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Lezione 7 Dinamica dei sistemi di punti
materiali Argomenti della lezione Forze interne ed esterne
Definizione di centro di massa (posizione, velocità,accelerazione)
Momento angolare
Momento angolare di un sistema di punti materiali
Teorema di Konig del momento angolare
Teorema di Konig per l’energia cinetica
Teorema dell’energia cinetica
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Forze interne ed esterne nji mmmmm ,.........,,........., 21Consideriamo n punti materiali:
y
xO
irjr
ij ,Fji ,F
Le forze interne sono quelle scambiate dai punti.
Per il principio di Azione/Reazione
ijji ,, FF =Le forze esterne sono quelle che agiscono sul sistema per via di fattori esterni al sistema, si possono indicare come
)()( , ej
ei FF
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Forze interne ed esterne nji mmmmm ,.........,,........., 21Consideriamo n punti materiali:
y
xO
'O
irjr
ji,Fij ,F
Sommando vettorialmente le forze interne ed esterne si ottiene:
0,
, =∑ji
jiF
)()( e
i
ei RF =∑
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Forze interne ed esterne nji mmmmm ,.........,,........., 21Consideriamo n punti materiali:
j
jj mF
a =
Le relative posizioni:
Le relative velocità:
Le relative accelerazioni:
nji rrrrr ,.........,,........., 21
nji vvvvv ,.........,,........., 21
nji aaaaa ,.........,,........., 21
y
xO
irjr
iv
jv
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Forze interne ed esterne
In riferimento a quanto abbiamo appena visto su un sistema completo avremo:
y
xO
irjr
iv
jv
cini
ii
ii
iii
Em
m
=
==
∑
∑∑
2
21 v
pPv
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Centro di massa Definiamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la seguente grandezza:
y
xO
irjr
iv
jv∑
∑=
ii
iii
CM m
m rr
Studiamone la variazione col tempo:
∑∑
∑===
ii
ii
iii
CMCM
mm
m
dtd Pv
vrCM
iim vP
= ∑
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Centro di massa Proseguendo a derivare la velocità rispetto al tempo:
y
xO
irjr
iv
jv ∑
∑
∑
∑===
ii
ii
ii
iii
CMCM
mm
m
dtd Fa
av
CMi
ii
i m aF
= ∑∑
Ma le forze agenti su un singolo punto materiale sono sia quelle interne che esterne, ossia
CMi
ie
i
ei
jiji
ii m aRFFF
=+=+= ∑∑∑∑ )()(
,, 0
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Centro di massa y
xO
irjr
iv
jvIl centro di massa si sposta come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa del sistema su cui agisce la risultante delle forze esterne.
CMCMi
ie Mm aaR =
= ∑)(
dtd
dtdmm CM
iiCM
ii
e PvaR ==
= ∑∑)(
Notiamo che se: 0)( =eR 0=dtdP cost=P
CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO
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Momento angolare Si definisce momento angolare la seguente grandezza:
vrprL m×=×=
L
r
v
ϑsinrpL =
E’ una grandezza vettoriale, per definirne il verso:
c
ba
bac ×=
Regola mano sx b direzione indice, a direzione medio, pollice vettore risultante
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Momento della forza Si definisce momento della forza la seguente grandezza:
FrM ×=M
rF
ϑsinrFM =
E’ una grandezza vettoriale, per definirne il verso:
c
ba
bac ×=
Regola mano sx b direzione indice, a direzione medio, pollice vettore risultante
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Teorema del momento angolare Calcoliamo la variazione nel tempo del momento angolare:
=×+×=×=dtdmm
dtdm
dtd
dtd vrvrvrLL
r
v
O
La derivata temporale del momento angolare è uguale al momento della forza se entrambi i momenti sono riferiti allo stesso polo di un sistema fisso.
Conservazione del momento angolare
Se la forza è nulla o forza e vettore posizione sono paralleli
costante0 =⇒= LLdtd
MFrarvv =×=×+×= mm
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Centro di massa Momento angolare
y
xO
irjr
iv
jvRagionamenti analoghi possono essere fatti per il momento angolare di un singolo punto e del centro di massa.
iiii m vrL ×=
LLvr ==× ∑∑i
ii
iii m
Anche in questo caso possiamo vederne il comportamento al variare del tempo:
∑∑ ×==i
iiii
i mdtd
dtd
dtd vrLL
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Centro di massa Momento angolare
Proseguendo coi calcoli.
