UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERIAS

ldquoTEORIA ELECTROMAGNETICArdquo

TAREA 2

CONTENIDO

1 Problemas Libro de Cheng

T1- 7

ESTRADA CALDERON GUILLERMO ____________________

LUNA HERNAacuteNDEZ ALVARO ____________________

TORRES HERNANDEZ FRANCISCO JAVIER ____________________

02 de marzo de 2012

P2-3 Dados los tres vectores AB y C siguientes

A=ax6+ay 2minusaz3

B=ax 4minusa y6+az12

C=ax5minusaz2

Calcule

a) aB

aB=ax 4minusa y6+az12

radic42+62+122=ax

27minusay

37+az

67

b) |Bminus A||Bminus A|=radic22+82+152=171

c) La componente de A en direccioacuten de B

A sdotaB=6 x27minus2x 3

7minus3x 6

7=minus171

d) Bsdot A

Bsdot A = 24-12-36 = -24

e) La componente de B en direccioacuten de A

Bsdot aA=B sdot A|A|

= minus2462+22+32

=minus343

f) θAB

θAB=B sdotABA

=minus24147

=minus2+5 1042 deg

g) A X C

A X C=[ax ay az6 2 minus35 0 2 ]=minusax 4minusa y3minusa10

h) A sdot (B XC )Y ( A X C )sdotC

A sdot (B XC )= (A X B ) sdotC=minus( A X C ) sdotB=minusiquest

P2-11 La posicioacuten de un punto en coordenadas ciliacutendricas estaacute indicada por (3 4π 3 minus4)

Especifique la situacioacuten del punto

a) En coordenadas cartesianas

x=rcosɸ=3cos240 deg=minus32

y=rsenɸ=3 sen240 deg=minus3 radic32

z=minus4

(minus32minus3 radic3

2minus4)iquest

b) En coordenadas esfeacutericas

R=(r2+z2)12=(32+42)

12=5

θ=tanminus1 rz=tanminus1 3

minus4=1431deg

ɸ=4 π3

=240 deg

(5 1431deg 240deg)

P2-15 Dado un campo vectorial en coordenadas esfeacutericas F=aR(12R2)

a) Encuentre F y F y en el punto P(-2-44)

F=aR12

radicminus22+(minus42)+42=aR

126

=aR2

F y=2minus4

radicminus22+(minus42)+42=minus43

b) Encuentre el aacutengulo que forma F con el vector A=ax2minusay 3minusaz6 en P

aF=16 (ax 2minusa y 4minusaz6 )=13 (minusaxminusay2minusaz2)

a A=1

radic22+iquestiquestiquest

θFA 0cosminus1 ( Af sdot aA )=cosminus1 121 iquestiquest

P2-16 Dado un campo vectorial F=ax yminusa1 x Calcule la integral intF sdot d l desde P1 (21-1) hasta

P2 (82-1)

a) a lo largo de una liacutenea recta que une los dos puntos

x=6 yminus4 dx=6dyintP 2

P1

sdotErarr d l=int

1

2

[6 ydy+(6 yminus4 )]dy=14

b) a lo largo de una paraacutebola x=2 y2

x=2 y2 dx=4 ydy intP2

P1

sdotErarr d l=int

1

2

[4 y2dy+2 y2dy ]=14

iquestF es un campo conservativo Explique

La integral de liacutenea de dos puntos especiacuteficos no necesariamente es conservativa

sdotErarr Es un campo conservativo en este caso por que iquestErarr ⊳(xy+c )

P2-18 Dado el campo escalar V= 2xy ndash yz + xz

a) Determine el vector que representa la direccioacuten y la magnitud de la razoacuten de incremento maacutexima de V en el punto P(2-10)

nablaV=ax (2 y+z )+a y (2 xminusz )+az ( xminus y )=ax (minus2 )+ay 4+az3

Magnitud iquestradic29

b) Determine la razoacuten de incremento de V en el punto P en la direccioacuten hacia el punto Q(026)

