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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
[ Les probabilités conditionnelles \
Lycée du golfe de Saint Tropez
Année 2017/2018
Terminale ES Les probabilités conditionnelles
Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
1 Notion de probabilité conditionnelle
Activité de découverte
Probabilités conditionnelles
Formule générale
Exemples
2 Arbre pondéré
Conventions
Exemples
Propriétés des arbres pondérés
3 Formule des probabilités totales
Propriété préliminaire
Formule des probabilités totales
Exercice
4 Loi binomiale
Schema de Bernoulli
Définition d’une loi binomiale
Espérance et écart-type
Calcul des probabilités
Exercices
Terminale ES Les probabilités conditionnelles
Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
I) Notion de probabilité conditionnellea) Activité de découverte
On veut savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant dans une maladie, la
probacytose. On a effectué une étude statistique sur une population de 20 000
personnes. Voici les chiffres obtenus :
400 personnes sont à la fois fumeurs et malades
600 personnes sont non fumeurs et malades
4 600 personnes sont fumeurs et sains
14 400 personnes sont non fumeurs et sains
Terminale ES Les probabilités conditionnelles
Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
I) Notion de probabilité conditionnellea) Activité de découverte
On veut savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant dans une maladie, la
probacytose. On a effectué une étude statistique sur une population de 20 000
personnes. Voici les chiffres obtenus :
400 personnes sont à la fois fumeurs et malades
600 personnes sont non fumeurs et malades
4 600 personnes sont fumeurs et sains
14 400 personnes sont non fumeurs et sains
1 Placer ces données dans un tableau à double entrée.2 On choisit une personne au hasard dans cette population.
Quelle est la probabilité que :
Cette personne soit un fumeur ? Un non fumeur ? Malade ? Saine
Terminale ES Les probabilités conditionnelles
Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
I) Notion de probabilité conditionnellea) Activité de découverte
On veut savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant dans une maladie, la
probacytose. On a effectué une étude statistique sur une population de 20 000
personnes. Voici les chiffres obtenus :
400 personnes sont à la fois fumeurs et malades
600 personnes sont non fumeurs et malades
4 600 personnes sont fumeurs et sains
14 400 personnes sont non fumeurs et sains
1 Placer ces données dans un tableau à double entrée.2 On choisit une personne au hasard dans cette population.
Quelle est la probabilité que :
Cette personne soit un fumeur ? Un non fumeur ? Malade ? Saine3 On va définir pM(F) qui se lira « probabilité de F sachant M ». Pour cela, on
imagine une nouvelle expérience: on choisit une personne au hasard parmi
les malades et on cherche la probabilité qu’elle fume ? Donc
pM(F) =..........
..........= ..........
Calculer de même pM
(F) = ..............................Terminale ES Les probabilités conditionnelles
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Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
b) Probabilités conditionnelles
On va définir pM(F) qui se lira « probabilité de F sachant M ».
Pour cela, on imagine une nouvelle expérience, celle dont les issues possibles sont
celles réalisant M et parmi celles ci, les issues favorables à F.
Donc pM(F) =..........
..........= ..........
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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
b) Probabilités conditionnelles
On va définir pM(F) qui se lira « probabilité de F sachant M ».
Pour cela, on imagine une nouvelle expérience, celle dont les issues possibles sont
celles réalisant M et parmi celles ci, les issues favorables à F.
Donc pM(F) =..........
..........= ..........
Calculer de même pM
(F) = ..............................
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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
c) Formule générale
A et B sont deux événements d’un même universΩ de probabilité non nulle.
Lorsqu’il y a équiprobabilité on peut écrire
pA(B) =nombre d’issues de A∩B
nombre d’issues de A
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Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
c) Formule générale
A et B sont deux événements d’un même universΩ de probabilité non nulle.
Lorsqu’il y a équiprobabilité on peut écrire
pA(B) =nombre d’issues de A∩B
nombre d’issues de A
=nombre d’issues de A∩B
nombre d’issues deΩ×
nombre d’issues deΩ
nombre d’issues de A
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Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
c) Formule générale
A et B sont deux événements d’un même universΩ de probabilité non nulle.
Lorsqu’il y a équiprobabilité on peut écrire
pA(B) =nombre d’issues de A∩B
nombre d’issues de A
=nombre d’issues de A∩B
nombre d’issues deΩ×
nombre d’issues deΩ
nombre d’issues de A
=............
.............
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Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
Définition
Soit A un événement de probabilité non nulle et B un événement quelconque du
même univers.
On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A , le quotient
pA(B) =p(A∩B)
p(A).
