7 statika linijskih konstrukcija u ravnini
TRANSCRIPT
![Page 1: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/1.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7. STATIKA LINIJSKIH KONSTRUKCIJA U RAVNINI
Ravninska konstrukcija Usvojeni linijski model 7.1. Vrste linijskih konstrukcija u ravnini Punostjeni nosači
Poligonalni nosači
Okviri i lukovi
Rešetke
Lančanice
![Page 2: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/2.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.2. Unutrašnje sile u presjecima linijskih nosača u ravnini
Presjek
F1 F3
F21
1
F2
F3
F1
Trokut sila
F3
F2F1-1
F1M1-1
F1-1
M1-1
F3
F2
N1-1F1
M1-1
T1-1M1-1
T1-1
N1-1
Sile presjeka:
T1-1- poprečna(transverzalna) sila
N1-1 - uzdužna(normalna) sila
M1-1- moment POPREČNA SILA u presjeku jednaka je vektorskom zbroju projekcija u smjer normale osi štapa svih sila lijevo ili desno od promatranog presjeka. UZDUŽNA SILA u presjeku jednaka je vektorskom zbroju projekcija u smjer tangente osi štapa svih sila lijevo ili desno od promatranog presjeka. MOMENT SAVIJANJA (MOMENT) u presjeku jednak je vektorskom zbroju momenata svih sila lijevo ili desno od promatranog presjeka.
![Page 3: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/3.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Dogovor o predznacima (konvencija)
N
M
T
NM
pozitivni smjerovi
x
T
7.3. Dijagrami unutrašnjih sila Unutrašnje sile u svim presjecima konstrukcije se praktično prikazuju pomoću dijagrama unutašnjih sila.
F1 F3
F21 2 3 4 5 6
2 3 4 5
F3y
F3x
F1y
F1x
- Nx
- Tlak
Tx
Mx
+
-
+
F1x F3x
F1y
F3y
F2
![Page 4: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/4.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.4. Rešetkaste konstrukcije 7.4.1. Definicija, podjela, uvjeti geometrijske nepromjenjivosti Rešetkaste konstrukcije - konstrukcije sastavljene od niza ravnih štapova međusobno vezanih čvorovima koje opterećenja prenose putem uzdužnih sila u štapovima. Opterećenja su uvijek zadana u čvorovima. Podjela rešetkastih konstrukcija a) prema obliku konstrukcije: ravninske i prostorne b) prema statičkoj određenosti: statički određene i statički neodređene Elementarni geometrijski nepromjenjivi lik - trokut
1 2
3
3 2
1
š - broj veza-štapova
n - broj čvorova
š = 2 n - 3. vrijedi za svakuravninsku rešetku
š = 2 3 - 3 = 3. Rešetke sastavljene iz trokutova su geometrijski nepromjenjivi likovi.
12 3
š = 2 9 - 3 = 15.
1 2 3 4
13
1
14 1510 11 129
5 6 7 8
4 5
6 7 8 9
Broj stupnjeva slobode rešetkaste konstrukcije
1 2
3
3 2
1
s = 2 3 - 3 - 3 = 0.
L1 L2 L3
L1 L2
1
L1 L2
1
L3
21
s = 2 1 - 2 = 0. s = 2 2 - 1 - 3 = 0.
s = 2 n - š- L = 0.Općenitos - broj stupnjeva slobodeL - broj vanjskih veza
![Page 5: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/5.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Uvjeti za stabilnu statički određenu rešetkastu konstrukciju: Nužan uvjet geometrijske nepromjenjivosti s=0 Dovoljan uvjet - pravilan raspored veza u konstrukciji
Primjeri dokazivanja geometrijske nepromjenjivosti i statičke određenosti
1
2 3
s = 2 9 - 15 - 3 = 0 .
1 2 3 4
13
1
14 1510 11 129
5 6 7 8
45
6 7 8 9
1
2
32
3
4
4
5
6
7
8 10
1112
913
14 7
1
5
6
s = 2 7 - 14 - 0 = 0 .
