7 math-m... · 2016. 7. 13. · 20 0˝ , ˆ ; 6. ) 780 48 16 12 ) 2805 119 24 51 ;) 826 25 33 1 ; )...
TRANSCRIPT
-
���� ���
�����
���� ���� ����������� 7
��������: ������ ��� ���!� �.�.� !�� �� ������ �� �.�.� "���#� �� � ����� �� � ��� ���� ������� $. � %�&�� � %����� �� �. �#�� � � %�!�� �. ��"����: !#� ������ �.�.� �'. $. ����!� � �����!� �. ���(���)����: �. �#
��!� "���� ����*+ �.�.�
!�� �� ������ �� �.�.�
���������� �'��: ���� � �,��� '���� ����������� "(�� *� �����
���� � ����-� �� ��-�� �� ��. ���� "(�� ' %���� ��
���� ����� �������' �� ��. ���&�� ����!� "(�� -/��� %����
���� '�� ��0 ������� � ��. ���* "(�� -/�������
���� �. ������ ��
�' �� ��. ���&�� ����!� "(�� ��!�
������������� "�� ��� ��1�� ��� ����������������������
2016
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
� %�� %�
�������� �������� �.7 �-/� ����� *�������(������� !"��� %������ �!������
���� ���� ����������� 7 2-��(���2''#��� ������!�"0���� �(!������ 0��
-/ ���� �����
���� ���� �������0!���� ��� ������#��� 2011. '��'#��� ��
����!�, ��'�� ��������� !� ����!��!������!2�� %�� ��(!�"0���� � ��� '��!�2-�� �����
"�� ������-����!�"� �����������!��� ���������2'���.
����- ��������!���� �!������:
- ����� I �������"��� %���� �� �����������)�'#���(!�-/ ���� �����
���� ���� ����������� 7, '#��� ��, ����!2�, �����!�, ���2���� ����!� "�� ���� � "�� ���� ��& �������.
- ����� II �������"��� %�����!�"0���� � �� �*�"��� %�'#��� ��, �����!�, ����!2�0 ���0%, ��� ����!�, �'�� %�����!�, ���� � "�� ���� ��& �� "�� "��� %�� %�0!�� ��9�- �.
�������� ������ ����� �����!���������)�� � ��� ��' %�����0�!�2����� !����"&���� �!�, "0��� ��!�, �!�'����� ��!�'�2�"-/ ���������'���!�����!�� �; -/� ��� �����(!�0 �������!�2�����!�0�� � ���� !2-�� �����(!�0 ���(���2'�����
���� ���� ����������� 7 � ���(��� "�� ����� ���� '�� ���& ��2-�� �����0 ������"�� � ����, � %�2�2���������!�� � "�� 2��������(!�����' %�� ��. ,���2�%0���������������- ����� �%� ���%� ����'��(%�(�0 ��� ����!�*�, ��� ��� '���(%��������� �� %�����&����� � %�2�����- ����� ' ��������� �'#� ����!� -/� '#&��"��� � ���� %���-��(!�����*�� ����1�� ��� ����������������������. �������'�1���� �#�� %���-��(!���������(%�� ����� � ��#���� "�� ����������!���������#��#��� ������������������2-����(���.
��1�� ��� ����������������������
-
�������
)��
"��� %���� 1
����� 1 � ��& �� � �ax by c 16 � ��� 1 ���-��(� 16 � ��� 2 � ��& ������"!��!� ����� � �ax by c 24
����� 2 ! �� ��' %���� "�� ���� %�2� 31 � ��� 3 ! �� ��' %���� 31 � ��� 4 ! �� ��������� "�� ! �� ��������� 36 � ��� 5 (!��( "�� ���' �!�(!�! �� �� 42 � ��� 6 ���� %�2�! �� ��' %���� 47
����� 3 ��0$, �"0���� �� "�� ��� ��� ��& ������"! 50 � ��� 7 ��0$ "�� �#�� ������(!���0$ 50 � ��� 8 �"0���� �� "�� ��0$��� 56 � ��� 9 ��� ��� ��& ������"! 64 � ��� 10 ���& ����������"! 68 � ��� 11 ������"&�����"! 72
����� 4 ' %����� �� 75 � ��� 12 �������� ���*������ ��' %����� �� 75 � ��� 13 �������*0�#�(!�' %����� �� 81
����� 5 ��10!���!� 85 � ��� 14 ������� ����� 85 � ��� 15 ������!�� ���#01�������10 108
� ��� 16 ��������1 �1!� "�� ��-����� ��� �� 129 ����� 6 0 %���*0�#� 143
� ��� 17 �#�� ������ "�� �������"�(!�0 %���*0�#� 143
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
� ��� 18 (!��( "�� & ��0 %���(!�0 %���*0�#� 148 ����� 7 0 %���!�"������ 150
� ��� 19 � �����(!�0 %���*0�#� 150 � ��� 20 �#�������� "�� �������"�(!�0 %���!�"������ 152 � ��� 21 (!��( "�� & ��0 %���(!�0 %���!�"������ 156 � ��� 22 � �����(!�0 %���!�"������ 158
����� 8 0 %������� 160 � ��� 23 ���� "�� �#�� ������(!�0 %������� 160 � ��� 24 0 %�������(!�0 %���*0�#� 163 � ��� 25 0 %�������(!�0 %���!�"������ 170
����� 9 � ��& ��'#������ 176 � ��� 26 � ��& ��'#������( ���)�� � 176 � ��� 27 ���&��'#����������"!(����!���� ��� %���������� 183
����� 10 ��(���������2����-�� 188 � ��� 28 & ������ �� "�� & �������� ��(!���������0� 188 � ��� 29 ������� "�� "&�����2����-�� 198
���"0��� ��!�"�� UbD 214
-
1
"��� %����
1. '#���(!������
���� ���� ����������� 7
�����������)�� ���� ����������1��2�-/ ����� ���� �������0!����.
-/ ���������*������2������!2���� 0� ��� ������ %�2�2�����' %�� �� "�� ���
� ��2��(���2�������-����!���!�� �. -/ ����*��!��2'2��0%� ��� �1����������
������� !� ���#������(!�������-����!�2-�-� ���(���2� �� ��������� "�� ��� ��.
���� ���, ���!�0�!�*������-/ ��������� 2-��(���2',�������� � "���'�� �� %���
���"&�����!� "�� "0��� ��!�"0���� �.
2�����-/ ����� ���� �������0!���� *�"��� %����' �0 ���������-����!�
��� � 2�� �����)�� �"���!!����� 2 ��������:
�������� I ���� �"0���!�� ���� (9) �1���!�� ���!� (1).
�������� II ���� �"0���!��#��� (2) �1�0 �����!��1#�� (6); ������*���
���-�������!��1#�� (6) ����*��������� "�� �!�����.
� �����)�� �2-�� �*������0 ��'��%� -/# 34 !�� "�� !�� 4 !��"� ��"�*��
� %�� ����������, ������, ����, �!����� "�� � ��2�� ���#�0���;.
���� %�� ������!�� %�� ���������
���� ���� ��0!���� �� ������:
( ������ �.5 �.6 �.7
' %���� ���������}!�� 4 4 5
' %���� ���������}� ����� 136 136 170
����� 34 !��
������� ������)�� ����� � 50 ����
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
2
2. '#��� ��
�����������2� ���� ���� ����������� 7 "���"�2������ !2-�� ������#�� ��*�
� ���������������������, �������� "�� �����������0 "�� ����� ��
����� �������,���0%� ���� !�; �������2-�&�����*�& ��(�-����������, �����(���2' "��
���������1������������� *����,�� � ��� ���� ��0!�0 ��� "�� �.6; � ����� "�� � %�
2�������� "�� ������������� �(���2���� %�� ������' %�� ��, 2���������!�� �;
"�� �������0%� ���2��� ����� ���(���*�.
3. ����!2�
�������������"����� "�� ���� ��������
���� ���� ����������� 7 � ������
"� ��!��2��-/ ���������
���� ���� ����������� 7 ��� ���� 2011, �� �-/ ����*�
� %�� �����, ����!2� "�� ��� �1���� ������:
���� ���� ����������� 7
5 ������/!�� X 34 !�� = 170 ������
���
(����)
��� �0���� � ��� ������
1. � ��& �� ax by c� �
(8)
2-�� ���������: - �!�� ����-��(�
, ' %�������, !#���������-/���#, !���%$
(!��!� �$2����
!�-������������)�!��#, ' %�������. - ����� ����� ��& ��
1. ���-��(�
- �������-��(� - �#�� ����������1��(!���� -��(� (-/ �����(!����-��(�) - ' %������� - !���%$(!��!��$ - ' %������� "�� ' %������� - !#���������-/���#
4
-
3
1au bv� � "�� ax by c� � � �2'& ����� ����' %����1��� -/� �%� ? - "��� ��& �� ax by c� � , �� � x "�� y ����' %����1���. - "���'��� � ���� ��� ��& �� ax by c� � , �� � x "�� y ����' %����1���.
- �����������)�!��#
2. � ��& ������"!��!� �����
� �ax by c - � ��& �� 1au bv� � � �2'& ����� ���� ' %����1��� - � ��& �� ax by c� � � �2'& ����� ���� ' %����1��� - ���"��� ��& �� ax by c� � ,
�� � x "�� y ����' %����1���. - ���"���'��� � ���� ��� ��& ��
ax by c� � , �� � x "�� y ����
' %����1���.
4
2. ! �� �� & ����� "�� ��� � %�2�
(16-3)
- �!�! �� ��' %����'�, ! �� ����� ����! �� ���� �����,! �� ��������� - !�-�� �� ���*�, & ����� n � �� %�!
(!�! �� ��������� -/� ! �� ���������. - !�-�� �� ���*� na , �� �
1n n nb a a�� � ����
! �� ��������� -/� ! ��
���������. - !�-�� �� ���*�2����"��
1 ( )n na f na � � � "�� 1n npa qa � � � .
3. ! �� ��' %����
- ����(!�! �� �� - ���!�-�-����(!�� �0���;(!�
! �� ��
4. ! �� ��������� "�� ! �� ���������
- ! �� ��������� - � �� ���*� "�� & ����� n � �� %�!
(!�! �� ��������� -� �� ���*� "�� & ����� n � �� %�!
(!�! �� ��������� - & ������%� �����#(!�! �� ������������ � �
1r � - � �� ���*�(!�! �� �� na
�� � 1n n nb a a�� � ����! �� ������
��� -/� ! �� ���������.
2
5
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
4
- �*�(!��(, ��������' �!�(!�! �� ��. - !�-�& ������%� ����#(!�! �� ���������,
�� �� �0 ������ 1r � .
- � %�2�� ����� �� �& �����' %����)�� ����
��������1��. - �*��!�����,
!�������� ��, ���-/# ��-��� "�� � �������.
- � �� ���*�(!�! �� ��2����"�� 1 ( )n na f na � � � "��
1n npa qa � � � .
5. (!��( "�� ���' �!�(!�! �� ��
- (!��( - ��������' �!�(!�! �� ��
6. ���� %�2�! �� ��' %����
- !����� "�� !�������� �� - ���-/ ���-��� "�� � �������
4
2
3. ��0$, �"0���� �� "�� ��� ��� ��& ������"!
(22)
- �!�������� �� ��(!��!���0$. - ���� %����(!��� 0$, ��0$����. - � %�2���
0 00 0
n n
n
� �� �
� � �� �
� �
"��
� �1 1n nB AB B A B� �� ,
�� � n�� . - (����� ��� ��& ������"!2����������0$. - "����� ��� ��& ������"!������ (!����� ����H (Gauss). - �*���"0���� ��,
!�-���0$���� "�� "����� ��� ��& ����
7. ��0$ "�� �#�� ������(!�
��0$
- ������0$ - ������� �� ��(!� 2 ��0$ - ���� %����(!���0$
8. �"0���� �� "�� ��0$���
- �"0���� ��(!���0$��� � � (�)� 2x2 "�� 3x3
- ��0$����(!���0$��� � � (�)� 2x2 "�� 3x3
- � %�2��� 0 00 0
n n
n
� �� �
� � �� �
� �
"�� � �1 1n nB AB B A B� �� , �� � n�� .
9. ��� ��� ��& ������"!
- ��� ��� ��& ������"!2���������� 0$
6
5
-
5
��"!����"0���� ��(!���0$(�)��%�
���� 3 3� . - !������� ������2����� "�� ������� - !�-������� *�'���������(�)�� "�� ���+���!�. - !����������, �����0������� "�� �������� %�� ���!�.
- "0���(��� � %�� �
������ ��!�� ��& ������"!��� � ��!�0 ��� ��. - !�-����-/���#,
���)�!��#(!� 0 %���
����"!��2������
��"�.
- "����� ��� ��& ������"!������(!����� ����H (Gauss) - "����� ��� ��& ������"!����"0���� ��(!���0$(�)��%� ���� 3 3� . - "����� ��� ��& ����2���0�����
10. ���& ����������"!
- ������ ������2����� "�� ������� - ������ *�'���������(�)�� "�� ���+���!� - ���������, �����0�������
"�� �������� %�� ���!�
11. ���& ����������"!
- �(��� � %�� �
������ ��!�� ��& ������"!��� � ��!�0 ��� �� - ���-/���#, ���)�!��#(!�0 %�����
��"!��2��������"�.
5
3
3
4. ' %���� � ��
(8-2)
- ���+�' %����� ��2����������
����, 2��������*0�#�� 0 "�� 2��������2'� %�� ��. - � %����2��#��' %����� ��. - �*��& ��(!����(���
12. ��������� ���*������ ��' %����� ��
- ' %����� �� - ���� %����0���;����� �� ' %����� ��
13. �������*0�#�(!�' %����� ��
- ����(!�' %����� �� - !���#�� ��(!�' %����� �� 0z � - �������*0�#�(!�' %����� ��
3
3
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
6
� %�� �� "�� ���1!����(!�' %����� ��. - "��� ��& ����
��� �2��#��' %����� ��. - "��� ������(��� �2�"&�������� � ���� ������+���������� (����(!� z .
- ���� %����' %����� ������������ *0���� 0
- ��� �� ((Moivre) - ���( ��� n (!�' %����� �� z
5. ��10 !���!� (10+3)
- ���� ����������� "�� ���& ������ ��!�������' ��2-�����+�������� *���. - � ��!�� ���#1������� �����������(!� 1 ����!� "�� ���������!����. - "��� ������10���
� ���� ������ %�2����"��0���; (!���� "'�,��(!�0 ������� ���!�� ��������"� �� "��"���#��� (Bernoulli), "�����
�� (Poisson), "����+ %�����+� "�� "����� ��0. - ��������"������������ .
