a felsŐoktatÁsi intÉzmÉnyek Által...

A MAB 2005/5/IV/2. sz. határozataKérelem

alkalmazott matematikus mesterképzési szak létesítésére

Kérelem

Alkalmazott matematikus mesterképzési szak létesítésére

BMGEDE

ELTEPTESZE

1



Tartalomjegyzék

I. Adatlap 3

II. A szaklétesítési kérelem indoklása 6

III. A szak képzési és kimeneti követelményei 88. A képzés főbb tanulmányi területei és azok arányai 99. A szak törzsanyagának rövid leírása 10Törzsanyag 10Differenciált szakmai anyag 13

Általános szakirány 13Alkalmazott analízis szakirány 14Sztochasztika szakirány 15Pénzügyi matematika szakirány 16Diszkrét matematika szakirány 17Operációkutatás szakirány 18Számítástudomány szakirány 19Műszaki matematika szakirány 20

2



Kérjük, hogy a beadásra kerülő kérelmeket a könnyebb kezelhetőség érdekében tartalomjegyzékkel és folyamatos oldalszámozással lássák el!A kérelmeket kétoldalas nyomtatásban (1 eredeti aláírású és 4 másolati példányban, valamint elektronikus formában is) juttassák el hozzánk.

A kérelem címzettje: az oktatási miniszterVéleményező: a Magyar Akkreditációs Bizottság

I. Adatlap

1. A kérelmező felsőoktatási intézmény neve, címe:(amennyiben több intézmény együttesen nyújt be kérelmet, fel kell tüntetni valamennyi intézmény nevét és címét)

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem,1111 Budapest, Műegyetem rkp. 3.Debreceni Egyetem, 4010 Debrecen, Egyetem tér 1.Eötvös Loránd Tudományegyetem, 1053 Budapest, Egyetem tér 1-3.Pécsi Tudományegyetem, 7633 Pécs, Szántó Kovács János u. 1/bSzegedi Tudományegyetem, 6725 Szeged, Dugonics tér 1.

2. A kérelem tárgya:Mesterképzési szak létesítése

3. A mesterszak megnevezése:Alkalmazott matematikus mesterképzési szak

4. Az oklevélbe bekerülő szakirányok:

Általános szakirányAlkalmazott analízis szakiránySztochasztika szakirányPénzügyi matematika szakirányDiszkrét matematika szakirányOperációkutatás szakiránySzámítástudomány szakirányMűszaki matematika szakirány

5. A szakképzettség megjelölése (szakirányonként, ha eltérő):okleveles alkalmazott matematikus

6. A szak javasolt képzési terület/ képzési ág szerinti besorolása:Természettudomány képzési területMatematikatudomány képzési ág

3



7. A szak javasolt tudományági besorolása:(a 169/2000. (IX .29.) Korm. rendelet melléklete szerint)Természettudományok -- Matematika és számítástudományok

8. A szak megfeleltetése a korábbi végzettség és szakképzettség szerint:(az előzmény szak(ok) elfogadott képesítési követelményei rendeletszámának megadása.)

166/1997 (X.3.) rendelet: egyetemi szintű matematikus szak, egyetemi szintű matematika tanári szak, főiskolai szintű matematika tanári szak193/2000 (XI.24.) alkalmazott matematikus szak200/2000 (XI.29.) a kreditrendszer bevezetéséről77/2002 (IV.13.) képesítési követelmények kreditrendszerű leírása

9. Dátum, és az intézmény(ek) felelős vezetőjének megnevezése, cégszerű aláírása, vagy az együttesen benyújtó intézmények elfogadó nyilatkozata:

Dr. Molnár Károlyrektor

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Dr. Nagy Jánosrektor

Debreceni Egyetem

Dr. Klinghammer Istvánrektor

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Dr. Lénárd Lászlórektor

Pécsi Tudományegyetem

Dr. Szabó Gáborrektor

Szegedi Tudományegyetem

Budapest, 2006. május 5.

4



10. Az adatlap mellékletei:- Csatoljuk a benyújtó intézmények szenátusainak határozatát a szak létesítésének

kezdeményezésére- Mellékeljük a szakmai egyeztetés jegyzőkönyvi kivonatát és az egyeztetésben

résztvevő szakmai képviselők felhatalmazását- Mellékeljük a felhasználói szférával folytatott egyeztetés jegyzőkönyvi kivonatát

(kivonat az MTA Matematikai Bizottságának ezzel kapcsolatos üléséről)

5



II. A szaklétesítési kérelem indoklása

(Legfeljebb 2-3 oldal terjedelemben, különösen azon szakoknál, amelyek nem számítanak „generikus”, a világban jól ismert, bevezetett szakoknak)

1. A szak létesítésének előzményei (a korábbi képzési rendszerből következő előzmények: egyetemi, főiskolai, szakirányú):

Az alkalmazott matematikus szak hosszú évek óta meghatározó felsőoktatási képzési forma a matematika tudományterületen. Ezen képzési forma legfőbb értékeit visszük át a lineáris, kétfokozatú képzési rendszerbe, amellett, hogy a képzés szerkezetét rugalmasabbá kívánjuk tenni. Az alkalmazott matematikus mesterképzési szak teljes mértékben épül a kérelmező intézmények által korábban ugyancsak konzorciális formában alapított matematika alapképzési szakra. Ezen szak oktatásának mind személyi, mind infrastrukturális, mind kutatási feltételei megvannak a kérelmező intézményekben, az alkalmazott matematikus képzés hagyományosan, nemzetközi mércével mérve is magas színvonalon folyik.

2. A korábbi egyetemi végzettségnek való megfelelés bemutatása:(lásd a követelményrendszer 8. pontját)

Az alkalmazott matematikus mesterképzési szak megfelel a korábban működtetett okleveles alkalmazott matematikus (egyetemi szintű) szaknak.

A mesterképzésben részt vett alkalmazott matematikusok (hasonlóan a korábbi alkalmazott matematikus hallgatókhoz) biztosítják a szakember-utánpótlást azon gyakorlati területeken, ahol a matematika alkalmazásainak magas szintű használata szükséges konkrét gyakorlati problémák megoldásához.

3. A szakképzettség várható hasznosítási területe a munkaerő-piaci, társadalmi igény a bemutatásával:

A mesterképzésben részt vett alkalmazott matematikusok (hasonlóan a korábbi alkalmazott matematikus hallgatókhoz) biztosítják a szakember-utánpótlást az alapos matematikai ismereteket, önálló problémamegoldó, modellalkotó tevékenységet és irányítási készséget igénylő alkalmazási területeken. A képzésben sikeresen részt vevő hallgatók a saját szakirányuknak (általános szakirány, alkalmazott analízis szakirány, sztochasztika szakirány, pénzügyi matematika szakirány, diszkrét matematika szakirány, operációkutatás szakirány, számítástudomány szakirány, műszaki matematika szakirány) megfelelő alkalmazási területen gyakorlatban közvetlenül kamatoztatható ismeretanyaggal és kompetenciákkal rendelkeznek.

4. Rövid nemzetközi összehasonlítás az új szak vonatkozásában - különös tekintettel az Európai Felsőoktatási Térségre (azonos vagy hasonló külföldi szakok megjelölése és összehasonlító bemutatása):

6



Az Európai Felsőoktatási Térség alapvető eszméinek megfelelően az a célunk, hogy hazai és nemzetközi értelemben véve konvertibilis szakot hozzunk létre. Ezt a konvertibilitást hazai értelemben biztosítják az előzetes egyeztetések az ország összes egyeteme és főiskolája között, amelyek jelenleg részt vesznek az alkalmazott matematikus képzésben. Nemzetközi értelemben a konvertibilitást a magyar matematika oktatás tradicionálisan magas színvonala biztosítja.

5. A szak képzési céljának és követelményeinek a rokon szakokkal történő összehasonlítása, illetve a karakterisztikus különbségek bemutatása:

Az alkalmazott matematikus mesterképzési szak egy-egy szakirányán a megfelelő szakterület műveléséhez szükséges gyakorlatorientált ismeretekre irányul a képzés, szemben a matematikus mesterképzési szakkal, mely a matematika tudományterületének az elméleti vonatkozásait célozza meg.

