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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung
6. Routenwahl bzw. Umlegung
I 6.1 Allgemeines zur Umlegung
I 6.2 Nachfrageseite: Fahrtenmatrizen
I 6.3 Netzmodellierung
I 6.4 Capacity-Restraint Funktionen
I 6.5 Erstes Wardrop’sches Prinzip:Nutzergleichgewicht
I 6.6 Zweites Wardrop’sches Prinzip:Systemoptimum
I 6.7 Zusammenhang zwischen Nutzergleichgewichtund Systemoptimum
I 6.8 Fun Fact: Das Braess’sche Paradoxon
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.1 Allgemeines zur Umlegung
6.1 Allgemeines zur Umlegung
In der Umlegung werden die einzelnen Elementeder Verkehrsnachfrage auf die Routenalternativen deskonkreten Verkehrsnetzes aufgeteilt (“umgelegt”)
I Die Umlegung beinhaltet die Angebotsmodellierung, die dreivorhergehenden Schritte Verkehrserzeugung, -verteilung und-aufteilung die Nachfragemodellierung
I Nachfrage: Verkehrsstrommatrizen Vijk ⇒ Aggregierung undDisaggregierung ⇒ Fahrtenmatrizen
I Angebot: das aus Straßen und OV-Linien bestehendeStrecken-Netzwerk
I Kopplung der Nachfrage an das Angebot uberAnbindungsknoten
I Umlegung = Findung des “Marktgleichgewichts”. Der mit derNachfrage steigende “Preis” wird in Form von Reiszeit durchCapacity-Restraint-Funktionen modelliert
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.2 Nachfrageseite: Fahrtenmatrizen
6.2 Nachfrageseite: Fahrtenmatrizen
I Interesse an Rush-Hours ⇒ Disaggregierung der Verkehrsstrommatrizendurch die Tagesganglinien fg
TGL(t): V gijk(t) = V g
ijkfgTGL(t)
I Fahrten, nicht Wege sind fur den Stau relevant (nur MIV):F gijk(t) = V g
ijk(t)/bgk, bgk : mittlere Fahrzeugbelegung
I Sowohl der Tourist als auch der Manager stehen im Stau: Aggregierunguber die QZG Fijk(t) =
∑g F
gijk(t)
I Alles zusammen:
Fijk(t) =∑g
V gijk(t)/b
gk f
gTGL(t)
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.2 Nachfrageseite: Fahrtenmatrizen
6.2 Nachfrageseite: Fahrtenmatrizen
? Welche Großenordnung hat bgRad?
? Warum muss man zuerst disaggregieren und dann aggregieren?
? Warum ist die Aggregierung verschiedener IV-Modi wie Fuß, Radund MIV zum System “IV” (im Modal Split werden also nur zweiModi unterschieden) problematisch bzw. inkonsistent?
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.3 Netzmodellierung
6.3 Netzmodellierung
Netz = gerichteter Graph aus Knoten und Kanten (nodes n andlinks l)
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.3 Netzmodellierung
Attribute der Netzelemente
I Separate Netze fur IV und OV: Knoten sind Kreuzungen bzwHaltestellen und Kanten Straßenabschnitte bzw. die Streckezwischen benachbarten Haltestellen
I Attribute Knoten: Abbiegebeziehungen und StatusAnbindungsknoten oder nicht
I Attribute der Kanten l: Lange Ll, Max-Geschwindigkeit v0l bzw.Minimumszeit T0l, Kapazitat Kl
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.4 Capacity-Restraint Funktionen
6.4 Capacity-Restraint Funktionen
Die Capacity-Restraint Funktion bzw CR Funktion (deutsch:Kapazitatsbeschrankungsfunktion) Tl(Q) gibtsummarisch-makroskopisch die Verlangerung der Reisezeit mit derVerkehrsbelastung einer Kante an.
I Plausibilitatsbedingungen:
Tl(0) = Tl0, T ′l (Q) ≥ 0, lim
Q→∞Tl(Q)→∞, T ′′
l (Q) ≥ 0 (optional)
I Die CR-Funktionen modellieren keine Dynamik und auch keinFließgleichgewicht
I Oft gilt Tl(Kl) = 2Tl0
? Warum ware im Fließgleichgewicht Tl(Q) fur Q > Kl nichtdefiniert?