14. ������� �����
- ������� �����������"��-���� - ������� �����& ������"��-����
15. ������!�� ���#01�������10
- ������!�� ��& ��1��� ���#1��� %�� �� 1 ����!� (+ (�)�0 ��,����%� -/# 30 + (�)�0 ��,����%� �1�30) - ������!�� ��& ��1��� ���#1��� %�� �� 2 ����!� (+ (�)�0 ��,���"0�������!��%�
-/# 30 + (�)�0 ��,���"0������ �!��%� �1� 30 "�� ��������& ������(!� 2 ����!�� ������� �� �� + (� )�0 ��,��� "0�������!�-/# 30 "�� ��������& ������(!� 2 ����!����0���� ��) - ������!��������� �!����0%� � ��
4
6
-
7
16. ��������1 �1!� "�� ��-�
���� ��� ��
- ������!�� ���#1��(!������ ����� %�� ������!�)�� ��#�� - ������!�� ���#1������� ������"0�0���(!����������(!�����!��!��#�� - ������!�� ���#1����������!�� ��0%� � ��(!�0 �������!�0 �� - � %������-�� %�� �� - ��������1 �1!�"��� �����
3
6. 0 %��� *0�#�
(8)
- "0�������"�(!�0 %���*0�#�� 0, !�-��!���� "�� "0���������"�(!�0 %���*0�#�� 0��2��������(�)�� "�� ����������!�� �;.
17. �#�� ������ "�� �������"�
(!�0 %���*0�#�
- �������"�(!�0 %���*0�#�� 0 - �!����(!�0 %���*0�#�� 0 - �������"�(!�0 %���*0�#�� 0 ��2��������(�)�� -/� ����������!�� �;.
18. (!��( "�� & ��0 %���(!�0 %�
��*0�#�
- (!��((!�0 %���*0�#� - & ��0 %��� - ���2-���#/�����!��#(!�0 %���*0�#�� 0������������0 %���( ����!� - ���2-���#/�����!��#(!�0 %���*0
�#�� 0������� %�2�& ��0 %���
4
4 ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
8
7. 0 %���!� "������
(16)
- ���� "�� "0���������"�(!�0 %���!�"������. - �*��(!��(, & �� 0 %���(!�0 %���*0�#� "�� 0 %���!�"������. - !�-����2-���#/�����!��#(!�0 %���*0�#�� 0. - �*��� �����(!� 0 %���*0�#�� 0 "�� 0 %���!�"������.
19. � �����(!�0 %���*0�#�
20. �#�� ������ "�� �������"�
(!�0 %���!�"������
- 0 %����!�"������
- 0 %������!�"������
- 0 %���0 ��!�"������
- 0 %�����0 ��!�"������
- ������1��(!�0 %���!�"������
21. (!��( "�� & ��0 %���(!�
0 %���!�"������
- (!��((!�0 %���!�"������
- & ��0 %���(!�0 %���!�"������
22. � �����(!�0 %���!�"������
4
4
4
4
8. 0 %��� ����
(10+4)
- !�-�0 %����������, �(� %�� � "�� �(
���(!�0 %�������. - "0���������"�(!� 0 %�����. - "��� ��������� ��0 %�������. - !�& ��0 %��� "�� � �����(!�0 %�������.
23. ���� "�� �#�� ������
(!�0 %�������
- �(� %�� � "�� �(���(!�0 %�������. - �������"�(!�0 %����� - & ��0 %���(!�0 %�������
24. 0 %�������(!�0 %���*0�#�
- & ��0 %���(!�0 %�������(!�0 %���*0 �#� - � �����(!�0 %�������(!�0 %���*0
�#�
4
4
-
9
25. 0 %�������(!�0 %���!�"������
- & ��0 %���(!�0 %�������(!�0 %���!�"������ - � �����(!�0 %�������(!�0 %���!�
"������
6
9. � ��& �� '#����� �
(10-2)
- � ��& ��'#���������
"��0 ������*�, � ��& ���!��� ��, � ��& ������"!( ���)�� � "�� ( ����!���� � �� %����� �����.
26. � ��& ��'#�����( ���)�� �
-� ��& ����� �0 ������"��*� -� ��& ������"! 27. ���& ��'#����������"!(���
�!���� ��� %����������
- � ��& ��'#����������"!( ����!���� � �� %����� ����� - � ��& ������"!( ����!��!��� �� - � ��& ��( ����!��%� �!��� ��
4
4
10. ��(� ���� ����2� ���-�� (14-2)
- �*��& ������ �������0�. - �*������!��� (!�������
"'(���(�)��, ������"'2� 2� -/� 3� . - �*��& �������� ��. - �*���%���(!����� �� "�� ���������*� - (��� ��& ��������� "�� "&�����2���� -��. - �!���� 0 � ��� %�� �(!��!�������� : ���0 �,
!��#����#���-����
28. & ������ �� "�� & �������� ��(!�
�!������0�
- 0 �������& ������ ��(!��!������0�2����-�� - � ��-�����!��� (!������� "'(���(�)�� "�� ����!��� (!�������"'2� 3� - 0 �������& �������� ��(!���������0� - ���� ������(!�& �������� ��(!���������0�2����-�� - � ��-��%���(!����� �� 29. )��"&����2����-��
"�� ������� 2����-��
- )�����2����-��
6
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
10
�!�������� , ���(� )�� -/� ���*(��,
!�*���-�����-�����!�������� . - �!���� 0 � ��� %�� �(!�� ��� � �� � �� " &� � � � � : ���(�)�� !�-�*���-�����-���������
�� -�"&�����, ���0 �
!�-�0 �������(!����0 �, !�-��#��� -����������� "�� "&�����. - �!���� 0 � ��� %�� �(!��!�"&�����: ���(�)�� !�-�*���-�����-�����!�"&�����, ���0 � !�-�& ��(!�������� ��� *�'����0 �, !��#��� -�����!�"&�����.
- �������)�� �0 ������� ��)�����)�� � - ��� 0 � �����1����-����)����� - )�����(�)��� �� "�� )�����0 ������� �� - *���-���'�����)�� �-�)����� - � ��& ��������� 2����-�� - ��� 0 � ��� %�� �(!��!�������� 2����-��
6
��� 29 120
+���-: "�*�� 16 ������ ���� !����.
4. "��� %�� ���� ������!� "�� �'�� %�����!�
������-����!������ "� ��"��2������ !2-�&������ ���#' #��� �� "�� �� � �1����(!��������������� *�� %�� �*��2�"0���� � ���������!����!��&���������2'��� "�� 2����������00��0 ��,���2�� ���� ���� !2-�� �����*�� ����, ����"��*(� ��-� � �������-�� %�0!����0 ���!� "�� � ����� ��� ��
-
11
��-����� �� ������� ��, �������!���� 2��0����0���;��� �: � �����, � ������, !�����, �� ����+!�, ���!�, ���, (��������, -/�����, � ���������� "�� !�� �;!��0������!2�� ����, �����-�!����, !#���!���� � � "�� ������ ��(!�� �����.
����!������( ��� �.7 ������!��2'2�������0%� *����:
� !��2��' #��� �� "�� ��� �1����(!�"0���� �.
� � ��������������� ' %������ %�� ��� �� ���;.
� �������2-�� ������ ���� �����0 ���!�-/������ ���� '����*� "��
����� ��- ���������(!�� �����.
� ��� !����� �����"��� ��-�2�����' %�� �� -/� ���� %�2�.
� ����'�� %�, ��-/#������ ���� "�� "��� ��9�- �.
5 . "��� %����� %�2���� ����!� 2���� %�����������-����!��#�� ���� �' #��� ��2-�� ������(���2'����+��(!�
����!2�� ����,��� ��'� "�� ����� %��!���������*�2�2�����' %�� ��*�. ��� ���, ��
0�!�*�� %�2�!#���!����!�����!����� !2-�� ����������������(���2'����+��(!�
� ����*�� ���.
������-����!������( ��� �.7 � �����' %�����2����� %�2���� ������-����!�
��� ������������� �: ����"����� "�� ���� ���, *� �"��, *� �� ��� ����, *� �� �� � �"���#�,
� �����.
�!�� ��� ��0�!�*�� ���� ���� !��!#���!�� ��2�2�������-����!������
����#�, +��2�� ���#!#���!���� ����-�*�2���!�1��, �!*� "�� �%� ������!�-/��
����*� -/� &���!� ��� �: ����0���0���;, "&���, �������"�(!�0 %���, ���
��(���� "�� !�� �; �� ������ %���2�������� ������-����!���� ���2-�������-���
�!����� "�� 2-�� ������(���2'����!2�� ����*�� ��� "�� *�(���.
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
12
6. ���� � "�� ���� ��& �� ���� � "�� ���� ��& �� "� ���'�� %�)�� ���� (��%� *�2�(����������-���
�!� ���� !�������� �"��, 0�����& ��(!�������-����!� "�� � %�& �� ���� ���
*�"��*(����#�������(!�� ����� "�� ����!�(!���2-��(���.
'#��� ��0 ���0%(!����� � "�� ���� ��& ��"� ��:
- ���� !���2-�������1�'#
� "�� (%�� ����!�2�����!�(!�0 �� "�� � %�*�
����#�2-��(������� !2-�"��+��� ��'#��� "�� ����0�!����(!�&�����.
- ���� !���2-�������1��� ������"0�0������������(!�� �����"0���� ��
"�� -��������-/�!2-�� ������.
- ���� !2-�� ��������� ���� �2��� �(��������0� �*��, �� �2��� �������#�"��*(
"�� �#����0%� ������2-��(����������� �.
- ���� !������!�!��2-�"��&���%�-����������, &��� ���!� "�� #� ��*���
�!� �����(���2��������-/�� !������(!�� �����2-�� ������.
���� � "�� ���� ��& ��������-����!������ ( ��� �.7 !�2�-/���
�� -/� -/����*'���� !���� ������0 ���"� ��: ���� �������00����� %������'�
� %�, ����� ��2', �����!��2'2��, � %�2'����-/�!�� �� �� "�� � ��, & �����"��� �
�9�- �, ����������!�+�� -/� �������, & �������������� �, & �����
�!�������' %������� "�� & ������!�������������� "�� ���� %�*�2�2���
��' %�� ��.
7. "��� %��������"&�����!���' %��� ������"&�����!� "� ������ %�� �"���������!�*�����)��� %�� ����� ��0� ����' �������-����!� �� �� ������ %�� �� "�� ' %������ %�� ����. � �!�����!�"0����� ��&���!�0�!�*�����"&�����!���' %�� �����2-���!�����'�
���2-����������������)��2����' �������-����!� ���� !� ����� �����
-
13
� �������0� �-/ ����*�,���� ��1���0��� %�� ����� "�� 2-��!��!�� �������0 ��'�(!���!�1��. "&�����!���' %�� ����� (��' %���) ������*�"���'���������� ������:
"&�����!��� ...................... (( ������ .......... �� ����� .................
��� ���
��!� !��/ � ����
'/� �������!� � ��� ����!2�/- ��� � +���- ���+ � "0���� �
I
9
10
11
12
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
14
1
II
2
3
4
5
6
� %��-��(!�&��! %������������� � ���� ........................
��&������"&�����!�
-
15
8. ""��� %����"0��� ��!�
� ��!�"� ������ !�� ���� � %�� �� "�� ' %������ %�� �����!�, ����� ��!�"� ��
"&���� %���������!���!�� %�� ������!2�� �2)�� � -/� ������2)�� ���� �������
"�� '���0� �2������!�. ���� ���, ���#�� ��' %�����0�!�*�"0��� ��!�(!�0 ��
���� !2-�����!�"��+��� �������0 ��'� "�� '#���(!�� ����� ���� !2-��(��
�'������ ��& ��� %����2���������� 0����� �1����( �������1�������������� *�
� %�� �*��2�-/ ����.
�������(!�� ��!���-/�����"��, ��'�� %�2����"��2�%*�!��0�����������!��
���� �� "�� ����������� '�� %�2�2���!�1��. "0��� �� %�� ��0�!����!����: '#��� ��,
����!2�, ����, �'�� %�������-����!� "�� ���� � "�� ���� ��& ��.
���"0��� ��!� "0���� �0�!��!��2'2�� ������:
+ ���� %�� ����� 0�!�2-��!��!�� ������!2�, �'�� %���� '���0� �2�����
�!� "�� ��������(!�� �����.
+ ���� %�� ��'�� %�������-����!� 0�!��!��!�� ��'#��� ��, ����!2�,
��� ������-����!�, ��������(!�� ����� "�� �����-�!����.
+ ���� � "�� ���� ��& �� 0�!�� � "�� ���� ��0��'#��� ��(!�������-
����!�.
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
16�
����� 1 � ��& �� ax by c� �
� ��� 1 ���-��(�
���� 4 ������
1. '#��� ��
���� !2-�� ���������:
- ����������-��(�2��#��' %����1���.
- ���!�!#���������2-���#��2����-��"��!���%$
H.
2. ����!2�0 ���0%
- �������-��(�.
- ���-��"��!���%$
H "�� !#���������2-���#(!��!�' %����1���.
3. ��� ������-����!�
����"����� "�� �������� ��� ����� �.7
4. �'�� %�������-����!�
4.1 �'�� %�:
� ������� %�2������!�"��������! (������2'���) ���� !�!��#��2-��+ �-�!�;
� ������� %�2������!�"��2+� (� ���������2'���) �����"���� �����!!�����
-/��'#��!�0�������+��� �� ���� !���� ������!������������ � ���(�!�&����'�� %�(!��#��.
��'����!����2� ��� 0�!�� ����� ����� ���!���������� "�� � �����;�(���2'� ���.
-
17�
4.2 ���������� ������!��2'2��:
-��(�2-� "�� -��(� "� ��� �����+��0���� �� ������:
-��(�2-�: 1��� � 24 2 12� � , 56 8 7� � , 72 9 8� � , 120 6 20� � , ..."�� !�� �;
�����!��������� “-��(�2-�” ; -/� ���� �� ��(�� 24 2 12� � , 56 8 7� � , 72 9 8� � ,
120 6 20� � , ..."�� !�� �; �%�!��������� “-��(�2-�” ��� ��.
������*�: � %�� ���!�' %����1���0��2' a "�� b . “ b -��(�2-� a ” �%0%�
�� ��!� �' %����1��� c �� �0!���)!�2-� �b ac .
��� ����: 2 3 6� � ������� 6 2 3� � “!������ 6 -��(�2-� 2 ” -/� 6 3 2� �
“!������ 6 -��(�2-� 3 ”.
-��(� 1��� � 24 2 12� � ������������ 2 | 24 "�� !������ “ 2 -��(� 24 ”, ��� �
��� �������%!��� 8 | 56 , 9 | 72 , 6 |120 , ..."�� !�� �;.
�) ���-��(� (Divisibility)
����: ' %����1��� b -��(�2-�' %����1��� a , (����� |a b “!������ a
-��(� b ”. 1����� �c � �� �0!���)!�2-� � �b a c . ����� �������!�����
b "� ���������(!� a "�� a �!������!#�����(!� b . ' %����1���0��2'
a � �!#�����2-���#"� �� �a .
(�!��2'2��: �������(�� |a b 1����� a -��(� b , "�� (�� |�a b 1����� a
�%� -��(� b ).
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
18�
0 ��,��� 1: �) 56 7 8� � +��������� “7 -��(� 56 ”; -/� (�� “7 | 56 ”.
() “3 | 15� ” !������ “3-��(� 15� ”.
�) 2 | 6 (2 -��(� 6 ) ������� 6 2 3� � .
�) 3 |15� ( 3� -��(� 15 ) ������� � �� �15 3 5� � � .
') | 0a (a -��(� 0 ) � %�� �� � �a � ������� 0 0� �a .
1.2 �#�� ������(!����-��(�
-/ ����� 1 : � %�� ���#�; , , �a b c � , �������� �:
1) |a a , 1| a "�� | 0a ;
2) |a b "�� |a c "� �� � �| �a b c ; 0 ��,���: 2 | 6 "�� 2 | 8
"� �� � �2 | 6 8� .
3) |a b "� �� | �a b ; 0 ��,���: 7 | 56 "� �� 7 | 56� .
4) |a b "�� |b c "� �� |a c . 0 ��,���: 2 | 6 "�� 6 | 24 "� �� 2 | 24 .
5) 1����� |a b "�� |b c "� ��� � � �| �a bx cy � %�� �� ,� �x y � .
0 ��,��� 2. 2 | 6 "�� 6 | 24 "� �� � �2 | 6 3 24 4� � � -/� 2 |114 � %�� �� 3,4�� .
() !#���������2-���# (Greatest Common Divisor -/� gcd )
����: 0 ��-������2-���#(!��!�' %����1��� a "�� b ( a , b �%� ���� ������!�
� ��) "� ��' %����1��� d ��� -��(� a "�� -��(� b . d �!������!#�����
����2-���#(!� a "�� b . � ����� �����: � �gcd , �a b d -/� � �, �a b d .
-
19�
0 ��,��� 3. �) � �gcd 8, 4 4� � .
() � � � �gcd 7,11 gcd 4, 9 1� � .
-/ ����� 2:
�) 2-� � �,�d a b . '�� �' %����1��� ,x y �� ��!��!�2-� � �d ax by .
() �#�;!#�����(!� ,a b '�-��(�0 ��-������2-���#(!����� ��.
0 ��,��� 4. �) !#���������(!� 24 "�� 60 "� �� 1, 2, 3, 4, 6, 12� � � � � � .
() 12� "� ��!#���������2-���#(!� 24 "�� 60 .
�) ' %�������
����: ' %����1��� 1�p �!������ “' %�������”, 1������ ��� �!#��������"0� � p
"�� 1� ���� �� ���.
0 ��,��� 5. 2 � �!#�����"� �� 2� "�� 1� ; 3 � �!#�����"� �� 3� "�� 1� , ....
����������0 ���. ��"��� ��� 2 "�� 3 �!������' %�������.
�) ���-��"��!���%$
H (Algorithm Division)
������ ���!��0 ��,�������!�2-�� ��������!����� !��������� �: (��(�-���
' %����1���0%� *����0�����"�� 0 ��-��, & ��-�� "�� 0 ����(!�:
�) � �39 6 6 3� � � ; () � �87 9 9 6� � � ;
�) � �123 23 5 8� � � � � ; �) � �147 24 6 3� � ;
') � �279 15 18 9� � � ; �) � �1231 102 12 7� � � .
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
20�
0 ��,��� 6. �) � �780 48 16 12� � � � � ;
() � �2805 119 24 51� � � � � ;
�) � �826 25 33 1� � � ;
�) � �758 242 3 32� � �
0 ��,��� 7. ' ���!�-� � �gcd 2805,119� ���������-��"��!���%$
H.
� �"��: � �2805 119 24 51� � � � � �-����� 51 | 119� �������0%� (�-���!��*�:
� �
� �� �
2805 119 24 51
119 51 2 17
51 17 3 0
� � � � �
� � �
� � �
; ��� ��� � �gcd 2805 17� � .
0 ��,��� 8. ' ���!�-� � �gcd 758,242 ������-��"��!���%$
H.
� �"��: � �758 242 3 32� � � �-����� 32 | 242� �������0%� (�-���!��*�:
� �� �� �� �� �� �
758 242 3 32
242 32 7 18
32 18 1 14
18 14 1 4
14 4 3 2
4 2 2 0
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
;
��� ��� � �gcd 758,242 2� .
0 ��,��� 9. !�-� � �gcd 98,72 "�� ' %����1��� , �x y � ���� !���2-�
� �gcd 98,72 98 72� �x y .
-
21�
� �"�� : � %�2����-��"��!���%$
H����*�:
-��"��!���%$
H
���� !!�-�
� �gcd 98,72
'����0������0 ���#
����(!� � �4 1!������������ !!�-�
,x y
� �
26 1 20 6
98 1 72 (1)(2)34
6 3 2 0 5
gcd 98,72 2
72 2
20 3
206
2
6
6
2
2�� � ��
� �
� �
�
�
��
�
�
�
�
34 20 6 2� � �
6 23) 2( 6 0� �
20 7 22 6( 2) 2� � �
261) 9( 72 8� �
� �� � � �
� �� � � �
� �� � � �
20 3
20 3 26 3 204 3 264 3 26
4 72 8 26 326
264 72 114 72 11
4 72 11 98 11 7215 72 11 98
11
2 20 3
2
,
07
626 2
2 2 26
9
1
0
2
5
8 7
� � �
� � � � �
� � � �
� � � �
� � � � � �
� � � �
� � � �
� � � � � �
� � � �
� � �
� �
�
�
�
�
�
�x y
����� � � � �gcd 98,72 98 72 11 98 15 72 1078 1080 2� � � � � � � � � � �x y . �
') ���� ��� ��' %�������0%� � �� (Relatively Prime Integers)
���� 1.4: �!�' %����1��� , 0�m n �!����������' %�������0%� � ��, 1�����
� �gcd , 1�m n .
0 ��,��� 9. � �gcd 8,15 1� ��� ��� 8 "�� 15 ����' %�������0%� � ��.
5. ���� � "�� ���� ��& ��
������: � �������0� %�(!�� ������ ��2������ ����(!���
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
22�
1) ���"��� ��9�- �"���!����, "���#�� -/� 0!�� %�1��(!���������.
2) ���� ���� ���������������.
3) '��& ����"������"��! �0�*� -/� ����*�.
6. "��� %� � %�0!�� ��9�- �
1. !�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 758,242 758 242� �x y
� %�0!�: 53, 166x y� � � �
2. !�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 726,275 726 275� �x y .
� %�0!�: 11, 29x y� � � �
3. !�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 237,81 237 81� �x y .
� %�0!�: 13, 38x y� � � �
4. !�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 616,427 616 427� �x y .
� %�0!�: 9, 13x y� � � �
5. !�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 936,666 936 666� �x y .
� %�0!� : 5, 7x y� � � �
6. ' ���!�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 1137,419 1137 419� �x y .
� %�0!�: � 206, 559x y� � � �
7. � � � �gcd , gcd 14,75 14 75� � �a b x y .
� %�0!�: 16, 3� � �x y .
-
23�
8. � � � �gcd , gcd 49,60 49 60� � �a b x y .
� %�0!�: 11, 9� �x y .
9. � � � �gcd , gcd 4147,10672 4147 10672� � �a b x y .
� %�0!�: 175, 68� � �x y .
10. � � � �gcd , gcd 180,252 180 251� � � � �a b x y .
� %�0!�: 3, 2� � � �x y .
11. � � � �gcd , gcd 143,252 143 252� � �a b x y .