7



III.A szak képzési és kimeneti követelményei

a mesterszak KKK-ének teljes körű kidolgozása

1. A szak megnevezése (magyarul és angolul):Alkalmazott matematikus (Applied mathematics)

2. A képzési cél:Tudományos kutatási szintet elérő szakmai felkészültséggel rendelkező hallgatók képzése, akik matematikai szakmai tudásukat és gyakorlati tapasztalatukat képesek alkotó módon a gyakorlatban felmerülő matematikai problémák megoldására felhasználni. Képesek szakterületük és rokon területek új tudományos eredményeit kritikus módon befogadni. Képesek a gyakorlati problémák modellezésére, megoldására és a megoldás gyakorlati kivitelezésének irányítására.

3. Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése magyarul és angolul (ha szükséges, a szakirányok megjelölésével):

Mesterokleveles alkalmazott matematikusMaster of Science, Applied Mathematics

4. A végzettség szintje (MSc, MA): MSc

5. A modultanterv szerinti képzési idő, megszerzendő kreditek:- félévek száma: 4 félév- a (minimálisan szükséges) kontaktórák száma: 1200 óra- az oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma: 120 kredit

6. Az előzményként elfogadott alapszakok megnevezése, valamint a kritérium ismeretkörök és és kreditértékek meghatározása.

a. a bemenethez feltétel nélkül elfogadott alapszakok:matematika alapképzési szak

b. a bementhez megadott feltételekkel elfogadott alapszakok:a természettudomány, műszaki, informatika képzési területek valamennyi alapszakja, a gazdaságtudományok képzési terület közgazdasági képzési ágának gazdaságelemzés alapképzési szakjaEzen szakok hallgatói akkor nyerhetek felvételt az alkalmazott matematikus mesterképzési szakra, ha legalább 30 kreditnyi szakmai tárgyat teljesítettek a matematika alapképzési szak követelményeiből és megfeleltek az intézményi szakmai felvételi vizsgán.

7. A képzés eredményeként elvárt általános és szakmai kompetenciák:

A) A mesterképzési szakon végzett hallgató felkészült matematikai és rokon tudományterületekről származó új ismeretek elsajátítására, problémák kritikus és alkotó jellegű feldolgozására. Megfelelő absztrakciós képességgel és a tudományos munkához szükséges problémamegoldó képességgel rendelkezik. Képes ismereteit a gyakorlatban hasznosítani. A tudományág eredményeit kritikus módon értékelni tudja.

8



B) Képes a problémák belső törvényszerűségeit megérteni, rendszerszerűen és kreatívan új témakörökkel foglalkozni, feladatokat megtervezni és magas szakmai szinten végrehajtani.C) Céltudatos magatartással képes szakmai felelősségvállalásra, önálló döntéshozatalra, szakmai együttműködésre. D) A szakiránynak megfelelő területen képes speciális feladatok alkotó jellegű megoldására.E) Képes egy munkacsoportban dolgozni, rendelkezik az ehhez szükséges kommunikációs és nyelvi kompetenciákkal.

8. A képzés főbb tanulmányi területei és azok arányai az egyes tanulmányi területekhez rendelt kredithatárok megadásával (tól – ig) az alábbi bontásban:

Törzsanyag (kötelező ismeretkörök):

Elméleti alapozás 20 kreditA matematika alapképzési szak matematikus vagy alkalmazott matematikus szakirányán végzett hallgatók részére ezt a blokkot teljesítettnek tekintjük. A 20 kreditet választható matematikai tárgyak teljesítésével pótolják.Algebra és számelmélet alapjaiAnalízis alapjaiGeometria alapjaiValószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjaiInformatika és operációkutatás alapjai

Szakmai törzsanyag 20-30 kreditA hallgatóknak az előírt kreditszámot úgy kell megszerezniük, hogy legalább 4 témakörből kell tárgyat teljesíteniük. Bizonyos tárgyak kötelezővé tehetőek.Diszkrét matematika 5-12 kredit Operációkutatás 5-12 kreditAlkalmazott analízis 5-12 kredit Sztochasztikus folyamatok 5-12 kredit Algoritmuselmélet 5-12 kredit

Differenciált szakmai anyag Szakirányok: választandó egy szakirány: 40-60 kredit

Általános szakirányAlkalmazott analízis SztochasztikaPénzügyi matematikaDiszkrét matematikaOperáció kutatásSzámítástudományMűszaki matematika

Szabadon választható ismeretek 6 kredit

Diplomamunka 20-30 kredit(több, a diplomamunka elkészítését segítő konzultációs félév kreditszámának összege)

9



9. A szak törzsanyagának rövid leírása, a szak törzsanyagára jellemző ismeretkörök (alapozó modulok, szakmai törzsmodulok) összefoglaló kibontása a kredithatárok megadásával:

Törzsanyag

Elméleti alapozás 20 kredit

A matematika alapképzési szak matematikus vagy alkalmazott matematikus szakirányán végzett hallgatók részére ezt a blokkot teljesítettnek tekintjük. A 20 kreditet szabadon választható matematikai tárgyak teljesítésével pótolják.

Algebra és számelmélet alapjai

Unitér terek. Normális és unitér leképezések, unitér mátrixok, spektráltétel. Mátrixok hasonlósága és polinommátrixok kanonikus alakja. Lineáris transzformációk és mátrixok minimálpolinomja, Cayley-Hamilton-tétel. Jordan-féle normálalak és kiszámítása. Sajátvektor és gyökvektor. Kvadratikus alakok, Sylvester tétele.Algebrai struktúrák, generátorrendszerek, faktorstruktúrák, homomorfizmusok. A csoportelmélet alapjai: permutációcsoportok, Lagrange-tétel, normálosztók és faktorcsoportok. A gyűrűelmélet alapjai: ideálok és faktorgyűrűk. Testkonstrukciók, véges testek. Kongruenciák. Legendre-szimbólum. Diszkrét logaritmus (index).

Analízis alapjai

Metrikus terek: topológiai alapfogalmak, sorozatok, függvények határértéke és folytonossága. Korlátos változású függvények. Riemann-Stieltjes-integrál, vonalintegrál. Inverz- és implicit-függvény-tétel. Feltételes szélsőérték. Mértékelmélet, Lebesgue-integrál. Hilbert-terek, ortonormált rendszerek. Alapfogalmak a közönséges differenciálegyenletek elméletében. Lineáris differenciálegyenletek és differenciálegyenlet rendszerek.A numerikus analízis alapjai.

Geometria alapjai

Vektoranalízis: differenciálszámítás, vektorkalkulus 3-dimenzióban. Klasszikus integráltételek. Térgörbék, torzió és görbület.Fejezetek a topológiából: Topológikus és metrikus tér fogalma. Sorozatok és konvergencia. Kompaktság és összefüggőség. Fundamentális csoport.

Valószínűségszámítás és matematikai statisztikaalapjai

Kombinatorikus valószínűségszámítás, szitaformula, urnamodellek. Feltételes valószínűség, Bayes-tétel, sztochasztikus függetlenség. Diszkrét valószínűségi változók: binomiális, hipergeometrikus, negatív binomiális, Poisson. Valószínűségi változók és eloszlásfüggvény általános fogalma. Várható érték, szórásnégyzet, medián, momentumok. Nevezetes folytonos eloszlások: egyenletes, exponenciális, normális, Cauchy, log-normális. Együttes eloszlások, peremeloszlások, feltételes eloszlások. Várható érték

10



vektor, kovarianciamátrix. Több dimenziós normális eloszlás. Konvolúció. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség, nagy számok gyenge törvénye. Stirling-formula, Moivre-Laplace-tétel. Valószínűségszámítás mértékelméleti modellje. Borel-Cantelli-lemma. A feltételes várható érték általános fogalma. Független tagú sorok. Nagy számok erős törvénye. Karakterisztikus függvények alapjai. Centrális határeloszlás-tétel. Alapfogalmak: regresszió, statisztikai sokaság, véletlen minta, empirikus eloszlás, Glivenko-Cantelli-tétel, Kolmogorov-Szmirnov-tételkör, elégségesség, teljesség, nevezetes statisztikák. Becsléselmélet alapjai, maximum likelihood-becslés. Fisher-információ. Cramer-Rao-egyenlőtlenség. Blackwell-Rao-tétel. Bayes-módszer, momentum-módszer. Hipotézisvizsgálat. Neyman-Pearson-lemma. Konfidenciaintervallumok. Paraméteres próbák: t-, u- és F-próba. Lineáris modell. Nemparaméteres próbák: 2- és Kolmogorov-Szmirnov-próba. Statisztikai próbák konstrukciója és aszimptotikus viselkedése.

