88922013 contando um pouco da historia das fracoes

Contando um Pouco da Historia das FraçõesAlessandro R. Silva

Objetivos

Entender como algumas civilizações antigas criaram e utilizavam o conceito de fração a partir de suas necessidades práticas de seu cotidiano.

1.1 As frações no antigo Egito

Segundo Boyer (1999), não se pode afirmar nada sobre a origem da matemática, seja aritmética, seja da geometria, afinal, seu princípio é mais antigo do que a arte de escrever. Acredita-se que muito da sua história tenha se perdido ao longo de milênios, pelo fato do homem só manifestar sua capacidade de expressar seus pensamentos em forma de escrita nos últimos seis milênios. É por esse motivo, que as informações pré-históricas são interpretadas baseando-se nos poucos artefatos que restaram nas evidências fornecidas pela antropologia, e pela extrapolação retroativa e conjetural, da análise de documentos que sobreviveram.

De acordo com Vitrac (2006, apud Constantino, 2006) as notícias mais antigas do uso das frações vêm do Egito antigo. Segundo esse autor a origem das frações foi apresentada pelo historiador Herótodo de Helicarnasso, no segundo dos noves livros de sua enquête (século V a.C).

A civilização egípcia desenvolveu-se às margens do Rio Nilo, região onde as terras eram muito férteis e, por isso, de grande importância para a vida de seus habitantes. Por volta do ano de 3.000 a.C sob o reinado do faraó Sesóstris. A economia egípcia estava assentada principalmente no cultivo de terras e para que tal modo de produção ocorresse de uma forma eficaz, terras cultiváveis eram divididas entre os habitantes. Anualmente, entre os meses de junho a setembro, as águas do Nilo subiam muitos metros além de seu leito normal e acabavam por inundar uma vasta região circundante e trazendo a necessidade de remarcação do terreno atingido pela enchente. É nesse contexto que surge às primeiras idéias sobre fração “de dividir o todo em partes” (grifo nosso)

Observe o relato de Herótodo (século V a.C): “Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exata da perda”. Tal remarcação era realizada pelos agrimensores do Estado, conhecidos como estiradores de cordas, uma vez que se utilizavam desta como unidade de medição. O processo de mensuração das terras consistia em estirar cordas e verificar o número de vezes que a unidade de medida estava contida no terreno. No entanto, na maioria das vezes, a medição dificilmente era finalizada por um número inteiro de vezes em que as cordas eram estiradas. A resposta encontrada para lidar com a dificuldade imposta por tal situação consistiu-se na criação dos números fracionários.

Figura 1: Fonte: www.uniblog.com.br

Segundo Ifrah (1989, p. 326) a organização desse sistema numérico era baseada no conceito unitário, de modo que a maioria das frações apresentava o seu numerador constituído pelo numeral 1 (um) representado por um sinal de forma oval e alongada: .

Figura 2: http://profinesreynaud.blogspot.com/2010/08/os-egipcios-e-as-fracoes.html

Tais frações eram denominadas frações unitárias ou egípcias. Todavia, duas frações podiam ser apontadas como exceção a tal regra: 3/4 e 2/3, sendo que o último era contemplado como fração geral, uma vez que era utilizada como base para diversas operações matemáticas. O símbolo utilizado para a sua representação era:

Se o denominador se tornasse muito grande, o sinal de forma oval " " era colocada sobre o início do "denominador":

http://www.uniblog.com.br/

Figura 3: www.sitededicas.uol.com.br/cliparts.htm

A fração unitária ½ tambem tinha uma representação especial:

Muitas das frações que não apresentavam o numeral 1 no numerador eram consideradas o resultado da soma entre as várias frações egípcias (unitárias), por

exemplo: 41

31

127 += .

Torna-se pertinente ressaltar que sinais de adição e subtração não eram empregados em tais operações matemáticas, dado a sua inexistência.

1.2 As frações estudadas por outros povos

Os documentos históricos apontam a existência de grande variação na representação do sistema fracionário segundo a sociedade e a época histórica.

No sul da Mesopotâmia como aponta Boyer (1999), por exemplo, as frações foram importantes nos textos de economia, relacionado ao direito dos herdeiros. Em documentos que mostram a prática dos legisladores, aparece uma grande variedade de exemplos da utilização de frações, principalmente na distribuição de patrimônios, onde praticavam regra de divisão que contornavam as dificuldades aritméticas, respeitando sempre os costumes jurídicos em vigor.

Os Babilônios e os Sumérios, povos que habitaram a região da Mesopotâmia faziam uso de frações cujo denominador era 60 (sessenta). Ifrah (1989) comenta que os babilônios, com a numeração de base 60, foram os primeiros a atribuir às frações uma notação racional, exprimindo-as mais ou menos como se expressam graus, minutos e segundos.

Por exemplo, a expressão (33; 45) podia expressar 33h 45min ou 33min 45s. Essa notação era “flutuante” e só o contexto podia precisar. Os babilônios representavam as frações identicamente conforme símbolos abaixo:

Depois dos babilônios vieram os gregos, mas a numeração alfabética não se prestava à simbolização de frações, os mesmos representavam frações da seguinte maneira:

Onde o numerador inteira seria representada com a barra em cima e o denominador pela apóstrofe.

Para os gregos, o uso das frações aparece em documentos tais como: declaração de propriedade, cálculo e registro de câmbio de moedas, taxas, realização de arquitetura, etc.