Primjeri geometrijski promjenjivih i nepromjenjivih rešetki
Geom. neprom.i stat. određena
Geometrijski Geom. nepromj.i stat. neodređena
a) Geometrijski nepromjenjiva i b) Geometrijski promjenjiva i
promjenjiva
statički određena statički neodređena
![Page 6: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/6.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.4.2. Sile u rešetkastim konstrukcijama 1. Vanjske sile (sile opterećenja): aktivne i pasivne (reakcije) 2. Unutrašnje sile: sile štapova i sile čvorova Određivanje sila u ležajnim vezama (reakcija): - kao kod krutih tijela u ravnini ili - kao kod ostalih štapova rešetke Sile na štap Čvor rešetkaste kontrukcije
iSi
Si
- kolinearne- istog iznosa- suprotnog smjera
+ vlak
iSi
Si- tlak
Pj
j
ii+1
i+2Si
Si
Si+1
Si+1
Si+2 Si+2
zakonu akcije i reakcijesile u čvoru i štapu prema
![Page 7: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/7.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.4.3. Određivanje sila u štapovima rešetkastih konstrukcija Analitička metoda čvor po čvor
1 2
3
1
L1 L2L3
HP
2
3
4
5
6
7
8
9
121110
3.0
3.0
3.0
4.0
α
1) S=2 6-9-3=0.
2) S=2 6-12=0.
ili
tg =3/4α
H S1
S6
Čvor 1
0S,0Y
HS,0X
6
1
==
−==
∑∑
S1
S8
Čvor 2 P
S4
α⋅α
−−=→=++α⋅=
α=→=+α⋅=
∑
∑
sincos
HPS0PSsinS,0Y
cosHS0ScosS,0X
834
414
S2S7
Čvor 3S =06
S4=H
cosα
α⋅=α⋅α
=α⋅==
−=αα
−==
∑
∑
tgHsincos
HsinSS,0Y
Hcoscos
HS,0X
47
2
S =-H2
S9
Čvor 4S =-P-H tg8
S5
α.
α⋅⋅−−=→=−α⋅+=α
=→=−α⋅=
∑∑
tgH2PS0SsinSS,0Ycos
HS0HcosS,0X
9859
55
S3S10
Čvor 5
S =H tg7 α. S5=H
cosα
α⋅⋅=→=−α⋅+=
−=→=α⋅+=
∑∑
tgH2S0SsinSS,0Y
HS0cosSS,0X
101057
353
S =-H3
S12
Čvor 6
S =-P-2 H tg9
S11
α. .
α⋅⋅−−=→=−α⋅+=α
=→=+α⋅=
∑∑
tgH3PS0SsinSS,0Ycos
HS0ScosS,0X
1291112
11311
![Page 8: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/8.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Grafičke metode čvorova • Metoda čvor po čvor ( zasebno crtano) • Metoda čvor po čvor (zajedno crtano) → Cremona Određivanje vanjskih sila
1A B POs
1 2
1
2
s
B
A
Uravnoteženje čvorova (crtano zasebno)
1
A BP
1 2 3
4 5Čvor 1
A
Čvor 4
1 23 4 5 6
7
S1
S3
S3S4
S7
Čvor 2
S5
S4
S2
P
S1Čvor 5
S5 S6
S7
(kontrola)Čvor 3(kontrola)
S2
S6B
![Page 9: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/9.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Metode presjeka
Promatrana rešetka sa zadanim opterećenjem i reaktivnim silama je u ravnoteži. Pri primjeni metoda presjeka izvrši se presijecanje rešetke kroz tri štapa. Promatra se jedan od odsiječenih dijelova uz nadomiještanje odbačenog dijela nepoznatim silama u presiječenim štapovima. Kako je rešetka kao cjelina u ravnoteži, tako u ravnoteži mora biti svaki njen odsječeni dio. Iz 3 uvjeta ravoteže za odsječeni dio određuju se 3 nepoznate sile u presječenim štapovima. Analitička metoda (Ritter-ova metoda)
Svodi se na analitičko uravoteženje poznate sile s 3 nepoznate sile na zadanim pravcima. Poznata sila je rezultanta vanjskih sila na odsiječenom dijelu. Kao analitički uvjeti ravnoteže koriste se jednadžbe za sumu momenata svih sila na odabrane Ritter-ove točke.
