Глава 2. Динамика материальной точки

§9. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ В 1685 г. Исаак Ньютон предположил, что движение земных объе1<тов и небесных тел

подчиняется общим закономерностям: все тела nритяrиваются друг 1< другу гравитационными

силами. Единый универсалы1ый закон тяготения справедлив для всей Вселенной: свободное

падение яблон.а на Землю и движение Луны имеют общую причину - гравитационное uри·rя­

жение к Земле.

Радиус действия грави:тационвого притяжения неограничен. Выясним зависимость силы

притяжения от расстояния междУ телами ф. Для этого достаточно знать зависимость ускоре­ния от расстояния междУ телами, так как Fg = та.

Луна, вращаясь вокруг Земли с периодом Т = 27,2 сут = 2 ,36 · 106 с, находится на расстоя­нии r = 384000 :км от Земли, в 60 раз большем радиуса Земли ~ = 6400 км:

R(f) =_!_ r 60

Нормалъное (центростремительное) ускорение Луны, приобретаемое под действием грави­

тационного притяжения Земли, ап = 4л:2r /Т2 = 0,0027 м /с2 , можно сравнить с ускорением сво-

бодного падения g = 9,8 м /с2 на Землю.

а" = 0,0027 =-1- = _1_ =(~ )2

g 9,8 3600 602 r·

Это означает, что ус1<орение тела под действием гравитационной силы Fg обра·rво пропор­

ционально квадрату расстояния между телами. Также изменяется с расстоянием и сила Fg

гравитационного притяжения двух тел:

Закон всемирноzо тяготения:

Между яюбыми двумя материальными точ.ками действует сияа взаимн.оzо

притяжен.ия, прямо пропорцион.аяьн.ая произведению масс этих то-ч,ек, обратно

пропорчионаяьн.ая квадрату расстояния между ними, наnравяен.ная вдояь пря·

мой, соединяющей эти точки:

где G - zравитацион.ная постоян.пая (коэффициент пропорциональности, одинаковый для

всех тел) ~· В 1798 г. гравитационная постоянная была измерена английским физиком Генри Кавен­

дишем с помощью крутильных весов®. Два шарика 1, имеющих одинаковую массу "11 · укреплены на концах легкого коромысла 2 ,

подвешенного на упругой нити 3. Шарики находятся на расстоянии r от более массивных ша­ров 4 массой т2 • Под действием сил притяжения малых шаров к большим коромысло повора-

чивается. По углу закручивания нити определяется сила гравитационного притяжения }i2

шариков массами т1 и ~. Кавендиш нашел числовое значение гравитационвой постоянной:

G = 6,67 ·10-11 Н ·м 2 / к г2 •

Гравитационная постоянная численно равна силе гравитационного при·rяжения двух тел,

массой по 1 кг каждое, находящихся на расстоянии 1 модно от другого .

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ

ф

Совпадеиие 11ор.wи.1ы10.:о ус11."Орен11я Лхны, вращшощеii.ся вокру.~ Зе.ч.щ с )'CKOfКНUt.\/, приобретаемы."' Луной под дt!licm11ue.w си1ы npиntI01Cc11UJ1 к .k•c.ie

а. = 0,0027 м/t:/

r = 384 ООО км

g = 18 м/с1

4п• а. = -pi" г = 0,0027 мtс:'

а. 0.0027 \t 'cJ 1

я. = 1 r 60

-= 11 9,8 м/с1 = 3600

(..&.)' ( 1 )J 1 г " 60 " 3600

1 а. - F, - -т r

С1111" i'pa1111ma1111111moгo пр111ш1.же1111я dвух тел обрат110 11ро11tJр1111011алы1а кмдрату расстояuия

,11('.JIC'()J' l/ILЩJ

ЮПИТЕР СО СПУТНИКАМИ

Закон всемирного тяготения

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Между то6ы w11 д~ wя ,wатер11а.1ь11N.м11 пrочка.1111 деШ:тгует сила 11Заш1ного t1pиmJfЖe1111Jl. пря.110 пропорцио11аJьнШl

произведеиию .11осс 'Jm1« точек и обратио nро11орцио11а:Jьная кваОрату paccmo11н1JJ1 чежду 111.c.w11

F.= G

где G - гравитационная постоянная (коэффициент

пропорциональности, одинаковый для всех тел)

Пр111111111тt1J1Ы1Ш1 с:хе.мо 011ьипt1 Каве11д1111ю

по m1peдl'.1/!llll/(I •'JJllRl/f/IOl/llQllllOri llQClllOЯllllQU

Крутиль11ые весы

1 - шарики, имеющие одинаковую массу m1

1 - легкое коромысло

З - упругая нить

4 - массивные шары массой т,

Под действием сил притяжения малых шаров к большим

коромысло поворачивается . По углу закручивания нити

определяется сила гравитационного притяжения F12

шариков массами т1 и m,

G = 6,67 · 10-11н м2/кг2

Гровшпацио1111ая постон11нШ1 числе11но

ров11а силе .•рав11тоц1101111ого притяжения

двух тел. ,11оссой по 1 кr каждое, 11аходящ11хся 110 расстоя111ш 1 м

од110 от другого

Глава 2. Динамика материальной точки

§10. СИЛА ТЯЖЕСТИ Все тела притягиваются друг к другу гравитационными силами.

