8 สภาพสมดุล
TRANSCRIPT
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 1
����� 8
����� � ���������� �� 8.1. ����� � �)��*�� +,� ����-.*�+�)��*�-��� +,� �����/0�1����������2) .�)�3�����/0�1������1 1 �1��2�.-� �-.*�1�51�6��2�� ��01��/0�1����������)��7������ (�-9���2��+�� :/;��2�)�) ) - �-.*����1�6��2�� ���� �*���51�2�� ��01��-�+01���>��.?; 5;1�6��� ��������
- �-.*������/0�1���� ��01�)�� ������)��7������ 5;1�6��� �������� - 1�55;������-.*����1�6��2�� ��01��/0�1����������)��7��������� �-.*�1�6��� ����� �������������� :/;����� �-.*��������2�� ��01�)��������)��7���2�)�)���������-.*�1�6��� ����� ��������
8.2.�������������� �
�-.*�5;1�6���+)�/���7.�1�)0�1 1. :��/- @A�����;�B�.�1�-.*� ��C��6��A
- �-.*������/0�1����������)��7� v ����� --> a = 0 � ∑ F = ma = 0 - �-.*�����)��������)��7���2�)�) ω ����� --> α = 0 � � = Iα = 0
2. �)�)�/- @A�1>5��)���K ��C��6��A
8.3. ����� !����"� �"����"!#
����� ! $ M & �)��*�� L/�6M�1�:�� �->�;�;���.-9�N�� 5��:��:��*��5��)�� ��C���2)�M����.1�A )��2������7) ��01.�)��7)��O2�� )��������C��2�.-��).� (N m)
∑ �� = 0 �-���7�01 ∑ �� = 0 ��01 :����)������ = :����)���Q��� :/; ∑ �� = 0 ��01 :����)��9� = :����)/�
∑ � = 0 �-���7�01 ∑ �����7) = ∑ .�)��7)
F
F
ℓ O
ℓ
O
F
O + ℓ
MO = F�
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 2
#"��� �����"�����"�
�)0�1)�:�� 2 :�� ��;�B��->�-.*�:/�� �-.*�+)�/.�1�����/0�1�����01 ����2�� ��01��/0�1����������)��7� v ����� :���-9�+1�.�1�)����)+-) -�@A�-�-���9 1. :���-9�+1� .�1�1�6���:���+��.�������-� )���������-� :/;�2����.���-����)�-� 2. :��/- @A�1�:���-9�+1� ( �����)�-�:>>����.1�A ) �����->�6��A , ∑ F = 0
#"��� �����"����"�
�)0�1)�:�� 3 :�� ��;�B��->�-.*�:/�� �-.*�+)�/.�1�����/0�1���� ���)+-) -�@A�1�:���-9�+�)��C�-���9 1. :��:���-9�+�).�1������-� ��01 >�-����5� K ����� :/;1�6����;��>�����-� 2. :��/- @A�1�:���-9�+�) �����->�6��A , ∑ F = 0
3. �)�)�.A/- @A�1>5��)��� K �����->�6��A , ∑ M = 0
mg
mg
T1 T2
θ b a
C B A
F1
F3 F2
mg sinθ
F
T
mg
N
m F1 F2
m m
m
θ
�-.*�����2��1�6�>� 09� ∑ F� = 0 N = mg
11�:�����-.*�>� 09� ∑ F� = 0 F1 = F2
:����-.*�5��� �� ∑ F� = 0 T = mg
���-.*� .�):�� 09��1��� ∑ F = 0 F = mg sinθ
θ α F1
F3
F2
m
∑ F� = 0 F1 = F2 + F3 ∑ M� = 0 F1(a) = F3(a+b) ∑ M� = 0 F2(a) = F3(b) ∑ M� = 0 F2(a+b) = F1(a)
∑ F� = 0 F1 = F2 cosθ + F3 cosα ∑ F� = 0 F2 sinθ = F3 sinα
∑ F� = 0 T2 cosθ = T1 ∑ F� = 0 T2 sinθ = mg
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 3
8.4.����� !����"�,-�,.�
