Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σχολή Θετικών Επιστημών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

Στοχαστική Ανάλυση – 2η Άσκηση Διδάσκουσα: Ελισάβετ Κωνσταντίνου, Επικ. Καθηγήτρια

Ζήτημα 1 (2 μονάδες) Έστω }0),({ ttN μια διαδικασία Poisson και s < t. Δείξτε ότι:

knk

t

s

t

s

k

nntNksNP

1})(|)({ για k=0,1,…,n.

Ζήτημα 2 (1.5 μονάδα) Φοιτητές εισέρχονται σε ένα αμφιθέατρο από τις εισόδους 1 και 2. Το

πλήθος των φοιτητών που εισέρχονται στο αμφιθέατρο αποτελεί δύο ανεξάρτητες διαδικασίες

Poisson με ρυθμούς 5,01 και 5,12 φοιτητές ανά λεπτό.

(α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να μην μπει κανένας φοιτητής στο αμφιθέατρο σε ένα διάστημα

3 λεπτών.

(β) Να υπολογίσετε το μέσο χρόνο μεταξύ των αφίξεων των φοιτητών στο αμφιθέατρο.

Ζήτημα 3 (2.5 μονάδες) Οι αμαξοστοιχίες του «Ηλεκτρικού» και του ΜΕΤΡΟ φτάνουν ανεξάρτητα

στο σταθμό «Μοναστηράκι» ακολουθώντας και οι δύο διαδικασία Poisson. Κατά μέσο όρο φτάνει μία

αμαξοστοιχία του «Ηλεκτρικού» κάθε 12 λεπτά και μία αμαξοστοιχία του ΜΕΤΡΟ κάθε 8 λεπτά.

Υποθέστε ότι φτάνετε στο σταθμό μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή και παρακολουθείτε τα τρένα.

(α) Να βρεθεί η πιθανότητα να φτάσουν ακριβώς 2 τρένα του «Ηλεκτρικού» μέσα στα επόμενα 24

λεπτά και ακριβώς 3 τρένα του ΜΕΤΡΟ μέσα στα επόμενα 36 λεπτά.

(β) Να βρεθεί ο μέσος χρόνος αναμονής, μέχρι την άφιξη του τρίτου τρένου του «Ηλεκτρικού».

(γ) Να βρεθεί η πιθανότητα ο χρόνος μεταξύ της άφιξης του δεύτερου και του τρίτου τρένου του

ΜΕΤΡΟ να ξεπερνά τα 10 λεπτά.

(δ) Να βρεθεί η πιθανότητα να φτάσουν το πολύ 2 τρένα στο σταθμό μέσα στα επόμενα 10 λεπτά.

(ε) Να βρεθεί ο μέσος χρόνος αναμονής μέχρι την άφιξη του πρώτου τρένου, οποιουδήποτε είδους.

Ζήτημα 4 (2 μονάδες) Η ιστοσελίδα ενός καθηγητή δέχεται επισκέψεις φοιτητών σύμφωνα με μία

διαδικασία Poisson με ρυθμό 10 επισκέψεις ανά ημέρα. Εκτός των φοιτητών, την ιστοσελίδα

επισκέπτονται και οι συνάδελφοί του (σύμφωνα πάλι με μια διαδικασία Poisson) με ρυθμό 2

επισκέψεις την ημέρα.

(α) Ποια η πιθανότητα οι επισκέψεις να υπερβαίνουν τις 10 μία ημέρα;

(β) Ποια η πιθανότητα κανένας φοιτητής να μην επισκεφθεί την ιστοσελίδα σε διάστημα 10 ωρών;

(γ) Αν υποθέσουμε ότι κάθε φοιτητής που επισκέπτεται την ιστοσελίδα, πατάει τον σύνδεσμο με τις

δημοσιεύσεις του καθηγητή με πιθανότητα 2/5, ποια η πιθανότητα μέσα σε μια ημέρα, μόνο ένας

φοιτητής να έχει πατήσει το συγκεκριμένο σύνδεσμο;

Ζήτημα 5 (2 μονάδες) Έστω μια διαδικασία Poisson με ρυθμό λ. Αν η τυχαία μεταβλητή Ν μετρά

τον αριθμό των γεγονότων στο διάστημα [0, t] και η τυχαία μεταβλητή Μ μετρά τον αριθμό των

γεγονότων στο διάστημα [0, t+s], βρείτε την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των τυχαίων

μεταβλητών Ν και Μ, pN, M(n,m) καθώς και τις αναμενόμενες τιμές Ε[Ν + Μ] και Ε[ΝΜ].

Παράδοση: Η εργασία θα παραδοθεί την Παρασκευή 7 Δεκεμβρίου, την ώρα του φροντιστηρίου του

μαθήματος (09:00 – 11:00). Καμία εργασία δεν θα γίνει δεκτή μετά το πέρας του μαθήματος. Όσοι

επιθυμούν να στείλουν την εργασία ηλεκτρονικά, θα πρέπει μέχρι την Πέμπτη 6 Δεκεμβρίου και

ώρα 11:00 να την έχουν αποστείλει στην ηλεκτρονική διεύθυνση της διδάσκουσας.

Καλή Επιτυχία!