9_kompetencia_diák_munkafüzet_félév

152 MATEMATIKA A 9. VFOLYAM TANULK KNYVE

25. Hatrozd meg a kvetkez tvolsgarnyokat:

a) szablyos hromszgben a magassg s oldal felnek arnya;

b) kocka testtljnak s szomszdos lfelez pontjait sszekt szakasz hossznak

arnya;

c) kocka testtljnak s egy oldallapja tljnak az arnya;

d) az egyenlszr derkszg hromszg befogjnak s tfogjnak arnya;

e) a szablyos hatszgben a szemkzti oldalak tvolsgnak, s az oldalhossznak az

arnya.

26. Egy katonai helikopter Zalaegerszegrl Szolnokra repl, majd onnan Budapestre. l-

laptsd meg a trkp alapjn, hogy hny kilomter hossz a replt sszesen! Sajnos

a mretarny elveszett, de azt tudjuk, hogy Gyr s Budapest tvolsga 120 km.

27. Amikor bevezettk az eurt, az eurpai orszgok llampolgrai 2002. februr 15-ig

tvlthattk a megszn nemzeti valutkat eurra. Hny eurt kapott az a magyar csa-

ld, amely 5500 nmet mrkt vltott t eurra? Akkor 1 nmet mrka 124,8 forintot

s 1 eur 244,2 forintot rt.

A) 5500:124,8:244,2=0,18; B) 5500124,8244,2=167 618 880;

C) 5500:124,8244,2=10762; D) 5500124,8:244,2=2810,81.

5. modul: ARNYOSSG, SZZALK 153

28. Az eur bevezetsekor egy rgebbi utazs utn megmaradt belga s holland valutnkat

szerettk volna eurra vltani. Az interneten megkerestk ngy bank valutatvltsi

rfolyamt. Melyik bank tvltsi arnyai a legkedvezbbek a szmunkra?

29. Egyes orszgokban a hmrskletet nem Celsius (C), hanem Fahrenheit (F)

fokokban mrik. A Celsiusban s Fahrenheitben mrt hmrskletrtkek k-

ztt a kvetkez sszefggs rhat fel:

95)32( = fc (c a Celsiusban, f a Fahrenheitben mrt hmrskletrtk).

a) Jelld be az itt lthat hmrn a 0 F-et s a 100 F-et!

b) Hny C-ot vltozik a hmrsklet, mikzben 1 F-tel cskken?

c) rd fel azt a kpletet, amelynek a segtsgvel a C-ban megadott hmrsk-

letrtket F-re szmthatjuk t, azaz fejezd ki f-et az eredeti sszefggsbl!

A) 1 euro 38 belga frank

B)1 euro 40 belga frank

1 euro 2,1 holland forint 1 euro 2,5 holland forint

C) 1 euro 43 belga frank

D)1 euro 44 belga frank

1 euro 2,3 holland forint 1 euro 2,5 holland forint


II. Az egyenes s a fordtott arnyossg

Mintaplda3

brzoljuk grafikonon egy biciklis helyt az id fggvnyben, ha sebessge lland

(15 km/h), s

a) a 0 km-es tbltl indul;

b) a 20 km-es tbltl indul.

Ksztsnk tblzatokat, melynek segtsgvel megvizsgljuk a biciklis helyzetnek s az

eltelt idnek a hnyadost (rnknti idbeosztssal), s az egyes rk alatt megtett utakat!

Megolds:

a)

id (ra) 1 2 3 4 5

hely (km) 15 30 45 60 75

hnyados 151

15 = 152

30 = 15345 = 15

460 = 15

575 =

Itt lland az id s a megtett t

arnya: ahnyszorosra ntt az

egyik mennyisg, annyiszorosra

ntt a msik.

b)

id (ra) 1 2 3 4 5

hely (km) 35 50 65 80 95

hnyados 35135 = 25

250 = 6,21

365 &= 20

480 = 19

595=

tklnbsgek 35 20=15 50 35=15 65 50=15 80 65=15 95 80=15


A mostani esetben nem lland az t s az id arnya: nem igaz, hogy ahnyszorosra

ntt az id, annyiszorosra vltozott a biciklis helye. A megtett t viszont minden rban

ugyanannyival vltozott, vagyis ideltelt

vltozsahelya = lland.

Pldul egyenletes sebessg mellett a megtett t s az id egyenesen arnyos.

Mintaplda4

100 km-es utat kell megtenni klnbz jrmvekkel. Szmtsuk ki klnbz jrmvek me-

netidejt, s brzoljuk grafikonon a sebessgid prokat!

verseny-aut szemly-gpkocsi autbusz motor bicikli gyalogos

sebessg (km/h) 260 130 90 75 25 4

id (ra)

Egyenesen arnyos mennyisgek esetn AHNYSZOROSRA vltozik

az egyik mennyisg, ANNYISZOROSRA vltozik a msik.

Egyenes arnyossg esetn az sszetartoz rtkprok hnyadosa

egyenl: axy = (ahol a = lland).

Ekkor xay = , ezrt az egyenes arnyossg grafikonja az orign

thalad egyenes.


Megolds:

A grafikon gy alakul:

verseny-aut szemly-gpkocsi autbusz motor bicikli gyalogos

sebessg (km/h) 260 130 90 75 25 4

id (ra) 0,38 0,77 1,11 1,33 4 25

Fordtottan arnyos mennyisgek esetn ahnySZOROSRA nvek-

szik az egyik mennyisg, annyiSZOROSRA cskken a msik.

Fordtott arnyossg esetn az sszetartoz rtkprok szorzata egyenl: cyx = (ahol c = lland, s 0c ).

Ekkor xcy = ( 0x ), ezrt a fordtott arnyossg grafikonja hiperbola.


Pldul azonos thossz mellett az id s a sebessg fordtottan arnyos.

Feladatok

30. A levegvel tlttt lufi az egyenes s fordtott arnyossg szakrtje. Biztosan sz-

revetted, hogy ha a flig felfjt lufit kicsit sszenyomod, a msik feln alaposan kidu-

dorodik. Ennek az az oka, hogy lland hmrskleten a trfogat cskkensekor meg-

nvekszik a nyoms mgpedig gy, hogy ahnyszorosra cskken a trfogat,

annyiszorosra nvekszik a nyoms: a kt mennyisg kztt fordtott arnyossg ll

fenn.

Tltsd ki a tblzat hinyz rszeit! brzold grafikonon az eredmnyeket!

(pV = c, ahol c lland.)

V (cm3) 860 850 870

p (Pa) 10032 10400 10784

x1 y1= x2 y2 = lland


31. Ha a lufit melegtjk, kitgul (amg ki nem durran). A hmrsklet s a trfogat kztti

kapcsolat egyenes arnyossg. Tltsd ki a tblzat hinyz rszeit! brzold grafiko-

non az eredmnyeket!

T ( C) 20 23 30

V (cm3) 860 900 800

32. Egy 20 literes vdrbl ntznk, fl literes kancsval. Kszts grafikont az ellocsolt,

s a vdrben marad vzmennyisgrl! Milyen sszefggs ll fenn a kt mennyisg

kztt?

33. Egy digitlis fnykpezgppel ksztett legjobb felbonts kp most fgglegesen

1536, vzszintesen 2048 kppontbl ll.

a) Hny kppontbl ll a legjobb felbonts kp?

b) A fnykpezgp adott mennyisg kppontot kpes trolni. 20481536-os fel-

bonts mellett kb. 64 kp trolsra kpes. Krlbell hny kpet tud megrizni

a fnykpezgp memriakrtyja, ha a kzepes minsg, 1024768-as felbon-

tst vlasztjuk?

34. Jancsi s Juliska vitorlst brelnek az Adriai-tengeren. A vitorls brleti dja: 200 eur

alapdj, s naponta tovbbi 75 euro.

a) rd be a tblzatba, hogy mennyibe kerl a vitorls brleti dja (alapdj + napidjak)

1, 2, 3, 4, 5 s 6 nap vitorlzs utn!

id (nap) 1 2 3 4 5 6

dj (eur)

b) rj fel sszefggst a kifizetett dj s az eltelt napok szma kztt!

c) Legfeljebb hny napra tudjk kibrelni a vitorlst, ha ketten sszesen 1000 eurt

tudnak a brletre sznni?


35. Az informatikban a nyomtatk felbontst DPI-ben mrik. A DPI (dot per inch) azt

jelenti, hogy egy inchen (2,54 cm-en) hny kppontot jelent meg a nyomtat. Minl

nagyobb ez a szm, annl finomabb a grafika, lesebbek a krvonalak. Mekkora egy

kppont mrete a kvetkez felbontsok mellett?

a) 300 DPI b) 600 DPI c) 1200 DPI d) 72 DPI

36. Egy stlutca 180 mteres szakaszt j dszburkolattal kvezik le, s az pts idejre

lezrjk. Kt burkol egyszerre dolgozik ezen a szakaszon, a kt vgtl a kzepe fel

haladva. Az egyik naponta 17 mtert, a msik 19 mter utat kvez le. Hny nap mlva

lehet az utct jra megnyitni?

37. Egyenslyozd ki a hintt a sllyal! A hintt kzpen tmasztottk al, a rdja

20 cm. A tblzatban A-val a hinta vgn lev sly tmegt jelltk, B-vel pedig azt a

slyt, amit a hinta rdjra, az altmasztsi ponttl d tvolsgban kell rakasztani.

Kszts brt! Gondolj a fizikban tanult forgat hatsra, s egsztsd ki a tblzatot!

A sly tmege (kg) 10 16 19,2

B sly tmege (kg) 15 25,4

d (cm) 5 8,6 7,5

38. Egyenslyozd ki a hintt a sllyal! Becsld meg, aztn szmtsd ki, hogy a hinta rdjn

hova akasztand a B slyt! Az altmasztsi pont a 16 cm hossz rdnak ppen

a kzepnl van.


39. 3,8 mter hossz, pros mrleghintra klnbz tmeg gyerekek lnek. Tltsd ki a

tblzat hinyz helyeit gy, hogy a mrleghinta egyenslyban legyen!

40. A grafikon egy gpkocsi zemanyag-felhasznlst mutatja a megtett t fggvny-

ben. Az aut az t els rszt vroson bell, a msik rszt vroson kvl tette meg.

Tltsd ki a tblzatot: szmtsd ki a megtett utakhoz tartoz fogyasztst (liter/100 km)

s benzinkltsget, ha egy liter benzin ra 256 forint.

t (km) kltsg v-roson bell

(Ft)

kltsg vroson kvl

(Ft)

150

245,8

3000

4600

8712

14310

Egy teli tankkal (60 liter) mekkora tvolsgot tud megtenni a jrm vrosban, illetve v-

roson kvl?

A (kg) 24 18 28

B (kg) 20 23 19

C (kg) 28 30 32

D (kg) 16 26 23


III. Szzalkszmts

Mintaplda5

Az albbi tblzat egy csald havi kltsgvetst mutatja. Szmold ki, hogy a fizetsknek

hny szzalkt kltik az egyes rfordtsokra, s kszts krdiagramot az egyes ttelekbl.

A krdiagramon a krcikkek arnyokat (szzalkokat) jeleznek, amihez szksg van

a kzpponti szgek meghatrozsra.

Ttel Rezsi tel Aut Trleszts Ruha Egyb

Kltsg 42300 89800 35200 26800 12600 38700

Szzalk

Szg

Megolds:

Szzalk 17,23 36,59 14,34 10,92 5,13 15,77

Szg ( ) 62,05 132,74 51,64 39,32 18,48 56,77

Mintaplda6

Egy orszgban az FA (ltalnos forgalmi ad) a termk nett rnak 25 %-a, a boltban a

termkrt a brutt rat kell kifizetni (brutt r = nett r + FA). Hny szzalkt kell levonni

a brutt rnak, ha a nett rra vagyunk kvncsiak?

Sokan gy gondoljk, hogy 25 %-ot.

Vizsgljuk meg egy pldn keresztl, mirt tves ez a nzet!


Mennyi a termk nett ra, ha 1200 tallrt fizettnk rte? Hny szzalka a nett r a brutt

rnak?

Megolds:

Mivel a brutt r 1,25-szerese a nett rnak, az 1200 tallrt el kell osztani 1,25-tel. A kapott

nett r 960 tallr. Ez az 1200 tallrnak 8,01001200960 = -szorosa, vagyis 80 %-a.

Teht mg a nett rat annak 25%-val kell megnvelni, addig a brutt rat annak 20%-val

kell cskkenteni.

Vizsgljuk meg a kvetkezt:

nett r 80 tallr brutt r 100 tallr

+25 % FA 20 tallr - 20% FA 20 tallr brutt r 100 tallr nett r 80 tallr

Azt kaptuk, hogy ha valahny szzalkkal megnveltk egy mennyisgnek az rtkt,

akkor az eredeti rtk visszalltshoz NEM UGYANANNYI SZZALKKAL kell

cskkenteni a megnvelt rtket.

Mintaplda7

Becsld meg a svdiagramrl, hogy hny kg a tmege az egyes

almafajtknak, s ez hny szzalka az egsznek, ha sszesen

60 kg alma tmegt brzoltk! Hasznlj vonalzt a mrshez, s

kszts tblzatot!