PQ=OQminus 0P=aX (minus2 )+ay 3+az6=aPQ=PQ

radiciquestiquestiquest

La razon del incremento de V en P en direccion Q

Q= (nablaV ) APQ=17

(4+12+18 )=347

P2-21 Dado un campo vectorialF=ax xy+ay yzminusaz zx

a) calcule el flujo de salida total a traveacutes de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un veacutertice en el origen

Cara izquierda

y=0 ds=minusay dxdz

∬0

1

minus yzdxdz=0

Cara derecha

y=1 ds=a ydxdz

∬0

1

zdxdz=12

Cara de superior

z=1 ds=azdzdy

∬0

1

dxdyd=12

Cara inferior

z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0

Cara Frontal

x=1 ds=axdydz

∬0

1

ydydz=12

Cara posteriro

x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0

Sumando resultados

∮F sdot ds=32

b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia

nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz

intnablasdotFdv=∭0

1

( x+ y+z )dxdydz=32

P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la

regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4

Cara superior

( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds

A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π

Cara inferior

( z=0 ) A=ar r2 ds=azds

int A sdot ds=0

Recorrido

(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds

∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π

nablasdot A=3 r+2 intV

nablasdot Adv=int0

4

int0

2π

int0

5

(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds

P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z

a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy

int A sdot ds=int0

π2

int0

π2

az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ

R32πint0

π2

cosθ2 sin θdθ=23π R3

∮ A sdotds=23π R3

b) encuentre nablasdot A nablasdot A=

d A zd z

=d zd z

=1

c) verifique el teorema de la divergencia

intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds

P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ

a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura

Parte AB

r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ

intAB

F sdotd l=iquestint0

π2

cosɸdɸ=1iquest

Parte BC

ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r

intBC

F sdotd l=iquestint1

2

5 rdr=152

iquest

Parte CD

r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ

intCD

F sdotd l=iquestintπ2

0

8cos ɸdɸ=minus8iquest

Parte DA

intDA

F sdotd l=0

Por lo tanto

∮ABCDA

F sdotd l=1+ 152

minus8=12

b) calcule nabla X F

nabla X F=az1riquest

c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo

en la parte (a)

ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ

int (nablaX F ) sdotds=minusint1

2

r (3 rminus5 )drint0

π2

cosɸdɸ=12

P2-30 Dada una funcioacuten vectorial

F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)

a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL

nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y

part z )+ay ( partF x

part zminuspart F zpart x )+az( partF y

part xminuspartF zpart y )=0

b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal

TAMBIEN ES SOLENOIDAL

nabla X F=part Fxpart x

+part F y

part y+partF z

part z=0

partpartx

=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part

part z (2 xminusc3 y+c A z )=0

P2-3 Dados los tres vectores AB y C siguientes

A=ax6+ay 2minusaz3

B=ax 4minusa y6+az12

C=ax5minusaz2

Calcule

a) aB

aB=ax 4minusa y6+az12

radic42+62+122=ax

27minusay

37+az

67

b) |Bminus A||Bminus A|=radic22+82+152=171

c) La componente de A en direccioacuten de B

A sdotaB=6 x27minus2x 3

7minus3x 6

7=minus171

d) Bsdot A

Bsdot A = 24-12-36 = -24

e) La componente de B en direccioacuten de A

Bsdot aA=B sdot A|A|

= minus2462+22+32

=minus343

f) θAB

θAB=B sdotABA

=minus24147

=minus2+5 1042 deg

g) A X C

A X C=[ax ay az6 2 minus35 0 2 ]=minusax 4minusa y3minusa10

h) A sdot (B XC )Y ( A X C )sdotC

A sdot (B XC )= (A X B ) sdotC=minus( A X C ) sdotB=minusiquest

P2-11 La posicioacuten de un punto en coordenadas ciliacutendricas estaacute indicada por (3 4π 3 minus4)