Informatika és operációkutatás alapjai

Programcsomagok használata az algebra, analízis, geometria, numerikus matematika területén. Lineáris programozás alapjai.

Szakmai törzsanyag 20-30 kreditA hallgatóknak az előírt kreditszámot úgy kell megszerezniük, hogy legalább 4 témakörből kell tárgyat teljesíteniük. Bizonyos tárgyak kötelezővé tehetőek.

Diszkrét matematika 5-12 kredit

Testbővítések elmélete és alkalmazásaik. A véges testek elmélete és alkalmazásaik. Kriptográfiai alapfogalmak. Az algoritmuselmélet alapfogalmai és alkalmazásai.Gráfok magasabb összefüggősége, diszjunkt fák és fenyők, az összefüggőség növelése. Gráfok és hipergráfok színezései, perfekt gráfok. Párosítás-elmélet. Gráfok beágyazásai. Erősen reguláris gráfok. Az egészségi feltétel és alkalmazásai. Véletlen módszerek: várható érték és második momentum-módszer, véletlen gráfok, küszöbfüggvény. Extremális kombinatorika: extremális halmazrendszerekről és gráfokról szóló klasszikus tételek.

Operációkutatás 5-12 kredit

Folytonos és sztochasztikus optimalizálás. Alternatíva tételek, Minkowski-Weyl-tétel, pivot és belsőpontos algoritmusok, elipszoid-módszer; konvex optimalizálás: szeparációs tételek, konvex Farkas-tétel, Karush-Kuhn-Tucker-tétel, Lagrange-függvény és nyeregpont-tétel, Newton-módszer, belső pontos algoritmus; a sztochasztikus programozás alapmodelljei és megoldó módszerei; gyakorlati problémák.Diszkrét optimalizálás. Max folyam min vágás, Egerváry-dualitás, poliéderes kombinatorika, teljesen duális egészértékűség, párosítás-poliéder; gráfalgoritmusok, Magyar-módszer, Edmonds-Karp-algoritmus; NP-teljes problémák algoritmikus megközelítései: dinamikus programozás, Lagrange-relaxáció, korlátozás és szétválasztás, mohó algoritmusok; gyakorlati problémák.

Alkalmazott analízis 5-12 kredit

Ortogonális polinomok. Trigonometrikus- és ortogonális polinomsorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Fourier-transzformáció. Az approximációelmélet elemei. Stone-tétel, Bohmann-Korovkin-tétel.

11



Legjobb approximáció polinomokkal. Jackson tételei. Interpoláció. Spline-függvények. Approximáció racionális függvényekkel.Stabilitáselmélet. Periódikus megoldások. Peremérték-feladatok lineáris differenciálegyenletekre. A variációszámítás alapfeladata. Euler-Lagrange-differenciálegyenletek.Geometriai módszerek a mechanikában. Lagrange- és Hamilton-rendszerek. Legendre-transzformáció. Euler-Lagrange-egyenletek, Hamilton-egyenletek. Szimmetriák és megmaradási tételek. Alapfogalmak a parciális differenciálegyenletek elméletében. Karakterisztikus függvény, első integrálok. Elsőrendű lineáris és kvázilineáris egyenletek. Elsőrendű egyenletek karakterisztika elmélete, Cauchy-feladat. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakra hozása. Goursat- és Cauchy-feladat hiperbolikus egyenletekre. Vegyes feladat hullámegyenletre. Fourier-módszer. Vegyes feladat hőegyenletre, maximum-tétel. Cauchy-feladat hőegyenletre, Duhamel-elv, Peremérték-feladatok potenciálegyenletre. Fixponttételek és alkalmazásaik.

Sztochasztikus folyamatok 5-12 kredit

Négyzetesen integrálható folyamatok. Gyengén stacionárius folyamatok, lineáris szűrők. Az idősorok analízisének elemei. Erősen stacionárius folyamatok, ergodikus tételek. Diszkrét és folytonos idejű Markov-láncok és alkalmazásaik. Az Itô -féle sztochasztikus integrál, sztochasztikus differenciálegyenletek, diffúziós folyamatok.

Algoritmuselmélet 5-12 kredit

Rendezés és kiválasztás, kupac. Dinamikus programozás. Gráfalgoritmusok: szélességi és mélységi keresés, feszítőfák, legrövidebb utak, folyamok. Kereső-fák, amortizációs idő, Fibonacci-kupac. String-keresés. Huffman-kód. Lempel-Ziv-Welch tömörítési eljárása.

12



Differenciált szakmai anyag (szakirányok)

10. Az oklevélbe bekerülő szakirányok bemutatása. (Ez esetben a szakirány 30 kreditnél nagyobb kredittartalmú legyen.)

Általános szakirány

Numerikus matematika. Mátrixok ortogonális triangularizációja, a QR-algoritmus, általánosított inverz. Függvények minimalizálása, lejtő módszerek, lineáris egyenletrendszer megoldása gradiens- és konjugált gradiens módszerrel. Periodikus függvények diszkrét négyzetes közelítése, a gyors Fourier-transzformáció. Közönséges differenciálegyenletek megoldásának numerikus módszerei. Kezdetiérték-probléma megoldása: Runge-Kutta-módszerek, prediktor-korrektor-módszerek. Peremérték-feladat megoldása: véges differenciák módszere, a célzás módszere, gyengén diagonálisan domináns és irreducibilis mátrixok, pozitív és monoton mátrixok. Parciális differenciálegyenletek megoldásának numerikus módszerei: a Poisson-egyenlet, a hővezetés egyenlete és a hullámegyenlet megoldása a véges differenciák módszerével.

Differenciálegyenletek. Kétdimenziós autonóm rendszerek. Peremérték-problémák. Nyeregpont-tulajdonság. Strukturális stabilitás. Elemi bifurkációk. Elsőrendű parciális differenciálegyenletek. Hamilton-rendszerek. Húrok, membránok, többdimenziós alakzatok rezgései. Hullámterjedés páros és páratlan dimenzióban. Hővezetési és diffúziós problémák. Maximumelvek. Stacionárius hőeloszlás, a Laplace-egyenlet. Harmonikus függvények, Harnack tételei, Green-függvények, Poisson-formulák. Fourier-módszer, Fourier-integrál. Nemlineáris parciális differenciálegyenletek.

A matematikai statisztika fogalmai és módszerei. Elméleti megalapozás. Elégségesség, teljesség, exponenciális eloszláscsalád, becslési módszerek és tulajdonságaik. Másodlagos mintavétel, jackknife, bootstrap. Véges sokaságból való mintavétel. Hipotézisvizsgálat exponenciális családban. Általánosított likelihood-hányados-próba, 2-próbák. Klasszikus nemparaméteres próbák. Élettartam-adatok elemzése, következtetés cenzorált mintából.

Információelmélet, algoritmusok és bonyolultságuk. Kódoláselmélet. Shannon-tétele. Speciális kódok. Hibajavító kódok. Klasszikus rejtjelrendszerek (pl. AES). Nyilvános kulcsú titkosírások. Az RSA kvadratikus test feletti verziója. Véges automaták és formális nyelvek. Kiszámíthatósági modellek: rekurzív függvények, Turing-gépek. NP-teljesség, Cook-tétel és néhány nevezetes NP-teljes probléma. Approximációs algoritmusok és az ezekhez kapcsolódó bonyolultsági osztályok.Adatstruktúrák. A poliéder-módszer gráfelméleti alkalmazásai. Közelítő algoritmusok. On-line algoritmusok.Számelméleti algoritmusok diszkrét logaritmusra, természetes számok faktorizációjára. Polinomok faktorizációja. Prímtesztek. Gröbner-bázisok és alkalmazásaik.

