7. circuitos de corrente alternada (ac) · 2 • descrevemos os princípios básicos dos circuitos...
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7. Circuitos de Corrente Alternada (AC)
7.1. Fontes de AC e Fasores
7.2. Resistências num Circuito AC
7.3. Indutores num Circuito AC
7.4. Condensadores num Circuito AC
7.5. O Circuito RLC em Série
7.6. Ressonância num Circuito RLC em Série
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• Descrevemos os princípios básicos dos circuitos AC simples.
• Análise de circuitos em série simples com resistências (R), condensadores(C), e indutores (L), isoladamente ou em combinação, alimentados por uma fonte de voltagem sinusoidal.
• Vamos usar o facto de R, C e L terem respostas lineares: a corrente alternadainstantânea (AC) em cada um deles é proporcional à voltagem alternadainstantânea no componente.
• Quando a voltagem (V) alternada aplicada for sinusoidal, a corrente em cada componente também será sinusoidal, mas não necessariamente em fase com a voltagem aplicada.
• Quando a corrente numa bobina (indutor) se altera com o tempo, há uma fem(força electro-motriz) induzida na bobina, conforme a Lei de Faraday.
A fem auto-induzida numa bobina define-se pela expressão:
dtdiL−=ε Onde L é a indutância da bobina
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• A Indutância é uma medida de oposição dum componente do circuito (neste caso a bobina) à variação da corrente.
1 1 V sHA⋅
=SI → henry (H)
• A indutância de qualquer bobina (solenóide, bobina toroidal) é dada pela expressão
INL mφ=
Indutor (bobina)
• Onde I é a corrente, φm é o fluxo magnético através da bobina, e N o número total de espiras.
• A indutância de um componente de um circuito depende da geometria do componente.
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7.1. Fontes de AC e Fasores
•Circuito de corrente alternada (AC): uma combinação de componentes (R,L,C) e um gerador que proporciona AC.
•Pela rotação duma espira num campo magnético com velocidade angular (ω)constante, induz-se uma voltagem alternada (fem) sinusoidal na espira.
•Esta voltagem instantânea é dada por:
Vm: voltagem de pico do gerador de AC ou amplitude da voltagem.
•A frequência angular é:
f: frequência linear da fonte, T: período (f → Hz (ciclos por segundo); ω →rad/s)
Em Portugal, na rede eléctrica f=50 Hz
tsenVm ωυ =
Tf ππω 22 ==
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Objectivo primordial do capítulo - exemplo: Suponha que tem um gerador de AC ligado a um circuito com componentes R, L e C em série; se a Vm
e a f do gerador forem dadas, e os valores de R, L e C também, achar a corrente resultante, caracterizada pela amplitude e pela fase.
A fim de simplificar esta análise temos que construir graficamente um diagrama de fasores: as grandezas oscilatórias (corrente, voltagem) são representadas por vectores giratórios (no sentido anti-horário) no plano complexo, os fasores.
•O comprimento do fasor representa a amplitude (valor máximo) da grandeza;
•A projecção do fasor no eixo real representa o valor instantâneo da grandeza.
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7.2. Resistências num Circuito AC
• A soma algébrica instantânea da elevação do potencial, e do abaixamento do potencial, na malha do circuito deve ser nula (Lei das malhas de Kirchhoff) ⇒
~υ = Vm.sen(ω.t)
vR
1Συi=0 ⇔ υ-υR = 0 ⇒ υ = υR = Vm.sen ω t
υR: queda instantânea de voltagem na resiatência (R).
tsenItsenR
VR
i mm
R ωωυ=== 2A corrente instantânea:
RVI m
m = → corrente de pico
1 2e ⇒ υR = Im R sen ω t
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iR e υR variam, ambos de uma forma sinusoidal (com sen ωt) e atingem os valores máximos (picos) num mesmo instante ⇒ as duas grandezas estão em fase.
Im
Vm
t
vR
iR iR
υRVm
Im
ωt
Diagrama de fasores. As projecções de Im e Vm (fasores) no eixo vertical representam os valores instantâneos
de iR e υR.Gráfico da voltagem e da
corrente em função do tempo
• ! O valor médio da corrente sobre um ciclo é nulo: a corrente mantém-se num sentido (+) durante o mesmo intervalo de tempo que se mantém no sentido oposto (-) ⇒ O sentido da corrente não tem efeito sobre o comportamento do R no circuito.
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Efeito térmico
• Qualitativamente: as colisões entre os electrões de condução de corrente e os átomos fixos da resistência (R) provocam um aumento da sua temperatura, que depende do valor da corrente, mas é independente da direcção da corrente.
• Quantitativamente: taxa de conversão da energia eléctrica em calor numa R éa sua potência instantânea ; i: corrente instantânea na R.
• P ∝ i2 ⇒ não faz diferença se a corrente for contínua (DC) ou alternada (AC), ou seja se o sinal (+) ou (-) for associado a i.
! O efeito térmico provocada por uma corrente alternada com Im não é o mesmo que o provocado por uma corrente contínua com o mesmo valor, dado que a corrente alternada somente tem o Imax durante um pequeno instante de tempo durante um ciclo.
P = i2·R
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Importante num circuito AC é o valor médio da corrente ou corrente média quadrática (rms).
A corrente média quadrática (ou eficaz) é a raiz quadrada da média dos quadrados da corrente.
O quadrado da corrente varia com sen2 ωt, e pode-se mostrar que o valor médio de i2 é I2
m/2
I2rms
i2
t
I2m
22
0,7072
2
mrms m
mrms
II I
II
= =
=⇒
Exemplo: Uma corrente AC com Im = 2 A libertará o mesmo calor numa R do que uma corrente DC de 0,707·2 = 1,414 A
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A potência média dissipada num R com uma corrente AC é:
rms
rms
VRI
=RIP rmsmed2=
0,7072m
rms mVV V= =A voltagem média quadrática (ou eficaz):
! Quando se fala em medir a voltagem alternada de 220V duma tomada eléctrica, fala-se na realidade duma Vrms de 220V ⇒ Vm = 311,1 V
! Usaremos valores rms ao discutir as correntes e voltagens alternadas.
! Os amperímetros e voltímetros de AC são projectados para ler os valores rms
Se forem usados os valores rms, muitas equações terão a mesma forma que as equações nos circuitos DC
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Irms(Ief)Vrms(Vef)Valor médio quadrático (ou eficaz)
ImVmValor máximo (pico)
iυValor instantâneo
CorrenteVoltagem
⇒ Exercício 7.1
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7.3. Indutores num Circuito AC
υL: queda instantânea de voltagem no indutor (bobina).
~υ = Vm·sen(ω.t)
υL
⇒ Lei das malhas: Συi=0 ⇔ υ + υL = 0 ,
0m mdi diL V sen t L V sen tdt dt
ω ω− + = ⇒ = 1
A integração dá a corrente em função do tempo:
cosm mL
V Vi sen t dt tL L
ω ωω
= =−∫
dado que: cos 2
t sen t πω ω − = − ⇒
−=
2πω
ωtsen
LVi m
L 2
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Comparando com ⇒ a corrente está fora de fase com a voltagem,
com um atraso de π/2 rad, ou 90°1
Vm
Im vL
iL
t
iL
vLVm
ω.t
Im
υL atinge Vm (pico) num instante que está um quarto do período de oscilação antes de iL atingir Im
Quando a υ aplicada for sinusoidal, iL segue a υL com um atraso de 90°
! υL ∝ di/dt ⇒ υL é maior quando i estiver a variar com maior rapidez. i(t) é
uma curva sinusoidal ⇒ di/dt (declive) é máximo quando a curva i(t) passar
pelo zero ⇒ υL atinge Vm quando iL = 0
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−=
2πω
ωtsen
LVi m
L 2
L
mmm X
VL
VI ==ω
⇒Da Eq. 2 3
• é a impedância indutiva (ou reactância indutiva)
Irms é dada por uma expressão semelhante à com Vm substituída por Vrms
! O conceito de impedância é usado a fim de não ser confundido com o de resistência.
A impedância distingue-se da resistência porque introduz uma diferença de fase entre υ e i.
•Circuito puramente resistivo ⇒ i e υ em fase
•Circuito puramente indutivo ⇒ i segue υ com uma diferença de fase de 90°
XL = ωL3
rmsrms
L
VIX
=
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tsenXItsenV LmmL ωωυ ⋅⋅=⋅=Com e ⇒31
Pode ser visto como a Lei de Ohm dum circuito indutivo. XL tem a unidade SI de resistência (impedância) ⇒ o Ohm (Ω).
A impedância dum indutor aumenta com a frequência. Nas frequências
mais elevadas i varia mais rapidamente, o que provoca um aumento da fem
induzida associada a uma certa Im.
⇒ Exercício 7.2
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7.4. Condensadores num Circuito AC
~v = Vm·sen(ω.t)
vC
C
• Lei das malhas: Συi=0 ⇔ υ - υc = 0
υ = υc = Vm sen ω t• υc: queda instantânea de voltagem no condensador.
( ) ( )c m
Q tv Q t CV sen t
Cω= → = 1
Uma vez que i = dQ/dt ⇒ a derivação de dá a corrente instantânea1
cos sin2C m m
dQi CV t CV tdt
πω ω ω ω = = = +
dado que: cos2
t sen t πω ω = +
• Vemos que a corrente não está em fase com a voltagem aos terminais do condensador.
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12 2C m m
C
i CV sen t V sen tπ πω ω ω = + = + Χ iC está com uma diferença de fase de 90° em antecipação à υC.
2
Vm
ImvC
iC
t
ImIC
υC Vm
ωt
Quando a fem aplicada for sinusoidal, a corrente num condensador está avançada de 90° relativamente à voltagem no C.
iC atinge Im (pico) um quarto de ciclo mais cedo que o instante em que a υC
atinge Vm
CX C ω
1=Impedância capacitiva ⇒ ⇒ Exercício 7.3
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7.5. Circuitos RLC em Série
i = Im.sen(ωt - φ); φ é o ângulo de fase entre a corrente e a voltagemaplicada.
• Objectivo: determinar φ e Im. Teremos que construir e analisar o diagrama de fasores do circuito.
! Todos os componentes estão em série no circuito ⇒ a corrente alternada (i) é sempre a mesma (mesma amplitude e mesma fase) em todos os pontos do circuito. ⇒ a voltagem em cada componente terá amplitude e fase diferente.
vR
t
vL
t
vC
t
υR υL
υ = Vm.sen ω t
υC
R C
~L
i
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VL
Im
90°
ω VC
Im90°
ω
VR Im
ω1
Resistência Indutor Condensador
Voltagem → em fase / avanço de 90° / atraso de 90° com a corrente
As quedas instantâneas de voltagem:
υR = ImR sen (ωt-φ) = VR sen (ωt-φ)
υL = ImXL sen (ωt+π/2-φ) = VL cos (ωt-φ)
υC = ImXC sen (ωt -π/2-φ) = -VC cos (ωt-φ)
VR = ImR; VL = ImXL; VC = ImXC são as voltagens de pico (máximos) aos terminais de cada componente.
( )φω −= tsenIi m
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! A voltagem instantânea υ nos três componentes obedece a:
υ = υR + υL + υC
É mais simples efectuar a soma usando o diagrama de fasores A corrente em cada componente é a mesma, I (t) ⇒ pela combinação dos três fasores : 1
2
Im VR
VL
VC
ω Vm
φφ
VL-VCVm
VR
2
Soma vectorial das voltagens
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! A soma vectorial das amplitudes das voltagens VR, VL, VC é igual a um fasor
cujo comprimento é o pico da voltagem aplicada, Vm, e que faz um ângulo φ com
o fasor da corrente Im.
Pelo triângulo na Figura:
( ) ( ) ( )2222CmLmmCLRm XIXIRIVVVV −+=−+=
( )22CLmm XXRIV −+= ; XL = ωL; XC = 1/ ωCA
( )22CL
mm
XXR
VI−+
=
( )22CL XXR −+≡ SI: OhmZA impedância (Z) do circuito RLC é:
Vm = Im Z⇒ ⇒ Generalização da Lei de Ohm para ACA
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;m rms
m rms
V VZ ZI I
= =
• ! A corrente no circuito depende da R, L, C e ω
Se eliminamos o factor comum Im de cada fasor da Figura
⇒ triângulo de impedância.
2
Z
Rφ R
XX CL −=φtanXL – XC ⇒
( )φω −= tsenIi m
• Quando XL > XC (frequências altas) ⇒ φ > 0, a i segue a υ aplicada.
• Se XL < XC ⇒ φ < 0, i precede a υ aplicada.
• Quando XL = XC ⇒ φ = 0, Z = R e Im = Vm/R
A frequência a que se verifica esta condição é a frequência de ressonância.
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Negativo se XC > XL
Positivo se XC < XL
Positivo, entre 0° e 90°
Negativo, entre –90° e 0°
+90ºXL
-90ºXC
0ºR
Ângulo de Fase, φImpedância, ZComponentes do Circuito
R CL
L
R
C
CR 22CXR +
LR 22LXR +
( )22CL XXR −+
⇒ Exercício 7.5
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7.6. Potência num Circuito AC
No circuito RLC podemos exprimir a potência instantânea, P, como:
P = i·υ = Imsen(ωt – φ)·Vmsen (ωt)
= ImVmsen(ωt)·sen(ωt – φ)1
! Função complicada do tempo sem muita utilidade prática.
Interessa, em geral: a potência média em um ou mais ciclos ⇒
sen(ωt - φ) = sen(ωt)cos(φ) – sen(φ)cos(ωt) → 1
P = ImVmsen2(ωt)·cos(φ) – ImVmsen(ωt)·cos(ωt)·sen(φ)
Toma-se a média de P sobre o tempo durante um ou mais ciclos (Im, Vm, φe ω constantes).
• Média de sen2(ωt).cos(φ) → ½ cos(φ)• Média de sen(ωt).cos(ωt).sen(φ) → 0
½.sen(2ωt)
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;2 2m m
rms rmsV IV I= =
⇒ A potência média oupotência activa eficaz:
Pmed = ½ Im.Vm.cosφ
= Irms.Vrms.cos φ
VL-VC
VR
φ
Vm
⇒ A queda máxima de voltagem naresistência é: VR = Vmcos φ = Im.R →
factor de potência
cos φ = Im R/Vm
212cos
2 2m m m
méd rms rms mm
I V I RP I V I RV
φ = = =
RIP rmsméd2=
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Preact = Irms.Vrms.sen(φ)
! A potência média proporcionada pelo gerador é dissipada como calor na R. (como em DC)
! Não há perda de potência num indutor ideal ou num condensador ideal.
• (Ex.: o C é carregado e descarregado duas vezes durante cada ciclo ⇒ háfornecimento de carga ao C durante dois quartos do ciclo, e há o retorno da carga à fonte de voltagem, durante os outros dois quartos. ⇒ A potência média proporcionada pela fonte é nula. Logo um C num circuito de AC não dissipa energia.)
• (Analogamente para o indutor)
A potência que se transmite entre a fonte e o circuito que não é dissipada:
Potência reactiva:
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Pméd = Pact = Irms.Vrms.cos φ
Puramente resistivo ⇒ φ = 0, cos φ = 1
Potência máxima(máx. amplitude)
⇒ Pmax = Irms.Vrms
t
P = v.i
iv
Potênciamédia
⇒ Exercício 7.8
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7.7. Ressonância num Circuito RLC em Série.
• Um circuito RLC está em ressonância quando a corrente tem o seu valor de pico (ver pag. 22).
• Em geral( )22
CL
rmsrmsrms
XXR
VZ
VI−+
==
! Z = Z (ω) ⇒ Irms = Irms(ω)
A corrente atinge o seu valor máximo quando XL = XC ⇒ Z = R
A frequência ω0 a que isso ocorre é a frequência de ressonância do circuito:
LC1
0 =ωC
LXX CL0
01
ωω =⇔=
ω0 também corresponde à frequência natural de oscilação do circuito LC.
