7 math-m... · 2016. 7. 13. · 20 0˝ , ˆ ; 6. ) 780 48 16 12 ) 2805 119 24 51 ;) 826 25 33 1 ; )...

225

Upload: others

Post on 08-Feb-2021

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • ���� ���

    �����

    ���� ���� ����������� 7

    ��������: ������ ��� ���!� �.�.� !�� �� ������ �� �.�.� "���#� �� � ����� �� � ��� ���� ������� $. � %�&�� � %����� �� �. �#�� � � %�!�� �. ��"����: !#� ������ �.�.� �'. $. ����!� � �����!� �. ���(���)����: �. �#

    ��!� "���� ����*+ �.�.�

    !�� �� ������ �� �.�.�

    ���������� �'��: ���� � �,��� '���� ����������� "(�� *� �����

    ���� � ����-� �� ��-�� �� ��. ���� "(�� ' %���� ��

    ���� ����� �������' �� ��. ���&�� ����!� "(�� -/��� %����

    ���� '�� ��0 ������� � ��. ���* "(�� -/�������

    ���� �. ������ ��

    �' �� ��. ���&�� ����!� "(�� ��!�

    ������������� "�� ��� ��1�� ��� ����������������������

    2016

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • � %�� %�

    �������� �������� �.7 �-/� ����� *�������(������� !"��� %������ �!������

    ���� ���� ����������� 7 2-��(���2''#��� ������!�"0���� �(!������ 0��

    -/ ���� �����

    ���� ���� �������0!���� ��� ������#��� 2011. '��'#��� ��

    ����!�, ��'�� ��������� !� ����!��!������!2�� %�� ��(!�"0���� � ��� '��!�2-�� �����

    "�� ������-����!�"� �����������!��� ���������2'���.

    ����- ��������!���� �!������:

    - ����� I �������"��� %���� �� �����������)�'#���(!�-/ ���� �����

    ���� ���� ����������� 7, '#��� ��, ����!2�, �����!�, ���2���� ����!� "�� ���� � "�� ���� ��& �������.

    - ����� II �������"��� %�����!�"0���� � �� �*�"��� %�'#��� ��, �����!�, ����!2�0 ���0%, ��� ����!�, �'�� %�����!�, ���� � "�� ���� ��& �� "�� "��� %�� %�0!�� ��9�- �.

    �������� ������ ����� �����!���������)�� � ��� ��' %�����0�!�2����� !����"&���� �!�, "0��� ��!�, �!�'����� ��!�'�2�"-/ ���������'���!�����!�� �; -/� ��� �����(!�0 �������!�2�����!�0�� � ���� !2-�� �����(!�0 ���(���2'�����

    ���� ���� ����������� 7 � ���(��� "�� ����� ���� '�� ���& ��2-�� �����0 ������"�� � ����, � %�2�2���������!�� � "�� 2��������(!�����' %�� ��. ,���2�%0���������������- ����� �%� ���%� ����'��(%�(�0 ��� ����!�*�, ��� ��� '���(%��������� �� %�����&����� � %�2�����- ����� ' ��������� �'#� ����!� -/� '#&��"��� � ���� %���-��(!�����*�� ����1�� ��� ����������������������. �������'�1���� �#�� %���-��(!���������(%�� ����� � ��#���� "�� ����������!���������#��#��� ������������������2-����(���.

    ��1�� ��� ����������������������

  • �������

    )��

    "��� %���� 1

    ����� 1 � ��& �� � �ax by c 16 � ��� 1 ���-��(� 16 � ��� 2 � ��& ������"!��!� ����� � �ax by c 24

    ����� 2 ! �� ��' %���� "�� ���� %�2� 31 � ��� 3 ! �� ��' %���� 31 � ��� 4 ! �� ��������� "�� ! �� ��������� 36 � ��� 5 (!��( "�� ���' �!�(!�! �� �� 42 � ��� 6 ���� %�2�! �� ��' %���� 47

    ����� 3 ��0$, �"0���� �� "�� ��� ��� ��& ������"! 50 � ��� 7 ��0$ "�� �#�� ������(!���0$ 50 � ��� 8 �"0���� �� "�� ��0$��� 56 � ��� 9 ��� ��� ��& ������"! 64 � ��� 10 ���& ����������"! 68 � ��� 11 ������"&�����"! 72

    ����� 4 ' %����� �� 75 � ��� 12 �������� ���*������ ��' %����� �� 75 � ��� 13 �������*0�#�(!�' %����� �� 81

    ����� 5 ��10!���!� 85 � ��� 14 ������� ����� 85 � ��� 15 ������!�� ���#01�������10 108

    � ��� 16 ��������1 �1!� "�� ��-����� ��� �� 129 ����� 6 0 %���*0�#� 143

    � ��� 17 �#�� ������ "�� �������"�(!�0 %���*0�#� 143

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • � ��� 18 (!��( "�� & ��0 %���(!�0 %���*0�#� 148 ����� 7 0 %���!�"������ 150

    � ��� 19 � �����(!�0 %���*0�#� 150 � ��� 20 �#�������� "�� �������"�(!�0 %���!�"������ 152 � ��� 21 (!��( "�� & ��0 %���(!�0 %���!�"������ 156 � ��� 22 � �����(!�0 %���!�"������ 158

    ����� 8 0 %������� 160 � ��� 23 ���� "�� �#�� ������(!�0 %������� 160 � ��� 24 0 %�������(!�0 %���*0�#� 163 � ��� 25 0 %�������(!�0 %���!�"������ 170

    ����� 9 � ��& ��'#������ 176 � ��� 26 � ��& ��'#������( ���)�� � 176 � ��� 27 ���&��'#����������"!(����!���� ��� %���������� 183

    ����� 10 ��(���������2����-�� 188 � ��� 28 & ������ �� "�� & �������� ��(!���������0� 188 � ��� 29 ������� "�� "&�����2����-�� 198

    ���"0��� ��!�"�� UbD 214

  • 1

    "��� %����

    1. '#���(!������

    ���� ���� ����������� 7

    �����������)�� ���� ����������1��2�-/ ����� ���� �������0!����.

    -/ ���������*������2������!2���� 0� ��� ������ %�2�2�����' %�� �� "�� ���

    � ��2��(���2�������-����!���!�� �. -/ ����*��!��2'2��0%� ��� �1����������

    ������� !� ���#������(!�������-����!�2-�-� ���(���2� �� ��������� "�� ��� ��.

    ���� ���, ���!�0�!�*������-/ ��������� 2-��(���2',�������� � "���'�� �� %���

    ���"&�����!� "�� "0��� ��!�"0���� �.

    2�����-/ ����� ���� �������0!���� *�"��� %����' �0 ���������-����!�

    ��� � 2�� �����)�� �"���!!����� 2 ��������:

    �������� I ���� �"0���!�� ���� (9) �1���!�� ���!� (1).

    �������� II ���� �"0���!��#��� (2) �1�0 �����!��1#�� (6); ������*���

    ���-�������!��1#�� (6) ����*��������� "�� �!�����.

    � �����)�� �2-�� �*������0 ��'��%� -/# 34 !�� "�� !�� 4 !��"� ��"�*��

    � %�� ����������, ������, ����, �!����� "�� � ��2�� ���#�0���;.

    ���� %�� ������!�� %�� ���������

    ���� ���� ��0!���� �� ������:

    ( ������ �.5 �.6 �.7

    ' %���� ���������}!�� 4 4 5

    ' %���� ���������}� ����� 136 136 170

    ����� 34 !��

    ������� ������)�� ����� � 50 ����

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 2

    2. '#��� ��

    �����������2� ���� ���� ����������� 7 "���"�2������ !2-�� ������#�� ��*�

    � ���������������������, �������� "�� �����������0 "�� ����� ��

    ����� �������,���0%� ���� !�; �������2-�&�����*�& ��(�-����������, �����(���2' "��

    ���������1������������� *����,�� � ��� ���� ��0!�0 ��� "�� �.6; � ����� "�� � %�

    2�������� "�� ������������� �(���2���� %�� ������' %�� ��, 2���������!�� �;

    "�� �������0%� ���2��� ����� ���(���*�.