Integrálgeometria. Néhány Santaló-féle klasszikus eredmény. Gelfand-Helgason-féle tételek: Radon és más integrál-transzformációk, tomográfiai alkalmazások, alakfelismerési és rekonstrukciós eljárások.

Választható tárgyakAz alábbi tárgyak példák arra vonatkozóan, hogy milyen jellegű és színvonalú tárgyak szerepeljenek ebben a blokkban.

Dinamikus modellek. Differenciálegyenletek és differenciaegyenletek kvalitatív módszerei számítógéppel (stabilitás, bifurkáció, káosz). Populációs, közgazdasági, biológiai és mechanikai modellek és azok kezelése számítógépes programcsomagokkal.

13



Optimalizálás. Nem-lineáris programozás, Kuhn-Tacker-elmélet. A variációszámítás alapjai. Az irányításelmélet alapfeladata. A maximumelv és néhány alkalmazása.

Sztochasztikus folyamatok. Sztochasztikus differenciálegyenlet erős megoldásának létezése és unicitása, példák explicit módon megoldható differenciálegyenletekre. Laplace-transzformáció, felújításelmélet, Markov-félcsoportok: Hille-Yosida-tétel. Kockázati folyamatok: Lundberg tétele a csőd valószínűségéről, a Lundberg-kitevő becslése. A szubexponenciális káreloszlás esete.

Felületmodellezés. A sík baricentrikus koordinátázása. Felületek paraméteres megadása. Bezier-háromszög és -négyszög felületek. Racionális Bezier-felületek. Affin és projetív transzformációk, affin és projektív invariancia. Összetett Bezier-háromszög és -négyszög felületek, sima illesztés. NURBS-ök és MESH-ek.Magasabb algoritmikus geometria.Geometriai adatstruktúrák, keresések, kódolások, permutációs táblák, particionálás. Síkrendszerek, cellarendszerek, konvex burok és részhalmaz. Az eljárások átlagos viselkedése. Lineáris programozás geometriája. Hasonlóság megállapítására szolgáló eljárások. Algoritmusok tervezése.

Alkalmazott analízis szakirány

Az alábbi 3 témakör mindegyikéből választandó tantárgy legalább a megadott minimális kreditszámban.

Modellezés, természettudományos ismeretek min. 9 kredit

Modellalkotás és természettudományos alkalmazások. A modellezés folyamata a jelenség megfigyelésétől a matematikai modellig, számítógépes szimuláció. Biológiai modellek, transzportfolyamatok alapjai, kémiai reakciók modellezése, reakció-diffúzió rendszerek szimulációja a Mathematica programcsomaggal, pénzügyi folyamatokat leíró modellek. Alkalmazott analízis projekt.

Információ technológiai és vállalati ismeretek. A programcsomagok használatának általános elvei és technikája. Kész programcsomagok konkrét feladatokra való alkalmazásánál felmerülő problémák (kompatibilitás adatbázisokkal, fejlesztés, stb.). A vállalat általános működési elvei, felépítése, az alkalmazott matematikus feladatai az üzleti szférában (pl. pályázatírás, tárgyalástechnika, állásinterjú-felkészítés).

Differenciálegyenletek numerikus módszerei min. 9 kredit

A közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei. Elméleti megalapozás. A numerikus módszerek elméletének alapfogalmai. Stabilitási fogalmak és kritériumok. Elsőrendű kezdetiérték-feladatok és -rendszerek megoldása. Általános Runge-Kutta-típusú módszerek. Többlépéses módszerek. Merev rendszerek. Alkalmazások. Elliptikus és időfüggő parciális differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei. Véges elemek és véges differenciák módszere. Ritz- és Galjorkin-típusú módszerek. Bázisfüggvények megválasztása. Stabilitás, konzisztencia, konvergencia: Lax ekvivalencia-tétele. A numerikus módszer kvalitatív tulajdonságainak vizsgálata. Neumann-féle stabilitási kritérium. Az operátorszeletelés fogalma és alkalmazása absztrakt Cauchy-feladatokra.

Parciális differenciálegyenletek és numerikus megoldási módszereinek alkalmazásai. Maxwell-egyenletek és numerikus módszerei, származtatott termékek árazása – tőzsdei opciók árazása, szilárdságtani feladatok, a légszennyeződési jelenség matematikai vizsgálata, hálózatokon zajló folyamatok (folyam, diffúzió, hálózatok) kontrollja.

Differenciálegyenletek min. 10 kredit

Dinamikai rendszerek. Differenciálegyenletek fázisképeinek osztályozása a topologikus ekvivalencia szerint. Poincaré-féle normálforma. Stabilis, instabilis, centrális sokaság, Hartman-Grobman-tétel. Lokális vizsgálat

14



periodikus megoldások körül. Kétdimenziós vektormező indexe, a trajektóriák végtelenbeli viselkedése. Alkalmazások biológiai és kémiai modellekre. Hamilton-féle rendszerek. Dinamikai rendszerek bifurkációi, alapvető példák és alkalmazások. Oszcilláció kémiai reakciókat leíró differenciálegyenletekben. Bifurkációs diagrammok meghatározása, két kodimenziós bifurkációk. A bifurkációs görbék meghatározása biológiai modellekben. Strukturális stabilitás, attraktorok típusai. Káosz a Lorenz-féle meteorológiai modellben. Diszkrét dinamikai rendszerek.

Parciális differenciálegyenletek elmélete. Fourier-transzformáció. Szoboljev-függvényterek. Rugalmasságtani problémákra és a stacionárius hővezetés egyenletére vonatkozó peremérték- és sajátérték-feladatok gyenge (Szoboljev-térbeli), variációs és klasszikus megoldása. Kezdeti-peremérték-feladatok lineáris egyenletekre: a hővezetés egyenletére és a hullámegyenletre. A gyenge és a klasszikus megoldás vizsgálata a Fourier-módszerrel és a Galjorkin-módszerrel. Divergencia alakú kvázilineáris elliptikus egyenletekre vonatkozó peremérték-feladatok gyenge (Szoboljev-térbeli) megoldása a monoton és pszeudomonoton operátorok elméletének felhasználásával. Elliptikus variációs egyenlőtlenségek. Divergencia alakú kvázilineáris parabolikus egyenletek és funkcionál-differenciálegyenletek. A megoldások kvalitatív tulajdonságai. Kvázilineáris hiperbolikus egyenletek.

Választható tárgyak min 5 kreditAz alábbi tárgy példa arra vonatkozóan, hogy milyen jellegű és színvonalú tárgyak szerepeljenek ebben a blokkban.

Végtelen dimenziós dinamikai rendszerek. Operátor-félcsoportok lineáris elmélete. Absztrakt lineáris Cauchy-feladatok, a Hille-Yosida-elmélet. Félcsoportok és generátorok spektrálelmélete. Félcsoportok stabilitása és hiperbolicitása, további aszimptotikus tulajdonságok. Pozitív félcsoportok. Inhomogén egyenletek. Szemilineáris egyenletek, egzisztenciatételek, analitikus félcsoportok. Példák: reakció-diffúzió-egyenletek, a Korteweg-deVries-egyenlet.

Sztochasztika szakirány

Statisztika min. 15 kreditA matematikai statisztika fogalmai és módszerei. Elméleti megalapozás. Elégségesség, teljesség, exponenciális eloszláscsalád, becslési módszerek és tulajdonságaik. Másodlagos mintavétel, jackknife, bootstrap. Invariáns modell, ekvivariáns becslések. L- és M-becslések. Robusztusság. Véges sokaságból való mintavétel. Hipotézisvizsgálat exponenciális családban. Általánosított likelihood-hányados-próba, 2-próbák. Klasszikus nemparaméteres próbák. Élettartam-adatok elemzése, következtetés cenzorált mintából. Öregedő eloszlások osztályai, koherens rendszerek, sokk-modellek.

Többdimenziós statisztikai eljárások. A többdimenziós normális eloszlás és a ráépülő statisztikai modellek és eljárások. Osztályozási módszerek. Kontingenciatáblák elemzése, loglineáris modell. Nemparaméteres és robusztus többdimenziós módszerek

Statisztikai programcsomagok. Legalább két különböző statisztikai programcsomag átfogó ismerete: a programcsomag kezelése, az elérhető modellek ismerete, képesség a várható eredmények értelmezésére.

Időfüggő sztochasztikus rendszerek min. 15 kreditSztochasztikus folyamatok, sztochasztikus analízis. Martingálok és lokális martingálok folytonos időben, szub- és szupermartingál. Sztochasztikus integrál folytonos szemimartingál szerint (folytonos integrandus esete). Kvadratikus variáció, Itô-formula. Itô-integrál (lokálisan négyzetesen integrálható integrandus esete). SDE jósolható jobboldallal, erős és gyenge megoldás. Megoldás létezése és unicitása. Martingál-probléma, tempóváltás. Szemimartingál lokális ideje. Egydimenziós SDE.

Pénzügyi folyamatok. Részvények és kötvények diszkrét és folytonos időben. Arbitrázs. Martingál-mérték. Önfinanszírozó stratégiák. Hedge. Opciók valós ára. Cox-Ross-Rubinstein-formula. Black-Scholes-formula. Amerikai és egzotikus opciók diszkrét és folytonos időben. Sztochasztikus rövid és hosszú távú kamatlábmodellek.

15



Idősorok elemzése. Stacionárius folyamatok alapfogalmai. Autoregressziós, mozgóátlag-, ill. ARIMA-folyamatok. Bilineáris folyamatok. Becslések, periodogram. Korrelálatlanság, függetlenség tesztelése. Paraméterbecslési eljárások. Hosszú emlékezetű folyamatok. Frakcionálisan integrált és önhasonló folyamatok. A hosszú emlékezet és a Hurst-együttható becslése. A frakcionális differenciálás rendjének parametrikus becslései. LARCH-folyamatok. Rezsimváltó folyamatok. Idősorok maximumai, extremális index.

Választható tárgyak min 10 kreditAz alábbi tárgyak példák arra vonatkozóan, hogy milyen jellegű és színvonalú tárgyak szerepeljenek ebben a blokkban.

Biztosításmatematika. Az életbiztosítás matematikai módszerei. Díjkalkulációs elvek. Kockázat és káreloszlások illesztése. A kárgyakoriságok és kárhányadosok idősorainak elemzése és előrejelzése. Kockázati folyamatok. Tönkremenés-elmélet. Viszontbiztosítási formák.

Információelmélet. Kódolási tételek. Forrás- és csatornakódolás. Rate-distortion-elmélet. Több felhasználós hírközlő rendszerek. Adattömörítés. Adatbiztonság, kriptográfia. Információelméleti módszerek a matematikai statisztikában.

Pénzügyi matematika szakirány

Statisztika (min. 5 kredit)A matematikai statisztika fogalmai és módszerei. Elméleti megalapozás. Elégségesség, teljesség, exponenciális eloszláscsalád, becslési módszerek és tulajdonságaik. Másodlagos mintavétel, jackknife, bootstrap. Véges sokaságból való mintavétel. Hipotézisvizsgálat exponenciális családban. Általánosított likelihood-hányados-próba, 2-próbák. Klasszikus nemparaméteres próbák. Élettartam-adatok elemzése, következtetés cenzorált mintából. Többdimenziós statisztikai eljárások A többdimenziós normális eloszlás és a ráépülő statisztikai modellek és eljárások. Osztályozási módszerek. Kontingenciatáblák elemzése, loglineáris modell. Nemparaméteres módszerek a többdimenziós statisztikai analízisben. Randomizált módszerek nagyméretű problémákra. Statisztikai programcsomagok. Legalább két különböző statisztikai programcsomag átfogó ismerete: a programcsomag kezelése, az elérhető modellek ismerete, képesség a várható eredmények értelmezésére.

Sztochasztikus rendszerek (min. 15 kredit)Sztochasztikus folyamatok. Sztochasztikus differenciálegyenlet erős megoldásának létezése és unicitása, példák explicit módon megoldható differenciálegyenletekre. Pénzügyi folyamatok. A diffúziós folyamat, Kolmogorov egyenletei. Az exponenciális martingál, Girszanov tétele. Részvények és kötvények diszkrét és folytonos időben. Arbitrázs. Martingál-mérték. Önfinanszírozó stratégiák. Hedge. Opciók valós ára. Cox-Ross-Rubinstein-modell. Black-Scholes-formula. Sztochasztikus rövid és hosszú távú kamatlábmodellek. A Laplace-transzformáció, felújításelmélet, Markov-félcsoportok. Idősorok elemzése. Stacionárius folyamatok alapfogalmai. Autoregressziós-, mozgóátlag-, ill. ARIMA-folyamatok. Bilineáris folyamatok. Becslések, periodogram. Korrelálatlanság, függetlenség tesztelése. Paraméterbecslési eljárások. Hosszú emlékezetű folyamatok. Frakcionálisan integrált és önhasonló folyamatok. A hosszú emlékezet és a Hurst-együttható becslése. A frakcionális differenciálás rendjének parametrikus becslései. Biztosításmatematika. Életbiztosítás: kamatszámítás, kölcsöntörlesztés, halálozási táblák analízise, díjszámítás, járadékszámítás. Nem-életbiztosítás: nevezetes káreloszlások, az összetett kockázat modellje, Díjkalkulációs elvek: az átlagos érték elve és annak karakterizációja. Credibility-elmélet, a Bühlmnn-modell. Tartalékolási elvek. Kockázati folyamatok: Lundberg tétele a csőd valószínűségéről, a Lundberg-kitevő becslése. A szubexponenciális káreloszlás esete.

Gazdaságtudományok (min 15 kredit)Mikroökonómia. Erőforrások racionális felhasználása. Egyéni és piaci kereslet, fogyasztói többlet. A termelési technológia megválasztása. Piacformák összehasonlító hatékonysági elemzése. Kereslet és kínálat. Piaci elégtelenségek, állami beavatkozás. Az általános egyensúly. A csere és a termelés hatékonysági vizsgálata.

16



Makroökonómia. A makroökonómia alapösszefüggései. A nemzetgazdaság szereplői. Egyensúly a munkapiacon, árupiac. Az IS-függvény. A pénz lényege és funkciói. a pénzkínálat. a pénzkereslet. Az LM-függvény. A neoklasszikus és a keynesi makrogazdasági modell összehasonlítása. A költségvetési és a monetáris politika eszközrendszere. Munkanélküliség és infláció. A Phillips-görbe. A gazdasági növekedés fogalma, mérése, típusai. A Harrod-Domar-modell.Pénzügyi alapismeretek. A pénz kialakulásától a modern pénzig, pénzhelyettesítők. Kereskedelmi bankok, központi bank. A pénztömeg meghatározása. A pénzteremtés. Monetáris politika, költségvetési politika. A megtakarítás és a beruházások kapcsolata. Befektetési döntések elemzése. Értékpapírok, értékpapírpiacok, tőzsde. A fizetési módok. Devizaárfolyamok, devizapolitika és devizarendszerek. Aranypénz-rendszer. IMF. Világbank.

Választható tárgyakAz alábbi tárgyak példák arra vonatkozóan, hogy milyen jellegű és színvonalú tárgyak szerepeljenek ebben a blokkban.

Banküzemtan. Betéttípusok, kamatszámítási módszerek. Készpénzkímélő eszközök, a „virtuális“ pénz makrogazdasági hatásai. A banki kockázatok felsorolása, a hitelezés kockázatai, a kockázat felmérése, előrejelzése, bank fizetőképessége és likviditása, fizetőképesség fenntartása. Lízingdíj. Faktoring és forfetírozás. A banki források összetétele, jegybanki refinanszírozási technikák, a bankközi forintpiac.Biztosítás-gazdaságtan. Kockázatkezelés, a biztosítás fogalma és elemei. Biztosítási piac. A biztosítási kockázatok csoportosítása: életbiztosítások és nem életbiztosítások csoportosítása. Bankbiztosítás az EU-ban és Magyarországon.Vállalati pénzügyek. A vállalkozások pénzügyi döntései, a pénz időértéke, a speciális pénzáramok jelen- és jövőértéke. Hozam és kockázat, kötvények, törzsrészvények, elsőbbségi részvények befektetői értékelése, a tőkejavak árazási modellje. Beruházás-gazdaságossági számítások: NPV, IRR, PI, megtérülési idő, ARR. A beruházások kockázatának elemzési módszerei. A beruházások finanszírozása, az adósság, az elsőbbségi részvény és a saját tőke költsége, a vállalati átlagos tőkeköltség, az optimális tőkeköltségvetés meghatározása.Értékpapír-matematika.

