8.statika Čvrstih tijela

8/18/2019 8.Statika Čvrstih Tijela

1/38

Statika čvrstih tijela

OTPORNOST MATERIJALA

Nauka o čvrstoćiPredmet proučavanja :

čvrsto ( deformabilno tijelo)Pri djelovanju opterećenja kod čvrstog tijela se mijenja rastojanje između bilo koje

dvije tačaka tijela, pa se čvrsto tijelo deformiše (mijenjaju oblik i zapreminu). Čvrstotijelo se javlja u tri geometrijska oblika: štap, ploča, tijelo(3D).


2/38

UVOD U OTPORNOST MATERIJALA

Zadaci nauke o otpornosti

materijala

Dimenzije dijelova, koji ulaze u sastav konstrukcija

određuje konstruktor u fazi projektovanja. Njegovzadatak se odnosi na slijedeće:

•Da u fazi projektovanja, odredi oblik i definitvne

dimenzije svakog dijela konstrukcije, tako da cijela

konstrukcija i njeni sastavni dijelovi mogu izdržatiopterećenja (sile) koja će u toku rada djelovati na

njih, tako, da se pod djelovanjem tih opterećenja

ne deformišu.


3/38

konstruktor mora voditi računa i o ekonomičnosti

potrošnje materijala a ponekad se moraju ispuniti i

zahtjevi za težinom konstrukcije.

Da bi mogao rješiti navedene zadatke i zahtjeve

konstruktor mora poznavati prirodu i raspodjelu

unutrašnjih sila, koje se unutar tijela suprostavljaju

djelovanju vanjskih sila i deformisanju tijela.

.



4/38

Osnovne naučne discipline u kojima se

proučava zavisnost između opterećenja (vanjskesile), unutrašnjih sila, deformacija, oblika i

dimenzija pojedinih dijelova su: Teorija

elastičnosti, Teorija plastičnosti i Otpornost

materijala.



5/38

Teorija elastičnosti i Teorija plastičnostispadaju u oblast Matematske fizike.

Sobzirom na složenost matematičkog aparata

koji se koristi pri rješavanju problema u Teorijielastičnosti, mnogi njeni zakoni se obično izvodeelementarnim putem, uz izvjesne pretpostavke

(hipoteze) koje daju zadovoljavajuće rezultate u praksi. Ovaj praktični dio Teorije elastičnosti senaziva Otpornost materijala ili Nauka o

čvrstoći.



6/38

Na principima ove naučne discipline zasniva se:

- proračun mašinskih i graĎevinskih konstrukcija,odnosno odreĎuju se dimenzije konstrukcije,

-provjeravaju se naponska stanja, deformacije- postavljaju dopunski uslovi za rješavanje statičkih

neodreĎenih problema.

Pored analitičkih metoda u Otpornosti materijala

primjenjuju se i eksperimentalne metode pomoću kojihse utvrĎuju osobine materijala i provjeravaju rezultatiutvrĎeni teorijskim analizama.



7/38

Kako su navedene konstrukcije u toku eksploatacije izloženedejstvu vanjskih sila, koja dovode do deformacija i loma

konstrukcjie ili nekih njenih dijelova, osnovni problem kojeg treba

riješiti konstruktor sastoji se u odreĎivanju odnosa izmeĎu:

vanjskih sila-opterećenja, deformacija iunutrašnjh sila,

pri čemu mora voditi računa i o ekonomičnosti

konstukcije.

Prema tome dobro izvedena konstrukcija treba da ima

odgovarajuću:čvrstoću,krutost i

stabilnost



8/38

vrstoća (otpornost) je sposobnost

konstrukcije da se pri djelovanju vanjskih

opterećenja ne lomi ili trajno ne deformiše u

predviĎenom vremenu eksploatacije.

Pri tom se od konstrukcije zahtijeva da ima iodgovarajući stepen sigurnosti protiv loma, u

slučaju iznenadnih opterećenja.

Krutost je sposobnost konstrukcije i njenih

sastavnih elemenata da se pri djelovanju vanjskog

opterećenja suprotstavi promjeni oblika iznaddopuštenih granica.

Stabilnost konstrukcije se definiše kao

sposobnost konstrukcije da zadrži prvobitni

ravnotežni oblik.



9/38

Osnovne pretpostavke

Otpornosti materijala

U Otpornosti materijala se utvrĎuju matematičkih odnosaizmeĎu: vanjskih sila-opterećenja, deformacija iunutrašnjih sila (napona).

Pri utvĎivanju ovih odnosa teorijskim putem, nastaju

problemi zbog raznovrsnih fizičko mehaničkih osobinamaterijala, složenih oblika tijela i opterećenja.

