α

α

β

β

=

=

=

=

p Error tipo I

p chazar Ho Ho verdad

p Error tipo II

p Aceptar Ho Ho falsa

( )

(Re )

( )

( )

PH e IC para la diferencia de medias

30)n,n(si

nS

nS

XXZ:EP 21

2

22

1

21

21 ≥

+

−=

Región de rechazo |Z|>Z(α/2)

Pruebas t:EP: t=Coef / (SE Coef)SE Coef=Rechazar Ho si |t|>tα/2, N‐pN=número de observaciones (datos), p=No de parámetros (βs)

n2/MSE k

n/yyyy ii

n

1jiji ==∑

=

N/yyyya

1i

n

1jij

a

1i

n

1jij ∑∑∑∑

= == =

== yij=cada dato

MSglSS

1n)xx(

s2

i2 ==−−

= ∑p=No. de parámetros (βs)

∑=

=k2

1i

k2i 2/sMSE

∑=

−−=n

1i

22i

2 )1n/(])y(ny[s

Suma de grupo i | Media del grupo i | Suma total de datos | Media general (todos los datos)

22i

22

ij

1a)SSt(gl1N)SST(glSStSSTSSENy

ny

SStNyySST

−=−=−=

−=−= ∑∑∑N=Número total de datos.n=Número de datos por grupo (réplicas).a=Número de niveles del factor(tratamientos o grupos).

ANOVA DE UN FACTOR

)E(gl),t(gl,FF:HoRRMSE/MStF:EPaN)SSt(gl)SST(gl)SSE(gl)(g)(g

α>=−=−=

Fuentes de Variación SS gl MS F

Tratamientos(t) SSt a MSt SSta

MStMSE

− =−

11 MSEMSt

ˆ 2−

=σ MSEˆ 2=σ

Componentes de variación (mod. aleatorio)

Error (E)(por diferencia)

Total

SSE N a MSE SSEN a

SST N

− =−

− 1

nστ

MSEσ

2k–p=k+1

Diseño Saturado: R=III y

PRUEBA DE DUNCAN

R r p f s s MSEnp y i y i

= =α ( , )

α=nivel de significación de la prueba.

p=2.....a (número de tratamientos).

f l( ) f( ) bl d D

e y y= − $Residuos Residuos Anova un factor e y yij ij i= −

Prueba de normalidad: F=100(i‐0.5)/N

E fe c toy

M ita d d e p ru e b a s n=

∑ (S ig n o s)( )( )( )

DISEÑOS 2Kf=gl(error) r p fα ( , ): tabla de Duncan

PRUEBA DE COCHRAN

H a0 12

22 2: ...σ σ σ= = =

M (S )2

Ha: Al menos una varianza es diferente.

SS Efecto nk= −( )2 22p( )( )

Modelo: yest=media+(Efectos signif/2)Xi

21cc ++

Defectos

2)1n/()1pn(arcsen)1n/(pnarcsen ++++

Unidades defectuosas

DISEÑOS 2K

Calcular GMayor

S S Sa=

+ + +(S )...

2

12

22 2

Rechazar Ho si

)CochrandeTabla(gG α>

2 2

Diseño general 2k–p

→ p=No. de generadores del diseño fraccionado→ 2p–p–1 interacciones de los generadores→ Cada efecto tiene 2p–1 alias

En este ejemplo, A es un factor fijo y B(A) es aleatorio. En caso de tener ambos fijos,

Ho: τi=0 para A, y Ho: βj(i)=0 para B(A). FA=MSA/MSE y FB(A)=MSB(A)/MSE. En caso de que

En caso de tener ambos factores fijos:

DISEÑOS ANIDADOS

ambos A y B(A) sean aleatorios, Ho: 02 =στ , y Ho: 02 =σβ . FA=MSA/MSB(A) y

FB(A)=MSB(A)/MSE.

Decisión (para este ejemplo: A fijo y B(A) aleatorio)

Si A es aleatorio, se consideran ambos A y B(A) aleatorios.

Se rechaza Ho para A (Máquina) si )1b(a,1a,A F))1b(a/(SSB(

))1a/(SSA(MSBMSAF −−α>

−−==

Se rechaza Ho para B (Molde) si abN),1b(a,B F))bN/(SSE())1b(a/(SSB(

MSEMSB

F −−α>−

==

Para fraccióndefectuosa

N 20/ i),(,))abN/(SSE(MSE −

DISEÑOS PARA MEZCLASEstimación de los parámetros del modelo

Prueba de curvatura en modelos 2k

Fc=MScurv/ MSERechazar Ho si Fc > F0 05 1 glE

N=20/min.

iii ybˆ ==β para i=1…k,

)yy(2y4bˆjiijijij +−==β para i,j=1, 2…k, i < j.

Donde y es el promedio de las réplicas para la mezcl a con el componente i solamente y

0.05, 1, glE

MScurv=SScurv/1

cf

2cfcf

nn)yy(nnSScurv

+−

=

Donde iy es el promedio de las réplicas para la mezcl a con el componente i solamente, ijy

representa el promedio de las réplicas de las mezclas binarias.

Pruebas t para los parámetros

Ho: βi=0 vs Ha: βi dif 0 y en forma parecida para los coeficientes de los productos cruzados βi j

nf No. pts. diseño factorialnc No. pts. centrales(yb)c media de los datos centrales(yb)f media de los datos factorial

)y(ny)yy(n

22n

2ii

∑∑

Ho: βi=0 vs. Ha: βi dif. 0, y en forma parecida para los coeficientes de los productos cruzados βi j. El estadístico de prueba es t=coef./(s.e(coef.)) y se comparan contra t( α/2, p(n -1)).

Para n (número de réplicas por prueba) constante, (i=1..p donde “p ” es el número total de pruebas. Para este ejemplo p=6 ). Así, la varianza

promedio es pssp

i /22 ∑= )b(1n

)y(ny

1n

)yy(s

i

1jiiij

i

1jiij

2i −

−=

−

−=

∑∑==

promedio es pssi=1

i /∑.

n/s24

)b.(e.s2

ij

=n/s)b.(e.s 2i =

2/)NINS(2/)NINS(VOx

ii

iiii −

+−=

Niveles originales (Oi) y codificados (xi)

VO=variable original, NS=nivel superior, NI=nivel inferior

ε+β+β+β+β= xxxxy

Modelos para diseños 2k:

a) Modelo de 2 factores ε+β+β+β+β= 211222110 xxxxya) Modelo de 2 factores

ε+β+β+β+β+β+β+β+β= 3211233223311321123322110 xxxxxxxxxxxxyb) Modelo de 3 factores

p=No. de parámetros βs en el modelo N=No. de observaciones (datos)

Un contraste es una combinación lineal de variables de la forma

∑∑==

==+++=a

1iiaa2211

a

1iii 0cnrestricció,Cyc...ycycyc

Dos contrastes con coeficientes ci y di son ortogonales 0dca

1iii =⇔∑

=

Residuos: e =y y

Anova 3 factores gl(SST)=N–1, gl(SSA)=a–1, gl(SSB)=b–1, gl(SSC)=c–1, gl(SSAB)=(a–1)(b–1), gl(SSAC)=(a–1)(c–1)Residuos: eijkl=yijkl–yijk

yySSCyySSByySSA

NyySST

2c 2k

2b 2j

2a 2i

2a

1i

b

1j

c

1k

n

1l

2ijkl

−=−=−=

−=

∑∑∑

∑∑∑∑= = = =

g ( ) ( )( ), g ( ) ( )( )gl(SSBC)=(b–1)(c–1), gl(SSABC)=(a–1)(b–1)(c–1), gl(SSE) por diferencia

SSCSSByySSBC

SSCSSANy

bnySSACSSBSSA

Ny

cny

SSAB

NabnSSC

NacnSSB

NbcnSSA

2b c 2jk

2a

1i

c

1k

2ik

2a

1i

b

1j

2ij

1k1j1i

−−−=

−−−=−−−=

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

= == =

===

SSBCSSACSSABSSCSSBSSANy

ny

SSABC

SSCSSBNan

SSBC

2a

1i

b

1j

c

1k

2ijk

1j 1k

−−−−−−−=∑∑∑

∑∑

= = =

= =