a measure of comovement for economic variables: theory - lirias

23
i@thi Lu L4Li4i?| uLh ,UL?L4U V@h@M*itG AiLh) @?_ ,4ThUt ht|LTi hL @hL 6Lh? wUhi3@ +iU*? LhhitTL?_i?Ui __hittG ht|LTi hLc ,+,5c Df @i 6# +LLtii*|c hi**it fDf i4@*G UUhL9*M@UMi

Upload: others

Post on 09-Feb-2022

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

� ������� � ������� � �� ��� ���� ����������

������ � � ��������

��������� ���� � � ��� ����� | ����� ������� }

Devwudfw

Nh|zrugv= Exvlqhvv f|foh/ Vhfwrudo frpryhphqwv/ frkhuhqfh/ jhrjudsk|1

Wklv sdshu sursrvhv d phdvxuh ri g|qdplf frpryhphqw ehwzhhq +srvvleo| pdq|,

wlph vhulhv dqg qdphv lw frkhvlrq1 Wkh phdvxuh lv gh�qhg lq wkh iuhtxhqf| grpdlq

dqg lv dssursuldwh iru surfhvvhv zklfk duh frvwdwlrqdu|/ srvvleo| diwhu vxlwdeoh wudqv0

irupdwlrqv1 Lq wkh elyduldwh fdvh/ wkh phdvxuh uhgxfhv wr g|qdplf fruuhodwlrq dqg lv

uhodwhg/ exw qrw htxdo/ wr wkh zhoo nqrzq txdqwlwlhv frkhuhqfh dqg frkhuhqf|1 G|qdplf

fruuhodwlrq rq d iuhtxhqf| edqg htxdov +vwdwlf, fruuhodwlrq ri edqg0sdvv �owhuhg vhulhv1

Pruhryhu/ orqj uxq fruuhodwlrq dqg frkhvlrq uhodwh lq d vlpsoh zd| wr frlqwhjudwlrq1

Frkhvlrq lv xvhixo wr vwxg| sureohpv ri exvlqhvv f|foh v|qfkurql}dwlrq/ wr lqyhv0

wljdwh vkruw0uxq dqg orqj0uxq g|qdplf surshuwlhv ri pxowlsoh wlph vhulhv/ wr lghqwli|

g|qdplf foxvwhuv1 Zh xvh vwdwh lqfrph gdwd iru wkh XV dqg JGS gdwd iru Hxurshdq

qdwlrqv wr surylgh dq hpslulfdo looxvwudwlrq irfxvhg rq wkh jhrjudsklfdo dvshfwv ri

exvlqhvv f|foh �xfwxdwlrqv1

MHO Fodvvl�fdwlrq= H6/ F4

����������� ������� ��������� ����� ������� �� �� ���� �������� �����

!���� "# ��� �����$�%� ��%�

�Xqlyhuvlw�h Oleuh gh Eux{hoohv/ HFDUHV|Xqlyhuvlw| ri Prghqd dqg FHSU}Xqlyhuvlw�h Oleuh gh Eux{hoohv/ HFDUHV dqg FHSU1

Page 2: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

� ���������� !

&�� � '( #����� � �� ����� (���� � � �� �� �� �' )��*���� ' ���+ �� ����#����

,� �' ��# �� �� � # �������#�� --�- �� ��#��� &��� �%��� ���� � � %� ��

���� �' ���� ���� �' ����#�� ����* ���� ��� %����� .� #���� ������ �' �� %�����

�*�� ���� � � �/� (���� ��#��#��� � � % ��� ��� %* � �- --�- � ����/��

#��� �* �� � �� �� (���� � ��� � ���� ����� % '��� �� ���"��� � ���� - ����

#�� ���#�� ���* # �������#�� ���%��/ �� ��� %* �� �#�� �� ��#��#��� %�(�

--�- ��� 0�(��� � � ����� ��*� ���� �� �� �' �� ' ��� �� � �� � �� (�� ���#���

�� �� (� � ��� �� #�� ���'���� �' # ���- �� ��#�����-*� )��#��#��+ ��

��� ��#� �����%�* �����%��- ��1��� ����#� ��� ����2���*� (��� # �* ��1���

������� ������ 3� � � � ��* �� ��*���� ' ��� �� (� � ����� # �������#��� % ��*��-

�� ��� ��4 �������� � # ��� �' ��#��#�� %�(� ��# ���� ������� �����

% ������ �� ������ # ���-'� ��(� �� ���� 2������ &� ��'��# � ���������

�� ��#��#��� � ��* �'�� �� ��#����- ���� �� ������ �' ����� ����� 0�(���

�� �� ������ � ( * (��� (���� �� ��# ���� ���� �� � � � �� (��� # ��#�� �'

��#��#��� �� % �� �� ������ �' � �/ ������� 5� ��� �� ������ !6778 (���� � �

��1��� # ���-� .� ���� � �-��* %���-� �� �� �' �����-� ���� 5��-� �� 9� �-��

!67:8� �(� ������� � �����-� �� �' �� ����� � �����* � '�2��* ��� � � � �/

��� �������� 59������ �� ; ���� !66<8� (���� �'�� �� ��� � ��#%�� ����� �'

����� �� ������� (���� � �' ��(� ���-����� ���� �� � ������ ��##�� ' ���

5��-� �� =����/�� !66>8� ��� ��� � ��#%�� ����� (���� � ������� %� (��� ����� ��

� �� ��'��# ���� �� ��##�� �*��� 5? ��� �� ��-� !66>8 (���� � �@�� � ��##��

' ��� �� @��� ��1���� '�� ������� (���� � �����-� ��� &��� �� �� �' �������

������ ��� � ���%�#�� ������ ��-� �����"����� ���� ����� �#���� ��� �� �#���� %*

�����-� ����� ��##�� �*��� �� ��##�� ' ��� 5A �� !66> �� ����� �� ��������

!6668� ������ ��� # ��� � %�� �*� ��� � #��� �(� ������� � ���� �����-� ��

�� ���� %� ( � �B� �� %���� ��1��� �-�� �' ����� ����� ��� ��*� �� ���� �� ��� '��

� �/ �������� ( �� �� ���# � �� � � #��� �' ?��� (���� # * % ���%�# ���

4Wklv uhvhdufk kdv ehhq vxssruwhg e| dq D1U1F1 frqwudfw ri wkh Frppxqdxw�h iudq�fdlvh gh Ehojltxh dqg

e| wkh Hxurshdq Frpplvvlrq xqghu wkh Wudlqlqj dqg Prelolw| ri Uhvhdufkhuv Surjudpph +Frqwudfw Qr

HUEIPU[FW<;03546,

!