=×== ∑∑i
iiii
i mdtd
dtd
dtd vrLL
)()( e
i
eiidt
d MFrL=×=∑
Momento totale delle forze esterne
=×+×= ∑∑i
iii
iii
i
dtdmm
dtd vrvr
=×=×+×= ∑∑∑i
iii
iiii
iii mm Frarvv
∑∑ ×+×=ji
jiii
eii
,,
)( FrFr
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Centro di massa Momento angolare
E se l’origine si muove con una certa velocità?
oiii
dtOPd
dtd vvr
−==Teorema del momento angolare per un sistema di punti
Se l’origine è fissa o coincide con il centro di massa del sistema:
)(e
dtd ML
=
∑×−=i
iioe m
dtd vvML )(
∑×−=i
iCMoe m
dtd vvML )(
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Punti e sistemi
Se la somma delle forze esterne è NULLA, si ha
PUNTO SISTEMA Quantità di moto
2° principio dinamica
vmP = CdMVMP
=
dtPd
estF
=∑ ( )
( )CdMdt
VMdest
dtVd
dtdM
dtVMd
est
aMFM
MVFCdM
CdM
==⇒
+==
∑∑
cost
Q.d.M. Cons. kostP =
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Centro di massa Momento angolare
Se l’origine è fissa o coincide con il centro di massa del sistema:
)(e
dtd ML
= 0 se )( =eM 0=dtdL
Il momento angolare si conserva!
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Sistema di riferimento del Centro di massa
Se consideriamo il centro di massa e lo prendiamo come origine di un sistema di riferimento cartesiano con assi ad orientazione fissa rispetto ad un sistema Oxy fisso, il moto del sistema di punti materiali può essere descritto come:
2) Moto di spostamento dei punti intorno al centro di massa dovuto al momento delle forze esterne
y
x
'y
'xO
CMr'r
i
1) Moto del centro di massa dovuto a forze esterne
CMCMi
ie Mm aaR =
= ∑)(
( )∑ ×==i
iiiCMCMe
CM mdtd
dtd vrLM ,
)(
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Teorema di Konig del momento angolare
Calcoliamo il momento totale rispetto ad O.
y
x
'y
'xO
CMr'r
i ∑ ×=i
iii m vrL0
+=
+=
iCMi
iCMi
'
'
vvv
rrrMa
( ) ( )
=×+×+×+×=
=+×+=
∑∑∑∑
∑
iiii
iCMii
iiiCM
iCMiCM
iiCMiiCM
mmmm
m
''
'
''
'0
vrvrvrvr
vvrrL
'' ' LLvrvr +=×+×= ∑∑ CMi
iiii
CMiCM mm
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Teorema di Konig per energia cinetica
+=
+=
iCMi
iCMi
'
'
vvv
rrr
( )
∑
∑∑∑
∑∑
+=
=++=
=+==
iiiCMtot
iiCMi
iii
iCMi
iiCMi
iiicin
mM
mmm
mmE
22
22
22
'21
21
''21
21
'21
21
vv
vvvv
vvv
Consideriamo sempre il caso precedente e vediamo cosa capita per l’energia cinetica.
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Teorema dell’energia cinetica
(int))((int))(i
eiiii
eiiii dWdWddddW +=+== rFrFrF
Consideriamo sempre il caso precedente e vediamo cosa capita per l’energia cinetica.
(int)idWIl termine è formato da termini del tipo
( ) jijiijjiiijjji ddddd ,,,,, rFrrFrFrF =−=+
che sono associati a cambiamenti delle distanze relative dei punti
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Teorema dell’energia cinetica
iiiii
iiii dmddtdmddW vvrvrF ===
∑∑ −=i
Aiii
Bii vmvmW 2,
2, 2
121
Considerando tutte le forze ho per l’intero sistema
cost,,,, =+=+ BpBkApAk EEEE
( ) ( )ApAkBpBknc EEEEL ,,,, +−+=
e nel caso di forze non conservative
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Punti e sistemi
Se la somma delle forze esterne è NULLA, si ha
PUNTO SISTEMA Quantità di moto
2° principio dinamica
vmP =
!P =M
!VCM
dtPd
estF
=∑!Fest! =
d M!VCM( )dt
= dM
dtVCM+
d!VCM
dtM
M cost "!Fest! =
d M!VCM( )dt
=M!aCM
!P = cost
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Teorema dell’Impulso
Relazione tra variazione della quantità di moto e forza con il fattore TEMPO
Posso ottenere lo stesso effetto in 2 modi: Bassa intensità per tempo lungo
Alta intensità per breve tempo (FORZA IMPULSIVA)
∫==Δ=−f
i
t
tif dttFJPPP )(
t
F
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Urti
PERFETTAMENTE ELASTICI Si conserva la quantità di moto
Si conserva l’energia
PERFETTAMENTE ANELASTICI La massima parte dell’energia cinetica totale finisce in calore
La quantità di moto si conserva
REALI La quantità di moto si conserva
Parte dell’energia cinetica finisce in calore
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Esempi di urti