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.4 Capacity-Restraint Funktionen
BPR (Bureauf of Public Roads) CR-Funktion
Tl(Q) = Tl0
[1 +
(Q
Kl
)γ]= Tl0(1 + qγ)
? Erlautern Sie die Parameter der BPR CR-Funktion
? Eine 1 km lange Kante mit einem Tempolimit von 30 km habe einenmit der Belastung linearen Anstieg der Reisezeit. Wie sind die Parameter?
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.5 Erstes Wardrop’sches Prinzip: Nutzergleichgewicht
6.5 Erstes Wardrop’sches Prinzip: Nutzergleichgewicht
Erstes Wardrop’sches Prinzip: Unter schwachen Bedingungen(monoton steigende CR-Funktionen) gibt es ein eindeutiges und sta-biles Nutzergleichgewicht (user equilibrium, UE), in welchem dieReisezeiten aller befahrenen Routen gleich und minimal sind.
T (m)r =
{T(m)min falls Fm,r = Fmwr > 0,
> T(m)min falls Fm,r = wr = 0.
I m = {ijkt}: betrachtetes Fahrtenmatrixelement
I r: Route = Folge von Links vom Start- zum Zielanbindungsknoten
I Tr: Reisezeit (allgemein: Disutility bzw Widerstand) der Route r(link-additiv),
I Tmin: Mindestreisezeit bzw. -widerstand aller Routen
I wr: Anteil des Fahrtenmatrixelements, welcher auf die Route rumgelegt wurde
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.5 Erstes Wardrop’sches Prinzip: Nutzergleichgewicht
Beispiel zum ersten Wardrop’sches Prinzip
I Zwei Routen von A nach B (entspricht m = {ijkt} mit 2 bzw. 4Kanten)
? Bestimme die Reisezeiten als Funktion der Nachfragen Q1 und Q2 aufbeiden Routen
! Beachte, dass beide Routen die letzten Kante gemeinsam haben ⇒Koppelung:
T1 =4km
V01
(1 +
Q1
K1
)+
2km
V02
(1 +
Q1 +Q2
K2
),
T2 =6km
V02
(1 +
Q2
K2
)+
2km
V02
(1 +
Q1 +Q2
K2
)
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.5 Erstes Wardrop’sches Prinzip: Nutzergleichgewicht
Beispiel zum ersten Wardrop’sches Prinzip
? Nutzen Sie die Summenbedingung Q1 +Q2 = QAB und drucken Sie T1
und T2 in Minuten als Funktion von q = QAB/K1 und denRoutenanteil w1 aus
! Ersetze Q1 = QABw1 = qK1w1 sowie Q2 = QAB(1− w1) = qK1(1− w1)wund berechne (in Minuten): 4 km
V01= 8, 2 km
V02= 2 und 6 km
V02= 6
⇒T1(q, w1) = 4 km
V01(1 + qw1) +
2 kmV02
(1 + q/2) = 10 + 8qw1 + q,
T2(q, w1) = 6 kmV02
(1 + q(1− w1)/2) +2 kmV02
(1 + q/2) = 8− 3qw1 + 4q
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.5 Erstes Wardrop’sches Prinzip: Nutzergleichgewicht
Beispiel zum ersten Wardrop’sches Prinzip
? Berechnen Sie nun die Aufteilung im Nutzergleichgewicht
! Gehe zunachst von 0 < w1 < 1 aus und wende die Gleichheitsbedingung(“alle befahrenen Routen haben dieselbe Reisezeit”) an:
T1(q, w1) = T2(q, w1) → w1(q) =3q − 2
11q
! Teste nun, wann 0 < w1 < 1 verletzt ist: Falls q < 2/3, ist w1 < 0bzw. (Ungleichheitsbedingung) w1 = 0 und T1 > T2 ⇒ Zusammen:
wUE1 (q) =
{ 3q−211q
falls q ≥ 23
0 sonst., wUE
2 (q) = 1− wUE1 (q),
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.5 Erstes Wardrop’sches Prinzip: Nutzergleichgewicht
Beispiel zum ersten Wardrop’sches Prinzip
? Geben Sie schließlich die Reisezeiten im UE an
! Die Reisezeiten sind nur fur befahrene Routen relevant, dann gilt
TUE(q) = Tr(wUEr (q)) | 0 < wUE
r (q) ≤ 1
also
TUE(q) =
{94+35q
11q ≥ 2
3
8 + 4q sonst.