Page 3: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

(�� �� �#%� �' ��# ���� �� � �-� ��� �� ��� � ����� (��� �� ������ �' � �/

������� �� ��� ���* ��������- �� �� � ����� ��# ����� �' �� �*� #�� �������� �'

#���� �� � ��# ����� �� �� ��� �� ������� � �� '�� �� ���* �' ��#��#����

� (� � �� � ������� � # �� �' ��#��#��4 .� ���� � �� ( ���( �� � ����"

��- ���%��/ 2 ������ ��/ ������ �� ������*� (���� � (���* �� �� ��# ����

���� ��� � ��� ������� � � ��#��#�� ������ 3 ������ �� �� %� ��1���

# ��� ������� ��������� (���� ��� 2�� � �� ��* '��# % ��� '�2��* ��# �� ��"

������ �*� #�� ����� ���� � � % ���#���� %* '�2��* �� '�2��* % �� �� � �

��� % �� �� ���* %����� �*�� � (�� � ���-"�� 2������� �*� #�� ����� ����

%�(� �(� ������� ��� % �� ���� �� �� % ������ � �� �� ��� ����� ���� �' �� � #

�������� '�� ��� %� ��"@�����-� ������� ���-"�� �*� #�� ����� ���� �� �� �� ��

��#�� ( * �� ����� ���� �����-� �����

3 � �� ������ �' �*� #�� ����� ���� �� �������� #���� �� � ���� �' ��#��"

#��� (���� ( � # �� ����� &� � ��� ������� �## �* # �� �' �� �-� �'

��#��#�� (����� -��� �' � �� %�� �� %�(� �(� -���� �' � �� %�� �� � � % ���

'�� ���� ��� � #���� �� �������� �*� #�� �������

&� ������ � �� ������� # �� �� �� ������ '���� #���� ����� ( ���# � ���"

���� �' ���� � � �� C� �� �� �� ���� � � ����� �� ���* �� '����(��- 2�������

�� ���� D�� ����� (����� ���� #�� ����� �� �� � ���� D�� ����� (����� ��

C� �� � ����� �� � # '�� %����� �*�� '�2���� �� �� ���- ��4 �� �� �� ��

������� (���� ��#�� #�� �����-�* �����* ��� �� '��# -�-� ���� � ����� �' ��(4

��� %���� # ���� '�� ���� �*�������� ���� �� � (� � '�2��* � �-4

� � ��� ���������

��� ��� ������� ��� ��� ��� ��������

������� �(� ���"# � � � ����� ���� ������� � �� �� �� �%5�8 �� �+5�8� �� � � � ��

% �� ����� � �����* '������� �' � �� � �� �%+5�8 % �� ��"�����#� &� # ��

( ������� �*� #�� ����� ����� ��

�%+5�8 E�%+5�8t

�%5�8�+5�8 5!8

<

Page 4: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

&� #���� � ���� # �� ( ������� �� ����� � ���#�������� �' �� ������� �| ��

�|� ���

�| E] Z

3Z

�b|��%5�8 �| E] Z

3Z

�b|��+5�8 5<8

(�� ��%5�8 �� ��+5�8 � 5��#���8 �����-�� � ����#�� ������� 5� �-� ���/(��

�� � ���� �� �� F8� ��������� < � *� �� � �| �� �| � � % ������ � G��@��� �#�B �'

( �� �' ��1��� '�2����� �� � ���- � ���# #������ �� �� (�� /��(�� �� ���"

�� � �� �����"����� � �����* '������� �' �| �� �| � �� �� �� �� %�� ������ ����

�� �� '����(��- ( *�

�%5�8 E � �5�b|��%5�88 E � �5��%5�88

�+5�8 E � �5��%5�88

�%+5�8 E ���5��%5�8 ��+5�88

�+%5�8 E ���5��+5�8 ��%5�88

5>8

3��� �� ( �� �� ���- �� ������ ���� 5<8 � ��#���� �� �� ���* �� �� �� �' �|

�� � �� ��� ��%5�8 E ��%5��8� �� �� �

�b|��%5�8 H 3�b|��%5��8 E < ���5��8��%5�8� < ���5��8��%5�8 5F8

(�� ��% �� ��% ����� ��������*� �� � � �� �� �# -�� �* � �� �' ��%� 0�� (

� � �� ���� ��� ������ ����

�| E <] Z

f

���5��8��%5�8� <] Z

f

���5��8��%5�8 5�8

(�� �� ��#����� � '�2��* � �� ���5��8��%5�8����5��8��%5�8� (���� �� � �� ��#�� ��*�

�� � � ( � ���#�������� �' �| ��

�| E <] Z

f

���5��8��+5�8� <] Z

f

���5��8��+5�8

�� �� ���* �%� ��� '��# 5>8 �� 5F8� �� ������� # ��� �%+5�8� �� ������- �� �� �

�� ����� ���� ��I���� %�(� �� � � ( �� �' '�2��* � �� ���- �� �� %��

������ ����� ��� ���5��8��+5�8� ���5��8��+5�8 �� ���5��8��%5�8� ���5��8��%5�8� &���

�� �� � ��� (�* �� # �� �� �@�� ���* '�� ���"�- ��� '�2����� �� �� ����� �

J� �8� �� ��*� �*� #�� ����� ���� � � � �* %�(� "! �� !�

>

Page 5: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

��� ��� ������� ��� ������� � ��� ���������

�*� #�� ����� ���� �� �������* �� �� �� %��� ������* �� ������K�(� (�� /��(�

����� �� ��# ���� ���� ��� ������* �� �@�� �

�%+5�8 E�%+5�8t

�%5�8�+5�8E

�%+5�8 H ��%+5�8t�%5�8�+5�8

(�� �%+5�8 �� 2 �� �� �����#� 0�� ������* �� ��#��� �� -�� � �� �� ���

�*##����� ��� �%+5�8 �� �+%5�8 � ��� 2 �� %� ���L- �� �*� #�� ����� ���� �%+5�8

�� �� � � � �� �' ������* �� � � ��� % �%� ��� %* �� -��- �������� � '�2��*

� �� ��� (���� ��� � ���L- ��

�%+5�8 E�%+5�8 H �%+5��8

<

* ���- 5>8 �� � �� � � ���* ���'* �� � �%+5�8 �� �� ����� ���� ��I���� �' ��%5�8

�� ��+5�8� 0�� �� ������� ���� �' ������* �� 2�� ��#�� � �� �� � �' �*� #��

����� ����� �� % ��� ��1��� %��- �� � �� '��#� �� �� �� �� �� ��#��� ������ ����

5<8 � ��� �� � �� � � ( � ���#�������� 5�8� ;� ����� ( *� ( ��#��* ������ ��-���

'�2���� � �� �� �� �� � �� �# -�� �* � ��� � ��� ��� &��� �� ��'���* ���������

(��� �� �#� ���� �� ( �� �' '�2���� � �� �� � � �� � # ���������*�

�- ����- ������K�� �2 ��"������*� � �� ��#��#� � ���K�� �� �@�� � ��

�2 �� #���� �' ������*� �� � ��

�%+5�8 E�%+5�8

2 H�%+5�82

�%5�8�+5�8E

� �%+5�8 �2

�%5�8�+5�8

&��'�� ������ �� � � �� �*##����� 0�(��� �� ��� ��� # �� ����� ���� �

��1��� '�2����� %� � �� ����- ��� �� �� � ��1���� %�(� � �� %��� &��� � �

% ���* �� %* �%�����- �� � �%+5�8 �� ��� �� �� (��� ����� �� ���'���- �� �������

��� ��#� ��� �� ������ %�(� �| �� �|3& �� �� � # � �� � �' �| �� �|� &����

%���� %��- � �##�� � ����2�� �' �� �@������� �� ��������� (��� �� (��"/��(�

������� ���� �' ������ � �� �2 '��# �� �-������ �' �| �� �� � ��� ����� �� '��

�' �|� �� ��*� �� ���� �-������� (���� �� ����#��� ��� �-����� �� �| �� �|3& � ����

# / �* ��1����

� ��1��� ( * �� � �� � # ����� �� ������� %* �� ��� � ������ ���� �' ��

�����"�����#�

�%+5�8 E �%+5�8�wEb�

F

Page 6: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

frequency

dyna

mic

cor

rela

tion

���� �� ������� �������� ���� �| ��� �|3�� �| ���� � �� �����

(�� �%+5�8 �� �� ���� (��� �5�8 �� �� � ��� * � /��- �� #���� �� %��� ���� ( �

�� � ��%+5��2 E �%+5�8

2� �� �� � �� �%+5�8 �� ��'��# ���� ���� ��� �� �� �� � �� �����

�� ������ ��� � #�� �' (� � ���� �� ���� �� ������� %* ���������- �� �(� ���

� �� �� (��� ���� ������� �| �� �|3�� &��� ������ �� 2 � �� �� � �� '�2�����

����� �� ' �� �� ����#��� ��� ����� ���� �' �� �(� ������� �� ���� * ����� ��� �

���(� �� ��-� !� �*� #�� ����� ���� � �-� '��# !� � '�2��* ���� �� "! � '�2��*

�� &� ����#��� ��� ����� ���� ��� �� �%� ��� %* �� -��- ��� '�2����� 3

� � ��'�� ������� ����� ���� ���* �� �� ���- ��� (���� �� 2�� �������� &� ��������

'�� �� ��'�� �- ��� ����� ���� � '�2��* �� ��� � ���������* <� �� ��� ��#��� ��

( �� �' ���������* �(� � ��'���* �� ���������� (��� ��#���� � --� �� ������

&� �� ���� %�(� �*� #�� ����� ���� �� �� ��� ����� ���� �� � ����� ��* ��#��

�� �� � � �' �| �� �|3�� �� � ��� �� �� ��#�� # � �' �� '��#� ��� �� ����� �

J� �8� &��� �� � �� �� ' �� �� � �| � � �����# ! � �� '�2����� .� �� -�� � � ��

���� ��#�� �� ���� ��� ��� ����� �� ���� �� �%� �� �� �� ��� ����� ����� #�� ��#���

'������ �' �� ����� ����� � ��1��� '�2���� �� ���� ��� -�� ��*� �� �� ����

%�(� �%+5�8 �� ����5�| �|3&8 '�� ��1��� � �� ��� ��#��� &�� ������ � %��� ��

'�� ���������- �� ������ �' �*� #�� ����� ���� '�� '�2��* % ��� (���� ( �� ��

�� '����(��- �%�������

�

Page 7: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

��� � ��� ��������� �� � ������� ����

�� � %-�� %* ���������- �� ������� �%� ��� %* �##��- �� ( �� �' �| �� �|

(����� -��� '�2��* ����� �� �� Mn E J�� �28� � � �� � �2 � �� M3

E J��2���8�

M E Mn � M3

��

�\| EU\�b|��%5�8 E <

U\n

���5��8��%5�8� <U\n

���5��8��%5�8

�\| EU\�b|��+5�8 E <

U\n

���5��8��+5�8� <U\n

���5��8��+5�8 5N8

�� �� (�� /��(�� ( � �

� �5�\|8 EU\�%5�8�� E <

U\n

�%5�8��

� �5�\|8 EU\�+5�8�� E <

U\n

�+5�8��

���5�\| �\|8 EU\�%+5�8�� E <

U\n

�%+5�8��

5:8

3 � � ��� �@� �� ����� ���� �' �| �� �| (����� �� '�2��* % �� Mn � �� 5�� ���8

����� ���� ��I���� �' �\| �� �\|� ���

�%+5Mn8 E

U\n

�%+5�8��tU\n

�%5�8��U\n

�+5�8��E

U\n

�%+5�8t�%5�8�+5�8��tU

\n�%5�8��

U\n

�+5�8�� 578

��������� 578 ����� % �� '�� ���� �� (�� ( � ������� �� �� ��#��#�� �'

�� �*���� � �� � ��� � ��#������ �' �(� ����#�� ����� ( � � ��#��* �� ���� ��

'�2��* % �� �' ������ 5'�� �� �*�� ( ���� ���� �-� ����� %�(� > �� !�

* ��8 �� �� ���/ � �� �*� #�� ����� ���� (����� ���� '�2��* % ���

���# 578 ( � �� �� �'���� ��*� ����� ���� (����� '�2��* % �� � ���� %

����������* �@�� � ��#�� �� - �' �� � �� � /� �� %* �� �*� #�� ����� ����

���� (����� �� % ��� #�� ��#���� �� '������� ��������- �� ����� �' %��� �| ��

�|� �� ���� O�� �� �� �� �� � ����� � � � �� E �� �2 E �� �%+5Mn8 ���� �� �� �� ���

����� ���� ��I���� %�(� �| �� �|� 0�� ( � � ����� �� ��� ����� ���� �� ����-

'��# �*� #�� ����� ����� 0�(��� ( � � �� G(�-��B ����� ����� � ��1��� '�2����

%* ���- ��'��# ���� '��# �� ����� � ������� �%5�8 �� �+5�8�

��� -�� ��*� ����� ���� � ��1��� '�2���� �� ��� �� �� �� ����� ���� � ��1���

� �� �� � -� %* ��#�� �� ����� .���� ���- (��� �%& �� �+& �� ������� ����� �' �| ��

�| � � - � �� (��� �%+& �� �����"����� ���� � � - �� ( � �

�%+5�8 E

S"

&'3" 3�b&5�%+& H �%+3&8�<tS

"

&'3" 3�b&�%&S"

&'3" 3�b&�+&

N

Page 8: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

�������*� %* �����-

�%+5�8 E

yxxw �%5�8�+5�8

� �5�|8� �5�|8

( � ��%+&H �%+

3&

<E]

Z

f

�%+5�8�%+5�8�b&��

0��� �� ���� �� �%� �� �%+5�8 ( #�� � ��� ���* �� �����"����� ����� %� ��� ��

������� ����� � ��1��� � -�� .� �� ���� ��������� ( � � �� ����� �� �� ����� �

�������P #������ ( � ���� -� �� �����"����� ����� � ��1��� � -�� %� ���* �� �#

�%+&H �%+

3&�

��� � ��� ��������� ��� ���� !��� ������"

�� �� �* �%����� �� �� # �������#�� ���� �� ��*���� ' ��� �� ��#��#��� �

�'�� ������ �� ��#� �' ����� ����� �' 0; @���� �� % ��"� �� @���� � � � &� ��

�� �� � �' ( ( �� �� � (���� �-� �� �*���� � ��#������ �' �� ����� �' �(� � �����

� �*���������� ( @��� � � �� ��� �� �� �*��� '��# �� ����� �� ��� ���/ �

����� ������

&��� ������ �� ������� ��* ��������� (��� �� # ��� ������� �� � ( ���� �� 0;

@�����- �� � ���� � �� (��"/��(� �(�"���� @���

�\5�8 E�2 � ��

�H

"[&'�

��� ��2 � ��� �����

5�& H �3&8 568

(�� � �� �� � - ��� ��� �� M E Mn � M3(��� Mn E J�� �28� M3 E J��2���8� ��

� � �� � �2 � �� 2

&� � ����� ������� �� �

�\53�b8 E

+! '�� � � M

� ����(��

5� �-� � �-��� !67:� ������ !!�N� �� <�68� �� �� � �� �����# �' �\5�8�|� (���� ��

2 � �� ��\53�b8�2�%5�8� �� 2 � �� �%5�8 '�� � � M �� �� ��� ��(��� 0�� ��

@��� ��#�� �� �� �� ( �� (��� '�2��* �� ����� �� ��� �� ����� � �� � ��

5Wkh deryh �owhu/ xqolnh wkh KS �owhu/ pxvw eh dssolhg wr vwdwlrqdu| gdwd/ vr wkdw li zh vwduw iurp wuhqghg

gdwd zh kdyh �uvw wr wdnh wkh gl�huhqfhv1

:

Page 9: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

��� �-� �� #����� �' �� ( �� (����� �� ����� �� � ���� # �� �� � �\5�8�| E

�\|� ��#�� ��*� �\5�8�| E �\|� .� '����(� �� �

����5�\5�8�| �\5�8�|8 E �%+5Mn8

�� ��*� �� 2�� ��� %�� �� �� '�� ������� � # ���� .� �� ���� �� �(� ���"

# ���� ������� (��� -�� ��1��� ������ 3�� ���# ���� �� ��'��#� %* ��@�����-

� � � ���� ���� �' �\5�8 �� ��� �� ���� �� ���* �� �� @��� ��# ����� ,� ��

���� � ��� ���# ���� �' �%+5Mn8 (��� � �� ���� �� �� �� �� ���# ���� �' ����� ��

�����"����� �

��# � ��� ��������� ��� ����"�����

�*� #�� ����� ���� � '�2��* ��� �� �� �� �� �� ������ �' G����� ���� �����-� ����B�

3 �� �� �� � �� 5!8 ������� !| �� "| � G����� ���� ��* �����-� ��B �' �� ���* �'

��� �� ��� � ��#%�� ���� !| � #"| (���� �� ����"�� ���� �*� ��� �� �� �� �# �'

�� ���� �* � �� %� �� ��� � ���#������� ���� $ H ��� O�( �� !| �� "| % 5!8 ��

�� �| E Q!|� �| E Q"|� &�� !| �� "| � ����� ���� ��* �����-� �� �' �� ���* �'

�%+5�82 E !

��� �*� #�� ����� ���� � '�2��* ��� �� ���� ! �� "!�

&��� �� ���* �� %* �%�����- �� � �%+5�8 E �%+5�8� �� �� � �' �%+5�82 E ! ���

�%+5�82 � �%5�8�+5�8 E �� ��� �� ���#�� �� �' �� ����� �"�����* # ���� �' �� ��"

��� 5Q!| Q"| 8� � ����� � ��� '�2��*�

� $������ ��� ���� ������

�� � ��( ������� ����� �' � � < � �� %�� �| E 5��| � � � �?| 8�� ������� �� �

�� �� ���"���# ���� ������� (�-��� " E 5"� � � � "? 8� �� �� � �� %�� �� �|� ,�

������� # �� '�� �� ����� � ������� �' �� � �� %�� �� �| �� #���� �� �� �� � #

# ��� � �� �� %�� �� � � � �� 2 �� �� (�-��� �� - �' �� �*� #�� ����� ������

� �@�� �� 5!8� %�(� �� �����%� � ��� �' ����� &��� (�-��� �� - (��� % � ���

������� �� 2 ��

���%5�8 E

S� �'� "�"��%�%�

5�8S

� �'� "�"�

5!�8

7

Page 10: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

&� # �� �' ������� (����� �� '�2��* % �� Mn E J�� �2R �� � ��-���* -��� %*

���%5Mn8 E

S� �'� "�"��%�%�

5Mn8S

� �'� "�"�

� ��* ��#�� ����� '�� �� (�-��� �� "� E ! '�� �� �� 3��� 2 � (�-��� # * (��/

(�� �� # �* � ��� ��* �� � ����� (�� ( � � (��� ������ �� �-���� (��� ��*

��1��� �#���� ��� ��� ���� ��� �' ( ( �� �� # �� �� ������� �' �� ��"� ���

����#� �' �� ���� � �������� �� �� � ��� %� �� -�� 9�# �* -� �� (�-�� �� �

��#%��-� � � �� � ����� '�� "� �� ���� � � (��� % �� ��� �' ����# �� ���� ����

�' �����* � � ��# ��

3 ���� �� �� -�� � ��#� �� �� (�-��� �� - 5!�8 '�� �(� � ����� ������ ��

�#� � ��� %� �� �2�� �� �� �' �� ����� �� �| � � ��(�� ������ �� � �� � ��

�� � -�� ������� �� ��� � �� '�2����� &��� ������* ���� (��� �� %�� �@�������

(�� � �� (��� % ���� �� (�� �������- �� �� -�� � ��#�� ������ �� �������� �' ��

�� -�� � ��#� (��� ���� ������� ������ �' �� �� � � #��� ��# �%�%�5�8 E �

'�� � E % �� � �� '�2���� �� �� �� '�� ��#������* "� E ! '�� �� �� ��������- ��

�@������ 5!�8 ( -� ���%5�8 E �� (��� �� �������� �' �� �� -�� � ��#� (��� -��

J�5� � !8 H !R��� �� �� � -��� (��� �(� ������ �� � �� %�� (��� � � ������� ���

(��� -��� (��� �� � ��(�� ������ �� � �� %�� (��� � � ������� ��!�

�� ��* ����%5�8� � ! �� ���%5�8 E ! �' �� ���* �' �� �' �� � �� %�� �� �| ��#��

��'���* � '�2��* �� .� � ����� �� ���{55�8 E ! �' �� ���* �' �� � �� %�� �� !| �

� ��(�� �����-� �� (��� �����-� ���- ����� 5! � !8� ��� ��* � � ��##�� ����

������ ���� �� 2 � ���- �� ������� �� �� ��# ��� ����/� ������� ���%5�8 E !

