Pada lingkungan dengan SNR 0 sampai 10 dB, algoritma MUSIC mengalami penurunan, dan untuk SNR kurang dari 0 dB, performa sistem sangat buruk karena kegagalan sistem dalam membedakan sinyal dan noise. Kegagalan ini berakibat sinyal sub-space dan noise sub-space tertukar. Petre Stoica melakukan pengujian performansi algoritma MUSIC dengan menghitung jaraknya dengan batas minimum yang dapat dicapai dari suatu nilai estimasi yaitu Cramer-Rao Bound (CRB). Penelitiannya menunjukkan bahwa Algoritma MUSIC memiliki performa yang hampir berimpit dengan untuk SNR yang tinggi.Dibandingkan dengan algoritma memiliki kelebihan dan kekurangannya sendiri. Kelebihan algoritma MUSIC adalah beam yang tajam dan resolusi yang tinggi. Keuntungan lainnya adalah kemampuannya untuk mendeteksi sinyal secara bersamaan dalam satu proses perhitungan. Kekurangannya antara lain adalah proses perhitungan matriks covarianse dan eigen-analysis yang berat, khususnya jika jumlah antena penerima besar. Keterbatasan ini menyebabkan waktu komputasi yang tinggi sehingga tidak dapat diterapkan secara realtime [Golub 1990, Van Veen 1989, dan Xu 1994]. Modifikasi algoritma MUSIC ditujukan untuk mengatasi permasalahan kompleksitas perhitungan [memanfaatkan struktur tertentu dari matrix covariance, transformasi/proyeksi untuk beamspace, dan ULA untuk semua algoritma]. Algoritma turunan MUSIC antara lain adalah Root-MUSIC [Barabell 1983], Beamspace Root-MUSIC [Zoltowski 1992], Unitary Root MUSIC [Pasevento 2000]. Walau pun algoritma-algoritma ini berhasil mengurangi kompleksitas dari perhitungan eigen-analysis, namun diperlukan kondisi-kondisi spesifik untuk mencapainya, antara lain struktur covariance matriks yang harus bersifat centrohermitian [Pesavento 2000], struktur antena yang harus bersifat ULA [Barabell 1983 dan Zoltowski 1992]. Perlu referensi tambahan seperti ANA LEE dalam

2.3.4 Algoritma ESPRITSkema ESPRIT diperkenalkan oleh Roy, Paulraj, dan Kailath [Roy et al. 1986]. Skema ini mengambil pendekatan berbeda jika dibandingkan dengan

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal : dari Capon’s sampai Compressive Sensing 9 algoritma Delay and Sum, Capon, dan MUSIC. Jika algoritma Delay and Sum, Capon, dan MUSIC melakukan proses scanning sudut (exhaustive search) untuk menghitung spektrum sinyal (Persamaan 8, 10 dan 13), algoritma ESPRIT tidak melakukan scanning sudut melainkan memanfaatkan sifat rotational invariant dari susunan antena. Sifat rotational invariant memerlukan susunan array antena yang dapat dibagi menjadi 2 sub-array yang salah satu sub-array adalah versi tergeser spasial dari sub-array lainnya. Gambar 4 memperlihatkan contoh susunan array dan pengelompokannya ke dalam dua sub-array yang memenuhi sifat sifat ini.

Gambar 4 : Struktur array antena yang dapat dibagi menjadi 2 sub-array dengan salah satu sub-array adalah versi tergeser linier dari sub-array lainnya.

Pergesaran linier secara spasial ini menghasilkan persamaan sinyal terima antara sub-array pertama dan sub-array kedua terhubung secara matematis melalui persamaan eksponensial kompleks yang berasosiasi dengan rotasi pada lingkaran satuan. Dengan memanfaatkan sifat ini, estimasi arah kedatangan sinyal dapat dihitung secara rumus tanpa perlu menggunakan scanning sudut. Urutan estimasi arah kedatangan sinyal dengan algoritma ESPRIT dapat dirangkum dalam langkah-langkah berikut (langkah s1 sampai s3 adalah sama dengan langkah pada algoritma MUSIC):

s1 : hitung matriks estimasi kovariansi Rxx dari vektor sinyal datang x(n)

s2 : Hitung dekomposisi Eigen dari Rxx : Rxx=U⋅Σ⋅U H

s3 : Partisi vektor eigen U menjadi sinyal sub-space Us dan noise sub-space Un. s4 : Hitung sinyal subspace dari sub-array-1 dan sub-array-2 masing-masing

dengan selection vector J1 dan J2. U s1=J 1⋅U s

.... (14.a)

