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CONTROL AUTOMATICO
CAPITULO IXDISEÑO Y COMPENSACION DE SISTEMAS DE CONTROL CON
REALIMENTACIONJuan F. del Pozo
L.
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Introducción Redes de Compensación Compensación de sistemas en el dominio de
la respuesta a la frecuencia Compensación de sistemas en el dominio del
Plano “s”
22/04/23 FIEC 2
22/04/23 FIEC 3
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Introducción Un sistema de control con realimentación que proporcione un funcionamiento óptimo sin
necesidad de ningún ajuste es verdaderamente raro Aun ajustando los parámetros del controlador del sistema muchas veces no se logra el
comportamiento deseado Es necesario por lo tanto “compensar” el sistema para lograr el comportamiento deseado Redes de Compensación pueden ser insertadas dentro de la estructura del sistema; por
ejemplo en: Camino Directo Camino de Realimentación A la entrada del sistema A la salida del sistema
El comportamiento deseado del sistema puede se especificado en: El Dominio del Plano “s” En el Dominio de la Frecuencia
22/04/23 FIEC 4
Redes de Compensación En esta sección consideraremos el caso de Compensadores insertados o en el Camino
Directo o en el Camino de Realimentación En forma general la red de compensación tendrá la forma:
De acuerdo con el caso a compensar, será necesario establecer el número de ceros y polos de la red
Es común que la red compensadora tenga un cero y un polo
Pueden ocurrir dos casos: Red de Adelanto de Fase: |z|<|p| Red de Atraso de Fase: |z|>|p|
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
N
1j j
M
1i icpcp
ps
zsKsG
)(
)()(
)()()(
pszsKsG cpcp
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Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Red de Adelanto de Fase Un circuito que cumple con las condiciones de la red de adelanto de
fase es:
De esta manera su función de transferencia puede ser definida de la siguiente forma:
zpRRR
zp
pzRCRRRp
CRz
RRRCRs
sCRRR
RsGcp
.;1;
;;1
1
1)(
2
21
21
21
1
21
21
1
21
2
1 1 /( ) ; ( ) ; ; .1 /cp cp
s z j zG s G j z p p zs p j p
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Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Red de Adelanto de Fase Gráfico normalizado de Bode de la red de
adelanto de fase:
Como se observa del gráfico, el ángulo máximo de adelanto de fase m ocurre en m , que es el promedio entre p y z en el gráfico logarítmico:
2
2
1 1
1 1 /( )1 /
( ) 20 log 1 /
20log 1 /
10 ( )
( ) tan ( / ) tan ( / )
cp
cp db
cp db
j zG jj p
G z
p
p G
z p
1log( ) (log( ) log( )) ; . /2m mz p z p p
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Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Red de Adelanto de Fase Gráfico normalizado de Bode de la red de adelanto de fase:
Utilizando las relaciones del triángulo rectángulo:
2
2
12
1
1 1 /( )1 /
1 1 / (1/ 1/ )( )1 ( / )
(1/ 1/ )tan ( ) ; ;1 /
1tan ( )2
cp
cp
m
m
j zG jj p
zp j z pG jp
z p pzpzp z
1 11m sen
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Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Red de Adelanto de Fase Gráfico del ángulo máximo de adelanto de fase m en función de Se observa que el máximo ángulo de adelanto que se puede lograr difícilmente
superaría los 70° Por otro lado, existen limitaciones prácticas del valor de que se puede obtener En caso de desear proveer una compensación mayor que 70° lo procedente es usar dos
redes de compensación de adelanto de fase en cascada
1 2
2
1 11
1 sin( )1 sin( )
m
m
m
R RR
sen
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Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Red de Atraso de Fase Un circuito que cumple con las condiciones de la red de atraso de fase es:
De esta manera su función de transferencia puede ser definida de la siguiente manera:
pzRRR
pz
pzRRC
pCR
z
RRsCsCRsGcp
.;1;
;)(
1;1)(1
1)(
2
21
212
21
2
1 1 /( ) ; ( ) ; ; .1 /cp cp
s z j zG s G j z p z ps p j p
22/04/23 FIEC 10
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Red de Atraso de Fase Gráfico de Bode de la red de atraso de fase: Como se observa del gráfico, el ángulo máximo de atraso de fase m ocurre en m , que es
el promedio geométrico entre p y z:
1/ ; 1/ .1 /( )1 /
( ) 20log 1 /
20log 1 /( ) (1 / ) (1 / )
cp
cp db
z pj zG jj p
G j z
j p
j z j p
22/04/23 FIEC 11
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia Compensación mediante red de Adelanto de Fase
Se dispone de un sistema que tiene la siguiente función de transferencia:
Se especifica como error de estado estacionario de 5% y que su margen de fase sea por lo menos 45° Como se observa, el sistema es “Tipo 1” por lo tanto tenemos un error finito
para entrada de prueba tipo rampa
1( ) ; ( ) 1 ; ( )( 2) (1 / 2)vKG s H s GH j K
s s j j
0lim ( ) ; ( ) .