� �� '�2��* �' �� ���* �' �� �' �� ��|B� � ������ � ��� ��� � �� ��'��# �����

&� ��(� %��� �' �� ������� ���� �� �! '�� � E <� ����� �' � E <� �� ������� �'

�| �������� (��� �� �*� #�� ����� ���� ���� �' ��| �� �2| 5�� �������* �' "8� ���

� & < �� ��(� %��� �� -� ��� ���� �' ���� ( � ���� � � ��'�� � ��(�� �- ���

����� ���� (����� -��� �' ��� � �� %�� �� #��� &� ������ � ���� ������ ��� �� �

5!�8 � � % �(����� � ���%5�8 E 5"��b"�"�"8�

S� �'� "�"�� (�� �b �� ��/ ����� ����

# ����� %� ��( ���� ����- �� � ��(�� �*� #�� ����� ����� � '�2��* �� &��� ��������

� ���� % ��� �� � �"�"�S

� �'� "�"�� (���� � � ����� �� �� � ����� � ����� �' ��

(�-���� �� � #�� �� �� � � �' 2 � (�-���� (��� �� #���## !�5� � !8 �����- ��

��� � � -�� � �-��

6

Page 11: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

O�� �� �� (��� � ��(�� ����� ���� �#���� ��� �������� �� ������ �� ��� ���

(�� �%�����- �# �� ������� ���� ( � ���� ������-��� (���� �� ���-�� �� '��#

�# �� � ��(�� ��#��#��� �� � �- �- ��� �� ������� ��� �� ��� � �����- �� ��

������ &��� ���%�# ���� % ����� %* ���- �� ���� ��� # ��

���W%E

S� �'� "�"���%�%�

�S

� �'� "�"�

,� �� ���� � ��� ���W%� � �� ��� �� �� - �� � �� ��� ��� ������-��� %�(� �- "

��� �� ������� ��#��#���� .' ( ( �� �� �� �� %��� ��'��# ����� ( � � �� ���� %*

��#� ���- ��� �� ���W%�

&� ������� ���� � � % ���* -�� ���� �� � ���� # ����- �� �����"�������

%�(� �� �"����� �| �� �� '"����� �|� ��� �� � / �' ��#������*� �� � ��# '��

�� #�#�� �� � �| �� �| � � �� ��##�� �#���� �� � ����'* �(� ������ �' (�-���

"% �� "+� �����"������� �' �| �� �| � '�2��* � �� ��� -��� %*

���%+5�8 E

S?

�'�

S6

�'�"%�

"+��%�+�

5�8S

?

�'�

S6

�'�"%�

"+�

5!!8

O�� �� � �' %��� �| �� �| � �� � ��� �����"������� ���� �� �*� #�� ����� �����

.� ��# � �� �� ���� % ��������- �� � � � �� �����"������� �' �(� ���� ����- ���

�' � �� %��� .� ���� � � ( ����� ��#�� � '��# �� (�-��� �� - �� ��'"��#��#���

�' �� � �� %�� �� �� ����������� � ( � � ��� �� �@���- �� ������� ���� 5!�8�

0�� �� %�� �@������ �' �����"������� ����� % -�� ���� �� �� '����(��- ( *� ���

��� ���� � ��#������*� �� � ����� �� � �� %�� �� �| �� �| �� ��� ( * �� �� �' �| �� �|

� � � � �� %�� �� ��##��� �� � ��� � �� %�� ���� �� �� @��� � �� ��� &� -�� ����

���� �' �����"������� �� ���S

?

�'�

S6

�'�"%�

"+��%�+�

5�8�S

&

�'�"%�

"+�

S?

�'�

S6

�'�"%�

"+��S

&

�'�"%�

"+�

5!<8

��������- �� ���� �@������� �� �����"������� �' �| (��� �| �� 2 � �� �� ������� �' �|�

� %�!��� �!!�����& ������� ��� � %���!� ���

��� '(

.� ���� ������ ( � � � �� ��� �' ��#��#�� �' ���� D�� ����� %�(� ���� �

������� �� C� �� �� �� �-����� &��� ���%�# � � %� � �*�� %* # �* �����P

!�

Page 12: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

��#������� ���( �' �� ���� �� �� ������� %* �� �/ �� ���� 5!6668� ,� �� % ���

�' �� # �� �' ������� ( � %� �� %���- ������� �� ��# ' ��� �' ��#��#��

�� � � � %� ������/� �� ������ ������

3 � �*� �(� � ��� �' � � � �� ����� � ����# �' �� �! C� �� �� �� �� 9�;

�' ����� 3��"���� � � ������ � � � * ��*� '��# !6N< �� !66:� � ���� � ���

��#���� %* �� !! ��C ������� �� �� 7 �� �-���� � ��� � �*�� �� � ��*� 3

���/ � C� �-����� �� ������� �� �� ��� ���� �� ��� �� '��#� �� � �-� �� ��#� � %�

(��� �� � �' �� � �-�� ���� � � ������ &� ���� � � /� �� ��-"��1��� �� ����

��# �� ���� �*� 5��� ��'��# ���� �� �� � � �� '��� �� ������� .8�

�� � ����� � �� � �*��� ���� '( 2�������

� �������� ����� ��� �� ���� �� ���� ����� � �� ������ ��� ���� ����� ��� ��

� ���

��-� < ���(� ������� �' C� �-����� C� �� ��� ��C ������� �� ���� � �������

5�������- ��C8�� �� ������ ���� � ������� � ��� ������ �� � ��C ��������

(���� �� ��� � ��� ������ �� � C� �� �� � �� '�2����� ��� ��*� C� �-���� �

#�� ������ �� � C� �� ��� ����� %* --�- ���- �� �� ��� �� �����*��� ��� ����� �'

� �� ����� � ����� &��� ���������� �� �� ������ � ��(�

0�(��� (��� � %����� �*�� '�2���� 5 ���� !��� �����������- �� ����� �'

%�� F * ��8 �� ��1��� %�(� ���� �� C� �� � �-� � ��( '�2���� �� ��1���

�� #�� �# ���� &��� �*##��* %�(� ���-"�� �� �����"�� � � ��� %� #�� ����

�� �� ���� ��� ��-� > ������ �� ���� '�� C� �� �� �� ��C ������� ���- (���

<( %������ � ���@��� % ��� 5� ������� .. '�� �� ���8� &� % ��� �� ��� ���� � �

�*���� � '�2����� (�� � ��� �� ��* � �- ���� ����- �� �� ���-"��� &� � #

���� ����� (�� ��#� ���- �� � �-� �� �' �� ���� � ������� (��� C� �-���� 5��

���@��� % ��� � ��� ������ ��8� 3 ������ �� �� � ' � � �*�������� ���� �' ���-

�*��� �� �������� �� ��1��� %�(� ���� �� �� C� �� �# �� �� ���"��-��@� ���

(��� �� ������� ����� '�� �� �*��� � %����� �*�� '�2�����

� ������ ������� �� ������ ��� �� ������ ������� � �� ��� �� ������

� @��� ��(� �� -��� %* ��-� F� (���� ������ - �� (����� ������� �' C� �� �� ��

6Wr hvwlpdwh wkh vshfwud lqwhuyhqlqj lq wkh gh�qlwlrq ri g|qdplf fruuhodwlrq/ shulrgrjudpv vprrwkhg

zlwk d Eduwohww zlqgrz zlwk odj zlqgrz vl}h 9 zhuh xvhg1

!!

Page 13: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

US−regions

US−states

EMU

Europe

frequency

cohe

sion

���� � !� ���� �" � #� ��$������ � % ��$������ � ���� �" �& '��$������

!������� ��� � �� �(�$�����

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

frequency

cohe

sion

US−states

EMU

���� )� !� ���� "� �� ��� �(�$����� !��*��� ������ "� �� � �������� ��

� � � ��� "� �(� �� ��

!<

Page 14: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

frequency

cohe

sion US−states

EMU

Between

���� +� '�� �� ��� !���$!� ���� �" � ���� �" #� ��$����� ��� � ���� �" ��

�(�$�����

��C �������� ���- (��� �����"������� %�(� C� �� ����� 3 � �� � (�����

������� �' ��C ������� �� � �-� �� � �����"�������� %� - �� ��1���� ��� �� � ��

�� ���-"���

������ ( * �� ���/ � �� ���%�# �� �� � ������� � # �� �' ���� �� ��

��#����- ������� ,� ����� �� �� �� -��� �� �� C� �� ��e �� �� !: ���� �

������� 5�'�� ������� .8 �������- �� �� ( * �� � ���� � ���� � ����#� ��#�� ��-���

�� �� ����� �� �� �� ���- ���

3 ����� � '����(�� 3 @��� ��#�� �*� #�� ����� ����� ���5Mn8 %�(� �� � ���

�' �������S�� �� '�� -��� '�2��* % �� Mn�D &�� �� N: %* N: # ���� �' 5�������8

)�����#�� �����+ �5Mn8 �� ��#���� &��� # ���� � � �#���

���5Mn8 E !� ���5Mn8 5!>8

������� (���� �����-�* ��#�� (����� �� -��� '�2��* % ��� � � �# �� )�����#�� ��"

���+�

7Dodvnd zdv h{foxghg iurp wkh foxvwhu dqdo|vlv vlqfh lw dsshduhg wr eh/ qrw vxusulvlqjo|/ d kxjh rxwolhu18Lq sudfwlfh/ wkh lqwhjudo dsshdulqj lq gh�qlwlrq +;, ri �lm+�., zdv frpsxwhg e| qxphulfdo lqwhjudwlrq1

!>

Page 15: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

&� ������-��� %�(� �����"�� �� ���-"�� �*� #���� ( ��'��# � ��� ����� '�� �(�

��1��� '�2��* � �-�� �����������- �� �*��� �' ����� �' �-�� * �� �� ���-� 5���-"

�� �*� #���8 �� �*��� �' ����� ��� �� � �-�� * ��� ��������- �����"�� D�� �����

�� %����� �*�� �*� #����

,�� �� �����#�� ���* # ���� � � %� ��#���� �� �� �� �������- �����2� � � %

������ 3 ���� �� ���* �� #���� � ��������������� ������� S �����2 5��� �� ����

!66F8 (���� ������� �� N: ������� �� �� �� �� < ��#����� � �� �� &� ����� �

���� ��� %�(� �� ������ �� �� �� � � ��( ������ �� #�#�� �� �����#�� �����

��#��� %* 5!>8� ������� (���� � � %�- �����#�� ������ � � ������ ����� �� ��

�� � (���� � ' � ( * '��# �� ����� ���/��- � �� �%L��� �� �� �(�"��#����� �

�� �� # /� �� �����%� �� ���� �����%� ������ �� �������

.� ��-� � ( ������ � ����� �' �� ����� ���� �' #�����#����� � �� ���- % ��

�� �� ������� ������ '�� ���- �� ��#��#���� �� '�� %����� �*�� �� ����� ��

��#��#���� ���� � ������� � � %�� �� �� �� �� �� ( * (��� C� �� �� �

� %�� �������- �� (���� ��* %���- �� �-��� ! < � � � 7� &� �� �� �� @-� � ����

% ��������� ���* �� �� ��� ���� ��� %�(� � ��� �' �� �� � �#���� ���

&� ���� �' ��-� F � ���@�#�� ��� - ��� �*� #��� # ���� .� �� �����"���

���� � ������� � ������ �� �� ��� �' �� %�� �� C� �-���� �� �� ���� ���

(��� C= �� .�� �� %��- �� ������ �� C� �� �� 5���� ���@�#� ����� '��� �� ����� ��

�������� !6668� .� �� ���-"��� ��(��� �� �� � � ���� #�-� �� ���� %���-��- ��

�� C� � #��� ��-��� (��� ���� %���-��- �� ����� .� �� ���-"��� C� �� �� �

� ����� �� (��� �� ���� �� � � (��� ���� � � ������ ���% %�* �D����- �� 1��

�' ��##�� �������� ����/�

��� ��� �����

&� 2����� �' (���� %����� �*��� �' �� �� �� ������� (���� � ���� '��# -"

�-� ���� � ����� � #�� ����� �� �� �' ���� � ������ �� ����� �� �� � �� �' ��

���� - ���� #�� ���# �' ����#�� ����/�� � ��%�� @����- �� �� ���� �� �� �� � -"

�-� ��* # ���� '�� �� � �� �����* �� � � %� '��� �� � �� ��� # ���� '�� ����

����� ���� 5�� �/ �� � � 3������� !6668� ,� ����� �� �� �� � � � �� � ��� �� �#

'�� �� � � �� � /��- ���� ����� �*� #���� &� ���� ������ ( ��#��� '�� �� �� �

9Wkh surfhgxuh fpgvfdoh ri wkh vwdwlvwlfdo vriwzduh sdfndjh Vsoxv zdv xvhg iru wklv1

!F

Page 16: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

-0

.40

.00

.40

.8

AuBe

DkFiFr

WG

Gr

Ir

It

Lx

NlPoE

Sw

UKCH

No

56 5

8

71

2 2

55 8

7

3 3 445

5

1213 4 5

4

74

8

1

2 62 5

4

3

6

82

1 5

4

5

6

7

1 58 53

7

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0

.20

.00

.20

.40

.6

Au Be

Dk

FiFr

WG

Gr

Ir

It

LxNlPoESw

UK

CH

No 5

6

5

87

1

2

2

55

8

73

3

4

4

55

1 21

3 45

47

4

8

12

6

2

5

4

36

821 5

4

5 67158

537

���� #� ,��������� �" � #- ��$����� .����/� �� 0�����1 ��� � �& '��$������

������� �� � ���� �������� �� � � ���� �� ����2���� .��� *��1 ��� � �� ��

����2��� .��� *��1� 3 ��$����� � ����� �� � ����� �� � �� � � ������

!�

Page 17: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

5 �� �����*8� �� � ��� %�(� �� - ������� (��� ��-�%��� �� �� 5 �� �������8 ��

�� - ������� (��� �� �� �� 5 �� �������8� &��� � � % � /� � # �� �' ��

���� �� (���� )%���� # ����+�

��� �� C� �� � �� ���� � � ���� ( ��#�� �� '����(��- # ��

��5Mn8 E �� -�M��

���5Mn8

�� -� �'����5Mn8 5!F8

(�� )� �� �� �� �' ������ �' �� ��-�%�� �� �� �' �� � � �� ���5Mn8 �� �� �*� #��

����� ���� %�(� �� �� � �� % � �� ����� '�2��* % �� Mn�

��-� N ���( ����� '�� C� �� ��� &� � ��� 5!F8 � � %� ��#��� '�� ��* �� �

5(��� �� ������� �' �� �/ �� 0 ( ��� (���� � � �� ��-�%���8 �� '�� ���- �� '�2�"