U s2=J 2⋅U s.... (14.a)

s5 : hitung matrix rotational invariant :Ψ =U s 1

+ ⋅U s2=(U s 1H⋅U s1 )−1

⋅U s 1H⋅U s2

.... (15)

s6 : Hitung nilai Eigen dari matriks rotational invariant

4

3

2

1

(b)

J2

J1

4

3

2

1

J2

J1

(a)

10 K. Usman and A.B. Suksmono

s7 : Sudut kedatangan dihitung dengan persamaan:

θi= tan−1( im( λi )re ( λi ) )

.... (16)Variabel i menyatakan nilai eigen dominan ke-i dari matrik , sedangkan

operator im(.) dan re(.) berturut-turut menyatakan bagian imaginer dan real dari bilang kompleks.

Permasalahan pada algoritma ESPRIT: penambahan langkah, perhitungan inverse dan dan perhitungan nilai eigen menyebabkan pada bagian ini algoritma ESPRIT bekerja lebih berat dari pada algoritma MUSIC. Namun ketiadaan perhitungan exhaustive search untuk semua arah kedatangan menyebabkan algoritma ESPRIT secara keseluruhan lebih cepat dari pada algoritma MUSIC.

Perbaikan algoritma ESPRIT banyak dilakukan oleh para peneliti. Sebagian besar modifikasi tersebut ditujukan untuk mengurangi atau menghindari perhitungan eigen-analysis yang biasanya melibatkan perhitungan bilangan kompleks dalam dimensi yang besar. Upaya perbaikan ini antara lain dimunculkan dalam skema Beamspace ESPRIT [Xu 1994] dan Unitary ESPRIT [Haardt 1995]. Aspek implementasi dari algoritma ESPRIT dibahas dalam banyak penelitian, antara lain

2.4. Perbandingan Tabel Perbandingan Algoritma

Dari algoritma yang disebutkan sebelumnya, terdapat kekurangan dan kelebihan dari masing-masing algoritma utama dari DoA. Tabel 1 memperlihatkan tentang perbandingan dari algoritma-algoritma yang dibicarakan sejauh ini.

Table I. Perbandingan Algoritma utama DoA Parameter Komparasi

AlgoritmaDelay and Sum Capon MUSIC ESPRIT

Metode Exhaustive Search

Exhaustive Search

Exhaustive Search

Rotational Invariant

Perhitungan penjumlahan dan perkalian

Covariance Matrix dan Inversi Matrix

Covariance Matrix, Eigen-analysis

Covariance Matrix, Inversi, dan Eigen Analysis,

Tipe Hasil perhitungan

estimasi Spektrum Sinyal

estimasi Spektrum Sinyal

estimasi Spektrum Sinyal

estimasi Sudut Kedatangan

Kompleksitas rendah sedang-tinggi tinggi sedangJumlah Elemen Antena

N N N 2N

Jumlah Sinyal yang dapat dideteksi

variabel, tergantung tingkat korelasi sinyal

N-1 N-1 N-1

Resolusi Rendah Sedang-Tinggi Tinggi Sedang

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal : dari Capon’s sampai Compressive Sensing 11 Seperti yang dibahas sebelumnya, algoritma modifikasi dari MUSIC dan ESPRIT ditujukan untuk mempercepat proses komputasi, khususnya pada bagian eigen-analysis dari algoritma.

Table II. Modifikasi dan Variasi AlgoritmaAlgoritma

Delay and Sum

Capon MUSIC ESPRIT

Variasi Algoritma

- iterative-MVDR Root-MUSIC, Unitary MUSIC, Beamspace MUSIC

Unitary-ESPRIT, Beamspace ESPRIT

Table III. Skema Algoritma Modifikasi

3. COMPRESSIVE SENSINGTeori sampling klasik dikembangkan oleh Harry Nyquist [Nyquist 1928], yang kemudian dikembangkan oleh Claude Shannon dalam paper klasiknya [Shannon 1948]. Berkat analisis Nyquist di bidang transmisi sinyal telegraph serta penurunan matematis oleh Shannon, ditemukan teorema sampling yang dipakai hingga saat ini yang menyatakan bahwa untuk dapat dilakukan rekonstruksi sempurna, maka proses digitalisasi sinyal memerlukan frekuensi sampling minimal sebesar dua kali dari frekuensi tertinggi dari sinyal informasi yang disampling.