0.05 ; 20
v s
ss vv
K sGH s r t A t
Ae A KK
22/04/23 FIEC 12
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia
Compensación mediante red de Adelanto de Fase
Como primer paso encontraremos el Margen de Fase del sistema no compensado cumpliendo con la especificación de la constante de error deseada : Kv = 20
PM = 17.9° cp = 6.17 rad/s No se cumple con el PM
deseado de 45°
22/04/23 FIEC 13
Diseño y Compensación de
Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia
Compensación mediante red de Adelanto de Fase.
Ejemplo 10.2 Ejemplo 10.2b
Como primer paso encontraremos el Margen de Fase del sistema no compensado cumpliendo con la especificación de la constante de error deseada : Kv = 20
20( )(1 0.5 )
GHsc jj j
22/04/23 FIEC 14
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia
Compensación mediante red de Adelanto de Fase
El ángulo de aporte del compensador será 31.5°
Se calcula Se calcula m = 8.50 rad/s Se calcula el compensador
El sistema compensado1s0660
1s210Gcp
..
3 2
4.20 20( )0.033 0.56
sGHcc ss s s
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia
Compensación mediante red de Adelanto de Fase
Efecto del compensador de Adelanto de Fase en el Ancho de Banda
22/04/23 FIEC 15
22/04/23 FIEC 16
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia Compensación mediante red de Adelanto de Fase
22/04/23 FIEC 17
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia Compensación mediante red de Adelanto de Fase
Encuentre el Margen de Fase del sistema no compensado cumpliendo con la especificación de la constante de error deseada
Permitiendo un pequeño margen de seguridad (sobrecompensación), calcule el adelanto de fase necesario “m”
Calcule el valor de “” Calcule el valor de “10log” y encuentre el nuevo valor de “m” donde
el gráfico de magnitud no compensado es igual a - 10log Calcule los valores de p y z Obtenga la respuesta de frecuencia del sistema compensado y
compruebe sus resultados. Aumente la ganancia por el factor para compensar la atenuación que introdujo el compensador
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
22/04/23 FIEC 18
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia Compensación mediante red de Atraso de Fase
Se dispone de un sistema que tiene la siguiente función de transferencia:
Se especifica como error de estado estacionario de 5% y que su margen de fase sea por lo menos 45° Como se observa, el sistema es “Tipo 1” por lo tanto tenemos un error finito
para entrada de prueba tipo rampa
0lim ( ) ; ( ) .
0.05 ; 20
v s
ss vv
K sGH s r t A t
Ae A KK
1( ) ; ( ) 1 ; ( )( 2) (1 / 2)vKG s H s GH j K
s s j j
22/04/23 FIEC 19
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia
Compensación mediante red de Atraso de Fase
Como primer paso encontraremos el Margen de Fase del sistema no compensado cumpliendo con la especificación de la constante de error deseada : Kv = 20
PM = 17.9° cp = 6.17 rad/s No se cumple con el PM
deseado de 45°
22/04/23 FIEC 20
Diseño y Compensación de
Sistemas de Control Compensación de sistemas en el
dominio de la respuesta a la frecuencia
Compensación mediante red de Atraso de Fase.
Ejemplo 10.8 Ejemplo 10.8b
Como primer paso encontraremos el Margen de Fase del sistema no compensado cumpliendo con la especificación de la constante de error deseada : Kv = 20
20( )(1 0.5 )
GHsc jj j
22/04/23 FIEC 21
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia
Compensación mediante red de Atraso de Fase
El margen de fase deseado ocurrirá en: c = 1.66 rad/s
Se calcula Se calcula el compensador
El sistema compensado1s5455
1s016Gcp
..
3 2
120.2 20( )27.77 56.04
sGHcc ss s s
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia
Compensación mediante red de Atraso de Fase
Efecto del compensador de Atraso de Fase en el Ancho de Banda.