Iz tog razloga uvode se odreĎene pretpostavke, kojena odreĎen način idealizuju realna tijela, i na osnovu njih

dobiju se matematički odnosi pogodni za inžinjersku praksu.

Uvedene pretpostavke se provjeravaju ekperimentalnim

putem. Osnovne pretpostavke koje se uvode u Otpornosti

materijala su:


10/38

1. Pretpostavka o neprekidnosti mater i je . Po ovoj

pretpostavci materijal ima osobinu neprekidne

sredine, čime se zanemaruje molekulska i zrnastastruktura materijala

2.Pretpostavka o izotropnosti mater i je. Ovdje se

pretpostavlja da su osobine materijala u svakoj

tački tijela i u svim pravcima iste. (homogeni i

izotropni).

3.Pretpostavka o malim deformacijama . Po ovoj

pretpostavci deformacije tijela koje nastaju

prilikom djelovanja vanjskog opterećenja su male

u odnosu na dimenzije tijela. (zanemaruje se promjena položaja sila koje nastaju usljeddeformacije.


11/38

4. Pretpostavka o zamjeni stvarnog opterećenja

ekvivalentnim sistemom sila. Ova pretpostavka

omogućava da se opterećenja sa komplikovanimzakonom raspodjele zamijene sa jednom ili višekoncentričnih sila. Na taj način se

pojednostavljuje rješenje problema..

5. Pretpostavka ravnih presjeka. U toku

deformacije ravni presjeci dobiju oblik nekekrive površine. MeĎutim eksperimenti su

pokazali da postoje mnogi slučaji kada presjeciostaju ravni. Na osnovu ove činjenice je uvedenahipoteza ravnih presjeka po kojoj zamišljeniravni presjek ostaje ravan i poslije deformacije.

Ova pretpostavka se naziva Bernulijeva hipoteza.


12/38

2. VANJSKE SILE. NAPREZANJE . DEFORMACIJE

Vanjske sile

Vanjske sile koje djeluju na tijelo, potiču odmeĎusobnog uzajamnog djelovanja jednih tijela nadruge. Vanjske sile mogu biti:

zapreminske(sila težine, sila inercije) i

površinske. (koncentrisane sile, kontinualna

opterećenja i reakcije veza).


13/38

Djelovanje vanjskih sila na čvrsto tijelo senaziva opterećenjem tijela. Prema vremenu

trajanja sila, opterećenja mogu biti:

stalna i

povremena.

Osim toga, prema načinu djelovanja sila,opterećenje može biti:

mirno i polako tj. statičko i

udarno ili uz nagle promjene veličine i smjera,tj.dinamičko.



14/38

Pod uticajem vanjskih sila, čvrsta tijela mijenjaju oblik izapreminu, tj deformišu se. Takvo stanje tijela se zovenapregnuto stanje. Oblik deformacije tijela zavisi od vrste

anjskih sila koje djeluju na tijelo.

Kako vanjske sile mogu biti aksijalne, transverzalne, a

dejstvo sprega sila zavisi od ravnine dejsvta sila, to

razlikujemo pet osnovnih vrsta naprezanja:Aksijalno naprezanje,

Naprezanje na smicanje,

Naprezanje na uvijanje,

Naprezanje na savijanje i

Naprezanje na izvijanje.



15/38

Aksijalno naprezanje

• Kada na tijelo u obliku štapa(djeluje vanjska sila , čija senapadna linija poklapa sageometrijskom osom štapa,onda je štap opterećen tom

silom, i ona teži, u zavisnostiod njenog smjera, da izduži iliskrati taj štap.

• Za ovakav štap se kaže da jeaksijalno napregnut nazatezanje ili na pritisak.

• Deformacija aksijalnonapregnutog tijela se javlja upromjeni oblika i zapremine.


16/38

Naprezanje na smicanje

Ako je tijelo opterećenotransverzalnim silama silama kojedjeluju normalno na osu štapa, ondate sile teže da pomjere jedan poprečni presjek štapa u odnosu nadrugi blizak presjek u vertikalnom

smjeru, tj. teže da smaknu(odsijeku) presjek.

Ovo naponsko stanje je smicanje.

Deformacije pri smicanju se

izražavaju u promjeni oblika, dokzapremina tijela ostajenepromijenjena.

F

F

Y

Y


17/38

Naprezanje na uvijanje

Tijelo u obliku štapa je napregnuto nuvijanje kada na njega djeluju dva iliviše spregova sila koje leže u ravni koj je normalna na uzdužnu osu štapa,odnosno u ravnini poprečnog presjekštapa. Ovi spregovi sila se zovu obrtnim

spregovima, a njihovi momenti obrtnimmomentima.

