Тема уроку: Декартові координати і вектори у просторі. Ділова гра – аукціон в 10 класі.

Мета: узагальнити і систематизувати знання та вміння учнів з теми; виховувати інтерес до геометрії та ринкової економіки.

Тип уроку: узагальнення та систематизація знань.Методи: колективна діяльність, індивідуальна робота,

ділова гра.Обладнання: таблиці, картки, підручник.Ділова гра – це імітаційна модель навчальної діяльності учнів,

що відтворюється в умовах, наближених до дійсності. Мета ділової гри – поглибити та розширити діапазон знань учнів, формувати діловий стиль спілкування у практично-професійній діяльності. Незалежно від різновидів таких уроків, їх об’єднують загальні вимоги: постановка теми, цілей та завдань гри; визначення оптимального змісту гри; розподіл ролей та визначення функціональних обов’язків учасників гри; забезпечення умов для проведення. Класний варіант гри включає три етапи : підготовка, сама гра, аналізу та підбиття підсумків.

План урокуІ. Організаційний момент.Мотивація навчальної діяльності учнів.ІІ. Основна частина уроку (Дидактична гра – аукціон).

Повторення та систематизація знань з теми «Декартові координати і вектори в просторі»

ІІІ. Підсумок уроку.IV. Домашнє завдання.Хід урокуІ. Організаційний момент.Учитель оголошує тему та мету уроку, надає учням інформацію

про аукціон, розповідає, що таке лоти та стартова ціна. На кожну парту роздається аркуші з переліком лотів до продажу.ІІ. Аукціон.

Учням пропонується купити той чи інший лот і оголошується ціна:

0,5 бала, якщо інформацію до нього подано у підручнику;1 бал, якщо було уточнення з боку однокласника чи вчителя;2 бали, якщо учень дав відповідь самостійно і в повному обсязі.

Лоти, що виставляються на продаж.

Блок №1

1. Означення декартових координат у просторі.

1) Пояснити, як вводяться Декартові координати у просторі, що таке початок координат і координатні осі, вказати їх напрями, назвати координатні площини.

Нехай x,y,z – три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в точці О.

Назвемо їх координатними осями: «вісь х», «вісь у», «вісь z». Точка О – початок координат. Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі – додатню, позначеною стрілкою, і від’ємну

Площини, які проходять через осі x і y, x і z, y і z, –– координатні площини. Позначають їх відповідно: xy, xz і yz. Осі називають вісь

z

x

2

абсцис, вісь ординат, вісь аплікат. Координатні площини розбивають весь простір на вісім октантів.

2) Дано точки А (0;3;1), В (-2;0;0), С (0;0;4), Д (0;-3;0). Які з них лежать : 1) на осі X; 2) на осі Ζ; 3) у площині ΧΥ ; 4) у площині ΥΖ?

3) Зобразити у системі координат пряму, яка проходить через точки А (0;0;5) і В (0;5;0)

О y

z

x

А (0;3;1)В (-2;0;0)

С (0;0;4)

Д (0;-3;0)

3

2. Координати середини відрізка. 1) Сформулювати і записати формулу, чому дорівнюють

координати середини відрізка у просторі. Квадрат відстані між двома точками дорівнює сумі квадратів

різниць їх відповідних координат.

Нехай дано дві точки А ( )aaa 321;; і В ( )bbb 321

;; , тоді

) ) )( 2

33

2

22

2

11

2 −+−

+−= abababAB

Оy

z

x

В (0;5;0)

A (0;0;5)

4

2) Знайти координати середини відрізка АВ, якщо А (1;2;3) і В (3;-6;7).

Розв’язання:За формулами координат середини відрізка

х = ,2хх ВА

+у = ,

2

ууВА

+z =

2zz BА

+

Тому х = 52

73,2

2

62,2

2

31 =+=−=−==+zу

Відповідь : (2;-2;5)

Точки А (3;-1;-2), В (-5;7;4), С (1;5;2), Д (9;-3;-4) – вершини чотирикутника. Довести, що даний чотирикутник – паралелограм.

Розв’язанняЗа властивістю діагоналей паралелограма.

