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이민형 교수, 세종대
8장 분석과 실험의 복합적 해석
- 유체와 고체의 경계면에는 마찰이 작용하고 있기 때문에 표면 가까운 곳에
경계층 (boundary layer) 이라고 하는 특별한 유체층이 발달된다. 이러한 경계
층의 영향은 유체유동의 역학에서 결정적인 역할을 하며 실제 응용에서 나타나
는 여러 가지 복잡성에 대한 중요한 원인이 된다.
- (a) 뭉툭한 물체 주위를 흐르는 외부유동 (external flow),
(b) 수로나 파이프를 흐르는 내부유동 (internal flow) 각각에 대해
--> 층류유동과 난류유동 흐르는 모든 경우에 대해 상세히 검토한다.
- 수치해석은 더 빠르고 더 큰 컴퓨터의 출현으로 현저한 발전이 있었기 때문에,
이론적으로는 어려웠던 여러 가지 복잡한 문제가 이제는 수치적으로 해석되고
있다.
[내부 유동] [외부 유동]
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Flow Classification
(two-dimensional) ( ) ( )
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8.1 경계층의 개념
유체영역에 따른 초기 유체역학 이론의 한계
- 고체표면에서 멀리 떨어진 곳 : 비교적 정확한 유체유동을 예측 가능
- 고체표면에서 가까운 곳 + 뭉툭한 물체의 후면 : 와류유동과 같은 일반적으로 관
찰되는 현상에 대한 예측을 하지 못함. 실험자들이 그 결과를 설명할 만한 충분한
이론적인 개념을 알지 못하였다.
한계 극복 : 경계층 이론 (독일의 유체역학자 Ludwig Prandtl)
- 경계층 이론은 고체표면 부근의 얇은 유체층에 집중된 것으로, 이 층에 작용하는
점성효과는 이론과 실제의 모두가 안고 있던 결점으로 인해 그 동안 설명되지 못
했던 부분을 연결시켜주고 있다. 경계층 이론은 유체역학에서 가장 중요한 개념
중의 하나로, 유체역학분야를 형성하는 데 중추적인 역할을 하였다.
- 내부영역 (고체표면을 지나는 유동은 고체표면에 인접한 얇은 층)
+ 외부 영역 (고체표면에서 멀리 떨어진)
- 예) 평행평판을 지나 흐르는 균일한 공기유동에서,
속도= 10 m/s인 경우에 평판의 선단에서 0.5 m 떨어진 곳에서의 경계층두께는
0.5 cm 정도이다. 이러한 얇은 층 내에서, 속도는 고체표면에서 영 (점착조건) 으
로부터 자유유동속도 u = U까지 변한다. 이러한 큰 속도구배 때문에, 유체 변형과
그에 따른 점성력은 큰 값을 가지고 따라서 무시할 수 없다.
유동가시화 영상 시청
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8.1.1 경계층 이론
평판을 지나는 균일유동
- 점성의 작용에 의하여 얇은 층이 형성
- 유체의 속도는
벽면에서, u = 0 (점착조건)
경계층 가장자리에서, u = U (균일유동속도, 자유흐름, free stream velocity)
- 경계층의 두께는 유동방향 (주 유동방향, x방향) 으로 갈수록 증가한다.
- 층류 → 천이(transition) → 난류 로 변화
Re = 3~5x105 Re = 1x106
Re = ρVL/µ, (L = 평판 선단으로부터의 거리)
- 경계층방정식 (boundary layer equation) : 경계층의 두께는 유선방향으로의 거리
에 비하여 매우 작기 때문에 지배방정식 (운동량방정식과 질량보존식) 은 원래의
형태에서 단순화된 형태.
- 경계층 방정식 유도
스케일링 변수 : 속도 (=자유유동속도 U)와 길이 (평판의 길이 L)로 층류 운동방정
식을 무차원화한 후, 차수계산해석을 통하여 유도.
경계층이 얇다는 사실에서 출발 (가장 중요한 핵심) 그러므로
경계층의 무차원 두께 d는 작으므로 d << 1이다.
무차원화된 유선방향 속도 u와 평판 선단으로부터의 무차원화된 거리 x :
u ~ 1, x ~ 1. 도함수 du/dx ~ 1의 차수.
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8.2 층류 경계층유동
8.2.1 층류 경계층유동의 상사해 : Blasius Solution
엄밀해 없음 : 경계층방정식 (8.1) - (8.2) 는 비선형 포물선 편미분방정식.
수치 해 : 13.5.1절에서 설명하는 2차원, 층류, 경계층방정식의 유한차분해 참조.
이 해는 경계층방정식에 있는 변수들에 대한 특수 변환 이용
변환 무차원 변수상사변수 (similarity variable)
+ 무차원 유동 함수
→ 상사 해 (Similarity Solution)
2차원 경계층 방정식 → 1차원 문제로 변환
- 비선형 상미분방정식 유도
- 4차 Runge-Kutta 적분방법을 사용하여 구함
- 실제로 평판을 지나가는 경계층유동의 엄밀해로 간주할 수 있다.
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예제 8.1
문제 그림 8.7과 같이 2 m/s로 날고 있는 글라이더의 수직꼬리날개 표면에서의 최대
경계층두께를 구하라. 꼬리날개는 평평하고 유동방향으로의 길이가 0.5 m, 높이가 1
m라고 가정한다. 글라이더는 고도 1500 m 상공을 날고 있으며, 여기서의 평균온도는
68C이다. 주어진 조건에 대해 최대 경계층두께 위치에서 유동으로 인한 벽면응력을
구하라.
예제 8.2
문제 예제 8.1의 글라이더에서 표면마찰력 Fv의 변화를 속도의 함수로 구하라. 속도
는 2 m/s에서 4 m/s 범위 안에 있다고 생각하라.
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8.2.2 층류 경계층유동의 근사해
- Blasius의 엄밀해는
- 여러 가지 간단한 함수들을 사용하여 근사적으로 표현할 수 있다.
예, (a) 2차함수, (b) 사인함수 (c) 그 외의 적절한 함수 가능
경우 I : 2차 함수 경계층내부 속도분포 가정
경우 II : 사인 함수 경계층내부 속도분포 가정
표 8.2는 평판을 지나는 층류유동에 대한 결과를 요약
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8.1.2 운동량 적분이론
경계층은 지배방정식을 경계층의 두께방향으로 적분하는 적분해석에 의해
근사적으로 해석할 수 있다
이러한 적분으로부터 얻어지는 식은 간단하고, 유동방향인 x방향으로의 적분
만 수행하면 되는 상미분방정식으로 된다.
출발 : 경계층의 발달을 설명하고 경계층의 두께가 적분구간 내에 포함되도록 하기 위
해 상한구간 ξ를 예상되는 경계층두께보다 크게 선정
x-운동량식을 적분식으로 표현하면,
0
ξ
u ∂u∂x+ v ∂u
∂ydy =
0
ξ
−1ρ∂P∂x
dy+0
ξ ∂τ∂y1ρ
dy (1)
연속방정식에서,
v =−0
y ∂u∂x
dy (2)
정상유동에 대한 압력구배는,
1ρ
dPdx
=− U dUdx
(3)
그러므로, (2), (3) --> (1)
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예제 8.4
문제 경계층 내의 속도분포를 2차함수와 사인함수로 근사한 식을 사용하여, 예제 8.1
- 8.3의 수직꼬리날개에 작용하는 총 표면마찰력을 계산하라. 또, Blasius 엄밀해로부
터 구한 결과와 비교하라.
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8.3 난류 경계층유동
- 난류유동은 층류유동보다 상당히 더 복잡하며, 기하학적 형상과 표면거칠기 등과
같은 요인에 의해서도 영향을 받는다.
- 다행히 난류 경계층유동의 해석에 있어서는 실험데이터들이 도움이 된다.
실험 관측:
- 점성저층 (viscous sublayer) : 고체표면 근처에는, 여기서는 유동이 점성의 영향을
지배적으로 받는다. - 완전난류유동 : 표면에서 먼 곳에서 유동
- 중복층 (overlap region) 또는 천이층 (transition layer) : 유동이 점성과 난류의 영향
을 모두 받는다.
- 점성저층이 있는 데도 불구하고 유동은 표면거칠기에도 영향을 받는다. 매끈한 벽
면의 경우는 표면의 울퉁불퉁함이 모두 점성저층 안에 있으며, 그 영향이 최소화
되는 경우이다. 그러나 거친 표면에서는, 거칠기가 점성저층을 뚫고 주 유동과 간
섭을 일으킨다.
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벽볍칙 (law of the wall)
- 점성저층 내에서 u는 y에 따라 선형적으로 변한다.
실험결과로부터 전단응력 τw는 점성저층을 가로질러 일정하다. 그러므로,
τw = µ ∂u∂y
→ τw
ρυ△u△y
= υ uy
τw/ρ 는 속도제곱의 (m2/s2) 단위이므로,
U* =
√τw
ρ : 마찰속도 (friction velocity)
따라서 점성저층 안에서의 속도는
uU*
= U* yυ
: 벽볍칙 (yU*ν< 3)
실험에서,
점성저층의 두께, 중복측 두께는
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(yU*ν> 3) 인 영역에서는,
표면의 거칠기 영향
(a) 매끈한 파이프유동영역 : eU*ν< 5
(b) 마찰의 천이유동영역 : 5 <eU*ν< 70
(c) 거친 파이프유동영역 : eU*ν> 70
매끈한 표면 :
uU*
= αln yU*υ
+ , α = 2.5, = 5.0 (대수법칙이 적용 가능)
벽에서 먼 곳에서는,
uU*
=
y1n , (n=6~10) : 7승법칙 (seventh-root law)
Blasius 제시, (Re < 3x106 경우)
τw=0.0233ρU2
yU
14
거친표면 :
천이영역은
uU*
= αlnyU*υ
+ (e ), α = 2.5, = 8.5 (8-21)
β(e) 는 그림 8.17
완전히 거친 영역에서는
uU*
= αlnye+ , α = 2.5, = 8.5 (8-22)
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예제 8.4
속도 100 m/s의 균일한 공기유동에 의해, 각 변의 길이가 0.5m인 정사각형 평판에
작용하는 마찰력은? (밀도 ρ = 1.165 kg/m3, 동점성계수 ν = 1.60 x 10-5 m2/s).
가정 -정상유동이며 평판끝단의 영향은 무시된다고 가정한다.
-또한, 천이유동에 대해 완전난류유동의 식을 사용할 수 있다고 가정한다.
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8.4 외부유동 (External Flow)
8.4.1 유동박리 (flow separation)
- 고체표면 근방의 경계층유동과 비점성유동으로 간주되는 외부유동 영역 고찰.- 경계층 내의 유동은 비점성유동 + 외부의 압력구배에 의해 결정
- 지금까지는 외부유동이 항상 고체표면을 따라서 매끄럽게 흐르는 것으로 간주
- 그러나 경우에 따라서는 유체가 고체표면으로부터 떨어져 나갈 경우도 있다. 이러
한 현상을 일반적으로 유동박리 (flow separation) 라고 부른다. - 유동박리가 나타나기 위해서는 표면에서 전단응력의 부호가 바뀌어야만 한다.
τ = µ dudy│y = 0
순방향유동일 때 : τ = µdudy│y = 0 > 0
역방향유동일 때 : τ = µdudy│y = 0 < 0
박리 시작 조건 : τ = µdudy│y = 0 = 0
역류
박리는 변곡점을 가지는 속도분포일 때 일어난다.
결론적으로 박리는 오직 감속되는 유동에서만 발생할 수 있다.
요약
가속되는 경우 또는 “순압력구배” 유동은 표면에 부착되어 흐른다.
유동이 감속 → “역압력구배” → 역류를 발생 → 박리가 발생
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8.4.2 후류역학
- 와도(vortex) 형성 : 경계층에 의해 나타나는 또 다른 현상은 흐르는 유체와 벽면
과의 상호작용에의해 와도 (경계 내의 유체입자들이 회전하려는 경향)가 생성
- 압력구배가 양이면 유동은 박리될 수 있으며 와도를 주 유동 안으로 방출한다. 와
도는 또한 날카로운 모퉁이나 형상의 갑작스러운 변화가 있는 곳과 같이 유동이
고체면을 따라 매끄럽게 흐를 수 없는 곳에서 방출
-이 와류가 어떤 임계크기에 도달하게 되면 물체로부터 유출되고 주 유동과 함께
하류로 떠내려가 후류 (wake)를 형성.- 이와 같은 와류유출 (vortex shedding) 을 독일의 유명한 공기역학자 Theodore von
Karman의 이름을 따서 Karman 와열 (von Karman vortex street) 이라 부른다.
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8.4.3 항력과 양력
- 비대칭적인 와류유출 → 불안정한 압력장과 속도장이 형성
→ 비정상 힘을 받는다.
- F의 변동으로 인한 주기와 크기는 유출되는 와류의 주기와 강도에 직접적인 영향
- 그러므로 후류역학과 유발되는 힘에 대한 역학은 서로 밀접한 관련
유동방향 성분 : 항력 (drag force), FD (t)유동에 수직방향 성분 : 양력 (lift force), FL(t)
- 박리유동해석의 주된 목적은 횡단류를 받는 물체에 작용하는 양력과 항력을 구함
→ 당연히 물체 표면을 따라 정확한 압력과 힘의 분포를 알아야 함
→ 그러나 유동구조가 복잡하고, 대부분의 실제 응용분야에서 유동은 난류이기
때문에 이러한 힘들은 보통 실험적으로 구해 실험식이나 표의 형태로 제시
- 예, 실린더 (혹은 다른 뭉툭한 물체) 위에 작용하는 힘은, 무차원 해석을 통해
F
ρU 2D2= f ( )ReD, e
- 힘은 일반적으로,
CD =FD
1/2ρU 2AD
= f ( )Re, e
CL =FL
1/2ρU 2AL
= f ( )Re, e
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8.4.4 원형실린더를 지나는 유동
고전적인 사진은 후류의 성장과정을 분명하게 보여주고 있다 (Prandtl)
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원형실린더를 지나는 유동의 영역별 유동 특성
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8.4.5 임의의 형상을 가진 물체를 지나는 유동
- 임의의 형상을 가진 물체를 지나는 유동에 있어서의 유체역학은 원형실린더를 지
나는 유동에서 설명하였던 유동현상과 천이영역들과 유사하다.
- 그러나 형상이 다르기 때문에 유동박리, 후류의 성장, 와류유출 주기, 발생되는 힘
의 크기와 주기의 변화 등이 실린더를 지나가는 유동과는 정량적으로 다르다.
- 이들 유동은 대부분 실험적으로 구해진다.
- 그림 8.27 - 8.29에는 선정된 몇 가지 형상에 대한 항력계수와 양력계수
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예제 8.10
문제 스카이다이빙에서 다이버들은 점프 후 가속되다가 일정한 도착속도 (terminal
velocity) 에 이르게 된다. 다이버와 장비의 총 질량이 80 kg일 때 도착속도를 구하라.
낙하산이 완전히 펴졌을 때 지름은 4 m이다.
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8.5 내부유동
8.5.1 파이프유동에서의 에너지보존
[ 핵심 ] 파이프나 수로 등을 통하는 내부유동에서는 유동저항을 극복할 만한 충분한
압력이 가해질 때 유동이 발생하고 유지된다.
입구 역
- 균일유동이 원형파이프로 들어가고 있다.
- 경계층의 향으로, 내부벽면을 따라 속도구배가 발생하지만 중심쪽에서의 속도는
균일하다.
- 경계층의 두께는 하류로 갈수록 증가하여, 유동이 완전히 발달되는 임계거리 Le에
이를 때까지 증가한다.
- 원형파이프에서, 층류에서 난류로 변한다.
2500 < ReD < 3000
유동이 완전히 발달하기까지의 입구 역 (entrance region) 은 층류유동일 경우에는
난류유동일 경우에는
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[ 핵심 ] 내부유동에서의 주요한 목표는 압력구배 dP/dx와 이에 따른 유량 Q와의 관
계를 알아내는 것이다.
Newton 유체의 완전발달된 층류 파이프유동에서의 체적유량은 (7 장 내용)
그러나 일반적인 유동조건에서는 이러한 관계가 그리 간단하지 않다.
why ? - 유로의 기하학적 형태,
- 유동의 특징,
- 표면의 거칠기와 같은 요소들에 의해 복잡해진다.
따라서, 일반적으로
V = 파이프를 흐르는 평균속도
ρ와 µ = 유체의 도와 점성
L과 D = 파이프의 길이와 지름,
e = 표면의 거칠기
변수들을 무차원 변수들로 바꾸면, 무차원 압력은 다음과 같이 주어진다.
(8.33)
내부유동에 대한 해
- 엄 해는 몇 가지 특별한 경우에만 가능하다.
- 수치해는 모든 층류유동과 제한된 수의 난류유동에 대해서만 가능하다.
- 따라서, 실제로 응용되는 대부분의 유동은 난류이므로, 외부유동에서와 마찬가
지로 내부유동에 대해서도 실험데이터를 이용하여 표현한다.
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[ 핵심 ] 내부유동에 대한 복잡성을 모두 고려하기 위해, 유한제어체적의 관점에서 에
너지방정식을 이용하여 문제에 접근한다.
에너지보존 방정식,
(8.34)
여기서 V는 파이프 내의 평균속도이며,
정상유동인 경우에, 식 (8.34) 는
입구와 출구에서 균일하다는 가정을 하고, 다시 정리하면
결론적으로,
- 가능한 모든 손실을 실험으로부터 구해지는 손실에 포함시킨다.
- 이와 같은 총괄적인 해석은 속도와 에너지손실과 같이 유동에 대한 평균값에 대
한 결과만을 얻을 수 있다.
- 손실이 없는 경우의 에너지방정식은 잘 알고 있는 Bernoulli 식으로 된다.
- 손실은 단위질량유량당 에너지로 표현되는 것임에도 불구하고, 역사적으로 수두손
실 (head loss) 로 불린다.
- 순손실 = 직관손실 (major loss) + 부차적손실 (minor loss)
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8.5.2 직관손실
직관손실은 유체/고체의 경계면에서 발생하는 점성소산에 의한 손실이다.
수평의 파이프를 흐르는 정상유동에 대한 에너지방정식에 의하면, 이 손실은 입구와
출구 사이의 압력손실의 결과로 나타난다.
(P1 - P2)/ρg = hmajor
유동변수를 무차원화하여
e = 표편거칠기
실제로,
(8.37)
f = Darcy 마찰계수
매끄러운 (e = 0) 원형파이프의 완전발달된 층류유동에 대해서는 앞에서
직관손실에 대한 정의식에 대입하고 다시 정리하면,
이 결과와 f에 대한 정의를 비교하면, 층류유동에서의 마찰계수는
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Moody 선도
파이프 내의 유동에 대한 마찰계수 정리
난류식
비원형파이프와 도관
원형의 파이프나 도관에 대해 얻은 결과는 다음과 같이 정의되는 등가지름을 사용하여
계산하면 비원형단면에서의 유동에 대해서도 적용할 수 있다.
반지름이 r인 원형단면에 적용하면 ?
각 변의 길이가 h인 정사각형 단면의 경우는 ?
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예제 8.15
지름이 0.05 m이고 수평으로 놓인 매끈한 파이프에 20oC의 물이 0.02 m/s의 속도로 일
정하게 흐를 때, 길이 1.2 m에서의 직관손실과 압력강하를 구하라.
여기서 ρ = 998.2 kg/m3이고, ν = 1.004 X 10-6 m2/s이다.
지배방정식 1과 2라고 표시된 파이프의 양끝 사이에 정상에너지방정식을 적용하면
직관손실의 정의
가정 정상유동이고 완전발달유동이라 가정하고, 물성치는 일정하다고 한다.
풀이주어진 조건에서
--> 층류
유동이 완전발달하 기 때문에 f는 매끈한 파이프의 해석결과로부터 얻어진다.
직관손실은,
z1 = z2 (파이프가 수평이므로)
V1 = V2 (지름이 일정, 질량보존법칙)
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그러므로, 에너지방정식은
그리고 압력강하는 다음과 같다.
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예제 8.16
지름이 0.1 m이고 수평으로 놓인 매끈한 파이프 (e/D = 0) 에 20oC의 물이 0.0633
m/s에서 2.48 m/s까지의 속도범위에서 일정하게 흐를 때, 길이 2.0 m의 부분에 대한
수두손실을 구하라. 여기서 ρ = 998.2 kg/m3이고, ν = 1.004 X 10-6 m2/s이다.
지배방정식 수두손실은
여기서 마찰계수 f = f (e/d, Re) 는 Moody 선도를 사용하여 찾는다.
가정 정상유동이고 완전발달유동이라 가정하고, 물성치는 일정하다고 한다.
풀이
최소속도에 대한 Re는
Re < 105일 경우의 매끈한 파이프 (e/D = 0) 에 대해 Blasius의 실험결과
--> f = 0.0355
직관손실은
동력의 단위로는,
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최대속도에 대해서는
Re > 105이기 때문에 Moody 선도를 사용한다.
e/D = 0에 대해 선도 (또는 Colebrook식) 로부터 마찰계수 f = 0.015.
따라서 직관손실은
동력의 단위로는 다음과 같다.
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예제 8.17
지름이 0.2 m이고 길이가 50 m인 파이프에서 속도가 1.5 m/s로 일정한 정상유동을 유
지하기 위해 필요한 수조에서의 물의 높이를 구하라.
파이프 표면의 상대거칠기는 .
지배방정식 수면과 파이프 출구 사이에 에너지방정식을 적용하면
수두손실,
가정 물은 208C이고 정상유동이라 가정하고, 물성치는 일정하다고 한다.
풀이
수면에서 V1 ~ 0이고,
P1 = P2 = Patm이다. 여기서 Patm은 대기압이다.
파이프의 높이를 기준고도로 선택하면, z2 = 0이다.
이와 같은 조건에 의해 에너지방정식은
다시 정리하면,
주어진 유동조건에 대해
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Re와 e/D = 0.0004를 Colebrook식 (또는 Moody 선도) 에 대입하면
f = 0.0176
따라서 수조에서의 물의 높이는 다음과 같이 얻어진다.
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8.5.3 부차적손실
- 유로의 급격한 확대나 축소,
- 유동방향의 변환,
- 여러 가지 이음부품,
- 또는 입구와 출구의 향 등에 의해 발생되는 손실
등과 같이 유동의 기하학적 형상과 관련된 모든 손실
부차적손실은 실험적으로 결정되는 손실계수 (loss coefficient) K를 사용
에너지손실에 대한 입구의 향
예상한 대로, 입구가 직각모서리인 경우 유동은 박리되고, 상당한 양의 에너지손실이
발생한다 (K = 0.5). 따라서 입구형상을 주의깊게 설계하면 손실을 최소화시킬 수 있
다. 예를 들어, 입구를 약간 둥 게 만들면 K = 0.2가 된다. 둥 게 잘 만들어진 입구
의 경우에는 손실계수가 K = 0.04로 줄어든다!
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유동이 급격한 확대, 축소 또는 회전되는 부분을 지날 때,
단면이 급격하게 변하는 경우에 대한 손실계수
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요약하면, 일반적인 파이프유동 문제는 다음과 같은 에너지방정식을 사용하여 해석
(8.39)
여기서 E는 파이프 양쪽 끝에서의 에너지 플럭스
∑hmajor losses = 파이프길이 전체에서 일어나는 점성손실의 합
∑hminor losses = 배관계에서 발생하는 모든 부차적손실의 합
△htot =V 2
2g
fLd+ ΣK
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예제 8.18
예제 8.17의 수조와 같은 유동조건 (V = 1.5 m/s, L = 50 m, D = 0.2m 그리고 e/D =
0.0004) 에서, 부차적손실을 고려하여 수조에서의 물의 높이를 구하라.
지배방정식 자유수면과 파이프 출구 사이에 에너지방정식을 적용하면,
직관손실은
∑hminor losses = 배관계에서의 여러 가지 부차적손실의 합
가정 208C의 물이 정상유동으로 흐른다고 가정하고 물성치는 일정하다고 한다.
풀이
예제 8.17과 똑같은 조건이므로 W = 0, V1 ~ 0, P1 = P2 = Patm, z2 = 0
정상유동이므로 , 에너지방정식은
,
다시 정리하면, 에너지방정식은
주어진 유동조건으로부터
Re와 e/D= 0.0004를 Colebrook식 (또는 Moody 선도) 에 대입하면 f = 0.0176
![Page 37: 8장 분석과 실험의 복합적 해석dasan.sejong.ac.kr/~mlee/lecture/turbo/Ch8.pdf · · 2008-03-10이민형 교수, 세종대 8.2 층류 경계층유동 8.2.1 층류 경계층유동의](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022021508/5b07df277f8b9a56408dab39/html5/thumbnails/37.jpg)
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부차적손실은 파이프로 들어가는 입구 및 출구에서,
직각모서리 입구: K = 0.5 (그림 8.44)
모든 출구에서 : K = 1.0
⇨ ΣK = 1.5 (?)
따라서 수조의 높이는 다음과 같이 된다.
배관계에 부차적손실이 추가됨으로 인해 필요한 수조의 수위가 37% 더 높아졌다. 이
것은 배관계에 있는 모든 손실의 요인을 찾아서 고려해야 된다는 것이 중요하다는 점
을 나타낸다.
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예제 8.19
그림 8.47과 같이 상업용 강철로 만들어진 지름 0.2 m의 파이프를 통해 0.06 m3/s 유량
의 물을 송수하기 위해 필요한 동력을 구하라. 펌프의 효율은 87%라고 가정하라.
지배방정식 정상유동에서 임의의 두 점 1과 2 사이에 적용된 에너지방정식은
손실 = 점성소산에 의한 것 (직관손실) + 배관계에서 (부차적손실)
가정 20oC 물이 정상유동, 대기압상태로 물이 펌프에 유입되고 방출된다고 가정.
풀이
m = ρQ
펌프효율 η =Wtheo˙
Wactu˙< 1 =0.87 (이론동력/실제동력)
펌프에서 생기는 손실 때문에, 실제로 필요한 동력은 손실이 없는 이상적
인 조건에서 요구되는 동력보다 크다.
P1 = P3
입구: z2 = 0, 출구: z3 = 50 m
V2 = V3 (질량보존법칙)
--> 지배방정식에서 손실만 찾으면 계산 가능 !!
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총 손실 = 직관손실 hmajor (300 m의 긴 파이프에서 발생되는) + 부차적손실 hminor
직관손실
Re를 구하면,
이상업용 강철 파이프의 경우에 상대거칠기는 = 0.0002이므로,
Moody 선도 (또는 Colebrook식) 로부터
f = 0.0158
따라서 직관손실은,
부차적손실 : 두 개의 표준 90o 밴드에서 발생
표준 90o 엘보에 대한 손실은 동일한 파이프의 등가길이 Le로 주어지고,
각 엘보에 대해
대입하면,
압력강하는
펌프에 공급되는 동력은
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8.5.4 단일파이프 문제의 풀이과정
- 파이프나 도관을 흐르는 유동의 속도
V = f(ρ, ν, ∆P, D, L, e, 배관계의 형상)
유동은 흔히 체적유량 Q로 나타낸다. 이런 경우의 풀이과정은 V를 Q/A로 바꾸
면 된다. 여기서 A는 단면적이다.
- 배관계 (파이프의 형상이 주어짐)가 정해지고 유체 (ρ와 ν가 주어짐) 가 결정된
경우에 수력학적 설계에서 필요한 것은, 남아 있는 유동변수 중의 하나를 결정하
는 것이다. 예를 들어, 주어진 펌프 (∆P) 를 사용하여 고정된 유량 (Q) 을 송수
할 때, 설계 고려사항으로는 손실을 최소화하는 파이프의 지름 D를 알아야 한다.
변수들은 서로 비선형적으로 연관되어 있으므로, 이러한 문제를 풀이하는 과정에
서 흔히 반복계산과정 (Iteration)이 필요하게 된다.
유형 I : V, D, L이 주어지고 ∆P를 구할 때 : 직접 풀이 가능
V, D, L이 주어져 있으므로, 그림 8.40 또는 기타 자료로부터 를 얻고,
Moody 선도 (또는 Colebrook식) 를 사용하면, 배관계의 모든 부분에 대한 직관손
실을 계산할 수 있다. 마찬가지로 부차적손실도 적절한 표로부터 얻는다.
유형 II : ∆P, V, D가 주어지고 L을 구할 때 : 직접 풀이 가능
직관손실은 배관의 일부가 될 수 있는 부분적인 파이프에서의 손실을 모두 포함.
와 함께 알고자 하는 파이프에 대한 마찰계수 는 Moody 선도 (또는 Colebrook
식) 를 사용하여 구한다. 부차적손실은 주어진 표로부터 구함.
![Page 41: 8장 분석과 실험의 복합적 해석dasan.sejong.ac.kr/~mlee/lecture/turbo/Ch8.pdf · · 2008-03-10이민형 교수, 세종대 8.2 층류 경계층유동 8.2.1 층류 경계층유동의](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022021508/5b07df277f8b9a56408dab39/html5/thumbnails/41.jpg)
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유형 III : ∆P, L, D가 주어지고 V 또는 Q를 구할 때
속도 V는 직관손실과 부차적손실이 속도 자체의 함수이기 때문에 앞의 경우와 같이
직접적으로 구할 수 없다. 반드시 반복계산에 의해 풀어야 된다.
대표적인 방법은 다음과 같다.
1. V의 값을 가정한다 (또는 Q = VA).
2. 직관손실과 부차적손실 (가능한 경우에) 을 f로 표현한다.
3. 가정된 V (또는 Q) 로부터 에너지방정식을 풀어 마찰계수 f를 구한다.
4. 의 계산결과와 에 의해 Moody 선도로부터 f를 구한다.
5. 에너지방정식으로부터 계산한 f와 Moody 선도로부터 얻은 f가 같다면 계산은 끝
이 난다. 그렇지 않으면, 새로 구한 마찰계수를 사용하여 새로운 V를 얻고 (2) -
(5) 단계를 다시 되풀이한다.
최종적인 해로 더 빨리 수렴작업
- 예를 들면, 속도를 가정할 때 상한값을 직관손실을 무시한 에너지방정식으로부
터 얻는다.
- 또한 Colebrook식을 사용하여 전체의 반복과정을 컴퓨터 프로그램으로 만듦.
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예제 8.20
그림 8.48과 같은 간단한 분수를 생각해 보자. 펌프로 공급되는 동력이 0.483 kW일 때,
그림에서와 같이 물이 3 m 높이까지 올라갈 수 있는 최소속도와 최소체적유량을 구하
라. 파이프는 지름이 0.25 m이고 상업용 강철 재질이며, 상대거칠기가 e/D = 0.0001이
다. 파이프 출구에서의 축소노즐은 유동면적을 50% 감소시킨다. 노즐의 각도는 60o로
생각하라 (K = 0.06).
지배방정식 제어체적을 그림과 같이 선택하면, 에너지방정식은 다음과 같다.
손실은
가정 균일유동이고 정상유동으로 가정하고 유동조건은 일정하다고 한다.
풀이
펌프 입구: z1 = 0, P = Patm, V = V1이다.
제트의 가장 높은 위치 (점 2) : z2 = 3 m, P = Patm, V2 = 0이다.
정상유동이고, 일정한 유동조건이라 하 으므로, 에너지방정식은
Q = V1A이고 m = ρQ = ρV1A, A =
직관손실은,
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부차적손실은 90o 밴드와 60°의 축소노즐에서 생기게 된다. 표 8.3에 따르면, 밴드에 의
한 부차적손실을 등가길이로 나타내면 Le/D = 30이다.
노즐에서의 손실은 K = 0.06을 사용,
따라서, 에너지방정식은 다음과 같이 되고
간단히 정리하면,
와 같이 된다. 여기에 주어진 수치값을 대입하면 다음과 같다.
--> f = f (Re, e/D) 이기 때문에 이 방정식은 반복적인 계산을 필요.
V1에 대한 초기의 예측값으로 가장 알맞은 것은 점성손실 (직관손실) 을 무시했을 때
( f = 0) 의 속도이다.
--> V1max = 8.52 m/s
그러나 직관손실이 고려된다면 최종속도는 반드시 V1max보다 작아진다.
초기 예측값 추정치: V1guess = 0.78 V1max = 6.67 m/s.
f를 구하면,
(8.41)
가정된 속도에 대해,
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주어진 파이프 e/D = 0.0001에 대해 Moody 선도를 찾아보면 festim = 0.0129
그러나 fguess와 festim이 같지 않으므로 풀이과정을 다시 되풀이해야 한다.
속도에 대한 합리적인 새로운 예상값은 현재의 festim을 사용하여 식 (8.41) 로부터 구
한다. 즉,
이 경우, 속도에 대한 새로운 예측값은 V1 = 6.35 m/s이다.
따라서 Reynolds수는 다음과 같다.
마찰계수에 대한 새로운 예측값은 festim = 0.01297이다. 이 값은 fguess와 거의 같다.
한 번 더 반복계산을 하면 약 V1 5 6.3 m/s의 최종적인 속도를 얻는다. 체적유량은 다
음과 같다.
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유형 IV : ∆P, L, V가 주어지고 D를 구할 때
유형 IV의 문제도 유형 III 문제에서 설명한 것과 비슷하게 반복계산과정이 필요하다.
그러나 여기서는 D에 대한 반복계산이 수행된다. 이전 과정과는 달리 에너지방정식에
D가 없기 때문에 초기 예측값을 단순화된 에너지방정식으로부터 얻을 수 없다.
D는 Re와 표면의 상대거칠기 모두에 의해 향을 주고 있으므로, 반복계산과정을 시
작하기 위해 유동이, f가 표면의 상대거칠기만의 함수로 되는, 완전난류 역에 있다고
가정하는 것이 좋다. 이와 같은 가정으로 Re와 상대거칠기를 잠시 동안 독립적으로 취
급할 수 있다. 한 번 또는 두 번의 반복계산을 해보면, 최종적인 해가 어느 역에 위
치할 것인가를 분명하게 알 수 있다.
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예제 8.21 그림 8.49와 같은 배관계에서, 밸브를 완전히 열었을 때 파이프를 통해
4.24 3 1024 m3/s의 체적유량의 물을 송수할 수 있는 파이프의 지름을 구하라. 완전히
열린 밸브에 대한 손실계수 Kv = 3이다. 또한 파이프가 매끄럽다고 가정하라.
지배방정식 제어체적을 그림과 같이 잡으면 에너지방정식은 다음과 같다.
손실은
가정 정상이고 균일한 유동으로 가정.
정상유동, 유동조건이 일정,
검사체적에 대해, 에너지방정식을 자유표면과 파이프의 출구 사이에 적용,
자유표면: V1 = 0, P = Patm, z1 = 0.7 m
파이프 출구에: z2 = 0, P2 = Patm.
따라서, 에너지방정식은 다음과 같이 된다.
직관손실은,
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부차적손실
둥근 입구부, Ki = 0.3,
90o 엘보 Le/D = 30,
밸브 Kv = 3
Q와 D로 나타내면
이를 대입하면 에너지방정식은
f가 D의 함수이므로, 위의 비선형방정식은 반드시 반복계산을 하여야만 D를 구함.
