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7/30/2019 63251770 Tipos de Geometria

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Tipos de geometra

Entre los tipos de geometra ms destacables se encuentran:

y Geometra euclidianao Geometra planao Geometra espacial

y Geometra no euclidianay Geometra riemannianay Geometra analticay Geometra diferencialy Geometra proyectivay Geometra descriptivay Geometra de incidenciay Geometra de dimensiones bajasy Geometra sagrada

La geometra euclidiana (o geometra parablica)[1]

es aquella que estudia laspropiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemticos usan eltrmino para englobar geometras de dimensiones superiores con propiedades similares.

Sin embargo, con frecuencia, geometra euclidiana es sinnimo de geometra plana y degeometra clsica.

y Desde un punto de vista historiogrfico, la geometra euclidiana es aquellageometra que postul Euclides, en su libroLos elementos, dejando al margenlas aportaciones que se hicieron posteriormente desde Arqumedes hasta

Jakob Steiner.

y Segn la contraposicin entre mtodo sinttico y mtodo algebraico-analtico, lageometra euclidiana sera, precisamente, el estudio por mtodos sintticos de

los invariantes de un espacio vectorial real de dimensin 3 dotado de unproducto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado producto

escalar habitual).

y Segn el programa de Erlangen, la geometra euclidiana sera el estudio de losinvariantes de las isometras en un espacio euclidiano (espacio vectorial real de

dimensin finita, dotado de un producto escalar)

La geometra plana es una parte de la geometra que trata de aquellos elementoscuyos puntos estn contenidos en un plano. La geometra plana est considerada parte

de la geometra euclidiana, pues sta estudia los elementos geomtricos a partir de dosdimensiones.

Una parte importante de la geometra plana son las construcciones con regla y comps.

La geometra espacial o geometra del espacio es la rama de la geometra quese ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geomtricas en el

espaciotridimensional o espacio eucldeo. Entre estas figuras, tambin llamadas slidos,

se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirmide, la esfera, el prisma, los poliedros


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regulares (los slidos platnicos, convexos, y los slidos de Kepler-Poinsot, no

convexos) y otros poliedros.

La geometra del espacio ampla y refuerza las proposiciones de la geometra plana, y esla base fundamental de la trigonometra esfrica, la geometra analtica del espacio, la

geometra descriptiva y otras ramas de las matemticas. Se usa ampliamente en

matemticas, en ingeniera y en ciencias naturales.

Llamamos cuerpos geomtricos a las figuras que se han de representar en el espacio

tridimensional. Los cuerpos geomtricos ocupan siempre un espacio.

Asimismo, los cuerpos que estn huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos en

una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relacin directa entre lacapacidad de un cuerpo y el volumen que ste ocupa.

La geometra espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X,Y,Z):

y Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)y Normalizados (las longitudes de los vectores bsicos de cada eje son iguales)y Dextrgiros (el tercer eje es producto vectorial de los otros 2)

Se denomina geometra no euclidiana o no eucldea, a cualquier forma degeometra cuyos postulados y propiedades difieren en algn punto de los establecidos

por Euclides en su tratadoElementos. No existe un slo tipo de geometra no eucldea,

sino muchos, aunque si se restringe la discusin a espacios homogneos, en los que la

curvatura del espacio la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son

indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometras:

y La geometra euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tienecurvatura cero.

y La geometra hiperblica satisface slo los cuatro primeros postulados deEuclides y tiene curvatura negativa.

y La geometra elptica satisface slo los cuatro primeros postulados de Euclidesy tiene curvatura positiva.

Todos estos son casos particulares de geometras riemannianas, en los que la curvatura

es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrnseca de la geometra

vare de un punto a otro se tiene un caso de geometra riemanniana general, como

sucede en la teora de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no

homognea en el espacio tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de lasconcentraciones de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.

Geometra riemanniana

En geometra diferencial, la geometra de Riemann es el estudio de las variedadesdiferenciales con mtricas de Riemann; es decir de una aplicacin que a cada punto de

la variedad, le asigna una forma cuadrticadefinida positiva en su espacio tangente,

aplicacin que vara suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras


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magnitudes) ngulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de stas, pueden obtenerse

otras magnitudes por integracin de las magnitudes locales.

Fue propuesta por primera vez de forma general por BernhardRiemann en el siglo XIX.Como casos especiales particulares aparecen los dos tipos convencionales (geometra

elptica y geometra hiperblica) de geometra No-Euclidiana, as como la geometra

euclidiana misma. Todas estas geometras se tratan sobre la misma base, al igual queuna amplia gama de las geometras con propiedades mtricas que varan de punto a

punto.