B A
P1 P 2
R =A+Pl
S8
S9
S10R8
R 9
R10
d 9
d10 d8
t
t
R , R , R - Ritter-ove točke8 9 10
Ravnoteža lijevog dijela:
10
0R
10R
9
0R
9R
8
0R
8R
d
MS,0M
d
MS,0M
d
MS,0M
1010
99
88
==
==
==
∑
∑
∑
MRi
0 - moment vanjskih sila na Ritter-ovu točku i
![Page 10: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/10.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Grafička metoda (Culmann-ova metoda)
Uravnoteženje poznate sile R s tri nepoznate sile na poznatim pravcima vrši se grafičkim Culmann-ovim postupkom. Iz poligona sila očitaju se grafički dobivene veličine sila.
BA
P1 P2
R =A+Pl
S8
S9
S10
1
3
2
s
c
AP1
P2B
R l O
1
2
3
sS9
S8
S10
c
Očitano: S8 = ... ; S9 = ... ; S10 = ...
![Page 11: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/11.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Primjer V- rešetke
P P P P P P
F=0.6 MN
6 x 5.0
4.0
+++0.560.480.19
- 0.56- 0.50- 0.31
-
0.35+
0.24
-
0.24
+
0.12-0.12
+++0.940.560.19
- 1.13- 0.75- 0.38
-
0.35+
0.35
-
0.35
+
0.35-0.35
P=0.1 MN
Primjer N- rešetke
++++
- - -
-1.0
0.28 0.48 0.60 0.64
-0.45
+0.25 -
0.32+
0.15-0.19 0.05
+ -0.06
0.28 0.48 0.60
5.0
8 x 4.0
P P P P P P P P P
++++
- - -
0.360.72 1.08
1.44
-0.58
+0.45 -
0.58+
0.45-0.58 0.45
+ -0.58
5.0
8 x 4.0
P=0.1 MN
F=0.9 MN
0.36 0.72 1.08
0.90+
![Page 12: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/12.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.5. Gredni nosači u ravnini
Gredni nosači su konstrukcije koje opterećenja u ravnini prenose putem poprečnih i uzdužnih sila i momenata savijanja.
Prosta greda
Poligonalna greda
Greda s prepustima
Konzola
Gerberov nosač
Trozglobni okvir
![Page 13: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/13.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.5.1. Izvod diferencijalnih veza između opterećenja i sila presjeka Zadan je element linijskog nosača opterećen raspodijeljenim linijskim silama koji se nalazi u stanju ravnoteže. Ako se na udaljenosti x izdvoji diferencijani element linijskog nosača duljine dx, on mora biti u stanju ravnoteže.