Deformacije pri uvijanju se izražavaju uzakretanju uzdužnih vlakana štapa i uzakretanju paralelnih poprečnih presjekštapa oko ose štapa za ugao koji senaziva ugao uvijanja.

F

F

F

F

Y

Y

Y

Y

F

r


18/38

Naprezanje na savijanje

Štap je napregnut na savijanje kadana njega djeluje sistem sila i spregovakoji leže u ravni koja prolazi kroz osuštapa.

Deformacija pri savijanju se javlja u

promjeni oblika štapa, pri čemu dolazi doizduženja ili skraćenja vlakana iznad iispod ose štapa, pri čemu vlaknamijenjaju svoj oblik.

Osa štapa kod pravolinijskih štapova

prelazi u krivolinijski oblik.

F F

FF

Y Y

Y Y


19/38

Naprezanje na izvijanje

• Navedene vrstenaprezanja se nazivajuosnovna naprezanja.

• Međutim, ako na tijeloistovremeno djeluje više

osnovnih naprezanjanpr.savijanje i uvijanje,savijanje i pritisak,što je upraksi najčešći slučaj,takva vrsta opterećenja

predstavlja složenonaprezanje.•

FY

Štap. kod kojeg je jedna dimenzija (dužina)

velika u odnosu na dimenzije poprečnog presjeka, koji je opterećen aksijalnim silama pritiska, je napregnut na izvijanje.

Deformacija pri izvijanju se javlja u promjeni oblika štapa, pri čemu osa štapa iz pravolinijskog oblika prelazi u krivolinijski.

.


20/38

Unutrašnje sile

Pojam napona-naprezanja

pojam krutog tijela (ravnoteža pod djelovanjem sila )

Realna, čvrsta tijela, koja su izložena djelovanju vanjskih sila koje se nalazeu stanju ravnoteže, ostaju u ravnoteži, ali se deformišu, što unutar tijeladovodi do promjene rastojanja izmeĎu atoma, odnosno do promjeneunutrašnjih sila.

Ove unutrašnje sile koje, su rezultat djelovanja deformacija se nazivajudopunske unutrašnje sile.One teže da zadrže tijelo u prvobitnom obliku, pasu uvijek takvog pravca da se suprostavljaju deformaciji, odnosno pravcu

djelovanja vanjskih sila.

Vrsta deformacije zavisi od vrste opterećenja, a veličina deformacije od oblika i dimenzija poprečnog presjeka tijela, od materijala odkojeg su tijela izraĎena, kao i od veličine opterećenja.

OdreĎivanje odnosa izmeĎu vanjskih sila, unutrašnjih sila i deformacijaglavni je zadatak Otpornosti materijala.


21/38

Za postavljanje veze izmeĎu vanjskih iunutrašnjih sila, kao u Statici, koja se nazivametoda fiktivnog (zamišljenog) presjeka. Taj postupak je prikazan na slici zasniva se na

slijedećem:

Na čvrsto tijelo djeluje uravnoteženi sistem sila1 2 3 n F ,F ,F ,...F

. Kada se tijelo presiječe na dva dijelaravninom , koja je položena kroz tačku A, svaki diotijela će biti u ravnoteži s obzirom da je tijelo uravnoteži.

Ravnotežu donjeg dijela tijela održavaju silekojim gornji dio tijela djeluje na donji. To suunutrašnje sile: 1 2 3 nS ,S ,S ,...S

, koje djeluju u ravnini .

F1F2

F3F4

Fn

A

A

B C

D

Y

Y

Y

YY

F1F2

F3 F4

Fn

A

S1

S1

S3S3

Y

Y

Y

Y

YY

YY

´

YY S2S2́

´

Unutrašnje sile



22/38

Ove unutrašnje sile sa vanjskim silama drže donji i

gornji dio tijela u ravnoteži. Raspored unutrašnjih

sila po proizvoljnom presjeku se ne možeodrediti pomoću metode presjeka, ali iz uslova

ravnoteže donjeg dijela tijela slijedi da se sve

unutrašnje sile moraju redukovati na silu ( RuS

)koja je po veličini jednaka rezultanti vanjskih sila

koje djeluju na donji dio tijela, kolinearna je sa

njom i suprotnog smjera, te se obje sile uzajamno poništavaju

F1F2

F3F4

Fn

A

S1

S1

S3S3

Y

Y

Y

Y

YY

YY

´Y

Y S2S2́

´

Unutrašnje sile


U općem slučaju unutrašnje sile nisu jednolikorasporeĎene po presjeku . Raspodjela ovih sila

zavisi od vrste opterećenja


23/38

Ako se na posmatranom pesjeku u okolini

tačke A, izdvoji elementarna površina A , onda jerezultanta unutrašnjih sila koja djeluje na

elementarnu površinu, unutrašnja sila S

,

odreĎenog pravca, smjera i intenziteta.