��� 5Mn E J� ��FR8 �� ����� �� '�2���� 5Mn E J��F �R8� � ( � ��� �� �� �������-

� #��� &� # �� ��� � �� � �� �� �����"�� #��� �� �� � � ����� �� (��� ��

��-�%��� � (��� �� ���� �� ��� ���� ���� �� �� ���� �� !� &��� �� ��� ��������-�

-��� �� � �- ������� %�(� C� �� �� �� � ( � � '��� � %����� �*�� '�2����

5��-� <8� &� ���� ���@�#�� �� ��1��� ( *� �� � ��� �� ��� �' ��##�� �*� #���

� %����� �*�� '�2����� .� �� ���-"��� ��(��� ��� � �� �� (���� ��#�� #��

�����-�* (��� �� ��-�%��� 5���� ��� ��� �#��* �� � ���� �� �� ��#�� �����-�* (��� ����

��-�%���� �� L�� � *� �� � ��* � ��#����- #�� �����-�* (��� ���� ��-�%��� �� � (���

�� ���� �� ��8� O���� �� �� �� -�� �� �� � ���� � %�� ��� ����� ���- �� � %����

# �����. 0�( #�� %���� # ����� ��(��� ����� �� �� @��� �� � �� �� ��� �' ��

�� �� (���� �� 2�� � �� � �

& %� ! ������ �� ����� '�� ����� &�� ����� ����� % �������� (��� � ����

����� � �� �� �# �� �#%� �' ��-�%����- � ������ �"� �� '��# �� ���"� � #����

3�������"� �/ ��� ����� � �� � �� ��1��� �' ����� ���� (��� ��-�%��� �� ����� ����

(��� �� � ����� �� -�� ��* �� ������ ��* ��� ��-��@� ��� A ��� ����*� ( � � �%����

��(��� �� � %���� �� ���� # ���� ����� 5�� � ���� � -�� ��* � �-� �� � ��8�

%� ��� �� � �� �� C�� ������� �� ��1��� �� � ����� #�-� %�(� �����"�� ��

���-"�� � ����� &� ( / 1�� �' �� %���� '�� � ����� ����� ��� (��� (� � '��� � ��

�-��� � ��� 5A �� !66N8� �� ������� ����� ��� �--��� %* (� � '��� %* ����� ��

:Wkh qrq0sdudphwulf Zlofr{rq0udqn whvw lqglfdwhg wkdw dyhudjh orqj0uxq frpryhphqwv zlwk qhljkeruv

duh vljql�fdqwo| gl�huhqw +dw wkh 8( ohyho, iurp wkh dyhudjh orqj0uxq frpryhphqwv zlwk doo vwdwhv iru pruh

wkdq 93( ri wkh vwdwhv1 Uhvxowv duh dydlodeoh xsrq uhtxhvw1

!N

Page 18: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

long run

0.9-1.21.2-1.41.4-1.61.6-1.81.8-2.0

short run

0.9-1.21.2-1.41.4-1.61.6-1.81.8-2.0���� 4� 3 #- ��$����� .����/� ��� 5���� � 0�����1 ����� �������� �� � 2���

�" � � ���$��������$���� 6(� "� � ���� �� .��� *��1 ��� � � �� ��

.��� *��1�

!:

Page 19: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

�����* ���- �� � ����� �� � O�-�%���

� !�!� 5��6>8 !�>! 5����8 >

!��� 5����8 !�!N 5����8 F

�/ ��7: " !�N: " !

�� !��: 5��:N8 ��66 5��6!8 <

�� !��� 5��:>8 !�!: 5���!8 N

39 !�!: 5��!>8 !�<< 5����8 :

.� !�<F 5��!N8 !�<N 5���:8 >

�� <�!F 5��<!8 !�>> 5����8 >

O� !�<N 5��!�8 !�>� 5���!8 <

;� !�<� " !�!� " !

� !�<N 5��!�8 !�>> 5��<>8 <

�( ��7: 5��:N8 !�!� 5��N>8 <

�0 !�!6 5��<N8 !�<> 5����8 F

O� !�N� 5��N>8 ��F� 5��F!8 <

& %� !� ����� � �� �� '�� �� ���- �� �� �� ����� �� ��#��� '�� !F ���� �

�������� ;"� �� � -��� %�(� � ������� �� �� �#%� �' ��-�%��� �� �� �� � ��

���#��

������� 5!6668� �� �� � ���� � � ����� ���� �� ������ �' �-���� (��� ��1��� �-� �'

�*�������� ���� �� �� � -�-� ���� � 1��� � ��� �@�� %* ������� � %��� ����

# (����� ��� �������

&��� � �� � � ������� # �� �' �*� #�� ��#��#�� %�(� 5�����%�* # �*8 ��#

���� �� � #� �� �������� &� # �� �� �@�� �� �� '�2��* ��# �� �� �� ��

������� � '�� ���� ���� �* ������� ��� � �� �� �'�� �� � � (��� # �������#�� ��#

����� ������� (���� � ���� ���� �* �� @��� ��1����� .� �� %�� �� � � �� �� # "

�� �� ���(� �� ��������� �� �*� #�� ����� ���� �� �� �� �� ��� %� ��� 2 �� �� ��

(�� /��(� 2 ������ )������+ �� )������*+� &� #���� �� � # �� �� �� ����"

�������- (�-��� �� -� 3 ���( �� � ������� �� �� �� ��#�� ( * �� �����-� �����

������� �� �'� �� ���* ���%�#� �' %����� �*�� �*�������� ����� �� ������- �

!7

Page 20: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

�����"�� �� ���-"�� �*� #�� �������� �' #����� ��# ����� �� �����'* �*� #�� ���"

���� .� �� ��� �� ������� � ���� �� �� %���� ��*���� ' ��� �� ��#��#��� �' # �����"

��#�� � �� %�� � ����@� '�2��* % ��� �' �������

,� #����� � � �*��� �� ������� �' ���� D�� ����� (����� �� C�� (����� ����

�� %�(� C� �� ���� ������ �� �� �#���� �� �' �� �*� #�� ���#�������� �'

��#��#���� ����� ���( �� �� �� �� ���- �� 5�*��� ���-� �� � '�� * ��8� ������� �'

