1Kalkulus Rekayasa HayatiDERET2Isi Bab Pendahuluan Barisan tak-hingga Deret tak-hingga Deret Positif : Uji kekonvergenan Deret Ganti Tanda Deret Pangkat Deret Taylor dan Maclaurin3Kompetensi DasarSetelah mengikuti kuliah, peserta dapat membedakan antara baris dan deret, beberapa deret positif dan deret ganti tanda yang populer, dan menentukan kekonvergenan deret tersebut . 4PENDAHULUANSeorang filsuf dari Yunani Zeno of Elea (495-435 BC)mengemukakan race course paradox. { }1 1 1 1 1 11, , , , , , ,2 4 8 16 2 2nn nb = = ` ` ) )Apakah pelari sampai garis finish?1 1/25Contoh:Undian untuk mendapat Uang Belanja setiap tahun sampai dunia kiamat.- Apakah tidak pernah stop?- Yang mana yang paling menguntungkan?Pilihan I: B=Rp 1.000.000, , , , , , ,2 4 8 16 2nB B B B BBPilihan II: C=Rp 500.000, , , , , , ,2 3 4 5CCCC CCn6Apakah barisan{ }nbdan { }nckonvergen?{ }1 1 1 1 1 11, , , , , , ,2 4 8 16 2 2nn nb = = ` ` ) ){ }1 1 1 1 1 11, , , , , , ,2 3 4 5ncn n = = ` ` ) )1 1 1 1 112 4 8 16 2nnb = + + + + + + +1 1 1 1 112 3 4 5ncn= + + + + + + +Apakah deretdankonvergen?nbnc7Kekonvergenan Baris:Barisan { }nakonvergen ke L atau limnna L=jika untuk setiap terdapat bilangan positif N sehingga untuk ,nn Na L c > { }nbContoh: Tentukan kekonvergenan barisankonvergen ke 0. 3sin nn ` )Teorema limit mutlak:Jika makalim 0nna= lim 0nna=10Teorema Barisan Monoton:Jikabarisan tak turun dan U adalah batas atas daribarisan tersebut, maka barisan akan konvergen ke suatu limit A, dan A U.{ }na{ }naJikabarisan tak naik dan U adalah batas bawah daribarisan tersebut, maka barisan akan konvergen ke suatu limit A, dan A U.{ }na{ }naUU11DERET TAK-HINGGA1 2 31...kka a a a== + + +Jumlah parsial: nSn na a a a Sa a Sa S+ + + + =+ ==...,,3 2 12 1 21 112Definisi kekonvergenan deretDeret tak-hingga =1 kkamempunyai jumlah S jika barisan jumlah parsial{ }nSkonvergen ke S.konvergen danTeorema kedivergenan deretDeret tak-hingga konvergen makaJikamaka deret divergen.=1 kka0 lim = kka0 lim = kka=1 kka13Beberapa Deret yang populerDeret geometri:1 2 31...kkar a ar ar ar== + + + +dengan 0 = a( ) ( )2 2 ,n nn nnS rS a ar ar ar r a ar ar ara ar = + + + + + + + += ,1nna arSr=| r | < 1 deret konvergen| r | 1 deret divergenS=lim1nnaSr=14Deret Harmonik: ...1...3121111n kk+ + + + ==1 1 11 ...2 31 1 1 1 1 1 1 11 ...2 3 4 5 6 7 81 1 1 11 ...2 2 2nSnnn= + + + +| | | |= + + + + + + + + + ||\ . \ .> + + + + + S=limnnS= deret divergen15Deret Kolaps/TelescopingDeret =1 kkayang tiap sukunya dapat dibentuk menjadi 1 + =k k kb b a, k=1,2,3, sehingga nnkk k nb b b b S = = =+ 111) (Kekonvergenan derettergantungpadalimnnS16Deret p:11 1 1 112 3 4p p p pkk== + + + +Uji Integral:Jika f fungsi kontinu, positif dan tak naik pada selang [1,) dan andaikan untuk semua bilangan positif k maka ( )ka f k ==1 kkakonvergen jika hanya jika1( ) f xdx}konvergenp > 1 deret konvergen, p 1 deret divergen17Sifat-sifat deretkonvergenJika dan keduanya konvergen dan cadalah konstanta, maka=1 kka1kkb=1 1dan ( )konvergenk k kk kca a b = =+ dan1 11 1 11. ,2. ( ) .k kk kk k k kk k kca c aa b a b = = = = ==+ = + Sifat deretdivergenJika divergen dan c 0 makadivergen.1kka=1kkca=18UJI KEKONVERGENAN DERET1. namerupakan deret terkenal:1.Deret Geometrik: | r | < 1 konvergen, raS=1| r | > 1 divergen2. Deret Harmonik: divergen3. Deret yang Mengecil (collapsing series)4. Deret-p: p > 1 konvergen, p 1 divergen192. Uji suku ke-n untuk divergensiJika0 lim = nnaatau tidak ada maka divergen.3. Jika naderet positif1. Uji jumlah terbatas2. Uji Integral3. Membandingkan dengan deret lain yang terkenal- Uji Perbandingan Biasa- Uji Perbandingan Limit4. Membandingkan suku-suku sendiri- Uji Rasio204. Deret Berganti Tanda5. Membandingkan dengan | |na1. Konvergensi Mutlak: Jika | |nakonvergen makanakonvergen2. Uji Rasio Mutlak3. Konvergensi