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MODELLAZIONE E CALCOLO DI GRANDI STRUTTURE IN MURATURA CUP OLE E PONT I AD ARCO

SIMULATION AND CALCULUS OF LARGE MASONRY STRUCTURES DOMES AND ARCH BRIDGES

G. Menditto Prof. Ord. Scienza de11e Costruzioni Facoltà di Ingegneria Università di Ancona, Italia

R. Capozucca Ricercatore Facoltà di I ngegneria Università di Ancona, Italia

SOMMARIO

M. Traversari Ingegnere

Ancona, I ta 1 i a

Le grandi opere in muratura sono ti piche dei passato ed i nteressano pr i nci pa 1 m en te edifici per il culto e ponti. I m ode 11 i di calcolo adottati non consentivano di valutare appieno lo stato tensionale e deformativo sia per la complessità strutturale dei manufatti, che per le difficoltà insite in un calcolo manuale. La nota prende in esame due casi di grandi strutture in muratura: una chiesa ed un ponte ad arco. Si studia il regime tensionale e deformativo attraverso una mode11azione secondo il metodo degli E. F. , in grado di esaminare la struttura nella sua globalità, evidenziando gli effetti conseguenti a11a comp artecipazione dei vari elementi. Nel caso de11'edificio di culto si pone l'accento su11'interazione fra cupola, tamburo di imposta e strutture inferiori . Per il ponte ad arco si analizza l' i nterazione fra gl i elementi voltati e le strutture verticali per cedi menti fondali.

ABSTRACT

Large m asonry structures are typi cal of the past. Often, i n h istorica 1 sites, buildi ngs for wor ship and bridges are encountered. The models of calculus adopted in the past did not a110w to fully estimate the stress and strain fields , either because of inherent structural com p lex it ies or of difficu lties regar di ng the manual computations. In this paper two examples of large masonry structures are considered: a church and an arch bridge. The stress and strain fields are analyzed through a complete F.E. modeling, which permits to examine the structure in its overa11 configuration and thus to focus attention on the effects produced by interaction among its various members. In the case of the building for wor ship interaction between the dome, the drum and the lower structures is examined. For the ar ch bridge the modeling permits to analyze the interaction of the vaulted part of the bridge with the piers and abutements in the case of foundation settlements.

INTRODUZIONE

Le grandi opere in muratura dei passato venivano realizzate aggregando elementi strutturali difformi per geometria e comportamento statico . La definizione formale ed il corretto assetto strutturale dell'insieme si perseguiva attraverso i l solo controllo dell'equilibrio, garantito, nel caso delle strutture ad arco , dai contenimento de11a curva de11e pressioni a11'interno delle sezioni . 11 calcolo prescindeva da11 'assetto deformativo delle sezioni ed il concetto di congruenza appare solo nel XIX secolo con la teoria dell'elasticità. Quest'ultima, pur migliorando notevolmente la conoscenza dei problema strutturale, non consente, almeno nel caso de11e opere murarie, di cogl iere il comportamento globale de11e strutture tipiche degli edifici monumentali . Solam ente con i metodi di discretizzazione dei continuo, specificatamente con l'impiego dei metodo degli E.F. e quelli tridimensionali in particolare, ê possibile analizzare compiutamente una grande struttura muraria.

La memoria intende puntualizzare il meccanismo di interazione fra elementi murari di geometria diversa quando si presentino aggregati a formare una grande struttura. L'esempio della chiesa di S.Pe11egrino (Ancona, Italia), oggetto della prima mode11azione, si presenta in tal senso come il piu significativo. L'organismo risulta concepito dall'aggregazione di

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element i distinti: lanterna, cupola, tamburo, trabeazione, sostenuti da archi e piedritti di base. La modellazione ê stata svi luppata per fasi: dalla cupola con lanterna si ê pervenuti ai modello completo aggiungendo successivamente gli elementi sottostanti. E' stato cosl possibile cogliere le variazioni dello stato tensionale e deformativo nelle varie fasi aggregative fino alla finale. Nel caso deI ponte in muratura sul fiume Tronto (Ascoli Piceno, Halia), la modellazione completa dei manufatto ha permesso di confrontare i1 Quadro fessurativo di rilievo con la distribuzione degli stati tensionali di trazione ottenuti dai calcolo, anche in presenza di cedimenti fondali.

