������������ � ��� �����ก������� 3

ขอ คำตอบ ขอ คำตอบ 1 11 16 170 2 72 17 10 3 8 18 434 4 24 19 4 5 9 20 96 6 216 21 90 7 2 22 97 8 8 23 84 9 8 24 2 10 15 25 48 11 160 26 44 12 23 27 3 13 150 28 20 14 162 29 100 15 4 30 332

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest

1. จาก 3(x − 2) = 5 − 2(x − 2) จะไดวา x = 3

ซงเมอแทนคาลงใน 33

ax- −

3 52

x- = 8

จะไดวา a = 11

2. เมอพบกระดาษแลว จะไดพระมด

ทมฐานเปน �CEF และม AB เปนสวนสง ดงรป ดงนน ปรมาตรของพระมดนคอ

13 x

1 x 6 x 6

2 x 12 = 72 ลกบาศกเซนตเมตร

3. x256 = 25632

= (28)32 = 2256 � x = ±2

ผลรวมของกำลงสองของ x เทากบ (− 2)2 + 22

= 8

4. ใหฐานของทรงกระบอกมรศม r เซนตเมตร จะไดวาฐานของกรวยมรศม 2r เซนตเมตร นำในภาชนะทงสองมปรมาตรเทากน

13 x (2r)2 x 9 =

12 x (r2 x x)

� x = 24

5. 2x2 + x – 15 = 0 � (2x – 5)(x + 3) = 0

� x = – 3, 52

แทนคา x = 52 ลงใน x2 – 3x + k = 0 จะได k =

54

แทนคา x = – 3 ลงใน x2 – 3x + k = 0 จะได k = – 18

แตกำหนดให k > 0 จงไดวา k = 54

� a + b = 4 + 5 = 9

6.

จากรป เนองจาก MPD = BPC

จงไดวา c + d = c´ + d´

ดงนน a + b + c + d = a + b + c´ + d´

= (a + d´)+ (b + c´) ซงเปนขนาดของมมภายใน 2 มม ของรป 5 เหลยม ดานเทามมเทา จงเทากบ

2 x

o1 x (5 2) x 180

5- = 216o

7.

จากรป �ABC ~ �CPE

AB

BC = CP

PE �

AB

3 = 1

1.5 � AB = 2 เซนตเมตร

แมนำสายนกวาง 2 x 100,000 เซนตเมตร = 2 กโลเมตร

8. ให AP = x เซนตเมตร

จะไดวา PB = 12 – x เซนตเมตร ทงสองรปมพนทรวมกน

12 x2 + (12 – x)2 ตารางเซนตเมตร

12 x2 + (12 – x)2 =

32 x2 – 24x + 144

= 32 (x2 – 16x + 64) + 48

= 32 (x – 8)2 + 48

ซงมคานอยทสดเมอ x = 8 จงไดวา AP = 8 เซนตเมตร

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest

9. ขนท 1: เทแอลกอฮอลบรสทธออกไป x ลตร จงเหลอแอลกอฮอล 48 – x ลตร ในภาชนะ ขนท 2: เทสารละลายแอลกอฮอลออกไป x + 4 ลตร (จากสารละลาย 48 ลตร ในภาชนะ) ซงม แอลกอฮอลบรสทธอยในปรมาณ

+ 4 48

x x (48 – x) ลตร

x + + 4 48

x (48 – x) = 18

� x2 – 92x + 672 = 0 � (x – 84)(x – 8) = 0 แต 0 x 48 จงไดวา x = 8 นนคอในขนท 1 ไดเทแอลกอฮอลบรสทธออกไป 8 ลตร

10. ลาก AC แลวสงเกตวา

ABC > BCD > BCA

� AC > AB

AD + DC > AC > AB

� AD + 18 > 32

� AD > 14 หนวย

ดงนน ดาน AD มความยาวนอยทสด 15 หนวย

(เกดไดโดยสรางให AC = AB แลวสราง �ADC

ใหม AD = 15 หนวย)

11. ใหยกซอโทรศพทมา n เครอง ในราคาทงหมด

C บาท แลวขายไปเครองละ p บาท

ระยะแรก: 90100 n x p =

120100 x C

ระยะตอมา: (n – 10) x p = 125100 x C

จงไดวา 0.910n

n- =

120125 � 9

10n

n- =

485

� n = 160

12. ใหลกเทนนสเปนทรงกลมรศม r

ลกเทนนสทงหมดมปรมาตรรวมกน n x 43 r3

และทรงกระบอกมปรมาตร r2 x (2r x n)

a

b = =

23

� 10a + b = 10 x 2 + 3 = 23 13.

