82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq
DESCRIPTION
Belajar matematika dengan rumus cepat kreatif APIQ. Bukti limit tak hingga yang mudah dan jelas. Anda dapat menjadi jago matematika bersama APIQ.TRANSCRIPT
![Page 1: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Inovasi Pembelajaran Matematika Kreatif
Pembuktian Limit Terpenting
![Page 2: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/2.jpg)
Perhatikan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2 meter dan selalu memantul ½ dari tinggi semula sampai akhirnya bola berhenti di atas lantai.
2m 1m
½ m
¼ m … … …
![Page 3: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/3.jpg)
2m 1m
½ m
¼ m … … …
Tinggi puncak bola dari awal dan setelah memantul adalah: 2, 1, ½, ¼, 1/8,…
Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, 1 + ½ + ¼ + … … … “BIRU”
“ORANGE”
![Page 4: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/4.jpg)
2m 1m
½ m
¼ m … … …
Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, akhirnya berhenti:
1 + ½ + ¼ + … … … =
“BIRU”
2 (tinggi semula)
![Page 5: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Contoh Lagi
![Page 6: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/6.jpg)
Perhatikan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 32 cm dan selalu memantul ¼ dari tinggi semula sampai akhirnya bola berhenti di atas lantai.
32 24
6 = 24/4
6/4 = 1,5 … … …
![Page 7: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/7.jpg)
32 24
6 = 24/4
6/4 = 1,5 … … …
Tinggi puncak bola dari awal dan setelah memantul adalah: 32, 8, 2, 1/2, 1/8,…
Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, 24 + 6 + 6/4 + … … … “BIRU”
“ORANGE”
![Page 8: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/8.jpg)
32 24
6 = 24/4
6/4 = 1,5 … … …
Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, akhirnya berhenti,
24 + 6 + 6/4 + … … …“BIRU”
= 32
![Page 9: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Contoh Umum
![Page 10: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/10.jpg)
Perhatikan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian S dan selalu memantul r dari tinggi semula sampai akhirnya bola berhenti di atas lantai.
S
Sr
a = S - Sr
ar
arr … … …
a = S(1 – r)
a/(1 – r) = S
S = a 1 – r
![Page 11: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/11.jpg)
6 + 2 + 2/3 + 2/9 + … … … = ?
r = 2/6 = 1/3
S=…
a = 6
1/3 ∞
1/3 ∞
1/3 ∞ = 3
= 3
= 3S=… 9
![Page 12: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/12.jpg)
12 + 4 + 4/3 + 4/9 + … … … = ?
r = 4/12 = 1/3
S=…
a = 12
1/3 ∞
1/3 ∞
1/3 ∞ = 6
= 6
= 6S=… = 18
![Page 13: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/13.jpg)
30 + 10 + 10/3 + 10/9 + … … … = ?
r = 4/12 = 1/3
S=…
a = 30
1/3 ∞
1/3 ∞
1/3 ∞ = 15
= 15
= 15S=… = 45
![Page 14: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/14.jpg)
24 + 12 + 6 + 3 + 3/2 + … … … =
r = 12/24 = ½
S = …
24
½ ∞
½ ∞ = 24
= 24 S = … = 48
S = a/(1 - r)
= 24/(1 – ½)
= 48
![Page 15: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/15.jpg)
8 + 4 + 2 + 1 + 1/2 + … … … =
r = 4/8 = ½
S = …
8
½ ∞
½ ∞ = 8
= 8 S = … = 16
S = a/(1 - r)
= 8/(1 – ½)
= 16
![Page 16: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Contoh Umum
![Page 17: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/17.jpg)
20 + 4 + 4/5 + 4/25 + … … … = ?
r = 4/20 = 1/5
S=…
a = 20
1/5 S
4/5 S = 20
= 5S=… = 25
S = a/(1 - r)
= 20/(1 – 1/5)
= 25
![Page 18: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/18.jpg)
40 + 8 + 8/5 + 8/25 + … … … = ?
r = 8/40 = 1/5
S=…
a = 40
1/5 S
4/5 S = 40
= 10S=… = 50
S = a/(1 - r)
= 40/(1 – 1/5)
= 50
![Page 19: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/19.jpg)
15 + 3 + 3/5 + 3/25 + … … … = ?
r = 3/15 = 1/5
S=…
a = 40
1/5 S
4/5 S = 15
= 15/4S=… = 75/4
S = a/(1 - r)
= 15/(1 – 1/5)
= 75/4
![Page 20: 82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/555532d1b4c905bd678b49d4/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Keterangan