Količnik rezultante unutrašnjih sila S

i

elementarne površine A predstavlja srednju

vrijednost unutrašnje sile na jedinicu površine uokolini posmatrane tačke A, koja se obilježava sa

sr .

S p

A

Granična vrijednost izraza kada elementarna površina A teži nuli se naziva napon u posmatranojtački i obilježava sa

0 A

pS

lim A

F3 F4

Fn

A

S

p

Y

Y

Y

Y

A


24/38

U općem slučaju vektor napona je nagnut prema

normali n

na presjek pa se rastavlja na dvijekomponente koje su prikazane na sl. 8., i to:

Komponentu , normalnu na element površine A , koja se naziva normalni napon.

Komponentu , koja leži u ravni A , koja senaziva tangencijalni ili smičući napon.

Intenzitet vektora napona ima dimenzije N/m2. (Pa

u SI sistemu)

A

p

t

y

z

x

Y

Y

n


25/38

Kada se posmatrano čvrsto tijelo presiječe, kroz tačku A, saravninom , koja je paralelna ravnini Oyz koordinatnog sistema

0xyz, u dobivenom presjeku tijela ponovo se može izdvojiti

elementarna površina X A y z

na koju djeluju unutrašnje sile.

Ako se kroz tačku A, položi drugačije orijentisana

ravan u prostoru dobije se druga vrijednost napona p

, pa se može zaključiti da napon u unutrašnostirealnog čvrstog tijela zavisi ne samo od pravca,

smjera i veličine vektora p,

nego i od položajatačke A, kao i pravca normale na ravan u tački A.Prema tome, skup svih vektora p

odreĎuje

naponsko stanje u tački A.


26/38

Ukupan napon p

, u tački A, se može izraziti preko komponenti napona u Descartovom

koordinatnom sistemu. Komponente napona p

koji

djeluju u posmatranoj tački presjeka x A definišuse preko tri jednačine:

xx =0 X A

lim x x

S

A

xy =0 X A

lim yS A

xz =0 X A

lim z x

S

A

Indeks „ x ” u članu ΔAX označava da je

posmatrana ravan, u kojoj je uočena elementarna

površina ΔA, normalna na koordinatnu osu x.

Komponenta sile xS i napona xx su pozitivno

usmjereni duž ose x i predstavljaju normalnu silu inormalni napon.

Komponente sile yS , z S i komponentni naponi xy , xz su paralelne sa elementarnom površinom

xA i predstavljaju

tangencijalne sile i tangencijalne napone. U komponentama

napona xx , xy , xz , prvi indeks se odnosi na pravac normale na

površinu A , a drugi na pravac komponentne sile.


27/38

aponi su pozitivni ako djeluju u pozitivnom smjeru osa x, y, z.Istim opisanim postupkom, mogu se definisati komponente

napona u smjeru osa y i z i na taj način se može odrediti stanje

napona u posmatranoj tački

Za definisanje naponskog stanja tijela u tački

potrebno poznavati devet komponenti napona, i to

xx , xy , xz , yy , yx , yz , zz , zx zy zy yz , , xy yx , xz zx .


28/38

x

y

x x

y

y

xy

xy

yx

yx

Na osnovu jednačina ravnoteže prostornog sistemasila za ose se može dokazati da je za definisanjenaponskog stanja u tački trodimenzionalnog tijela uopćem slučaju potrebno poznavati šest komponentinapona.

Iz gornjeg razmatranja može se zaključiti da je zadvodimenzionalna tijela (planarna tijela) potrebno u

općem slučaju poznavati tri komponente napona zadefinisanje naponskog stanja u tački. Te koponente

su xx , yy , xy .

Deformacije


29/38

Pri djelovanju vanjskih sila štap se izdužuje, odnosno

skraćuje, vratilo se uvija a greda savija. Ove promjeneoblika i dimenzija tijela se nazivaju deformacije.

Oblik deformacije, koja predstavlja geometrijsku

veličinu, zavisi od vanjskih sila, temperature i fizičko

mehaničkih osobina materijala od kojih je tijelo izraĎeno.Deformacije mogu biti elastične i trajne plastične. kojedovode do loma konstrukcije i nisu dozvoljene.

- lokalne i opšta.