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.5 Erstes Wardrop’sches Prinzip: Nutzergleichgewicht
Beispiel zum ersten Wardrop’sches Prinzip: Ergebnisse
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.6 Zweites Wardrop’sches Prinzip: Systemoptimum
6.6 Zweites Wardrop’sches Prinzip: Systemoptimum
Zweites Wardrop’sches Prinzip: Unter schwachen Bedingungen(monoton steigende CR-Funktionen) gibt es einen eindeutiges Sys-temoptimum (system optimum, SO), welcher den Gesamtnutzenaller Verkehrsteilnehmer maximiert.
Spezialfall: Umlegung des Fahrtenmatrixelements FAB wird zurMinimierungsaufgabe fur w = (w1, w2, ...)
T:
Tsys(w) =∑
r wrTr(FABw) = minw!s.t.
∑r wr = 1, sowie 0 ≤ wr ≤ 1 fur alle r.
I Das Systemoptimum (SO) entspricht i.A. nicht dem UE. Insbesondereist es kein Gleichgewichtszustand, nicht einmal ein instabiler.
I Das Dilemma am Systemoptimum ist, dass es nicht fur alleindividuellen Verkehrsteilnehmer vorteilhaft ist. Es muss vielmehrextern erzwungen werden
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.6 Zweites Wardrop’sches Prinzip: Systemoptimum
Beispiel zum zweiten Wardrop’sches Prinzip
T1(q, w1) = 10 + 8qw1 + q,T2(q, w1) = 8− 3qw1 + 4q
Tsys(w) = w1T1(q, w1) + w2T2(q, w1)
= w1T1(q, w1) + (1− w1)T2(q, w1)
= 11qw21 + (2− 6q)w1 + 8 + 4q
!= min
w1
T ′sys(w1) = 22qw1 + 2− 6q!= 0⇒
wSO1 =
{ 3q−111q q ≤ 1
3
0 sonst.
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.7 Zusammenhang zwischen Nutzergleichgewicht undSystemoptimum
6.7 Zusammenhang zwischen Nutzergleichgewicht undSystemoptimum
Nicht dieses Jahr (Sommersemester 2020)
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.8 Fun Fact: Das Braess’sche Paradoxon
6.8 Fun Fact: Das Braess’sche Paradoxon
Braess Paradoxon: Das Erweitern oder Hinzufugen von Straßenkann die Reisezeit bzw. den Nutzen im UE fur alle verschlechtern.
I Das Paradox kann auftreten, wenn eine neu eroffnete Strecke (Route 3) (i)sehr kurz ist, (ii) viele Kanten geringer Kapazitat hat, (iii) diese Kanten auchvon den anderen Routen benutzt werden
I kurz ⇒ viele wahlen R3 ⇒ mehr Verkehr auf kleinen Straßen ⇒ Zeitverlustfur alle
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.8 Fun Fact: Das Braess’sche Paradoxon
Das Braess’sche Paradoxon: Rechenbeispiel
Symmetrie: w1 = w2; Summenbedingung: w1 + w2 + w3 = 1
⇒ w1 = w2 = (1− w3)/2
T1 = 5 + (w1 + w3)q = 5 + (1 + w3)q/2,T2 = 5 + (w2 + w3)q = 5 + (1 + w3)q/2,T3 = 3 + (w1 + w3 + w2 + w3)q = 3 + (1 + w3)q
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.8 Fun Fact: Das Braess’sche Paradoxon
Das Braess’sche Paradoxon: Ergebnis des Rechenbeispiels
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Verkehrsokonometrie Ba 6. Routenwahl bzw. Umlegung 6.8 Fun Fact: Das Braess’sche Paradoxon
Das Braess’sche Paradoxon: Ergebnis des Rechenbeispiels