a = a.a.a. · aula 04 _ equações exponenciais 4) ... 3x+1 –– 3 – 3x 1 = 45 __4 ... “r”...
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
1) Revisão de Potência
an = a.a.a. ... .a Assim: a1 = a
e an+1 = (a.a.a. ... .a).a
Aula 01 _ Revisão de Potência
2) Propriedades das Potências
P1) am .an = am+n
Demonstração:
am .an =
“n” fatores
“n + 1” fatores
an+1 = an.a
(a.a.a.a. ... .a).(a.a. ... .a)
“m” fatores “n” fatores
= am+n
P2) (am)n = am.n
Dem.:
(am)n = am. am. am. ... . am
“n” fatores
= am+m+m+ ... +m
“n” parcelas
= am.n P1
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Aula 01 _ Revisão de Potência
P3) a0 = 1
Dem.:
a1 = a0+1
P4) a–n = _1_
an
Dem.: Da P3, sabemos que:
1 = a0
= a0.a1 P1
a1 = a0.a1 a1 = a0.a1
a1 a1 1 = a0
= an – n = an . a–n P1
1 = an . a–n _1_ = a–n
an
P5) _am_ = am – n
an
Dem.:
_am_ = am. _1_
an an
= am. a–n P4
_am_ = am – n
an
P1
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Aula 02 _ Propriedades das Potências (continuação)
P6) (a.b)n = an.bn
Dem.:
(a.b)n = (a.b).(a.b). ... .(a.b)
“n” fatores
= (a.a. ... .a).(b.b. ... .b) = an.bn
P7) (a/b)n = an/bn
Dem.:
(a/b)n = (a/b).(a/b). ... .(a/b)
“n” fatores
= a.a. ... .a
b.b. ... .b
= an
bn
P8)
Dem.:
a = a1 = an/n = (a1/n)n P2
a = (a1/n)n
P9)
Dem.:
am = (am)n/n = (am/n)n P2
am= (am/n)n
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Aula 02 _ Propriedades das Potências (continuação)
Q1) Calcule:
a) (–3)2 b) –32 c) (– 3)0 d) – 30
e) 17 f) – 17 g) (– 1)7 h) – (– 1)7
i) (–3/4)2 j) (–3/4)
1 k) (–3/4)0 l) (–3/4)
–2
Q2) Se n ϵ N, calcule o valor de: L = (– 1)2n – (– 1)2n+3 + (– 1)3n – (– 1)n
Q3) Sendo a.b ≠ 0 , simplifique as expressões:
a) (a2.b3)2 . (a3.b2)3 b) [(a3.b2)4]3
c) (a4.b2)3 d) a4.b3 5
(a.b3)2 a2.b
Q4) Determine o algarismo das unidades de
(DICA: Considere 14n quando “n” for par ou quando “n” for ímpar.)
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Aula 03 _ Função Exponencial
3) Definição de Função Exponencial
Seja f : R → R+ tal que f(x) = ax, sendo a ϵ R+ e a ≠ 1, então f é denominada
Função Exponencial.
Observação 1 f(x+y) = ax+y = ax.ay P1
= f(x).f(y) Ou seja, a função
exponencial tem a característica de transformar a imagem de uma soma em
um produto de imagens.
Observação 2 f(x) = f(x/2 + x/2) = f(x/2).f(x/2) = [f(x/2)]
2 > 0
Ou seja, para todo valor de x, temos f(x) > 0.
Q5) GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Construa o gráfico de:
a) f(x) = 2x b) f(x) = (1/2)x c) f(x) = 3x b) f(x) = (1/3)
x
Q6) Com base nos gráficos da questão anterior, escreva 3 conjecturas.
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Aula 04 _ Equações Exponenciais
4) Equações Exponenciais
São equações nas quais a incógnita aparece no expoente.
Q7) Resolva SOMENTE as equações exponenciais.
a) 2x = 32 b) 2x = 32 c) (1/3)x = 81 d) (1/3)x = 81
e) 2x = 64 f) 4x = 32 g) 8x = 1/32 h) [(2)1/2]x = 64
Q8) Resolva as equações exponenciais.
a) 23x – 1 = 32 b) 74x + 3 = 49 c) 112x + 5 = 1 d) (1/25)2x+3 = 53x – 1
e) f) g)
Q9) Resolva as seguintes equações.
a) 23x . 4y = 32 b) 4x – 2x = 12 c) 3x+1 – 3x – 3x – 1 = 45
__4__ = 1
2x + y
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Aula 05 _ Inequações Exponenciais
5) Inequações Exponenciais
São inequações nas quais a incógnita aparece no expoente.
IMPORTANTE: Se a > 1, então: ax > ay x > y (repete o sinal)
Se a < 1, então: ax > ay x < y (inverte o sinal)
Q10) Resolva as inequações exponenciais.
a) 2x < 8 b) 6x.x + x > 36 c) (1/3)3x – 1 ≥ 1 d) (1/9)
3x – 1 ≤ (1/9)2x
e) [(2)1/2]3x – 1 ≤ 81/4 f) 3x+1 + 2.3x – 1 ≥ 11 g) (0,3)4x – 5 < (3/10)2x
Q11) (UFBA) A expressão P(t) = k.20,05.t fornece o número P de
milhares de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t,
em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300 000 habitantes, quantos
habitantes, aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano 2000?
A) 352 000 B) 423 000 C) 439 000 D) 445 000
(considere √2 ≈ 1,41)
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Aula 06 _ Logaritmo
Os Logaritmos surgiram para “facilitar” os cálculos.