ใหนทออกวงจากจด A พอออกวงจากจด A

เมอนทถงจด P และพอวงทนนททจด B

นทวงจาก P ถง B ใชเวลาเทากบพอวงจาก A

ถง B � m : n = 7 : 5 � 5m = 7n

นทและพอวงไดระยะทาง AB เทากน � (40 + m) : n = 5 : 3 � 3(40+ m) = 5n

3

740 + 5 n = 5n � n = 150

นนคอ พอจะวงทนนทในกาวท 150 ของพอ 14. ให A = (a + b)3 และ B = (a – b)3 แลวสงเกตวา (A + B)2 – (A – B)2 = 4AB 4(a + b)3(a – b)3 = 25 x 96 � (a2 – b2)3 = 23 x 96 � a2 – b2 = 2 x 92 = 162

n x r3

r2 x (2r x n)

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest

15. x = – 3± 17 � (x + 3)2 = 17 � x2 + 6x – 8 = 0 แสดงวาสมการกำลงทถกตองอยในรป x2 + ax – 8 = 0 ถาใหคำตอบของสมการนเปน x = m, n จะไดวา (x – m)(x – n) = x2 + ax – 8 นนคอ a = – m – n และ mn = – 8 จงไดสมการทเปนไปไดทงหมด 4 สมการ ดงน 16. จากแถวทคะแนนคณตศาสตรเปน 90 จะไดวา 2 + 5 + x = 9 � x = 2 จากแถวทคะแนนคณตศาสตรเปน 70 จะไดวา 1 + 4 + y = 9 � y = 4 จดอนดบนกเรยนตามคะแนนรวมทงสองวชา ไดผลบางสวนดงตารางตอไปน

นกเรยนทไดคะแนนรวมอยางนอย 170 คะแนน ม 25 คน คดเปน 50% ของนกเรยนทงหมด ดงนน ตองไดคะแนนรวมอยางนอย 170 คะแนน จงจะอยในกลม 50% ทไดคะแนนรวมสงสด

17. ใหทางเดนรอบสระกวาง x เมตร สมำเสมอ จะไดวา (50 – 2x)(70 – 2x) = 1,500 � x2 – 60x + 500 = 0 � (x – 10)(x – 50) = 0 แตทดนกวางเพยง 50 เมตร ดงนน ทางเดนรอบสระนกวาง 10 เมตร

18. คา BMR ของผชายสง 178 เซนตเมตร หนก 74 กโลกรม อาย 30 ป คอ

66.47 +

55 x 744 + (5 x 178) – (6.76 x 30)

= 1,771.17 คา BMR ของผหญงสง 165 เซนตเมตร หนก 54 กโลกรม อาย 30 ป คอ

655.1 + (9.56 x 54) +

37 x 16520 – (4.68 x 30)

= 1,336.19 ผลตางของคา BMR เทากบ

1,771.17 – 1,336.19 = 434.98 = �.□ � � = 434

19. แทนคา x = 1 ลงใน (k – 2)x2 + (k2 – 8)x – 2(3k – 8) = 0 จะไดวา (k – 2) + (k2 – 8) – 2(3k – 8) = 0 � k2 – 5k + 6 = 0 � (k – 2)(k – 3) = 0 แต k = 2 ทำให (k – 2)x2 + (k2 – 8)x – 2(3k – 8) = 0 ไมเปนสมการกำลงสอง k = 3 จำนวนนบทมตวประกอบอย 3 ตว จะตองอยในรป p2 เมอ p เปนจำนวนเฉพาะ ดงนน จำนวนนบทนอยกวา 100 ทตองการ ไดแก 22, 32, 52, 72 รวม 4 จำนวน

