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Contents

Preface vii

1 Graphs 1

1.1 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Subgraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Circulant Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Johnson Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Line Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Planar Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Groups 19

2.1 Permutation Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Asymmetric Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Orbits on Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Primitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Primitivity and Connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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xi v Contents

3 Transitive Graphs 33

3.1 Vertex-Transitive Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Edge-Transitive Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Edge Connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Vertex Connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Matchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Hamilton Paths and Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Cayley Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Directed Cayley Graphs with No Hamilton Cycles . . . . 49

3.9 Retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.10 Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Arc-Transitive Graphs 59

4.1 Arc-Transitive Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Arc Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3 Cubic Arc-Transitive Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4 The Petersen Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5 Distance-Transitive Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.6 The Coxeter Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.7 Tuttes 8-Cage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Generalized Polygons and Moore Graphs 77

5.1 Incidence Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 Projective Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 A Family of Pro jective Planes . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.4 Generalized Quadrangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.5 A Family of Generalized Quadrangles . . . . . . . . . . . 83

5.6 Generalized Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.7 Two Generalized Hexagons . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.8 Moore Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.9 The HoffmanSingleton Graph . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.10 Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Homomorphisms 103

6.1 The Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2 Cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.3 Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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Contents xv

6.4 The Map Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.5 Counting Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.6 Products and Colourings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.7 Uniquely Colourable Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.8 Foldings and Covers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.9 Cores with No Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.10 The Andrasfai Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.11 Colouring Andrasfai Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.12 A Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.13 Cores of Vertex-Transitive Graphs . . . . . . . . . . . . . 123

6.14 Cores of Cubic Vertex-Transitive Graphs . . . . . . . . . 125

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7 Kneser Graphs 135

7.1 Fractional Colourings and Cliques . . . . . . . . . . . . . 135

7.2 Fractional Cliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.3 Fractional Chromatic Number . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.4 Homomorphisms and Fractional Colourings . . . . . . . . 138

7.5 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.6 Imperfect Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.7 Cyclic Interval Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.8 ErdosKoRado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.9 Homomorphisms of Kneser Graphs . . . . . . . . . . . . 148

7.10 Induced Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.11 The Chromatic Number of the Kneser Graph . . . . . . 150

7.12 Gales Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.13 Welzls Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.14 The Cartesian Pro duct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.15 Strong Products and Colourings . . . . . . . . . . . . . . 155

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8 Matrix Theory 163

8.1 The Adjacency Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.2 The Incidence Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.3 The Incidence Matrix of an Oriented Graph . . . . . . . 167

8.4 Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.5 Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.6 Positive Semidefinite Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.7 Subharmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.8 The PerronFrobenius Theorem . . . . . . . . . . . . . . 178

8.9 The Rank of a Symmetric Matrix . . . . . . . . . . . . . 179

8.10 The Binary Rank of the Adjacency Matrix . . . . . . . . 181

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xvi Contents

8.11 The Symplectic Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.12 Sp ectral Decomp osition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.13 Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9 Interlacing 193

9.1 Interlacing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.2 Inside and Outside the Petersen Graph . . . . . . . . . . 195

9.3 Equitable Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.4 Eigenvalues of Kneser Graphs . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.5 More Interlacing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

9.6 More Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

9.7 Bipartite Subgraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.8 Fullerenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

9.9 Stability of Fullerenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10 Strongly Regular Graphs 217

10.1 Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

10.2 Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

10.3 Some Characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

10.4 Latin Square Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.5 Small Strongly Regular Graphs . . . . . . . . . . . . . . 226

10.6 Local Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

10.7 The Krein Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

10.8 Generalized Quadrangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

10.9 Lines of Size Three . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.10 Quasi-Symmetric Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

10.11 The Witt Design on 23 Points . . . . . . . . . . . . . . . 241

10.12 T he Symplectic Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

11 Two-Graphs 249

11.1 Equiangular Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

11.2 The Absolute Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

11.3 Tightness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

11.4 The Relative Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

11.5 Switching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

11.6 Regular Two-Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

11.7 Switching and Strongly Regular Graphs . . . . . . . . . 258

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C ontents xvii

11.8 The Two-Graph on 276 Vertices . . . . . . . . . . . . . . 260

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

12 Line Graphs and Eigenvalues 265

12.1 Generalized Line Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

12.2 Star-Closed Sets of Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

12.3 Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

12.4 Indecomposable Star-Closed Sets . . . . . . . . . . . . . 268

12.5 A Generating Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

12.6 The Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

12.7 Root Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

12.8 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

12.9 A Strongly Regular Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

13 The Laplacian of a Graph 279

13.1 The Laplacian Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

13.2 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

13.3 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

13.4 Energy and Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

13.5 Connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

13.6 Interlacing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

13.7 Conductance and Cutsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

13.8 How to Draw a Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

13.9 The Generalized Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

13.10 Multiplicities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

13.11 Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

14 Cuts and Flows 307

14.1 The Cut Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

14.2 The Flow Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

14.3 Planar Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

14.4 Bases and Ear Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . 313

14.5 Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

14.6 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

14.7 Integer Cuts and Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

14.8 Pro jections and Duals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

14.9 Chip Firing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

14.10 Two Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

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xvii i C ontents

14.11 Recurrent States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

14.12 Critical States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32614.13 T he Critical Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

14.14 Voronoi Polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

14.15 Bicycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

14.16 The Principal Tripartition . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

15 The Rank Polynomial 341

15.1 Rank Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

15.2 Matroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

15.3 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

15.4 Restriction and Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . 34615.5 Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

15.6 The DeletionContraction Algorithm . . . . . . . . . . . 349

15.7 Bicycles in Binary Co des . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

15.8 Two Graph Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

15.9 Rank Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

15.10 Evaluations of the Rank Polynomial . . . . . . . . . . . . 357

15.11 The Weight Enumerator of a Code . . . . . . . . . . . . 358

15.12 C olourings and Co des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

15.13 Signed Matroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

15.14 Rotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

15.15 S ubmo dular Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

16 Knots 373

16.1 Knots and Their Projections . . . . . . . . . . . . . . . . 374

16.2 Reidemeister Moves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

16.3 Signed Plane Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

16.4 Reidemeister moves on graphs . . . . . . . . . . . . . . . 381

16.5 Reidemeister Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

16.6 The Kauffman Bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

16.7 The Jones Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

16.8 Connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

17 Knots and Eulerian Cycles 395

17.1 Eulerian Partitions and Tours . . . . . . . . . . . . . . . 395

17.2 The Medial Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

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Contents xix

17.3 Link Components and Bicycles . . . . . . . . . . . . . . . 400

17.4 Gauss Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40317.5 Chords and Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

17.6 Flipping Words . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

17.7 Characterizing Gauss Codes . . . . . . . . . . . . . . . . 408

17.8 Bent Tours and Spanning Trees . . . . . . . . . . . . . . 410

17.9 Bent Partitions and the Rank Polynomial . . . . . . . . 413

17.10 Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

17.11 Orientable Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

17.12 Seifert Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

17.13 S eifert Circles and Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

Glossary of Symbols 427

Index 433

8/13/2019 9780387952413-t1

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http://www.springer.com/978-0-387-95241-3