���� D�� ����� (����� �� C� �� ��� ��-��@� ���* ��1��� �� � ������� (����� ����

�� �� � C� �� �� � � ����� �� (��� �� ���� �� � � (��� ���� � � ������ ���% %�*

�D����- �� 1�� �' ��##�� �������� ����/� .� �������� ( ������ ����� �� ��

-�-� ���� � ������ �' �������� 3 ���( �� �� �� -�� �� �� �� 5�� � �����8 � #��

�����-�* ������ (��� ��-�%��� �� �� �� � (��� ���� �� �� 5�� � �����8� .� �� C�� ����

1�� �� �����-� �� �� ���-"�� �� � �� �� �����"���

������O���

���� ��=� �� ������ 9��� 5!6778 )O��� ����"� �/ ���-����� #���� '�� #�����

��# ����+ 7����� �" � ������ ����������� ������������ 7>� 7F6"7�N�

�/�(���� T� �� =��� �� ��� 5!66N8� )���� �����#��� �� ������ ����- &�# ����+�

������ ��� ��������� ���������� ���� ��� � ���� � ��� 3 ����-���� �����

!66N"F�

�/�(���� T� �� ��%���� ��U�� 5!6678� ) ������ ����- ����� �� � ����� �+� ,2�� �"

��������� ��� ������������ 7�� NNF"NN�

�� �/� &� �� ����� =� 5!6668� )&� ����� �' D�� ����� (����� �� ����� �������+� ��

9���0�� �� �� � � 3������� ���� 8����������� (������������� � #%���- C����"

���* ;���� '������#��-�

�� �/� &� �� � � 3������� �� 5!6668 ) ����� �� %����� �*���+� � �� ������ �

�� ���'��� )������ '��# ���� � ���� � ����#��� '�� ����� ���� � ����#���� T�

!!"!< � ���������# 9����� �(����� ���

���� &� ��� �� ���� ���� 5!66F8� (�������������� ������� � ������� �� �# � V 0 ���

!6

Page 21: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

��-�� ���� �� 9� �-�� ��3� T� 5!67:8� )�����-� ���� �� ���� ���������� ������ "

����� ���# ���� �� �����-+� ����������� ��� <�!"<:N�

��-�� ���� �� =����/�� �� 5!66>8 )&����- '�� ��##�� ' ���+� 7����� �" 6������ 9

�������� ����������� ���� !!� �� F�

������ �� �� �������� ��� 5!66N8 )�*� #�� ��##�� ' ����� �� � �- �����"�������+� ��$

������ ��������� <!� ��� <:"F<�

KKK� 5!6668 )��� � ������� �� ��� � ����#��� ���� �� �� C�+� ������ ���$

����� ,2��� '������#��-�

KKK� 5!6678 )��B� -� � �� ' ���� � �*��� � ���� �� �� ��� --�- �� %����� �*��

�*� #���+� T�*� ,2�� �" �������� �������

9������� ��� �� ; ���� .� 5!66<8� )���� ���W��� ���� ������ ���� �B�*����X�

� � ���W � ������ �B �� �+� �:��������; �������<� N7� �� <7>Y>�F�

������ �� �� 5!67<8 )����� � ���'�� �� �*���� � �#���*#��+� 7����� �" =�������� ����$

���� �-��� ��� :::"6>�

A �� �� 5!66>8 )��##��+� 7����� �" 6������ 9 ��������� ��� ����������� ���� !!� O��

F�

A �� �� 5!66N8 )�-��� � �����-�� ������ ����� ����+� ������ �������� ,2���

���� F�� ��>"��

� �-��� &� 5!67:8� (���������� 3 ��� <�� ������� �� �#�� ;���� ,�� ����

? ���� �� �� ��-�� ���� 5!66>8� )��##�� ����� �� ��##�� �*���+� 7����� �" ������

����������� 7� >F!"N��

<�

Page 22: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

�;;�O�.U !�

� � ����� �� � � �� �#��

�� �� ����� ������ ������ &� � � � +;���� � ����# 5C��8+ '��# ��.�� � � % �

������� %* �� � �' �����#�� �� �*���� �����#��� �� �� ������� ��#������ ���� �'

�� C� �� ��#�� �' ��##��� &� � � (� �D �� %* ����� ���� ���� 5 �� ��

�� �% � ����#��8� &� ��"�-���� � � %�� � O( ��-� �� 5!8� ��� �� 5<8� 9� �

� /� 5>8� ;� ��� 5F8� ���� �� 5�8� ����(�� 5N8� ���/* ���� �� 5:8� �� �� � � 3��

578�

� ������ ������� >�=� &� � � � 9�; � !66� # �/� ����� �D �� %* �� 9�;

�D ��� 5��� C�� !66�8� &� ���� �� ����� �� ������� �������� � ����� 5�8�

�-�# 5 8� 3�� 9�# �* 5398� �� �� 5�8� �� �� 5��8� .�� �� 5.�8� .� �* 5.�8� ��#"

%��- 5��8� O���� ��� 5O�8� ;���- � 5;�8� ���� �� 5��8 (���� '��# �� !! ��C"##%���

�����#��� N ���� ������� (� ��� �� �������� �� �� �' !: )3��"���� �+ ���"

����� �(����� �� 5��8� O��( * 5O�8� �(�� 5�(8� 9�� 59�8� ��# �/ 5�/8�

�;;�O�.U <�

������ ����- �����2

���@��� ��#��� ���� �� ���# �� ������� ��I����� (� ��#��� ���- %������ �

�����2�� �� �����( �' #����� '�� %������ ����- ��# ���� �� -��� �� �/�(���

�� =��� � 5!66N8� 3 ����� �� �� �� %���/ %������ � '�� �� ������� �' � � ����� �

����# (����� C� �� 9�; (����� �� ��C"�������� ��������* 5�'�� ������ F8� &�

�#%� �' ����� �� ( � <�� �� �� ��-�� �' �� %���/� ( � ����� �� % 2 � �� :� � �-

��-� �� �� �� �� �*���� � ��'��# ���� �� �� �����

&� ������%���� �' �� %������ � ����� �� ( � �� ����* ���� �� ���# � ��� &� -�

�� #�� ���� �� ���# � ������%����� �� ����� �"�� ��'��# ���� � � %� ����� �� ��

��#� �� �*� #�� ����� ������ &� ����� �"�� ��'��# ����� �� �'�� ����� ����� � ����

�

2�� 55! H �8�5!� �88� (�� �� � ��� # * � / �� � �� �� �� (��� � � ���� ���@���

��#��� (� ��� ��#��� �� �� �� ��'��#� � � %* �� < ("��� �� ��� ��'��#�� %*

���*��- �� ����� �' �� ����� �"�� ��'��# ����� ���� ���@��� ����� � '�� �� �� �

������� ���5�8

<!

Page 23: A Measure of Comovement for Economic Variables: Theory - Lirias

���� ������� �� �@�� �� �� '�2��* ��# ��� �� �� ��* �� ���- �� � �� ����� �

���� �� �' �/�(��� �� ��%��� 5!6678� * %������ ����- �� 5#���� �� �8 �����#

���� � �' �� ��# ���� ����'� ( � � � � ��#�� ���� ��#� ���� �� �����# ���

��� �� �� % ���#��� '�� �� %������ � ����� �� ;���#�� �* ����#��� �� ����

�������� (� ��� �� �����'�� ���% %�* � �� �� ' �� �� � �� ��# �� � �� �� �� ��

� #��� �� � ��� �# ��� �� ��� �� ���� ����� �� ��-���-�

<<