ANALISI STATICA DELLA CHIESA DEI SS.PELLEGRINO E TERESA (ANCONA,ITALlA)

La chiesa, costru ita agi i inizi dei XII X, ha pianta centrale. La sua sezione orizzontale ê un cerchio con appendici che formano una croce apparentemente greca, in realtà latina data la maggior profondità della cappella dei presbiterio per la presenza dei coro (Fig. 1).

L il

Fig. l - Pianta e sezione principale della chiesa di S.Pellegrino in Ancona. Plan and principal cross section of the S.Pellegrino church in Ancona.

La cupola, di spessore variabile, sale a sesto leggermente rialzato ed ê priva di costolonature. E' interessante il raccordo tra gli archi e la trabeazione, formata da trapezi con tre lati curvi ed uno retto, Quello dell'imposta, non contenuti su uno stesso piano verticale . Le principali dimensioni degli elementi sopra descritti sono le seguenti : a) altezza complessiva lanterna: 6,2m; diametro interno: 2,5m; b) diametro cupola alla base: 14,8m; altezza interna: 8,7m; spessore all'imposta: O,9m; c) altezza tamburo: 6,3m; spessore: 1,2m; d) altezza trabeazione fino alla sommità archi di scarico: 1 ,8m; e) altezza piedritti da terra: 11 ,2m.

Lo studio statico dei complesso viene eseguito con l'ausilio dei codice di calcol0 FIESTA ( 1) che permette l'analisi delle strutture solide basata sulla versione p dei metodo degli E.F .. Nella versione p la mesh ê fissa e la convergenza della soluzione ê raggiunta aumentando il grado polinomiale di ogni elemento in modo uniforme o selettivamente.

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Per la chiesa di S.Pellegrino sono state reallzzate 4 modellazioni: 1) Modell0 CHll : ê limitato alla sola cupola con lanterna. Rappresenta 10 schema piú semplificato, utilizzato per una prima analisi della cupola. I risultati ottenuti sono statl poi confrontatl con Quelli dei successivi modell1. Alla base d'appoggio si ê assunto un vincolo che consente solo traslazioni nel piano orizzontale. 2) Modell0 CHI2: comprende, oltre alla cupola, anche i1 tamburo fino ad una zona prossima alIa trabeazione che scarica sui Quattro archi di bordo. Lo schema fornisce un migliore vincolo alla cupola per la presenza della cerchiatura costituita daI tamburo. Anche in Questo caso alla base deI tamburo si ê inserito un vincolo che consente la sola traslazione or izzonta le. 3) Modell0 CHI3: si considera anche la porzione di transizione tra il complesso cupola­tamburo ed i piedritti, costituita dagli archi lateral i di scarico e dalle volte laterali a loro connessi. Si ê adottato 10 stesso vincolo degl i schemi precedent i, mentre si ê incrementato notevolmente i1 numero di elementi , per la complessità deI nodo di passaggio aI di sopra degli archi. 4) Modell0 CHI4: ê i1 modell0 completo della chiesa e risulta il piu significativo. 11 vincolo alla base ê un incastro, che simula i1 collegamento con la fondazione. 11 modell0 si presenta con il piu alto numero di elementi (613), realizzati con 1062 nodi di vertice, e con un volume di 10355 m3 (Fig.2).

Fig.2 - Modellazione completa della chiesa. Complete model of the church.

Nelle analisi sono state assunte le seguenti caratterlstiche meccanlche relatlve a materiale supposto elastico, omogeneo ed isotropo: modulo di elasticità normale E=O ,5.107

kPa, coefficiente di Poisson v=O ,2, densità della muratura dm = 1 ,8 tlm 3 L 'un ica condizione di carico esaminata ê stata Quella di peso proprio. I risultati seguenti sono fra 1 piu significativi e descrlvono lo stato deformatlvo e tensionale dei nodi nella sezione meridiana della cupola sul plano di simmetria longitudinal e (Flg.3)

Nelle Figg.4a e 4ti si presentano 1 diagramml degll spostamenti radiali per I nodi rispettivamente all'intradosso e all'estradosso della sezione. Vengono messl a confronto i risultati ottenuti per i vari modell1.