Lokalna os x
Lokalna os y
O
a) Element linijskog nosača b) Izdvojeni diferencijalni element
p(x)
n(x)
Tl
N0
T0
M0p(x)
n(x)dx
x x+dx
Nx
Tx
Mx M +dMx x
N +dNx xT +dTx x
K
Ml Nl
Uvjeti ravnoteže:
)'2(..........Tdx
dM2
dx)x(pdxTdM
0)dMM(2
dx)x(pdxTM,0M.2
)1.().........x(pdx
dTdx)x(pdT
0dx)x(p)dTT(T,0Y.1
xx
2
xx
xx
2
xxK
x
x
xxx
−=
+=−
=+−−−=
=
=
=−++−=
∑
∑
Deriviranjem (2') po x i uvrštavanjem u (1) dobiva se
)3.().........x(ndx
dNdx)x(ndN
0)dNN(dx)x(nN,0X.3
)2.().........x(pdx
Mdodnosno
dxdT
dxMd
x
x
xxx
2x
2
x2
x2
−=
=−
=+++−=
−=
−=
∑
![Page 14: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/14.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.5.2. Prosta greda Najjednostavniji nosač sastavljen od jednog štapa pridržanog s jednim zglobnim nepomičnim i jednim zglobnim kliznim ležajem. Broj stupnjeva slobode: s = 3n-L = 3x1-2-1 = 0 Prosta greda opterećena simetričnom koncentriranom silom
P
A B/2l /2l
P
A =P/2y B=P/2
Nx 0
+
-
B
AY
PTx
+
Pl/4
Mx
X A
M A P AP
M B P BP
x
B y y
A
= =
= ⋅ − ⋅ = →
= − ⋅ + ⋅ = → =
=
∑
∑
∑
0 0
0 2 02
0 2 02
,
, /
, /
L
L
L
l l
l l
Poprečno opterećenje - simetrično Nx - simetričan Tx - antisimetričan Mx - simetričan
Prosta greda opterećena nesimetričnom silom
P
A B
Nx 0
-
+
Ay
BP
Tx
M =l
PabMx
a bl B= P a
lA =yP b.l
+
X AM A P b
AP b
M B P
BP a
x
B y
y
A a
= =
= ⋅ − ⋅
=⋅
= − ⋅ + ⋅
=⋅
=
=
∑∑
∑
0 00 0
0 0
,,
,
L
L
L
l
ll
l
![Page 15: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/15.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Prosta greda opterećena dvjema koncentriranim silama
P
A Ba
la
Ay=P B=P
Nx 0
-
+
Ay
B
PTx
1
1
PMx
P
c
P
Ay
+
M=P a.
X AM A P a P a AM B P a P a B
x
B y y
A
PP
= =
= ⋅ − ⋅ − = → =
= − ⋅ + ⋅ + − = → =
∑∑∑
0 00 00 0
,, ( ), ( )
l l -l l
Poprečno opterećenje - simetrično Nx - simetričan Tx - antisimetričan Mx - simetričan
Prosta greda opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem
A B
Nx 0
-
+
Ay
BTx
Mx
lAy=ql /2
q
B=ql /2
+
Mmax=ql 2/8
X A
M A q
Aq
M Bq
x
B y
y
A
= =
= ⋅ − ⋅ ⋅
=⋅
= =⋅
=
∑
∑
∑
0 0
0 0
0
,
,
,
L
L
L
l ll2
l2l
2
Tq
q x q xx =⋅− ⋅ = ⋅ −
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
l l22
Tx - antisimetričan
( )Mq
x q xx q x
xx =⋅⋅ − ⋅ ⋅ =
⋅⋅ −
ll
2 2 2 Mx - simetričan
![Page 16: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/16.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.5.3. Konzola Nosač sastavljen od jednog štapa ukliještenog na jednom ili drugom rubu. Desna konzola
PA
l
Ay=2P
-Ay P
Tx
P
/2l/2
M=3/2Pl
3Pl /2
Pl /2-
Nx
Mx
Broj stupnjeva slobode: s = 3n-L = 3x1-3 = 0
X A
M M P
Y A P
x
A
y
= =
= = ⋅
= = ⋅
∑∑∑
0 0
032
0 2
,
,
,
l
A
Tx 0
-M x
lMM
Nx 0
M M
Lijeva konzola
l
Nx 0
AyTx
Mx
A=ql
M=ql2/2p(x)=q
ql 2
8ql 2
2
Mx= - qx2
2
-
+
l
A
Ay=ql /2
M=1/8ql 2p(x)=q
Nx 0
Tx
Mxql 2
8-
/2 l /2
ql2
l
A
A =q /2y l
M=3/8ql 2p(x)=q
Nx 0
AyTx
Mx
ql 2
8ql 2
8-
/2 l /2
+
3
![Page 17: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/17.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.5.4. Greda s prepustima
A B
Nx 0
Tx
Mx
lAy
q
B
.lq2
lq 2
8
+
-
++-
q a.
q a2
8 q a2
2
lq 2
8- q a2
2
- -
( )
( )
M
A q
Aq
B
B
y
y
=
⋅ − ⋅ ⋅ =
=⋅
=
∑ 0
0l l +l2
l +2
2a
2a
Tx - antisimetričan Mx - simetričan
![Page 18: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/18.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.5.5. Poligonalna greda
P
A B/2l /2l
P
A =B=VP2
A =0H
P2
P2
px
Simetrično
1
Ravnoteža čvora 1
N =0D
N =TL D
DTLT =0
P
Nx
-
+P
Tx
4Pl
Mx
- Tlak
Simetrično
- -
P2
P2
Antisim.
+
Simetrično
H
A =H
/2l /2lAv=Hh/l
Nx
B
H
h
-
B
+
H
AV
+
- Tlak
Tx
B
-
H
AV +
HhMx
![Page 19: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/19.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
P
a a
Nx
Tx
M x
P
bc cP P
-
-
+
+
+
PT
N
- -
Ravnoteža
N
TM N
T
M1
1
1
2
2
2
ΣX=0ΣY=0ΣM=0
A
Nx
+
Mx
l
Ayw
B
h=2l
A
A
y
x
B
W=w h.
W l.
W l.
++
Tx
-
+
W
W
W
A =A =B=Wx y
![Page 20: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/20.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.5.6. Kosi gredni nosači
A
B
Koriste se kod stubiša, krovnih konstrukcija, hala, ... Unutrašnje sile: moment savijanja, poprečna sila, uzdužna sila.
h
q
q
B
Al
Q
AA
A
BB B
T
N
TN
V
V
V
V
VV
N
T
+
+
q /8l 2
NX
TX
MX
α
α
αα
1/2 q sinl α
1/2 q sinl α
1/2 q cosl α
1/2 q cosl α
α=
α=
=
sinqQ
cosqQ
N
T
l
l
l
α=
α=
=
sin2qA
cos2qA
2qA
NV
TV
V
l
l
l
α=
α=
=
sin2qB
cos2qB
2qB
NV
TV
V
l
l
l
8qM
sin2
qN
cos2
qT
2
max
A
A
l
l
l
⋅=
α⋅
−=
α⋅
−=
![Page 21: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/21.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.5.7. Gerberovi nosači Statički određeni sklopovi sastavljeni iz više zglobno vezanih greda koji služe za premoštenje prepreka na kojima postoji više mogućih mjesta oslanjanja.
2 1
1 2 3
1 12 3
Dokaz kinematičke stabilnosti i statičke određenosti: Nosač preko dva polja s = 3⋅n–v = 3⋅n–2⋅z–L = 3⋅2-2⋅1-4 = 0 Nosač preko tri polja s = 3⋅n–v = 3⋅n–2⋅z–L = 3⋅3-2⋅2-5 = 0
Analitički postupak određivanja dijagrama unutrašnjih sila
P P
P
P/2 P/2
P P/2 P/2
P/4 5P/4 P/4
Pl/4
Pl/4Pl/4
Pl/8
3P/4
Pl/4Pl/4
Pl/2
Pl/2
P
M
T
l/2 l/2 l/2 l/2 l/2l/2 l
![Page 22: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/22.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
M
T
l/2l l
q
qql/2
ql/2
ql/2
ql/8 15ql/8
3ql /82
ql /162
ql /82
ql/8 ql
7ql/8ql/2
Grafoanalitički postupak određivanja dijagrama unutrašnjih sila
P
l/2 l/2 l/2 l/2 ll
+
+
-
- -
-
Pl/2Pl/4 Pl/4
Pl/4
![Page 23: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/23.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.6. Okviri i lukovi
7.6.1. Trozglobni okvir Koristi se kada treba nadsvoditi veći raspon koji ne mogu zadovoljiti poligonalne grede, a ležajni uvjeti omogućuju prihvat horizontalnih sila. Trozglobni okvir s ležajevima na istoj visini – vertikalno opterećenje
l/2
l/4 l/4 l/4 l/4
P PC
A B
A B
H H
0 0
Ako su ležajevi na istoj visini vertikalne reakcije trozglobnog luka su iste kao na ekvivalentnoj prostoj gredi.
Dokaz kinematičke stabilnosti i statičke određenosti: s = 3⋅n–v = 3⋅n–2⋅z–L = 3⋅2-2⋅1-4 = 0 Uvjeti ravnoteže:
2PB;0BA,0F.4
2PA;0
4P
2A
2A,0M.3
PB;04
P43PB,0M.2
PA;04
P43PA,0M.1
HHHH
HH0L
c
00A
00B
==−=
==−−=
==−−=
==−−=
∑
∑
∑
∑
lll
lll
lll
Primjena načela superpozicije pri određivanju unutrašnjih sila trozglobnog okvira
l/4
l/2
l/4
l/4
l/4
l/4
l/4
l/4
l/4
P PC
AH BH
A0
P P
H=P
+Pl/4
Pl/4 Pl/4
Pl/4 Pl/4
A0B0 B0
H=P
![Page 24: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/24.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Trozglobni okvir s ležajevima na istoj visini - horizontalno opterećenje
l/2 l/2
H H
A B
A B
h
C
V V
W
W
W/2 W/2
Wh/lWh/l
Wh/2
Wh/2
+ +
Wh/l
W/2 W/2
Wh/lWh/l
+ +
+
Wh/lWh/l
+
N
T
M
W/2W/2
Uvjeti ravnoteže:
2WH;0hH
2B,0M.4
2WH;0hH
2A,0M.3
/WhB;0WB,0M.2
/WhA;0WA,0M.1
BB0L
D
AA0L
c
00A
00B
==−=
−==−=
==−=
−==+=
∑
∑∑∑
l
lll
ll
h
h
![Page 25: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/25.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Trozglobni okvir s ležajevima na različitoj visini
β
ββ
l/4
l/2
l/4 l/4 l/4
l/4
P PC
A
B
0
0
h(x) ch
H
H
H
H
L
L
L
L
cos
sin
Pl/4Pl/3
AFINI LIK
M X
Reakcije: A0, B0, H’
Uvjeti ravnoteže:
β==
=−β−
=
==
==
∑∑∑
cos'HHP687.0'H
04
Phcos'H2
A
,0M.3
PB,0M.2
PA,0M.1
C0
Lc
0A
0B
ll
P32
hM
H0hHMM
)x(hHMM
C
0C
C0
CC
0xx
==→=⋅−=
⋅−=
![Page 26: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/26.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Usporedba prijenosa sila trozglobnog luka i poligonalne grede iste geometrije
P P
H H
A B0 0
+
+
MX
TX
NX
hc
C
- Znatno manji momenti kod
trozglobnog luka - Znatno manje poprečne sile - Znatno veće uzdužne sile (u odnosu na poligonalnu gredu)
P P
H H
A B0 0
hc
C
M =Hh(x)x0
0T)x(hHM0)x(hHMM
x
0x
0xx
≡⋅≡→≡⋅−=
⇒ Dijagram momenata ekvivalentne proste grede se poklapa s afinim likom
![Page 27: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/27.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.6.2. Okviri sa zategama Koriste se kada treba nadsvoditi veliki raspon koji ne mogu zadovoljiti poligonalne grede, a ležajni uvjeti ne omogućuju prihvat horizontalnih sila.
Okvir s jednom zategom
S=3x3-2x3-2-1=0
Okvir s vješaljkom i dvije zatege
S=3x5-2x2-4x2-2-1=0
Okvir s više vješaljki i zatega
S = 3n-(4z1+2z)-L = 3x11-(4x4+2x6)-2-1=0
![Page 28: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/28.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.6.3. Lukovi
Konstrukcije s krivocrtnom osi čiji je poprečni presjek relativno mali u usporedbi s ukupnom dužinom. Služe za premoštenje velikih raspona (mostovske konstrukcije, industrijske hale). Prema statičkoj određenosti dijelimo ih na: Statički određene:
TROZGLOBNI LUK LUK SA ZATEGOMLUK SA ZATEGAMA I VJEŠALJKOM
statički neodređene:
DVOZGLOBNI LUK UPETI LUK JEDNOZGLOBNI LUK
Mogu se izvesti kao simetrični i nesimetrični lukovi (gdje jedan oslonac niži od drugoga).
Najčešći su u praksi simetrični lukovi. Oblik luka je proizvoljan. Oblik luka može biti kružni, parabolični, elipsasti ili po nekoj drugoj krivulji. Ukoliko djeluje jednoliko raspodijeljeno vertikalno opterećenje onda je najbolji oblik paraboličnog luka. Nastoji se da se parabolična linija momenata najvećega opterećenja podudara s oblikom nosača.
![Page 29: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/29.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
fy=qx /8
2
l
q
N
Na taj način su momenti na nosaču jednaki nuli i nosač je opterećen samo uzdužnom silom. Postižu se optimalne dimenzije poprečnog presjeka (opterećen je samo jednolikim naprezanjem). Karakteristične dimenzije svih lukova su raspon l i visina f. Odnos f/l se zove spljoštenost luka. Kod statički neodređenih nosača ona je veća. Kreće se od 1/1 do 1/12 ovisno o namjeni konstrukcije. Uporaba lučnih nosača Upotrebljavaju se u zgradarstvu i u mostogradnji od cjevnih propusta manjeg raspona do mostova velikih raspona, u izradi tunela i kod hidrotehničkih građevina.
A) U izgradnji zgrada B) Hidro objekti
C) Tuneli D) Mostovi
![Page 30: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/30.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Trozglobni luk To je statički određen nosač. Primjenjuje se kada postoje uvjeti za dobar prihvat vertikalnih i horizontalnih sila na ležajevima.
Zadovoljavaju : -geometrijsku nepromjenjivost (nisu mogući pomaci bez sila); -statičku nosivost - mogu prenijeti opterećenje na podlogu -kinematsku stabilnost - minimalan broj veza sustava. Dva tijela I i II vezani su s po dvije veze u svakom zglobu, tako da je broj stupnjeva slobode u ravnini:
S=3⋅n-š=3⋅2-3⋅2=0 Nužan uvjet statičke određenosti je pokazan danim izrazom. Dovoljan uvjet statičke određenosti je nepreklapanje veza - zglobovi A, B i C nisu na istom pravcu. Pri bilo kojem opterećenju postoje na osloncima četiri nepoznate veličine. Osim tri jednadžbe ravnoteže koje možemo postaviti za konstrukciju u cjelini, imamo i četvrtu na unutarnjem zglobu u kojem mora moment svih sila s jedne ili druge strane biti jednak nuli.
Analitičkim putem možemo reakcije oslonaca rastaviti na vertikalne komponente A0 i B0 i komponente koje se nalaze na spojnici oslonaca HA
' i HB' .
![Page 31: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/31.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Iz ravnotežnih uvjeta:
llqBl/2lqlB0M
2lqAl/2lqlA0M
00A
00B
⋅=⇒⋅⋅−⋅==
⋅=⇒⋅⋅−⋅==
Vidimo da su vertikalne komponente A0 i B0 u osloncu trozglobnog luka iste kao i kod proste grede raspona l.