Diszkrét matematika szakirány

Kombinatorikai algoritmusok. Mélységi és szélességi keresés. Legrövidebb utak, Dijkstra algoritmusa, Bellmann-Ford-módszer. Legrövidebb utak az összes csúcspár között. Floyd-Warshall-módszer. Körmentes irányított gráfok. Feszítőfák, minimális súlyú feszítőfák, Kruskal, Prim algoritmusa, mohó algoritmusok, a mohóság elvi alapjai. Matroidokra vonatkozó mohó algoritmusok. Keresőfák, bináris fák, kiegyensúlyozott fák. Páros gráfok párosításai, Edmonds párosítási algoritmusa. Rendező hálózatok. Hálózatok, hálózati folyamok. Általánosított folyamprobléma. Maximális folyam-minimális vágás tétele. Ford-Fulkerson, Karp algoritmusa.

Gröbner-bázisok. Gröbner-bázis polinomgyűrűkben, alkalmazásai számításokban. Ideálok elemei. Hilbert tétele (Nullstellensatz). Ismeretlenek kiküszöbölésének módszerei polinomiális egyenletrendszerekből. A Gröbner-bázis alkalmazásai.

Véges testek és polinomok. Véges testek struktúrája és automorfizmusai. Körosztási és irreducibilis polinomok. Polinomok felbontása véges testek felett. Berlekamp-algoritmus. Kombinatorikai alkalmazások.

Diszkrét optimalizálás. Lineáris algebra és komplexitás. Algoritmusok lineáris diofantikus egyenletekre. Poliéderekre, lineáris egyenlőtlenségekre és lineáris programozásra vonatkozó alapfogalmak, eredmények. A lineáris egyenlőtlenségek és lineáris programozás komplexitási kérdései. Khachiyan-módszer lineáris programozásra. A poliéderekre vonatkozó ellipszoid-módszer. Becslések az egész értékű lineáris programozásban. Az egész értékű lineáris programozás komplexitása.

Algebrai kódelmélet. Véges test, véges test feletti polinomok, aritmetika GF( )-ben. Információt hordozó jelsorozatok. A digitális információ kódolása és dekódolása. Blokk-kódok. Kódkorlátok. Mátrixos kódolási módszerek. Lineáris kódok. Lineáris kódok dekódolása. Ciklikus kódok. Speciális kódok: Hamming, Reed-

17



Solomon, BCH, Goppa, Reed-Müller, Golay. A BCH és Reed-Solomon-kódok dekódolása és spektrális tulajdonságai. Csoportkódok. Konvolúciós kódolás elemei, Viterbi-algoritmus.

Algoritmuselmélet. Az algoritmus általános fogalma. Turing-gép, mint az algoritmus egy modellje. Parciálisan rekurzív függvények (primitív rekurzív függvények), mint az algoritmus egy másik modellje. Kiszámítható függvények (Turing és rekurzív módon). Church-tézis. Rekurzív és rekurzívan felsorolható predikátumok és halmazok. Műveletek kiszámítható függvényekkel és predikátumokkal. Eldönthető és eldönthetetlen problémák. Nem rekurzív halmazok, rekurzívan nem szeparálható halmazok. Eldönthetetlen elméletek (általános ismertetés). Más algoritmus-modellek (RAM-gépek; kanonikus Post-rendszerek). Algoritmusok bonyolultsága (általános ismertetés).

Kriptográfia. Kriptográfiai alapfogalmak. Szimmetrikus és aszimmetrikus kriptográfiai rendszerek. Privát kulcsú kriptorendszerek: blokkódolás, CAESAR, véletlen kulcs, rotor gépek, DES, AES. Az egyirányú függvény fogalma. Nyilvános kulcsú titkosírási módszerek: RSA, diszkrét logaritmus, diszkrét elliptikus logaritmus. Kriptográfiai protokollok: kulcs-csere, azonosítás, titokmegosztás, időpecsét, elektronikus aláírás, zero-knowledge-proof. A kriptoanalízis módszerei: szótárak, statisztikai vizsgálatok, faktorizáció. Aktuális témák kriptográfiából.

Választható tárgyak min 5 kreditAz alábbi tárgy példa arra vonatkozóan, hogy milyen jellegű és színvonalú tárgyak szerepeljenek ebben a blokkban.

Algoritmusok diofantikus egyenletek megoldására. Lánctörtek alkalmazásai a diofantikus approximációk és Pell-egyenletek elméletében. Baker-módszer, redukciós módszerek (Davenport-lemma, LLL alkalmazása), szitamódszerek, leszámlálási módszerek.

Operációkutatás szakirány

Diszkrét optimalizálás (9-24 kredit)Egészértékű programozás: Chvatal-Gomory-vágások, szubadditív dualitás, vágások szubadditív függvényekkel; leszámlálás; dinamikus programozás; heurisztikus módszerek; speciális feladatok (hátizsák, halmaz fedési, utazó ügynök probléma) és ezek közelítő megoldásai. Kombinatorikus optimalizálás: Poliéderes módszerek (párosítás poliéder, szubmoduláris áramok), gráf algoritmusok (előfolyam algoritmus, Edmonds-párosítás algoritmusa, Fulkerson-fenyő-algoritmus). Matroidelmélet: axiómarendszer, mohó algoritmus, matroidmetszet és partíció (Rado, Edmonds tételei, algoritmusok), szubmoduláris függvények és alkalmazásai a gráf-optimalizálásban. Ütemezéselmélet: ütemezés egy gépen (sorbarendezéssel megoldható problémák, Hodgson-algoritmus), párhuzamos gépek (megszakítható megmunkálás, egységnyi megmunkálási idők, lista szerinti ütemezés), egy- és többutas problémák (Johnson- és Jackson-algoritmus, korlátozás és szétválasztás alkalmazása), ládapakolási feladat (egyszerű közelítések, polinomiális approximációs séma), on-line ütemezések.

Folytonos optimalizálás (9-24 kredit)Lineáris és nemlineáris optimalizálás: szemidefinit optimalizálás, globális optimalizálás, többcélfüggvényű optimalizálás elmélete, módszerei és alkalmazásai. Sztochasztikus optimalizálás: logkonkáv mértékek alaptétele. Valószínűségi korlátok, illetve valószínűséget tartalmazó célfüggvények logkonkávitása. Dinamikus modellek. Kétlépcsős sztochasztikus programozási feladat különböző megfogalmazásai, matematikai jellemzésük és megoldó módszereik. Valószínűségi korlátok kiértékelése közelítő és szimulációs eljárásokkal. Játékelmélet: kevert stratégiák, várható nyereségérték. Klasszikus eredmények (Neumann-féle minimax-tétel, Nash-egyensúly, Sperner-lemma, Fixponttételek és következményeik, Nikaidó és a Nikaidó-Isoda-tételek, Nash-tétel, minimax-tételek). Kooperatív és nem-kooperatív játékok és alkalmazásaik. Játékelméleti modellek megoldási módszerei.

Operációkutatás számítógépes módszerei (3-6 kredit):

18



Matematikai programozási eljárások implementációs problémái és számítógépes módszerei. Input és output formátumok, megoldó programcsomagok és modellező eszközök. (Példák megoldó programcsomagokra: Excel táblázatkezelőből használható megoldók. LINDO, LINGO lináris, nemlineáris és egészértékű programcsomag. CPLEX lineáris, kvadratikus és egész értékű programozási programcsomag. Példák modellező eszközökre: XPRESS, GAMS, AMPL.)

Választható tárgyak min 10 kreditAz alábbi tárgykörök példák arra vonatkozóan, hogy milyen jellegű és színvonalú tárgyak szerepeljenek ebben a blokkban.

Operációkutatási modellek, operációkutatási módszerek, operációkutatási szoftverek, játékelmélet, ütemezéselmélet, mikrogazdaságtan, makrogazdaságtan, befektetések elemzése, döntésanalízis, piacok elemzése, vállalatgazdaságtan, logisztika, termelésirányítás, tömegkiszolgálás, készletezés, raktározási problémák, elhelyezési problémák, komplex társadalmi problémák modellezése, szállítási és közlekedési feladatok, approximációs és heurisztikus algoritmusok, karbantartási kérdések, biztosítási matematika, operációkutatás alkalmazásai (hadügy, vízügy stb.)