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Jl /// . ,,' '/1/ \~

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Fig,3 - Sezione di riferimento della cupola, Reference cross section of the dome,

0,200 .----------.. ::---:C:::-:H,.,-,'I

0.175 "'-------__ ::::!::...~~~!!f-j:; 0.200 r----------.. =---;C""H',.,..,I

0.175 "'----------=~~ 0.150 t--"....-':::>...;::___-----... ~C~H!!.:'...j14

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(al

0,050 t-----~:___---~=;

0,025 t----------"'I;r-----

0.000 t--------~..,_-___l

-0,025t----------.::s:::,_=!

-o ,050 L......-'--_'----'---'-_'----'--'--_'---'--'--------'-' o 10 20 30 40 50 60 70 00

~( 0)

0,050

0.015

(bl lO 20 30 40 50 60 70 00

~( ' )

Fig.4 - Spostamenti radial; (a) intradosso (b) estradosso Radial displacements: (a) intrados (b) extrados

L'ispezione dei diagrammi evidenzia nei primi tre modelli parziali diversità dei valori di spostamento solo alla base della cupola ed annullamento della variazione per i nodt superiori. La curva relativa aI modello CHI4 evidenzia invece un comportamento globale diverso rispetto ai modelli parziali che trascurano gli elementi di sostegno inferiori (archi, volte e piedritti) con conseguente approssimazione deI vincolo.

Dall'esame delle Figg.5a e 5b si evince che il regime tensionale tangente ai paralleli é di compressione per i punti della sezione meridiana di riferimento della cupola per angoli cp maggiori di 40·;.-45·. Per angoli cp<40· si nota una differenza di comportamento fra diversi modelli ed, in particolare, il modello CHll presenta, per cp=O·, il valore massimo di trazione. Ciã é giustificato daI fatto che il CHll é il modell0 piú semplice, senza la presenza deI tamburo alla base della cupola che ne contenga le dilatazioni radiali.

I diagrammi delle Figg.6a e 6b mettono in relazione le tensioni verticall Oz sempre sui nodi della sezione di riferimento della cupola,

o,(kPa)

(a)

100

75

50

25

-25

-50

-75

-100

-125

- 150 o

- 976 -

.... CHII ~ CHI2

~ ... CHI3 ... CHI4

~ ~ >r "-"""-.

" '" \ , I o 20 30 40 50 60 70 BO

~(.)

0,( kPa)

(b)

100

75 r---.., .... CHll

~ CHI2

50 r--..~ .... CHI3 ... CH14

25

-25

-50

- 75

-100

-125

-ISO O

~ "-

"'-" '\ \

\-10 20 30 40 50 60 70 BO

~(.)

Fig.5 - Tensioni nella direzione tangente ai paralleli: (a) intradosso (b) estradosso Stress tangent to the dome paralle ls: (a) intrados (b) extrados

(a)

-251----------+-.---1

-50 f---------,_ ...... C------.-,

-75 f--------,,,g~------1

-100 f-----Jfí/L---------1

... HI I -o- CHI2 ... CHI3

-225 (b) O 10 20 30 40 50 60 70 BO

~(.)

- 125 ~---------------

· ,~o ----,-----

- 115 ----------.-- - - ---- ---- ______ . __ __ ~_ Çl!!L -o- (1112 .... CHI3

---------··-·------=-clll~ --200

- 22 5 .......... -'-~'___'___'_~'___'___'_____.J'--"-__'_________u O 10 20 30 40 50 60 70 BO

~(.)

Fig.6 - Tensioni verticali: (a) intradosso (b) estradosso Vertical stress: (a) intrados (b) extrados

Lo stato tensionale ê di sola com pressione e per angoli q><45· si registra un comportamento analogo per i tre modelli piú complessi ed un comportamento nettamente diverso nel caso del modello piú semplificato CHll.

