8$'5$7ø.)250/$5 - deukisi.deu.edu.tr/mustafa.unlu/kuadratik formlar.pdf.8$'5$7ø.)250...
TRANSCRIPT
KUADRATİK FORMLAR
KUADRATİK FORM
Tanım: Kuadratik Form
Bir q(x1,x2,…,xn) fonksiyonu nq :x şeklinde tanımlı ve xixj bileşenlerinin
doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur. Bir kuadratik
form şu şekilde yazılabilir:
AxxxT
q
Burada A, nn boyutlu eşsiz bir simetrik matristir. Aynı zamanda A, q karesel formunun
tanım matrisi olarak da adlandırılır.
Kuadratik formlar kümesi 1 2, ,...,n n
Q q x x x , n uzayından uzayına tanımlı tüm
doğrusal fonksiyonların bir alt kümesidir.
KUADRATİK FORM
Örnek:
Aşağıdaki kuadratik form için A matrisini bulunuz.
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 9 7 3 2 4 6q x x x x x x x x x x x x
Çözüm:
iia
2
ix ‘lerin katsayısı
1(
2ij ji i j
a a x x ‘lerin katsayısı)
O halde,
9 1 2
1 7 3
2 3 3
A
KÖŞEGENLEŞTİRME
Teorem: Bir Kuadratik Formun Köşegenleştirilmesi
AxxxT
q bir kuadratik form ve A, n×n boyutlu simetrik bir matris olsun.
, A için ortanormal bir baz ve 1 2, ,...,
n de ilgili özdeğerler olsun. O halde
1
1
2
1
0 0
0 0
0 0
n
n
n
c
c c
c
2 2 2
1 1 2 2( ) ...n n
q x c c c
Burada ic ‘ler ’ya göre x’in koordinatlarıdır.
KÖŞEGENLEŞTİRME
Örnek:
2 2
1 1 2 213 10 13 25x x x x şeklinde tanımlanmış kuadratik formu ele alalım.
12 2
1 1 2 2 1 2
2
13 513 10 13
5 13
xx x x x x x
x
şeklinde matris notasyonunu kullanabiliriz.
13 50
5 13
1 8 , 2 18
1 8 için, özvektör 1
1
1v
; 2 18 için özvektör 2
1
1v
’dir. Bulunan bu
özvektörler ortogonaldir.
O halde bu kuadratik form şu şekilde yazılabilir:
2 2
1 28 18 25c c
Teorem: Herhangi bir gerçel A matrisi ve tüm gerçel x vektörleri için
xTAx=0 eşitliği ancak ve ancak A matrisi çarpık simetrik ise sağlanır.
Teorem: Eğer A ve B matrisleri simetrik ise tüm gerçel x vektörleri için xTAx= x
TBx
eşitliği ancak ve ancak A=B ise sağlanır.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Aşağıdaki denklem üzerinden özdeğerleri ele alalım.
2 2
1 1 2 22ax hx x bx c
Burada a, h, b sıfırdan farklıdır. 2 2
1 1 2 22ax hx x bx İfadesi x1 ve x2’ye göre
bir kuadratik form olarak adlandırılır. Bu eşitlik aynı zamanda şu şekilde
de gösterilebilir:
12 2
1 1 2 2 1 2
2
2 Txa h
ax hx x bx x xxh b
x Ax
Burada1
2
x
x
x vea h
h b
A ’dir. A kuadratik formun tanım matrisi olarak
adlandırılır.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Şimdi x1 ve x2 eksenlerini saat yönünün tersine θ kadar çevirerek yeni eksenler '
1x ve '
2x
elde edilsin. Eksenlerin dönüşümünü gösteren denklemler şu şekilde elde edilir:
Bir P matrisinin x1 ve x2 eksenine bağlı koordinatları (x1, x2), '
1x ve '
2x eksenine bağlı
koordinatları da ' '
1 2,x x olsun. Aşağıdaki şekil göz önüne alınarak,
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
1x
'
1x '
2x
x2
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
1 cos( )x OQ OP
cos cos sin sinOP
cos cos sin sinOP OP
cos sinOR PR
' '
1 2cos sinx x
Not: cos( ) cos cos sin sinx y x y x y
Aynı şekilde,
2 sin( )x QP OP
(sin sin cos cos )OP
( sin )sin ( cos )cosOP OP
' '
2 1 2sin cosx x x
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Bu dönüşüm denklemleri matris formunda şu şekilde gösterilebilir:
'1 1
'2 2
cos sin
sin cos
x x
x x
Burada cos sin
sin cosP
olmak üzere, P matrisi ortogonaldir. Yani 2
T PP I
dir. Ayrıca det(P)=1’dir. Bu özellikleri taşıyan matrislere “rotasyon matrisi” denir.
Ayrıca yeni koordinatları eski koordinatlar cinsinden elde etmek mümkündür.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
'11
'22
cos sin
sin cos
Txx
xx
Y P x
Böylece '
1 1 2cos sinx x x ve '
2 1 2sin cosx x x olur. O halde,
TT T T x Ax PY A PY Y P AP Y Olur.