(m, n) สมการกำลงสอง

(1, – 8) x2 + 7x – 8 = 0

(– 1, 8) x2 – 7x – 8 = 0

(2, – 4) x2 + 2x – 8 = 0

(– 2, 4) x2 – 2x – 8 = 0

คะแนนรวม จำนวนนกเรยน 200 1

190 2 + 2 = 4

180 5 + 3 = 8

170 2 + 10 = 12

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest

20. • ระบายสชองตาราง ① กอน โดยเรมระบายชองซายลาง ได 3 ส แลวระบายชองซายบน ได 2 ส ระบายชองขวาลางได 2 ส สวนอกชอง ทเหลอ ไมวากรณใด กระบายไดสเดยว จงระบายสชองตาราง ① ได 3 x 2 x 2 x 1 = 12 แบบ • ระบายชองค ② ได 2 วธ (ระบายชองซายได 2 ส แลวระบายชองขวาได 1 ส) • ระบายชองค ③ ได 2 วธ (ระบายชองบนได 2 ส แลวระบายชองลางได 1 ส) • ระบายชอง ④ ได 2 วธ ดงนน จะระบายสใหแตกตางกนไดทงหมด 12 x 2 x 2 x 2 = 96 แบบ

21. ให Z เปนจดกงกลางของ AB และสงเกตวา

ACB = 90o

ฉะนน �ABC แนบใน

ครงวงกลม BCA ทม AB เปนเสนผานศนยกลาง

จงไดวา ZC = ZA = 18 ซม.

สงเกตวาจด Z สมมาตรกบจด C โดยม XY เปน เสนสมมาตร

[�CYX] = 12 x XY x MC

= 12 x 20 x 9

= 90 ตารางเซนตเมตร

22. จดรปสมการพาราโบลา

y = – x2 + x = 14 –

212

x -

ให AD = CD = 2t โดยท t > 0 จะไดพกด

A

1 + , 2

2t t ซงเมอแทนคาพกดนลงใน

สมการพาราโบลา จะไดวา 2t = 14 – t2

นนคอ t2 + 2t – 14 = 0 จงไดวา t = 2+ 5

2-

(เพราะวา t > 0)

ดงนน [□ABCD] = (2t)2 = (– 2 + 5 )2

= 9 – 4 5 ตารางหนวย a = 9, b = – 4 � a2 + b2 = 81 + 16 = 97

23. GH = y – x, GE = x – (y – x) = 2x – y

และ NH = (y – x) – (2x – y) = 2y – 3x

จงไดวา [□NMCH] = GE x NH

= (2x – y)(2y – 3x) = – 6x2 + 7xy – 2y2 a = – 6, b = 7, c = – 2 � a x b x c = 84

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest

24. �AOB ~ �BOC ~ �COD ~ �DOE

� OBOA

= OCOB

= ODOC

= OEOD

กำหนดพกด A(– 1, 0) และ B(0, r) จะไดพกด

C(r2, 0), D(0, – r3) และ E(– r4, 0)

จาก EA = AC จะไดวา r4 – 1 = r2 + 1 � r2 – 1 = 1 � r2 = 2

2OBOA

= r2 = 2

25. ในการยดสายไฟ ปรมาตรจะไมมการเปลยนแปลง ถาเสนรอบวงเหลอครงหนงของเสนรอบวงเดม

พนทหนาตดจะเหลอ 14 ของพนทหนาตดเดม

ความยาวจงตองเปน 4 เทาของความยาวเดม ความตานทานไฟฟาเปนสดสวนตรงกบความยาว และเปนสดสวนผกผนกบพนทหนาตด ดงนน สายไฟทยดออก จะมความตานทานไฟฟา

3 x 4 x 1

1 4/ = 48

26. ในการหาความนาจะเปน เราสมมตไดวาลกแกว ทกลกตางกนหมด ตองการหยบลกแกวทงหมด 7 ลก โดยโทมสหยบ 4 ลกแรก และสตฟหยบ 3 ลกหลง