Especifique la situacioacuten del punto

a) En coordenadas cartesianas

x=rcosɸ=3cos240 deg=minus32

y=rsenɸ=3 sen240 deg=minus3 radic32

z=minus4

(minus32minus3 radic3

2minus4)iquest

b) En coordenadas esfeacutericas

R=(r2+z2)12=(32+42)

12=5

θ=tanminus1 rz=tanminus1 3

minus4=1431deg

ɸ=4 π3

=240 deg

(5 1431deg 240deg)

P2-15 Dado un campo vectorial en coordenadas esfeacutericas F=aR(12R2)

a) Encuentre F y F y en el punto P(-2-44)

F=aR12

radicminus22+(minus42)+42=aR

126

=aR2

F y=2minus4

radicminus22+(minus42)+42=minus43

b) Encuentre el aacutengulo que forma F con el vector A=ax2minusay 3minusaz6 en P

aF=16 (ax 2minusa y 4minusaz6 )=13 (minusaxminusay2minusaz2)

a A=1

radic22+iquestiquestiquest

θFA 0cosminus1 ( Af sdot aA )=cosminus1 121 iquestiquest

P2-16 Dado un campo vectorial F=ax yminusa1 x Calcule la integral intF sdot d l desde P1 (21-1) hasta

P2 (82-1)

a) a lo largo de una liacutenea recta que une los dos puntos

x=6 yminus4 dx=6dyintP 2

P1

sdotErarr d l=int

1

2

[6 ydy+(6 yminus4 )]dy=14

b) a lo largo de una paraacutebola x=2 y2

x=2 y2 dx=4 ydy intP2

P1

sdotErarr d l=int

1

2

[4 y2dy+2 y2dy ]=14

iquestF es un campo conservativo Explique

La integral de liacutenea de dos puntos especiacuteficos no necesariamente es conservativa

sdotErarr Es un campo conservativo en este caso por que iquestErarr ⊳(xy+c )

P2-18 Dado el campo escalar V= 2xy ndash yz + xz

a) Determine el vector que representa la direccioacuten y la magnitud de la razoacuten de incremento maacutexima de V en el punto P(2-10)

nablaV=ax (2 y+z )+a y (2 xminusz )+az ( xminus y )=ax (minus2 )+ay 4+az3

Magnitud iquestradic29

b) Determine la razoacuten de incremento de V en el punto P en la direccioacuten hacia el punto Q(026)

PQ=OQminus 0P=aX (minus2 )+ay 3+az6=aPQ=PQ

radiciquestiquestiquest

La razon del incremento de V en P en direccion Q

Q= (nablaV ) APQ=17

(4+12+18 )=347

P2-21 Dado un campo vectorialF=ax xy+ay yzminusaz zx

a) calcule el flujo de salida total a traveacutes de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un veacutertice en el origen

Cara izquierda

y=0 ds=minusay dxdz

∬0

1

minus yzdxdz=0

Cara derecha

y=1 ds=a ydxdz

∬0

1

zdxdz=12

Cara de superior

z=1 ds=azdzdy

∬0

1

dxdyd=12

Cara inferior

z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0

Cara Frontal

x=1 ds=axdydz

∬0

1

ydydz=12

Cara posteriro

x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0

Sumando resultados

∮F sdot ds=32

b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia

nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz

intnablasdotFdv=∭0

1

( x+ y+z )dxdydz=32

P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la

regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4

Cara superior

( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds

A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π

Cara inferior

( z=0 ) A=ar r2 ds=azds

int A sdot ds=0

Recorrido

(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds

∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π

nablasdot A=3 r+2 intV

nablasdot Adv=int0

4

int0

2π

int0

5

(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds

P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z

a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy

int A sdot ds=int0

π2

int0

π2

az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ

R32πint0

π2

cosθ2 sin θdθ=23π R3

∮ A sdotds=23π R3

b) encuentre nablasdot A nablasdot A=

d A zd z

=d zd z

=1

c) verifique el teorema de la divergencia

intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds

P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ

a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura

Parte AB

r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ

intAB

F sdotd l=iquestint0

π2

cosɸdɸ=1iquest

Parte BC

ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r

intBC

F sdotd l=iquestint1

2

5 rdr=152

iquest

Parte CD

r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ

intCD

F sdotd l=iquestintπ2

0

8cos ɸdɸ=minus8iquest

Parte DA

intDA

F sdotd l=0

Por lo tanto

∮ABCDA

F sdotd l=1+ 152

minus8=12

b) calcule nabla X F

nabla X F=az1riquest

c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo

en la parte (a)

ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ

int (nablaX F ) sdotds=minusint1

2

r (3 rminus5 )drint0

π2

cosɸdɸ=12

P2-30 Dada una funcioacuten vectorial

F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)

a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL

nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y

part z )+ay ( partF x

part zminuspart F zpart x )+az( partF y

part xminuspartF zpart y )=0

b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal

TAMBIEN ES SOLENOIDAL

nabla X F=part Fxpart x

+part F y

part y+partF z

part z=0

partpartx

=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part

part z (2 xminusc3 y+c A z )=0

A X C=[ax ay az6 2 minus35 0 2 ]=minusax 4minusa y3minusa10

h) A sdot (B XC )Y ( A X C )sdotC

A sdot (B XC )= (A X B ) sdotC=minus( A X C ) sdotB=minusiquest

P2-11 La posicioacuten de un punto en coordenadas ciliacutendricas estaacute indicada por (3 4π 3 minus4)

Especifique la situacioacuten del punto

a) En coordenadas cartesianas

x=rcosɸ=3cos240 deg=minus32

y=rsenɸ=3 sen240 deg=minus3 radic32

z=minus4

(minus32minus3 radic3

2minus4)iquest

b) En coordenadas esfeacutericas

R=(r2+z2)12=(32+42)

12=5

θ=tanminus1 rz=tanminus1 3

minus4=1431deg

ɸ=4 π3

=240 deg

(5 1431deg 240deg)

P2-15 Dado un campo vectorial en coordenadas esfeacutericas F=aR(12R2)

a) Encuentre F y F y en el punto P(-2-44)

F=aR12

radicminus22+(minus42)+42=aR

126

=aR2

F y=2minus4

radicminus22+(minus42)+42=minus43

b) Encuentre el aacutengulo que forma F con el vector A=ax2minusay 3minusaz6 en P

aF=16 (ax 2minusa y 4minusaz6 )=13 (minusaxminusay2minusaz2)

a A=1

radic22+iquestiquestiquest

θFA 0cosminus1 ( Af sdot aA )=cosminus1 121 iquestiquest

P2-16 Dado un campo vectorial F=ax yminusa1 x Calcule la integral intF sdot d l desde P1 (21-1) hasta

P2 (82-1)

a) a lo largo de una liacutenea recta que une los dos puntos

x=6 yminus4 dx=6dyintP 2

P1

sdotErarr d l=int

1

2

[6 ydy+(6 yminus4 )]dy=14

b) a lo largo de una paraacutebola x=2 y2

x=2 y2 dx=4 ydy intP2

P1

sdotErarr d l=int

1

2

[4 y2dy+2 y2dy ]=14

iquestF es un campo conservativo Explique

La integral de liacutenea de dos puntos especiacuteficos no necesariamente es conservativa

sdotErarr Es un campo conservativo en este caso por que iquestErarr ⊳(xy+c )

P2-18 Dado el campo escalar V= 2xy ndash yz + xz

a) Determine el vector que representa la direccioacuten y la magnitud de la razoacuten de incremento maacutexima de V en el punto P(2-10)

nablaV=ax (2 y+z )+a y (2 xminusz )+az ( xminus y )=ax (minus2 )+ay 4+az3

Magnitud iquestradic29

b) Determine la razoacuten de incremento de V en el punto P en la direccioacuten hacia el punto Q(026)