Megolds:

szzalk tmeg (kg) fajta 20% 12 Jonatn 10% 6 Idared

13,3% 8 Starking25% 15 Golden 6,7% 4 Somogyi

A szzalkszmts specilis trtrsz-szmts:

==

=

=

rsz 1100100%100

rsz100

%

rsz100

1%1

pp


Pldul mennyi 80-nak a 25%-a? 20418025,080

1002580 === .

Pldul melyik szmnak a 25%-a a 20?

802041vagy2025,0

10025 ==== xxxx .

Pldul 80-nak a 20 hny szzalka (hny szzadrsze)?

%25%2525,010025

41

8020 ==== -a.

A szzalknl kisebb arnyt fejez ki az ezrelk ( / ). rtelmezse s hasznlata a szzalk-

hoz hasonlan trtnik.

Feladatok

41. Egy keresked ktfle rucikket vsrolt: inget ktszer annyirt, mint plt. Az inge-

ken 15%-ot, a plkon 20%-ot keresett, gy a nyeresge 100-100 darab eladsa utn

31500 Ft. Mennyirt vsrolta, s mennyirt adta el a termkeket? Hny szzalk az

sszes nyeresge?

1) Szzalkrtk meghatrozsakor az adott mennyisg valahny szzadrszt szmoljuk.

2) Az alap meghatrozsakor a trtrsz ismeretbl az egsz mennyis-get szmoljuk.

3) A szzalklb a szzalkrtk s az alap arnyt mutatja

(szzadokra vltva): rsz100

% pp = .


42. Egy kerkpros 24 km/h sebessggel halad, sszesen 120 km utat kell megtennie. Az

t hny szzalkt teszi meg 45 perc, 1 ra, msfl ra, 2 ra, illetve 200 perc alatt?

(Kszts tblzatot!)

43. Hny szzalka a szablyos sokszg terlete a kr rajzolhat kr terletnek, ha a

sokszg

a) hromszg;

b) hatszg;

c) ngyzet?

44. Egy tglalap egyik oldalt megnveltk p%-kal. Hny szzalkkal kell a msik oldalt

cskkenteni, hogy a terlete vltozatlan maradjon?

a) p = 25%; b) p = 20%; c) p = 30%; d) p= 50%.

45. Hny szzalka a tglalap terlete a kr rhat kr terletnek, ha oldalai

a) 12 cm s 5 cm; b) 3 s 4 cm; c) 10 s 13 cm; d) 12,5 s 17,4 cm?

46. dn nagymamja aszalt szilvt kszt. 3,5 kg szilvbl. 105 dkg marad a folyamat

vgre, mert az eredeti szilva tmegnek jelents rsze elprolog a vzzel. Hny

szzalk a slyvesztesg?

47. Az albbi grafikon a TurboEdu Kft.

tanfolyamain rszt vev hallgatk szmt

mutatja, ves felbontsban.

a) Hatrozd meg, hny szzalkkal n-

vekedett a hallgatk szma az egyes

vekben az elz vihez kpest!

b) Az utols vi nvekedst felttelezve

mennyi hallgatra szmtson a veze-

tsg 2005-ben?


48. Egy orszgban az emberek ves keresetk utn a kvetkezkppen adznak:

ha az ves kereset nem ri el az 500 zedet, 20% az ad;

ha a kereset 500 s 1000 zed kztt van, akkor 100 zed s a kereset 500 zedet meg-

halad rsznek 30%-a az ad;

ha a kereset 1000 zed felett van, akkor 250 zed s az 1000 zedet meghalad rsz-

nek 40%-a az ad.

a) Hny zed az ves adja annak, akinek az ves keresete 2500 zed?

b) Mennyi az ves keresete annak, akinek 112 zed az adja?

49. Az albbi elektronikus kijelz egy parkolhz bejrata fltt lthat. Az olvashat le

rla, hogy a parkolhelyek hnyad rsze szabad. A szrke rsz jelenti a foglalt

parkolhelyeket.

a) Hny szzalka SZABAD a parkolnak?

A) 80%-a; B) 70%-a; C) 60%-a; D) 50%-a.

b) Hny aut ll a garzsban, ha 80 frhelyes a parkol?

A) 24; B) 32; C) 48; D) 56.

50. Fantziafld kormnya egy kormnyzati ciklus alatt 360 km autplya ptsre vllalt

ktelezettsget, s a megbzst kt pt cg kapta. Mivel idkzben kiderlt, hogy az

adkbl tbb pnz folyt be, ezrt tovbbi megbzst kaptak a cgek: az egyik az

eredeti tvolsg 112%-t, a msik pedig a 110%-t ptette meg, gy a kormny

40 km-rel tbb autplyt ptett a tervezettnl. Mennyi ttal ptettek tbbet az egyes

cgek az eredeti tervhez kpest?


51. Egy tmblaksban l csald talnydjat fizet az elfogyasztott vz utn. Az talnyt

gy llaptjk meg, hogy a hz sszes vzfogyasztst elosztjk a lakk szmval.

A csald szerint tl sok talnyt szmolnak nekik, k csak a 80%-t fogyasztjk el a

rjuk kirtt 26 m3-nek. gy dntenek, hogy beszereltetnek egy 14000 tallros vzrt a

laksukba. Mennyi id alatt trl meg a befektets, ha valban csak a 80%-t

hasznljk el a kirtt vzmennyisgnek, s egy m3 vz ra 212 Ft?

52. Grdonyi Gza: Egri csillagok cm regnye 525 oldal. Istvn 4 ht alatt szeretn

kiolvasni a knyvet, ezrt naponta elolvas 12 oldalt. Egy ht utn rjn, hogy nem fog

vgezni. Hny szzalkkal kell a naponta elolvasott oldalak szmt nvelnie, hogy

idre vgezzen?

53. Paradicsom rnak van 6 720 000 fabatka megtakartott pnze, amit szeretne befektetni.

A biztos befektetsnek szmt llampaprok hozama vi 7,5%, egy bizonytalanabb

rszvnypiaci ajnlat viszont vente 18%-ot gr. Mennyit fektessen be az egyes

ajnlatokba, ha 13%-os haszonra szeretne szert tenni egy v alatt?

54. A ktszint rettsgin egy adott tantrgybl az rsbeli vizsgarszen 100 pont,

a szbelin 50 pont az elrhet maximum, s az sszpontszm 20%-tl elgsges az

osztlyzat. Helyesen okoskodik-e az, aki azt mondja, hogy az rsbelin elrek 18%-ot,

a szbelin 22%-ot, ezek tlaga ppen 20%, teht tmentem a vizsgn?

55. Bontsd 160-at kt szm sszegre gy, hogy az egyik rsz 40%-hoz a msik rsz

60%-t adva 79-t kapjunk!

56. Egy szmhoz hozzadjuk a 25 %-t, aztn mg a 35%-t, az sszegnek a 25%-t, s

36-ot kapunk. Melyik ez a szm?


57. Vannak idszakok, amikor a tzsdn hullmvlgyek kvetik egymst. A Herkules s

Tsa cg rszvnyeinek rfolyama is sajtosan viselkedik, napi eltrsekkel:

ha az rfolyam tegnap nvekedett, akkor ma cskkenni fog 10 %-kal a tegnapihoz

kpest.

ha tegnap cskkent, akkor ma emelkedik 10 %-kal a tegnapi rfolyamhoz kpest.

Kt ht mlva az eredeti rfolyamhoz kpest nvekszik, vagy cskken, esetleg azonos

marad-e a Herkules rszvnyek rfolyama?

58. Egy keresked a termkt gy tudta eladni, hogy az eredetileg tervezett rbl elbb

8%-ot, majd ebbl mg 10%-ot engedett. Az gy kialakult r 2070 Ft. Mennyi volt az

eredeti r?

59. A boltokban kiskereskedk ruljk a cikkeket, amiket nagykereskedktl, ltalban

raktrruhzakbl vsrolnak. A raktrak a termelktl szerzik be az rut. Mennyi lesz

annak a ruhnak az ra, amelynek a termeli ra 946 Ft, a nagykereskedelmi haszon-

kulcsa (a nagykeresked haszna) 4%, a kiskereskedelmi haszonkulcsa (a kiskeresked

haszna) pedig 8,5%?

60. Egy kvfz fogyaszti ra 3250 Ft, a nagykereskedelmi rrs 336 Ft, a kiskereske-

delmi haszonkulcs 14%. Mennyi a kvfz termeli ra?

61. Tegnap vettem egy biciklit 10500 Ft-rt, ma tovbbadtam 12000 Ft-rt. Hny sz-

zalkos a hasznom? Ha 10000 Ft-rt adtam volna el, hny szzalk lenne

a vesztesgem?


Mintaplda6 (keverses plda)

A tengervz startalma 5%. Mennyi desvizet kell 200 liter tengervzhez nteni, hogy

a keverk startalma 2% legyen?

Megolds:

A keverses feladatoknl mindig az oldott anyag mennyisge az, amire alapozzuk a

szmtst. Jelen esetben 1005,0200 = liter a s, s ez a kevers utn is ugyanennyi marad.

Ha 10 liter az alap 2%-a, akkor a 100% (vagyis a teljes mennyisg) 5001002

10 = liter.

A klnbsg teht 300 liter, ennyit kell a tengervzhez nteni.

Egyenlettel is felrhat a megolds: x liter desvz esetn a startalom:

( ) 02,020005,0200 += x , ahonnan x = 300.

Feladatok

62. 2 kg 25%-os soldatbl mennyi vizet kell elprologtatni, hogy 32%-os oldatot

kapjunk?

63. Mennyi 42%-os knsavat kell nteni 2,6 liter 20%-os koncentrcijhoz, hogy az

eredmny 30%-os koncentrcij knsav legyen?


Kislexikon

Az arny mindig kt vagy tbb mennyisg viszonyt jelenti. Az arny rtke brmilyen

szm, pldul irracionlis szm is lehet.

Kt szm arnya: felrhat a:b jellssel, de jellhetjk trttel is: ba , ez egyben megadja az

arny rtkt is. Az arnyban a tnyezk nem cserlhetk fel: ab

ba .

Egyenes arnyossg: Kt mennyisg egyenesen arnyos, ha AHNYSZOROSRA vlto-

zik az egyik mennyisg, ANNYISZOROSRA vltozik a msik. Egyenes arnyossg esetn

az sszetartoz rtkprok hnyadosa egyenl. Az egyenes arnyossg grafikonja: orign

tmen egyenes.

Fordtott arnyossg: Kt mennyisg fordtottan arnyos, ha AHNYSZOROSRA n-

vekszik az egyik mennyisg, ANNYISZOROSRA cskken a msik. Fordtott arnyossg

esetn az sszetartoz rtkprok szorzata egyenl. A fordtott arnyossg grafikonja hiper-

bola.

A szzalkszmts specilis trtrsz-szmts:

Szzalkrtk meghatrozsakor adott mennyisg valahny szzadrszt szmoljuk.

Az alap meghatrozsakor a trtrsz ismeretbl az egsz mennyisget szmoljuk.

A szzalklb a szzalkrtk s az alap arnyt mutatja (szzadokra vltva).

6. MODULTrELEMEK

Ksztettk: Vidra Gbor, Lnrt Istvn, Erdly Dniel, Erdly Jakab


I. A testek brzolsa, jellemzse Bevezets

Bizonyra jrtatok mr gy, hogy elt-

vedtetek egy ismeretlen pletben vagy

vrosban. Ha j helyre megynk, trben

val tjkozdsunkat sok dolog segt-

heti: testek, testszgletek, jellemz for-

mk, sznek. A kvetkezkben a testek

elnevezsvel, lersval, felismersvel

foglalkozunk. A hasbot vagy a hengert

mindannyian ismeritek, de ezeken kvl

sok olyan trbeli forma van, ami megragadja kpzeletnket. Pldul sok vulkni cscs

csonkakp alak.

Szilassi Lajos ksztett olyan htlap polidert, melynek brmely kt lapja szomszdos (Szilassi-polider).

2005 Erdly Dniel

Erdly Dniel Spidron trkitlt rendszervel kszlt polider (spiralloder).

Rinus Roelofs (holland kpzmvsz) s Erdly Dniel

6. modul: TRELEMEK 173

A Spidron-rendszer alapjt az brn lthat, hromszgekbl is sszellthat elem kpezi.

Segtsgvel nemcsak hzagmentesen tlthetjk ki a skot, hanem a megfelel tlk mentn

sszehajtva rendkvl plasztikus trkitltseket, testeket nyernk.

Kiss Gerg animcijnak rszletei 2005 Erdly Dniel

Antonio Gaudi (spanyol ptsz, 18521926)

munki a trformk kihasznlsnak nagy-

szer pldi. Ilyen a Battlo-hz homlokzata

is Barcelonban.