22/04/23 FIEC 22
22/04/23 FIEC 23
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia Compensación mediante red de Atraso de Fase
22/04/23 FIEC 24
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio de la respuesta a la frecuencia Compensación mediante red de Atraso de Fase
Encuentre el Margen de Fase del sistema no compensado cumpliendo con la especificación de la constante de error deseada
Encuentre el valor de la frecuencia “c” donde se cumpliría el requisito del margen de fase deseado, permitiendo un pequeño margen de seguridad (sobrecompensación)
Calcule el valor de “” del valor que debe desplazarse verticalmente la curva de magnitud (20 log) para que el valor de “0 db” pase por la frecuencia “c”
Fije el valor del cero “z” del compensador de atraso una década mas abajo de “c” Calcule el valore de polo “p” del conpensador de la red de atraso Obtenga la respuesta de frecuencia del sistema compensado y compruebe sus
resultados
22/04/23 FIEC 25
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante red de Adelanto de Fase
Se dispone de un sistema que tiene la siguiente función de transferencia:
Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45, un tiempo de estabilización de: Ts = 1 s y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%
Como se observa, el sistema es “Tipo 1” por lo tanto tenemos un error finito para entrada de prueba tipo rampa
2
4 1 ; 0.45
; 4
1 ; 8
sn
n
n
T
R R
I I
( ) ; ( ) 1( 2)KG s H s
s s
22/04/23 FIEC 26
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio del Plano s
Compensación mediante red de Adelanto de Fase
Como primer paso encontraremos el Lugar Geométrico del sistema sin compensación
Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45, un tiempo de estabilización de: Ts = 1 s y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%
Como se observa, no es posible tener raíces dominantes en:
8j4r 21 ,
2
4 1 ; 0.45
; 4
1 ; 8
sn
n
n
T
R R
I I
22/04/23 FIEC 27
Diseño y Compensación de
Sistemas de Control Compensación de sistemas en el
dominio del Plano s Compensación mediante red de
Adelanto de Fase. Ejemplo 10.4 Como primer paso encontraremos el Lugar
Geométrico del sistema sin compensación
Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45, un tiempo de estabilización de: Ts = 1 s y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%
)()(
2ssKsGH
22/04/23 FIEC 28
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio del Plano s
Compensación mediante red de Adelanto de Fase
Se calcula el compensador ubicando el cero igual a la parte real de la raíz dominante deseada y el polo aplicando el criterio del ángulo
El sistema compensado
Como se observa, no se cumple con el Kv deseado, aunque su valor es muy cercano.
8710s4sGcp.
3 2
4( )
12.87 21.7596.2517.7v
K sG s
s s sKK
22/04/23 FIEC 29
Compensación de sistemas en el dominio del Plano s Compensación mediante red de Adelanto de Fase
22/04/23 FIEC 30
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante red de Adelanto de Fase
Obtenga el gráfico del lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado Encuentre la ubicación de las raíces dominantes de acuerdo con las especificaciones
deseadas Ubique el cero “z” del compensador de adelanto de fase con una magnitud igual a la
parte real de las raíces deseadas Calcule el valor del polo “p” del conpensador de la red de adelanto aplicando el criterio
del ángulo Calcule la ganancia total del sistema en la localización deseada de las raíces aplicando
el criterio de magnitud y después calcúlese la constante de error
22/04/23 FIEC 31
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante controlador PI
El controlador PI tiene una función característica con un cero real y un polo en el origen.
El método a aplicar es similar al utilizado con la Red de Adelanto de Fase realizado en el dominio del Plano s. En este caso la posición del polo es fija y está ubicado en el origen; el cero se lo ubica aplicando el Criterio del Angulo. Mediante la aplicación del Criterio de Magnitud se determina la ganancia del sistema compensado.
Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45, un tiempo de estabilización de: Ts = 6 s.
( / )1( ) ; ( ) 1 ; ( )( 2)( 0.5)
I I PP PK s K KG s H s Gc s K K
s s s s
2
4 6 ; 0.45
; 0.66
1 ; 1.32
sn
n
n
T
R R
I I
22/04/23 FIEC 32
Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante controlador PI
22/04/23 FIEC 33
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante red de Atraso de Fase
Se dispone de un sistema que tiene la siguiente función de transferencia:
Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45 y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%
Como se observa, el sistema es “Tipo 1” por lo tanto tenemos un error finito para entrada de prueba tipo rampa
( ) ; ( ) 1( 2)KG s H s
s s
0lim ( ) ; ( ) .
0.05 ; 20
v s
ss vv
K sGH s r t A t
Ae A KK
22/04/23 FIEC 34
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio del Plano s
Compensación mediante red de Atraso de Fase
Como primer paso encontraremos el Lugar Geométrico del sistema sin compensación
Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una Constante de Amortiguamiento de: 0.45 y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%
Se observa que el gráfico del Lugar Geométrico de las Raíces se intercepta con la línea de la condición de la Constante de amortiguamiento.