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Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
d) ExemplesExpérience 1
On revient sur l’étude statistique concernant une population de 20000 personnes
Malades Sains
Fumeurs 400 4600
Non fumeurs 600 14400
Calculer pF(M) et pF
(M).
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Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
Expérience 2
Dans un jeu de 32 cartes, on extrait au hasard une carte.
Déterminer la probabilité que la carte tirée soit une dame, sachant que c’est une
figure.
Déterminer la probabilité que la carte tirée soit le roi de carreau, sachant qu’elle est
rouge.
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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
Expérience 3
Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes
Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard successivement et sans remise
On gagne si la deuxième boule tirée est rouge
Terminale ES Les probabilités conditionnelles
Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
Expérience 3
Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes
Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard successivement et sans remise
On gagne si la deuxième boule tirée est rouge
1 Blaise tire une première boule : elle est rouge. Est-il en droit de se réjouir ?2 Simon tire une première boule : elle est verte. Est-il en doit de se réjouir ?
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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples
Expérience 3
Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes
Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard successivement et sans remise
On gagne si la deuxième boule tirée est rouge
1 Blaise tire une première boule : elle est rouge. Est-il en droit de se réjouir ?2 Simon tire une première boule : elle est verte. Est-il en doit de se réjouir ?
R1: « la 1ère boule tirée est rouge »
R2: « la 2ème boule tirée est rouge »
Calcul de pR1 (R2):
On a tiré une boule rouge dans l’urne, il reste alors 4 boules et parmi elles 2 rouges
donc
pR1 (R2) =2
4=
1
2Calcul de pR1 (R2):
On a tiré une boule verte dans l’urne, il reste alors ........... boules et parmi elles
............ rouges donc
pR1(R2) =
..........
............Terminale ES Les probabilités conditionnelles
Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
ConventionsExemplesPropriétés des arbres pondérés
II) Arbre pondéréa) Conventions
On peut représenter une épreuve par un arbre de probabilité, en indiquant sur les
branches de premier niveau les probabilités de A et A , puis sur les branches de
deuxième niveau les probabilités conditionnelles.
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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
ConventionsExemplesPropriétés des arbres pondérés
Expérience 3
1 Faire un arbre de probabilité correspondant à l’expérience 3 du paragraphe I.
2 Calculer la probabilité de l’événement E : « tirer une boule rouge puis une
boule verte »
3 Comment à l’aide de l’arbre pourrait-on calculer la probabilité de l’événement
F : « tirer deux boules de couleurs différentes »
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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
ConventionsExemplesPropriétés des arbres pondérés
b) Propriétés des arbres pondérés
Propriétés
On retiendra les propriétés des arbres de probabilité:
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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
ConventionsExemplesPropriétés des arbres pondérés
b) Propriétés des arbres pondérés
Propriétés
n retiendra les propriétés des arbres de probabilité:
La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud
est 1;
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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
ConventionsExemplesPropriétés des arbres pondérés
b) Propriétés des arbres pondérés
Propriétés
n retiendra les propriétés des arbres de probabilité:
La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud
est 1;
Un chemin —–A—–B correspond à l’événement A∩B et P(A∩B) est le produit
des probabilités affectées à chacune des branches qui le constituent;
Terminale ES Les probabilités conditionnelles
Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
ConventionsExemplesPropriétés des arbres pondérés
b) Propriétés des arbres pondérés
Propriétés
n retiendra les propriétés des arbres de probabilité:
La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud
est 1;
Un chemin —–A—–B correspond à l’événement A∩B et P(A∩B) est le produit
des probabilités affectées à chacune des branches qui le constituent;
La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins de l’arbre
est la somme des probabilités de ces chemins.
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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
ConventionsExemplesPropriétés des arbres pondérés
b) Propriétés des arbres pondérés
Propriétés
n retiendra les propriétés des arbres de probabilité:
La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud
est 1;
Un chemin —–A—–B correspond à l’événement A∩B et P(A∩B) est le produit
des probabilités affectées à chacune des branches qui le constituent;
La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins de l’arbre
est la somme des probabilités de ces chemins.
Ne pas confondre p(A∩B) et pA(B).
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Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré
Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Propriété préliminaireFormule des probabilités totalesExercice
III) Formule des probabilités totalesa) Propriété préliminaire
Propriété préliminaire
Soit les événements B, B1,B2 et B3 qui vérifient :
Si la réunion des évènements B1,B2 et B3 correspond à B.