A termszettudomnyban a testeknek, a tr-

beli szimmetriknak kiemelked jelentsge

van (gondoljunk az atomon belli elektron-

felhre, vagy az llnyek szimmetria-

tulajdonsgaira). Vannak olyan problmk

is, amelyeket a szimmetria kihasznlsa nl-

kl meg sem tudnnk oldani. A kristlyfor-

mk, a molekulk trbeli alakja, modellezse

ugyangy hozztartozik ehhez a tudomny-

hoz, mint az ipari tervezskor felhasznlt

ismeretek. Nagy jelentsge van pldul

azoknak a trformknak, amelyek sszehaj-

togatva kis helyen elfrnek, szthajtogatva

pedig klnbz funkcikat szolglnak (laktr, stor, szthajthat antenna stb.)


A testek brzolsa A testek skbeli brzolsra mr lthattatok nhny pldt eddigi tanulmnyaitok sorn.

Egy polider hljn rtjk azt a sokszglapot, amelyet, ha egy sklapbl kivgunk, akkor sszehajtogathat belle a test fellete.

Igen gyakori brzolsi mdszer a perspektivikus, amellyel a trbeli alakzatokat mrnki pon-tossggal brzolhatjuk a skban. Victor Vasarely (19081997), Maurits Cornelis Escher (18981972) s Roger Penrose (1931) a hamis perspektva nagymesterei, grafikikon rend-szeresen lehetetlen alakzatok tnnek fel. A perspektivikus brzols kzpkori ttri kz soroljuk Filippo Brunelleschi (13771446) s Albrecht Drer (14711528) mestereket.

A testek csoportostsa A testeket kt nagy csoportba soroljuk: grbe felletek s poliderek. poliderek: vges sok sokszg ltal hatrolt testek;

o hasbok (egyenes s ferde), o glk (egyenes, ferde, csonka), o szablyos testek, o egyebek.

grbe fellet testek: a hatrol lapok kztt van grbe fellet is; o hengerek (egyenes s ferde), o kpok (egyenes, ferde, csonka), o forgstestek (valamely skidom adott tengely krli megforgatsval keletkeznek,

forgsszimmetrikusak), o gmbk, o egyebek.


Feladat

1. Rajzolj pldkat a Venn-diagramm megfelel rszeire!

Elnevezsek

Adott az alapskon egy grbe vonallal hatrolt skidom (alaplap), s egy egyenes, amely az

alapskkal nem prhuzamos. Ha a grbe minden pontjn keresztl prhuzamost hzunk az

adott egyenessel (alkotk), hengerfelletet kapunk. Ezt elmetsszk egy, az alapskkal prhu-

zamos skkal (fedlap). Az gy keletkez bezrt trrszt nevezzk hengernek. Ha a grbe kr,

a test neve krhenger. Egyenes krhengernl az adott egyenes merleges az alapskra.

A test grbe hatrol fellett palstnak nevezzk. Az alaplap s a fedlap skjnak tvols-

ga adja a testmagassgot.

Henger Krhenger Egyenes krhenger


Adott az alapskon egy grbe vonallal hatrolt skidom (alaplap), s egy pont az alapskon

kvl (cscspont). Ha a grbe minden pontjt egyenesekkel sszektjk az adott ponttal, kp-

felletet kapunk. A keletkez bezrt trrszt nevezzk kpnak. Ha a zrt grbe kr, a test

neve krkp. Egyenes krkpnak nevezzk a krkpot, ha a pontnak az alaplap skjra es

merleges vetlete az alapkr kzppontjba esik. A test grbe hatrol fellett nevezzk

palstnak (egyenes krkp skba kitertett palstja krcikk), a cscspont s a grbe ltal

meghatrozott egyeneseket pedig alkotknak. Az alaplap skjnak s a cscsnak a tvolsga

adja a testmagassgot.

Ha az egyenes krkpot elmetsszk egy olyan skkal, amely a kp testmagassgnak egyene-

st tartalmazza, akkor egyenlszr hromszget kapunk (alapja az alapkr tmrje, szrai a

kp alkoti). Msknt: az egyenes krkp tengelymetszete egyenlszr

hromszg. A szrak ltal bezrt szget () a kp nylsszgnek ne-vezzk.

Ha a kpot elmetsszk egy, az alaplappal prhuzamos skkal, csonkakpot kapunk. Az alap-

lap s a fedlap skjnak tvolsga adja a testmagassgot.


Adott az alapskon egy sokszg (alaplap), s egy egyenes, amely az alapskkal nem prhuza-

mos. Ha a sokszg minden pontjn keresztl prhuzamost hzunk az adott egyenessel, hasb-

felletet kapunk. Ezt elmetsszk egy, az alapskkal prhuzamos skkal (fedlap). Az gy ke-

letkez bezrt trrszt nevezzk hasbnak. Egyenes hasbnak nevezzk azt a hasbot,

amelynl az adott egyenes merleges az alapskra. Az oldallapokat egytt palstnak nevez-

zk. Az alaplap s a fedlap skjnak tvolsga adja a testmagassgot.

Adott az alapskon egy sokszg (alaplap), s egy pont az alapskon kvl (cscspont). Ha a

sokszg minden pontjt egyenesekkel sszektjk az adott ponttal, glafelletet kapunk. A

keletkez bezrt trrszt nevezzk glnak. A testmagassg az alaplap skjnak s a cscs-

pontnak a tvolsga.

A hromszg alap gla brmely lapja lehet alaplap. Ezt a feladatok megoldsakor figye-

lembe kell venni: elkpzelhet, hogy a testet elforgatva knnyebb a megolds. Pldul a koc-

ka sarkt levgva olyan glt kapunk, amelyet elforgatva a derkszg hromszget is v-

laszthatjuk alaplapnak (gy egyszerbb vlik az alapterlet s a testmagassg szmtsa).

Ha a glt elmetsszk egy, az alaplappal prhuzamos skkal, csonkaglt kapunk.

Szablyos glnak az alaplapja szablyos sokszg, az oldallapok pedig egybevg egyenl-

szr hromszgek.

Konvex testeknek nevezzk azokat a testeket, amelyeknek brmely kt pontjt sszekt

szakaszt a test teljes egszben tartalmazza. A konkv testek a nem konvexek, azaz a testnek

van legalbb kt olyan pontja, amelyeket sszekt szakaszt a test nem tartalmazza teljes eg-

szben.


Azokat a testeket, amelyeknek minden lapja egybevg, izodereknek nevezzk.

Szablyos testeknek nevezzk azokat a konvex polidereket, amelyeknek lei, lszgei s

lapszgei is egyenlk (ezekkel a hajlsszgekkel a ksbbiekben foglalkozunk). Bizonythat

(mr Eukleidsz is megtette Elemek cm knyvben, kb. Kr.e. 300-ban), hogy sszesen csak

t szablyos test van: szablyos tetrader, kocka, oktader, dodekader s ikozader. Nevket

oldallapjaik szmrl kaptk. A szablyos testeket platonikus testeknek is nevezzk.

A szablyos testek adatai

Lapok Cscsok szma

lek szma

Hatrol lap leinek szma

Szablyos tetrader 4 4 6 3 Hexader (Kocka) 6 8 12 4 Oktader 8 6 12 3 Dodekader 12 20 30 5 Ikozader 20 12 30 3

A testeket lvzukkal is brzolhatjuk. Ebben az esetben jobban lthat, hogy milyen sk-

idomok hatroljk a testet, hny le van a testnek, s hny l fut ssze az egyes cscsokban.

Az lvz alapjn knnyebb megszerkeszteni a testek hljt is.


Testek a gmbi skon (kiegszt anyag)

Nemcsak a sklapon, de ms felleteken is brzolhatunk testeket, hlkat, alakzatokat. Kny-

nyzenei s ms rendezvnyeken, planetriumokban gyakran vettik klnfle trbeli trgyak

vagy hlzatok kpt grblt felletekre, pldul henger- vagy gmbfelletre.

Klnsen rdekesek a szablyos s flig szablyos testek gmbi bri. Kpzeljnk el egy

szablyos (platoni) vagy flig szablyos (arkhimdszi) testet, amely kr a cscsain tmen

gmbt szerkesztnk. A gmbfelleten megjelen cscspontokat nem trbeli egyenes szaka-

szokkal ktjk ssze (gy az eredeti testet kapnnk vissza), hanem gmbfelleti egyenes

darabokkal, vagyis fkrvekkel. Ilyen mdon a test gmbi hljt kapjuk. Coxeter (ejtsd:

kksztr) hres, kivl kanadai matematikus ezeket a gmbi hlkat felfjt testeknek ne-

vezte.

Prbljunk ilyeneket a gmbn megszerkeszteni!

2. Rajzoljunk hrom, pronknt merleges fkrt! Melyik szablyos test gmbi hljt

kapjuk?

3. Szerkesszk meg a gmbi, felfjt oktader hromszgeinek szimmetria-kzppontja-

it! Az egymshoz legkzelebb esket kssk ssze fkrvvel, ms szn tollal! Hny

legkzelebbi szomszdot tallunk? Milyen szablyos testet kapunk?

4. Hogyan lehet a felfjt kockbl a felfjt tetradert megszerkeszteni?


A testek trfogata, felszne (ismtls)

Testek trfogata: annak a trrsznek a mrtke, amelyet a test fellete hatrol.

Ez a megfogalmazs ahhoz elegend, hogy a trfogat szemlletes fogalmt tisztzzuk.

A polider szabatos trfogatfogalma az sszehasonltson alapul: azt llaptjuk meg, hogy

a test trfogata hnyszorosa az egysgkocka trfogatnak. gy a polider trfogata egy

olyan, a testhez rendelt olyan pozitv szm, amelyre teljeslnek a kvetkezk:

1. az 1 egysg lhosszsg kocka (egysgkocka) trfogata 1;

2. az egybevg testek trfogata egyenl;

3. ha egy testet vges szm testre bontunk szt, azok trfogatainak sszege

egyenl az eredeti test trfogatval.

Testek felszne: a testet hatrol fellet mrtke. Sklapokkal hatrolt testek esetn a hatrol

lapok terleteinek sszege, grbe felletekkel hatrolt testek esetben a felszn fogalma

bonyolultabb (hatrrtk-szmts segtsgvel trtnik).

Nhny test trfogata s felszne

A kocka trfogata: 3aV = , felszne A = 26a (a a kocka le).

A tglatest trfogata: abcV = , felszne )(2 acbcabA ++= (a, b s c a tglatest lei).

A gmb trfogata: 334 rV = , felszne 24rA = .

A henger trfogata: mrV = 2 , ahol r az alapkr sugara, m a testmagassg,

Az egyenes krhenger felszne: )(2 mrrA += .

A hasb trfogata: gtestmagasstalapterleV = ,

A hasb felszne: terletepalsttalapterleA += 2 .

A gla trfogata: 3

magassgtalapterleV = , a kp trfogata: 3

2 mrV = .

Feladatok

5. Gyjtsd ki a szvegbl, hogy milyen jellemzket, fogalmakat hasznlunk a testek ler-

sra!

6. Gyjtsd ki a szvegbl, hogy milyen fogalmak szerepelnek az albbi testeknl:

a) gla; b) kp; c) hasb; d) henger.


II. Tr? Szemllet!

7. Egsztsd ki az brkat gy, hogy egy kocka hljt kapjuk!

a) b) c)

8. Lehet-e kockt hajtogatni az albbi skidomokbl?

a) b) c) d) e)

9. Hov rajzolhatjuk az (a) s (b) hatrol lapokat, hogy a hlbl egy ngyszg alap

egyenes hasbot lehessen kszteni?

10. Hny le van annak a testnek, amelynek hlja az albbi brn lthat?

a) b) c) d)

a b


11. Polydronbl pts kt szablyos tetradert, de az egyik le legyen ktszerese a msik

lnek.

a) Hnyszor annyi ptelem kell a nagyobbhoz?

b) Hnyszor akkora az lek hossznak sszege?

c) Hnyszor fr bele a kicsi a nagy belsejbe?

12. Melyik lehet, s melyik nem lehet a tetrader hlja?

a) b) c)

d)

13. lltsd ssze Polydronbl a ngy darab szablyos hromszgbl ll sszes lehetsges

skidomot. Melyik lehet ezekbl szablyos tetrader hlja? Hajtogatssal ellenrizd!


14. Trstsd a testeket a nekik megfelel testhlhoz:

a) b) c)

d) 1) 2)

3) 4)


15. Prostsd a testeket a sztszedett prjukkal!

a) 1)

b) 2)

c) 3)


16. Ksztsd el a kocka hljt, s rajzold bele, hogy a test felsznre rajzolt vonal hogyan

jelenik meg a hln!

a) b)

17. Az brn hrom kocka (A, B, C) s a hlik lthatk (1, 2, 3).

a) Melyik hl melyik kockhoz tartozhat?

I) A3, B2, C1 II) A1, B3, C2

III) A2, B1, C3 IV) A1, B2, C3

b) A C jel kocka felsznnek hny szzalka van befestve?

18. Melyik test hlja ez? Rajzold le msflekppen is

a test hljt!

A) Tglalap alap gla.

B) Tglalap alap hasb.

C) Derkszg hromszg alap hasb.

D) Derkszg hromszg alap gla.


19. A kvetkez rajz egy tglatest hljt brzolja.

Mekkork a tglatest lei?