Como se observa, si es posible tener raíces dominantes en:
1,2 1 2r j
22/04/23 FIEC 35
Diseño y Compensación de
Sistemas de Control Compensación de sistemas en el
dominio del Plano s Compensación mediante red de Atraso
de Fase. Ejemplo 10.6 Como primer paso encontraremos el Lugar
Geométrico del sistema sin compensación
Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45 y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%
)()(
2ssKsGH
22/04/23 FIEC 36
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio del Plano s
Compensación mediante red de Atraso de Fase
Se calcula el valor de la ganancia sin compensación K y Constante de Error de Velocidad sin compensación Kvsc
Se calcula el valor “”
Se calcula el compensador
El sistema compensado01250s10s1Gcp
..
/ 7.9801v vscK K
5.0124 ; / 2vscK K K
3 2
0.1( )
2.013 0.02538 ; 19v
K sG s
s s sK K
22/04/23 FIEC 37
Compensación de sistemas en el dominio del Plano s Compensación mediante red de Atraso de Fase
22/04/23 FIEC 38
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación de sistemas en el dominio del Plano “s” Compensación mediante red de Atraso de Fase
Obtenga el gráfico del lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado Encuentre la ubicación de las raíces dominantes de acuerdo con las especificaciones del
funcionamiento transitorio deseado en el lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado
Calcule la ganancia del circuito en la localización deseada de las raíces y en base de ese resultado calcule la Constante de Error del sistema no compensado
Calcule la Constante de Error deseada al aplicar el compensador de Atraso de Fase Calcule el factor por el que tiene que multiplicar la Constante de Error del sistema sin
compensación para que se iguale a la del sistema compensado. Este factor será igual a “”
Asigne un valor pequeño para el cero del compensador “z”. El polo del compensador “p = z/” En forma relativa, “p” y “z” estarán localizados cerca del orígen del “Plano s”en comparación al valor de “n”
22/04/23 FIEC 39
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Compensación Adelanto de Fase Atraso de Fase
Método Compensador agrega ángulo de adelanto próximo a la frecuencia de cruce para producir raíces dominantes deseadas
Compensador produce un aumento en la constante de error manteniendo las raíces dominantes deseadas o Margen de Fase
Resultados 1. Aumento del Ancho de Banda2. Aumento de la ganancia en la frecuencias
mas altas
1. Disminuye el Ancho de Banda2. Disminución de la ganancia en la frecuencias mas
altas
Ventajas 1. Produce la respuesta deseada2. Respuesta dinámica mas rápida
1. Suprime el ruido de alta frecuencia2. Reduce el Error de Estado Estacionario
Desventajas 1. Requiere ganancia adicional2. Debido al aumento del Ancho de Banda
susceptibilidad al ruido3. Puede requerir valores altos de los
componentes RC
1. Vuelve lenta la respuesta transitoria2. Puede requerir valores altos de los componentes
RC
Aplicaciones Cuando se desea respuesta transitoria rápida Cuando se especifican las constantes de error
No aplicable Cuando la fase disminuye rápidamente cerca de la frecuencia de cruce
Cuando no existe un intervalo de bajas frecuencias donde la fase sea igual al margen de fase deseado
22/04/23 FIEC 40
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Sistemas con un Prefiltro Se los usa cuando se desea eliminar la acción de un cero de una red
compensadora de adelanto o la del cero del controlador PI. No se los usa en caso de redes de compensación de atraso. Para el sistema de segundo orden, el cero afecta al Sobrenivel
Porcentual( )
( )p
pG ss p
22/04/23 FIEC 41
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Sistemas con un Prefiltro Se los usa cuando se desea eliminar la acción de un cero
de una red compensadora de adelanto En la respuesta al escalón en un sistema de segundo
orden, el cero afecta al Sobrenivel Porcentual Para el Ejemplo 10.4b
Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: 0.45, un tiempo de estabilización de: Ts = 1 s y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%
22/04/23 FIEC 42
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Sistemas con un Prefiltro Para el Ejemplo 10.4b
Se desea que el sistema se comporte como uno de segundo orden con una constante de amortiguamiento de: = 0.45, un tiempo de estabilización de: Ts = 1 s y una constante de error de estado estacionario de: Ess = 5%
El sistema compensado con la red de Adelanto de Fase es:
Al aplicar el Pre-Filtro:
96.5 4( ) ( )
( 2)( 10.6)c p
sG s G s
s s s
( )( )pF ss p
22/04/23 FIEC 43
Diseño y Compensación de Sistemas de Control
Sistemas con un Prefiltro Para el Ejemplo 10.4b