FSM = 2 x fmax .... (17)

Dengan FSM adalah frekuensi sampling minimum, dan fmax adalah frekuensi sinyal informasi. Persamaan (17) dikenal dengan persamaan Nyquist-Shannon. Persamaan ini dipatuhi oleh berbagai sistem digital saat ini seperti frekuensi sampling sinyal suara adalah 8.000 Hz (dengan frekuensi suara manusia tertinggi adalah 3.400 Hz). Compressive Sensing adalah salah satu cabang ilmu baru yang dikembangkan oleh para peneliti bidang matematika khususnya statistik. Publikasi awal di bidang ini antara lain adalah David L Donoho [Donoho 2006] dan Emmanuel Candes [Candes 2007]. Aspek teknis dan aplikasinya banyak diteliti dan dikembangkan oleh Candes dan Richard Baraniuk [Baraniuk 2007]. Mengingat penelitian Compressive Sensing tersebar di berbagai bidang, beberapa peneliti merangkum perkembangan dan potensi compressive sensing dalam

Algoritma Modifikasi

Modifikasi dari algoritma

asal

Tujuan Modifikasi

Pengusul

Root-MUSIC Arthur J. Barabell, 1983

Unitary MUSIC

Marius Pesavento, 2000

Beamspace MUSIC

Zoltowski, 1992

Unitary ESPRIT

Martin Haardt, 1995

Beam ESPRIT

G. Xu, 1994

12 K. Usman and A.B. Suksmono

survey paper, antara lain oleh Thomas Stromer [Stromer 2012] dan pada bidang sistem komunikasi oleh Kashunori Hayashi [Hayashi et. al 2013]

3.1.Model Matematik dan AsumsiPemodelan matematik dari compressive sensing memerlukan beberapa pra-syarat terminologi antara lain adalah norm dan sparsity. 3.1.1 Norm lpJika x(n) menyatakan sinyal pengamatan pada waktu n dari 1 sampai N dengan interval bilangan bulat, x(n) = [x1, x2, ..., xN]T, maka norm orde-p dengan p non-negatif dari x(n) dinyatakan dengan:

‖x (n )‖p=(∑i=1

N

|x i|p)

1/ p

...... (18)

Simbol |.| menyatakan nilai absolut dari nilai yang terletak di dalam simbol tersebut. Khusus untuk p bernilai 1 dan 2, maka normnya menjadi:

...... (19.a)

...... (19.b)

Persamaan (19.a) menyatakan norm orde satu atau dikenal dengan istilah Manhattan Distance, sedangkan norm orde dua dikenal dengan istilah Euclidean Distance. Untuk p bernilai 0, maka norm dari x(n) menyatakan jumlah elemen tak nol dari x(n), dan disebut juga sebagai support dari vektor x(n).

(19.c)

(20)

3.1.2 SparsitySuatu sinyal x(n) dikatakan sparse jika sebagian besar dari elemen pada x(n)

bernilai nol. Dengan kata lain ‖x (n )‖0<< N . Tingkat ke-sparse-an dari sinyal (sparsity) dinyatakan dalam nilai k yaitu banyaknya elemen yang tidak nol dalam sinyal x(n).

‖x (n )‖1=∑i=1

N

|x i|=|x1|+|x2|+.. .+|xN|

‖x (n )‖2=√∑i=1

N

|xi|2=√|x1|

2+|x2|2+ .. .+|xN|

2

‖x (n )‖0=|sup ( x (n) )|

sup (x )={i , x i≠0}

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal : dari Capon’s sampai Compressive Sensing 13 Dalam banyak sinyal, sparsity dari sinyal tidak langsung kelihatan dengan melihat nilai nol dari sinyal tersebut, namun sinyal tersebut sparse dalam basis tertentu. Dalam persamaan matematika, hal ini dapat dinyatakan dengan:

x (n)=F⋅s (n) (21)

Pada persamaan (21), sinyal x(n) dikatakan sparse dalam basis F jika s(n) adalah sparse dengan hanya k elemen yang tak nol. Sinyal sinusoidal adalah contoh untuk kondisi ini. Dengan mengambil contoh basis Fourier, maka persamaan (21) dapat diinterpretasikan bahwa sinyal sinusoidal x(n) adalah sparse dalam sinyal frekuensi s(n) berbasis F.

