8) Rette Perpendicolari

6) Passante per l’origine degli assi

3) Coefficiente angolare

9) Parallela all’asse delle X

7) Rette Parallele

5) Assi cartesiani

4) Ordinata all’origine

1)

Luogo geometrico

10) Parallela all’asse delle y

11) Intersezioni fra rette

Fine

2) Equazione della retta

Possono essere definiti come luoghi geometrici la retta, l’asse di un segmento, la parabola ecc..

La retta è il luogo geometrico degli

infiniti punti

tutti allineati fra di loro

x

y

È l’insieme di tutti i punti del piano che soddisfano una stessa

proprietà.

L’asse di un segmento può essere definito come

il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.

A BM

La parabola è definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti da un

punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.

Equazione della retta

Equazione della retta

Ogni retta del Piano si puòconsiderare

come il grafico di una equazione

del tipo:ax + by + c = 0

Ogni equazione di 1° grado,in due variabili x e y,

ha come grafico una retta

EQUAZIONE DI UNA RETTA

Forma ESPLICITA

Forma IMPLICITA

ax + by + c = 0

y = m x + q

Y = - a/b x – c/b

m = coefficiente angolare

q = intercetta

L’INCLINAZIONE PUO’ ESSERE

NEGATIVAPOSITIVA

m > 0 m < 0

Il coefficiente angolare di una retta rappresenta la sua

inclinazione

Nulla

m = 0

y

x

L’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse x è minore di 90°

a < 90°

Inclinazione positiva

y

x

L’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse x è maggiore di 90°

a > 90°

Inclinazione negativa

M=0

Se M=0 la retta sarà parallela all’asse delle x

x

y

Inclinazione nulla

Retta passante per l’origine degli assiRetta passante per l’origine degli assi

EQUAZIONE BISETRICI

Una retta passante per l’origine ha equazione

y = mx (q = 0)

x

y

o

Y = X

y

y

x x

Ⅱ

Ⅳ

Ⅰ

Ⅲ

Y = - XY = - X

Bisettrice del I e III quadrante

Bisettrice del II e IV quadrante

La bisettrice è il luogo dei punti equidistanti da

due rette incidenti

RETTE PARALLELERETTE PARALLELE

COEFFICIENTEANGOLARE

Due rette Due rette sono sono

parallele parallele quando quando non si non si

incontranincontrano mai e o mai e

mantengmantengono ono

sempre la sempre la stessa stessa

distanzadistanza

FASCIO IMPROPRIO DI RETTE

Se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare sono

parallele

Se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare sono

parallele

x

y

x

m1= m2 r 1||r2

r1 ) y = m1x + q r2) y = m2x + q

Una serie infinita di rette parallele forma un FASCIO

IMPROPRIO

Una serie infinita di rette parallele forma un FASCIO

IMPROPRIO

x

y La sua equazione è y – y0 = m(x

– x0)

La sua equazione è y – y0 = m(x

– x0)

Una retta è parallela all’asse delle ascisse (X) quando nella

sua equazione manca il termine con la X(a=0), quindi il suo

coefficiente angolare (m= - a/b) è uguale a zero.

Esempio

Retta parallela all’asse delle x

X

Y

Retta parallela all’asse delle ascisse XRetta parallela all’asse delle ascisse Xby + c = 0by + c = 0

Esempio

y= 3

x y

1

2

3

3 Retta y = 3

1 2

3

x

y

• Equazione completa di una retta in forma esplicita: Y = mx +

q• Equazione di una retta parallela all’asse delle ascisse: y =

qy = q

Retta parallela all’asse yRetta parallela all’asse y

Retta parallela all’asse delle yRetta parallela all’asse delle y

Una retta è parallela

all’asse delle y quando nella sua equazione manca il

termina con la y

perché b = 0

ax+c=0 b=0

x

y

r

La retta non incontrerà mai l’asse delle y pertanto né il

suo coefficiente angolare m = - a/b , né la sua intercetta q =

- c/b sono calcolabili

Esempio

Esempio

x = 3

x y

3

3

1

2

• Equazione completa di una retta in forma implicita: bY + c =

0• Equazione di una retta parallela all’asse delle ordinate: ax + c =

0ax + c = 0

3

1

2

x

y

Rette perpendicolari

Rette perpendicolari

Rette perpendicolari:Rette perpendicolari:

Due rette sono perpendicolari quando incontrandosi formano

Angoli di 90°

y

X

90°

90°

Quando due rette sono perpendicolari il prodotto

dei loro coefficienti angolariè uguale a - 1

Quando due rette sono perpendicolari il prodotto

dei loro coefficienti angolariè uguale a - 1

Due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari uno l’opposto

dell’inverso dell’altro

Due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari uno l’opposto

dell’inverso dell’altro

ESEMPIO

r1) Y = 2X – 3 r2) Y = - 1/2 X + 5

m1 = 2 m2 = -1/2

m1 * m2 = - 1

y

X

Sono due rette orientate e

perpendicolari

Le frecce indican

o il verso

positivo degli assi

y

x

Asse delle y

o asse delle

ordinate

X

y

Su di essa si misura la distanza del punto dall’asse delle ascisse

y

La sua equazione è

x = 0

Asse delle x

o asse delle

ascisse

X

y

Su di essa si misura la

distanza del punto dall’asse

delle ordinate

x

La sua equazione

è y = 0

Punto d’intersezione Sistema di equazione

Intersezione fra rette

Fascio proprio di rette

Il Punto di intersezione fra rette è il punto nel quale

esse si incontrano

Il Punto di intersezione fra rette è il punto nel quale

esse si incontrano

x0

y0

Rette incidenti nel punto

P = (x0;y0)P

x

y

Per determinare il punto di intersezione fra rette è necessario risolvere il sistema fra le equazioni delle rette stesse

Rette incidenti nel punto P=(x0;y0)

Il sistema si dice DETERMINATO

Rette parallele:

il sistema si dice IMPOSSIBILE

Rette coincidenti:

il sistema si dice INDETERMINATO x

y

x

y

x0

y0

P

x

y

È l ’insieme di tutte le retteChe passano per uno stesso

Punto (x0 ; y0)

Equazione del fascio: y - y0=m (x - x0)

xx0

y0

y

Ordinata all’Origine

Ordinata all’Origine

L’intercetta è l’ordinata all’origine cioè il punto di intersezione tra retta e

asse y

L’intercetta è l’ordinata all’origine cioè il punto di intersezione tra retta e

asse y

intercetta

intercetta qq

y = m x + y = m x + qq

y = m x + y = m x + qq

TERMINE NOTO TERMINE NOTO DELL’EQUAZIONE DI DELL’EQUAZIONE DI UNA UNA RETTA IN FORMA RETTA IN FORMA ESPLICITAESPLICITA

TERMINE NOTO TERMINE NOTO DELL’EQUAZIONE DI DELL’EQUAZIONE DI UNA UNA RETTA IN FORMA RETTA IN FORMA ESPLICITAESPLICITA

Esempio

2x -3y – 6 = 0 Forma implicita

Y = 2/3 x – 2 Forma esplicita

-1

-2

1 2 3

intercetta

x

y

2x - 3y –

6 = 0