Buradan anlaşılacağı gibi TP AP ’yi 1 2,diag gibi köşegen matris haline
getirecek herhangi bir θ açısı seçmek mümkündür.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
'
2 21' ' ' '1
1 2 1 1 2 2'2 2
0
0
T xx Ax x x x x
x
2 22ax hxy by c Denklemi yeni eksenlere göre 2 2' '
1 1 2 2x x c haline
dönüşmüştür. 1p ve
2p , P matrisinin sütunları olmak üzere aşağıdaki eşitlikler
sağlanmaktadır:
1 1 1Ap p ve 2 2 2Ap p
Bu denklemler 1 ve2 üzerine bir takım kısıtlamalar getirmektedir. Örneğin,
1
1
1
u
v
p olsun. İlk denklem,
1 1
1
1 1
u ua h
v vh b
ya da
1 1
1 1
0
0
a h u
h b v
şekline dönüşür.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
İki bilinmeyenli, iki doğrusal denklemli bir homojen sistemle ilgilenildiği için,
1
1
0a h
h b
Aynı şekilde 2 de bu eşitliği sağlamaktadır. Genişletilmiş formda bu ifade
2 2 0a b ab h olur. Bu denklemin reel kökleri
2 22 24 4
2 2
a b a b ab h a b a b h
2 2 0a b ab h denklemi, A matrisinin özdeğer denklemidir.
Yukarıdaki örnekte p1 ve p2 ,sırasıyla λ1 ve λ2’ye karşılık gelen özvektörlerdir.
TEMEL EKSENLER
Tanım: Temel Eksenler
AxxxT
q bir kuadratik form, A ise n×n boyutlu ve n farklı
özdeğere sahip simetrik bir matris olsun. A’nın öz uzayları
(eigenspaces)’na q’nun temel eksenleri denir.
ELİPSLER VE HİPERBOLLER
Teorem: Elipsler ve Hiperboller
2 ‘de tanımlı bir eğri olan C, şu şekilde tanımlanmıştır:
2 2
1 2 1 1 2 2( , ) 1q x x ax bx x cx
q’nun matrisi olan 2
2
ba
b c
‘nın özdeğerleri 1 ve 2 olsun.
Eğer 1 ve 2 pozitifse C bir elips, biri pozitif diğeri negatifse C bir hiperboldür.
ELİPSLER VE HİPERBOLLER
1.durum: 2 2
1 2 1 1 2 2( , ) 1q x x ax bx x cx , b>a>0. Bu durumda eğri bir elipstir ve
eksenleri kestiği noktalar 1 a ve 1 b ’dir. O halde,
2
2
a b
b c
1
2
01cos sin
0 1
x a
x b
2.durum: 2 2
1 2 1 1 2 2( , ) 1q x x ax bx x cx , a>0 ve b<0. Bu durumda eğrü hiperboldür.
2
2
a b
b c
ELİPSLER VE HİPERBOLLER
1.durum 2.durum
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
Tanım: Temel Alt Matrisler ve Pozitif Tanımlılık
A, nxn boyutlu simetrik bir matris olmak üzere; 1,...,m n için ( )mA de A’nın
m’ye kadar olan satır ve sütunlarının çıkarılmasıyla elde edilen mxm’lik bir matris
ise bu ( )m
A matrislerine A’nın temel alt matrisleri denir.
A matrisi tüm 1,...,m n için ( )det( ) 0mA koşulu sağlanıyorsa pozitif tanımlıdır.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
Örnek:
9 1 2
1 7 3
2 3 3
A
matrisi pozitif tanımlı mıdır?
Çözüm:
(1)det( ) det 9 9 0A
(2)9 1
det( ) det 62 01 7
A
(3)det( ) det 89 0A A
Böylece A’nın pozitif tanımlı olduğunu söyleyebiliriz.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
Tanım: Özdeğerler ve Pozitif Tanımlılık
Simetrik bir A matrisi sadece ve sadece tüm özdeğerleri pozitif olduğunda pozitif
tanımlıdır. Eğer özdeğerleri pozitif veya sıfırsa A matrisi yarı pozitif tanımlıdır.
Determinant, özdeğerlerden oluştuğu için pozitif tanımlı bir matrisin determinantı da
pozitiftir. Fakat tersi durum geçerli değildir.
Özdeğerlerinden biri pozitif ve diğer ikisi negatif olan 3×3 boyutlu bir A matrisini
ele alalım. det(A) pozitiftir fakat AxxxT
q pozitif tanımlı değildir.
A matrisi nn boyutlu simetrik bir matris ve x vektörü n elemanlı bir sütun
vektörü ise karesel formun genel yapısı,
2
11 1 12 2 13 1 3 1 12 2 2T
1 n na x a x x a x x a x x x Ax
nn xxaxxaxa 2232232222 22
nn xxaxa 332333 2
2n xann
ifadesi ile verilebilir.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
Tanım: Bir Kuadratik Formun Tanımlılığı
AxxxT
q bir kuadratik form ve A, n×n boyutlu simetrik bir matris olsun.
Eğer n ‘de x’in tüm sıfır olmayan değerleri için ( )q x pozitifse A pozitif tanımlı,
( ) 0q x ise A pozitif yarı tanımlıdır.
Eğer q hem pozitif hem de negatif değerler alabiliyorsa A belirsiz (indefinite)’dir.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
Tüm x≠0 sütun vektörleri için eğer xTAx>0 ise karesel form ve A matrisi
pozitif tanımlıdır. Eğer tüm x≠0 sütun vektörleri için xTAx0 ise karesel
form ve matris pozitif yarı tanımlıdır. Yukarıdaki eşitsizliklerin yönü
değiştirilerek negatif tanımlı ve negatif yarı tanımlı karesel form ve matrisler
tanımlanabilir. Eğer bir form bazı x vektörleri için pozitif, diğerleri için negatif
ise tanımsızdır.