โทมส สตฟ ถาไมมเงอนไขเพมเตมในการหยบ จะหยบได 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 วธ ตอไปจะนบจำนวนเหตการณทแตละคนหยบ ลกแกวสขาวไดเทากน

• หยบไดลกแกวสขาวคนละลก

แสดงวาลกแกวททงสองคนหยบมสขาว 2 ลก สแดง 5 ลก โดยโทมสสลบลำดบสขาวแดงได 4 วธ และสตฟสลบลำดบสขาวแดงได 3 วธ จงทำได (4 x 3) x (4 x 3) x (6 x 5 x 4 x 3 x 2) ลำดบส สขาว สแดง = 12 x (9 x 8 x 6 x 5 x 4) วธ • หยบไดลกแกวสขาวคนละ 2 ลก

แสดงวาลกแกวททงสองคนหยบมสขาว 4 ลก สแดง 3 ลก โดยโทมสสลบลำดบสขาวแดงได 6 วธ และสตฟสลบลำดบสขาวแดงได 3 วธ จงทำได (6 x 3) x (4 x 3 x 2 x 1) x (6 x 5 x 4) ลำดบส สขาว สแดง = 6 x (9 x 8 x 6 x 5 x 4) วธ ดงนน ความนาจะเปนคอ

b

a=

(12 + 6) x (9 x 8 x 6 x 5 x 4)10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 =

935

� a + b = 44

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest

27. 8 = x2 – y2 – x + 3y

= (x – y)(x + y) + (x + y) – 2(x – y) = (x – y + 1)(x + y – 2) + 2 นนคอ (x – y + 1)(x + y – 2) = 6 ถา y = 1 สมการ x2 – y2 – x + 3y = 8 จะลดรปเปน x2 – x – 6 = 0 � x = 3 ถา y 2 จะไดวา x + y – 2 1 และ (x + y – 2) – (x – y + 1) = 2y – 3 > 0 จงม 2 กรณ คอ กรณ x – y + 1 = 1 และ x + y – 2 = 6 � x = 4, y = 4 กรณ x – y + 1 = 2 และ x + y – 2 = 3 � x = 3, y = 2 มคอนดบ (x, y) ทงหมด 3 ค ไดแก (3, 1), (4, 4), (3, 2)

28. ลากเสนตรง m´ ใหขนานกบเสนตรง m

และผานจด M ดงรป

สงเกตวา �MBP �MAQ

ดงนน [□ABCD] = [□QPCD] = CD x MH

600 = 30 x MH

� MH = 20 หนวย

29. วเคราะหขอมลของเมองชคาโกจากโจทยไดดงน • มครวเรอนประมาณ 3,000,000 ÷ 3 = 1,000,000 ครวเรอน • ครวเรอนทมเปยโนมอยประมาณ

10100 x 1,000,000 = 100,000 ครวเรอน

• การตงเสยงเปยโนทงหมด จะใชเวลาประมาณ ปละ 100,000 x 2 = 200,000 ชวโมง • นกตงเสยงเปยโนหนงคน ทำงานไดปละประมาณ 50 x 5 x 8 = 2,000 ชวโมง ดงนน เมองชคาโกมนกตงเสยงเปยโนประมาณ 200,000 ÷ 2,000 = 100 คน 30. มลกบาศกทงหมด 3 x (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) = 3 x 49 = 147 ลก และมหนาทงหมด 6 x 147 = 882 หนา ตอไปจะนบจำนวนหนาของลกบาศกทไมแนบตดกบ ลกบาศกอน • หนาซงมองเหนจากดานบน ม 3 x 13 = 39 หนา • หนาซงมองเหนจากดานหนา ม 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 หนา • หนาซงมองเหนจากดานขางซายมอ ม 3 x 7 = 21 หนา เมอพจารณาหนาทมองเหนจากดานลาง ดานหลง และดานขางขวามอดวย จะมหนาทไมแนบตดกบ หนาอน ๆ อยทงหมด 2 x (39 + 49 + 21) = 218 หนา ดงนน หนาของลกบาศกทแนบตดกนมทงหมด

12 x (882 – 218) = 332 ค