« 90% de nos trains arrivent à l’heure! »
DESCRIPTION
« 90% de nos trains arrivent à l’heure! ». énoncé exercice :. « Le retard sur un trajet train de 6h15 Marseille-Paris est en moyenne: 10mn avec écart type 3mn; Encadrement du retard? ». Comment intégrer les probas dans cette perspective?. Faire des mathématiques, c’est raisonner. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
« 90% de nos trains arrivent à l’heure! »
énoncé exercice :
• « Le retard sur un trajet train de 6h15 Marseille-Paris est en moyenne: 10mn avec écart type 3mn;
• Encadrement du retard? »
Faire des mathématiques, c’est raisonner
Comment intégrer les probas dans cette perspective?
Soit Ri la variable aléatoire:
• Retard (en mn) sur train de 6h15 Mrs-Paris le jour i
• Loi du retard Ri?
Un échantillon (Xi)i=1…n est:
• un n-uple de variables aléatoires, indépendantes, de même loi.
• (xi)i=1…n en est une réalisation
Moyenne d'échantillon :
X = (∑ Xi )/n : E(Xi) = m donc
E(X) = m;
Indépendance des Xi :Var X = (Var Xi)/n
Le retard est une erreur:
• Ri = Ti-T, où Ti = temps de trajet jour i
• T: temps de trajet annoncé
Si Ri suit une loi Gauss N(10; 3):
Alors:
P[10-1.96σ < Ri < 10+1.96σ] = 0.95
Alors, sur un trajet:
Le retard est, au seuil 95%, compris entre:
• 4mn et 16mn
Si on ne connaît pas la loi de Ri?
Hypothèses raisonnables:
Les retards Ri sont des V.A
• Indépendantes
• De même loi, d’espérance 10, d’écart type 3
Les Ri ne sont pas identiques
• Mais sont de même loi…inconnue
• TCL: La loi de la moyenne d’échantillon est une loi normale, pour n assez grand.
Intervalle de fluctuation de la moyenne:
• Au seuil de confiance 95%:
• [10-1.96(σ/√n); 10+1.96(σ/√n)]
Sur 36 trajets:
• le retard MOYEN est, au seuil 95%, compris entre
• 9mn et 11mn
• …quelle que soit la loi de chaque retard Ri!
Sur 3600 trajets:
• le retard MOYEN est, au seuil 95%, compris entre
• 9mn54s et 10mn6s
D’où l’estimation
• De la moyenne: 10 mn
• Puis, de l’écart-type…
Et c’est ainsi que l’on peut justifier les hypothèses…
• Aller retour réalité-modèle-réalité:
Observation
• échantillon de variables aléatoires (Ri)
• dont (ri)i=1…n en est une réalisation
• donne moyenne (et écart type) observés.
De l'observation à la modélisation:
• Construction d’un intervalle de confiance aussi fin que l’on veut à partir d’un échantillon de taille assez grande.
De la modélisation à l'observation
• Construction d'intervalles de fluctuation
La loi normale intervient à deux niveaux:
• - Pour l’ approximation de la loi de la moyenne d’ un SEUL échantillon (Xi) de taille n assez grande;
Pour un échantillonnage:
• Si on fait 1000 échantillons de 36 relevés de « retard… », alors 95% des échantillons donneront un retard moyen compris entre 9 et 11mn…
Lois des erreurs: (n grand)
• Les moyennes des erreurs suivent des lois normales, si n assez grand
• La multiplication des mesures « normalise » les erreurs...
Autres pistes:
Une usine fabrique des pièces dont le diamètre est une variable
aléatoire suit une loi normale; l'erreur Ei sur la pièce i est une
variable aléatoire d’espérance nulle (compensation)
Pour estimer distance Terre Soleil:
400 mesures donne une précision 20 fois meilleure qu'une seule
mesure
Gauss :
• Les erreurs de mesures suivent des lois normales :
• Echantillon gaussien