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• Nesta frequência a corrente está em fase com a voltagem instantânea aplicada.
R = 10Ω
(mA)R = 3.5Ω
R = 5Ω
Irms
1.2
0.2 9 w0 12
ω, Mrad/s
L = 5 µHC = 2 nFVmq= 5 mV
∀Rω0 = 107 rad/s
Curvas mais estreitas e altas quando R diminui.
Irms →∞, R → 0 (teoria!!)
• Os sistemas mecânicos também exibem ressonâncias: sistema massa-mola.
• Actuando na ω0, a amplitude das oscilações aumenta com o tempo.
Os circuitos reais têm sempreuma certa resistência que limita o valor da corrente.
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• A potência média em função da frequência:
( )22
2
2
22
CL
rmsrmsrmsméd XXR
RVRZ
VRIP−+
===
LC12
0 =ω
CX C ω
1=
LX L ω=
( )220
2222
22
ωωωω−+
=LR
RVP rmsméd
RVP rms
méd
2
=Quando ω = ω0 a Pméd é máxima,
R = 10Ω
R = 3.5Ω
∆ ω
Pméd, µw
7
1
9 ω 0 11 ω, Mrad/s
A largura da curva é descritapor um factor de qualidade: Q0
ωω∆
= 00Q
31
∆ ω é a largura da curva medida entre dois valores de ω para os quais Pméd tem metade do valor máximo da P
⇒=∆LRω
RLQ 0
0ω
=XL(ω0)
→ Grandeza adimensional
! Q0 elevado, ∆ω estreito; Q0 baixo, corresponde a uma faixa de frequências mais ampla.
! 10 < Q0 < 100 (aprox.) nos circuitos electrónicos.
Aplicações: Aparelho de rádio
- ∆C ⇒ ∆ω0 (sintonização)
- ω0 do circuito = onda de rádio recebida ⇒ aumenta I no circuito.
- Sinal amplificado alimenta o alto-falante
- Q0 elevado a fim de serem eliminados os sinais indesejáveis.
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Anexo1: Representação Complexa das grandezas AC
• Uma corrente ou tensão alternadas podem ser representadas por umnúmero complexo.
• Aproveitando a identidade
eiθ = cos θ + i sen θ ; com i2 = -1
• Regra para a representação:
Uma voltagem alternada V0.cos(ωt+δ) deve ser representada pelo número complexo V0.eiδ.eiωt, isto é, o número cuja parte real é V0.cos(δ) e cuja parte imaginária é V0.sen(δ) que roda no plano complexo com a velocidade angular ω. Portanto, a voltagem em função do tempo é dada pela parte real do produto V0.ei(ωt+δ).
33
Y
Xδ
V0
Voltagem em funçãodo tempo.
Representaçãocomplexa
V0.cos(ωt+δ) V0.eiδ = x + iy
Multiplique por eiωt e tome a parte real
V = Re[V0.eiδ(eiωt)] = V0.cos(ωt+δ)
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( ) ZVI
XXR
VI mm
CL
mm =
−+= ,
22
( )22CL XXRZ −+=
RXX CL −= arctanδ
δieZZ = iXRZ +=;
LieLZ iL ωω
π== 2
CiCie
CZ i
C ωωωπ 11 2 =
−==
CLR ZZZZ ++=
( )22CLR ZZZZ ++=
δ=
ZZIm
Rearctan
RZR =
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Acetatos preparados por:- S. Lanceros-Méndez (conteúdo e figuras)- J. A. Mendes (layout)-C. Tavares (comentários adicionais)
Anexo 2: Circuito em Paralelo
I = IC + IR + IL = V.(YC + YR + YL)
CiYCi
ZVYZVI CCC
CC ω
ω==== ;1;
RYRZVY
RVI RRRR
1;; ====
I = V.YT
CiYCiZVY
ZVI LLL
LL ω
ω 1;; ====
RLiCi
RLiCiYYYY LRCT
111+−=++=++=
ωω
ωω
RY
LC TR1;1
==ωressonância:
!Y, admitânciaImpedância, Z = 1/Y ;