    3. ����!2�

    �������������"����� "�� ���� ��������

    ���� ���� ����������� 7 � ������

    "� ��!��2��-/ ���������

    ���� ���� ����������� 7 ��� ���� 2011, �� �-/ ����*�

    � %�� �����, ����!2� "�� ��� �1���� ������:

    ���� ���� ����������� 7

    5 ������/!�� X 34 !�� = 170 ������

    ���

    (����)

    ��� �0���� � ��� ������

    1. � ��& �� ax by c� �

    (8)

    2-�� ���������: - �!�� ����-��(�

    , ' %�������, !#���������-/���#, !���%$

    (!��!� �$2����

    !�-������������)�!��#, ' %�������. - ����� ����� ��& ��

    1. ���-��(�

    - �������-��(� - �#�� ����������1��(!���� -��(� (-/ �����(!����-��(�) - ' %������� - !���%$(!��!��$ - ' %������� "�� ' %������� - !#���������-/���#

    4

  • 3

    1au bv� � "�� ax by c� � � �2'& ����� ����' %����1��� -/� �%� ? - "��� ��& �� ax by c� � , �� � x "�� y ����' %����1���. - "���'��� � ���� ��� ��& �� ax by c� � , �� � x "�� y ����' %����1���.

    - �����������)�!��#

    2. � ��& ������"!��!� �����

    � �ax by c - � ��& �� 1au bv� � � �2'& ����� ���� ' %����1��� - � ��& �� ax by c� � � �2'& ����� ���� ' %����1��� - ���"��� ��& �� ax by c� � ,

    �� � x "�� y ����' %����1���. - ���"���'��� � ���� ��� ��& ��

    ax by c� � , �� � x "�� y ����

    ' %����1���.

    4

    2. ! �� �� & ����� "�� ��� � %�2�

    (16-3)

    - �!�! �� ��' %����'�, ! �� ����� ����! �� ���� �����,! �� ��������� - !�-�� �� ���*�, & ����� n � �� %�!

    (!�! �� ��������� -/� ! �� ���������. - !�-�� �� ���*� na , �� �

    1n n nb a a�� � ����

    ! �� ��������� -/� ! ��

    ���������. - !�-�� �� ���*�2����"��

    1 ( )n na f na � � � "�� 1n npa qa � � � .

    3. ! �� ��' %����

    - ����(!�! �� �� - ���!�-�-����(!�� �0���;(!�

    ! �� ��

    4. ! �� ��������� "�� ! �� ���������

    - ! �� ��������� - � �� ���*� "�� & ����� n � �� %�!

    (!�! �� ��������� -� �� ���*� "�� & ����� n � �� %�!

    (!�! �� ��������� - & ������%� �����#(!�! �� ������������ � �

    1r � - � �� ���*�(!�! �� �� na

    �� � 1n n nb a a�� � ����! �� ������

    ��� -/� ! �� ���������.

    2

    5

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 4

    - �*�(!��(, ��������' �!�(!�! �� ��. - !�-�& ������%� ����#(!�! �� ���������,

    �� �� �0 ������ 1r � .

    - � %�2�� ����� �� �& �����' %����)�� ����

    ��������1��. - �*��!�����,

    !�������� ��, ���-/# ��-��� "�� � �������.

    - � �� ���*�(!�! �� ��2����"�� 1 ( )n na f na � � � "��

    1n npa qa � � � .

    5. (!��( "�� ���' �!�(!�! �� ��

    - (!��( - ��������' �!�(!�! �� ��

    6. ���� %�2�! �� ��' %����

    - !����� "�� !�������� �� - ���-/ ���-��� "�� � �������

    4

    2

    3. ��0$, �"0���� �� "�� ��� ��� ��& ������"!

    (22)

    - �!�������� �� ��(!��!���0$. - ���� %����(!��� 0$, ��0$����. - � %�2���

    0 00 0

    n n

    n

    � �� �

    � � �� �

    � �

    "��

    � �1 1n nB AB B A B� �� ,

    �� � n�� . - (����� ��� ��& ������"!2����������0$. - "����� ��� ��& ������"!������ (!����� ����H (Gauss). - �*���"0���� ��,

    !�-���0$���� "�� "����� ��� ��& ����

    7. ��0$ "�� �#�� ������(!�

    ��0$

    - ������0$ - ������� �� ��(!� 2 ��0$ - ���� %����(!���0$

    8. �"0���� �� "�� ��0$���

    - �"0���� ��(!���0$��� � � (�)� 2x2 "�� 3x3

    - ��0$����(!���0$��� � � (�)� 2x2 "�� 3x3

    - � %�2��� 0 00 0

    n n

    n

    � �� �

    � � �� �

    � �

    "�� � �1 1n nB AB B A B� �� , �� � n�� .

    9. ��� ��� ��& ������"!

    - ��� ��� ��& ������"!2���������� 0$

    6

    5

  • 5

    ��"!����"0���� ��(!���0$(�)��%�

    ���� 3 3� . - !������� ������2����� "�� ������� - !�-������� *�'���������(�)�� "�� ���+���!�. - !����������, �����0������� "�� �������� %�� ���!�.

    - "0���(��� � %�� �

    ������ ��!�� ��& ������"!��� � ��!�0 ��� ��. - !�-����-/���#,

    ���)�!��#(!� 0 %���

    ����"!��2������

    ��"�.

    - "����� ��� ��& ������"!������(!����� ����H (Gauss) - "����� ��� ��& ������"!����"0���� ��(!���0$(�)��%� ���� 3 3� . - "����� ��� ��& ����2���0�����

    10. ���& ����������"!

    - ������ ������2����� "�� ������� - ������ *�'���������(�)�� "�� ���+���!� - ���������, �����0�������

    "�� �������� %�� ���!�

    11. ���& ����������"!

    - �(��� � %�� �

    ������ ��!�� ��& ������"!��� � ��!�0 ��� �� - ���-/���#, ���)�!��#(!�0 %�����

    ��"!��2��������"�.

    5

    3

    3

    4. ' %���� � ��

    (8-2)

    - ���+�' %����� ��2����������

    ����, 2��������*0�#�� 0 "�� 2��������2'� %�� ��. - � %����2��#��' %����� ��. - �*��& ��(!����(���

    12. ��������� ���*������ ��' %����� ��

    - ' %����� �� - ���� %����0���;����� �� ' %����� ��

    13. �������*0�#�(!�' %����� ��

    - ����(!�' %����� �� - !���#�� ��(!�' %����� �� 0z � - �������*0�#�(!�' %����� ��

    3

    3

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 6

    � %�� �� "�� ���1!����(!�' %����� ��. - "��� ��& ����

    ��� �2��#��' %����� ��. - "��� ������(��� �2�"&�������� � ���� ������+���������� (����(!� z .

    - ���� %����' %����� ������������ *0���� 0

    - ��� �� ((Moivre) - ���( ��� n (!�' %����� �� z

    5. ��10 !���!� (10+3)

    - ���� ����������� "�� ���& ������ ��!�������' ��2-�����+�������� *���. - � ��!�� ���#1������� �����������(!� 1 ����!� "�� ���������!����. - "��� ������10���

    � ���� ������ %�2����"��0���; (!���� "'�,��(!�0 ������� ���!�� ��������"� �� "��"���#��� (Bernoulli), "�����

    �� (Poisson), "����+ %�����+� "�� "����� ��0. - ��������"������������ .