20. Egyiptomban Kheopsz fra ptsze terveket mutatott be az uralkodjnak kszl

piramisrl. (A piramis egy ngyzet alap egyenes gla.) Az ptsz papiruszbl mo-

dellt ksztett a franak. Az albbi modellek melyikbl lehet darabols nlkl teljes

piramismodellt sszelltani?

21. Az brn ugyanannak a kocknak a hrom nzett ltjuk. Ksztsd el ennek a kocknak

hlzatt. Figyelj arra is, hogy a grg betk merre fel fordulnak!


22. A kvetkez szabsrajzon az egyik ragaszt flecske

flsleges. Melyik?

23. Folytasd a sznezst! Az oldallapok negyedeibl ll kis

ngyzeteket sznezd ki gy, hogy az oldaluknl tallkoz

ngyzetek klnbz sznek legynek! Rajzold le a kocka

kisznezett hljt! Legalbb hny sznt kell felhasznlnod?

24. Kszts koordinta-rendszert, amelyben brzolod n-

hny konvex test lapjai s cscsai szmnak sszegt

az lek szmnak fggvnyben! Milyen sszefggs

olvashat le a kapott eredmnybl? Adatforrsknt

hasznlhatod a szablyos testek tblzatt, korbbi fel-

adatokban szerepl, vagy az albbi tblzat alatt elhe-

lyezked testeket is!

Elszr tltsd ki a tblzatot, s ennek alapjn rajzold be a pontokat a koordinta-

rendszerbe!

Test

Cscsok

Lapok

lek


25. Hatrozd meg, hogy poliderek-e s konvexek-e a kvetkez testek:

a) b) c)

26. Milyen skidomok hatroljk a kvetkez testeket? Add meg azt is, hogy mennyi a

szmuk!

a) b)

27. A fullernek sznatomokbl felpl kalickaszer,

gmbszer molekulk. A legelszr megtallt kzlk

a 60 sznatombl ll buckminsterfullern, ms nven

futballabda molekula. A C60 fullern modelljnek fellett

12 szablyos tszg, s 20 szablyos hatszg alkotja.

Alapszably, hogy a molekula stabilitsa miatt az tszgek

nem rintkezhetnek. Hny le van a fullern molekulnak?

28. Milyen szimmetrikat ismersz fel az albbi testeken?

a) szablyos hatszg b) szablyos tszg c) szablyos tszg

alap gla alap hasb alap test


29. Az albbi brn egy hromdimenzis alakzat s annak lehetsges fellnzeti kpei

lthatk. Vlaszd ki a tnyleges fellnzeti kpet!

30. Ha egy kockt mind a hat lapjra tkrznk, akkor

az albbi testet kapjuk (a testet trbeli keresztnek hvjk).

a) Hnyszorosa az gy kapott test trfogata az eredetinek?

b) Hnyszorosa az gy kapott test felszne az eredetinek?

2005 Erdly Dniel


31. A kvetkez bra bal oldaln ngy trgy kpe tallhat, a jobb oldaln pedig fellnze-

ti kpeik lthatk. Prostsd ssze a trgyakat fellnzeti kpeikkel! rd a megfelel

szmot a megfelel bet mell!


32. Mikls ptkockkbl egy alakzatot rakott ssze az asztalon, majd lerajzolta, hogy

milyennek ltja ezt az alakzatot fentrl, ellrl s balrl nzve.

ccse kiegsztette ezt az alakzatot a lehet legkisebb tglatestt gy, hogy az alakzat-

hoz tovbbi ptkockkat rakott. Hny ptkockbl ll ez a tglatest?

A) 12 ptkockbl B) 14 ptkockbl

C) 18 ptkockbl D) 27 ptkockbl

33. Technikarn azt a feladatot kaptk a dikok, hogy ksztsenek piramist

101010 cm-es kockk sszeragasztsval.

A piramis alapja 24 kockbl ll, ahogyan ennek a fellnzeti rajza az 1. brn lthat.

A 2. bra az els s a msodik szint egymshoz viszonytott elhelyezkedst mutatja.

Minden szint az alatta lv szintbl egy 5 cm szles keretet hagy lefedetlenl.


a) Hny kockra van szksg az egyes szintek elksztshez? Egsztsd ki az albbi tblzatot!

b) A hetedik szintet figyelmen kvl hagyva milyen szably szerint vltozik a szom-szdos szintekhez szksges kockk szma?

34. Az oldals brn egy szablyos dobkocka lthat. A szemkzti oldalain lv pttyk

szma sszesen 7. Ha ezt a dobkockt a berajzolt tengely mentn 90-kal az

ramutat jrsval ellenttes irnyba elforgatjuk, mely oldalait ltjuk? Rajzold be az

brba!

35. Az brn ngy vegedny lthat.

(Az 1-es pohr hengernek, a 2-es bls rsznek als rsze flgmbnek tekinthet. A 3-as jel

kancs szablytalan alak, a 4-es pohr fels rsze pedig kp formj.)

Hatrozd meg, hogy az egyes vegednyekben melyik grafikon szerint vltozik a vz

magassga az ednybe nttt vz mennyisgnek fggvnyben!

1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint 7. szint

24 kocka

2005 Erdly Dniel


36. Ica henger alak bgrje ktszer akkora tmrj, de fele olyan magas, mint Annamari

bgrje. Melyikbe fr tbb tea? Vlaszodat matematikai rvekkel tmaszd al!


III. Trelemek tvolsga, hajlsszgek Az anyagi trgyak, testek alakjt s tulajdonsgait vizsglva tbb ezer vvel ezeltt elvonat-

koztatssal (absztrakcival) jttek ltre a geometria alapfogalmai. A tr elemeinek (pontok,

egyenesek, skok) jellemzshez segtsget nyjtanak az albbi, sszefoglal jelleg meghat-

rozsok. A szemlletessg kedvrt egy kockn mutatjuk be, amirl szt ejtnk. Az egyene-

seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzk meg, amelyeken tmennek. A skokat ha-

sonlan: hrom pont egyrtelmen meghatrozza a rajtuk tfektetett skot.

Kt egyenes klcsns helyzete a trben lehet metsz,

prhuzamos, vagy kitr.

Kt sk klcsns helyzete a trben lehet

prhuzamos vagy metsz.

Egyenes s sk klcsns helyzete a trben lehet

prhuzamos vagy metsz.

Tvolsgok Ponthalmazok, skidomok tvolsgnak ltalnos rtelmezsekor a minimum megkeresse a

vezet elv.

Pont s egyenes tvolsgn a pontbl az egyenesre bo-

cstott merleges szakasz hosszt rtjk.

Pont s sk tvolsgn a pontbl a skra bocstott merle-

ges szakasz hosszt rtjk. Definci szerint: egy egyenes

merleges a skra, ha a sk sszes egyenesre merleges. A

jells azrt dupla derkszg, mert igazolhat a kvetkez

llts: ha egy egyenes merleges a sk kt metsz egyenesre, akkor merleges a skra, vagy-

is a sk minden egyenesre.


Prhuzamos egyenesek tvolsgt az ket sszekt,

rjuk merleges szakasz hossza adja. Fogalmazhatunk

gy is, hogy az egyik egyenesen kivlasztunk egy tetsz-

leges pontot, s ennek a pontnak a msik egyenestl val

tvolsga adja a kt egyenes tvolsgt.

Prhuzamos skok tvolsgt az ket sszekt, rjuk

merleges szakasz hossza adja. Fogalmazhatunk gy is,

hogy az egyik skon kivlasztunk egy tetszleges pon-

tot, s ennek a pontnak a msik sktl val tvolsga

adja a kt sk tvolsgt.

Egyenes s vele prhuzamos sk tvolsgt az egyenesre s a skra egyarnt merleges, k-

zttk elhelyezked szakasz adja. Fogalmazhatunk gy is, hogy az egyenesen kivlasztunk

egy tetszleges pontot, s ennek a pontnak a sktl val tvolsga adja az egyenes s a sk

tvolsgt.

Hajlsszgek Egyenes s sk hajlsszgn rtjk az egyenes s ennek a

skra es merleges vetlete ltal bezrt szget. Ha a

vetlet egy pont, akkor az egyenes merleges a skra.

Ms esetben az gy kapott kpegyenes s az eredeti

egyenes hajlsszge adja az egyenes s a sk hajlsszgt.

Kt kitr egyenes hajlsszgt a velk prhuzamos, egymst metsz egyenesek hajlsszge

adja.

Kt sk hajlsszgt gy kapjuk, hogy a metszsvonalra,

annak egy tetszleges pontjban mindkt skban egy-egy

merleges egyenest bocstunk. Ennek a kt egyenesnek a

hajlsszge adja a kt sk hajlsszgt. Kt sk hajlsszge

derkszgnl nem nagyobb.


Feladatok

37. Rajzold be a kvetkez glkba a megfelel szgeket: : alaplap s oldallap szge; :

alaplap s oldall szge; : szomszdos oldallapok hajlsszge. Rajzold be a test-

magassgot is!

a) b) c)

38. Jelld be a kockn a kvetkez tvolsgokat s hajlsszgeket:

a) B s ADH sk tvolsga;

b) AG testtl s H cscs tvolsga;

c) AG testtl s EFG sk hajlsszge;

d) B cscs tvolsga AEG sktl;

e) B cscs tvolsga ADG sktl;

f) B tvolsga DEG sktl;

g) AB s BH testtl hajlsszge.

39. Jelld meg a szablyos hatszg alap egyenes hasbon a kvetkez tvolsgokat s

hajlsszgeket:

a) d = testmagassg;

b) = a leghosszabb testtl s az alaplap hajlsszge;

c) = a leghosszabb testtl s az alapl hajlsszge;

d) = a leghosszabb testtl s az oldallap hajlsszge.

A B

C D

E F

G H


IV. Trbeli szmtsok Mintaplda1

Hatrozzuk meg a ngyzet alap szablyos gla testmagassgt, ha minden le 10 cm hossz!

Megolds:

A megfelel derkszg hromszg egyik befogja M

(testmagassg), msik befogja az alaplap tljnak a

fele, azaz 252

2102

==d .

A Pitagorasz-ttelt felrva: ( ) 222 1025 =+ M , amibl cmMMM 255050100225 22 ====+ .

Ebbl kvetkezik, hogy a bejellt hromszg egyenlszr.

Feladatok

40. Hatrozd meg a kocka testtljnak hosszt, ha az le

a) 10 cm; b) 25 cm; c) a egysg!

41. Hatrozd meg a szablyos hatszg alap egyenes hasb leghosszabb testtljnak

hosszt, ha minden le 12 dm!

Mintaplda2

Szmtsd ki, hogy a kockba rt gmbn kvli res rsz hny szzalka a kocka trfogat-

nak!

Megolds:

A kocka trfogata a3, a kockba rt gmb sugara2a , gy annak trfogata 3

3

6234 aa =

. Az

res rsz s a kocka trfogatnak arnya =

=

3

3

3

33

61

6a

a

a

aa

%6,47476,06

1 == .


Feladatok

42. Szmtsd ki, hogy a gmbbe rt kocka esetn az res rsz trfogata hny szzalka

a) a gmb trfogatnak (a gmb sugara R);

b) a kocka trfogatnak (a kocka le a).

43. Hatrozd meg, milyen mlyen nylik a fld al az brn lthat piramis folyosja,

aminek vgn a piramiskamra tallhat!

a) a = 120 m, b = 32 m, c = 18m;

b) a = 13 dm, b = 69 cm, c = 53 cm;

c) a = 2 m, b = 98 cm, c = 14,5 dm;

44. A szablyos tetrader lapjaira rd r a szmokat 1-tl 8-ig

gy, hogy brmelyik cscsban tallkoz ngy lapon a

szmok sszege 18 legyen!

45. Egy 6 cm lhosszsg kockt hat lnek felezpontjaira

fektetett skkal kettvgunk az bra szerint. Rajzold le a vgs

utn testek hljt, s hatrozd meg a felsznket is!

46. Egy hangya az A cscsbl a B cscspontba a lehet

legrvidebb ton szeretne eljutni a ngyzet alap

szablyos gla felletn az oldallapokon haladva. A gla

minden le 5,6 cm. Mekkora utat kell megtennie?

47. Rajzold meg trben azokat a testeket, amelyeket fellrl s ellrl nzve az albbi

brn ltjtok. Egy trgy egyrtelm megjelentshez elegend-e kt oldalrl

rnzni? Mirt?


2005 Erdly Dniel

48. A ngy kp kzl melyik nem a nzete a kzpen lthat hat sznes golybl ll rugs testnek?

Erdly Jakab munkja

a) b)

d) c)

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6


Trszemllet-fejleszt feladatok

49. Rajzold meg, hogyan nz ki az albbi test ellrl, oldalrl s fellrl!

50. Rajzold le, hogy nz ki az az tfrt test, amelynek vetleteit a hrom bra mutatja!

2005 Erdly Dniel

51. Rajzold meg az brn lthat trgy nzeteit (ell-,

fell-, oldalnzett)!