Lokalne deformacije se javljaju na dodirnim povr šinamatijela koja se dodiruju, kao i na mjestima naglih promjena

poprečnih presjeka. Opšte deformacije se prostiru po cijelojzapremini tijela.

Deformacije


30/38

U otpornosti materijala se proučavaju opšteelastične deformacije.

Pri djelovanju vanjskih opterećena javljaju sedvije vrste deformacija i to:

-linijske deformacije (diletacija i kontrakcija)

koje nastaju zbog promjene dužina izmeĎu tačaka posmatranog tijela i

-klizanje, kao posljedica promjene uglova

izmeĎu tačaka odabranih na opterećenom tijelu.

Linijske deformacije karakterišu promjenuzapremine, dok klizanje karakteriše promjenuoblika tijela.


31/38

Linijske deformacije mogu biti apsolutne i relativne.

Apsolutna deformacija predstavlja izmjerenu promjenu

dužine po nekom izabranom pravcu. Odnos apsolutne

deformacije podijeljen sa početnom dužinom izmeĎu dviju

mjerenih tačaka naziva se relativna deformacija.

Apsolutne deformacije elementa u obliku štapa, (sl.12.), koji je

opterećen aksijalnom silom x F

, u pravcima osa pravouglogkoordinatnog sistema su:

1 0 L L L

; yd = 1 ody dy ; 1 z od dz dz ,

Linijske deformacije


32/38

Relativne deformacije su prema tome:

0

1

0 L

L L

L

L O x

y

y

o

d

dy =1 o

o

dy dy

dy

oo

z z

dz

dz dz

dz

d 01

Normalni naponi u pravcu koordinatnih osa su:

x

x x

A

F , 0 z y .

Ovakvo naponsko stanje tijela se naziva jednoosno

(aksijalno) naponsko stanje a napon x je glavni

napon.


33/38

Sa slike se vidi da kod jednoosnog naponskog

stanja nastaju troosne deformacije.

Pri tome je kod naprezanja na istezanje,

relativna deformacija u pravcu djelovanja sile,

odnosno u pravcu x ose x> 0, dok su relativne

deformacije y


34/38

Prema tome, kod aksijalnog naprezanja se razmatraju

relativne uzdužne deformacije koje se zovu dilatacije x i poprečne deformacije ili kontrakcije yi

z. Ove

deformacije stoje u odreĎenom odnosu i zavise od fizičkomehaničkih osobina materijala.

Francuski matematičar Poisson, na osnovu eksperimenata predstavio je zavisnost kontrakcije p i diletacije

izrazom:

1

p

uzdužna diletacija

poprečna kontrakcija


35/38

gdje je koeficijent proporcionalnosti koji se

naziva Poisson -ov koeficijent.

Vrijednost ovog koeficijenta za neke osnovne

konstrukcione materijale data je u tabeli 1.

Tabela 1.

Materijal Poissonov

koeficijent

Liveno željezo 0,23-0,27

Čelik 0,24-0,28

Bakar 0,31-0,34

Aluminijum 0,32-0,36

Olovo 0,42

D f ij k l i j


36/38

F

F

A

B

C

D

A

B

C

D

C´

D´m

Kada na tijelo djeluju poprečne sile iste veličine, suprotnogsmjera, sa pravcima koji leže u dvije beskonačno bliske

paralelne ravnine, dolazi do deformacija klizanja dijela

tijela izmeĎu paralelnih površina (sl.13.).

Prilikom klizanja svaka elementarna pravougaona prizma

ABCD (sl.13.a.), prelazi u kosouglu prizmu ABC’D’. Priklizanju, nastaje relativno pomjeranje dviju meĎusobno bliskih paralelnih površina, pa se sa ovim pomjeranjemizražava i oblik deformacije pri smicanju.

Deformac ija k l izan ja


37/38

F

F

A

B

C

D

A

B

C

D

C´

D´m

Dužina DD = m za koju se paralelno pomjerila površina C’D’ u odnosu na površinu AB, predstavlja apsolutno klizanje, koje zavisi od

rastojanja smicajnih površina BD=h.

Odnos izmeĎu apsolutnog klizanja i rastojanjasmicajnih površina naziva se relativno klizanje.Relativno klizanje se može izraziti uglom , zakoji se pravi ugao elementarne prizme promijeni

pri deformaciji, odnosno sa sl.13.b. je:

tg h

m

BD

D D

. .


38/38

Eksperimentalna ispitivanja su pokazala da se radi

o vrlo malim deformacijama tako da se može pretpostaviti da je tg = . Ugao u radijanima

predstavlja relativno klizanje

8.statika Čvrstih tijela

Documents