Si les évènements B1,B2 et B3 sont disjoints deux à deux (c’est à dire qu’ils
n’ont aucune issue en commun)
On dit alors que B1,B2 et B3 forment une partition de B
Dans ces conditions p(B) = p(B1)+p(B2)+p(B3)
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Propriété préliminaireFormule des probabilités totalesExercice
b) Formule des probabilités totales
Propriété
Si les événements B1,B2 et B3 forment une partition de l’univers et A est un
événement alors
p(A) = p(A∩B1)+p(A∩B2)+p(A∩B3)
p(A) = p(B1)×pB1 (A)+p(B2)×pB2 (A)+p(B3)×pB3 (A)
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Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Propriété préliminaireFormule des probabilités totalesExercice
b) Formule des probabilités totales
Propriété
Si les événements B1,B2 et B3 forment une partition de l’univers et A est un
événement alors
p(A) = p(A∩B1)+p(A∩B2)+p(A∩B3)
p(A) = p(B1)×pB1 (A)+p(B2)×pB2 (A)+p(B3)×pB3 (A)
Remarque:
Si B est un événement quelconque, les événements B et B forme une partition de
l’univers.
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Propriété préliminaireFormule des probabilités totalesExercice
c)Exercice
Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l’échographie, fait
des erreurs sur le sexe des enfants à naître.
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Propriété préliminaireFormule des probabilités totalesExercice
c)Exercice
Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l’échographie, fait
des erreurs sur le sexe des enfants à naître.
Il se trompe une fois sur vingt si c’est un garçon et une fois sur dix si c’est une fille.
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Propriété préliminaireFormule des probabilités totalesExercice
c)Exercice
Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l’échographie, fait
des erreurs sur le sexe des enfants à naître.
Il se trompe une fois sur vingt si c’est un garçon et une fois sur dix si c’est une fille.
Il vient de dire à Madame Bertrand qu’elle attendait une fille.
Quelle est la probabilité que ce soit vrai ?
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Propriété préliminaireFormule des probabilités totalesExercice
c)Exercice
Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l’échographie, fait
des erreurs sur le sexe des enfants à naître.
Il se trompe une fois sur vingt si c’est un garçon et une fois sur dix si c’est une fille.
Il vient de dire à Madame Bertrand qu’elle attendait une fille.
Quelle est la probabilité que ce soit vrai ?
On utilisera un arbre et les notations suivantes :
F : « l’enfant à naître est une fille »
G : « l’enfant à naître est un garçon »
A : « le docteur annonce un garçon »
B : « le docteur annonce une fille ».
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Formule des probabilités totalesLoi binomiale
Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
IV) Loi binomialea) Schema de Bernoulli
Définition
Un schéma de Bernoulli est une expérience au cours de laquelle on répète de
façon identique et indépendante n épreuves ne comportant que deux issues dont
une est appelée Succès.
Remarque: Une épreuve ne comportant que deux issues est appelée une épreuve
de Bernoulli
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
Exemple 1
On étudie la fiabilité du matériel d’une entreprise et on note S l’événement « le
matériel est défectueux ».
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
Exemple 1
On étudie la fiabilité du matériel d’une entreprise et on note S l’événement « le
matériel est défectueux ».
On prélève un objet, il est défectueux ou il ne l’est pas. C’est donc une épreuve de
Bernoulli.
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
Exemple 1
On étudie la fiabilité du matériel d’une entreprise et on note S l’événement « le
matériel est défectueux ».
On prélève un objet, il est défectueux ou il ne l’est pas. C’est donc une épreuve de
Bernoulli.
Maintenant on prélève au hasard 4 objets de l’entreprise, si le nombre d’objets
dans l’entreprise est très important on peut assimiler cette expérience à un tirage
avec remise
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
Exemple 1
On étudie la fiabilité du matériel d’une entreprise et on note S l’événement « le
matériel est défectueux ».
On prélève un objet, il est défectueux ou il ne l’est pas. C’est donc une épreuve de
Bernoulli.
Maintenant on prélève au hasard 4 objets de l’entreprise, si le nombre d’objets
dans l’entreprise est très important on peut assimiler cette expérience à un tirage
avec remise
L’expérience est un schéma de Bernoulli puisqu’on répète la même épreuve de
Bernoulli de façon identique et indépendante.
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
Exemple 2 page I
On considère l’expérience aléatoire consistant tirer une carte d’un jeu de 32 cartes,
à noter sa couleur puis à la remettre dans le jeu.
On appelle "succès" l’événement S : « On obtient un cœur».
On répète trois fois cette expérience.
1 Quelle est la probabilité de S?
2 Les tirages sont-ils indépendants? En déduire la probabilité d’obtenir 3 succès
successifs, puis d’aucun succès.
3 Compléter l’arbre suivant:
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Exemple 2 page II
S
. . .