2005 Erdly Dniel


52. Az albbi hrom kp kzl melyiken ltjuk a bekeretezett, drtbl ksztett test vala-

melyik nzett?

Erdly Jakab munkja

53. Rajzold meg azt a trgyat, amelynek hrom nzete az albbi brkon lthat! Figyelj

arra, hogy az rnykok is szerepet jtszanak a feladat megoldsban!

Fellnzet Ellnzet Jobbrl

a) b)

c)


54. Vlaszd ki, hogy melyik a pecst lenyomata a ngy rajz kzl!

2005 Erdly Dniel

55. A kzpen lthat testnek melyik bra nem a vetlete az albbi t kzl?

a) b)

2005 Erdly Dniel

c) d) e)


Kislexikon Test hlja: poliderek esetn az a sokszglap, amelyet ha egy sklapbl kivgunk, akkor sszehajtogathat belle a test fellete.

Henger: adott az alapskon egy grbe vonallal hatrolt skidom (alaplap), s egy egyenes,

amely az alapskkal nem prhuzamos. Ha a grbe minden pontjn keresztl prhuzamos

egyenest hzunk az adott egyenessel (alkotk), akkor vgtelen hengerfelletet kapunk. Ezt

elmetsszk egy, az alapskkal prhuzamos skkal (fedlap). Az gy keletkez bezrt trrszt

nevezzk hengernek. Ha a grbe kr, a test neve krhenger. Egyenes krhengernl az adott

egyenes merleges az alapskra. A test grbe hatrol fellett palstnak nevezzk. Az alap-

lap s a fedlap skjnak tvolsga adja a testmagassgot.

Kp: adott az alapskon egy grbe vonallal hatrolt skidom (alaplap), s egy pont az alaps-

kon kvl (cscspont). Ha a grbe minden pontjt egyenesekkel sszektjk az adott ponttal,

vgtelen kpfelletet kapunk. Az gy keletkez bezrt trrszt nevezzk kpnak. Ha a zrt

grbe kr, a test neve krkp. Ha a pontnak az alaplap skjra es merleges vetlete az

alapkr kzppontjba esik, egyenes krkpot kapunk. A test grbe hatrol fellett nevez-

zk palstnak (egyenes krkp skba kitertett palstja krcikk), a cscspont s a grbe ltal

meghatrozott egyeneseket pedig alkotknak. A cscsnak az alaplap skjtl val tvolsga a

kp magassga.

Az egyenes krkp nylsszge: ha az egyenes krkpot elmetsszk egy olyan skkal, amely

a kp testmagassgnak egyenest tartalmazza s merleges az alapkr skjra, akkor egyen-

lszr hromszget kapunk (alapja az alapkr tmrje, szrai a kp alkoti). A szrak ltal

bezrt szget a kp nylsszgnek nevezzk.

Csonkakp: Ha a kpot elmetsszk egy, az alaplappal prhuzamos skkal, csonkakpot ka-

punk. Az alaplap s a fedlap skjnak tvolsga adja a testmagassgot.

Hasb: adott az alapskon egy sokszg (alaplap), s egy egyenes, amely az alapskkal nem

prhuzamos. Ha a sokszgvonal minden pontjn keresztl prhuzamost hzunk az adott

egyenessel, hasbfelletet kapunk. Ezt elmetsszk egy, az alapskkal prhuzamos skkal (fe-

dlap). Az gy keletkez bezrt trrszt nevezzk hasbnak. Egyenes hasbnak nevezzk

azt a hasbot, amelynl az adott egyenes merleges az alapskra. Az oldallapokat egytt pa-

lstnak nevezzk. Az alaplap s a fedlap skjnak tvolsga adja a testmagassgot.


Gla: adott az alapskon egy sokszg (alaplap), s egy pont az alapskon kvl (cscspont).

Ha a sokszgvonal minden pontjt egyenesekkel sszektjk az adott ponttal, vgtelen gla-

felletet kapunk. A keletkez bezrt trrszt nevezzk glnak. A testmagassg az alaplap

skjnak s a kls cscsnak a tvolsga.

Csonkagla: ha a glt elmetsszk egy, az alaplappal prhuzamos skkal, csonkaglt ka-

punk. Az alaplap skjnak a fedlap skjtl val tvolsga a csonkagla testmagassga.

Szablyos gla: szablyos sokszg alap egyenes gla.

Tetrader: hromszg alap gla.

Konvex testeknek nevezzk azokat a testeket, amelyeknek brmely kt pontjt sszekt

szakaszt a test teljes egszben tartalmazza.

Konkv test: nem konvex, azaz a testnek van legalbb kt olyan pontja, amelyeket sszekt

szakaszt a test nem teljes egszben tartalmazza.

Izoder: olyan test, melynek minden lapja egybevg.

Szablyos test: olyan konvex polider, amelyeknek lei, lszgei s lapszgei is egyenlk.

t szablyos test van: szablyos tetrader, kocka, oktader, dodekader s ikozader.

Testek trfogata: annak a trrsznek a mrtke, amelyet a test hatrol fellete bezr.

Testek felszne: a test hatrol felletnek mrtke.

Kocka trfogata: 3aV = , felszne 26aA = (a a kocka le).

Tglatest trfogata abcV = , felszne )(2 acbcabA ++= (a, b s c a tglatest lei).

Gmb trfogata 334 rV = , felszne 24rA = (r: a gmb sugara).


Henger trfogata mrV 2= , ahol r az alapkr sugara, m a testmagassg,

felszne )(2 mrrA += .

Hasb trfogata: mTV a = V = Ta m (alapterlet testmagassg),

felszne: pa TTA += 2 (2alapterlet + palst).

Pont s egyenes tvolsga a pontbl az egyenesre bocstott merleges szakasz hossza.

Pont s sk tvolsga a pontbl a skra bocstott merleges szakasz hossza.

Prhuzamos egyenesek tvolsga az ezeket sszekt, rjuk merleges szakasz hossza.

Kitr egyenesek tvolsga a mindkt skra merleges egyenes kt sk kz es szakasznak

hossza.

Prhuzamos skok tvolsga az ezeket sszekt, rjuk merleges szakasz hossza.

Egyenes s vele prhuzamos sk tvolsga az egyenes brmelyik pontjnak s a sknak

a tvolsga.

Kt metsz egyenes hajlsszge: az ltaluk alkotott szgek kzl a msiknl nem nagyobb

szg.

Egyenes s sk hajlsszgt gy kapjuk meg, hogy az egyenest merlegesen levettjk a skra.

Ha az egyenes vetlete egy pont, akkor az egyenes merleges a skra. Ms esetben az gy kapott

vetleti egyenes s az eredeti egyenes hajlsszge adja az egyenes s a sk hajlsszgt.

Kt kitr egyenes hajlsszge: a velk prhuzamos, egymst metsz egyenesek hajlsszge.

Kt sk hajlsszge: a kt sk metszsvonalra annak egy tetszleges pontjban mindkt sk-

ban egy-egy merleges egyenest lltunk. Ennek a kt egyenesnek a hajlsszge adja a kt sk

hajlsszgt.

Ksztette: Vidra Gbor s Lnrt Istvn

7. MODULhromszgek


A geometrik felptse (olvasmny)

Az ltalnos iskolban megismertk a hromszget, a ngyzetet, a prhuzamossgot s hason-

l geometriai fogalmakat, s tulajdonsgokat is megfogalmaztunk velk kapcsolatban (pld-

ul azt, hogy az egyenl szr hromszgnek van kt egyenl szge). De mi is az a geometria,

s milyen szerepe van az letnkben s a tudomnyokban?

Ha megprblunk tjkozdni a vgtelen sklapon, a gmbfelleten, egy tojshjon vagy a

minket krlvev trben, akkor eljutunk a skgeometrihoz, a gmbi geometrihoz, a tojs

geometrijhoz vagy a trgeometrihoz. Gondoljuk meg: a htkznapokban, az utcn sk fel-

leten mozgunk, de ha replre lnk, akkor mr szksg van egy msfajta szemlletre, amely

a mozgsi ternket gmbfellettel modellezi. Hogyan kezdjk? Vges, gyarl ember ltnkre

csak annyit tehetnk, hogy kivlasztunk bizonyos fajta alapelemeket, s kztk bizonyos kap-

csolatokat. Geometrink felptse kzben minden ms alakzatot ezekre az elemekre prb-

lunk visszavezetni, ezrt az alapelemeket jl kell megvlasztanunk. Erre azonban rengeteg

lehetsgnk van, s tlnk fgg, hogy ppen melyiket fogjuk vlasztani.

Mg az sem biztos, hogy mindenki ugyanarra gondol, amikor a pont, egyenes vagy kr

szavakat meghallja. Pldul a fzetlapon az egyenes vonal jelli ki a legrvidebb utat kt pont

kztt, de a gmbn kt pont kztt nem a skbeli egyenes vonal, hanem valamilyen msfle

vonal jtssza ugyanezt a szerepet. Nevezzk ezt gmbi egyenesnek vagy inkbb valamilyen

gmbi krnek? Tlnk fgg.

A geometria (a grg sz eredetileg fldmrst jelent) a matematika egyik legsibb ga. Kt-

ezer ven t hittk a matematikusok, hogy a skgeometrin s a gmbi geometrin kvl nincs

ms, rtelmes s hasznos geometriai rendszer. A tizenkilencedik szzad elejn a magyar Bo-

lyai Jnos, a nmet Carl Friedrich Gauss s az orosz Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij ptett

fel egy harmadik, az elz ketttl klnbz, szintn rtelmes s hasznos geometrit.

Kortrsaik kptelensgnek, rltsgnek tartottk gondolataikat. Csak vtizedekkel ksbb

fogadtk el az j geometria ltjogosultsgt, amikor tbb ms tudomnyg, elssorban a fizi-

ka alkalmazta az j mdszereket.

7. modul: HROMSZGEK 209

Hogyan pl fel teht egy geometriai rendszer? Hasonlkppen, mint a legtbb matematikai

vagy elmleti fizikai tudomnyterlet:

a defincikkal meghatrozzuk, hogy mirl is beszlnk (fogalmakat definilunk, pld-

ul szakaszfelez merleges), s

a definilt dolgok tulajdonsgait, jellemzit ttelekkel rjuk le. A tteleket be kell bizo-

nytani (amg nem bizonytanak egy ttelt, addig sejtsnek nevezzk), defincikra s ko-

rbbi ttelekre pl logikus rvelsekkel. Ezrt nevezik a matematikt egzakt (magyarul

egyrtelm, pontosan meghatrozott) tudomnynak.

Nem lehetne azonban felpteni tudomnyterletet anlkl, hogy nhny, termszetes mdon

add fogalmat alapfogalomknt, vagyis nem definilt fogalomknt kezelnk. Ilyenek pl-

dul a pont, az egyenes, a sk s az illeszkeds. Szksg van mg olyan ttelekre, amelyeket

igaznak fogadunk el, s nem bizonytunk: ezek az aximk (alapigazsgok). Fontos az is,

hogy az aximk ne tartalmazzanak ellentmondst mert akkor nem lehet felpteni bellk

egzakt, ellentmondsmentes rendszert, ne lehessen egy aximt levezetni a tbbibl, (azaz

fggetlenek legyenek egymstl) s hogy minl kevesebb alapigazsgot tartalmazzon az

aximarendszer (minl kevesebb axima legyen). A geometria teht gy pl fel:

Euklidesz (i.e. 365? 300?) alexandriai matematikus Elemek cm knyvben sszefoglalta

kornak aritmetikai s a geometriai ismereteit. Posztultumokat s aximkat lltott fel (ma

kzs nven aximknak hvjuk ezeket a nem bizonytott, igaznak elfogadott alaplltsokat),

alapfogalmakat s defincikat hatrozott meg, s ezekre ptette a bizonytsokkal altmasz-

tott tteleket. Eldeitl eltren a bizonyts ignye hatotta t ezt a mvet, s ezrt vlt a ma-

tematika egyik mrfldkvv. Ezt a geometriai rendszert ma euklideszi geometrinak hv-

juk, s mr tbbezer ttel alkotja.


Feladat

1. Vlaszolj rsban a kvetkez krdsekre:

a) Mi a definci?

b) Mi az alapfogalom, miben klnbzik a definilt fogalomtl?

c) Mi az axima?

d) Mi a ttel, s miben klnbzik az aximtl?

Mintaplda1

Hogyan definiljuk az tszget, s milyen tulajdonsgait ismerjk?

Megolds:

Az tszg olyan sokszg, amelynek 5 cscsa van.

A definci egy bvebb halmazt szkt le gy,

hogy megad egy specilis tulajdonsgot. Ez felt-

telezi, hogy a sokszget korbban definiltuk,

vagy az alapfogalom.

Tulajdonsga pldul az, hogy a konvex tszgnek 5 tlja van. Ezt a sokszgeknl bizony-

tani is fogjuk.


I. Szgek, szgprok

A szgeket nagysg szerint a kvetkez csoportokba soroljuk:

Konkv szgek: homorszg, teljesszg, a tbbi konvex szg (ha a szgtartomnyban brhol

kivlasztunk kt pontot, az ket sszekt szakasz teljes egszben a szgtartomnyban van).