� %�0!�: 37, 21� � �x y .
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
24�
� ��� 2 � ��& ������"!��!� ����� ax by c� �
(Linear Diophantine Equations)
���� 4 ������
1. '#��� ��
���� !2-�� ���������:
- ������� "�� �#�� ������(!�� ��& ������"!��!� �����.
- ���!�-�2'& ��1���(!�� ��& ��������!���%$
H, ������ "�� ���0 ��
����2+�.
2. ����!2�0 ���0%
- �������-��(�.
- ���-��"��!���%$
H "�� !#���������2-���#(!��!�' %����1���.
- ���� %�2����-��"��!���%$
H���� !!�-�2'& ��1���(!�� ��& ������
"!��!� �����.
3. ��� ������-����!�
����"����� "�� �������� ��� ����� �.7
-
25�
4. �'�� %�������-����!�
4.1 �'�� %�:
� ������� %�2������!�"��������! (������2'���) ���� !�!��#��2-��+ �-�!�;
� ������� %�2������!�"��2+� (� ���������2'���) �����"���� �����!!�
����-/��'#��!�0�������+��� �� ���� !���� ������!������������ � ���(�!�&����
'�� %�(!��#��. ��'����!����2� ��� 0�!�� ����� ��������!���������� "��
� �����;�(���2'� ���.
4.2 � ��& ������"!��!� �����
� ��& ������"!��!� �����"� ��� ��& ����� � �������� ax by c� � �� ����!�
2'& ��(!�� ��& �����"� ������'�!�2��#��' %����1���.
4.3 �� ��!�*(' %����� "�� ����%���� !2-�� ��& �� ax by c� � ��2'& ��1���:
-/ ����� 1: 2-� , ,a b c "� �����' %����1���, �� � a "�� b �%� ���� ������!�� ��.
� ��& ������"!��!� ����� � �ax by c '���2'& ��:
1. �� ��! � �gcd , |�d a b c .
2. 1����� 0 0,x y "� ��2'& ��)�� �(!� � �ax by c , "� ��2'& ��1�������*�(!�� ��'�
���������: 0 0;� � � �b ax x t y y td d
"�� �t � .
-/ ���������!�: 2-� , , �a b c � . � ��& ������"!��!� ����� � �ax by c '��%� � �2'& ��
1���: 1����� � �, |� �d a b c .
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
26�
4.4 "��� ��& ��������� %�2����-��(�
0 ��,��� 1. "��� ��& �� 6 9 21� �x y
� �"��: ����!�-� � �gcd 6,9 3� "�� �-����� 3 | 21 , ��� ���� ��& ��� �2'& ��1���.
���� !!�2'& ��1��� , �x y � ����'�!�2'& ��1��� 0 0, �x y � )�� �(!�� ��& ��.
'�� 6 9 21� �x y �� ��!-���!������� 3 ����*� 2 3 7� �x y .
������(��(�-���"��!���%$
H(!� 3 , *�: 3 2 1 1� � �
� �� �
2 1 3 12 1 3 1 1
2 7 3 7 7
� � � �
� � � � �
� � � � �
��� ��� : 0 07 ; 7� � �x y "� ��2'& ��1���)�� �(!�� ��& ��. ��� ���2'& ��� ���*�"� ��:
3 7 , 2 7 ;� � � � � �x k y k k � .
1�� 5�k ����'�*� 8 ; 3� � �x y �%"� ��2'& ��1���)�� �!��(!�� ��& ��, ...
0 ��,��� 2. "��� ��& �� 6 9 5� �x y
� �"��: ����!�-� � �gcd 6,9 3� "�� �-����� 3 | 5� , ��� ���� ��& ���%� � �2'& ��.
4.5 "��� ��& ����!� �����H����������� �
� ���� ��� ��������� �������
���� : 2-� �m � "� ��' %����1������. ���� ��� �� “������� ������� m ” (!�
�!�' %����1��� , �a b � '�� %�� �
��� mod�a b m �%0%� �� ��! � �| �m a b .
0 ��,��� 33. �) 89 25 mod 4� ������� � �4 | 89 25� .
-
27�
() 89 1 mod 4� ������� � �4 | 89 1� .
�) 25 1 mod 4� ������� � �4 | 25 1� .
�) 153 7 mod 8� � ������� � �8 | 153 7� .
') 24 3 mod 5� ������� � �3 | 24 3�� .
�) 243 167 mod 7� ������� � �7 | 243 167�� .
� �#�� ����������1��(!�������� ��������� �������
�) mod�a a m .
() 1����� mod�a b m "� �� mod�b a m .
�) 1����� mod�a b m , mod�b c m "� �� mod�a c m .
�) 1����� mod�a b m "�� � �c � , "� �� � � � � mod� � �a c b c m ;
mod�ac b c m
-/ ����� 22 : 2-� , , �a b c � "�� �x � '��!��!�� ��� ������ ��� ��������� �����
"!������ mod�ax c b �%0%� �� ��!� � �y � "�� � �ax by c .
-/ ����� 3 : 2-� , , �a b c � ���� ��� ��������� �����"!������ (mod)�ax c b
'���2'& �� �x � �%0%� �� ��! � �gcd ,�d a b -��(� c .
0 ��,��� 44. ' ���!�-�2'& ��1���(!� 14 18 12� �x y .
� �"�� : ����!�-� � �gcd 14,18 2� "�� 2 |12 . ��� ���� ��& ��� �2'& ��1���.
����-��� ��& �� 14 18 12� �x y 2-� 2 *�: 7 9 6� �x y .
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
28�
"��� ��& �� 7 9 6� �x y ������� �2-����"��� ��& �� � �7 6 mod9�x .
� � %����&������!���%$
H �� �0 ������(!� 7mod 9 "� �� 4 , ���� ����� ��!���� ��
�!������� 4 ����*� � �24 6 mod9� �x .
��� ��� 6 9 6 9 ,� � � � � �x t x t t � , "��������2��� ��& ������*� 4 7 ,� � � �y t t �
-/� � � � �, 6 9 , 4 7 ;� � � � �x y t t t � .
� "��� ��& ����!� �����H���������0 ������2+�
0 ��,��� 55. ' ���!�-�2'& ��1�������*�(!�� ��& �� 4 13 5� �x y .
� �"��:
��� 1: '�� 5 13 14 13 5 1 34 4
� �� � � � � � �
y yx y x y . (1!��!�� x ) "���
��� 1 1 4 ,4�
� � � � �y t y t t � . (1!��!�� y 2-�(���� �� t ), '��� ����!��*�"��
���2�� � �11 3 1 3 1 4 2 13 ,4�
� � � � � � � � � � � �yx y t t t t � .
��� ���2'& ��1�������*�(!�� ��& ��"� �� � � � �, 2 13 ,1 4 ,� � � � �x y t t t � .
��� 2: ������-��"��!���%$
H, �������*� 13 3 4 1� � � , � ��& ��'��������
� �4 3 4 1 5� � � �x y "�� �� ��!' �������2+�*� � �4 3 1 5� � �x y y .
���2-� 3� �u x y *�� ��& ��2+�"� �� 4 5 5 4� � � � �u y y u , "�����2��
3� �u x y *� � �3 3 5 4 15 13 ,� � � � � � � � �x u y u u u u � . ��� ���2'& ��� ���*�
(!�� ��& ��"� ��: � � � �, 15 13 ; 5 4 ,� � � � �x y u u u � .
-
29�
0 ��,��� 66. ' ���"��� ��& �� 9 100 1� �x y .
� �"��: ��� 1 '�� 1 100 19 100 1 11
9 9� �
� � � � � � �y yx y x y . (1!��!�� x ).