Dall'esame comparato dei risultati riportati nelle Figg.4, 5 e 6 si evince che un modello completo dell'organismo strutturale ê essenziale per la valutazione dello stato deformativo. Modellazioni ed anal isi parziali possono descrivere abbastanza fedelmente 1nvece lo stato tensionale. Nel caso in cui gli elementi inferiori di sostegno non presentino 1rregolarità, per individuare un corretto com portamento della cupola, ê suff1c1ente cons1derare un modello parziale comprensivo del tamburo. Si rileva inoltre come alcune zone all'estradosso della cupola stessa, per sezioni inclinate rispetto all'orizzontale di angoli q>=40·, s1ano sottoposte a tensione di trazione nella direzione delle tangenti ai paralleli. Qualora, come nel caso in esame, la deformabilità degli elementi inferiori, arch1 volte e piedritti, non sia trascurabile, ê necessario analizzare la struttura nella sua globalità.

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COMPORTAMENTO STATICO DI UN PONTE AD ARCO SUL FIUME TRONTO (ASCOLl, ITALlA)

11 ponte ad arco esaminato ê a tre campate uguali, con due pile central i e due spalle lateral i di cui una con presenza di vano di passaggio (Fig.7).

-k---------- 75,3." ---------* +--- 24,5 ~

~ . f . 49 ~ 1

" . , .

Fig.7 - Vista longitudinal e dei ponte sul Tronto in Ascoli . Longitudinal view of the Tronto rlver bridge of Ascol!.

La struttura portante ê costituita da volte a tutto sesto a spessore variabi le, con riemplmento sui rinfianchi. Sulle volte poggia una sovrastruttura di sostegno dei piano stradale, costituita da una serie di voltine impostate su diaframmi verticali. La modellazione completa ê visualizzata nelle Figg. 8a e 8b.

(a)

Fig.8 - Modellazione completa: (a) sezione di bordo, (b) sezione in mezzeria. Com plete model: (a) lateral side, (b) m iddle section.

L'analisi statica ê stata condotta assumendo le seguenti caratteristiche meccaniche: modulo di elasticità normale E=O,5 · 107 kPa, coefficlente di Poisson v=O,2, densità della muratura dm=2,2 tlm 3

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E' stato analizzato il comportamento deI ponte per carichi permanenti che si presentano di gran lunga piu rilevanti rispetto ai carlchi varlabili attese le grandi dimensioni delle strutture portanti. Si ê analizzato altresl lo stato tensionale e deformativo per un cedimento fondale verticale della plla di sinistra in Fig.7. 1I modello realizzato descrive in modo completo la geometria deI manufatto. 1I numero totale degli elementi é pari a 700, individuati da 1298 nodi di vertice. 1I volume racchiuso ê di 7430 m3.

L'analisi ê stata finalizzata alla definizione deI regime tensionale sugli elementi ad arco principali. Le componenti di tensione considerate sono anche in Questo caso le tensioni normali Oz rappresentative dello stato di tensione verticale e le Ox che descrivono invece 10 stato di tensione longitudinale. Gli stati tensionali sono stati considerati in corrispondenza di due sezioni longitudinali caratteristiche: Quella di bordo sul piano deI tamponamento esterno e Quella di mezzerla a distanza di 6,25m. Va sottolineato come le due sezioni siano geometricamente di verse poichê Quella di bordo presenta materiale di tamponamento esterno per la parte superiore agli archi princlpali, mentre Quella di mezzeria risulta parzialmente cava per la presenza dei vuoti aI disotto degli archi minori che sostenÇ1lno la pavimentazione.

In Fig.9a sono diagrammati i valori delle tensioni 0x per i nodi all'intradosso degli archi principali nella sez ione di bordo, in assenza di cedi menti fondali. Si individuano due zone di transizione comprese fra gli angoli cp=30·790· e cp=90· ';'150·. In tali ambiti il regime tensionale ê diverso per ciascun arco principale: in particolare, l'arco centra le presenta valori simmetr ici rispetto alia sezione verticale di chiave, mentre gli archi lateral i risentono della diversa geometria e rigidezza delle spalle. Diversità di comportamento si indivlduano per gli archi lateral i 1 e 3, rispetto a Quello centrale 2, anche dall'esame delle tensioni oZ in Fig.9b.