3.1.3. Model MatematikTujuan dari compressive sensing adalah melakukan sampling dari sinyal sparse x(n) sehingga diperoleh sinyal hasil sampling y(n) yang memiliki jumlah sampel yang lebih sedikit dari x(n). Proses sampling ini dapat dinyatakan dengan persamaan:

y (n )=A⋅x(n ) (22)

untuk suatu matriks compressive sampling A.

Permasalahan yang harus dipecahkan adalah, jika y(n) adalah hasil compressive sampling dari x(n), bagaimana memperoleh kembali sinyal x(n) ini, diberikan sinyal pengamatan y(n).Permasalahan compressive sensing dengan demikian terdiri dari dua permasalahan, yaitu permasalahan compressive sampling yaitu mencari skema sampling yang mengurangi jumlah sampel dan bagian rekonstruksi yaitu menyusun kembali sinyal semula dari sinyal pengamatan.

Gambar 5 memperlihatkan proses dan permasalahan pada compressive sensing.

Untuk dapat dikembalikan ke bentuk semula, maka matriks A harus memiliki sifat Restricted Isometry Property (RIP) [Candes dan Tao 2005]. Sifat restricted Isometric Property ini dinyatakan dengan persamaan:

(1−δ s)⋅‖x (n )‖2≤‖A⋅x (n)‖2≤(1−δ s )⋅‖x (n )‖2 (23)

Secara fisis, sifat RIP ini menyatakan bahwa matrik transformasi A tidak mengubah norm dari sinyal x(n).

Ax(n)

vektor N x 1

y(n)vektor k x 1

matrik k x N

rekonstruksiy(n) x(n)

vektor k x 1 vektor N x 1

14 K. Usman and A.B. Suksmono

3.1.4 Algorima Penyelesaian Compressive Sensing.Seperti yang telah dibahas pada bagian sebelumnya, permasalahan compressive sensing terbagi dalam dua bagian yaitu bagian compressive sampling dan rekonstruksi. Permasalahan compressive sensing dapat disederhanakan pada menjadi permasalahan pemilihan matriks sensing A. Secara umum, matriks biner random dengan elemen 0 lebih banyak dari elemen 1 memenuhi keperluan kompresif sensing ini. Penyelesaian permasalahan Compressive Sensing oleh karena ini banyak tertuju pada masalah rekonstruksi.Terdapat 3 metode utama dalam menyelesaikan masalah rekonstruksi, yaitu:3.1.4.1 Optimisasi l1Permasalahan Compressive Sensing seperti yang tertulis pada persamaan (23) dapat diselesaikan dengan program linier (Linear Programming - LP) dengan pencarian matriks w, sehingga:

Permasalahan linear programming telah di-embedded-kan pada software komputasi yang ada saat ini, seperti Optimization Toolbox di Matlab atau pun CVX.

Candes : l1 Magic

3.1.4.2 Algoritma Greedy

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal : dari Capon’s sampai Compressive Sensing 15

3.1.4.3 Algoritma Pseudo Inverse dan modifikasinyaPenyelesaian permasalahan compressive sensing dengan pseudo inverse dan variasinya termasuk penyeleseian permasalahan compressive sensing yang

16 K. Usman and A.B. Suksmono

paling langsung. Permasalahan compressive sensing seperti yang dirumuskan pada persamaan (22) dapat diselesaikan dengan menghitung inverse dari matriks A (A-1). Dengan demikian sinyal x(n) semula adalah:

x (n)=A−1⋅y (n)(24)

Jika matriks A bukan matriks persegi, maka inverse dari matriks A berubah

menjadi pseudo inverse [Hayashi 2013].

x (n)=A+⋅y (n )=( AH⋅A )−1⋅AH⋅y ( n)(25)

Notasi A+ menyatakan pseudo inverse dari matrix A.Modifikasi lain dari pseudo inverse ini dilakukan oleh Irina Goronitski untuk memperoleh solusi paling sparse dari x(n) [Goronitski dan Rao 1997]. Skema ini diistilahkan oleh penulisnya dengan nama FOCUSS (FOCal Underdetermined System Solver). Algoritma ini terdiri dari proses iterasi yang langkah demi langkahnya dapat dituliskan sebagai:Algoritma FOCUSS ini sederhana dalam implementasinya. Algoritma FOCUSS cukup luas dipakai, baik di bidang biomedis [Zou W et. al 2007] mau pun di bidang array synthesis [Zhang 2003] s1 : lakukan inisialisasi nilai x(n) tak nol sebarang.s2 : set Wk = diag(x(n))s3 : hitung qk = (A.Wk)+.y(n)s4 : update nilai x(n) dengan nilai Wk.y(n)s5 : ulangi langkah s2 sampai x(n) sparse.