PQ=OQminus 0P=aX (minus2 )+ay 3+az6=aPQ=PQ

radiciquestiquestiquest

La razon del incremento de V en P en direccion Q

Q= (nablaV ) APQ=17

(4+12+18 )=347

P2-21 Dado un campo vectorialF=ax xy+ay yzminusaz zx

a) calcule el flujo de salida total a traveacutes de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un veacutertice en el origen

Cara izquierda

y=0 ds=minusay dxdz

∬0

1

minus yzdxdz=0

Cara derecha

y=1 ds=a ydxdz

∬0

1

zdxdz=12

Cara de superior

z=1 ds=azdzdy

∬0

1

dxdyd=12

Cara inferior

z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0

Cara Frontal

x=1 ds=axdydz

∬0

1

ydydz=12

Cara posteriro

x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0

Sumando resultados

∮F sdot ds=32

b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia

nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz

intnablasdotFdv=∭0

1

( x+ y+z )dxdydz=32

P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la

regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4

Cara superior

( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds

A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π

Cara inferior

( z=0 ) A=ar r2 ds=azds

int A sdot ds=0

Recorrido

(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds

∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π

nablasdot A=3 r+2 intV

nablasdot Adv=int0

4

int0

2π

int0

5

(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds

P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z

a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy

int A sdot ds=int0

π2

int0

π2

az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ

R32πint0

π2

cosθ2 sin θdθ=23π R3

∮ A sdotds=23π R3

b) encuentre nablasdot A nablasdot A=

d A zd z

=d zd z

=1

c) verifique el teorema de la divergencia

intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds

P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ

a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura

Parte AB

r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ

intAB

F sdotd l=iquestint0

π2

cosɸdɸ=1iquest

Parte BC

ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r

intBC

F sdotd l=iquestint1

2

5 rdr=152

iquest

Parte CD

r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ

intCD

F sdotd l=iquestintπ2

0

8cos ɸdɸ=minus8iquest

Parte DA

intDA

F sdotd l=0

Por lo tanto

∮ABCDA

F sdotd l=1+ 152

minus8=12

b) calcule nabla X F

nabla X F=az1riquest

c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo

en la parte (a)

ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ

int (nablaX F ) sdotds=minusint1

2

r (3 rminus5 )drint0

π2

cosɸdɸ=12

P2-30 Dada una funcioacuten vectorial

F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)

a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL

nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y

part z )+ay ( partF x

part zminuspart F zpart x )+az( partF y

part xminuspartF zpart y )=0

b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal

TAMBIEN ES SOLENOIDAL

nabla X F=part Fxpart x

+part F y

part y+partF z

part z=0

partpartx

=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part

part z (2 xminusc3 y+c A z )=0

F=aR12

radicminus22+(minus42)+42=aR

126

=aR2

F y=2minus4

radicminus22+(minus42)+42=minus43

b) Encuentre el aacutengulo que forma F con el vector A=ax2minusay 3minusaz6 en P

aF=16 (ax 2minusa y 4minusaz6 )=13 (minusaxminusay2minusaz2)

a A=1

radic22+iquestiquestiquest

θFA 0cosminus1 ( Af sdot aA )=cosminus1 121 iquestiquest

P2-16 Dado un campo vectorial F=ax yminusa1 x Calcule la integral intF sdot d l desde P1 (21-1) hasta

P2 (82-1)

a) a lo largo de una liacutenea recta que une los dos puntos

x=6 yminus4 dx=6dyintP 2

P1

sdotErarr d l=int

1

2

[6 ydy+(6 yminus4 )]dy=14

b) a lo largo de una paraacutebola x=2 y2

x=2 y2 dx=4 ydy intP2

P1

sdotErarr d l=int

1

2

[4 y2dy+2 y2dy ]=14

iquestF es un campo conservativo Explique

La integral de liacutenea de dos puntos especiacuteficos no necesariamente es conservativa

sdotErarr Es un campo conservativo en este caso por que iquestErarr ⊳(xy+c )