    14. ������� �����

    - ������� �����������"��-���� - ������� �����& ������"��-����

    15. ������!�� ���#01�������10

    - ������!�� ��& ��1��� ���#1��� %�� �� 1 ����!� (+ (�)�0 ��,����%� -/# 30 + (�)�0 ��,����%� �1�30) - ������!�� ��& ��1��� ���#1��� %�� �� 2 ����!� (+ (�)�0 ��,���"0�������!��%�

    -/# 30 + (�)�0 ��,���"0������ �!��%� �1� 30 "�� ��������& ������(!� 2 ����!�� ������� �� �� + (� )�0 ��,��� "0�������!�-/# 30 "�� ��������& ������(!� 2 ����!����0���� ��) - ������!��������� �!����0%� � ��

    4

    6

  • 7

    16. ��������1 �1!� "�� ��-�

    ���� ��� ��

    - ������!�� ���#1��(!������ ����� %�� ������!�)�� ��#�� - ������!�� ���#1������� ������"0�0���(!����������(!�����!��!��#�� - ������!�� ���#1����������!�� ��0%� � ��(!�0 �������!�0 �� - � %������-�� %�� �� - ��������1 �1!�"��� �����

    3

    6. 0 %��� *0�#�

    (8)

    - "0�������"�(!�0 %���*0�#�� 0, !�-��!���� "�� "0���������"�(!�0 %���*0�#�� 0��2��������(�)�� "�� ����������!�� �;.

    17. �#�� ������ "�� �������"�

    (!�0 %���*0�#�

    - �������"�(!�0 %���*0�#�� 0 - �!����(!�0 %���*0�#�� 0 - �������"�(!�0 %���*0�#�� 0 ��2��������(�)�� -/� ����������!�� �;.

    18. (!��( "�� & ��0 %���(!�0 %�

    ��*0�#�

    - (!��((!�0 %���*0�#� - & ��0 %��� - ���2-���#/�����!��#(!�0 %���*0�#�� 0������������0 %���( ����!� - ���2-���#/�����!��#(!�0 %���*0

    �#�� 0������� %�2�& ��0 %���

    4

    4 ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 8

    7. 0 %���!� "������

    (16)

    - ���� "�� "0���������"�(!�0 %���!�"������. - �*��(!��(, & �� 0 %���(!�0 %���*0�#� "�� 0 %���!�"������. - !�-����2-���#/�����!��#(!�0 %���*0�#�� 0. - �*��� �����(!� 0 %���*0�#�� 0 "�� 0 %���!�"������.

    19. � �����(!�0 %���*0�#�

    20. �#�� ������ "�� �������"�

    (!�0 %���!�"������

    - 0 %����!�"������

    - 0 %������!�"������

    - 0 %���0 ��!�"������

    - 0 %�����0 ��!�"������

    - ������1��(!�0 %���!�"������

    21. (!��( "�� & ��0 %���(!�

    0 %���!�"������

    - (!��((!�0 %���!�"������

    - & ��0 %���(!�0 %���!�"������

    22. � �����(!�0 %���!�"������

    4

    4

    4

    4

    8. 0 %��� ����

    (10+4)

    - !�-�0 %����������, �(� %�� � "�� �(

    ���(!�0 %�������. - "0���������"�(!� 0 %�����. - "��� ��������� ��0 %�������. - !�& ��0 %��� "�� � �����(!�0 %�������.

    23. ���� "�� �#�� ������

    (!�0 %�������

    - �(� %�� � "�� �(���(!�0 %�������. - �������"�(!�0 %����� - & ��0 %���(!�0 %�������

    24. 0 %�������(!�0 %���*0�#�

    - & ��0 %���(!�0 %�������(!�0 %���*0 �#� - � �����(!�0 %�������(!�0 %���*0

    �#�

    4

    4

  • 9

    25. 0 %�������(!�0 %���!�"������

    - & ��0 %���(!�0 %�������(!�0 %���!�"������ - � �����(!�0 %�������(!�0 %���!�

    "������

    6

    9. � ��& �� '#����� �

    (10-2)

    - � ��& ��'#���������

    "��0 ������*�, � ��& ���!��� ��, � ��& ������"!( ���)�� � "�� ( ����!���� � �� %����� �����.

    26. � ��& ��'#�����( ���)�� �

    -� ��& ����� �0 ������"��*� -� ��& ������"! 27. ���& ��'#����������"!(���

    �!���� ��� %����������

    - � ��& ��'#����������"!( ����!���� � �� %����� ����� - � ��& ������"!( ����!��!��� �� - � ��& ��( ����!��%� �!��� ��

    4

    4

    10. ��(� ���� ����2� ���-�� (14-2)

    - �*��& ������ �������0�. - �*������!��� (!�������

    "'(���(�)��, ������"'2� 2� -/� 3� . - �*��& �������� ��. - �*���%���(!����� �� "�� ���������*� - (��� ��& ��������� "�� "&�����2���� -��. - �!���� 0 � ��� %�� �(!��!�������� : ���0 �,

    !��#����#���-����

    28. & ������ �� "�� & �������� ��(!�

    �!������0�

    - 0 �������& ������ ��(!��!������0�2����-�� - � ��-�����!��� (!������� "'(���(�)�� "�� ����!��� (!�������"'2� 3� - 0 �������& �������� ��(!���������0� - ���� ������(!�& �������� ��(!���������0�2����-�� - � ��-��%���(!����� �� 29. )��"&����2����-��

    "�� ������� 2����-��

    - )�����2����-��

    6

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 10

    �!�������� , ���(� )�� -/� ���*(��,

    !�*���-�����-�����!�������� . - �!���� 0 � ��� %�� �(!�� ��� � �� � �� " &� � � � � : ���(�)�� !�-�*���-�����-���������

    �� -�"&�����, ���0 �

    !�-�0 �������(!����0 �, !�-��#��� -����������� "�� "&�����. - �!���� 0 � ��� %�� �(!��!�"&�����: ���(�)�� !�-�*���-�����-�����!�"&�����, ���0 � !�-�& ��(!�������� ��� *�'����0 �, !��#��� -�����!�"&�����.

    - �������)�� �0 ������� ��)�����)�� � - ��� 0 � �����1����-����)����� - )�����(�)��� �� "�� )�����0 ������� �� - *���-���'�����)�� �-�)����� - � ��& ��������� 2����-�� - ��� 0 � ��� %�� �(!��!�������� 2����-��

    6

    ��� 29 120

    +���-: "�*�� 16 ������ ���� !����.

    4. "��� %�� ���� ������!� "�� �'�� %�����!�

    ������-����!������ "� ��"��2������ !2-�&������ ���#' #��� �� "�� �� � �1����(!��������������� *�� %�� �*��2�"0���� � ���������!����!��&���������2'��� "�� 2����������00��0 ��,���2�� ���� ���� !2-�� �����*�� ����, ����"��*(� ��-� � �������-�� %�0!����0 ���!� "�� � ����� ��� ��

  • 11

    ��-����� �� ������� ��, �������!���� 2��0����0���;��� �: � �����, � ������, !�����, �� ����+!�, ���!�, ���, (��������, -/�����, � ���������� "�� !�� �;!��0������!2�� ����, �����-�!����, !#���!���� � � "�� ������ ��(!�� �����.

    ����!������( ��� �.7 ������!��2'2�������0%� *����:

    � !��2��' #��� �� "�� ��� �1����(!�"0���� �.

    � � ��������������� ' %������ %�� ��� �� ���;.

    � �������2-�� ������ ���� �����0 ���!�-/������ ���� '����*� "��

    ����� ��- ���������(!�� �����.

    � ��� !����� �����"��� ��-�2�����' %�� �� -/� ���� %�2�.

    � ����'�� %�, ��-/#������ ���� "�� "��� ��9�- �.

    5 . "��� %����� %�2���� ����!� 2���� %�����������-����!��#�� ���� �' #��� ��2-�� ������(���2'����+��(!�

    ����!2�� ����,��� ��'� "�� ����� %��!���������*�2�2�����' %�� ��*�. ��� ���, ��

    0�!�*�� %�2�!#���!����!�����!����� !2-�� ����������������(���2'����+��(!�

    � ����*�� ���.

    ������-����!������( ��� �.7 � �����' %�����2����� %�2���� ������-����!�

    ��� ������������� �: ����"����� "�� ���� ���, *� �"��, *� �� ��� ����, *� �� �� � �"���#�,

    � �����.

    �!�� ��� ��0�!�*�� ���� ���� !��!#���!�� ��2�2�������-����!������

    ����#�, +��2�� ���#!#���!���� ����-�*�2���!�1��, �!*� "�� �%� ������!�-/��

    ����*� -/� &���!� ��� �: ����0���0���;, "&���, �������"�(!�0 %���, ���

    ��(���� "�� !�� �; �� ������ %���2�������� ������-����!���� ���2-�������-���

    �!����� "�� 2-�� ������(���2'����!2�� ����*�� ��� "�� *�(���.

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 12

    6. ���� � "�� ���� ��& �� ���� � "�� ���� ��& �� "� ���'�� %�)�� ���� (��%� *�2�(����������-���

    �!� ���� !�������� �"��, 0�����& ��(!�������-����!� "�� � %�& �� ���� ���

    *�"��*(����#�������(!�� ����� "�� ����!�(!���2-��(���.

    '#��� ��0 ���0%(!����� � "�� ���� ��& ��"� ��:

    - ���� !���2-�������1�'#

    � "�� (%�� ����!�2�����!�(!�0 �� "�� � %�*�

    ����#�2-��(������� !2-�"��+��� ��'#��� "�� ����0�!����(!�&�����.

    - ���� !���2-�������1��� ������"0�0������������(!�� �����"0���� ��

    "�� -��������-/�!2-�� ������.

    - ���� !2-�� ��������� ���� �2��� �(��������0� �*��, �� �2��� �������#�"��*(

    "�� �#����0%� ������2-��(����������� �.

    - ���� !������!�!��2-�"��&���%�-����������, &��� ���!� "�� #� ��*���

    �!� �����(���2��������-/�� !������(!�� �����2-�� ������.

    ���� � "�� ���� ��& ��������-����!������ ( ��� �.7 !�2�-/���

    �� -/� -/����*'���� !���� ������0 ���"� ��: ���� �������00����� %������'�

    � %�, ����� ��2', �����!��2'2��, � %�2'����-/�!�� �� �� "�� � ��, & �����"��� �

    �9�- �, ����������!�+�� -/� �������, & �������������� �, & �����

    �!�������' %������� "�� & ������!�������������� "�� ���� %�*�2�2���

    ��' %�� ��.

    7. "��� %��������"&�����!���' %��� ������"&�����!� "� ������ %�� �"���������!�*�����)��� %�� ����� ��0� ����' �������-����!� �� �� ������ %�� �� "�� ' %������ %�� ����. � �!�����!�"0����� ��&���!�0�!�*�����"&�����!���' %�� �����2-���!�����'�

    ���2-����������������)��2����' �������-����!� ���� !� ����� �����

  • 13

    � �������0� �-/ ����*�,���� ��1���0��� %�� ����� "�� 2-��!��!�� �������0 ��'�(!���!�1��. "&�����!���' %�� ����� (��' %���) ������*�"���'���������� ������:

    "&�����!��� ...................... (( ������ .......... �� ����� .................

    ��� ���

    ��!� !��/ � ����

    '/� �������!� � ��� ����!2�/- ��� � +���- ���+ � "0���� �

    I

    9

    10

    11

    12

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 14

    1

    II

    2

    3

    4

    5

    6

    � %��-��(!�&��! %������������� � ���� ........................

    ��&������"&�����!�

  • 15

    8. ""��� %����"0��� ��!�

    � ��!�"� ������ !�� ���� � %�� �� "�� ' %������ %�� �����!�, ����� ��!�"� ��

    "&���� %���������!���!�� %�� ������!2�� �2)�� � -/� ������2)�� ���� �������

    "�� '���0� �2������!�. ���� ���, ���#�� ��' %�����0�!�*�"0��� ��!�(!�0 ��

    ���� !2-�����!�"��+��� �������0 ��'� "�� '#���(!�� ����� ���� !2-��(��

    �'������ ��& ��� %����2���������� 0����� �1����( �������1�������������� *�

    � %�� �*��2�-/ ����.

    �������(!�� ��!���-/�����"��, ��'�� %�2����"��2�%*�!��0�����������!��

    ���� �� "�� ����������� '�� %�2�2���!�1��. "0��� �� %�� ��0�!����!����: '#��� ��,

    ����!2�, ����, �'�� %�������-����!� "�� ���� � "�� ���� ��& ��.

    ���"0��� ��!� "0���� �0�!��!��2'2�� ������:

    + ���� %�� ����� 0�!�2-��!��!�� ������!2�, �'�� %���� '���0� �2�����

    �!� "�� ��������(!�� �����.

    + ���� %�� ��'�� %�������-����!� 0�!��!��!�� ��'#��� ��, ����!2�,

    ��� ������-����!�, ��������(!�� ����� "�� �����-�!����.

    + ���� � "�� ���� ��& �� 0�!�� � "�� ���� ��0��'#��� ��(!�������-

    ����!�.

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 16�

    ����� 1 � ��& �� ax by c� �

    � ��� 1 ���-��(�

    ���� 4 ������

    1. '#��� ��

    ���� !2-�� ���������:

    - ����������-��(�2��#��' %����1���.

    - ���!�!#���������2-���#��2����-��"��!���%$

    H.

    2. ����!2�0 ���0%

    - �������-��(�.

    - ���-��"��!���%$

    H "�� !#���������2-���#(!��!�' %����1���.

    3. ��� ������-����!�

    ����"����� "�� �������� ��� ����� �.7

    4. �'�� %�������-����!�

    4.1 �'�� %�:

    � ������� %�2������!�"��������! (������2'���) ���� !�!��#��2-��+ �-�!�;

    � ������� %�2������!�"��2+� (� ���������2'���) �����"���� �����!!�����

    -/��'#��!�0�������+��� �� ���� !���� ������!������������ � ���(�!�&����'�� %�(!��#��.

    ��'����!����2� ��� 0�!�� ����� ����� ���!���������� "�� � �����;�(���2'� ���.

  • 17�

    4.2 ���������� ������!��2'2��:

    -��(�2-� "�� -��(� "� ��� �����+��0���� �� ������:

    -��(�2-�: 1��� � 24 2 12� � , 56 8 7� � , 72 9 8� � , 120 6 20� � , ..."�� !�� �;

    �����!��������� “-��(�2-�” ; -/� ���� �� ��(�� 24 2 12� � , 56 8 7� � , 72 9 8� � ,

    120 6 20� � , ..."�� !�� �; �%�!��������� “-��(�2-�” ��� ��.

    ������*�: � %�� ���!�' %����1���0��2' a "�� b . “ b -��(�2-� a ” �%0%�

    �� ��!� �' %����1��� c �� �0!���)!�2-� �b ac .

    ��� ����: 2 3 6� � ������� 6 2 3� � “!������ 6 -��(�2-� 2 ” -/� 6 3 2� �

    “!������ 6 -��(�2-� 3 ”.

    -��(� 1��� � 24 2 12� � ������������ 2 | 24 "�� !������ “ 2 -��(� 24 ”, ��� �

    ��� �������%!��� 8 | 56 , 9 | 72 , 6 |120 , ..."�� !�� �;.

    �) ���-��(� (Divisibility)

    ����: ' %����1��� b -��(�2-�' %����1��� a , (����� |a b “!������ a

    -��(� b ”. 1����� �c � �� �0!���)!�2-� � �b a c . ����� �������!�����

    b "� ���������(!� a "�� a �!������!#�����(!� b . ' %����1���0��2'

    a � �!#�����2-���#"� �� �a .

    (�!��2'2��: �������(�� |a b 1����� a -��(� b , "�� (�� |�a b 1����� a

    �%� -��(� b ).

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 18�

    0 ��,��� 1: �) 56 7 8� � +��������� “7 -��(� 56 ”; -/� (�� “7 | 56 ”.