0 – середина АС і ВД.За формулами координат середини відрізка знайдено координати

точки 0. АС :

2;

2;

2 000

zzzуу

уххх CАСАСА+

=+

=+

=

A

B C

D

O

5

;22

51;2

2

1300

=+−==+= ух 02

220

=+−=z О (2;2;0)

ВД:

,2

,2 0

ууухх

х ДВДВ

В

+=

+=

20

zzz DB+

=

02

44,2

2

37,2

2

9500

=−==−==+−= zyхD О (2;2;0)

Отже, О – середина АС і ВД, тому АВС – паралелограм.

3. Відстань між двома точками.1) Дати словесне формулювання та записати формулу

відстані між двома точками.

Нехай С )( ccc 321;; - середина відрізка АВ. Точки А

( )aaa 321;; і В ( )bbb 321

;; - кінець відрізка. Тоді

;2

111

bac+

= ;2

222

bac+

=2

333

bac+

= .

Отже, кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців.]

2) Знайти відстань між точками В (-2;0;3) і К(3;4;2)Розв’язання :

6

За формулою відстані між двома точками 2

12

2

12

2

12)()()( zzууххd −+−+−=

Тому 66251625)32()04()23( 222 =++=−−+−++=BK

Відповідь: 66

3) На осі Х знайти точку, рівновіддалену від точок В(3;2;4) і С (0;5;-1).

Розв’язання :Нехай точка М (х;0;0) рівновіддалена від точок В і С, тоді МВ =МС.За формулою відстані між двома точками :

2

12

2

12

2

12

2)()()( zzууххd −+−+−=

Знайдемо відстань МВ і МС

хx хххMB222222 62916469)04()02()3( +−=+++−=−+−−+−=

МС 26125)01()05()0(222222 +=++=−−+−+−= ххх .

Розв’яжемо рівняння:

+− х629 .2622 += хх ;29266

22 −=−+− ххх

36 −=− х ;2

1=х . Отже, М (2

1;0;0).

7

Відповідь: (2

1; 0;0).

4. Рівняння сфери .1) Що називається сферою? Записати рівняння сфери з

центром у точці А (а;в;с) і радіуса r. Який вигляд має рівняння сфери з центром у початку координат.

Сферою називається геометричне місце точок простору, які віддалені на одну і ту саму відстань r від даної точки. Ця точка – центр сфери, а відстань r – її радіус.

Рівняння сфери радіуса r з центром у точці )( cbaA ;; має вигляд

) ) )((( 2222 rczbyax =−+−+− .Якщо а=в=с=0, дістанемо рівняння сфери радіуса r з центром у

початку координат: 2222 rzyx =++ .2) Складіть рівняння сфери радіуса r = 5 з центром у точці А

(1;0;4).Розв’язання:Рівняння сфери має вигляд : 2222 )()()( zczвуах =−+−+−Рівняння даної сфери буде мати вигляд :

2002 5)4()0()1( =−+−+− zух , або ;02516812 222 =−+−+++− zzухх .0882222 =−−−++ zхzух

Відповідь: 0882222 =−−−++ zхzух

3) Чи належить точка М (3;2;-1) сфері, рівняння якої

?02642222 =−−+−++ ZуХzyx

8

Розв’язання :Точка М (3;2;-1) х =3; у = 2; z =-1.Підставимо дані координати в рівняння сфери :

.02686149

02)1(62*43*2)1(23

02642223

222

=−++−++=−−−+−−++

=−−+−++ zухzух

020 ≠ . Тому точка М (3;2;-1) не належить даній сфері.Блок №21. Вектор, його координати, абсолютна величина, рівні

вектори.1) Дати означення вектора та його координат, вказати, як

позначається вектор, записати координати нульового вектора; виразити абсолютну величину вектора через його координати. Сформулювати означення рівних векторів.

Вектором називається напрямлений відрізок.

Записують )( ABвекторAB або )( aвекторa .

A

B

9

Вектори часто задають за допомогою координат. Координати

вектора AB ,початок якого А )( zyx 111;; , а кінець В

)( zyx 222;; називають числа ;

121 xxa −= ;122 yya −=

zza 123−= .

Записують такий вектор, зазначаючи його координати

)= aaaAB

321 ;; або )( aaaa321

;;= .

Два вектора називаються рівними, якщо їх відповідні координати рівні. Якщо всі координати вектора – нулі, то його називають нульовим вектором і позначають символом 0 .