:���6���> �)��*�� :��+1�:�� )���������-� :��:�������-� :.�)��2����.�����)�-� �)�)�.A�1�:���6���>� K )���������-> L/�6M�1�:���:������� �->�;�;���.-9�N���;�����:��:���-9�+1�
��������� 1
����)�)�/ 10 kg ��� 2 m ����/���-9�+1�����:��������01� 2 �+�� �B��-.*�)�/ 20 kg )�:���������.B�:��������5���/������������� 0.40 m 1������>��� :��������01�:.�/;�+����C������� ���5� B ��C�5��)�� 5����0�1����1�+)�/ ∑ M��� = ∑ M.�) mg(1.6) + W(1.0) = T1(2.0) 20(10)(1.6) + 100(1.0) = 2T1 � T1 = 210 N Ans 5����0�1����1�+)�/ ∑ F� = 0 T1 + T2 = mg + W ����������� = ��������! 210 + T2 = 20(10) + 100 � T2 = 90 N Ans
B A
1.0 0.4
2.0 T2
W
F F
ℓ
F F
F
ℓ
F ℓ
MC = F�
T1
mg
m
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 4
��������� 2
>-����-� 10 kg ��� 5 m ��� ��B�: ���/�9���B�)�) 53 1��� �->:�� 09���>-��6� *��+�+.���)�+������;����� 09��->>-����C� 0.4 5�������7����>1�Q�����-� 50 kg 5;�e���9�>-����+6�+������� >-��5��5;�)�/�) +)).2����7����>1��e���9������;�; x ���5���/�� A :/���B����>-����2�)�*/ :+����:��
�+�����+*2. fA ��2��9�+6�+� 5����0�1����1�+)�/ ∑ F� = 0 NA = mg + W ����������� = ��������! = 50(10) + 100 NA = 600 N 5�� fA = µ NA = 0.4(600) fA = 240 N 5����0�1����1�+)�/ ∑ F� = 0 fA = NB ������������� = ���������"#�$! NB = 240 N ���5� A ��C�5��)�� ��%��&��������' �����������! 5����0�1����1�+)�/ ∑ M��� = ∑ M.�) NB(4.0) = W(1.5) + mg(x) 240(4.0) = 100(1.5) + 50(10)(x) x = 1.62
5���6� �� = tan53 h = x tan53 = 1.62(4/3) � h = 2.16 m Ans
��(��%������$� )�#������$����!
4.0
1.5
fA
NA
B
A x
53°
5.0
h W
NB
mg
53°
5.0
�����*+ ,� ��� ��&+����- �� . �����&�(��/0�/��!
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 5
��������� 3
5���6�*�����)�/ 20 kg 5���:��.�����+����01� ���5� B ��C�5��)�� ��%��&��������' ����������� ��&)� ���0�1�%���+2�����$���� B! 5����0�1����1�+)�/ ∑ M��� = ∑ M.�) Tsinθ(AB) = mg sinθ���
� � T = ��
� = ������
� � T = 100 N Ans ��������� 4
���)�/ 16 kg �/��������9B�1�6��->L�-� 1���/��L6�.2�->��01�:/;)��-.*�)�/ 10 kg :���1�6�-��6� *�����1�6���+)�/ 5���:�������+����01� :/;:���32�2�2�����L�-� ���5� A ��C�5��)�� ��%��&�����������)� ���0� � ' �����������! 5����0�1����1�+)�/ ∑ M��� = ∑ M.�) Tsin37(AB) = mg(AB) + W���
� � T(��) = 10(10) + 160��
�� � T = 300 N Ans 5����0�1����1�+)�/ ∑ F� = 0 Nx = T cos37 ������������� = ���������"#�$!
T
N
Nx Ny
mg
T cos37
T sin37 T
W
mg
T cosθ
T sinθ
mg sinθ
mg cosθ θ
A
B
ℓ
ℓ
θ A
B
θ
A B 37°
m
A B 37°
m
�����*+ ,� ��� ��&+����- �� . �����&�(��/0�/��!
�����*+ ,� ��� ��&+����- �� . �����&�(��/0�/��!