Számítástudomány szakirány

Adatbányászat 3-6 kreditGyakori mintázat keresés. Asszociációs szabályok. Szintenként haladó algoritmusok. Mintanövelő algoritmusok. Korrelációkeresés. Klasszifikáció. Döntési fák, neurális hálók, k-NN, Bayes-módszerek. Kernel-módszer, SVM.Dimenziócsökkentési eljárások. Spektrál módszerek. Lenyomat alapú hasonlóságkeresés. Klaszterezés. Particionáló algoritmusok. Hierarchikus algoritmusok. Sűrűség és link alapú módszerek. Spektrálklaszterezés. Alkalmazások és implementációs kérdések.

WWW és hálózatok matematikája 3-6 kreditWebkeresők. Markov-láncok és véletlen séták gráfokon. Page Rank és alkalmazásai. HITS-modellek. Szinguláris felbontás, gráfklaszterezés. Gráfmodellek (Barabási). Kis világ modellek (Kleinberg). WWW oldalak átmeneti tárolása (cache). Az adatbázis frissítése.

Bonyolultságelmélet 6-9 kredit.Számítási modellek, algoritmusok és alsó becslések az erőforrás-használatra. Kommunikációs játékok. Véges automaták, formális nyelvek. Turing-gépek: tárkorlátos és időkorlátos nyelvosztályok. Véletlenített bonyolultságosztályok. Pszeudovéletlen generátorok. A polinomiális hierarchia. A PSPACE-osztály. PSPACE-teljesség. Interaktív protokollok. Shamir tétele: IP=PSPACE. Nehéz problémák közelíthetősége. Boole-hálózatok. Párhuzamos algoritmusok aritmetikai problémákra, rendezésre, gráfproblémákra és lineáris algebrai feladatokra. Kolmogorov-bonyolultság.

Algoritmusok és adatstruktúrák tervezése, elemzése és implementálása 6-9 kredit. Max-vissza sorrend és alkalmazásai. Minimális súlyú fenyők. 2-SAT.Fa-felbontás, fa-vastagság és alkalmazásai. Gomory-Hu-fák és alkalmazásaik. A Steiner-fa és az utazó-ügynök feladat. Költséges folyamok és áramok. Párosítások nem páros gráfban. Gyors Fourier-transzformáció és alkalmazásai. Adatstruktúrák a DISZJUNKT-UNIÓ -- HOLVAN feladatra. Kiegyensúlyozott és önkiegyensúlyozó fák. Hasítás. Dinamikus fák. Geometriai adatstruktúrák: hierarchikus keresőfák, intervallum-fák, szakasz-fák és kupacos keresőfák.

Kriptográfia és adatbiztonság 6-9 kredit.Az informatikai adatvédelem alapjai. A konvencionális titkosítók analízise. Szimmetrikus (titkos) kulcsú rendszerek. Block és Stream ciphers. Nyilvános kulcsú titkosítás. Az RSA algoritmus. Kulcsegyeztetés (Diffie-Hellman), elektronikus aláírás. Támadások az RSA ellen. Rabin-kriptorendszer, ElGamal, elliptikus görbék használata. Kriptográfiai protokollok. Titokmegosztó rendszerek, nemfeltáró bizonyítás, pénzfeldobás

19



telefonon. Adatvédelmi rendszerek felépítése, nemzetközi és hazai szabványok és projektek. Pszeudo-véletlen számok generálása.

Információelmélet, kódok és szimmetrikus struktúrák 4-6 kredit.Entrópia, feltételes entrópia. Kölcsönös információ. Az entrópia maximuma, Fano-egyenlőtlenség. Információforrások entrópiája. Zajmentes kódolás. Az entrópiamegmaradás elve. Zajmentes kódolás előírt hibavalószínűséggel. Hang és kép tömörítése. Csatornakódolás, kapacitás, Shannon alaptétetele. Hibajavító kódok, nevezetes példák. Korlátok a kód paramétereire. Véletlen kódok, explicit aszimptotikusan jó kódok. Perfekt kódok és blokkrendszerek. A Golay-kódok. t-rendszerek, Fisher-egyenlőtlenség és változatai. Négyzetes blokkrendszerek.

Választható tárgyak min 10 kreditAz alábbi tárgykörök példák arra vonatkozóan, hogy milyen jellegű és színvonalú tárgyak szerepeljenek ebben a blokkban.

Párhuzamos és osztott számítások, leszámláló kombinatorika, véletlen módszerek, extremális kombinatorika, kombinatorikus optimalizálás műszaki alkalmazásai, gráfelmélet, kombinatorikus optimalizálás, egész programozás, ütemezéselmélet, játékelmélet, közelítő algoritmusok, programcsomagok használata: SAS, SQL, Matlab, Lemon, Cplex. Mesterséges intelligencia, logikai programozás, adatbázisok, geometriai algoritmusok, adatbányászat, számelméleti, algebrai algoritmusok, szeminárium(ok) a felsorolt témakörökből.

Műszaki matematika szakirány

A szakirány választásának feltétele legalább egy programnyelv (lehetőleg C++) ismerete vagy felzárkóztató jellegű megtanulása.

A szakirány szakmai anyaga

Numerikus analízis és differenciálegyenletek megoldása 10-20 kreditLineáris modellek és alkalmazásai 10-20 kreditNumerikus matematika 10-20 kreditSztochasztika 10-20 kredit

Numerikus analízis, differenciálegyenletek megoldása (10-20 kredit)

Dinamikai rendszerek. A diszkrét és folytonos idejű topologikus és differenciálható dinamikai rendszerek alapfogalmai. Attraktorok és medencéik, Ljapunov-függvények, box- es Hausdorff-dimenzió. Példák. Invariáns sokaságok. Hartman-Grobman-lemma, strukturális stabilitás. Normálformák, elemi bifurkációk. Káosz. Példák kaotikus dinamikára.

Fourier analízis és függvénysorok. Fourier-sorok. Dirichlet-mag. Konvergenciakritériumok. Fejér példája folytonos, nem sorbafejthető függvényre. Fejér-összegek. Lebesgue-pontok. Fourier-transzformált. Inverziós formula. Hermite- és Laguerre-függvények teljessége. Konvolució transzformáltja.Gyors Fourier-transzformált. Laplace-transzformáció. Alkalmazások: közönséges és parciális differenciálegyenletek megoldása. Ortogonális függvényrendszerek általában. Wavelet-transzformáció. Alkalmazások.

Parciális differenciálegyenletek. Disztribúciók. Kezdeti-érték-problémák időtől függő egyenletekre. Peremérték-problémák. Lineáris hullámegyenlet változó együtthatókkal. Elliptikus peremfeladatok gyenge megoldásai. Szoboljev-terek, Poincare-egyenlőtlenség, Lax-Milgram-lemma. Vegyes feladatok parabolikus és elliptikus egyenletekre. PDE numerikus megoldásának elvei.

20



Lineáris modellek és alkalmazásai (10-20 kredit)

Mátrixanalízis. Vektorterek, lineáris leképezések, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek, mátrixok determinánsa és nyoma. Sajátértékek és szinguláris értékek lokalizációja, önadjungált mátrixok spektrálelmélete. Függvénykalkulus: mátrix polinomok, exponenciális függvény. Mátrixértékű függvények differenciálása, mátrixegyenletek egyenlőtlenségek, pozitív elemű mátrixok Perron-Frobenius elmélete, kapcsolat a Markov-láncokkal. Blokk-mátrixok. Rendszeroptimalizálás. Lineáris programozás, kombinatorikus optimalizálás, matroidelmélet, közelítő számítások, ütemezéselmélet. A tárgy anyaga négy elméleti részből (lineáris programozás, matroidelmélet, közelítő algoritmusok, ütemezési algoritmusok) és négy hozzájuk kapcsolódó műszaki esettanulmányból (megbízható hálózatok tervezése, nagybonyolultságú hálózatok huzalozása, hálózatelméleti alkalmazások, statikai alkalmazások) áll.