Довжиною, або модулем вектора називають довжину напрямленого відрізка, що зображає його. Позначають довжину

вектора a символом a . Якщо )( aaaa321

;;= , то

aaaa2

3

2

2

2

1++= .

Довжина будь-якого ненульового вектора – число додатне. Довжина нульового вектора дорівнює нулю].

2) Дано точки А (1;2;3), В (3;7;6). Знайти координати вектора АВ .

Розв’язання:Координатами вектора АВ , початок якого А (1;2;3), а кінець В (3;7;6) будуть дорівнювати :

.336

;527

;213

3

2

1

=−=

=−=

=−=

ааа

Тому )3;5;2(АВ Відповідь : АВ (2;5;3)

10

3) Знайдіть координати вектора а (а;2а;-а), якщо його абсолютна величина 54 .

Розв’язання: Абсолютна величина вектора знаходиться за формулою

2

3

2

2

2

1 аааа ++= , тому 222)()2(54 ааа −++=

аа а222

454 ++= а2

654 =Піднесемо ліву і праву частини рівняння до квадрату :

222)6()54( а= 2654 а= 92 =а

Тоді .3

;3

2

1

=

−=

аа

Вектор а матиме координати. а (-3;-6;3) або а

(3;6;-3).Відповідь: а (3;6;-3) або а (-3;-6;3).

2. Додавання та віднімання векторів.1) Дати означення суми двох векторів; записати закони

додавання. Дати означення різниці двох векторів. Сформулювати відповідні правила.

Сума векторів )( aaaa 321;; і )( bbbb 321

;; називають

вектори )( babababa332211

;; +++=+ .

Властивості суми векторів. Для будь-яких векторів cba ,,

справедливі рівності: 1) abba +=+ - переставний закон додавання;2) ) )(( cbacba ++=++ - сполучний закон додавання.Різницею векторів a і b називають такий вектор c , який у

сумі з вектором b дає вектор a .

11

Якщо )( aaaa 321;; і )( bbbb 321

;; , то

)( babababa33221

;; −−−=− .

2) Знайти суму та різницю векторів : а (2;1;-2) і в ( 3;-2;5).Розв’язання:

)7;3;1()52);2(1;32(

)3;1;5()52);2(1;32(

−−=−−−−−=−

−=+−−++=+

ва

ва

Відповідь: )7;3;1(

)3;1;5(

−−−

3) Знайти модуль суми та різниці векторів : ).1;5;3()5;1;4( −віа

Розв’язання:

)6;4;1())1(5;51;34(

)4;6;7())1(5;51;34(

−=−−−−=−

=−−−+=+

ва

ва

Знайдемо модуль суми і різниці даних векторів за формулою:23

22

21 аааа ++=

101163649467222 =++=++=+ ва

53361616)4(1 222 =++=+−+=−ва

Відповідь : ;53;101 =−=+ вава

3.Множення вектора на число. 1) Сформулювати означення і закони множення вектора на

число. Вказати властивості.

Якщо )( aaaa 321;; , то )( aaaaa

321;; λλλλλ == .

Для будь-яких векторів a і b справедливі рівності:1) )( baba λλλ +=+ ,де λ- число;2) )( baa µλµλ +=+ ,де λ і µ - число;3) aa λλ = , де λ - число].

2) Помножте вектор 0;4

3;

2

1;3)2;4;3( наа −

12

Розв’язання :Вектор );;( 321 аааа λλλλ = , тому

)6;12;9()23);4(3;33(3 −=⋅−⋅⋅=а

)1;2;5,1()22

1);4(

2

1;3

2

1(

2

1 −=⋅−⋅⋅=

)0;0;0()20);4(0;30(0

)2

3;3;

4

9()2

4

3);4(

4

3;3

4

3(

4

3

=×−××=

−=×−××=

а

а

Відповідь :

)0;0;0(0);2

3;3;

4

9(

4

3);1;2;5,1(

2

1);6;12;9(3 =−=−=−= аааа

3).Обчисліть довжину вектора ).0;0;2(),1;1;1(,32 ваякщова −+

Розв’язання :Знайдемо вектори )2;2;2())1(2;12;12(2 −=−×××=а і

)0;0;6()03;03;23(3 =×××=в

Знайдемо суму векторів:)2;2;8()02;02;62(32 −=+−++=+ ва

Обчислимо довжину вектора за формулою аааа2

3

2

2

2

1++=

26724464)2(2832 222 ==++=−++=+ ва

Відповідь : 26

4. Скалярний добуток векторів.1) Сформулювати означення скалярного добутку двох векторів і

кута між двома векторами. Записати формулу. Кутом між двома ненульовими векторами називають кут між

відповідними їм напрямленими відрізками, які виходять з однієї точки.