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 6
= 300(4/5) Nx = 240 N 5����0�1����1�+)�/ ∑ F� = 0 Ny + T sin37 = mg + W ����������� = ��������! Ny + 300 (3/5) = 10(10) + 160 Ny = 80 N
5�� N = �N�� ! N��
= √240� ! 80� � N = 80√10 N Ans ��������� 5
�������1+����.�1������*-������;>1�)�/ 60 kg �-�)� 0.50 m ��9���>� 09��1����.��� 0.20 m *�)������.�1�11�:������:���;->1������1������ 5��5;����9� *���)��2:���+������K ���5� O ��C�5��)�� 5����0�1����1�+)�/ ∑ M��� = ∑ M.�) F(0.3) = mg(0.4) F = mg(0.4)/0.3 = 60(10)(0.4/0.3) � F = 800 N Ans ��������� 6
�/�1��>���������� 1 m +6� 2 m )�)�/ 15 kg ���1�6�>� 09�opQ���)����+�+.���)�+����� 0.5 11�:�� F = 60 N ��;�B��->�/�1�������)+6� 1.5 m 1������>����/�1�5;��/0�1����1������ N
1.0
2.0
O
N mg
0.2
F 0.5
0.2
F 0.3
0.4
�����*+ ,� ��� ��&+����- �� . �����&�(��/0�/��!
f
F
1.5
1.0
2.0
F
1.5 mg
�����*+ ,� ��� ��&+����- �� . �����&�(��/0�/��!
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 7
��:�� F ��1����+����5;�B�����/�1��*/ 5����0�1����1�+)�/ ∑ F� = 0 f = F ������������� = ���������"#�$! µN = F 0.5(15)(10) = F F = 75 N .�1�11�:�� F 1������1����+� 75 N 5��5;�B�����/�1��*/ ��:�� F ��1����+����5;�B�����/�1�/�) ���)�)�/��/��� ��C�5��)�� 5����0�1����1�+)�/ ∑ M��� = ∑ M.�) F(1.5) = mg(1/2) F = mg(1/2)/1.5 = 15(10)(1/2)/1.5 F = 50 N .�1�11�:�� F 1������1����+� 50 N 5��5;�B�����/�1�/�) � F = 60 N 5;�B�����/�1�/�)���)��*/ Ans
��������� 7
�/�1��6�+����/���)5-.��-+ ���1�6�>� 09��1������+�)��*��->)�)�� *��+�+. ���)�+������;����� 09��1����->�/�1���C� 0.75 1������>���)�)���5;�B�����/�1���2�)�*/��C������ :/;�)0�1��->)�)��C�������/�1�5��5;/�) ��)�) θ ��1����+����5;�B�����/�1���2�)�*/ 5����0�1����1�+)�/ ∑ F = 0 �%���-������%������$�! f = mg sinθ µN = mg sinθ 0.75 mg cosθ = mg sinθ 0.75 = tanθ , θ = 37° � �/�1���2�)�*/ �)0�1 θ = 37° Ans ��)�) θ ��1����+����5;�B�����/�1�/�) ���)�)�/��/����/�1� ��C�5��)��
N
mg sinθ
a
f mg
a
mg cosθ θ θ
�����*+ ,� ��� ��&+����- �� . �����&�(��/0�/��!
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 8
5����0�1����1�+)�/ ∑ M��� = ∑ M.�) mg sinθ (a/2) = mg cosθ (a/2) tanθ = 1.0 , θ = 45° � �/�1���2�)/�) �)0�1 θ = 45° Ans 8.5 ��4��"������� �
�)��*�� ���)+�)��*��������.-�1�6����1��-.*��-9� :>������C� 3 ��;�,�
1. ��� ���4��"
��C�+)�/�1��-.*� Q���)�q���1��->)-���� �)0�1)�:��)���;�B�����1������/7���1� �7�)�/�)5;�/->+6�+,� �2)�)0�1���:����;�B� �6� �. :+������7���� 5� cm. 5;+6���9� :�� N �-> mg 1�6���091��-� ��2�)�)�.A�1�:���6���>�B���������/->)�1�6�/-��M;�2)
2. ��� ������4��"
��C�+)�/�1��-.*� Q���)�q���1��->�)�)-���� �)0�1)�:����;�B�����1������ ����/7���1� �7�B����/�)������ -�:+��6� �. 5� cm. 5;.�B�/���2�)�)�.A�1�:���6���>�B��������/�)
3. ��� �����5�
��C�+)�/�1��-.*� �)0�1*6�:����;�B�5;��/����.B�:������ �)0�1���11�:����;�B�5;���-�1�6���/-��M;�2) �6� �. :+�5� cm. 1�6�+6������2) :��:�� N :/; mg ��C��+��.�������-��)���2�)�)�.A�1�:������/->����2)
8.6 #"�7��8#��� ��99"�� # !