Na civilização Romana, as frações aparecem nos cálculos com moedas e na metrologia. Cada fração tinha um nome especial, e mantinha, geralmente, o

Curiosidade

denominador 12 como uma constante, provavelmente porque sua moeda de cobre, que pesava uma libra, era dividida em 12 unciae.

Segundo Straffin (1998), na China Antiga, 100 anos antes de Cristo, documentos tais como “Nove capítulos sobre os procedimentos matemáticos”, que é considerado um clássico entre os chineses, mostra, que uma das únicas diferenças é

que os chineses evitavam usar frações impróprias como 3

5, eles usavam a forma

mista, ou seja, 3

12 .

Straffin (1998), ainda comenta que que os chineses, chamavam o numerador de uma fração de (zi, filhos) e o denominador como (mu, a mãe). Alem disso, os documentos apontam que os chineses sabiam fazer operações com as frações (adição, subtração, multiplicação e divisão) com certa habilidade.

Observe por exemplo a explicação da adição de fração que os chineses utilizavam:

Cada numerador é multiplicado pelos denominadores das outras frações. Some-os como o dividendo, multiplique os denominadores como o divisor. Divida; se existir um resto, tome-o como numerador e tome o divisor como denominador. Straffin (1998, pg 171)

Ainda segundo Ifrah (1989), a notação moderna de fração deve-se aos hindus que, devido à numeração posicional decimal expressavam frações mais ou menos como nós. Por exemplo, 34/1265 era representado como:

341265

Essa notação foi adotada e aperfeiçoada pelos árabes, que inventaram a famosa barra horizontal

Resumo

Nesta primeira aula tivemos a oportunidade de observar que as frações aparecem por meio da necessidade do homem em medir e representar medidas. Observamos também que essas civilizações criaram e utilizaram o conceito de fração de acordo com suas necessidades.

Atividades de aprendizagem

1) Pesquise em outras fontes e dê outros exemplos de frações escrita pelos egípcios.

2) Pesquise em outras fontes a representação de fração apontada no texto.

1.2 As frações e o nosso cotidiano

Objetivos

Observar que as frações têm um papel importante em nossa formação, pois aparecem em inúmeras situações do nosso dia a dia, nos trazendo significados.

2.1 Situações onde encontramos as frações

Trabalhamos com fração quando dividimos, por exemplo, uma barra de chocolate com nossos irmãos.

Figura 4:http://www.slideshare.net/Vivimatematica/fracoes-no-dia-a-dia-5988403

Neste caso cada pedacinho do vale 3

1

Quando comemos uma pizza

Figura 5: http://www.slideshare.net/Vivimatematica/fracoes-no-dia-a-dia-5988403

Ou pedimos uma pizza meio mussarela e meio calabresa

Figura6:http://www.slideshare.net/Vivimatematica/fracoes-no-dia-a-dia-5988403

Dividindo um bolo com nossos amigos

Figura7:http://www.slideshare.net/Vivimatematica/fracoes-no-dia-a-dia 5988403

Receita de bolo

2

12 de farrinha/

2

13 de açúcar/1 copo de leite/

ovos/fermento em pó.


Quando trabalhos com moedas estamos mexendo com frações, por exemplo:


Com duas moedas de 0,50 centavos consigo formar um real, com 10 moedas de 0,10 centavos consigo formar 1real.


Encontramos frações em Reportagem:

No Brasil, 1/3 dos internautas usa web móvel

São Paulo - No Brasil, 36,7% dos usuários de internet utilizam equipamentos móveis para acessar a web quando estão em casa. No trabalho, são 24,7% e em trânsito, 38,6%.

Os números são de uma pesquisa realizada pela Cisco, que considera como internet móvel todo o acesso realizado por laptops, celulares, smartphones e outros equipamentos similares.

O estudo mostra também uma tendência de abandono de linhas de telefone fixas em favor das móveis. Entre os brasileiros, 67 milhões de pessoas abandonaram suas linhas fixas, o que representa 35% da população.O País só perde para a Itália, com 39% da população deixando as linhas fixas e ficando apenas com os móveis, e para a África do Sul, com 48%.

Com relação à transmissão de dados, 827 mil brasileiros utilizam apenas equipamentos móveis. A tendência aponta que este número chegue a 78 milhões até 2014. A Itália é campeã, com quase quatro milhões de pessoas acessando dados apenas por equipamentos móveis.Hoje, 90 mil TB trafegam na chamada "internet móvel". Os vídeos são os maiores "consumidores", com quase 36 mil TB. Outros 30 mil TB são consumidos para acesso a sites, blogs e outras aplicações de dados.

O peer-to-peer vem em terceiro, com 15 mil TB. Games online e aplicações de voz sobre IP têm cerca de 4,5 mil TB cada. Até 2014, espera-se que trafeguem 3,5 milhões de TB na internet móvel.(Jordana Viotto, De INFO Online Sexta-feira, 12 de fevereiro de 2010 - 12h26)

Para verificar quanto um carro tem de combustível dentro de um tanque.

Figura 11: http://www.slideshare.net/Vivimatematica/fracoes-no-dia-a-dia-5988403

Ou quando preciso arrumar minha bicicleta:

Chave de boca 1.1/16.1.1/4Figura 12: http://www.slideshare.net/Vivimatematica/fracoes-no-dia-a-dia-5988403

88922013 contando um pouco da historia das fracoes

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