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9. Fontes do Campo Magnético

9.1. A Lei de Biot-Savart

9.2. A Força Magnética entre dois Condutores Paralelos.

9.3. A Lei de Ampère

9.4. O Fluxo Magnético

9.5. A Lei de Gauss do Magnetismo.

9.6. O Campo Magnético dum Solenóide.

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• Este capítulo trata da origem (fonte) do campo magnético: cargas em movimento ou correntes eléctricas.

• Lei de Biot-Savart: cálculo de provocado, num ponto, por um elemento de corrente

• Lei de Biot-Savart + princípio de sobreposição: cálculo de duma distribuição de correntes.

• Lei de Ampère: cálculo de para configurações muito simétricas de correntes permanentes.

• A presença dum corpo material modifica, em geral o que as correntes eléctricas produzem.

Br

Br

Br

Br

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9.1. A Lei de Biot-Savart (criação de um campo magnético)

• Um condutor, com uma corrente permanente, exerce uma força sobre um íman

(por exemplo: uma corrente eléctrica num fio condutor pode desviar a agulha

magnetizada de uma bússola).

• A Lei de Biot-Savart diz que se um fio condutor transporta uma corrente

constante, o campo magnético criado, , num ponto P, associado a um elemento

do condutor, , tem as seguintes propriedades:

Bdr

sdr

sdr

θI

P

r̂r

Bdr

1. ( está na direcção da I) e

(vector unitário dirigido do

elemento condutor até P).

2. (r: distância entre e P)

sdBd rr⊥

rBd ˆ⊥r

2

1r

Bd ∝r

sdr

sdr

4

3. e ∝ ao comprimento do elemento condutor.

4. ∝ sen θ; θ: ângulo entre

IBd ∝r

Bdr

sdr

sder rˆ

2

ˆr

rsdIKBd m×⋅

=rr

SImA

WbcteKm ⋅== −710

Bdr

sdrθ I

P1

r̂r

P2

Bdr

Bdr

⇒ A Lei de Biot-Savart:

πµ4

0=mKmA

Wb⋅

×= −70 104πµ

20 ˆ

4 rrsdIBd ×⋅

=rr

πµ

! A Lei de Biot-Savart dá-nos o valor do campo magnético criado num ponto produzido por um pequeno elemento do condutor.sdr

B

Permeabilidade magnética do vazio

⇒ A Lei de Biot-Savart:

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O campo magnético total num certo ponto P, devido a um condutor de

dimensões finitas: soma para todo :sdrBr

∫×

= 20 ˆ

4 rrsdI

Brr

πµ Integração sobre todo o condutor.

(O integrando é uma grandeza vectorial.)

Lei de Biot-Savart do magnetismo versus Lei de Coulomb da electrostática:

O elemento de corrente produz um campo magnético. Uma carga pontual produz um campo eléctrico.

,

O de uma carga pontual é radial

O de um é ⊥ ao e ⊥ ao sdrBdr

r̂

sdI r⋅

21 rBd ∝r

Er

sdr

21 rE ∝r

⇒ Exercícios 1,2

Para o caso de um fio condutor muito comprido e direito, a expressão anterior tem como módulo de campo magnético:

0

2IBr

µπ

=

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9.2. A Força Magnética entre dois Condutores Paralelos.

• A força magnética actua sobre um condutor com uma corrente I colocado num campo magnético externo.

• Uma corrente I num condutor gera o seu próprio campo magnético.

(a) Um fio condutor muito comprido percorrido por uma corrente produz linhas de campo magnético que são concêntricas com esse fio. Se colocarmos várias agulhas de uma bússola em redor do fio condutor, repara-se que elas alinham-se na direcção do campo magnético criado.

(b) Pela regra da mão direita, se o polegar estiver na direcção e sentido da corrente, o encurvamento da mão dá-nos a direcção do campo magnético.

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⇒ Dois condutores, cada qual com uma corrente I, exercerão forças magnéticas um sobre o outro.mF

r

mFr

• Dois fios condutores rectilíneos, compridos, paralelos, separados de “a”, com I1 e I2 na mesma direcção, sentidos diferentes (fig. esquerda ) e mesmo sentido (fig. direita).

• que actua sobre um dos condutores é originada pelo outro condutor.

a

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• O fio 2 gera um campo na posição onde está o fio 1.

• é ⊥ ao fio 1.

• A sobre o comprimento l do fio 1 é:

•

• Ver página 5 ⇒ O campo do fio 2 é:

211 BIFr

lrr×=

2112 BIFB lrr

lr

=⇒⊥

0 22 2

IB

aµπ

=

2Br

2Br

mFr a

a

F1

B2

l

I1

I2

1

2

(r=a)

• para baixo, para o fio 2 ( para baixo)

• A sobre o fio 2 é igual e oposta à (terceira Lei de Newton) ⇒ os fios atraem-se mutuamente quando as correntes têm o mesmo sentido.

aII

aI

IBIFπ

µπµ

2221020

1211

lll =

==

0 1 2

2m

I IFa

µπ

=l

2Br

lr×1F

r

2Fr

1Fr

⇒ Força magnética por unidade de comprimento:

Quando as correntes tem sentidos opostos, as invertem-se e os 2 fios repelem-se.mFr

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9.3. A Lei de Ampère

• Um condutor com uma corrente gera um campo magnético.

• Quando um fio for percorrido por uma I constante, se o fio for agarrado pela mão direita, com o polegar na direcção da I, os outros dedos da mão curvam-se na direcção de .