��� 1 1 9 ,9�
� � � � �y t y t t � . (1!��!�� y 2-�(���� �� t ) "����!��������*�"��
��� 2�� � �111 11 1 9 11 100 ,9�
� � � � � � � � � � �yx y t t t t � .
��� ���2'& ��1�������*�(!�� ��& ��"� �� � � � �, 11 100 ,1 9 ,� � � � �x y t t t � .
��� 2: �-����� � �gcd 9,100 1� . ��� ���� ��& ��� �2'& ��1��� x "�� y ��� �!��!�
2-�� ��& �� 9 100 1� �x y . �� ��!���!��!�����(!� , �x y � 0��2'�����!�� ��� ��
& �� ���� ���, ��� ����: � �9 11 100 1 1� � � � � "�� � �9 89 100 8 1� � � � � . � �2'& ��1����%�
����#. � � � �, 11,1� �x y "� ��)�� �2�2'& ��1���(!�� ��& ��. ��� ���:
� � � �100 9, 11 ,1 11 100 ,1 9 ,1 1
� � � � � � � � �� �
�
x y k k k k k � ; -/�
� � � �� � � �, 89 100 ,1 8 89 100 ,1 9 ,� � � � � � � �x y k k k k k � .
(2��2': ����������0�!�����&�����#2-�� ��������� ��'�"��������2)
5. ���� � "�� ���� ��& ��
������: � �������0� %�(!�� ������ ��2������ ����(!���
1) ���"��� ��9�- �"���!����, "���#�� -/� 0!�� %�1��(!���������.
2) ���� ���� ���������������.
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
30�
3) '��& ����"������"��! �0�*� -/� ����*�.
6. "��� %� � %�0!�� ��9�- �
1. "��� ��& �� 1215 2755 560� �x y
� %�0!�: 21840 551 , 9632 243x t y t� � � � � � , �t � .
2. "��� ��& �� 24 9 33� �x y
� %�0!�: 1 3 , 1 8 ,� � � � � �x t y t t �
3. "��� ��& �� 172 20 1000� �x y
� %�0!�: 500 5 , 4250 43x t y t� � � � � , �t � .
4. "��� ��& �� 578 832 14932� �x y ; 5. "��� ��& �� 30 14 1� �x y ;
6. "��� ��& �� 16 83 1� �x y ; 7. "��� ��& �� 355 113 1� �x y ;
8. "��� ��& �� 377 233 1� �x y ; 9. "��� ��& �� 30 14 6� �x y ;
10. "��� ��& �� 1521 623 13293� �x y ; 11. "��� ��& �� 123 360 99� �x y ;
12. "��� ��& �� 1215 2755 560� �x y ; 12. "��� ��& �� 578 832 14932� �x y ;
(%� 13, 14, 15 � ��& ��,��2����������'�������� �� ��� ��& ������"!��!� �����.
14. "��� ��& �� 41 23mod101�x . "��� %�: ����
41 23mod101 41 101 23� � � �x x y
15. "��� ��& �� 13 4mod37�x . "��� %�: ���� 13 4mod37 13 37 4� � � �x x y
16. "��� ��& �� 43 4mod31�x . "��� %�: ���� 43 4mod31 43 31 4� � � �x x y
-
31�
����� 2 ! �� ��, & ����� "�� ���� %�2�
� ��� 3 ! �� ��' %����
���� 2 ������
1. '#��� ��
���� !2-�� ������������ "�� �(���2':
- ����(!�! �� ��' %����
- ���!�-�� � "�� ���"��0���;2�������)�! �� ��' %����
2. ����!2�0 ���0%
- �����(!�! �� ��' %����
' %���� 1 2 3, , , ... , , ...na a a a ��� (���� ��0 %�")����!�,�� ��� �:
1, 3, 5, 7 ... 1 1 11, , , ...2 4 6
� �1, 1, 1, 1, 1 , ...n� � �
1 2 3 4, , , , , ...na a a a a
-/� 0 %������ � ��(� %�� �"� ���#��' %����1������ ���� � �� ! �� ��' %����, �������'�
2�� ����� �� � �na "��! �� �� 1 2 3, , , ... , , ...na a a a "���'��!��� 1a "� ��� ��� 1 (!� � �na , 2a "� ��� ��� 2 (!� � �na ,..., na "� ��� ��� n -/� � �� ���*�(!�� �na
����!����)�! �� �����-/�����"�� ���0%� *����:
- ������(����� -/� ��� � �� %�!
- ������(��� �� ���*� ��� �: ! �� �� � �na - ����������"� �� �"� ���������"�(!�0 %����%� 0%� ����!� � �na f n�
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
32�
3. ��� ������-����!�
��� ��� 2��(���2�����!�� ����� � ����"�����, �������� ���, ����0 %������ � ���(�!� (1��
� �), ����, �� ���� 2�(������.
4. �'�� %�����������!�
��!�����0 ��,�����!�, � %���� �����"��� ��9�- ����(%�2�-�!������
���' �� ����������#��0�������+��� ��� ������� (���!��� ���������2'���) "��
�!�+��������� -/� � ��9�- �2-�� ��������,������.
5. ���� � "�� ���� ��& ��
���� � "�� ���� ��& ��������(!�� �����2�� ����"� ��'���������'�
� %�2�-�!����, � �������!� -/� � �� ��!�, ���"��� ��9�- � -/� �������
"���� ������� ����� ������(���2'� ���� "�� "��� ����*�,���1��0�!� -/� �%� ?
6. "��� %� � %�0!�� ��9�- �
1. �. '�� � � 11 2n nna �� � � ����*�
6 � �� %�!(!� � � 11 2n nna �� � � "� ��: 3, 9, 15, 33, 63, 129 .
(. '�� 12na n� � ����*�
6 � �� %�!(!� 12na n
� � "� ��: 3 5 7 9 111, , , , ,2 3 4 5 6
.
�. '�� 2 1nnan
��
����*�
6 � �� %�!(!� 2 1nnan
��
"� ��: 2 3 4 5 61, , , , ,3 5 7 9 11
.
�. '�� � � 12 nna n�� � � ����*�
6 � �� %�!(!� � � 12 nna n�� � � "� ��: 2, 0, 7, 4, 21, 26� � .
'. '�� 2 1nna � � ����*�
-
33�
6 � �� %�!(!� 2 1nna � � "� ��: 1, 3, 7, 15, 31, 63 .
�. '�� 2 11n
nan
��
� ����*�
6 � �� %�!(!� 2 1
1nnan
��
� "� ��:
1 5 7 3 11, 1, , , ,2 4 5 2 7
.
2. �. '�� 2 11, 2n n na n b a �� � � � ����*�
5 � �� %�!(!� � �nb "� ��: 2, 4, 6, 8, 10 .
(. '�� � �22, 1n n na n b a� � � � ����*�
5 � �� %�!(!� � �nb "� ��: 5, 17, 37, 65, 101.
�. '�� 3, 4n n na n b a� � � ����*�
5 � �� %�!(!� � �nb "� ��: 1, 2, 5, 8, 11� .
�. '�� � �16 , 2n
n n na n b a �� � � � ����*�
5 � �� %�!(!� � �nb "� ��: 6, 11, 10, 3, 2 .
3. �. 21n
an
��
na
n1 2 3 4 5 6
1
0.5
�
�� � � �ສ.
ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
34�
(. � �11n
na n�
� �
�. 2na �
na
n
1
1 2 3 4 5 6
2 � � �� � �
�
na
�
�
�
��
n
1
1.5
0.5
2
21 3 4 5 6
-
35�
�. 1na n� �
'. 12n n
a � �
��� ������
�. � � 11 nna�� �
na
n1 2 3 4 5 6
1
1�
�
�
�
�
�
�
1
na
n2 3 4 5 6
6
12345
��
��
��
na
n
�
1
0.5
1 2 3 4 5 6
��
���
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
36�
� ��� 4 ! �� ��������� "�� ! �� ���������
���� 5 ������
1. '#��� ��
���� !2-�� ������������ "�� �(���2':
- ����(!�! �� ��������� "�� ! �� ���������
- ���!�-�� �� ���*� "�� & �����(!�! �� ��������� "�� ! �� ��
�������
- ���!�-�� �� ���*�(!�! �� �� 1 ,n n nb a a�� � 1
11
n
kk
na a b�
�
� �� "��
1 , 1n na pa q p� � � � .
2. ����!2�0 ���0%
- ! �� ���������. ����. ! �� �� � �na "� ��! �� ��������� 1������ �' %����� ����� d ��� 0!���
)!�2-� 1 , ( 1, 2,3,...)n na a d n� � � � �� � d � ��� � �� "0 ���������".
- � �� ���*� "�� & ����� n � �� %�!(!�! �� ���������. • � �� ���*�(!�! �� ���������"� �� � �1 1na a n d� � �
• & ����� n � �� %�!(!�! �� ���������"� ��
� �12 12nnS a n d� � � !" # � -/� � �12n n
nS a a� �
+���-: 1����� , ,a b c ����! �� ��������� '�*�: 2a cb �� .
• � ����� ��& ������������ !�+�� � "�� !������ ��� ��� �(�� 1 1 3
1
...n
n kk
a a a a a�
� � � � � �
�#�� ������(!� � �� ��������:
-
37�
�. 1
n
kc nc
�
�� �� ��! c ����' %����� �����.
(. 1 1
n n
k kk kca c a
� �
�� �
�. � �1 1 1
n n n
k k k kk k ka b a b
� � �
� � �� � �
- ! �� ���������. ����. ! �� �� � �na "� ��! �� ��������� 1������ �' %����� ����� r ��� 0!���)!�
2-� 1 , ( 1,2,3,...)nn
a r na
� � � �� � r � ��� � �� "0 ���������".
- � �� ���*� "�� & ����� n � �� %�!(!�! �� ���������.
• � �� ���*�(!�! �� ���������"� �� 11 nna a r ��
• & ����� n � �� %�!(!�! �� ���������"� ��
� �1 11
n
n
a rS
r
��
�� -/� 1
1n
na a r
Sr
��
� �� ��! 1r �
- & ������%� ����#(!�! �� ������������ � � 1r � .
• & �����! �� ���%� ����#(!�! �� �����������: 11a
Sr$
��
� �� ��! 1r �
• 1����� 1 2 3, , ,..., ,...na a a a ����! �� ��������� "�� 1 2 3, , ,..., ,...nb b b b ����
! �� ���������. ��������
!�& �����(!�! �� ��2��������
31 21 2 3
...aa aSb b b$
� � � �
+���-: 1����� , ,a b c ����! �� ��������� '�*�: 2b ac� .
- !! �� ����� & ��0�������! �� ��������� -/� ! �� ���������. 2-�! �� �� � � 1 2 3 1: , , , ..., , , ...n n na a a a a a � "�� � � 1 2 3 1: , , , ..., , , .....n n nb b b b b b � �
*�: 1 2 3 1 1.... n nb b b b a a�� � � � � � . ���� ���, �� ��!� �nb ����! �� ��������� -/�
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
38�
! �� ��������� "� ������
!�-� 1 2 3 1.... nb b b b �� � � � "�� na *�.
�� � 1
11
n
n kk
a a b�
�
� ��
- ! �� �� 1 , 1nna pa q p� � � � .
(�� 1 , 1n na pa q q� � � � 2�������� � �1 ,n na p a� �� � � � �� � 1qp
� ��
��� n nb a �� � *���� 1n nb pb� � �� �����! �� ���������
���� ���, 11 nnb b p �� � �����, � � 11 nna a p� � �� � � .
����������� � � 11 , 1n
nqa a pp
� � ��� � � ��
3. ��� ������ -����!�
��� ��� 2��(���2�����!�� ����� � ����"�����, �������� ���, ����0 %������ � ���(�!� (1��� �), ����, �� ���� 2�(������ "�� �' ��"&��2-����-/#�����!2�� ����.
4. �'�� %������� - ����!�
��!�����0 ��,�����!�, � %��� "�� �!�+���'�� %�2-�� ��������
2�-�!���� ' �� ����������#��0�������+��� ��� ������� (���!��� ���������2'
���), "��� ��9�- ����(%� "�� �!�+��������� -/� � ��9�- �2-�� ��������,��
2�-�!���� -/� ���,������0����������.
5. ���� � "�� ���� ��& ��
���� � "�� ���� ��& ��������(!�� �����2�� ����"� ��'���������'�
� %�2�-�!����, � �������!� -/� � �� ��!� (-/� � ��!�"������*�), ���
"��� ��9�- � -/� ������� "���� ������� ����� ������(���2'� ���� "�� "��� �
���*�,���1��0�!� -/� �%� ?
-
39�
6. "��� %� � %�0!�� ��9�- �
� ��9�- � 1
1. � �� ���*�"� �� � �15 12na n d� � � "�� � ��� 54 "� �� 54 125a � � .
2. 0 ���������"� �� 23
d � � "�� � ��� 1 "� �� 1 20a � .
3. ! �� ������ � 96n � ' ��� � "�� � �& �����"� �� 96 32400a � .
4. & �����(!�� �� %�! "�� & ���#����"� �� 13 3 16� �
5. ���(!� 35 125
2 8x � �� �
�
6. & ����� 110 � �� %�!���� �� �� 110� .
7. ����*� 1 2 3 13... 2379a a a a� � � � � .
8. & ����� m n� � �� %�!(!�! �� �����������
� � � �12m n
m n m nS �
� � ��
9. '���#�� ���������!�-������(!�! �� ���������*���� 2 2
2
2c ab ��
���� ���, 2b ��� ����(!�! �� ��������� �� �!���!�� �"� �� 2a "�� 2c
10. �.
20
1
3 630k
k�
�� (. � �� � � �21
2 1 1 4 9 1 .6
n
k
nk k n n�
� � � � ��
�. � �10
3 2
1
9 18 7480kk k k
�
� � �� �.�� � � 21
2 1n
kk n
�
� �� ���������������������������������������������������
11. ���(!� 2a � "�� 3b � �
12. �. ����*� � �1
11 1
n
k
nk k n�
�� �� ������(. ����*� 1
1 1 11
n
kn
k k�� � �
� �� �������������
�. ����*� � �� �11 1 1 1 1
1 2 2 4 1 2
n
k k k k n n� � � �� �� � � � �
� �
��
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
40�
� ��9�- � 2
1. � ��� 7 (!�! �� �����"� �� 72
243a �
2. 0 ������������� �� �� 13
r � � "�� 13
r �
3. ��� ' %����� ��2��-����' %���� 160 "�� 5 "� �� 80, 40, 20, 10 . 4. 1������! �� ���������' %����������� ���'�"� �� , ,a d a a d� �
1������! �� ��������� ��������(��*� � �� �2a a d a d� � � -/� 2 2 2a a d� � ��� ���, 0d � . ���� ���, ���' %�������0�!����� �� ��.
5. ���(!� 29
a � , 23
b � � "�� 6c � �
6. ����*� 1