0,( kPa)

intr

(al

50r---------~----------_,

-100

-150

-200

-250

- 300

.... ARCHl -350 - ARCH2

... ARCH3 -4001-------"=----------'--'="'1

- 450 L-...-....I..-...--'--"-'~..I.._._'_.o.._L~ ........... -'-"'-'

O 20 40 60 80 100 120 140 160 180 .. (")

50

-50

- 100

- 150

-200

-250

-300 0,( kPo)

- 350

extr - 400

-450

- 500

-550

-600

- 650 (bl -700

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1\/\ - ARCH2

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11 ~ li 'i

I , fI \

O 20 40 60 80 100 120 140 160 180 .. (') Fig.9 - (a) Tensioni longitudinal i 0 x , (b) tensioni vertical i Oz

(a) Longitudinal stress 0x, (b) vertical stress Oz

11 comportamento dei ponte per' cedimenti verticali della pila é visualizzato per le tensioni 0x nella Fig. 10. In Fig.l Oa, relativamente ai solo arco 1, si registrano valori di tensioni di trazione crescenti proporzionalmente all'entità deI cedimento stesso per i nodi su sezioni inclinate di angoli superiori a 90°. La sezione in cui si hanno i piu alti valori di trazione é sul piano inclinato di un angolo cp"" 110·. La parte in trazione dell'arco é Quella adiacente alia pila sottoposta a cedimento verticale. Fra i tre archi principal i il n° 1 e il n02, adiacenti alla pila sottoposta a cedimento, risentono direttamente degli effetti conseguenti all'abbassamento della base di imposta della pila stessa, con tensioni piu elevate sull'arco 1, nella sezione longitudinale di bordo maggiormente rigida (Fig. 10a).

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Dall'esame degli stati tensionali indicati nelle Figg.l0a e 10b si apprezza la validità dell'analisi condotta in relazione aI Quadro fessurativo di rilievo, poichê le lesioni si collocano ne11e zone che risultano sottoposte a trazione (Fig.7).

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200

o -200

0,( kPa) -400

intr =:~~ -1000 -1200 -1400 -1600 -1800 -2000

(a) -2200

--"'~ , ..... .. " ..... / \\.

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intr

.. setllement 5mrTI

- setllemenl IQmm .. Sltuemen Lumm

(b)

1600 1400 1200 1000 800 600 "-400 200

o -200 - 400 - 600 -800

-1000 -1200

" I ,,\ /I/V".. " ........ -- M'"

..... ~ I "- 'I/ l\ '\. \ ....... ~

\. -1400 ... .. settlemenl Smm

~ - setllemenl IOmm

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-1600 -1800 -2000 -2200

o 20 40 60 80 100 120 140 160 180 o 20 40 60 80 100 120 140 160 180

",(') .. (')

Fig. l0 - Tensioni ox: (a) sezione di bordo , (b) sezione di mezzeria. Stress ox: (a) lateral side, (b) middle section.

CONCLUSIONI

Con il metodo agli E.F. sono stati analizzati due esempi di grandi strutture murarie. Lo studio di Questi due casi ha consentito di trarre alcune conclusioni che si ritiene di poter generalizzare, almeno come metodologia di approccio, nelle analisi delle opere murarie monumental i. Un controllo dello stato tensionale deI complesso struttur'ale non puà prescindere da11a continuità fra i vari componenti che vanno tutti considerati ne11'eQuilibrio e ne11a congruenza d'assieme. Parimenti I'analisi deI Quadro fessurativo deve tener conto dei contributi offerti dai singoli componenti.

Nell'analisi deI comportamento statico di una grande cUrolil muraria, si ê valutilto 11 benefico effetto cerchiante per la cupola costituito daI tamburo già evidente In una mode11azione parziale. Per tener conto dell'influenza de11a deformabtlità degll elementl di sostegno inferiori (archi, volte e piedritti) nel Quadro deformativo e tenslonale de11a cupola, ê stata necessaria una mode11azione completa .

Nel calcolo deI ponte ad arco si ê constata una notevole corrispondenza fra le zone fessurate e Quelle in trazione per i1 caso di cedimenti fondali. Le campate ad arco adiacenti la pi la sottoposta a cedimento subiscono apprezzabili var iazioni de 11e tensioni. Una comp leta mode11azione di ponti ad arco ê Quindi significativa Quando si studino casi di cedimenti fondali.

BIBLIOGRAFIA

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