El arco semicircunferencial de la figura de radio R y canto de su sección transversal c sufre un incremento de temperatura de manera que el incremento de dicha magnitud en su cara exterior es ∆T2 y el incremento en su cara inferior es ∆T1(∆T2>∆T1). Sabiendo que la rigidez a flexión del arco es EI y que el coeficiente de dilatación lineal del material es α, determinar la fuerza horizontal F que es necesaria aplicar en el extremo B del arco para que dicho punto no sufra ningún tipo de desplazamiento.

F

∆T2

∆T1

R BAF

∆T2

∆T1

R F

∆T2

∆T1

R BA

NOTA: Despréciense las deformaciones inducidas en las rebanadas del arco por los esfuerzos axil y cortante

2)(

0

2 πθθπ

=∫ dsen

Solución:No existen reacciones verticales en los apoyos A y BLa ley de momentos flectores es:

( ) θθ senRFM ⋅⋅=F

∆T2

∆T1 RBA θ F

∆T2

∆T1 RBA θ

Desplazamiento de B hacia la derecha debido a la temperatura:

( ) ( )c

TTRTTR

RdsenRc

TTRdsen

TTuT

B

212

21

012

021

22

∆−∆+∆+∆⋅=

=⋅⋅∆−∆

−⋅∆+∆

= ∫∫α

α

θθαθθαππr

Nótese que el giro de la sección A no afecta al desplazamiento horizontal que, como sólido rígido, sufriría la sección B.

Desplazamiento de B hacia la izquierda debido a F

3

0 21 FR

EIRdsenRsenFR

EIuF

Bπθθθ

π=⋅⋅⋅⋅= ∫

s

Como:

( ) ( )

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∆−∆⋅⋅

+∆+∆=

∆−∆+∆+∆⋅=

=

cTTRTT

REIF

cTTR

TTRFREI

uu FB

TB

21212

212

213

22

22

πα

ααπ

ss