Q1) Observe a tabela abaixo e utilize-a para efetuar os cálculos.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
a) 16 x 32
b) 512 : 64
c) 162
1) Definição de Logaritmo Com a ≠ 1 e
x > 0, b > 0 e a > 0
Denomina-se: a base da potência base do logaritmo
x expoente logaritmo b potência logaritmando
Q2) Sabendo que 210 = 1024, logo 210 ≈ 1000 com um pequeno erro de 2,4%.
Segue que 2 ≈ 100,3. Calcule log2
Q3) Analogamente a questão anterior, considerando que 39 ≈ 20 000.
Calcule log3
Q4) Resolva as equações exponenciais: a) 10x = 2 b) 10x = 3
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Aula 07 _ Consequências da Definição
Q5) Observe a tabela abaixo e utilize-a para efetuar os cálculos
Q6) Utilizando a definição de logaritmo, converta de potência para logaritmo
e vice–versa. a) log28 = 3 b) log
31 = 0 c) log 10 = 1
d) 27 = 128 e) 32 = 9 f) 103 = 1000 g) log 100 = 2
Q7) Calcule o valor dos logaritmos:
a) log16
64 b) log625
√5 c) log50,000064 d) log
93√3
Q8) CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Demonstre que:
a) loga1 = 0 b) log
aa = 1 c) log
aan = n d)
e)
a) 3125 x 125
b) 390625 : 25
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Aula 08 _ Propriedades dos Logaritmos
2) Propriedades dos Logaritmos
P1) P2)
P3) P4) P5)
Q9) Demonstre as Propriedades dos Logaritmos.
Q10) Dados log2 = 0,3 , log3 = 0,48 e log5 = 0,7 , calcule:
a) log 20 b) log 0,0002 c) log 30 000 d) log 0,3
e) Log 500 f) log 14,4 g) log212 h) log
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Q11) Em uma calculadora científica, partindo de 40 bilhões, quantas
vezes devemos apertar a tecla “log” para que apareça “erro”?
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Aula 09 _ Função Logarítmica
3) Função Logarítmica
Seja a função f : R+ → R tal que f(x) = logax , com a > 0 e a ≠ 1, então f
é denominada Função Logarítmica.
Q12) Dadas as funções f(x) = log3x e g(x) = log4x. Determine:
a) f(9) b) g(1) c) f(27) + g(16)
d) x tal que g(x) = 4 e) x tal que f(x) = 2
Q13) GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Construa o gráfico de:
a) f(x) = log2x b) f(x) = log1/2x
Q14) Com base nos gráficos da questão anterior, escreva 3 conjecturas.
Q15) Demonstre que as funções exponenciais e logarítmicas são
inversas uma da outra. Para isso, basta mostrar que f(g(x)) = g(f(x)).
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Aula 10 _ Equações Logarítmicas
4) Equações Logarítmica
São três tipos. Vejamos:
1º) logaf(x) = logag(x) Precisa verificar a Condição de Existência.
Q16) Resolva as equações:
a) log4(3x + 2) = log4(2x + 5) b) log3(2x – 3) = log3(4x – 5)
c) log5(x2 – 3x – 10) = log5(2 – 2x) d) log4(4x2 + 13x + 2) = log4(2x + 5)
2º) logaf(x) = k (com k > 0 e k ≠ 1) Basta aplicar a definição.
Q17) Resolva as equações:
a) log2(3x + 1) = 4 b) log3(x2 + 3x – 1) = 2 c) log2[1 + log3(1 – 2x)] = 2
3º) Trocando a variável
Q18) Resolva as equações:
a) (log2x)2 – log2x – 2 = 0 b) log24x – 2.log4x – 3 = 0
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Aula 11 _ Inequações Logarítmicas
5) Inequações Logarítmica
Inicialmente, devemos lembrar que:
Q19) Resolva as inequações:
a) log(x2 – x – 2) < log(x – 4) b) log1/2(3x – 1) ≥ log1/2(2x + 3)
2º) logaf(x) >< k Precisamos reduzi-las ao “ 1º ” tipo.
Q20) Resolva as equações:
a) log3(3x + 2) < 2 b) log1/2(2x2 – 3x) > – 1
3º) Trocando a variável
Q21) Resolva as equações:
a) log23x – 3.log3x + 2 > 0 b) | log2x | > 1
IMPORTANTE: Se a > 1, então: logax > logay x > y (repete o sinal)
Se a < 1, então: logax > logay x < y (inverte o sinal)
Também são três tipos. Vejamos:
1º) logaf(x) = logag(x) Precisa verificar a Condição de Existência.
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Aula 12 _ Exercícios
Q22) Em Química, define-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal
(de base 10) do inverso da respectiva concentração de H3O+ (íon hidroxônio). O
cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H3O+ é de
4,8.10 –8 mol/𝓁 (em média). Qual o pH desse líquido? Dado: log 4,8 ≈ 0,7
Q23) Considerando que Q = Qo.e– r.t , onde “Q” é a massa de uma substância,
“r” é a taxa em que ela se desintegra e “t” é o tempo em anos. Em quantos
anos 500 g de uma certa substância radioativa, que se desintegra a uma taxa
de 3% ao ano, se reduzirão à 100 g? Dado: 𝓁n e = 1 e 𝓁n 5 ≈ 1,59
Q24) (UFRN) Se log5x + log5y = 3, com x e y inteiros e maiores que 1, então:
a) x.y = 15 b) x.y = 25 c) x + y = 20 d) x = y = 30
Q25) (UFCE – MODIFICADA) Qual o valor de [5.log (5.log 100)]2