Szgfajtk a gmbn

A gmbn is ugyanezekkel a szgfajtkkal tallkozhatunk. Az brkon a narancsok hmozott

rszt tekintjk szgtartomnynak.

Nullszg

Hegyesszg

Derkszg

Tompaszg

Egyenesszg

Homorszg

Teljesszg


Egyenl szgprok

egylls szgek: szraik prhuzamosak, s azonos irnyak;

vltszgek: szraik prhuzamosak, s ellenkez irnyak;

cscsszgek: egy-egy szruk egy egyenest alkot;

(ezek specilis vltszgek)

merleges szr szgek: szraik pronknt merlegesek egymsra; a merleges szr

szgek kztt vannak egyenlk s olyanok is, amelyek 180-ra egsztik ki egymst.

rtelmezhetnk-e egyenl szgprokat a gmbn?

Sem az egylls, sem a vltszgek esete nem vihet t a gmbre, hiszen prhuzamos gmbi

fkrket nem tallunk.

A cscsszgek ttele tvihet a gmbre, s igaz marad a gmbi fkrknl

is. Az bra piros s kk fkrei ngy szgtartomnyt hatroznak meg, ame-

lyek kzl a szemben fekv kt-kt szgtartomny mindig egybevg. (Ha

a kt fkr merleges egymsra, akkor mind a ngy tartomny egybevg.)


A merleges szr szgek krdsnek van rtelme, nem gy, mint

pldul a vltszgek esetben, hiszen merleges fkrk lteznek,

ha prhuzamosak nem is. A merleges szr szgek ttele azonban

nem igaz a gmbn. Ezt legegyszerbben olyan gmbi ngyszggel

igazolhatjuk, amelynek hrom szge derkszg, de a negyedik nem

az mrpedig a merleges szr szgek ttele ppen ezt kvnn

meg.

Az bra kt piros fkrve merleges egymsra, ugyangy a kt kk

fkrv is merleges egymsra. A piros s kk fkrvek egyik met-

szspontjnl (a fels-nl) ugyancsak merleges egymsra a kt f-

krv, de a msik metszspontnl (az als-nl) lthatan jval na-

gyobb a szg derkszgnl.)

Ltezik azonban olyan eset, amikor a szgek egyenlsge a gmbn igaz,

de amelyhez hasonl szerkeszts a skon nem ltezik. Ms szval a gmb

visszavg, miutn kt szp skbeli egyenlsg a gmbn megbukott. Ez a

gmbktszg esete, amelynek mindkt szge egyenl (mint a narancsge-

rezdnl) nagyon fontos, specilisan gmbi ttel.

Egymst kiegszt szgprok


Feladatok

2. Keress egyenl s egymst kiegszt szgprokat a kvetkez brkon!

a) b)

3. Adott, hogy egy szg mennyivel kisebb a mellkszgnl. Szmtsd ki a szget s a

mellkszgt!

a) 100; b) 20; c) 200 ; d) 75; e) 23,8; f) 1,2.

4. Keress egyenl s egymst kiegszt szgprokat a paralelogrammban s a trapzban!

Hosszabbtsd meg az oldalegyeneseiket a cscsokon tl!

5. Adott egy szg s a mellkszgnek arnya. Hatrozd meg a szget s a mellkszget!

a) 3 : 5; b) 7 : 11; c) 5 : 7; d) 1 : 5; e) 1 : 3.

6. Adott, hogy egy szg a ptszgnek hny szzalka. Hatrozd meg a szget!

a) 25%; b) 150%; c) 12%; d) 48%.


7. Egy haj elindul szak fel, majd 30 fokot keletnek fordul. Ettl az irnytl balra fordul

120 fokot. Ezek utn haladsnak irnya az eredeti irnnyal hny fokos szget zr be?

8. Mekkora az ABC szg?

A vzszinteshez kpest ltalban lefel vagy felfel ltjuk a trgyakat. Ha lefel nznk, akkor

a vzszintessel bezrt (lefel irnyul) szget depressziszgnek hvjk. Emelkedsi szg-

nek nevezzk a vzszintessel bezrt, felfel irnyul szget. Teht a terem tetejt emelkedsi,

aljt depressziszgben ltjuk.

9. Egy repl egy adott pilla-

natban a hz ablakbl 35-os

emelkedsi szg alatt ltszik.

Mekkora depressziszg alatt

ltszik ugyanakkor a replbl

az ablak?

10. Szellemke a tkrben nzegeti magt.

Mekkora depressziszgben ltja a tkr

aljt, s mekkora emelkedsi szgben a

tetejt?

11. Egy torony lbtl a szomszd hz tetejt 30-os emelkedsi szgben ltjuk. A torony

aljt s tetejt a hz tetejrl 76-os szgben ltjuk. Mekkora emelkedsi szgben

ltjuk a torony tetejt, s mekkora depressziszgben az aljt? Kszts brt a

megoldshoz!

Depresszi szg

Emelkedsi szg


II. A hromszg oldalai s szgei

A hromszg olyan sokszg, amelynek hrom cscsa

van. Cscsait nagybetkkel, oldalait kisbetkkel jell-

jk. Mindig az A csccsal szemben van az a oldal,

a B-vel szemben a b oldal, a C-vel szemben a c oldal.

A cscsok krljrsi irnya ktfle lehet: az ramutat

jrsval ellenttes (pozitv irny), illetve megegyez

(negatv irny).

A hromszgek csoportostsa

Legnagyobb szgk alapjn a hromszg lehet:

o hegyesszg (legnagyobb szge kisebb 90-nl); o derkszg (legnagyobb szge 90); o tompaszg (legnagyobb szge nagyobb 90-nl).

Szgeik egyenlsge alapjn a hromszgek:

o nincs kt egyenl szge (ltalnos hromszg); o kt egyenl szge van (egyenlszr hromszg); o hrom egyenl szge van (szablyos hromszg).

Oldalaik egyenlsge alapjn:

o nincs kt egyenl oldala (ltalnos hromszg); o van kt egyenl oldala (egyenlszr hromszg); o hrom egyenl oldala van (szablyos hromszg).

Specilis hromszgek az egyenlszr, a szablyos s a derkszg hromszgek.

Megjegyzsek: az ltalnos hromszg elnevezs ma mr nem hasznlatos;

a szablyos hromszg is egyenl szr.


Feladat

12. Rajzold fel Venn-diagrammal a hromszgek csoportostst! Milyen tapasztalatok

vonhatk le a rajz alapjn?

A gmbhromszg szgei

Gmbhromszgn mindig olyan hromszget rtnk,

amelynek mindegyik oldala a kt cscsot sszekt rvi-

debbik fkrvnek felel meg. Ezek az Euler-fle gmbh-

romszgek. Az albbi brkon az els hromszg Euler-

fle, a msodik nem az.

A gmbhromszg oldalai kt vges tartomnyra bontjk a gmbfelletet, ellenttben a sk-

kal, ahol egy vges s egy vgtelen tartomnyt kapunk. Gmbn gy mg az is krds, hogy a

gmbhromszgnek melyik a belseje, melyik a klseje. Megllapodunk abban, hogy a kt

tartomny kzl mindig a kisebbiket nevezzk a gmbhromszg belsejnek. (Ugyangy j-

runk el a gmbi krknl is.) Ha a gmbhromszg hrom cscsa ugyanarra a fkrre esik,

akkor elfajult gmbhromszget kapunk: itt el kell dntennk, hogy a kt egyforma flgmb

kzl melyiket tekintjk a gmbhromszg belsejnek.

Ezek utn van rtelme a krdsnek: Mennyi a gmbhromszg bels szgeinek sszege? Jl

szemlltetik ezt a szablyos gmbhromszgek. Egszen pici szablyos

gmbhromszg egy-egy szge nagyon kzel esik a szablyos skh-

romszgben tallt 60-hoz. Nagyon nagy szablyos gmbhromszg

egy-egy szge nagyon kzel esik a kikereked, elfajult gmbhrom-

szgben mrt 180-hoz. A gmbhromszg szgeinek sszege teht

360=180-tl 3180=540-ig terjedhet.

Gmbhromszgnek lehet egy, kt vagy hrom hegyesszge, egy, kt vagy hrom derksz-

ge, s egy, kt vagy hrom tompaszge. Tlnk fgg, hogy a skhromszgeknl megszokott

elnevezsekbl melyiket alkalmazzuk a gmbn is.


Mivel a derkszg hromszgek a gmbn is fontos szerepet jtszanak, ezrt hasznljuk a

derkszg gmbhromszg elnevezst. Attl fggen, hogy a gmbhromszgben hny

derkszg van, beszlhetnk egyszer, ktszer vagy hromszor derkszg gmbhromszg-

rl. A hromszor derkszg gmbhromszget oktnsnak is nevezhetjk, mert nyolc ilyen

hromszg hzagok s tfedsek nlkl lefedi az egsz gmbfelletet.

Feladat

13. Ltezik-e olyan gmbhromszg, amelyben pontosan egy hegyesszg, egy derkszg

s egy tompaszg van?

A hromszg szgeire vonatkoz ttelek

A korbbi vekben sok mindent felfedezhettnk a hromszgek szgeirl. Most ezeket foglal-

juk ssze s megnzzk, hogyan hasznlhatk a feladatok megoldsban.

14. Miket tudsz megllaptani a kvetkez brrl a

hromszg szgeivel kapcsolatban? rd a rajz

mell az bra jellseivel!

Megjegyzs:Mint minden lltst (az aximkon kvl), ezt is be kell ltni, bizonytani kell. A tanult szgprok segtsgvel knnyen belthatod, ha az AC oldalt A-n tl meghosszabbtod, s BC-vel prhuzamost hzol A-n keresztl.

A hromszg bels szgeinek sszege 180.


A gmbhromszg szgsszege

Mintaplda2

Rajzoljunk a gmbre tbb szablyos gmbhromszget, s vizsgljuk meg ezek szgsszegt!

Mekkora a gmbhromszg szgeinek sszege?

Megolds:

Az egsz kicsi szablyos gmbhromszg szgei alig nagyobbak 60-nl, gy a bels

szgek sszege tbb mint 180. Rajzolhatunk olyan szablyos gmbhromszget,

amelynek mindhrom szge derkszg, itt a bels szgek sszeg 270. Meddig lehet

nvelni a szgeket a hromszgben? A legnagyobb szg hromszgt egy fkr hrom

pontja hatrozza meg (egyfajta elfajult gmbhromszg), itt a szgek sszege 540.

A gmbhromszgn a ttel nem igaz! A bels szgek sszege 180 s 540 kztt vltozhat.

Megjegyzs: Bizonytskor gondolj a bels szgek sszegre, s a mellkszgekre!

Mintaplda3

Hatrozzuk meg a kls szgek sszegt az bra segtsgvel!

Megolds:

( ) ( )

=++=+++

=+++++

=+++++

=+=+=+

036 ' ' '540 ' ' ' 180

540 ' ' ' :

540 ' ' ' 180 ' 180 ' 180 '

tvaCsoportos

A gmbn ez a ttel sem igaz.

Mivel a bels szgsszeg llandsgrl szl ttel nem rvnyes, ezrt a klsszg-ttelt is

mdostanunk kell. A szmts eredmnye: vltoz hatrok 360 s 0 kztt. Hasznos s

fontos vgigkvetni a jelenetet a szablyos gmbhromszgeknl. A skhoz hasonl icipici

Klsszg-ttel: a hromszg brmely kls szge megegyezik a nem mellette fekv kt bels szg sszegvel.

A hromszg kls szgeinek sszege 360.


gmbhromszg kls szgei nagyon kzel llnak a skbeli esethez. Az Egyenlt fel halad-

va az egyre nvekv gmbhromszgek bels szgei egyre nnek, kls szgei pedig fokoza-

tosan belelapulnak magba az Egyenltbe, vagyis mind a hrman 0-hoz tartanak.

Mintaplda4

Fejezzk ki a hromszg tbbi szgt szggel!

Megolds:

Az egyenlszr hromszgnl kt, 2

902

180 = nagysg szg tallhat az alapon. A

szablyos hromszg minden szge 60, a derkszg hromszg esetn a msik hegyesszg

90 .

Feladatok

15. Mekkork a hromszg szgei, ha adott kt kls szge?

a) 130 s 174; b) 87 s 116; c) 136 s 98.

16. Adott egy hromszg egyik szge, s a msik kt kls szg arnya. Szmtsd ki a

hinyz szgeket! a) 70 s 2 : 3; b) 30, 8 : 13.

17. Egy hromszg szgfelezje a szemkzti oldallal 78-os, egy msik szgfelezvel

48-os szget zr be. Mekkork a hromszg szgei?

18. Egy hromszgben az egyik szg 75. Mekkora szget zr be egymssal a msik kt

bels szg szgfelezje?

19. Az brn f (egy 128-os kls szg

felezje) prhuzamos a hromszg egyik

oldalval, f pedig bels szgfelez.

Mekkora szget zr be f s f ?

ff


20. Egy hromszgben a legnagyobb szg a msik kt szg sszegnek ktszerese. A kt

kisebb szg arnya 2 : 3. Mekkork a hromszg szgei?