4. COMPRESSIVE SENSING PADA ESTIMASI ARAH KEDATANGAN

Pada Sub-bagian 2, telah dibahas upaya penyederhanaan yang terdapat pada Algoritma estimasi arah kedatangan, yaitu kompleksitas perhitungan. Para peneliti melakukan modifikasi-modifikasi serta manipulasi matematik antara lain untuk menghidari perhitungan eigen-analysis mau pun transformasi unitary untuk memetakan nilai kompleks ke dalam nilai real. Pada bagian ini akan dibahas upaya lain untuk mengurangi kompleksitas perhitungan yaitu dengan cara pengurangan jumlah sampel sesuai prinsip dari compressive sensing. Para peneliti telah melakukan penggabungan teknik compressive sensing dengan estimasi arah kedatangan [13, 14, 15, 16]. Untuk keperluan pemahaman lebih lanjut dari algoritma Compressive sensing ini, maka penulis melakukan simulasi algoritma CS berbasis FOCUSS yang dikembangkan oleh Irina dan Rao [16].

Simulasi DoA.

Bagian 5 mengilustrasikan permasalahan yang masih harus diselesaikan pada teknik penggunaan compressive sensing pada estimasi arah kedatangan.

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal : dari Capon’s sampai Compressive Sensing 17

Bagian 6 adalah proyeksi arah penelitian ke depan dan menutup diskusi pada paper ini.

ACKNOWLEDGMENTSThe authors would like to thank Ms. Irma Zakia and Mr. Suyoto for fuitfull discussion. This research is funded by Ministry of Education of Indonesia through BPPS scholarships and Yayasan Pendidikan Telkom, Indonesia.

REFERENSI

18 K. Usman and A.B. Suksmono

1 Sidney P. Applebaum. 1976. Adaptive Array. In IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. Ap-24, No. 5, September 1976

2 Van Veen, Kevin M Buckley. 1988. Beamforming: A Versatile Approach to Spatial Filtering. In IEEE ASSP Magazine April 1988.

3 Henry Cox, Robert M. Zeskind, Mark M. Owen. 1987. Robust Adaptive Beamforming. In IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. Assp-35, No. 10, October 1987

4 J. Capon. 1969. High-Resolution Frequency-Wavenumber Spectrum Analysis. In Proceedings of the IEEE, Vol. 57, No. 8, August 1969.

4 Peng Chen, Xiang Tian, Yaowu Chen, Xiaofan Yang. 2008. Delay and Sum of Beamforming on FPGA. In ICSP Proceeding 2008.

5 Yuan Zeng, Richard C. Hendriks. 2014. Distributed Delay and Sum Beamformer for Speech Enhancement via Randomized Gossip. In IEEE/ACM Transactions on Audio, Speech, and Language Processing, vol. 22, No. 1, January 2014

6 G. H. Golub and C. F. V. Loan. 1990. Matrix Computation. Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, 1996.

7 Michael Zoltowski. 1988. On the Performance Analysis of the MVDR Beamformer in the Presence of Correlated Interference. In IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing IEEE Vol. 36, No. 6, June 1988

8 Leverett Bezanson, Kevin D. LePage, Robert Been.The Subarray MVDR Beamformer for Active Littoral Sonar Systems. In Proceeding of Oceans - San Diego, 2013

9 Ralph O. Schmidt. 1986. Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation. In IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. Ap-34, No. 3, March 1986

10 Mostofa Kaveh, Arthur J. Barabell. 1986. The Statistical Performance of the MUSIC and the Minimum-Norm Algorithms in Resolving Plane Waves in Noise. In IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-34, No. 2, April 1986.

11 Petre Stoica, Arye Nehorai.1989. MUSIC, Maximum Likelihood, and Cramer-Rao Bound, In IEEE Transactions on Acoustics. Speech. and Signal Processing. Vol 37. No 5.May 1989

12 Arthur J. Barabell. 1983. Improving the Resolution Performance of Eigenstructure-Based Direction-Finding Algorithms. In IEEE Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1983

13 Michael Zoltowski, Cherian Mathews. 1992. Direction Finding with Uniform Circular Array Via Phase Mode Excitation and Beamspace Root-MUSIC. In IEEE Proceeding 1992, pp. V245-248

14 Barry Van Veen and Bruce Williams. 1988. Structured Covariance Matrices and Dimensionality Reduction in Array Processing. In Fourth Annual ASSP Workshop on Spectrum Estimation and Modeling, 1988

15 G. Xu, S. D. Silverstein, R. H. Roy, and T. Kailath. 1994. Beamspace ESPRIT. In IEEE Transactions on Signal Processing. Vol. 42, no. 2, pp. 349–356, Feb.1994.