Скалярним добутком двох векторів називається добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Якщо кут між векторами a і b дорівнює ϕ , то їх скалярний добуток

ϕcosbaba = .

13

Якщо хоч один з векторів a або b нульовий, то 0=ba .З цієї формули можна знайти косинус кута між векторами : cos

ba

ba=ϕ .

Скалярний добуток векторів )( aaaa 321;; і

)( bbbb 321;; дорівнює bababa 332211

++ .

2) Знайти скалярний добуток векторів : )4;2;1(а і )6;3;2(в .Розв’язання:Знайдемо скалярний добуток векторів за формулою :

332211 вававава ++=×.04481422)8(1 =++−=×+×+−×=×ва

Отже, 0=× ва , а якщо скалярний добуток векторів дорівнює

нулю, то вектори не перпендикулярні.Відповідь : 0.

3)Знайти, косинус кута між векторами )2;2;1(а і ).6;3;2(в

Розв’язання :Знайдемо косинус кута між векторами а і в за формулою :

);cos( ва = 23

22

21

23

22

21

332211

вввааа

вавава

++×++

++

.21

20

73

20

499

20

3694441

1262632221

623221)cos(

2222221

=×

=×

=++×++

++

=++×++

×+×+×=ва

Відповідь: .21

20

ІІІ. Підсумок гри.

14

За допомогою журі вчитель визначає найбагатших покупців, «оцінює» кожного – учня-покупця і переводить набрані ними бали в 12-бальну шкалу оцінювання.

10-12 балів.Усі відповіді учня подані самостійно, вони повні, логічні. Точні,

демонструють глибокі знання з вивченої теми. Учень використовує всі відповідні навички та вміння до розв’язування задач. Аналізує відповіді, робить обґрунтовані висновки.

7-9 балів.Більшість відповідей учня свідчить про глибокі знання з

вивченої теми і здатність логічно мислити. Учень достатньо використовує відповідні навички та вміння до розв’язування задач. Аналізує відповіді, робить висновки, враховуючи коментарі вчителя.

4-6 балів

15

Учень знаходить (відбирає) і логічно організовує майже половину даних, що стосуються питання. Використовує далеко не всі навички та вміння до розв’язування задач. Робить неповні висновки.

1-3 балиУчень знаходить мало даних, що стосується питання.

Використовує відповідні навички та вміння нечітко і неправильно. Висновки або неточні, або відсутні зовсім.

IV. Домашнє завдання:1. Знайдіть довжину діагоналі ВД паралелограма АВСД,

якщо А ),0;3;1( − В(-2;4;1), С(-3;1;1).2. Доведіть, що трикутник з вершинами А(7;1;-5), В(4;-3;-

4), С(1;3;-2) – рівнобедрений.3. Дано точки А(0;1;-1), В(1;-1;2), С(3;1;0), Д(2;1;1).

Знайдіть кут між векторами BC і AD .

16

ЛІТЕРАТУРА

1. Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, В.М. Владіміров, Н.Г.Владімірова Геометрія : Підручник для учнів 10-11 класів з поглибленим вивченням математики в середній загальноосвітніх закладах – К: Освіта, 2000.2. Роєва Т.Г., Хроленко Н.Ф. Геометрія у таблицях 10-11 класи. Навчальний посібник – Х: Видавнича група «Академія», 2001.3. Островерхова Н.М. Аналіз уроку : Концепції, методики, технології – К: Інкос, 2003. 4. Пометук О., Пироженко Л. Сучасний урок: Інтерактивні технології навчання. – К: А.С.К., 2004.

17

ДЛЯ ЗАМІТОК

18

ДЛЯ ЗАМІТОК

19

ДЛЯ ЗАМІТОК

20