Cualquier variedad diferenciable admite una mtrica de Riemann y esta estructura

adicional ayuda a menudo a solucionar problemas de topologa diferencial. Tambin

sirve como un nivel de entrada para la estructura ms complicada de las variedadespseudo-Riemann, las cuales (en el caso particular de tener dimensin 4) son los objetos

principales de la teora de la relatividad general.

No hay introduccin fcil a la geometra de Riemann. Los artculos siguientes puedenservir como introduccin:

1. tensor mtrico2. variedad de Riemann3. conexin de Levi-Civita4. curvatura5. Tensor de curvatura.

La geometra analtica estudia las figuras geomtricas mediante tcnicas bsicasdel anlisis matemtico y del lgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su

desarrollo histrico comienza con la geometra cartesiana, impulsada con la aparicin dela geometra diferencial de Carl Friedrich Gauss y ms tarde con el desarrollo de lageometra algebraica.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometra analtica son:

1. Dado el lugar geomtrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuacin.2. Dada la ecuacin en un sistema de coordenadas, determinar la grfica o lugar

geomtrico de los puntos que verifican dicha ecuacin.

Lo novedoso de la geometra analtica es que representa las figuras geomtricas

mediante frmulas del tipo f(x,y) = 0, donde fes una funcin u otro tipo de expresin

matemtica: las rectas se expresan como ecuacionespolinmicas de grado 1 (porejemplo, 2x + 6y = 0), las circunferencias y el resto de cnicas como ecuaciones

polinmicas de grado 2 (la circunferencia x2

+ y2

= 4, la hiprbola xy = 1), etc.


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GEOMETRA DIFERENCIAL

En matemticas, la geometra diferencial es el estudio de la geometra usando lasherramientas del anlisis matemtico. Los objetos de estudio de este campo son las

variedades diferenciables (tal y como la topologa diferencial) tanto como las nocionesde conexin y curvatura (que no se estudia en la topologa diferencial).

Las aplicaciones modernas de la geometra diferencial han dado el estado del arte que

goza la fsica.

GEOMETRA PROYECTIVA

Se llama geometra proyectiva a la rama de la matemtica que estudia las propiedades deincidencia de las figuras geomtricas, pero abstrayndose totalmente del concepto de medida.

A menudo se usa esta palabra tambin para hablar de la teora de la proyeccin llamada

geometra descriptiva.

LA GEOMETRA DESCRIPTIVA

Es un conjunto de tcnicas de carcter geomtrico que permite representar el espaciotridimensional sobre una superficie bidimensional y, por tanto, resolver en dosdimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a travs

de la adecuada lectura.

En la poca actual se reconocen dos modelos: uno que considera la geometradescriptiva como un lenguaje de representacin y sus aplicaciones, y otro que la sita

como un tratado de geometra. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha

estado asociado al de la Geometra proyectiva.

GEOMETRA DE INCIDENCIA

Una geometra es una estructura algebraica con al menos tres tipos de axiomas:

y ordenaciny incidenciay congruencia

Se llama geometra de incidencia a aquella estructura que carece de axiomas decongruencia. Entre otras cosas, la falta de estos axiomas nos impedir compararsegmentos y establecer una mtrica


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TOPOLOGA GEOMTRICA O GEOMETRA DE DIMENSIONES BAJAS

La topologa geomtrica (topologa de dimensiones bajas) es el rea de la topologa yla topologa algebraica que estudia problemas geomtricos, topolgicos y algebraicos

que surgen en el estudio de variedades de dimensiones menores que 5, espacios

localmente homeomorfos a los espacios eucldeos, desde dimensin cero hasta la cuarta.

Sus mtodos estn inspirados en la geometra y la topologa de fenmenos fsicos

inclusive relativistas y cunticos e idealizaciones abstractas modernas sobre el conceptode dimensiones: destacadamente y prominentemente, en tres y cuatro dimensiones.

Para sta ciencia -que estudia las variedades y los encajes y encajes propios entre ellas-, estos son algunos de los temas representativos de esta ciencia: la teora de nudos;

clasificacin de 3 y 4-variedades; Complementos de nudos en la n-esfera, Sn; TQFT.

La topologa de dimensiones bajas (como tambin se le conoce) es considerada una

ciencia de una gran interactividad entre todas la ramas de la matemtica y con otras de

la fsica. Una de las cuestiones importantes de esta rama (recin resuelta por Perelman

del 2006) es la clebre Conjetura de Poincar, tanto como la conjetura degeometrizacin de Thruston.

GEOMETRA SAGRADA

La Geometria Sagrada es un concepto planteado por el esoterismo y el gnosticismo. La

creencia bsica es que existen ciertas relaciones entre la geometra y la matemtica y la

espiritualidad, Dios y diversos conceptos msticos.

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