    () “3 | 15� ” !������ “3-��(� 15� ”.

    �) 2 | 6 (2 -��(� 6 ) ������� 6 2 3� � .

    �) 3 |15� ( 3� -��(� 15 ) ������� � �� �15 3 5� � � .

    ') | 0a (a -��(� 0 ) � %�� �� � �a � ������� 0 0� �a .

    1.2 �#�� ������(!����-��(�

    -/ ����� 1 : � %�� ���#�; , , �a b c � , �������� �:

    1) |a a , 1| a "�� | 0a ;

    2) |a b "�� |a c "� �� � �| �a b c ; 0 ��,���: 2 | 6 "�� 2 | 8

    "� �� � �2 | 6 8� .

    3) |a b "� �� | �a b ; 0 ��,���: 7 | 56 "� �� 7 | 56� .

    4) |a b "�� |b c "� �� |a c . 0 ��,���: 2 | 6 "�� 6 | 24 "� �� 2 | 24 .

    5) 1����� |a b "�� |b c "� ��� � � �| �a bx cy � %�� �� ,� �x y � .

    0 ��,��� 2. 2 | 6 "�� 6 | 24 "� �� � �2 | 6 3 24 4� � � -/� 2 |114 � %�� �� 3,4�� .

    () !#���������2-���# (Greatest Common Divisor -/� gcd )

    ����: 0 ��-������2-���#(!��!�' %����1��� a "�� b ( a , b �%� ���� ������!�

    � ��) "� ��' %����1��� d ��� -��(� a "�� -��(� b . d �!������!#�����

    ����2-���#(!� a "�� b . � ����� �����: � �gcd , �a b d -/� � �, �a b d .

  • 19�

    0 ��,��� 3. �) � �gcd 8, 4 4� � .

    () � � � �gcd 7,11 gcd 4, 9 1� � .

    -/ ����� 2:

    �) 2-� � �,�d a b . '�� �' %����1��� ,x y �� ��!��!�2-� � �d ax by .

    () �#�;!#�����(!� ,a b '�-��(�0 ��-������2-���#(!����� ��.

    0 ��,��� 4. �) !#���������(!� 24 "�� 60 "� �� 1, 2, 3, 4, 6, 12� � � � � � .

    () 12� "� ��!#���������2-���#(!� 24 "�� 60 .

    �) ' %�������

    ����: ' %����1��� 1�p �!������ “' %�������”, 1������ ��� �!#��������"0� � p

    "�� 1� ���� �� ���.

    0 ��,��� 5. 2 � �!#�����"� �� 2� "�� 1� ; 3 � �!#�����"� �� 3� "�� 1� , ....

    ����������0 ���. ��"��� ��� 2 "�� 3 �!������' %�������.

    �) ���-��"��!���%$

    H (Algorithm Division)

    ������ ���!��0 ��,�������!�2-�� ��������!����� !��������� �: (��(�-���

    ' %����1���0%� *����0�����"�� 0 ��-��, & ��-�� "�� 0 ����(!�:

    �) � �39 6 6 3� � � ; () � �87 9 9 6� � � ;

    �) � �123 23 5 8� � � � � ; �) � �147 24 6 3� � ;

    ') � �279 15 18 9� � � ; �) � �1231 102 12 7� � � .

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 20�

    0 ��,��� 6. �) � �780 48 16 12� � � � � ;

    () � �2805 119 24 51� � � � � ;

    �) � �826 25 33 1� � � ;

    �) � �758 242 3 32� � �

    0 ��,��� 7. ' ���!�-� � �gcd 2805,119� ���������-��"��!���%$

    H.

    � �"��: � �2805 119 24 51� � � � � �-����� 51 | 119� �������0%� (�-���!��*�:

    � �

    � �� �

    2805 119 24 51

    119 51 2 17

    51 17 3 0

    � � � � �

    � � �

    � � �

    ; ��� ��� � �gcd 2805 17� � .

    0 ��,��� 8. ' ���!�-� � �gcd 758,242 ������-��"��!���%$

    H.

    � �"��: � �758 242 3 32� � � �-����� 32 | 242� �������0%� (�-���!��*�:

    � �� �� �� �� �� �

    758 242 3 32

    242 32 7 18

    32 18 1 14

    18 14 1 4

    14 4 3 2

    4 2 2 0

    � � �

    � � �

    � � �

    � � �

    � � �

    � � �

    ;

    ��� ��� � �gcd 758,242 2� .

    0 ��,��� 9. !�-� � �gcd 98,72 "�� ' %����1��� , �x y � ���� !���2-�

    � �gcd 98,72 98 72� �x y .

  • 21�

    � �"�� : � %�2����-��"��!���%$

    H����*�:

    -��"��!���%$

    H

    ���� !!�-�

    � �gcd 98,72

    '����0������0 ���#

    ����(!� � �4 1!������������ !!�-�

    ,x y

    � �

    26 1 20 6

    98 1 72 (1)(2)34

    6 3 2 0 5

    gcd 98,72 2

    72 2

    20 3

    206

    2

    6

    6

    2

    2�� � ��

    � �

    � �

    ��

    34 20 6 2� � �

    6 23) 2( 6 0� �

    20 7 22 6( 2) 2� � �

    261) 9( 72 8� �

    � �� � � �

    � �� � � �

    � �� � � �

    20 3

    20 3 26 3 204 3 264 3 26

    4 72 8 26 326

    264 72 114 72 11

    4 72 11 98 11 7215 72 11 98

    11

    2 20 3

    2

    ,

    07

    626 2

    2 2 26

    9

    1

    0

    2

    5

    8 7

    � � �

    � � � � �

    � � � �

    � � � �

    � � � � � �

    � � � �

    � � � �

    � � � � � �

    � � � �

    � � �

    � �

    �x y

    ����� � � � �gcd 98,72 98 72 11 98 15 72 1078 1080 2� � � � � � � � � � �x y . �

    ') ���� ��� ��' %�������0%� � �� (Relatively Prime Integers)

    ���� 1.4: �!�' %����1��� , 0�m n �!����������' %�������0%� � ��, 1�����

    � �gcd , 1�m n .

    0 ��,��� 9. � �gcd 8,15 1� ��� ��� 8 "�� 15 ����' %�������0%� � ��.

    5. ���� � "�� ���� ��& ��

    ������: � �������0� %�(!�� ������ ��2������ ����(!���

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 22�

    1) ���"��� ��9�- �"���!����, "���#�� -/� 0!�� %�1��(!���������.

    2) ���� ���� ���������������.

    3) '��& ����"������"��! �0�*� -/� ����*�.

    6. "��� %� � %�0!�� ��9�- �

    1. !�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 758,242 758 242� �x y

    � %�0!�: 53, 166x y� � � �

    2. !�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 726,275 726 275� �x y .

    � %�0!�: 11, 29x y� � � �

    3. !�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 237,81 237 81� �x y .

    � %�0!�: 13, 38x y� � � �

    4. !�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 616,427 616 427� �x y .

    � %�0!�: 9, 13x y� � � �

    5. !�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 936,666 936 666� �x y .

    � %�0!� : 5, 7x y� � � �

    6. ' ���!�-� , �x y � ���� !���2-� � �gcd 1137,419 1137 419� �x y .

    � %�0!�: � 206, 559x y� � � �

    7. � � � �gcd , gcd 14,75 14 75� � �a b x y .

    � %�0!�: 16, 3� � �x y .

  • 23�

    8. � � � �gcd , gcd 49,60 49 60� � �a b x y .

    � %�0!�: 11, 9� �x y .

    9. � � � �gcd , gcd 4147,10672 4147 10672� � �a b x y .

    � %�0!�: 175, 68� � �x y .

    10. � � � �gcd , gcd 180,252 180 251� � � � �a b x y .

    � %�0!�: 3, 2� � � �x y .

    11. � � � �gcd , gcd 143,252 143 252� � �a b x y .

    � %�0!�: 37, 21� � �x y .