��+�)��*�B��/-�+)�/�1�:��:/;�)�)�.A )������;����A�����2.��;5B��-�)��)�� ���� ���0�1�����:����2.���K ��:�� ��) ����� /�1:/;� /� ����- ��C�.��
mg
N N mg
N mg
�. +)�/�+*��� �. +)�/�)��+*��� �. +)�/+;��2�
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 9
��������� 8
.�1����.-/������ �������)-��6�.�1�11�:�� F 1������1������*��:���N01�+6�+����5;�B����/�����C� 150 N ����/-��1��)�)�.A�1>5��)�� 5����0�1����1�+)�/ ∑ M��� = ∑ M.�) W (0.02) = F (0.15) 150 (0.02) = F (0.15) � F = 20 N Ans 5;��7����11�:��>�>��) :�� 20 N :.���:���/� 150 N
¬ *��.�1����11�:��>�>��)�����1�������9 5;.�1��B�1������ ��������� 9
.�1�����-�2�)�/ 120 kg ������)�����+�)�>���� 2 m :/;11�:�������/���)�1�������������� 240 �2�.-� 1������>��� 5;.�1��B�����1��->)��������5����1��2�)�����+���C��;�;������5��5;�-��9� *������1����B�)�)�->:���;->��1�)�� ����/-��1��)�)�.A�1>5��)�� 5����0�1����1�+)�/ ∑ M��� = ∑ M.�) mg (x) = F (2-x) 120(10) x = 240 (2-x) � x = 0.33 m Ans
5��)��
2 - x
mg
x F
5��)��
0.15 0.02
R
W
F
F
F
0.15 0.02
�����*+ ,� ��� ��&+����- �� . �����&�(��/0��� 1 �#��!
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 10
��������� 10
5���6�:�� F ��1����+������C������ *��.�1������)�/ 40 kg ��9�)���:��2��
8.7 ������� ��
��C�+)>-.2�1��-.*��)0�1*6�:����;�B� �-.*�5;��/�����6�������5���2) :/;�)0�1���:����;�B� �-.*����)�+,� �0�����)��5;�/->�0�+6�+,� �2) �-.*����)�+,� �0�������1� �6������1��-.*�5;��/�������)�+�)��*�/->+6�+,� �2)�� ���� ����- �-> 2��9B�)-� )�+,� �0�����.����-�
5�����s+�����-���9 1. ���� OA ���s��C��+��.��:+���� F * ∆L :/;��C���.�)�3�1�u�� 5� A ��C�.B�:����+��������
F * ∆L �����5� A ������(��/�����+�'/��� *��11�:����)������:�����5� A :�� F 5;�)�:��L-�.���->�;�;�0 ∆L 1��.�1��
2. ���� AB �)0�111�:������������9:/���/�1� �+��/��-�+�)��*�/->�0�+6�+,� �2)�� :.�*��11�:����;�B�)������:�����5� B �+��/�5;�)�+�)��*�/->�0�+6�+,� �2)�� �����5� B ��9��� ���(��/��1�%$���$� �
L0 ΔL
C
D
O
A
B F 5�:.��-�
5��/��
��5B��-+,� �0�����
��5B��-���:��L-�.��
mg
F
m
r = 0.2 R= 1.0
����/-��1��)�)�.A�1>5��)�� 5����0�1����1�+)�/ ∑ M��� = ∑ M.�) mg (0.2) = F (1.0) 40(10)(0.2) = F (1.0) � F = 80 N Ans
ΔL
L F
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 11
3. �)0�111�:����.-9�:.�5� B ��C�.���� �+��/�5;��/�����6�������1����*��� :/;*����.�1��1��5�*��5� C ( ������ ) Q�����C�5�������)����1��+��/�� 2�)1��������7� �M;���:����� 2�)1��� ����/7���1� �)0�111�:����.�1��5��/�5� D �+��/�5;�� �����5���9��������/�
- ���� OB �������� ���'���*+�00$���$� � �-.*�1�6���+,� �0�������)������/����:�/��6������)0�1)�:��)�
��;�B� :/;+�)��*�/->+6��6��2)�)0�1���11�:����;�B� - ���� BD �������� ���'���*+�00%����� ���-.*���/����:�/��6�����:>>*��� ���)�N������01:.��-� 8.7.1. �"�����7;�<.8 4 =5�"-9
1. :���� ��C�:����;�B�.�1�-.*� )�L/�B�������)����1��-.*�� 2�)��9� 2. :��1- ��C�:����;�B�.�1�-.*� )�L/�B�������)����1��-.*�//� 3. :���N01� ��C�:�������;�B�>�L2��-.*� )�L/�B����L2��-.*��/0�1�����01�B�����-.*�>2�6�������5���2).�)
:����� ( ��������:��>2 )
8.7.2. ,.��,<� ���,.��,"���
,.��,<� (stress ) x + y �)��*�� 1-.��+����;�����:������01:��1-,���� .�1 09��������.-�1��-.*� ��C���2)�M+��/��A )��������C��2�.-�.�1.�����).� ( N/m2 )
,.��,"��� ( strain ) x , y �)��*�� 1-.��+����;��������)������� 2�)��9� ��01//� �->���)����2) ��C���2)�M����)�)������ F F
ΔL
ΔL
A
F
F F F F F
:���� :��1- :���N01�
F F
���)������
F F
���)����1-
A + = �-
F F
L0
. = /001
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 12
8.7.3. ���-�8�����8�
)16/-+�1��-� x E y ��C�1-.��+����1����)����.�)��� .�1���)�����.�)��� )��������C��2�.-�.�1.�����).� (N/m2) - ,������5B��-+,� �0����� E �1��-.*���2�����-�5;�����-� ��������� 11
11�:�� 200 N ���+��/�����+��L���6��A�/�� 10 mm ��� 1.0 m �/-�5���� �+��/���� 1.02 m 5������)���:/;���)��������+��/� :/;���)16/-+�1��-�
�� �.����.-�1��+��/� A = 23 d
2 = 3.14(0.01)2 = 3.14x10-4
�����)��� 5�� + = 4� = ���
�.�3���67 = 6.37x105 N/m2 Ans
�����)����� 5�� , = 899: =
�.���.� = 0.02 Ans
�����)16/-+�1��-� 5�� E = ;< = =.�>���?
�.�� = 3.18x107 N/m2 Ans ��������� 12
:����-.*�)�/ 50 kg �->/��/�;��� 2 m )� 09��������.- 0.40 mm2 :/;���)16/-+�1��-� ��C� 2x1010 ���)����1�/�5;��C������ �/-�:����-.*�
E = @.
T
mg
m
L =1.02
ΔL =0.02
F =200 F = 200
L0 =1.0
���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 13
5���6� T = mg = 50(10) = 500 N
5�� + = 4� = A� =
����.3���6B = 1.25x10
9 N/m2
5�� , = 899: =
ΔL�.�
5�� E = ;< = 1.25x10G��.�
ΔL = 2.0x1010 N/m2 ΔL = 0.125 m 5�� L = L0 + ΔL = 0.125 + 2.0 � L = 2.125 m Ans
��������� 13
���s���)+-) -�@A�;��������)���� (+) :/;���)����� (, )�1��-.*��29������ ��C�-��6� 5������)16/-+�1��-� (E ) 5�� E = ;< = ���)�-��1����s
� E = �����H3���6I = 5.0x10
10 N/m2 Ans
+ ( x107 N/m2)
, ( x10-3)
20
10
4 2 0