9. deret fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · grafik...
TRANSCRIPT
![Page 1: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/1.jpg)
Deret Fourier
Febrizal, MTFebrizal, MT
![Page 2: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/2.jpg)
Fungsi PeriodikFungsi Periodik
• Fungsi f(x) dikatakan periodik apabila nilai fungsi tersebut berulang pada interval reguler .I t l l t l d l h i d d i• Interval reguler antara pengulangan adalah periode dari osilasi.
![Page 3: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/3.jpg)
Grafik y = A sin nxGrafik y = A sin nx
• (a) y = sin x– Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y = sin x.
Periodenya 3600 atau 2π dengan amplituda maksimum 1– Periodenya 3600 atau 2π dengan amplituda maksimum = 1
![Page 4: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/4.jpg)
• (b) y = 5 sin 2x( ) y– Amplitudanya adalah 5.– Periodanya adalah 1800 dan ada 2 gelombang penuh dalam 3600.
• (c) y = A sin nx– Dari dua contoh sebelumnya, maka bisa disimpulkan bahwa fungsi y =
A sin nx mempunyai amplituda A dan periode = 3600/n dan ada n buahA sin nx mempunyai amplituda A dan periode = 3600/n dan ada n buah gelombang penuh dalam 3600.
![Page 5: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/5.jpg)
Fungsi Periode Bukan SinusFungsi Periode Bukan Sinus
• Contoh– Pada kasus berikut, sumbu x memuat skala dari t dalam mili detik.
![Page 6: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/6.jpg)
Deskripsi Analitik Fungsi PeriodikDeskripsi Analitik Fungsi PeriodikC h 1• Contoh 1
A 0 d 4 3 b i f( ) 3 0 4– Antara x = 0 dan x = 4, y = 3, berarti f(x) = 3 0 < x < 4– Antara x = 4 dan x = 6, y = 0, berarti f(x) = 0 4 < x < 6– Jadi kita bisa mendefinisikan fungsi sebagai g g
– Baris terahir menandakan bahwa fungsi adalah periodik dengan periode 6 satuan.
![Page 7: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/9.jpg)
• LatihanLatihan– Nyatakan fungsi periodik berikut secara analitik
• (a)
• (b)
• (c)
![Page 10: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/10.jpg)
J b• Jawaban
• (a)
• (b)
• (c)
![Page 11: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/11.jpg)
Integaral Fungsi PeriodikIntegaral Fungsi Periodik
![Page 12: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/12.jpg)
Deret FourierDeret Fourier
• Jika suatu fungsi f(x) mempunyai periode 2π, maka deret fourier fungsi tersebut adalah:
d b d l h k di b k fi i f i• an dan bn adalah konstanta yang disebut koefisien fourier.
• Dimana , dan
![Page 13: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/13.jpg)
• Contoh 1
![Page 14: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/15.jpg)
![Page 16: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/22.jpg)
Deret Fourier Fungsi Dengan Perioda TDeret Fourier Fungsi Dengan Perioda T
• Jika suatu fungsi mempunyai perioda T, maka deret fourier fungsi tersebut adalah:
![Page 23: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/23.jpg)
• Contoh 1– Tentukanlah deret fourier dari fungsi berikut:
P l i• Penyelesaiaan– Pertama kita gambarkan bentuk gelombang persamaan:
– Kita peroleh:
![Page 24: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/24.jpg)
– Maka;
– dan
![Page 25: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/25.jpg)
– sehingga;
– Berikutnya adalah bn
– Maka diperolehlah deret fourier dari fungsi adalah:
![Page 26: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/26.jpg)
LatihanLatihan
• Tentukanlah deret fourier dari fungsi periodik berikut:
![Page 27: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/27.jpg)
Fungsi genap dan fungsi ganjilFungsi genap dan fungsi ganjil
• Fungsi Genap (even)– Suatu fungsi f(x) dikatakan genap jika f(‐x) = f(x)
Contoh– Contoh
– Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu yg g p p y
![Page 28: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/28.jpg)
• Fungsi ganjil (odd)g g j ( )– Suatu fungsi dikatakan ganjil apabila f(‐x) = ‐f(x)– Contoh
– Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal (origin)
![Page 29: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/29.jpg)
• Contoh – Tentukanlah, apakah fungsi berikut ini genap atau ganji?
![Page 30: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/30.jpg)
Hasi Kali Fungsi Genap dan Fungsi GanjilHasi Kali Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
![Page 31: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/31.jpg)
Dua hal penting tentang fungsi genap dan fungsi ganjil;Dua hal penting tentang fungsi genap dan fungsi ganjil;
![Page 32: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/32.jpg)
• Teorema I– Jika suatu fungsi adalah genap, maka deret fourier fungsi tersebut
adalah:
S d k k i b il i l jil jil– Sedangkan suku sinus bernilai nol; genap x ganjil = ganjil.
![Page 33: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/33.jpg)
• ContohContoh– Tentukanlah deret fourier dari fungsi berikut:
• PenyelesaianPenyelesaian– Karena grafik diatas adalah grafik fungsi genap, maka deret fouriernya
adalah
![Page 34: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/35.jpg)
• Teorema II– Jika suatu fungsi adalah ganjil, maka deret fourier fungsi tersebut
hanya mengandung komponen sinus.∞
∑∞
=
=1
sin)(n
n nxbxf
S k l d k i b il i l– Suku awal dan suku cosinus bernilai nol;
![Page 36: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/36.jpg)
• ContohContoh– Tentukanlah deret fourier dari fungsi berikut:
• Penyelesaian– Karena grafik diatas adalah grafik fungsi ganjil, maka deret fouriernya g g g g j , y
adalah ∑∞
=
=1
sin)(n
n nxbxf
![Page 37: 9. Deret Fourier - febrizal.staff.unri.ac.idfebrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/9.pdf · Grafik y = A sin nx • (a) y = sin x – Contoh nyata dari fungsi periodik adalah y =](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052212/5b4fb65c7f8b9a166e8cf654/html5/thumbnails/37.jpg)
QuizQuiz....
• Tentukan deret fourier dari grafik berikut: