8 iuh theory-ci

Riccardo Rigon

L’idrogramma Istantaneo UnitarioT

he

Gre

at W

ave

off

Kan

agaw

a, H

oku

sai

18

23

Tuesday, March 27, 12

E mormora e urla, sussurra, ti parla e ti schianta,evapora in nuvole cupe e di neroe cade e rimbalza e si muta in persona od in piantadiventa di terra, di vento, di sangue e pensiero.

(Francesco Guccini)


Riccardo Rigon

3

Obiettivi

Introduzione


Riccardo Rigon

3

Obiettivi

• Nella lezione si introdurrà la trattazione delle piene fluviali secondo la teoria dell’idrogramma istantaneo unitario.

• Si parla delle ipotesi di linearità ed invarianza

• Si introduce il concetto di tempo di residenza

Introduzione


Riccardo Rigon

4

Cos’e’ una piena ?

0200

400

600

800

1000

1200

1400

Anno

Port

ate

m^3/s

1990 1995 2000 2005

Introduzione


Riccardo Rigon

5

Cos’e’ una piena ?

0200

400

600

800

1000

1200

1400

Anno

Port

ate

m^3/s

1990 1995 2000 2005

Introduzione


Riccardo Rigon

6

Aft

er D

ood

ge

Introduzione


Riccardo Rigon

7

La risposta idrologica in un bacino

Previsione delle precipitazioni

Calcolo del deflusso superficiale

Aggregazione del deflusso

Propagazione del deflusso

Introduzione


Riccardo Rigon

8

La risposta idrologica in un bacino

•Supponiamo nota la distribuzione delle precipitazioni e la loro natura

•Supponiamo risolto il problema della determinazione del deflusso efficace

Aggregazione del deflusso

Propagazione del deflusso

Introduzione


Riccardo Rigon

9

Durante eventi di piena

•L’evapotraspirazione si può ignorare (ciò che è rilevante è incluso

nelle condizioni iniziali)

•si può semplificare il meccanismo di produzione del deflusso

superificiale (e supporre di conoscere il coefficiente di deflusso)

•la celerità dell’onda di piena si può tenere (come prima

approssimazione) costante

•Gran parte dell’idrogramma di piena è spiegata dalla geometria e

dalla topologia del bacini (oltre che dalla variabilità spazio-temporale

delle precipitazioni)

Introduzione


Riccardo Rigon

10

Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH

Discutiamo qui di una forma moderna della teoria dell’idrogramma istantaneo unitario

IUH


Riccardo Rigon

10



Portata alla sezione di chiusura

IUH


Riccardo Rigon

10




Idrogramma istantaneo unitario

IUH


Riccardo Rigon

10




Idrogramma istantaneo unitario

Precipitazione efficace

IUH


Riccardo Rigon

11

IUH


Riccardo Rigon

11

Pioggia efficaceJeff

IUH


Riccardo Rigon

11

IUH

Aggregazione dei deflussi

Onda diffusiva


IUH


Riccardo Rigon

11

IUH

Aggregazione dei deflussi

Onda diffusiva


IUH

Portata


Riccardo Rigon

12

Caratteristiche dell’idrogramma istantaneo unitario

E’ lineare perchè, se si moltiplica per n la precipitazione efficace, la portata aumenta di proporzionalmente.

J�eff (�) = n Jeff (�)

IUH: linearità


Riccardo Rigon

13


E’ lineare perchè, se si moltiplica per n la precipitazione efficace, la portata aumenta di proporzionalmente.

IUH: linearità


Riccardo Rigon

14


Invarianza temporale

tempo

Portata

tempo

precipitazione

Out[465]=

IUH: invarianza


Riccardo Rigon

15


tempo

Portata

Out[409]=

tempo

precipitazione

IUH: linearità e invarianza


Riccardo Rigon

16


tempo

Portata

Out[413]=

tempo

precipitazione



Riccardo Rigon

17


tempo

Portata

Out[414]=

tempo

precipitazione



Riccardo Rigon

18


Linearità e Invarianza

tempo

Portata

Out[409]= Out[413]= Out[414]=+ +

tempo

precipitazione



Riccardo Rigon

19



tempo

tempo

precipitazione

Portata

Out[422]=

tempo

precipitazione



Riccardo Rigon

20



tempo

Portata

tempo

precipitazione

Out[426]=



Riccardo Rigon

21


e’ la funzione impulso o “delta di Dirac”�

IUH: unitarietà


Riccardo Rigon

22

�(⇥)

IUH: unitarietà


Riccardo Rigon

23

-4 -2 0 2 4

05

10

15

20

Delta function

t

density

IUH: unitarietà


Riccardo Rigon

24


Inoltre:

IUH: unitarietà


Riccardo Rigon

25


Se la precipitazione è di intensità costante, p, in

un intervallo temporale di durata tp , allora

che diviene

IUH: impulso costante


Riccardo Rigon

26

L’integrale dell’idrogramma unitario ha una forma ad S

Ed è chiamato S-Hydrograph (qui rappresentato moltiplicato per l’area contribuente totale)



Riccardo Rigon

27

Out[395]=

Out[396]=

IUH(t)

S(t)

t

t

1

L’integrale dell’idrogramma ha una forma ad S



Riccardo Rigon

28

Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza

Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980

Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH

IUH: tempi di residenza


Riccardo Rigon

29


t1

Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980



Riccardo Rigon

30


t2




Riccardo Rigon

31


t3




Riccardo Rigon

32


t4




Riccardo Rigon

33


t5




Riccardo Rigon


34

t1t2

t3

t4

t5



Riccardo Rigon

35


v(t) =�

k

vkIk(t)

Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza

Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980



Riccardo Rigon

36


v(t) =�

k

vkIk(t)

Il volume v(t) rappresenta inoltre un rapporto tra casi favorevoli (volumi

presenti all'interno del bacino) e casi totali (il numero totale di eventi

possibili), cioè il numero totale di volumi , ed è pertanto, nel limite di un

numero di volumi infinito la probabilità che i volumi siano interni al bacino.

Piu’ precisamente, v(t) è numericamente uguale alla probabilità, P[T >t], che il

tempo di residenza dell'acqua all'interno del bacino sia superiore al tempo

corrente, t.



Riccardo Rigon

37


Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere:

dv

dt=

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)



Riccardo Rigon

37



dv

dt=

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

La variazione di volume d’acqua nel tempo eguaglia la probabilità di superamento del tempo di residenza



Riccardo Rigon

38



dv

dt=

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)



Riccardo Rigon

38



dv

dt=

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Variazione di volume (nel tempo) all’interno del bacino



Riccardo Rigon

38



dv

dt=

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Variazione di volume (nel tempo) all’interno del bacino

Ciò che entra - ciò che esce



Riccardo Rigon

39



dv

dt=

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)



Riccardo Rigon

39



dv

dt=

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Precipitazione efficace istantanea ed unitaria



Riccardo Rigon

39



dv

dt=

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Precipitazione efficace istantanea ed unitaria

Portata in uscita corrispondentead una precipitazione in entrata

istantanea ed unitaria



Riccardo Rigon

40


Integrando risulta allora

P [T > t] =� t

0�(t)dt�

� t

0IUH (t)dt

Ovvero

P [T < t] =� t

0IUH (t)dt

dalle definizioni segue allora che lo S hydrograph è una probabilità (il che ne spiega compiutamente la forma).



Riccardo Rigon

41



P [T > t] =� t

0�(t)dt�

� t

0IUH (t)dt

Ovvero

P [T < t] =� t

0IUH (t)dt




Riccardo Rigon

41



P [T > t] =� t

0�(t)dt�

� t

0IUH (t)dt

Ovvero

P [T < t] =� t

0IUH (t)dt


Questo vale 1 per definizione



Riccardo Rigon

42


Derivando ambo i membri dell’equazione risulta allora

pdf(t) = IUH(t)

che è quanto volevamo dimostrare



Riccardo Rigon

43

Il problema successivo è quello di capire che cosa è la distribuzione di probabilità

e come si può determinare nei casi di interesse



Riccardo Rigon

44

Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - Osservazioni

IUH(t) =1�

e�t/�

dove λ e’ un parametro NON determinato apriori ma a posteriori, dopo una operazione di “calibrazione”

I - Assumendo per vera la teoria che si è sviluppata, tutto passa per la determinazione di una densità di probabilità. In genere, considerazioni di natura dinamica portano ad identificare non una distribuzione, ma una famiglia di distribuzioni, per esempio:

Esempi


Riccardo Rigon

45

• Se x1=0 e x2=tc allora, la probabilità (lo S-Hydrograph) è :

Distribuzione Uniforme

P [T < t; tc] =� t

tc0 < t < tc

1 t � tc

• tc è detto tempo di corrivazione e il modello idrologico che ne risulta è il modello “cinematico”.

Esempi


Riccardo Rigon

46

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tempo di residenza [h]

P[T<t;uniforme(0,1)]


tempo di corrivazione

Esempi


Riccardo Rigon

47

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


P[T<t;uniforme(0,1)]



Esempi


Riccardo Rigon

48

Idrogramma “cinematico”

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Time [h]

Dis

charg

e for

unit A

rea a

nd u

nit p

recip

itation

durata della precipitazione


I volumi di precipitazione

efficace crescono con

la durata con un

andamento in

accordo alle curve di

possibilità

pluviometrica

Osservazioni:

Esempi


Riccardo Rigon

49

Idrogramma “cinematico”

Osservazioni:

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Time [h]

Dis

charg

e for

unit A

rea a

nd u

nit p

recip

itation

• Per durate di precipitazione inferiori al tempo di corrivazione la portata sale linearmente e h a u n p i c c o p e r a l l a f i n e d e l l a precipitazione. La portata di picco perdura sino al tempo di corrivazione e poi decresce

• Per durate di precipitazioni superiori al tempo di corrivazione la portata di picco si r a g g i u n g e c o m u n q u e a l t e m p o d i corrivazione e perdura sino al termine della precipitazione per poi descrescere.

Esempi


Riccardo Rigon

50

Distribuzione Esponenziale

�dove è il tempo medio di residenza

pdf(t;�) =1�

e�t/� H(t)

Esempi


Riccardo Rigon

51


e il modello che ne risulta è quello noto come modello dell’invaso lineare.

P [T < t;�] = (1� e�t/�)

Esempi


Riccardo Rigon

52

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


P[T<t;exp(1)]


Esempi


Riccardo Rigon

53

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Pro

babili

t.. E

sponezia

le


Esempi


Riccardo Rigon

54

Idrogramma “dell’invaso lineare”

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Time [h]

Dis

charg

e for

unit A

rea a

nd u

nit p

recip

itation


I volumi di precipitazione

efficace crescono con

la durata

Osservazioni:

Esempi


Riccardo Rigon

55

Idrogramma “dell’invaso lineare”

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Time [h]

Dis

charg

e for

unit A

rea a

nd u

nit p

recip

itation


I volumi di precipitazione,

com e la durata, sono

costanti.

Osservazioni:

Esempi


Grazie per l’Attenzione


L’idrogramma instantaneo unitariogeomorfologico

Riccardo Rigon

Shozo S

him

amoto


Riccardo Rigon

58

Obiettivi

Introduzione


Riccardo Rigon

58

Obiettivi

• Si introduce il concetto di idrogramma istantaneo unitario geomorfologico.

• Si discute della partizione del bacino in parti idrologicamente simili

• Si introducono le teorie dello GIUH basate sulla funzione di ampiezza

Introduzione


Riccardo Rigon

59

Il carattere statistico dell’idrogramma unitario ha due conseguenze rilevanti:

I - Un problema di rappresentatività del campione statistico (ovvero della

definizione di una struttura areale minima in cui il sistema sia ergodico).

Tecnicamente si parla di REA Rapresentative Elementary Area. In ogni caso le

incertezze nella previsione sono tanto maggiori quanto più piccolo è il

sistema

Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - Osservazioni

Introduzione


Riccardo Rigon

60

Tre sono gli elementi principali dell'analisi geomorfologica dei bacini:

GIUH

1. La dimostrazione dell'equivalenza rigorosa tra funzioni di distribuzione dei

tempi di residenza all'interno di un bacino e idrogramma istantaneo unitario,

mostrata nel capitolo precedente;

2. La partizione del bacino in unità idrologicamente distinte e la traduzione

formale delle relazioni esistenti tra queste parti (usualmente denominate “stati”)

ciascuna caratterizzata da una propria distribuzione dei tempi di residenza in

quella che usualmente si identifica con l'acronimo GIUH (idrogramma istantaneo

unitario geomorfologico, Instantaneous Geomorphic Unit Hydrograph). Questa

operazione consiste essenzialmente nella scrittura formale dell'equazione di

continuità per un bacino spazialmente articolato e complesso.

Introduzione


Riccardo Rigon

61

3.La determinazione della forma funzionale delle singole

distribuzioni dei tempi di residenza in base a considerazioni

sull'idraulica dei moti in ambiente naturale e alle caratteristiche

geometriche che regolano il moto.

GIUH

Introduzione


Riccardo Rigon

62

La ripartizione del bacino parte dell’identificazione del reticolo idrografico

GIUH - Partizione del bacino in aree idrologicamente simili

Introduzione


Riccardo Rigon

63

Prosegue con la identificazione delle aree drenanti in ciascuna porzione di

area.


Una partizione dei bacini idrografici


Riccardo Rigon

64


Rinaldo, Geomorphic Flood Research, 2006

Una partizione dei bacini idrografici


Riccardo Rigon

65

Nel bacino precedente sono identificate cinque aree scolanti (Ai) e di

conseguneza cinque percorsi delle acque:

A1 � c1 � c3 � c5 � �A2 � c2 � c3 � c5 � �

A3 � c3 � c5 � �A4 � c4 � c5 � �

A5 � c5 � �


Ogni percorso e’ suddiviso in tratti e i ci rappresentano tratti di canale tra

due successivi affluenti.

L’identificazione dei percorsi


Lezioni di Costruzioni Idrauliche 2008-2009

Riccardo Rigon

66

GIUH - Partizione del bacino in aree idrologicamente simili (bacini urbani)



Riccardo Rigon

67




Riccardo Rigon

68



Riccardo Rigon

69


A1 � c1 � c3 � c5 � �

L’area scolante:

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00

6L’identificazione dei percorsi


Riccardo Rigon

70


A1 � c1 � c3 � c5 � �

Il tratto di rete di testa:

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00



Riccardo Rigon

71


A1 � c1 � c3 � c5 � �

il primo tratto di canale:

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00



Riccardo Rigon

72


Nella scelta della partizione vi è, naturalmente

un certo arbitrio nella tasselazione del bacino,

ma la scelta, in generale dovrebbe essere fatta

su motivate quest ioni dinamiche e/o

geomorfologiche. La suddivisione appena

attuata, in particolare, assume che:

•il deflusso nei versanti sia descritto da una

distribuzione dei tempi di residenza distinta dal

deflusso nei canali

•Che il deflusso nei versanti dipenda dall’area

scolante

•Che il deflusso nei canali dipenda dalla

lunghezza dei canali.

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00



Riccardo Rigon

73

=

+ +

+ +

La linearità implica l’IUH complessivo

si ottiene dalla somma dei singoli IUH

L’identificazione dei percorsi


Riccardo Rigon

74

GIUH - Composizione dei tempi di residenza

La partizione assume anche che i tempi di

residenza in ogni “stato” identificato in ogni

percorso possano essere “composti”. Il tempo di

residenza totale (come variabile aleatoria) nel

percorso in figura è allora assegnato come:

T1 = TA1 + Tc1 + Tc3 + Tc5

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00

6La distribuzione dei tempi di residenza in un singolo percorso


Riccardo Rigon

75

T1 non è un numero ma una variabile che può

assumere diversi valori, a seconda dei valori

campionati nei processi componenti (A1, C1,

C3,C5). Di questa variabile, si può pero’

conoscere la distribuzione, nell’ipotesi di

indipendenza stocastica dei singoli eventi. In

questo caso:

pdfT1(t) = (pdfA1 � pdfc1 � pdfc3 � pdfc5)(t)

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00

6


La distribuzione dei tempi di residenza in un singolo percorso


Riccardo Rigon

76

Quella sopra è una scrittura formale che dice:

La distribuzione dei tempi di residenza del

percorso è uguale alla convoluzione delle

distribuzioni dei tempi di residenza nei singoli

stati.

pdfT1(t) = (pdfA1 � pdfc1 � pdfc3 � pdfc5)(t)

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00

6




Riccardo Rigon

77

L’operazione di convoluzione, assegnate due distribuzion, i.e. pdfA1(t) e

pdfC1(t) è definita da:

Se consideriamo una terza distribuzione, i.e. pdfC3(t)

pdfA1⇥C1(t) := (pdfA1 ⇥ pdfc1)(t) =� t

�⇤pdfA1(t� �) pdfc1(�)d�

pdfA1�C1�C3(t) := (pdfA1 � pdfc1 � pdfc1)(t) =� t

�⌅pdfA1⇥C1(t� � ⇤) pdfc3(�

⇤)d� ⇤

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00

6




Riccardo Rigon

78

Ecco tutti i percorsi. Una delle ipotesi su

cui si fonda l’idrogramma istantaneo

unitario è quello di considerare che il

contributo dei singoli percorsi si ottenga

come sovrapposizione lineare (somma) dei

singoli contributi:

GIUH(t) =N�

i=1

pi pdfi(t)

dove N e’ il numero di percorsi, pdfi(t) la

distribuzione dei tempi di residenza relativi

a ciascun percorso e pi la probabilità che i

volumi di precipitazione cadano nel percorso i-esimo

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00

6




Riccardo Rigon

79

GIUH(t) =N�

i=1

pi pdfi(t)

nel caso di precipitazioni uniformi pi

coincide con la frazione di area relativa al

percorso i-esimo.

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00

6


Tutto insieme !


Riccardo Rigon

80

Rin

ald

o, G

eom

orp

hic

Flo

od

Res

earc

h, 2

00

6


Tutto insieme !


Riccardo Rigon

81

GIUH

L’espressione complessiva dello GIUH è dunque:

E la portata all’uscita:

Q(t) = A

� t

0GIUH(t� �) Jeff (�)d�

GIUH(t) =N�

i=1

pi (pdfAi � .... � ACN )(t)

Tutto insieme !


Riccardo Rigon

82

GIUH L’identificazione delle pdfs

Aree scolanti (o versanti):

pdfA(t;�) = �e�� t H(t)

Dove è l’inverso del tempo di residenza

nell’area (diverse formule possono essere

assegnate nei casi pratici per stimarlo).

�

Quali pdf, in pratica ?


Riccardo Rigon

83

GIUH L’identificazione delle pdfs

Canali:

Dove L è la lunghezza del canale fino

all’uscita ed u la celerità dell’acqua nel canale

pdfC(t;u, L) = �(L� u t)



Riccardo Rigon

84

GIUHLa composizione

Canali:

Svolto l’integrale sfruttando le proprietà dell Delta di Dirac, si

ottiene:

pdfA⇥C(t;�, u, L) = � e�� (t�u/L) H(t� L/u)

Che è una famiglia triparametrica di distribuzioni.

pdfA⇤C(t;�, u, L) =Z t

0� e�� (t�⌧)H(t� ⌧)�(L� u ⌧) d⌧



Riccardo Rigon

85

Ogni modello idrologico ha parametri che sono i

coefficienti e gli esponenti delle equazioni del

modello

Questi parametri devono essere stimati per un dato

bacino e per ogni “segmento computationale” del

modello.

I parametri sono stimati attraverso qualche relazione

con caratteristiche fisichedel bacino, oppure

tentando di riprodurre variando i parametri la

risposta un insieme di dati misurati. Questa è,

appunto la calibrazione del modello

Nota

Width (function) Geomorphological Instantaneous Unit Hydrograph with Diffusion


Riccardo Rigon



Riccardo Rigon

Le portate massimeed effetti geomorfologici

Hoku

sai


Riccardo Rigon

88

Obiettivi

Peakflow


Riccardo Rigon

88

Obiettivi

• Fatte alcune ipotesi semplificative

• Si usa la teoria dell’idrogramma istantaneo unitario per calcolare le portate massime.

• Si discutono gli elementi teorici del modello Peakflow

Peakflow


Riccardo Rigon

89

0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Precipitazione [mm]

P[h]

1h

3h

6h

12h

24h

Tr = 10 anni

h1 h3 h6 h12 h24

LE PRECIPITAZIONI

sono assegnate attraverso le curve di possibilità pluviometrica


Riccardo Rigon

90

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

60

80

100

120

140

160

Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

t [ore]

h [

mm

]

h(tp, Tr) = a(Tr) tnp


Riccardo Rigon

91

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

60

80

100

120

140

160


t [ore]

h [

mm

]


Altezza pluviometrica

durata “della

precipitazione”


Riccardo Rigon

91

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

60

80

100

120

140

160


t [ore]

h [

mm

]



coefficiente locale

durata “della

precipitazione”


Riccardo Rigon

91

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

60

80

100

120

140

160


t [ore]

h [

mm

]



coefficiente locale

esponente

durata “della

precipitazione”


Riccardo Rigon

92

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

60

80

100

120

140

160


t [ore]

h [

mm

]


Riccardo Rigon

92

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

60

80

100

120

140

160


t [ore]

h [

mm

]

Intensità della

precipitazione


Riccardo Rigon

93


Nel nostro caso, avendo scelto di usare una

precipitazione di intensità costante come pioggia

di progetto e assunto che la pioggia efficace sia

proporzionale alla precipitazione, allora

Peakflow


Riccardo Rigon

94

H(x) =�

0 x < 01 x � 0

H(x) è nota come funzione di Heaviside o funzione a gradino

Peakflow


Riccardo Rigon

95

Che cosa ci dice l’IUH sulla portata massima ?Basta fare dQ/dt = 0 !

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

d Q(t, tp)dt

=d

dt

Z t

0IUH(t� ⌧) H(t, tp)d⌧

H(t, tp) :=

⇢1 0 t tp0 otherwise


Riccardo Rigon

96

Dopo un po’ di passaggi algebrici, la portata di picco si ottiene risolvendo l’equazione:

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

da cui deriva il tempo di picco t*

Henderson, 1963

IUH(t) = IUH(t� tp)


Riccardo Rigon

97

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

t*


Riccardo Rigon

97

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

IUH(t)

t*


Riccardo Rigon

97

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

IUH(t)IUH(t - tp)

t*


Riccardo Rigon

97

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

IUH(t)IUH(t - tp)

IUH(t) =IUH(t - tp)

t*


Riccardo Rigon

98

Q(t;Tr, tp) = a(Tr) tn�1p

� t

t�tp

IUH(t)dt

LA MASSIMA TRA LE MASSIME PORTATE

Tuttavia, a ben osservare, la portata è anche una

funzione di tp. Per t > tp

Come conseguenza, la portata di picco, varia al variare

della durata della precipitazione (che vari con il tempo

di ritorno, è in un certo senso ovvio)

PeakFlow


Riccardo Rigon

99

Q(t;Tr, tp) = a(Tr) tn�1p

� t

t�tp

IUH(t)dt

LA MASSIMA TRA LE MASSIME PORTATE

Tuttavia, a ben osservare, la portata è anche una

funzione di tp. Per t > tp

L’intensità di precipitazione decresce all’aumentare di

tp, ma l’integrale aumenta. Per cui vi vi è un tempo

critico di precipitazione per cui si ottiene la massima tra

le portate di picco.

PeakFlow


Riccardo Rigon

100

La massima portata di picco si ottiene considerando il tempo di picco

come funzione della durata tp nell’equazione:

LA PORTATA MASSIMA- un po’ più matematicamente

PeakFlow

�t := t⇤ � tp


Riccardo Rigon

100




PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Precipitazione


Riccardo Rigon

100




PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Precipitazione

Variazione della precipitazione con la durata


Riccardo Rigon

100




PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Precipitazione


Area del bacino


Riccardo Rigon

100




PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Precipitazione


Area del bacino

S-Hydrograph al tempo t*


Riccardo Rigon

100




PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Precipitazione


Ritardo del tempo di picco

Area del bacino

S-Hydrograph al tempo t*


Riccardo Rigon

101


Se:

Allora:

E t* si ottiene da:

PeakFlow


Riccardo Rigon

102

Si può dimostrare che, sotto ipotesi di celerità costante dell’onda di piena,

l’area contribuente al picco di piena

non dipende dalla celerità nei canali! (nel caso cinematico)

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow


Riccardo Rigon

104


Riccardo Rigon

105


Riccardo Rigon

106

Credits and License

Questa presentazione è stata scritta da:

• Riccardo Rigon (Università di Trento)

La citazione corretta è: Rigon, The modern theory of IUH Real Books of Hydrology, Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale, Università di Trento, 2012.

p-peakflowTheory è rilasciato con licenza Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. Tale licenza si può trovare al sito http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.it


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