P2-18 Dado el campo escalar V= 2xy ndash yz + xz

a) Determine el vector que representa la direccioacuten y la magnitud de la razoacuten de incremento maacutexima de V en el punto P(2-10)

nablaV=ax (2 y+z )+a y (2 xminusz )+az ( xminus y )=ax (minus2 )+ay 4+az3

Magnitud iquestradic29

b) Determine la razoacuten de incremento de V en el punto P en la direccioacuten hacia el punto Q(026)

PQ=OQminus 0P=aX (minus2 )+ay 3+az6=aPQ=PQ

radiciquestiquestiquest

La razon del incremento de V en P en direccion Q

Q= (nablaV ) APQ=17

(4+12+18 )=347

P2-21 Dado un campo vectorialF=ax xy+ay yzminusaz zx

a) calcule el flujo de salida total a traveacutes de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un veacutertice en el origen

Cara izquierda

y=0 ds=minusay dxdz

∬0

1

minus yzdxdz=0

Cara derecha

y=1 ds=a ydxdz

∬0

1

zdxdz=12

Cara de superior

z=1 ds=azdzdy

∬0

1

dxdyd=12

Cara inferior

z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0

Cara Frontal

x=1 ds=axdydz

∬0

1

ydydz=12

Cara posteriro

x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0

Sumando resultados

∮F sdot ds=32

b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia

nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz

intnablasdotFdv=∭0

1

( x+ y+z )dxdydz=32

P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la

regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4

Cara superior

( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds

A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π

Cara inferior

( z=0 ) A=ar r2 ds=azds

int A sdot ds=0

Recorrido

(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds

∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π

nablasdot A=3 r+2 intV

nablasdot Adv=int0

4

int0

2π

int0

5

(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds

P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z

a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy

int A sdot ds=int0

π2

int0

π2

az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ

R32πint0

π2

cosθ2 sin θdθ=23π R3

∮ A sdotds=23π R3

b) encuentre nablasdot A nablasdot A=

d A zd z

=d zd z

=1

c) verifique el teorema de la divergencia

intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds

P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ

a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura

Parte AB

r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ

intAB

F sdotd l=iquestint0

π2

cosɸdɸ=1iquest

Parte BC

ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r

intBC

F sdotd l=iquestint1

2

5 rdr=152

iquest

Parte CD

r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ

intCD

F sdotd l=iquestintπ2

0

8cos ɸdɸ=minus8iquest

Parte DA

intDA

F sdotd l=0

Por lo tanto

∮ABCDA

F sdotd l=1+ 152

minus8=12

b) calcule nabla X F

nabla X F=az1riquest

c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo

en la parte (a)

ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ

int (nablaX F ) sdotds=minusint1

2

r (3 rminus5 )drint0

π2

cosɸdɸ=12

P2-30 Dada una funcioacuten vectorial

F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)

a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL

nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y

part z )+ay ( partF x

part zminuspart F zpart x )+az( partF y

part xminuspartF zpart y )=0

b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal

TAMBIEN ES SOLENOIDAL

nabla X F=part Fxpart x

+part F y

part y+partF z

part z=0

partpartx

=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part

part z (2 xminusc3 y+c A z )=0

nablaV=ax (2 y+z )+a y (2 xminusz )+az ( xminus y )=ax (minus2 )+ay 4+az3

Magnitud iquestradic29

b) Determine la razoacuten de incremento de V en el punto P en la direccioacuten hacia el punto Q(026)

PQ=OQminus 0P=aX (minus2 )+ay 3+az6=aPQ=PQ

radiciquestiquestiquest

La razon del incremento de V en P en direccion Q

Q= (nablaV ) APQ=17

(4+12+18 )=347

P2-21 Dado un campo vectorialF=ax xy+ay yzminusaz zx

a) calcule el flujo de salida total a traveacutes de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un veacutertice en el origen