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 24�

    � ��� 2 � ��& ������"!��!� ����� ax by c� �

    (Linear Diophantine Equations)

    ���� 4 ������

    1. '#��� ��

    ���� !2-�� ���������:

    - ������� "�� �#�� ������(!�� ��& ������"!��!� �����.

    - ���!�-�2'& ��1���(!�� ��& ��������!���%$

    H, ������ "�� ���0 ��

    ����2+�.

    2. ����!2�0 ���0%

    - �������-��(�.

    - ���-��"��!���%$

    H "�� !#���������2-���#(!��!�' %����1���.

    - ���� %�2����-��"��!���%$

    H���� !!�-�2'& ��1���(!�� ��& ������

    "!��!� �����.

    3. ��� ������-����!�

    ����"����� "�� �������� ��� ����� �.7

  • 25�

    4. �'�� %�������-����!�

    4.1 �'�� %�:

    � ������� %�2������!�"��������! (������2'���) ���� !�!��#��2-��+ �-�!�;

    � ������� %�2������!�"��2+� (� ���������2'���) �����"���� �����!!�

    ����-/��'#��!�0�������+��� �� ���� !���� ������!������������ � ���(�!�&����

    '�� %�(!��#��. ��'����!����2� ��� 0�!�� ����� ��������!���������� "��

    � �����;�(���2'� ���.

    4.2 � ��& ������"!��!� �����

    � ��& ������"!��!� �����"� ��� ��& ����� � �������� ax by c� � �� ����!�

    2'& ��(!�� ��& �����"� ������'�!�2��#��' %����1���.

    4.3 �� ��!�*(' %����� "�� ����%���� !2-�� ��& �� ax by c� � ��2'& ��1���:

    -/ ����� 1: 2-� , ,a b c "� �����' %����1���, �� � a "�� b �%� ���� ������!�� ��.

    � ��& ������"!��!� ����� � �ax by c '���2'& ��:

    1. �� ��! � �gcd , |�d a b c .

    2. 1����� 0 0,x y "� ��2'& ��)�� �(!� � �ax by c , "� ��2'& ��1�������*�(!�� ��'�

    ���������: 0 0;� � � �b ax x t y y td d

    "�� �t � .

    -/ ���������!�: 2-� , , �a b c � . � ��& ������"!��!� ����� � �ax by c '��%� � �2'& ��

    1���: 1����� � �, |� �d a b c .

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 26�

    4.4 "��� ��& ��������� %�2����-��(�

    0 ��,��� 1. "��� ��& �� 6 9 21� �x y

    � �"��: ����!�-� � �gcd 6,9 3� "�� �-����� 3 | 21 , ��� ���� ��& ��� �2'& ��1���.

    ���� !!�2'& ��1��� , �x y � ����'�!�2'& ��1��� 0 0, �x y � )�� �(!�� ��& ��.

    '�� 6 9 21� �x y �� ��!-���!������� 3 ����*� 2 3 7� �x y .

    ������(��(�-���"��!���%$

    H(!� 3 , *�: 3 2 1 1� � �

    � �� �

    2 1 3 12 1 3 1 1

    2 7 3 7 7

    � � � �

    � � � � �

    � � � � �

    ��� ��� : 0 07 ; 7� � �x y "� ��2'& ��1���)�� �(!�� ��& ��. ��� ���2'& ��� ���*�"� ��:

    3 7 , 2 7 ;� � � � � �x k y k k � .

    1�� 5�k ����'�*� 8 ; 3� � �x y �%"� ��2'& ��1���)�� �!��(!�� ��& ��, ...

    0 ��,��� 2. "��� ��& �� 6 9 5� �x y

    � �"��: ����!�-� � �gcd 6,9 3� "�� �-����� 3 | 5� , ��� ���� ��& ���%� � �2'& ��.

    4.5 "��� ��& ����!� �����H����������� �

    � ���� ��� ��������� �������

    ���� : 2-� �m � "� ��' %����1������. ���� ��� �� “������� ������� m ” (!�

    �!�' %����1��� , �a b � '�� %�� �

    ��� mod�a b m �%0%� �� ��! � �| �m a b .

    0 ��,��� 33. �) 89 25 mod 4� ������� � �4 | 89 25� .

  • 27�

    () 89 1 mod 4� ������� � �4 | 89 1� .

    �) 25 1 mod 4� ������� � �4 | 25 1� .

    �) 153 7 mod 8� � ������� � �8 | 153 7� .

    ') 24 3 mod 5� ������� � �3 | 24 3�� .

    �) 243 167 mod 7� ������� � �7 | 243 167�� .

    � �#�� ����������1��(!�������� ��������� �������

    �) mod�a a m .

    () 1����� mod�a b m "� �� mod�b a m .

    �) 1����� mod�a b m , mod�b c m "� �� mod�a c m .

    �) 1����� mod�a b m "�� � �c � , "� �� � � � � mod� � �a c b c m ;

    mod�ac b c m

    -/ ����� 22 : 2-� , , �a b c � "�� �x � '��!��!�� ��� ������ ��� ��������� �����

    "!������ mod�ax c b �%0%� �� ��!� � �y � "�� � �ax by c .

    -/ ����� 3 : 2-� , , �a b c � ���� ��� ��������� �����"!������ (mod)�ax c b

    '���2'& �� �x � �%0%� �� ��! � �gcd ,�d a b -��(� c .

    0 ��,��� 44. ' ���!�-�2'& ��1���(!� 14 18 12� �x y .

    � �"�� : ����!�-� � �gcd 14,18 2� "�� 2 |12 . ��� ���� ��& ��� �2'& ��1���.

    ����-��� ��& �� 14 18 12� �x y 2-� 2 *�: 7 9 6� �x y .

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 28�

    "��� ��& �� 7 9 6� �x y ������� �2-����"��� ��& �� � �7 6 mod9�x .

    � � %����&������!���%$

    H �� �0 ������(!� 7mod 9 "� �� 4 , ���� ����� ��!���� ��

    �!������� 4 ����*� � �24 6 mod9� �x .

    ��� ��� 6 9 6 9 ,� � � � � �x t x t t � , "��������2��� ��& ������*� 4 7 ,� � � �y t t �

    -/� � � � �, 6 9 , 4 7 ;� � � � �x y t t t � .

    � "��� ��& ����!� �����H���������0 ������2+�

    0 ��,��� 55. ' ���!�-�2'& ��1�������*�(!�� ��& �� 4 13 5� �x y .

    � �"��:

    ��� 1: '�� 5 13 14 13 5 1 34 4

    � �� � � � � � �

    y yx y x y . (1!��!�� x ) "���

    ��� 1 1 4 ,4�

    � � � � �y t y t t � . (1!��!�� y 2-�(���� �� t ), '��� ����!��*�"��

    ���2�� � �11 3 1 3 1 4 2 13 ,4�

    � � � � � � � � � � � �yx y t t t t � .

    ��� ���2'& ��1�������*�(!�� ��& ��"� �� � � � �, 2 13 ,1 4 ,� � � � �x y t t t � .

    ��� 2: ������-��"��!���%$

    H, �������*� 13 3 4 1� � � , � ��& ��'��������

    � �4 3 4 1 5� � � �x y "�� �� ��!' �������2+�*� � �4 3 1 5� � �x y y .

    ���2-� 3� �u x y *�� ��& ��2+�"� �� 4 5 5 4� � � � �u y y u , "�����2��

    3� �u x y *� � �3 3 5 4 15 13 ,� � � � � � � � �x u y u u u u � . ��� ���2'& ��� ���*�

    (!�� ��& ��"� ��: � � � �, 15 13 ; 5 4 ,� � � � �x y u u u � .

  • 29�

    0 ��,��� 66. ' ���"��� ��& �� 9 100 1� �x y .

    � �"��: ��� 1 '�� 1 100 19 100 1 11

    9 9� �

    � � � � � � �y yx y x y . (1!��!�� x ).