16 Marius Pesavento, Alex B. Gershman, Martin Haardt. 2000. Unitary Root-MUSIC with a Real-Valued Eigendecomposition: A Theoretical and Experimental Performance Study. In IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 48, No. 5, May 2000

17 P. Comon and G. H. Golub. 1990. Tracking a few extreme singular values and vectors in signal processing. In Proceeding IEEE, vol. 78, pp. 1327–1343, Aug. 1990.

18 R. Roy, A. Paulraj, T. Kailath. 1986. Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques – ESPRIT. In IEEE Military Communications (MILCOM) Conference - Communications-Computers. 1986.

19 Martin Haardt, Joseph Nossek. 1995. Unitary ESPRIT: How to Obtain Increased Estimation Accuracy with a Reduced Computational Burden. In IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 43, no. 5, may 1995

20 Harry Nyquist. 1928. Certain Topics in Telegraph Transmission Theory. In Transaction of AIEE, Vol. 47, pp. 617–644, Apr. 1928

21 C. E. Shannon. 1949. Communication in the Presence of Noise. In Proceeding of Institute of Radio Engineers, Vol. 37, No. 1, Jan. 1949

22 David L. Donoho. 2006. Compressed Sensing. In IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 52, No. 4, April 2006

23 Emmanuel Candes. 2006. Compressive Sampling. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006

24 Richard Baraniuk. 2007. Compressive Sensing. In IEEE Signal Processing Magazine. Volume 24. July 2007

25 Thomas Strohmer. 2012. Measure what should be measured: progress and Challenges in compressive sensing. In IEEE Signal Processing Letters, vol. 19, no. 12, december 2012 26 Kashunori Hayasi, Masaaki Nagahara, Toshiyuki Tanaka. 2013. A User’s Guide to Compressive

Sensing for Communications Systems. In IEICE Transaction on Communication. Vol.E86-B. No.3. March 2013.

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal : dari Capon’s sampai Compressive Sensing 19 27 Emmanuel Candes, Terrence Tao. 2005. Decoding by Linear Programming. In IEEE Transaction

on Information Theory. Vol.51. No.12. December 2005.28 Emmanuel Cand`es and Justin Romberg. L1-magic : Recovery of Sparse Signals via Convex Programming. http://users.ece.gatech.edu/~justin/l1magic/. Accessed at March 14 2014.28 Irina F. Gorodnitsky, Bhaskar D. Rao. 1997. Sparse Signal Reconstruction from Limited Data

Using FOCUSS: A Re-weighted Minimum Norm Algorithm. In IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 45, No. 3, March 1997

29 Zouch, W. ; et. al. 2007. Combining WMN and FOCUSS recursive approach to estimating the current density distribution in the brain. Engineering in Medicine and Biology Society, 2007. EMBS 2007. 29th Annual International Conference of the IEEE

30 Jiawei Zhang Nan Hu ; Ming Bao ; Xiaodong Li ; Wei He 2013 Wideband DOA estimation based on block FOCUSS with limited samples . Global Conference on Signal and Information Processing (GlobalSIP), 2013 IEEE

31 V. Krishnaveni, T. Kesavamurthy, Aparna B. 2013. Beamforming for Direction-of-Arrival (DOA) Estimation-A Survey. In International Journal of Computer Applications (0975 – 8887) Volume 61– No.11, January 2013

32 Ying Wang, Geert Leus, Ashish Pandharipande, Direction Estimation Using Compressive Sampling Array Processing, IEEE SSP 2009

33 Ali Cafer Gurbuz, James H. McClellan, A Compressive Beamforming Method 34 Ying Wang, Ashish Pandharipande, Geert Leus, Compressive sampling based MVDR spectrum

sensing, IAPR 2010

35 Jong Min Kim, Compressive MUSIC: A Missing Link between Compressive Sensing and Array Signal Processing, SIAM 2010

36 Steven M. Kay. 1993. Fundamental of Statistical Signal Processing – Estimation Theory. Prentice Hall International Editions. Englewood Cliffs, New Jersey. 1993