Za određivanje horizontalne komponente imamo još dvije jednadžbe:
C
LC'
ALC
'B
'A
'B
'A
hM
cosαH0M
HHcosHcosαH0H
=⋅⇒=
=⇒α⋅−⋅==
∑
∑
Horizontalna sila se javlja iz razloga što oslonci sprječavaju nosivu konstrukciju da se ispruži. Horizontalna sila H povoljno djeluje u smislu smanjivanja momenta savijanja grede na mjestu x:
yH2
xqxAM 'A
2
0x ⋅−−⋅=
)x(hHMM 0xx ⋅−=
cosαHH 'A ⋅= - horizontalna komponenta sila '
B'A HiH
Mx0
- moment savijanja ekvivalentne proste grede )x(hH ⋅ - predstavlja afini lik, uvjetovan oblikom osi luka i horizontalnom silom luka.
Pri određivanju sila T i N u svakoj točki presjeka se mijenjaju sin ϕ i cos ϕ.
![Page 32: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/32.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Rezne sile lijevo a)desno od unutarnjeg zglobab) lijevo
a)
b)
T
T
N
N
M
M
H
H
A0
A0
x
N1
N1
T1
T1
T0
T0
N0
N0
N2
N2
T2
T2
f
x1
y
y
ϕ⋅−ϕ⋅=ϕ⋅+ϕ⋅=ϕ⋅−ϕ⋅−=ϕ⋅−ϕ⋅=
cosNsinTNsinNcosTTb)cosNsinTNsinNcosTTa)
0000
0000
odnosno:
)cos('HsinTN
)sin('HcosTT
xx0
xx
xx0
xx
β−α+α=
β−α+α=
Oblikom osi luka utječe se na veličine T i M.
![Page 33: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/33.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Trozglobni luk izložen vertikalnom opterećenju
(a)
(b)
(c)
(d)
Kružni trozglobni luk: (a) vertikalno opterećenje, (b) Mx dijagram konstruiran pomoću afinog lika, (c) Tx dijagram, (d) Nx dijagram
![Page 34: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/34.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
Trozglobni luk izložen horizontalnom opterećenju
(a)
(b)
(c)
(d)
Izbor osi trozglobnog luka
- Dominantno opterećenje trozglobnog luka je vlastita težina. - Izabrati os luka tako da momenti za dominantno opterećenje budu u svim presjecima
jednaki nuli. → Mx≡0 - Položaj osi određuje se iz izraza:
HM)x(h
0x=
- Oblik osi luka je afin dijagramu momenata na prostoj gredi. )cos(HsinTN,0T,0M x1
0xxxx β−α+α===
- Postoje samo uzdužne tlačne sile. Svejedno je gdje se nalazi srednji zglob, da li je luk trozglobni, dvozglobni, jednozglobni ili potuno upet.
- Idealni oblik luka za konstantno raspodijeljeno vertikalno opterećenje je kvadratna parabola.
![Page 35: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/35.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.7. Složeni gredni nosači 7.7.1. Ojačane grede
Koriste se kada jedan gredni nosač nema dovoljnu duljinu za premoštavanje traženog raspona pa se cilj ostvaruje spajanjem dviju ili više greda. Neprekinutost sklopa na mjestu spajanja osigurava se ojačanjem.
Ojačana greda
Langerova greda
![Page 36: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/36.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.7.2. Poduprte grede
Koriste se za racionalno premoštavanje velikih raspona. Najviše se koriste kao mostovske konstrukcije. Uvjet korištenja je osigurano preuzimanje vertikalnih i horizontalnih sila na osloncima.
Jednostavna poduprta greda
Složena poduprta greda
![Page 37: 7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050619/5520ca57497959842f8b4f93/html5/thumbnails/37.jpg)
Osnove nosivih konstrukcija I
7.7.3. Ovješene grede
Slične poduprtim gredama. Sastoje se od glavne grede koja se sastoji od dva dijela i vješaljki.