69.01 hidráulica general presentación de las ecuaciones fundamentales de la hidráulica realizado...

69.01 Hidráulica General

Presentación de las

Ecuaciones Fundamentales

de la Hidráulica

Realizado por

Ing. Alejandro Norberto Pardo

Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires (FIUBA)

Departamento de Hidráulica

4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica

Ecuaciones de Estado

Ecuación de Continuidad

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)

Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)

1

2

3

4

Ecuaciones de EstadoLas ecuaciones, en general, de estado vinculan la presión absoluta, el volumen específico y la temperatura absoluta. En la hidráulica los procesos son isotérmicos, por lo que la temperatura deja de ser una variable.

Ecuación de estado de un líquido en función del volumen

Ecuación de estado de un líquido en función de

coeficiente de compresibilidad volumétrica.

f i f ip p ( ( ))1 por diferencias finitas

f i f ip p ( ( ))1 por diferencias finitas

En la práctica :

f i

p pe f i ( )por integración

f i

p pe f i ( )por integración

Fluído Ideal Medio contínuo de viscosidad nula - =0

Líquido Perfecto Fluído Ideal + Incompresible = cteEc. Estado






1

2

3

4

Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. Líquido Perfecto= cteEc. Estado


Principio de Conservación de la Masa

Ecuación de Continuidad en un punto : ( )m m msaliente entrante i 0

miinicialmi final

mentrantemsaliente

( ) v

dy dx dz dttdt dx dy dz

y0

v dx dz dtv

dy dx dz dt v dx dz dt dx dy dztdt dx dy dz dx dy dz

( )

y0

Análisis según el eje y

Simplificando (según el eje y)

Extendiendo a los demás ejes y eliminando los diferenciales

( ) ( ) ( ) u v w

tx y z0 div V

t( )

0o bien

Cant. neta masa que atraviesa sup. vol. de control en la

unidad de tiempo

Var.masa contenida en vol. de control en unidad de tiempo

+ =0

div Vt

( )

0( )m m msaliente entrante i 0

Si =cte 0)( Vdiv (Cond. de Compresibilidad)



Ecuación de Continuidad en un punto :

Cant. neta masa que atraviesa sup. vol. de control en la

unidad de tiempo

Var.masa contenida en vol. de control en unidad de tiempo

+ =0

Ecuación de Continuidad en un Tubo de Corriente

div Vt

( )


Ecuación Continuidadpara una vena liquida compresibley mov. con impermanencia total

( ) ( ) ( ) U

l

U

t

dt

dl t

0

Simplificaciones

Aporte de Men el tiempo

Balance M.en el tiempo

• Si fluido incompresible (=cte)

• Si mentrante no varía con t :

• Si =cte y Q no varía respecto del tiempo, ni del recorrido:

( ) ( ) ( )U

l

U

t

dt

dl t

0

.UcteQ

( ) ( ) U

l t

0

Si =cte 0)( Vdiv (Cond. de Compresibilidad)

dl

mime

ms

Aporte de Men el recorrido





Ecuación de la Acción Dinámica (Conservación de la Cantidad de Movimiento)

1

2

3

4


Ecuación de Continuidad en un punto

div Vt

( )


Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente

( ) ( ) ( ) Ul

Utdtdl t

0


Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)

Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas F F F F F Fm p E i 0

No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, =cte), ni las fuerzasdebidas a energía superficial.

F F F Fm p i 0

F F F F mV

tgrad

Vrot V Vm p i

[ ( ) ( ) ]2

2

Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm

• Se considera la acción del campo gravitatorio.

• Son proporcionales al volumen y se suponen aplicadas en el centro de gravedad

• Se considera un elemento fluido de dim. diferenciales, siendo X, Y, Z las fuerzas de masa por unidad de masa.

X dx dy dz

Y dx dy dz

Z dx dy dz

Fuerzas debido a la viscosidad _ F• Son fuerzas de superficie.

• Se considera caso gral. velocidades según dos ejes.

xw

y

v

z

( ) yu

z

w

x

( ) zu

y

v

x

( )


Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas F F F F F Fm p E i 0

No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, =cte), ni las fuerzasdebidas a energía superficial.

F F F Fm p i 0

F F F F mV

tgrad

Vrot V Vm p i

[ ( ) ( ) ]2

2

Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm

Fuerzas debido a la viscosidad _ F

X dx dy dz.......

xw

y

v

z

( ).......