21. Mekkora szget zr be egy bels szgfelez, s a hozz tartoz kls szg szgfe-

lezje?

22. A hromszgben bels szgfelezje s kls szgnek szgfelezje 45-os szget

zrnak be. Igaz-e, hogy a hromszg derkszg?

23. ABC egyenlszr hromszg, F az AB alap felezpontja.

Legyen D az A cscshoz tartoz szgfeleznek az a

pontja, amelyre AC CD. Igazold, hogy CED

hromszg egyenl szr !

24. Egy egyenlszr hromszgben a szrak ltal bezrt szg 74. Mekkora szget zrnak

be egymssal a hromszg szgfelezi pronknt?

25. Az ABC szablyos hromszg A cscsbl rajzolj krt AB sugrral. Az A-hoz taroz

magassg a krt D s E pontokban metszi. Mekkora a BCE s a BCD szg?

26. Az ABC derkszg hromszg AB tfogjn vegyk fel D s E pontokat gy, hogy

BC = BD s AC = AE teljesljn. Mekkora a DCE szg?


A hromszg oldalai

Feladat

27. Szerkessz hromszget a kvetkez szakaszokbl: 10 cm, 5 cm s 8 cm. Mikor nem

lehet hromszget szerkeszteni megadott 3 szakaszbl? Mikor keletkezik csak egy

szakasz (elfajult hromszg)?

A gmbi hromszgek esetn ez nem gy van. Ha a gmbhromszg kt oldala adott, a har-

madik oldalt ktflekppen is megrajzolhatjuk az brk szerint.

Ahol kt cscsot a rvidebbik fkrv kti ssze (Euler-hromszgek), ott teljesl a hrom-

szg-egyenltlensg. Hiszen, ha kt cscsot a legrvidebb vonal kti ssze, akkor minden

elkalandozs mint pldul egy harmadik, nem ugyanarra a fkrre es pont rintse is az

t meghosszabbtst jelenti.

Feladatok

28. Adj meg legalbb 5 olyan szakaszhrmast az albbiak kzl,amelyekbl (mint

oldalakbl) lehet hromszget szerkeszteni!

Minden hromszgre teljesl a hromszg-egyenltlensg: a hromszg brmely kt oldalnak sszege nagyobb a harmadik oldalnl.


29. Az ABC hromszg A cscsnl nagyobb bels szg van, mint a B cscsnl. Igazold,

hogy 2

ABBC > !

30. Szerkessz hromszget, ha adott kt oldala (a s b), s az a oldallal szemkzti szg.

a) a = 10 cm, b = 8 cm, = 45; b) a = 4 cm, b = 10 cm, = 45;

c) a = 5 cm, b = 3 cm, = 60!

A hromszgek oldalainak s szgeinek kapcsolatra igazolhat a kvetkez kt llts:

Megjegyzs: Ezek bizonytsa nem olyan egyszer, mint az eddigi ttelek. Indulj el gy, hogy a hosszabb oldalra a kzs cscsbl felmred a rvidebbet, ekkor keletkezik egy egyen-lszr hromszg. A klsszg-ttelt alkalmazva

Feladat

31. Prbld ki, hogy igaz-e a kt ttel gmbn is?

Egy hromszgben egyenl oldalakkal szemben egyenl szgek vannak (egyenlszr hromszg).

A hromszgben hosszabb oldallal szemben nagyobb

szg tallhat, mint a rvidebb oldallal szemben.


III. A hromszg nevezetes vonalai, krei

A kvetkez bra ttekinti, hogy a hromszg milyen nevezetes vonalaival foglalkozunk.

Minden vonalhoz tartozik egy definci (meghatrozs) s egy ttel (tulajdonsg), amelyet

feladatmegoldsokban is hasznlhatunk.

Oldalfelez merleges egyenesek

A bizonytsnl kijelljk kt oldalfelez mer-

leges metszspontjt, s megvizsgljuk, hogy ez

a pont milyen tvol van a cscsoktl.

Definci: Az oldalfelez merleges egyenes olyan egyenes, amely tmegy az oldal felezpontjn s merleges az oldalra. Jellse fa, fb, fc.

Ttel: A hromszg oldalfelez merlegesei egy pontban metszik egymst,

ez a pont a hromszg kr rhat krnek kzppontja.


Szgfelezk

Megjegyzs: A hromszg kls szgeinek is vannak szgfelezi. Sokszgek esetben a

szgfelezt flegyenesknt is szoktk definilni.

Milyen pontok halmaza a szgfelez? Ebbe belegondolva belthatod, hogy brmelyik

kt szgfelez metszspontja egyenl tvol van az sszes oldaltl.

Az ABC hromszget a szgfelezk hrom hromszgre

bontjk (AOC, AOB, BOC). Mindhromnak r a magas-

sga, gy a hromszg terlett fel tudjuk rni a

( )22222

rKrcbarcrbraT =++=++= sszefg-

gssel. A flkerletet s jelli: 22Kcbas =++= , gy a

terlet felrhat rsT = alakban.

Feladat

32. Lehet-e a hromszg kt szgfelezje egymsra merleges a skban? s a gmbn?

Definci: A szgfelez olyan egyenes, amely felezi a hromszg bels szgt. Jellse: f, f, f .

Ttel: A hromszg bels szgfelezi egy pontban metszik egymst, ez a

pont a hromszgbe rhat kr kzppontja.

Brmely hromszgben rvnyes a T = s r sszefggs, ahol T a hromszg terlete, s a kerlet fele, r pedig a belert kr sugara.


Slyvonalak

A bizonytshoz a hromszg kzpvona-lt, s a hasonlsgot hvjuk segtsgl.

Tudtad-e, hogy ha a slyvonalnl altmasztjuk a homogn (egyenletes anyageloszls) vz-

szintesen elhelyezett hromszget, akkor az egyenslyba kerl? (Az egyensly labilis, brmi-

lyen kimozduls esetn leborul a hromszg.) Mirt lesz egyenslyban a hromszg?

A slyvonal a hromszget kt egyen-l terlet rszre osztja, hisz a kelet-kez kt hromszg oldalai a nagy h-romszg oldalnak fele, magassguk

pedig egyenl (m). gy 2

mBFTBFA= ,

2mFCTFCA

= , s BFFC = miatt a kt

terlet egyenl.

Mit gondolsz, mirt hvjk slypontnak a slypontot?

A slypont elnevezs azt fejezi ki, hogy ott egy pontban altmaszthat vagy felfg-geszthet a hromszg, labilis egyenslyi helyzetbe. A fizikban gy szmolunk, mint-ha a testek, skidomok tmege a slypontban sszpontosulna (tmegpont), a gravitci is ott hat a testekre. Ha a fizikban egy test mozgst szmoljuk (dinamika), pontszer-nek tekintjk a testet, s a tmegkzppontjnak (slypontjnak) mozgst vizsgljuk.

Definci: A slyvonal a hromszg cscst a szemkzti oldal felezpontjval

sszekt szakasz. Jellse: sa, sb, sc .

Ttel: A hromszg slyvonalai egy pontban metszik egymst, ez a hrom-

szg slypontja. A slyvonalak harmadoljk egymst gy, hogy a cscs fel esik a slyvonal hosszabb rsze.


Slyvonalak a gmbn

Szp s rdekes ellenksrlet: a gmbi slyvonal ltalban nem felezi a terletet! Hosszabb,

szablytalan, elnyjtott hromszgnl ez jl ltszik. Ebbl kvetkezik, hogy a gmbi slypont

nem jtssza azt a szerepet a gmbhromszgben, amelyet a skbeli slypont a skhromszg-

ben. A terletfelezk is egy pontprban tallkoznak, s ez a hromszg belsejbe es pont

veszi t a skbeli slypont szerept.

Magassgvonalak

A bizonytskor indulj ki abbl, hogy a cscsokon keresztl prhuzamosokat hzol a szemkzti olda-lakkal. Vizsgld meg, hogy az eredeti magassg-vonalak az j hromszgben milyen szerepet jt-szanak.

A magassgvonal fogalmat a magassg szakaszra is

szoktk hasznlni.

Feladatok

33. Minden hromszgre igaz, hogy a magassgpont a hromszg belsejbe esik?

34. Mi a kapcsolat a hromszg egy oldala s a msik kt oldalhoz tartoz magassgok

talppontjai kztt? Szerkeszd meg az brt!

Magassgvonalak a gmbn

Hny magassgvonala lehet egy hromszgnek?

Skon pontosan hrom, mivel brmelyik skbeli pontbl brme-

lyik skbeli egyenesre pontosan egy merleges hzhat. Gm-

bn azonban a sarkpontbl (szaki-sark!) a hozz tartoz egyen-

Definci: A magassgvonal a hromszg cscspontjbl a szemkzti oldal egyenesre lltott merleges egyenes. Jellse: ma, mb, mc .

Ttel: A hromszg magassgvonalai egy pontban metszik egymst, ez a

hromszg magassgpontja.


ltre vgtelen sok merleges hzhat. Ha teht a gmbhromszgben van olyan cscs s ol-

dal, amelyek sarkpontegyenlt viszonyban llnak egymssal, akkor itt vgtelen sok magas-

sgvonalat tallhatunk. A helyzet mg cifrbb a hromszor derkszg hromszg esetben

(amelyet oktnsnak is neveznek, mivel nyolc ilyen hromszg lefedi a teljes gmbfelletet),

mert itt mind a hrom esetben sarkpontegyenlt viszony forog fenn! Itt teht mindhrom

cscson t akrhny magassgvonalat hzhatunk. Annak sincs akadlya, hogy kt klnbz

cscsbl hzott magassgvonalhoz olyan harmadik magassgvonalat talljunk a harmadik

cscson keresztl, amely nem megy t a mr kijellt metszsponton. Vagyis a hrom magas-

sgvonal itt nem megy t ugyanazon a ponton!

Vajon ez a rendellenessg ms gmbhromszgeknl is elfordulhat? Prbljuk ki: olyan

gmbhromszgben, ahol nincsenek sarkpontegyenlt prok, a magassgvonalak mindig

egy pontpron mennek t (pontpron, hiszen kt gmbi fkr mindig kt, egymssal tellenes

pontban metszi egymst).

Kzpvonalak

ckbkak cba ||,||,|| ; 2;

2;

2ckbkak cba === .

Megjegyzs: A ttel hasonlsggal is bizonythat, de a jobb oldali bra segtsgvel is tgondolhatod.

Definci: a hromszg kzpvonala kt oldalnak felezpontjt sszekt

szakasz.

Ttel: A hromszg kzpvonalai prhuzamosak a hromszg oldalaival. A kzpvonalak hossza fele akkora, mint a velk prhuzamos oldal hossza.

Definci: a hromszg kzpvonala a kt oldal felezpontjt sszekt sza-

kasz. Jellse: ka, kb, kc.

Ttel: A hromszg kzpvonalai prhuzamosak a hromszg megfelel oldalaival. A kzpvonalak hossza fele akkora, mint a velk prhuzamos oldal hossza.


Kzpvonalak a gmbn

A gmbn a kzpvonalat a kt oldalfelez pont sszektsvel ugyangy megszerkeszthet-

jk, mint a skon. Prhuzamossg nincs a gmbn, s a hosszsg sem lesz fele a hozz tarto-

z oldalnak, hanem tbb a felnl.

A kzpvonalhoz tartozik a gmbn egy rdekes krds: melyek lesznek az oldal s a hozz

tartoz kzpvonal kzs merlegesei skon s gmbn? Ksrletezznk!

Skon a krds csacsisgnak tnik, hiszen a kt megfelel egyenes prhuzamos egymssal,

teht vgtelen sok kzs merleges ltezik pldul a magassgvonal vagy az oldalfelez

merleges.

A gmbn viszont kt gmbi fkrnek csak egyetlen kzs merleges fkre lehetsges

(gondoljunk kt hosszsgi kr s az Egyenlt viszonyra). Melyik nevezetes vonallal esik

egybe ez a kzs merleges? A ksrlet megmutatja, hogy az oldalfelez merlegesrl van

sz. Szablytalan, elnyjtott hromszgnl vilgosan ltszik, hogy a magassgvonal nem me-

rleges a kzpvonalra. A bizonyts szp, de hossz.

Gmbhromszgek nevezetes vonalai

rvnyben marad-e az oldalfelez merlegessel, a szgfelezvel, a krlrt s bert krkkel

kapcsolatos gondolatmenet gmbhromszgeknl is?

Megolds: Specilis esetektl eltekintve, igen!

Specilis eset pldul az olyan, elfajult szablyos hromszg, amelynek mindhrom cscsa

ugyanarra a fkrre esik. Ebben az esetben a hromszg krlrt kre megegyezik a bert kr-

rel.

Hozzrt krk (kiegszt anyag)

A hromszgn kvl 3 hozzrt krt tallunk,

amelyek rintik mindhrom oldalegyenest.

Ezek kzppontjai a kls szgfelezk metszs-

pontja. Ezek a pontok teht egyenl tvolsgra

vannak a hrom oldalegyenestl.