bersyaratna konvergen tapi | |na divergen6. Susun Ulang21Membandingkan dengan deret lain yang terkenal (sudah diketahui kekonvergenannya)Uji Perbandingan Biasa:Andaikan0 , untuk n ,n na b N s s >1. Jikakonvergen makakonvergen nanb2. Jikadivergen makadivergen nanb22Uji Perbandingan Limit:Andaikan dan0,>0,n na b >1. Jika 0 < L 1 atau = maka deret divergen.3. Jika = 1 maka tidak ada kesimpulan (harus cari uji lain)Gunakan uji ini jika melibatkanna!,atau n nn r n24Uji deret berganti tanda:Misalkanadalah deret berganti tanda dengan Jikamaka derettersebut konvergen.1 2 3 4... a a a a + +10.n na a +> >lim 0nna=Contoh: tunjukkan deret konvergen211( 1)2nnnn= 25Uji Rasio Mutlak:Jikaadalah deret dengan suku-suku taknoldannu1limnnnuu+=1. Jika < 1 maka deret konvergen mutlak.2. Jika > 1 atau = maka deret divergen.3. Jika = 1 maka tidak ada kesimpulan (harus cari uji lain)26DERET PANGKATDeret fungsi( )nu xContoh:2sin( ) sin sin 2 sin31 4 9nx x x xn= + + +Pertanyaan penting:1. Untuk x yang bagaimana deret akan konvergen?2. Pada fungsi yang bagaimanakah deret tersebut akan konvergen? Atau berapa S(x) dari deret?Deret Pangkat:2 30 1 2 31...nnna x a a x a x a x== + + + +27Himpunan kenvergensi:Himpunan x dimana sebuah deret pangkat akankonvergen. Himpunan konvergensi untuk deret pangkat berupasalah satu dari 3 jenis selang berikut:nna x(1). Titik tunggal x = 0(2). Selang (-R,R) dengan/tanpa 2 titik ujung selang(harus dicek di titik ujung selang)(3). Seluruh garis bilangan Real.Jari-jari kekonvergenan: (1) 0(2) R (3) 28Contoh:0( 1)2nnnxn=+1. Tentukan himpunan kekonvergenan nya.2. Tentukan jari-jari kekonvergenannya.29Himpunan konvergensinya berupasalah satu dari 3 jenis selang berikut:(1). Titik tunggal x = a(2). Selang (a-R,a+R) dengan/tanpa 2 titik ujung selang (harus dicek di titik ujung selang)(3). Seluruh garis bilangan Real.Deret Pangkat:2 30 1 2 31( ) ( ) ( ) ( ) ...nnna x a a a x a a x a a x a= = + + + +30Pendiferensialan dan pengintegralan pada deret pangkatMisal S(x) adalah jumlah deret pangkat pada selang I2 30 1 2 3( ) ... Sx a a x a x a x = + + + +Jika x berada dalam selang I, maka( )21 2 30111. '( ) 2 3 ...

nx nnnnnS x D ax a a x a xnax=== = + + +=312 3 41 1 10 1 2 3 2 3 400 0102. ( ) ... 1x xnnnnnnSt dt a t dt a x a x a x a xaxn=+== = + + + +=+} }Manfaat: - Mendapatkan deret baru dari deret pangkat yang ada- Melakukan hampiran nilai dari fungsi di suatu titik.Contoh: 3 5 71tan ...3 5 7x x xx x= + +Dari mana?32Ingat: 1201tan1xx dtt=+}Dari deret geometri terhadap x, dimana:1 2 3111 ...1kkx x x xx== + + + + =1aSr=Gantix dengan sehingga 2t 2 4 6211 ...1t t tt = + ++( )2 4 620 03 5 7111 ...1tan ...3 5 7x xt t t dttx x xx x= + ++= + +} }33Contoh: Tentukan deret pangkat dari 11. ( )12. ( ) ln(1 )xxf x exf x e== +34DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURENDeret pangkat yang terkenal adalah Deret Taylor dan Deret Maclaurin. Deret Taylor adalah deret pangkat dalam x-a dengan koefesiennya adalah koefesien polinom Taylor.Jikafmemenuhi ... ) ( ) ( ) ( ) (3322 1 0+ + + + = a x c a x c a x c c x funtuk semua x di sekitar a, maka !) () (na fcnn =.35Kekonvergenan deret Taylor:Deret Taylor:... ) (! 3) () (! 2) ( ' ') )( ( ' ) (3) 3 (2+ + + +a xa fa xa fa x a f a fmenggambarkan fungsi fsebenarnya pada selang (a-r,a+r)jika 0 ) (lim= x Rnndengan 1) 1 () ()! 1 () () (+++=nnna xnc fx R(suku sisa) di mana c titik antara x dan a.36Deret Maclaurin yang penting:1. 2 311 ...1x x xx = + + + +2. 2 3 4ln(1 ) ...2 3 4x x xx x + = + +3. 4. 2 3 41 ...2! 3! 4!xx x xe x = + + + + +3 5 71tan ...3 5 7x x xx x= + +375. 6. 7. 3 5 7sinh ...3! 5! 7!x x xx x = + + + +8. 2 4 5cosh 1 ...2! 4! 5!x x xx = + + + +9. 2 3(1 ) 1 ...1 2 3pp p px x x x| | | | | |+ = + + + + |||\ . \ . \ .2 4 5cos 1 ...2! 4! 5!x x xx = + +3 5 7sin ...3! 5! 7!x x xx x = + +