S. . .
S. . .
S. . .
S
. . .S. . .
S. . .
S
. . .S. . .
S. . .
S. . .
S
. . .S. . .
S. . .Terminale ES Les probabilités conditionnelles
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
Exemple 2 page III
4 Déterminer les probabilités d’avoir:
• 2 succès ;
• 1 succès.
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
b) Définition d’une loi binomiale
Définition
Considérons un schéma de Bernoulli, qui est la répétition de façon identiques et
indépendantes de n épreuves ne comportant que deux issues et dont le succès a
pour probabilité p.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès à l’issue de ces n épreuves
suit une loi binomiale de paramètre n et p, notée B(n,p) .
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
c) Espérance et écart-type
Espérance et écart-type
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p) .
Pour une loi binomiale de paramètres n et p, on a :
E(X) = np V (X) = np(1−p)
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
d) Calcul des probabilités
Les probabilités seront toujours calculées à l’aide de la calculatrice
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
d) Calcul des probabilités
Sur TI83 : Si on veut calculer p(X = k) dans la loi binomiale B(n ; p) On appuie sur
la touche DIST (
2nd
VARS ) on choisit binomFdp
si la calculatrice est en anglais on choisit binompdf
Puis on ajoute les paramètres
binomFdp(n,p,k) permet de calculer p(X = k) dans la loi binomiale B(n ; p)
binomFdp(10,0.2,2) permet de calculer p(X = 2) dans la loi binomiale
B(10 ; 0,2)
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
d) Calcul des probabilités
Sur TI83 : Si on veut calculer p(X = k) dans la loi binomiale B(n ; p) On appuie sur
la touche DIST (
2nd
VARS ) on choisit binomFdp
si la calculatrice est en anglais on choisit binompdf
Puis on ajoute les paramètres
binomFdp(n,p,k) permet de calculer p(X = k) dans la loi binomiale B(n ; p)
binomFdp(10,0.2,2) permet de calculer p(X = 2) dans la loi binomiale
B(10 ; 0,2)
Si on veut calculer p(X É k) dans la loi binomiale B(n ; p)
On appuie sur la touche DIST (
2nd
VARS ) on choisit binomFRep
si la calculatrice est en anglais on choisit binomcdf
puis on ajoute les paramètres: en premier le nombre de de répétition, puis la
probabilité du succès et enfin le nombre succès
binomFRep(n,p,k) permet de calculer p(X É k) dans la loi binomiale B(n ; p)
binomFRep(12,0.4,5) permet de calculer p(X É 5) dans la loi binomiale
B(12 ; 0,4)Terminale ES Les probabilités conditionnelles
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
Calcul des probabilités
Sur CASIO Graph 35:
Dans le menu, on choisit STAT puis DIST et BINM puis enfin Bpd ou Bcd
ou bien
Dans l’écran de calcul, on appuie sur la touche
OPTN puis on choisit STAT puis
DIST et BINM puis enfin Bpd ou Bcd . On obtient:
Il faut rentrer les paramètres: en premier le nombre de succès, puis le nombre de
répétition et enfin la probabilité du succès
BinomialPD(2,10,0.2) permet de calculer p(X = 2) dans la loi binomiale
B(10 ; 0,2)
BinomialCD(5,12,0.4) permet de calculer p(X É 5) dans la loi binomialeTerminale ES Les probabilités conditionnelles
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
Exercice 4 page I
Dans un jeu vidéo, le héros Mario veut atteindre, en sautant, un trésor qui se trouve sur un
nuage. S’il touche le trésor, il peut obtenir :
Aucune pièce d’or et voir sortir un monstre avec une probabilité p0 = 0,4.
une pièce d’or avec la probabilité p1 = 0,3.
deux pièces avec la probabilité p2.
trois pièces avec la probabilité p3 = 0,1.
1 Calculer p2.
2 Mario ne fait qu’un seul saut. On note G la variable aléatoire égale au nombre de pièces
d’or de Mario.
1 Donner la loi de probabilité de G.
2 Calculer l’espérance de G : interpréter le résultat obtenu.
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Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices
Exercice 4 page II
3 Mario saute 6 fois de suite. Chaque saut est indépendant du précédent.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de sauts où le monstre est
apparu.
1 Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont vous préciserez les
paramétres.
2 Calculer la probabilité que le monstre n’apparaisse pas.
3 Calculer la probabilité que le monstre apparaisse exactement deux fois.
4 Calculer la probabilité que le monstre apparaisse au moins deux fois.
5 Calculer p(2 É X É 4).
6 Calculer l’espérance de X et en donner une interprétation.
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