Lineáris rendszerek analízise. Lineáris differenciálegyenletek és átmeneti mátrix. Irányíthatóság. Megfigyelhetőség. Az ún. impulzusválasz és realizációk. Frekvenciaválasz. A McMillan-fokszám. Idővariáns problémák. Spektrál faktorizáció. Stabilitási kérdések. A lineáris rendszerelmélet alapjai végtelen dimenziós terekben.

Irányítási rendszerek. Irányítási rendszerek matematikai modellje, optimális irányítási feladatok megfogalmazásának elemei. Alapkérdések. Példák irányítási rendszerekre. Lineáris irányítási rendszerek alaptulajdonságai: irányíthatóság, stabilizálhatóság, póluselhelyezés. Megfigyelhetőség és állapot-megfigyelők. Kanonikus alakok. Lineáris irányítási rendszerek struktúrája. Realizálhatóság és minimális realizáció. Lineáris-kvadratikus optimális irányítási feladatok véges időintervallumon nem időinvariáns rendszerekre. Lineáris- kvadratikus optimális irányítási feladatok végtelen időintervallumon időinvariáns rendszerekre. Lineáris időoptimális irányítási feladatok: elérhetőségi halmaz, halmazból halmazba történő irányíthatóság feltétele adott időintervallumon. Optimális irányítások létezése. Az optimum szükséges és elégséges feltétele. Egyértelműség. A Pontrjagin-féle maximumelv nemlineáris feladatokra. Nemlineáris rendszerek irányíthatósága, megfigyelhetősége, stabilizálása. Optimális irányítások, létezés, a Pontrjagin-féle maximum-elv. A dinamikus programozás módszere, Hamilton-Jacobi-Bellman egyenlet. Alkalmazás lineáris-kvadratikus feladatokra.

Numerikus matematika (10-20 kredit)

Nagyméretű lineáris algebrai feladatok. Iterációs módszerek. A lineáris peremérték-feladatok diszkretizálása. Variációs feladatok és direkt megoldásuk Ritz-módszerrel.

Véges elem módszer. Galjorkin-féle végeselemes diszkretizáció. Bázisfüggvények. Hálógenerálás, hibabecslések. Véges differenciák módszere. A módszerek stabilitása, konzisztenciája, stabilitása, hibabecslések. Programcsomagok, amelyek tartalmaznak csak numerikus lineáris algebra részeket, pl. iterációs módszereket.

Numerikus optimalizálás. Globális szélsőérték feltételei. Egyváltozós és vonalmenti minimalizálás. Konjungált gradiens-módszer. Newton-típusú módszerek, Broyden-módszerek. Kis lépésnagyságú módszerek. Négyzetösszegek minimalizálása: a legkisebb négyzetek módszere. Lineáris programozás. Szimplex módszer és egyéb eljárások. Feltételes szélsőérték. Lagrange-multiplikátor. Konvex programozás. Dualitás. Kvadratikus programozás. Nemlineáris programozás. Elérhető programcsomagok, pl. Numerical Recipes, NAG, Mathematica, Maple, Matlab, Scilab, Octave stb.

Numerikus és szimbolikus számítások. Valamely szimbólikus számításokat tartalmazó programcsomag, például "Maple" használatát mutatja be lineáris algebrai, egy- és többváltozós analízis és egyszerű numerikus analízis témájú feladatok megoldásában. A következő problémakörök kerülnek tárgyalásra: vektorok, Gram-Schmidt-ortogonalizáció, lineáris leképezések, mátrixok inverze, lineáris egyenletrendszerek, speciális polinomok, polinomok és függvények gyökei, parciális törtekre bontás, integrál, interpoláció. Többváltozós függvényekkel kapcsolatos fogalmak szemléltetése.

Sztochasztika (10-20 kredit)

21



Többváltozós statisztikai módszerek. A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek maximum-likelihood-becslése. Empirikus kovarianciamátrix, Wishart-eloszlás. Dimenziócsökkentés, struktúrafeltárás: főkomponensanalízis, faktoranalízis, kanonikus korrelációanalízis. Többváltozós regresszióanalízis. A lineáris modell. Varianciaanalízis. Osztályozási módszerek, kontingenciatáblák elemzése: diszkriminanciaanalízis, cluster-analízis, korrespondanciaanalízis. Többdimenziós skálázás és beágyazás. Többváltozós küszöbmodellek, probit- és logitanalízis. Gyakorlaton a hallgatók megismerhetik az SPSS programcsomag lehetőségeit, és konkrét adatrendszereken futtathatják a kiválasztott programokat.

Idősorok elemzése. Alapfogalmak, autokovariancia, autokorreláció. Trend, periodogram. Stacionárius folyamat, ergodicitás, lineáris szűrő. ARMA-folyamat, ARIMA-folyamat. Identifikálás, paraméterbecslés, modell illesztés. Előrejelzés, extrapoláció, exponenciális simítás. Esettanulmányok.

Sorbanállás, tömegkiszolgálás. Markov-lánc, átmenet-valószínűségek, homogenitás. Irreducibilitás, aperiodikusság. Véges állapotú Markov-láncok stabilitása, Visszatérőség. Végtelen állapotú Markov-láncok stabilitása. Foster-kritérium. Valószínűségi változók konvergencia típusai, Toeplitz-lemma. Gyengén stacionárius folyamat ergodicitása. Stabil Markov-lánc ergodicitása, Késleltetés, Little-formula. Stabilitás, sorhossz stacionárius eloszlásának kiszámítása. Generátorfüggvény. Várakozási idő stacionárius eloszlásának kiszámítása. Késleltetés-mentes csomagküldés zajos csatornán, Stop-and-Wait-protokoll, Go-Back-N-protokoll. Pontfolyamat, Poisson-folyamat. Folytonos idejű Markov-folyamat (rátamátrix). Születési-halálozási folyamatok.

11. A várható további szakirányok felsorolása, egy szakirány bemutatásával:

A későbbiekben több intézmény egybehangzó igényére szeretnénk indítani a biomatematika szakirányt. Ennek szükségességét legfőképpen azon alkalmazási területek indokolják, ahol a matematikai (elsősorban statisztikai) módszereket biológiai problémákra kell adaptálni.

12. Az elsajátítandó kompetenciák megszerzését elősegítő ismeretkörök, valamint oktatási módszereik és gyakorlatuk:

A képzés mindvégig alkalmazás-orientált, képessé teszi a hallgatókat a szakirodalomban való tájékozódásra, a matematika aktuális eredményeinek megértésére és gyakorlati problémák megoldásában történő alkotó jellegű felhasználására.

13. A doktori képzésre való előkészítés, a releváns modulok bemutatása:

A matematika aktuális eredményeinek érintése a képzés során jó alapot ad a hallgatóknak önálló kutatási tevékenység kezdéséhez és a doktori képzésben való bekapcsolódáshoz.

14. A teljes képzésre vonatkozóan az elméleti és gyakorlati képzés arányai:

A képzésben a gyakorlati órák aránya legalább 35%.A gyakorlati képzés az elméleti anyag mélyebb megértését szolgálja.

15. Az elméleti és gyakorlati képzés minimális személyi (különösen a szakterület speciális igényei esetén) és tárgyi (pl. tangazdaság, oktató kórház, gyakorló iskola, speciális laboratórium vagy műszer, berendezés, könyvtár, gyűjtemény) feltételei:

A személyi feltételek vonatkozásában a MAB és az OM előírásai az irányadóak.

22



A szak oktatása csak jól felszerelt számítógépes termek, adatbázisokhoz való internetes hozzáférés és színvonalas matematikai szakkönyvtár biztosításával lehetséges.

16. Elvárt idegennyelv-ismeret:

A mesterképzésben további idegennyelvi követelményeket nem támasztunk.

17. A tehetségekkel való foglalkozás módjainak bemutatása:

Intézményenként működik tehetséggondozó program, valamint Tudományos diákkör, mely lehetőséget ad a kiemelkedő képességű hallgatóknak tudományos kutatómunka megkezdésére már hallgató korukban.

18. A szak (szakterület) szempontjából lényeges más rendelkezések:

23

a felsŐoktatÁsi intÉzmÉnyek Által...

Documents