Fuerzas de presión _ Fp

• Son fuerzas de superficie.

• La presión es proporcional a la velocidad de deformación lineal

• Se considera que un alargamiento según un eje provoca una contracción según los otros dos.

px pu

x

2

py pv

y

2

pz pw

z

2


Ecuación de equilibrio dinámico según el eje y-y :

Y dx dy dzy

dx dy dzz

dx dy dzx

dx dy dz dx dy dzpy x z ay

Yy

v

y z

w

y

v

z x

u

y

v

xp ay( ) ( ) ( )2

Yy

v

y

w

z y

v

z

u

x y

v

x

p ay22

2

2 2

2

2 2

2[ ] ][

Yy

v

x

v

y

v

z y

u

x

v

y

w

z

p ay[( ) ( )]2

2

2

2

2

2

Yy z x

py x z ay

Reeplazando :

Operando :

2v div V( )

F grad p V grad div V a

1 2

( ) [ ( ( ))]

F grad p V

V

tgrad

Vrot V V

1 2

2

2( ) ( ) ( )

En forma vectorial :

Se ha considerado al fluido incompresible (=cte) y según Ec. de Continuidad div(V)=0 :

Yy y

div Vp v ay

1 2

[ ( ( ))]


Simplificaciones :

F grad p V

V

tgrad

Vrot V V

1 2

2

2( ) ( ) ( )

g grad pV

tgrad

V

1 2

2( ) ( )

• Se considera al fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT

g grad p

10

( )

gp

z

10

Si se calcula el trabajo de las fuerzas

zp

cte

Ec. Fund. Hidrostática

( ( )) g grad p dl

10

EcuaciónCLAIREAUT

g dz dp1

0

Ecuación escalar

• Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0) y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) :


Simplificaciones :

• Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0) y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) :

F grad p V

V

tgrad

Vrot V V

1 2

2

2( ) ( ) ( )

g grad pV

tgrad

V

1 2

2( ) ( )

• Si se considera mov. permanente (dV/dt=0) => Ec. de EULER

g grad p grad

V

1 2

2( ) ( )

Integración de la Ec. de EULER => EC. de BERNOULLI


Ecuación de BERNOULLI

Se plantea el trabajo de las fuerzas : ( ( )) ( ) g grad p dl grad

Vdl

1 2

2

g dz dp dV1 1

22

• Fluido perfecto =cte.

• Fluido no viscoso =0.

• Mov. irrotacional rot(V)=0.

• Fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g).

• Mov. Permanente dV/dt=0.

Escalarmente :

Operando se obtiene un diferencial de trabajo por unidad de peso :

dp V

gz( )

2

20

Indica que el trabajo total realizado es

nulo

La energía es constante a lo largo del recorrido dl

z p V

gcte

2

2Ec. de BERNOULLI en la

Línea de corriente


F grad p V

V

tgrad

Vrot V V

1 2

2

2( ) ( ) ( )Ecuación de

Navier - Stokes

Un concepto importante...

Se le aplica, ademas, la acción del campo gravitacional terrestre => F=(0,0,-g). Operando :

Se aplica la ec. N-S a un fluido con características similares a las del agua : =cte, 0 y =0.

Terna intrínseca Lp

lV

V

t l

V

1 22

2 ( ) (componente tangencial)

Ecuación de BERNOULLIGeneralizada

l

p V

g

V

g

V

tz( )

2 2

20

1

Conclusión : No puede admitirse, en un líquido con las características del agua, transporte de masa, sino a costa de un consumo de energía.

Ec. de Bernoulli Indica una pérdida de

energía

Movimiento impermanente


Extensión de Ec. de BERNOULLI a un tubo de corriente

Energía Potencialpor unidad de tiempo

Energía por unidad de peso ( )z p Vg

2

2

dQg

VdQ

pzN ..

2..

2

Energía Cinéticapor unidad de tiempo

La energía de un filamento de área d ( )z p Vg dQ dt

2

2Energía por unidad de tiempo, Potencia dNp V

gdQz

( )

2

2Integrando a toda la sección

dQ

g

VpzN ..

2

2

Para que la primer integral sea perfecta el término

( )z p debe ser constante a lo largo de la normal.

a zn n

p V

R

( )

2

0=>

Se cumple si (reglas de Bresse) :

• Movimiento rectilíneo.