Сил.а тяжести - гравитац.ион.ная сил.а, действующая на тел.о ф.

Например, на тело массой т, находящееся на высоте h над поверхностью Земли, действует

гравитационная сила притяжения Земли:

F = G т.МФ = G тМе; . g г2 (Rit + li)2

Ускорение, приобретаемое телом под действием гравитационной силы, можно найти из

:второго закона Ньютона:

тМ а = G $ .

g (R~ + h)2

Вблизи поверхности Земли ( h ~ Rw )

Следовательно (g),

mMtfo Fg = G--

2- .

R-±<

Ускорение свободного nаден,ия (zравитацион,ное ускорен.ие) - ускорение, приоб­

ретаемое тел.ом под действием zравитациопн.ой сил.ы вблизи поверхности небес­

ных тел. (планет, звезд) .

Гравитационное ускорение у поверхности планет Солнечной системы зависит от массы и

радиуса планеты ®· В отсутствие сопротивления воздуха все тела вблизи поверхности Земли падают с одинако­

вым ускорением g . Анг лийсRИ:Й ученый Роберт Бойль наблюдал синхронное падение различ-ных предметов в сосуде, из которого был от1<ачан воздух@ . В -вакууме яблоко и перо падают синхронно. Синхронное падение птичьего пера и молотка на поверхность Луны наблюдали аме­

риканские астронавты Д. Скотт и Дж. Ирвин..

В воздухе падение тел происходит иначе, чем в вакууме. На тело, движущееся в воздухе,

действует сила сопроти'Вления воздуха. Свободно падающее тело вначале движется, :как в ва­

кууме, с ускорением свободного падени.я, так как сила сопротивления воздуха пренебрежимо

мала при небольшой скорости. Увеличение скорости падения тела приводит к увеличению си­

лы сопротивления воздуха и соответственно к уменьшению ускорения тела. Когда сила сопро­

тивления воздуха становится равной силе притяжения тела к Земле, ускорение тела оказывает­

е.я равным нулю. Вблизи Земли тела, падающие с большой высоты, имеют постоянную ско­

рость ®· Легкие тела с большой площадью поверхности (снежинки, Щ1стья) через короткий проме­

жуток времени начина.ют двигаться в воздухе равномерно с небольшой скоростью.

Схорость тяжелых предметов при падении в атмосфере Земли возрастает в течение не­

скольких первых секунд, а затем остается постоянной (порядка 100 м/с).

СИЛА ТЯЖЕСТИ

Гравитацион11ая с1та в поле тяжести Земли

ф

F, = mg

Сила тяжести - гравитационная сила,

действующая иа тело

ПАДЕНИЕ ТЕЛ В ОТСУТСТВИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА

®

Си11.r:рон11ое свобод11ое паде1111е яблока u пера в вакууме

Сила тяжести

УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

При h << R~

а = g = F, = G М2е = 9 8 м/с1 , т щ '

Ускоре11ие свобод11ого падения (грав11тацио11ное

ускоре11ие) - ускоретtе, приобретаемое тело.~1

под воздеtiств11еА1 грав11тациотt0й силы вблизи поверх11остu 11ебес11ых тел (пла11ет, звезд)

®

ГРАВИТАЦИОННОЕ УСКОРЕНИЕ

НА ПЛАНЕТАХ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

ГpatJ11maц11u1111oe Плт1е111а ускире1111е,

м/с1

Меркурий 3,7

Венера 8,9 Земля 9,8 Луна 1,6 Марс 3,7

Юпитер 26 Сатурн 12 Уран 11 Нептун 12

ПАДЕНИЕ ТЕЛ В ВОЗДУХЕ

Скорость падеиия тел с большой высоты на Землю

® Скорость паде11ия

Падающее разл11ч11ых те.!/

с6ольщой тело вwсоты 110 Землю.

м/с

Перо mицы 0,4

Лист бумаги 0.5

Снежинка 1 Парашютист (раскрытый парашют) 7

Монета 9

Мышь 13

Парашютист 60 (нераскрытый парашют)

Пуля (крупного калибра) 100

Большой камень 200

Глава 2. Динамика материальной точки

§11. СИЛА УПРУГОСТИ, ВЕС ТЕЛА Внешнее механическое воздействие на тело может приводить к изменению его формы и

размеров. Восстановление первоначальных размеров и формы тела происходит в результате

действия силы упругости.