즉, D를 가정하면 다음 식으로부터 f를 구함.
계산된 f값을 매끈한 파이프에 대한 식과 비교
만약 두 값이 같다면 현재의 D는 최종적인 해가 된다. 그렇지 않으면 풀이과정이 되풀
이된다.
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8.5.5 파이프망 유동
앞 절에서 단일 파이프시스템 또는 직렬로 연결된 다수의 파이프들을 다루었다.
실제의 배관은 매우 복잡하다. 예를 들어, 건물에서 물의 배관시스템은 여러 가지 지름
의 파이프들이 복잡한 망으로 연결되어 있다. 이러한 복잡한 시스템에 대한 해도 단일
파이프시스템과 동일한 풀이과정을 따라 구해지지만, 직렬뿐만 아니라 병렬로 연결된
파이프도 해석할 수 있도록 보완되어야 한다.
그림 8.50과 같이 연결된 배관계를 고려해 보자.
- 각 파이프에서의 유동은 각 파이프의 입구와 출구에 적용된 에너지방정식의 지배
를 받는다.
- 그러면 공통의 연결점 (junction) 을 가지고 있는 파이프들은 명백히 압력강하
(즉, 같은 수두손실) 가 같아야 된다.
- 또한 질량보존법칙에 따라 각 연결부에 들어오는 유량과 나가는 유량의 합이
이라는 것에 주목하여야 한다.
분관 1 : dP = PA - PB ; 분관 2
연결부 A : Q1 = QA1+QA2 = QB1+QB2 = Q2 ; 연결부 B
분관 1
분관 2
파이프망 문제는 반복계산과정을 필요로 하기 때문에 계산이 매우 길어질 수 있다. 따
라서 이런 문제들은 일반적으로 전문적인 컴퓨터 프로그램을 사용하여 풀게 된다.
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예제 8.22
그림 8.51에 있는 단순한 유동망을 고려해 보자. 체적유량 2.2 m3/s의 물이 두 개의 파
이프로 나뉘어졌다가 다시 공통의 연결점에서 합쳐진다. 첫 번째 파이프는 지름이 0.3
m, 길이가 20 m이고, 주철 (e = 0.2159 x 1024 m) 로 만들어졌다. 두 번째 파이프는
지름이 0.18 m, 길이가 15 m이고, 스테인레스철 (e = 0.0381 x 1024 m) 로 만들어졌
다. 이 시스템에서 두 파이프에 의해 일어나는 압력강하와 각 파이프에서의 체적유량
을 계산하라.
지배방정식 파이프망에 대하여 다음의 내용이 성립한다.
- 각 연결점에서 들어오고 나가는 유량의 합은 이다. 이것은 연결점에서 질량의
축적이 없다는 것을 뜻이다.
- 파이프나 도관이 같은 끝점을 가지면 압력차이가 같다.
연결점 A에서 질량이 보존되려면
연결점 A와 B 사이에서의 압력강하는 두 파이프 모두에서 같다 (즉, 두 파이프에서의
직관손실이 같다).
가정 두 연결점과 시스템의 어느 부분에서도 부차적손실은 없다고 가정한다.
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풀이
질량보존법칙,
체적유량을 이용하여 표현된 에너지방정식은,
주어진 수치값들을 대입하면
각 파이프에서의 f가 미지수 Q에 의존하기 때문에 아래와 같은 반복계산과정을
통해 해를 구해야 한다.
1. 각 파이프에 대해 적절한 상대거칠기를 구한다. 여기서는 다음과 같다.
2. Q1의 값을 가정하고, Q2를 다음의 식으로,
3. 각 파이프에서의 Re를 다음 식으로,
4. 가정된 Q1, Q2에 의해 Moody 선도 (또는 Colebrook식) 를 사용하여, 각 파이프의
마찰계수 f1, f2를 구한다.
5. 만약 각 파이프에 대한 마찰계수가
(8.42)
을 만족하면 풀이는 끝난다. 만약 그렇지 않다면 (2-5) 의 과정을 되풀이하여야 한다.
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이 문제에서, 두 파이프의 마찰계수가 같다고 가정하고 Q1에 대한 초기의 예측값을 구
한다.
0.104 Q12 = Q22
질량보존법칙 연립 --> Q1 = 0.21 m3/s, Q2 = 1.99 m3/s (1차 가정)
이 값을 가지고 Re를 계산하면,
Moody 선도에 따르면, f1 = 0.01315, f2 = 0.00952
식 (8.42) 를 검사하면,
이 예측값은 계산된 f2값과 일치하지 않는다.
(2차 가정) Q1 = 1.2 m3/s로 새로이 가정하면,
--> 아직도 f2값과 일치하지 않는다.
(3차 가정) 궁극적으로 Q1 = 1.65 m3/s, Q2 = 0.55 m3/s일 때
Re1 = 6,974,918, Re2 = 3,874,954이고,
Moody 선도로부터 f1 = 0.01157, f2 = 0.0104가 구해진다.
방정식 (8.42) 를 마지막으로 검사하면,
--> 이 값은 계산된 f2값과 충분히 가깝다.
파이프를 통해 나타나는 압력강하 DP는 다음과 같이 계산된다.