IV. A hromszg kerlete, terlete A hromszg kerlett az oldalak sszege adja. Terlett gy szmoljuk ki, hogy brmelyik

oldalt megszorozzuk a hozz tartoz magassggal, s a szorzatot kettvel osztjuk.

A hromszg terlete mskpp is kiszmthat, a ksbbiekben mi is tanulunk tbb mdszert.

Egyik sszefggs pldul a Hron-kplet: a terletet csak az oldalak segtsgvel is kisz-

mthatjuk.

A derkszg hromszg terlett ktflekppen is fel lehet rni: 22mcbaT == .

Igaz-e a hromszg kerletrl, illetve terletrl szl kplet a gmbn?

A kerletrl szl ttel igaz, de a terletrl szl ttel hamis. A gmbhromszg terlett a

szgflsleggel mrhetjk: azzal a klnbsggel, amennyivel a bels szgek sszege tbb

180-nl.

rdekes, tovbbi, az arnyossghoz s a lineris fggvnyekhez kapcsold krds: Igaz-e,

hogy a szgsszeg egyenesen arnyos a hromszg terletvel? Ha pldul egy szablyos

hromszget a szimmetriatengelye mentn kt derkszg gmbhromszgre bontunk szt, a

kt kisebb hromszg szgsszegnek sszege egyenl-e a nagy hromszg szgsszegvel?

Vilgosan lthat, hogy nem! Az arnyossg teht nem egyenes arnyossg. (Pontosan ez az,

ami a szgflslegre viszont teljesl!)

cbaK ++= ; 222

cba mcmbmaT === .


V. Hromszggel kapcsolatos ttelek A Pitagorasz-ttel s megfordtsa

A Pitagorasz-ttelnek nagyon sok bizonytsa ismert. A leggyakrabban skidomok tdarabol-

sval bizonytjuk.

Igaz-e a Pitagorasz-ttel a gmbn?

Mivel tbbfle formban szoktk megfogalmazni, mr maga az tfogalmazs is rdekes fel-

adat. Ngyszer derkszg szablyos ngyszgek, vagyis ngyzetek nincsenek a gmbn,

teht a Rajzoljunk az oldalakra ngyzetet mdszere itt nem mkdik. A fentebb megfogal-

mazott, a skra vonatkoz krds, amely vgl is szmokrl, az oldalak hosszt kifejez mr-

tkekrl beszl, felvethet gmbn is.

A vlasz azonban nemleges. Ez a ttel, ebben a formban, nem igaz a gmbn. Legjobb el-

lenplda a hromszor derkszg hromszg, vagyis oktns esete. Elszr prbljuk megfo-

galmazni a krdst magt: Ha a hrom derkszg kzl brmelyiket kivlasztom, a kt szrt

befognak, a szemkzti oldalt tfognak nevezem, akkor igaz-e, hogy a derkszg hrom-

szgben a befogk ngyzetsszege egyenl az tfog hossznak ngyzetvel? Nem igaz,

hiszen brmilyen egysgben szmolunk is, 1 1 + 1 1 = 1 1 nem teljeslhet.

Ksrlettel ellenrizhetjk, hogy egyszer derkszg gmbhromszgre sem igaz a ttel. Leg-

jobb hossz, szablytalan derkszg gmbhromszggel ksrletezni.

Pitagorasz-ttel: a derkszg hromszgben a befogk ngyzetsszege egyenl az tfog hossznak ngyzetvel:

c2 = a2 + b2 ; a s b: befogk, c: tfog.

Pitagorasz-ttel megfordtsa: ha egy hromszgben kt oldal ngyzetsz-szege egyenl a harmadik oldal ngyzetvel, akkor a hromszg derkszg.


Mintaplda5

Egy ferde gerendt gy tmasztanak al egy msik

gerendval, hogy azok egymsra merlegesek

legyenek (l. bra). Mekkora a kt gerenda hossza?

Megolds:

Berajzoljuk a derkszgeket, s Pitagorasz-ttellel

kiszmoljuk az tfogt:

5,625,42

25,4265,2

2

222

==

=

+=

c

cc

Az altmasztott gerenda hossza 6,5 mter.

A terletet ktflekppen felrva kapjuk a magassgot:

25,6

265,2

22mmcbaT === 3,2

5,665,2 =m

Az altmaszt gerenda hossza 2,3 mter.

Mintaplda6

Egy 6 egysg sugar flkrbe rjunk olyan derkszg hromszget, melynek tfogja a

flkr tmrje, s befoginak arnya 3:4. Mekkora a hromszg terlete?

Megolds:

A feladathoz ksztnk egy vzlatot. A belerunk azt jelenti,

hogy a harmadik cscs a krvonalon helyezkedik el.

Az arnyt a szoksos mdon kezeljk: van egy olyan mennyisg

(x), aminek 3-szorosa, illetve 4-szerese a kt befog.

A Pitagorasz-ttelt felrva

( ) ( )

4,25

124,276,5

2514476,5

144251449161234

2

2

22

222

===

=

==+

=+

vagyx

vagyx

xxx

xx

A befogk 7,2 s 9,6 egysg. A hromszg terlete: 56,342

6,92,7 ==T terletegysg.


Feladatok

35. Mekkora az x-el jellt szakasz?

a) p = 1 dm, q = 14 cm, c = 2,5 dm.

b) p= 6 cm, q = 0,09 m, c = 1,7 dm

c) p = 0,23 m, q = 3,7 dm, c = 61 cm

36. Mekkora az x-el jellt szakasz?

a) a = 75 cm, b = 12 cm.

b) a = 20 m, b = 80 dm.

c) a = 12 egysg, b = 6 egysg.

37. Egy fatrzset kr alak szeletekre vgunk, majd a szleiket levgva tglalap alak

falapokat gyrtunk. Mekkork a falapok oldalai, ha adott a fatrzs tmrje (d) s a

tglalap oldalainak arnya?

a) d = 10 cm, az arny 3 : 4; b) d = 18 cm, az arny 4 : 7; c) d, az arny p : q.

38. A televzizsban ktfle kpoldal-arny terjedt el: a hagyomnyos 4:3 s a szles-

vszn 9:16 . Szmtsd ki, hogy mekkork a kp oldalai mindkt esetben, ha a

kptl

a) 77 cm; b) 55 cm; c) 110 cm.

Thalsz ttele s megfordtsa

Thalszt (i. e. 624?548?) a matematika atyjaknt emlegetik. letrl sok rdekeset tudhatsz meg az internetrl is.

Ha bizonytani akarod, elszr rdemes behzni a sugarat a keletkez cscshoz, s meg-

vizsglni, milyen hromszgek keletkeznek

Thalsz ttele: ha a kr valamelyik tmrjnek vgpontjait sszektjk a krvonal brmely ms pontjval, akkor olyan derkszg hromszget ka-

punk, amelynek tfogja ppen az tmr.


Ms megfogalmazsokban:

Ha egy hromszg derkszg, akkor hrom cscsa olyan krn van, melynek tmr-je az tfog.

A derkszg hromszg kr olyan kr rhat, melynek kzppontja az tfog fele-zpontja.

Ha egy hromszg derkszg, akkor leghosszabb oldalnak felezpontjtl az sszes cscspont egyenl tvolsgra esik.

rvnyes-e a Thalsz-ttel a gmbn? (kiegszt anyag)

Els krdsnk: Hogyan fogalmazzuk meg a Thalsz-

ttelt, hogy a gmbre alkalmazhassuk?

Fogalmazzunk gy: Ha egy kr egyik tmrjt sszekt-

jk a kr egyik kerleti pontjval, milyen hromszget

kapunk?

Skon a kr kzppontjt a kerleten fekv csccsal sz-

szektve, a hromszget kt, egyenlszr hromszgre

bontjuk szt. Ezzel igazolhat, hogy a kr tmrjnek megfelel oldalon fekv kt szg sz-

szege egyenl a harmadik szggel.

Mivel a skhromszg szgsszege 180, ezrt ebbl mr kvetkezik, hogy a harmadik szgre

pontosan 90 jut: a hromszg teht mindig derkszg.

Thalsz ttelnek megfordtsa: ha egy C pontbl az AB szakasz derkszgben ltszik, akkor C eleme az AB tmrj krnek.


Gmbn ugyanez a gondolatmenet rvnyes marad egszen addig

az lltsig, hogy az tmrn fekv kt szg sszege itt is egyenl a

harmadik szggel.

Mivel azonban a gmbhromszg szgsszege tbb 180-nl, ezrt

ugyanez a gondolatmenet kizrja azt, hogy a harmadik szg derk-

szg lehessen. Tbbnek kell lennie derkszgnl!

Rendben van, a harmadik szg nem lehet derkszg; de valamilyen lland rtk lesz, aho-

gyan a harmadik cscs a krkerleten mozog? Ksrletezznk! A ksrlet megmutatja, hogy

ez sem igaz: a szg folyamatosan vltozik. Maximumt az egyenl szr hromszgnl ri el,

ahol a harmadik cscs ppen a krkzppont fltt, vagyis az ott emelt merlegesen he-

lyezkedik el.

Ha ez a kt skbeli llts nem vihet t a gmbfelletre, prbl-

kozzunk valamilyen nagyon gmbi tlettel!

Ha a hromszgnek az tmrn kvli kt oldalt az tmrn tl

meghosszabbtjuk, mg ismt tallkoznak, akkor kiegszt

gmbhromszget kapunk, amely az eredeti hromszggel

egytt ppen lefed egy gmbktszget. Mennyi ebben a kieg-

szt hromszgben a szgsszeg? Azt lltjuk, hogy mindig

lland: 360.

Ha az tmrn, az eredeti Thalsz-hromszgben fekv kt szg s , akkor a hromszg

harmadik szge += , vagyis a gmbktszg mindkt szge += lesz. A kiegszt

hromszg szgsszege pedig: ( ) ( ) ( ) =+++ 360180180 . Ezek szerint a bels szgek sszege mindegyik gmbi Thalsz-hromszg kiegszt h-

romszgben lland: 360.

Mintaplda7

Hol metszi az oldal Thalsz-kre a hromszg msik kt oldal egye-

nest?

Megolds:

A Thalsz-ttel miatt a msik kt oldalhoz tartoz magassgok talp-

pontjaiban.

Megjegyzs: tompaszg hromszgben a metszspont kerlhet az oldalegyenesre is.


Mintaplda8

Szerkessznk hromszget, ha adott egy oldala, egy msik oldalhoz tartoz magassga, s a

harmadik oldalhoz tartoz slyvonal!

Megolds:

a) Szerkessz hromszget, ha adott a, mb s sc.

Induljunk ki a ksz brbl! Az F az AB oldal felezpontja, a

C-nek az F pontra vonatkoz tkrkpe D. ACBD

paralellogramma. Az mb magassg T talppontja rajta van az a

mrj Thalsz-krn. Az A pont illeszkedik a CT egyenesre

s a D-re illeszked, BC-vel prhuzamos egyenesre.

b) A szerkeszts lpsei:

1. felvesszk az a oldalt, B s C cscsot kapjuk;

2. megszerkesztjk CB Thalsz-krt;

3. B kzppont mb sugar kr s a Thalsz-kr metszspontja T (ez a magassg talppontja;

4. TC-vel prhuzamos B re illeszked egyenes a BD egyenese;

5. C kzppont 2sc sugar kr s BD egyenes metszspontja D pont;

6. CT egyenese s a D-n t a BC-vel hzott prhuzamos metszspontja A.

c) Nincs megolds, ha amb > .

A szerkesztsi feladatoknl mindig a ksz brbl induljunk ki: talljunk kt olyan grbt

(ez lehet egyenes vagy krv), amelyek metszspontja adja a keresett pontot. A megolds v-

gn meg kell vizsglni azt is, hogy a megadott adatoktl fggen hny megolds lehetsges

(diszkusszi).

Mintaplda9

Adott egy 4 cm sugar kr, s a kzppontjtl 8 cm-re

egy pont. Szerkeszd meg a pontbl a krhz hzott

rintket!

Megolds:

Mivel az rint merleges az rintsi ponthoz tartoz su-

grra, az rintsi pontok rajta vannak a kls pont s a kr

kzppontja ltal meghatrozott szakasz Thalsz-krn.


Feladatok

39. Igaz-e, hogy egy hegyesszg hromszg kt oldalnak Thalsz-krei a harmadik

oldalon metszik egymst?

40. Milyen tvolsgban van a hegyesszg hromszg egy oldalnak felezpontja a msik

kt oldalhoz tartoz magassgok talppontjaitl?

41. Mekkora szget alkotnak egymssal a hromszg magassgvonalai, ha adott a

hromszg kt szge:

a) 35 s 70; b) 19 s 85; c) 30 s 45.


VI. Hromszgekkel kapcsolatos feladatok

42. Mekkork az bra szerinti kzpvonalak ltal meghatrozott hromszg szgei?

43. Tltsd ki az albbi tblzatot (a,b,c: oldalak, ka, kb, kc:

kzpvonalak, K: kerlet)

a b c ka kb kc K a)

9_kompetencia_diák_munkafüzet_félév

Documents