Сияа упругости - сияа, возн.икающая при малой деформации растяжен.ия

(сжатия) теяа, н.аправяен.ш~я противопояожпо смещению частиц тел.а при де­

формации.

Возникновение этой силы обусловлено силами электромаrнитного взаимодействия междУ

заряженными частицами, из которых состоят все макроскопические тела ф. В отсутствие внешнего воздействия атомы находятся в равновесных положениях. Увеличение межатомного

расстояния no сравнению с равновесным приводит к их притяжению, а его уменьшение к от­талкюзавию атомов. Поэтому простейшей механической моделью кристалла являются шарики,

соединенные пружинами. В э·гой модели шарики играют роль атомов, а связывающие их пру­

жины имитируют особенности элек1.'РОмаrнитного взаимодействия атомов. Предложенная мо­

дель позволяет просто объяснить упругие свойства твердых тел. При растяжении твердого тела

увещrчивается среднее расстояние между атомами (пружины растягиваются). Поэтому сум­

марная сила притяжения атомов (сила упругости пружин) стремится сжать тело до первона­

чальных размеров. В случае сжатия тела уменьшение межатомкъrх расстояний (сжатие пру­

жин) приводит к возникновению силы отталкивания атомов (растягивающей упругой силы),

восстанавливающей первоначальную длину тела.

Если воздушный шарик прижимается I< стене с силой F , то на PYI<Y действует сила н.ор­мальн.ой реакции опоры N1 - сила упругости, действующая на тело со стороны опоры пер­

пендикулярно ее поверхности ~. О .величине силы упругости можно судить по степени растя­жения или сжатия пружины.

Закон. Гука:

Модул.ь сияы упругости FY"P' возникающей при деформции пружины (тела),

пропорционален. ее удяимен.ию Лl = ll-Lo j,

где l - длина пружины, lo - длина нерастянутой пружины®:

3а~<он Гука справедлив пр:и малом у длине нии Лl « l0 .

На тело массой т , подвешенное на пружине, действует сила тяжести тg и сила натяже­

ния Т ®· Сияа натяжен.ия - сила упругости, действующая на тело со стороны нити или пру­жины. В равновесии Т = тg . По третьему закону Ньютона на пружину со стороны тела дейст­вует в направлении силы тяжести сила упругости, или вес, равный по модулю и противопо­

ложно направленный силе натяжения: Р = -Т . При подвешивании тела на подвес (пружину) будет действовать упругая сила, направленная вниз.

Вес тела - суммарная сияа упругости тел.а, действующая при н.аяич.ии сияы

тяжести на все опоры, подвесы.

Вес тела на опоре® определяется приростом суммарной силы отталкивания между атома­ми, возникающим из-за сжатия тел силой тяжести. Сила тяжести приложена к телу, а вес к

опоре, подвесу.

Сипа упругости, вес тела 11

СИЛА УПРУГОСТИ - с11.10, воз11икающая 11р11 дефор.\lации тела и 11аправлен11ая противопо:1ож110 11011равлеиию с.11ещения

частиц 11ри дeфop.\IOЦtllt

УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ТЕЛ

Мехо11ич«каи .wоде.1ь кристаtло

ф

Сили упругости восстпиавл11вае111 первоиа•1алы1111е pa1A1t'pti1

11 фор.vу m l!l1a

Сжо"'!!е возду~ш1ого шое.ика под дейстгие.u силы F и CU/IЫ рео1о.-ц11и N2стены

Си.110 ретщии опоры -- с1111а упругости,

действующая 110 тело

со сторо11ы опоры

----.-з._ перпе11дикуляр110 Р ее поверх11ост11

ЗАКОН ГУКА

Моду.1ь с1L1ы упругости F.,,,,, возникающей при дефор.мац1ш те.1а, пропорционалеи его уд.'1ш1ен11ю Лl

Frop = kЛl,

где k - жесткость пружины.,

дl =ll - lo\=jдxj . дl << l0

Упругие CWIЫ растяже1111я 11 С'Ж'аm11я в 11руж1111е 11од деriствием вue11111eli сц1ы

равновесие

а) 11ерастя11утая пруж1та

х

б) растянутая r1руж1то ЬWЬ: х

Fупр= - kЛх

в) сжатая пру.жzта 1~ х :---1.___: 6 ·-------·

ВЕС ТЕЛА - ср1.11ар11ая cu,10 упругости те.10. действующая при 11a.1uчuu сюы тяжесп111 110 все 011оры . подвесы

ВОЗНИКНОВЕНИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ ПРИ ПОДВЕШИВАНИИ ТЕЛА

Из.wерение веса те..10

Т = тg

т

i

Модi!Ль воэ1111х11ове1111R силы у11ругости

Р= - Т

ВОЗНИКНОВЕНИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ

ПРИ РАЗМЕЩЕНИИ ТЕЛА НА ОПОРЕ

Иэмере1111е иl!са тела

P=-N

Модель 1Юз11икногениR сuлы упругости

Р= тg