Cara izquierda

y=0 ds=minusay dxdz

∬0

1

minus yzdxdz=0

Cara derecha

y=1 ds=a ydxdz

∬0

1

zdxdz=12

Cara de superior

z=1 ds=azdzdy

∬0

1

dxdyd=12

Cara inferior

z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0

Cara Frontal

x=1 ds=axdydz

∬0

1

ydydz=12

Cara posteriro

x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0

Sumando resultados

∮F sdot ds=32

b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia

nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz

intnablasdotFdv=∭0

1

( x+ y+z )dxdydz=32

P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la

regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4

Cara superior

( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds

A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π

Cara inferior

( z=0 ) A=ar r2 ds=azds

int A sdot ds=0

Recorrido

(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds

∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π

nablasdot A=3 r+2 intV

nablasdot Adv=int0

4

int0

2π

int0

5

(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds

P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z

a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy

int A sdot ds=int0

π2

int0

π2

az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ

R32πint0

π2

cosθ2 sin θdθ=23π R3

∮ A sdotds=23π R3

b) encuentre nablasdot A nablasdot A=

d A zd z

=d zd z

=1

c) verifique el teorema de la divergencia

intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds

P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ

a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura

Parte AB

r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ

intAB

F sdotd l=iquestint0

π2

cosɸdɸ=1iquest

Parte BC

ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r

intBC

F sdotd l=iquestint1

2

5 rdr=152

iquest

Parte CD

r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ

intCD

F sdotd l=iquestintπ2

0

8cos ɸdɸ=minus8iquest

Parte DA

intDA

F sdotd l=0

Por lo tanto

∮ABCDA

F sdotd l=1+ 152

minus8=12

b) calcule nabla X F

nabla X F=az1riquest

c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo

en la parte (a)

ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ

int (nablaX F ) sdotds=minusint1

2

r (3 rminus5 )drint0

π2

cosɸdɸ=12

P2-30 Dada una funcioacuten vectorial

F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)

a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL

nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y

part z )+ay ( partF x

part zminuspart F zpart x )+az( partF y

part xminuspartF zpart y )=0

b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal

TAMBIEN ES SOLENOIDAL

nabla X F=part Fxpart x

+part F y

part y+partF z

part z=0

partpartx

=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part

part z (2 xminusc3 y+c A z )=0

Cara inferior

z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0

Cara Frontal

x=1 ds=axdydz

∬0

1

ydydz=12

Cara posteriro

x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0

Sumando resultados

∮F sdot ds=32

b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia

nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz

intnablasdotFdv=∭0

1

( x+ y+z )dxdydz=32

P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la

regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4

Cara superior

( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds

A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π

Cara inferior

( z=0 ) A=ar r2 ds=azds

int A sdot ds=0

Recorrido

(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds

∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π

nablasdot A=3 r+2 intV

nablasdot Adv=int0

4

int0

2π

int0

5

(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds

P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z

a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy

int A sdot ds=int0

π2

int0

π2

az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ

R32πint0

π2

cosθ2 sin θdθ=23π R3

∮ A sdotds=23π R3

b) encuentre nablasdot A nablasdot A=

d A zd z

=d zd z

=1

c) verifique el teorema de la divergencia

intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds

P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ

a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura

Parte AB

r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ

intAB

F sdotd l=iquestint0

π2

cosɸdɸ=1iquest

Parte BC

ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r

intBC

F sdotd l=iquestint1

2

5 rdr=152

iquest

Parte CD

r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ

intCD

F sdotd l=iquestintπ2

0

8cos ɸdɸ=minus8iquest

Parte DA

intDA

F sdotd l=0

Por lo tanto

∮ABCDA

F sdotd l=1+ 152

minus8=12

b) calcule nabla X F

nabla X F=az1riquest

c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo

en la parte (a)

ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ

int (nablaX F ) sdotds=minusint1

2

r (3 rminus5 )drint0

π2

cosɸdɸ=12

P2-30 Dada una funcioacuten vectorial

F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)

a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL

nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y

part z )+ay ( partF x

part zminuspart F zpart x )+az( partF y

part xminuspartF zpart y )=0

b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal

TAMBIEN ES SOLENOIDAL

nabla X F=part Fxpart x

+part F y

part y+partF z

part z=0

partpartx

=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part

part z (2 xminusc3 y+c A z )=0

Cara inferior

( z=0 ) A=ar r2 ds=azds

int A sdot ds=0

Recorrido

(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds

∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π

nablasdot A=3 r+2 intV

nablasdot Adv=int0

4

int0

2π

int0

5

(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds

P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z

a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy

int A sdot ds=int0

π2

int0

π2

az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ

R32πint0

π2

cosθ2 sin θdθ=23π R3

∮ A sdotds=23π R3

b) encuentre nablasdot A nablasdot A=

d A zd z

=d zd z

=1

c) verifique el teorema de la divergencia

intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds

P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ

a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura

Parte AB

r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ

intAB

F sdotd l=iquestint0

π2

cosɸdɸ=1iquest

Parte BC

ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r

intBC

F sdotd l=iquestint1

2

5 rdr=152

iquest

Parte CD

r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ

intCD

F sdotd l=iquestintπ2

0

8cos ɸdɸ=minus8iquest

Parte DA

intDA

F sdotd l=0

Por lo tanto

∮ABCDA

F sdotd l=1+ 152

minus8=12

b) calcule nabla X F

nabla X F=az1riquest

c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo

en la parte (a)

ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ

int (nablaX F ) sdotds=minusint1

2

r (3 rminus5 )drint0

π2

cosɸdɸ=12

P2-30 Dada una funcioacuten vectorial

F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)

a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL

nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y

part z )+ay ( partF x

part zminuspart F zpart x )+az( partF y

part xminuspartF zpart y )=0

b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal

TAMBIEN ES SOLENOIDAL

nabla X F=part Fxpart x

+part F y

part y+partF z

part z=0

partpartx

=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part

part z (2 xminusc3 y+c A z )=0

c) verifique el teorema de la divergencia

intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds

P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ

a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura

Parte AB

r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ

intAB

F sdotd l=iquestint0

π2

cosɸdɸ=1iquest

Parte BC

ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r

intBC

F sdotd l=iquestint1

2

5 rdr=152

iquest

Parte CD

r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ

intCD

F sdotd l=iquestintπ2

0

8cos ɸdɸ=minus8iquest

Parte DA

intDA

F sdotd l=0

Por lo tanto

∮ABCDA

F sdotd l=1+ 152

minus8=12

b) calcule nabla X F

nabla X F=az1riquest

c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo

en la parte (a)

ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ

int (nablaX F ) sdotds=minusint1

2

r (3 rminus5 )drint0

π2

cosɸdɸ=12

P2-30 Dada una funcioacuten vectorial

F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)

a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL

nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y

part z )+ay ( partF x

part zminuspart F zpart x )+az( partF y

part xminuspartF zpart y )=0

b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal

TAMBIEN ES SOLENOIDAL

nabla X F=part Fxpart x

+part F y

part y+partF z

part z=0

partpartx

=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part

part z (2 xminusc3 y+c A z )=0

Por lo tanto

∮ABCDA

F sdotd l=1+ 152

minus8=12

b) calcule nabla X F

nabla X F=az1riquest

c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo

en la parte (a)

ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ

int (nablaX F ) sdotds=minusint1

2

r (3 rminus5 )drint0

π2

cosɸdɸ=12

P2-30 Dada una funcioacuten vectorial

F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)

a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL

nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y

part z )+ay ( partF x

part zminuspart F zpart x )+az( partF y

part xminuspartF zpart y )=0

b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal

TAMBIEN ES SOLENOIDAL

nabla X F=part Fxpart x

+part F y

part y+partF z

part z=0

partpartx

=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part

part z (2 xminusc3 y+c A z )=0

P2-30 Dada una funcioacuten vectorial

F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)

a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL

nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y

part z )+ay ( partF x

part zminuspart F zpart x )+az( partF y

part xminuspartF zpart y )=0

b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal

TAMBIEN ES SOLENOIDAL

nabla X F=part Fxpart x

+part F y

part y+partF z

part z=0

partpartx

=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part

part z (2 xminusc3 y+c A z )=0