• As linhas de são circunferências concêntricas com o fio.

• ∀P duma circunferência que tenha o centro no fio e que esteja num plano ⊥ ao fio.

• ;IB ∝r 21 rBd ∝

r

cteB =r

Br

Br

Ver exemplo das bússolas alinhadas

é tangente em cada ponto do círculo

Br

Br

Br

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• Cálculo do e a sua soma sobre um círculo centrada no fio.sdB

• Sobre esta curva

⋅

d

rr

0cos|| ⋅⋅=⋅⇒ dsBsdBBs rrrr

ds

círculo de raio r• sobre este círculocteB 0==rI

πµ2

( ) IrrI

dsBsdB 00 2

2µπ

πµ

===⋅ ∫∫rr

→ Lei de Ampère

! O resultado pode ser aplicado ao caso geral de uma curva fechadaarbitrária atravessada por uma corrente constante.

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• A Lei de Ampère afirma que o integral de linha de sobre qualquer curva fechada, é igual a µ0I, onde I é a corrente constante total que passa por qualquer superfície limitada pela curva fechada.

sdB rr⋅

IsdB 0µ=⋅∫rr

• Só vale para correntes constantes. Só tem utilidade no cálculo do campo magnético duma configuração de correntes que tenha um elevado grau de simetria.

• Analogia com a Lei de Gauss, onde somente tinha utilidade para calcular o campo eléctrico em distribuições muito simétricas decargas.

0

QE dAε

⋅ =∫rr

⇒ Exercícios 4,5

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9.4. O Fluxo Magnético

• Elemento de área dA duma superfície arbitrária.

• : campo nesse elemento

• Fluxo magnético através do elemento:

• : é um vector ⊥ à superfície e cujo módulo éigual à área

AdBrr

⋅

Adr

Br

θAdr

Br

∫ ⋅= AdBm

rrφ• O fluxo magnético φm através da superfície é assim:

Caso especial: plano de área A, campo uniforme que faz um ângulo θ com o vector :Ad

r Br

θφ cos⋅⋅= ABm fluxo através do plano

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Adr

Br

• Se estiver no plano ⇒ θ = 90° , φm = 0Br

• Se ⊥ ao plano ⇒ θ = 0° , φm = B·A (valor máximo)Br

Adr

Br

Unidades SI → [B]: Wb/m2 ou T ⇒ [φ]: weber (Wb)

1 Wb = 1 T·m2

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9.5. A Lei de Gauss do Magnetismo

• φe ≡ qi/ε0 , o número de linhas do campo eléctrico que atravessam a superfície depende somente da carga líquida no interior da superfície. → as linhas do campo eléctrico principiam em cargas eléctricas.

• Nos campos magnéticos, as linhas são contínuas e são curvas fechadas: as linhas do campo magnético provocado por uma corrente não principiam nem acabam em ponto nenhum.

• Em ∀ superfície fechada o número de linhas que entram = número de linhas que saem ⇒ φm(líquido) = 0

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• A Lei de Gauss do magnetismo afirma que o fluxo magnético líquidoatravés de qualquer superfície fechada é sempre nulo:

0=⋅∫ AdBrr

• Afirmação baseada no facto experimental de nunca se terem observado pólos magnéticos isolados (ou monopolos), que talvez não existam mesmo.

• As únicas fontes conhecidas dos campos magnéticos são os dipolosmagnéticos (espiras de corrente), mesmo nos materiais magnéticos.

• Todos os efeitos magnéticos nos meios materiais podem ser explicados em termos dos momentos de dipolo magnéticos (espiras de corrente efectivas) associadas aos electrões e aos núcleos.

⇒ Exercício 8

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9.6. O Campo Magnético dum Solenoide

• Um solenóide é constituído por um fio condutor comprido, enrolado em forma duma hélice ⇒ é possível ter um razoavelmente uniforme, num pequeno volume no interior do solenóide, caso as espiras estejam suficientemente juntas.

• Se as espiras forem muito espaçadas, cada qual pode ser encarada como uma espira circular, e o resultante é igual à soma vectorial dos campos produzidos por cada uma das espiras, daí as de cima cancelarem as de baixo.

Br

Br

espiras espaçadas

NS

espiras muito cerradas

Os campos magnéticos cancelam-se

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• Solenóide ideal: espiras muito juntas e comprimento grande em comparação

com o raio das espiras ⇒ no exterior é fraco comparado com o no

interior; no interior é uniforme numa região de grande volume.Br

Br

Br

• Lei de Ampère: no interior do solenóide ideal

Br

Br

• • • • • •

sdB rr⊥ 0

rr=B

∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅a

d

d

c

c

b

b

a

sdBsdBsdBsdBsdB rrrrrrrrrr

= Bl = 0 =0

Br

no interior é uniforme e paralelo ao eixo

no exterior = 0BrBr

=0

sdB rr⊥

ld c

ba

IsdB 0µ=⋅∫rr

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NIBsdB 0µ==⋅∫ lrr

; N: nº espiras no comprimento l ⇐ Lei de Ampère

Corrente total que atravessa a área limitado pelo rectângulo = I em cada espira × nº de espiras.

InINB 00 µµ ==l

n: nº de espiras por unidade de comprimento

Só vale para os pontos numa vizinhança do centro dum solenóide muito comprido.

⇒ Exercício 9

pólo norte