    ��� 1 1 9 ,9�

    � � � � �y t y t t � . (1!��!�� y 2-�(���� �� t ) "����!��������*�"��

    ��� 2�� � �111 11 1 9 11 100 ,9�

    � � � � � � � � � � �yx y t t t t � .

    ��� ���2'& ��1�������*�(!�� ��& ��"� �� � � � �, 11 100 ,1 9 ,� � � � �x y t t t � .

    ��� 2: �-����� � �gcd 9,100 1� . ��� ���� ��& ��� �2'& ��1��� x "�� y ��� �!��!�

    2-�� ��& �� 9 100 1� �x y . �� ��!���!��!�����(!� , �x y � 0��2'�����!�� ��� ��

    & �� ���� ���, ��� ����: � �9 11 100 1 1� � � � � "�� � �9 89 100 8 1� � � � � . � �2'& ��1����%�

    ����#. � � � �, 11,1� �x y "� ��)�� �2�2'& ��1���(!�� ��& ��. ��� ���:

    � � � �100 9, 11 ,1 11 100 ,1 9 ,1 1

    � � � � � � � � �� �

    x y k k k k k � ; -/�

    � � � �� � � �, 89 100 ,1 8 89 100 ,1 9 ,� � � � � � � �x y k k k k k � .

    (2��2': ����������0�!�����&�����#2-�� ��������� ��'�"��������2)

    5. ���� � "�� ���� ��& ��

    ������: � �������0� %�(!�� ������ ��2������ ����(!���

    1) ���"��� ��9�- �"���!����, "���#�� -/� 0!�� %�1��(!���������.

    2) ���� ���� ���������������.

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 30�

    3) '��& ����"������"��! �0�*� -/� ����*�.

    6. "��� %� � %�0!�� ��9�- �

    1. "��� ��& �� 1215 2755 560� �x y

    � %�0!�: 21840 551 , 9632 243x t y t� � � � � � , �t � .

    2. "��� ��& �� 24 9 33� �x y

    � %�0!�: 1 3 , 1 8 ,� � � � � �x t y t t �

    3. "��� ��& �� 172 20 1000� �x y

    � %�0!�: 500 5 , 4250 43x t y t� � � � � , �t � .

    4. "��� ��& �� 578 832 14932� �x y ; 5. "��� ��& �� 30 14 1� �x y ;

    6. "��� ��& �� 16 83 1� �x y ; 7. "��� ��& �� 355 113 1� �x y ;

    8. "��� ��& �� 377 233 1� �x y ; 9. "��� ��& �� 30 14 6� �x y ;

    10. "��� ��& �� 1521 623 13293� �x y ; 11. "��� ��& �� 123 360 99� �x y ;

    12. "��� ��& �� 1215 2755 560� �x y ; 12. "��� ��& �� 578 832 14932� �x y ;

    (%� 13, 14, 15 � ��& ��,��2����������'�������� �� ��� ��& ������"!��!� �����.

    14. "��� ��& �� 41 23mod101�x . "��� %�: ����

    41 23mod101 41 101 23� � � �x x y

    15. "��� ��& �� 13 4mod37�x . "��� %�: ���� 13 4mod37 13 37 4� � � �x x y

    16. "��� ��& �� 43 4mod31�x . "��� %�: ���� 43 4mod31 43 31 4� � � �x x y

  • 31�

    ����� 2 ! �� ��, & ����� "�� ���� %�2�

    � ��� 3 ! �� ��' %����

    ���� 2 ������

    1. '#��� ��

    ���� !2-�� ������������ "�� �(���2':

    - ����(!�! �� ��' %����

    - ���!�-�� � "�� ���"��0���;2�������)�! �� ��' %����

    2. ����!2�0 ���0%

    - �����(!�! �� ��' %����

    ' %���� 1 2 3, , , ... , , ...na a a a ��� (���� ��0 %�")����!�,�� ��� �:

    1, 3, 5, 7 ... 1 1 11, , , ...2 4 6

    � �1, 1, 1, 1, 1 , ...n� � �

    1 2 3 4, , , , , ...na a a a a

    -/� 0 %������ � ��(� %�� �"� ���#��' %����1������ ���� � �� ! �� ��' %����, �������'�

    2�� ����� �� � �na "��! �� �� 1 2 3, , , ... , , ...na a a a "���'��!��� 1a "� ��� ��� 1 (!� � �na , 2a "� ��� ��� 2 (!� � �na ,..., na "� ��� ��� n -/� � �� ���*�(!�� �na

    ����!����)�! �� �����-/�����"�� ���0%� *����:

    - ������(����� -/� ��� � �� %�!

    - ������(��� �� ���*� ��� �: ! �� �� � �na - ����������"� �� �"� ���������"�(!�0 %����%� 0%� ����!� � �na f n�

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 32�

    3. ��� ������-����!�

    ��� ��� 2��(���2�����!�� ����� � ����"�����, �������� ���, ����0 %������ � ���(�!� (1��

    � �), ����, �� ���� 2�(������.

    4. �'�� %�����������!�

    ��!�����0 ��,�����!�, � %���� �����"��� ��9�- ����(%�2�-�!������

    ���' �� ����������#��0�������+��� ��� ������� (���!��� ���������2'���) "��

    �!�+��������� -/� � ��9�- �2-�� ��������,������.

    5. ���� � "�� ���� ��& ��

    ���� � "�� ���� ��& ��������(!�� �����2�� ����"� ��'���������'�

    � %�2�-�!����, � �������!� -/� � �� ��!�, ���"��� ��9�- � -/� �������

    "���� ������� ����� ������(���2'� ���� "�� "��� ����*�,���1��0�!� -/� �%� ?

    6. "��� %� � %�0!�� ��9�- �

    1. �. '�� � � 11 2n nna �� � � ����*�

    6 � �� %�!(!� � � 11 2n nna �� � � "� ��: 3, 9, 15, 33, 63, 129 .

    (. '�� 12na n� � ����*�

    6 � �� %�!(!� 12na n

    � � "� ��: 3 5 7 9 111, , , , ,2 3 4 5 6

    .

    �. '�� 2 1nnan

    ��

    ����*�

    6 � �� %�!(!� 2 1nnan

    ��

    "� ��: 2 3 4 5 61, , , , ,3 5 7 9 11

    .

    �. '�� � � 12 nna n�� � � ����*�

    6 � �� %�!(!� � � 12 nna n�� � � "� ��: 2, 0, 7, 4, 21, 26� � .

    '. '�� 2 1nna � � ����*�

  • 33�

    6 � �� %�!(!� 2 1nna � � "� ��: 1, 3, 7, 15, 31, 63 .

    �. '�� 2 11n

    nan

    ��

    � ����*�

    6 � �� %�!(!� 2 1

    1nnan

    ��

    � "� ��:

    1 5 7 3 11, 1, , , ,2 4 5 2 7

    .

    2. �. '�� 2 11, 2n n na n b a �� � � � ����*�

    5 � �� %�!(!� � �nb "� ��: 2, 4, 6, 8, 10 .

    (. '�� � �22, 1n n na n b a� � � � ����*�

    5 � �� %�!(!� � �nb "� ��: 5, 17, 37, 65, 101.

    �. '�� 3, 4n n na n b a� � � ����*�

    5 � �� %�!(!� � �nb "� ��: 1, 2, 5, 8, 11� .

    �. '�� � �16 , 2n

    n n na n b a �� � � � ����*�

    5 � �� %�!(!� � �nb "� ��: 6, 11, 10, 3, 2 .

    3. �. 21n

    an

    ��

    na

    n1 2 3 4 5 6

    1

    0.5

    �� � � �ສ.

    ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 34�

    (. � �11n

    na n�

    � �

    �. 2na �

    na

    n

    1

    1 2 3 4 5 6

    2 � � �� � �

    na

    ��

    n

    1

    1.5

    0.5

    2

    21 3 4 5 6

  • 35�

    �. 1na n� �

    '. 12n n

    a � �

    ��� ������

    �. � � 11 nna�� �

    na

    n1 2 3 4 5 6

    1

    1�

    1

    na

    n2 3 4 5 6

    6

    12345

    ��

    ��

    ��

    na

    n

    1

    0.5

    1 2 3 4 5 6

    ��

    ���

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 36�

    � ��� 4 ! �� ��������� "�� ! �� ���������

    ���� 5 ������

    1. '#��� ��

    ���� !2-�� ������������ "�� �(���2':

    - ����(!�! �� ��������� "�� ! �� ���������

    - ���!�-�� �� ���*� "�� & �����(!�! �� ��������� "�� ! �� ��

    �������

    - ���!�-�� �� ���*�(!�! �� �� 1 ,n n nb a a�� � 1

    11

    n

    kk

    na a b�

    � �� "��

    1 , 1n na pa q p� � � � .

    2. ����!2�0 ���0%

    - ! �� ���������. ����. ! �� �� � �na "� ��! �� ��������� 1������ �' %����� ����� d ��� 0!���

    )!�2-� 1 , ( 1, 2,3,...)n na a d n� � � � �� � d � ��� � �� "0 ���������".

    - � �� ���*� "�� & ����� n � �� %�!(!�! �� ���������. • � �� ���*�(!�! �� ���������"� �� � �1 1na a n d� � �

    • & ����� n � �� %�!(!�! �� ���������"� ��

    � �12 12nnS a n d� � � !" # � -/� � �12n n

    nS a a� �

    +���-: 1����� , ,a b c ����! �� ��������� '�*�: 2a cb �� .

    • � ����� ��& ������������ !�+�� � "�� !������ ��� ��� �(�� 1 1 3

    1

    ...n

    n kk

    a a a a a�

    � � � � � �

    �#�� ������(!� � �� ��������:

  • 37�

    �. 1

    n

    kc nc

    �� �� ��! c ����' %����� �����.

    (. 1 1

    n n

    k kk kca c a

    � �

    �� �

    �. � �1 1 1

    n n n

    k k k kk k ka b a b

    � � �

    � � �� � �

    - ! �� ���������. ����. ! �� �� � �na "� ��! �� ��������� 1������ �' %����� ����� r ��� 0!���)!�

    2-� 1 , ( 1,2,3,...)nn

    a r na

    � � � �� � r � ��� � �� "0 ���������".

    - � �� ���*� "�� & ����� n � �� %�!(!�! �� ���������.

    • � �� ���*�(!�! �� ���������"� �� 11 nna a r ��

    • & ����� n � �� %�!(!�! �� ���������"� ��

    � �1 11

    n

    n

    a rS

    r

    ��

    �� -/� 1

    1n

    na a r

    Sr

    ��

    � �� ��! 1r �

    - & ������%� ����#(!�! �� ������������ � � 1r � .

    • & �����! �� ���%� ����#(!�! �� �����������: 11a

    Sr$

    ��

    � �� ��! 1r �

    • 1����� 1 2 3, , ,..., ,...na a a a ����! �� ��������� "�� 1 2 3, , ,..., ,...nb b b b ����

    ! �� ���������. ��������

    !�& �����(!�! �� ��2��������

    31 21 2 3

    ...aa aSb b b$

    � � � �

    +���-: 1����� , ,a b c ����! �� ��������� '�*�: 2b ac� .

    - !! �� ����� & ��0�������! �� ��������� -/� ! �� ���������. 2-�! �� �� � � 1 2 3 1: , , , ..., , , ...n n na a a a a a � "�� � � 1 2 3 1: , , , ..., , , .....n n nb b b b b b � �

    *�: 1 2 3 1 1.... n nb b b b a a�� � � � � � . ���� ���, �� ��!� �nb ����! �� ��������� -/�

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 38�

    ! �� ��������� "� ������

    !�-� 1 2 3 1.... nb b b b �� � � � "�� na *�.

    �� � 1

    11

    n

    n kk

    a a b�

    � ��

    - ! �� �� 1 , 1nna pa q p� � � � .

    (�� 1 , 1n na pa q q� � � � 2�������� � �1 ,n na p a� �� � � � �� � 1qp

    � ��

    ��� n nb a �� � *���� 1n nb pb� � �� �����! �� ���������

    ���� ���, 11 nnb b p �� � �����, � � 11 nna a p� � �� � � .

    ����������� � � 11 , 1n

    nqa a pp

    � � ��� � � ��

    3. ��� ������ -����!�

    ��� ��� 2��(���2�����!�� ����� � ����"�����, �������� ���, ����0 %������ � ���(�!� (1��� �), ����, �� ���� 2�(������ "�� �' ��"&��2-����-/#�����!2�� ����.

    4. �'�� %������� - ����!�

    ��!�����0 ��,�����!�, � %��� "�� �!�+���'�� %�2-�� ��������

    2�-�!���� ' �� ����������#��0�������+��� ��� ������� (���!��� ���������2'

    ���), "��� ��9�- ����(%� "�� �!�+��������� -/� � ��9�- �2-�� ��������,��

    2�-�!���� -/� ���,������0����������.

    5. ���� � "�� ���� ��& ��

    ���� � "�� ���� ��& ��������(!�� �����2�� ����"� ��'���������'�

    � %�2�-�!����, � �������!� -/� � �� ��!� (-/� � ��!�"������*�), ���

    "��� ��9�- � -/� ������� "���� ������� ����� ������(���2'� ���� "�� "��� �

    ���*�,���1��0�!� -/� �%� ?

  • 39�

    6. "��� %� � %�0!�� ��9�- �

    � ��9�- � 1

    1. � �� ���*�"� �� � �15 12na n d� � � "�� � ��� 54 "� �� 54 125a � � .

    2. 0 ���������"� �� 23

    d � � "�� � ��� 1 "� �� 1 20a � .

    3. ! �� ������ � 96n � ' ��� � "�� � �& �����"� �� 96 32400a � .

    4. & �����(!�� �� %�! "�� & ���#����"� �� 13 3 16� �

    5. ���(!� 35 125

    2 8x � �� �

    6. & ����� 110 � �� %�!���� �� �� 110� .

    7. ����*� 1 2 3 13... 2379a a a a� � � � � .

    8. & ����� m n� � �� %�!(!�! �� �����������

    � � � �12m n

    m n m nS �

    � � ��

    9. '���#�� ���������!�-������(!�! �� ���������*���� 2 2

    2

    2c ab ��

    ���� ���, 2b ��� ����(!�! �� ��������� �� �!���!�� �"� �� 2a "�� 2c

    10. �.

    20

    1

    3 630k

    k�

    �� (. � �� � � �21

    2 1 1 4 9 1 .6

    n

    k

    nk k n n�

    � � � � ��

    �. � �10

    3 2

    1

    9 18 7480kk k k

    � � �� �.�� � � 21

    2 1n

    kk n

    � �� ���������������������������������������������������

    11. ���(!� 2a � "�� 3b � �

    12. �. ����*� � �1

    11 1

    n

    k

    nk k n�

    �� �� ������(. ����*� 1

    1 1 11

    n

    kn

    k k�� � �

    � �� �������������

    �. ����*� � �� �11 1 1 1 1

    1 2 2 4 1 2

    n

    k k k k n n� � � �� �� � � � �

    � �

    ��

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 40�

    � ��9�- � 2

    1. � ��� 7 (!�! �� �����"� �� 72

    243a �

    2. 0 ������������� �� �� 13

    r � � "�� 13

    r �

    3. ��� ' %����� ��2��-����' %���� 160 "�� 5 "� �� 80, 40, 20, 10 . 4. 1������! �� ���������' %����������� ���'�"� �� , ,a d a a d� �

    1������! �� ��������� ��������(��*� � �� �2a a d a d� � � -/� 2 2 2a a d� � ��� ���, 0d � . ���� ���, ���' %�������0�!����� �� ��.

    5. ���(!� 29

    a � , 23

    b � � "�� 6c � �

    6. ����*� 1