• Radio de curv grande - R • Velocidad baja - V0

Para resolver esta integral es necesario conocercomo varía la velocidad en la sección

UQ

NC fictU

g Q 2

2

N

NC

C

real

fict

En la práctica se evalúa la Potencia real en función

de y del coef. de Coriolis

siendo la Potencia ficticia :

z p U

gcte

2

2Con lo que la

expresión final para la sección queda


Aplicaciones de la Ecuación de BERNOULLI en la Línea de Corriente

• Distribución de presiones en un escurrimiento irrotacional.

• Erogación por orificio (Teorema de Torricelli).

• Medición de presiones en conductos.

- Tubo Pitot.

- Tubo Venturi (aplicación al tubo de corriente)






1

2

3

4



div Vt

( )



F F F F m am p i

Fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUTg grad p 1 0 ( )

g grad p grad V 1 22 ( ) ( )Fluido =cte, =0, rot(V)=0, M. Perm. y F=-g => EULER

z p V g cte 2 2Integración - Trabajo de fuerzas => Ec. BERNOULLI

BERNOULLI - Extensión al tubo de corriente

Limitaciones - Reglas de BRESSE

z p U g cte 2 2

( ) ( ) ( ) U

lU

tdtdl t

0


Ecuación de la Acción Dinámica

Ecuación de la Cantidad de Movimiento

• No se estudia el movimiento íntimo de las partículas, sino el comportamiento global (Vcontrol).

• Se aplica la segunda ecuación de Newton a un volumen de control.

• Esta ecuación es aplicable aún en aquellos casos, los cuáles no pueden ser estudiados con las ecuaciones locales del movimiento.

dtVmdF /.

dQ V dm

gasto elemental de masa

d m V V V d( )

1

Variación de la cant. de mov. elem.por efecto del desplazamiento V.

V d

masa elemental

d m Vt

V d( ) ( )

2

Variación de la cant. de mov. de una masa elemental.

V (-)

V (+)

d

dcontrol

control

d

d

control : Volumen control

control : Superficie control

d : Dif. de Sup. de control

d : Dif. de Vol. de control

Var. Cantidad Movimiento de la masa que

atraviesa la control

Var. Cantidad Movimiento de la masa contenida

en el control

+

Variación de laCantidad deMovimiento

Total

=


Ecuación de la Cantidad de Movimiento

V V d

t

V d( )

F

tm V

tm V

( ) ( )1 2

dF V V dt

V d

( )

UQdVQdVVF ........ 2

l

c dlQt

UQRfF .....

Sumatoriade fuerzasdel fluído

Fuerzasque no sondel fluído

Var. cant. de mov.de la masaque atraviesa la Scontrol

Variación de la cant. de mov. de la masa contenida en Vcontrol

Variación de la cantidad de movimiento en el tiempopara todo el volumen de control

Vectores velocidad aprox. normales a la sección

integrando

UQQdVdVV ........ 2

V (-)

V (+)

d

dcontrol

control

d

d


Extensión de la Ec. de la Cantidad de Movimiento al tubo de corriente

F f R Q U Ue f f i i ( )

Acción Dinámica de la corriente (sobre un borde sólido)

A Q U U fi i f f e ( )

A RSiendo

Resultante de las fuerzas debidas a las velocidades medias que actúan en las secciones final e inicial

del volumen de control.

Fuerzas delfluído (excepto A)debidas a :

- Presiones secciones.

- Peso masa vol. Control.

- Fricción entre el fluído y el contorno sólido.

Aplicaciones de esta ecuación






1

2

3

4



div Vt

( )



F F F F m am p i

Fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUTg grad p 1 0 ( )

g grad p grad V 1 22 ( ) ( )Fluido =cte, =0, rot(V)=0, M. Perm. y F=-g => EULER

z p V g cte 2 2Integración - Trabajo de fuerzas => Ec. BERNOULLI

BERNOULLI - Extensión al tubo de corriente

Limitaciones - Reglas de BRESSE

z p U g cte 2 2

( ) ( ) ( ) U

lU

tdtdl t

0


Ecuación de la Cantidad de Movimiento dtVmdF /).(

Acción Dinámica de la corriente (sobre un borde sólido) A Q U U fi i f f ( )

l

c dlQt

UQRfF .....

69.01 hidráulica general presentación de las ecuaciones fundamentales de la hidráulica realizado...

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