151

6.8 ANCLAJES MECÁNICOS En algunos casos especiales, por ejemplo en los extremos del refuerzo a flexión principal en vigas de gran altura, ó en vigas de borde de losas, no hay espacio suficiente para los ganchos o para el anclaje y deben utilizarse dispositivos especiales de anclaje mecánico. Éstos pueden constar de platinas soldadas o dispositivos fabricados que deben someterse a ensayos para determinar si son adecuados. Cuando se utilizan estos dispositivos, el desarrollo del refuerzo puede obtenerse combinando la contribución de la adherencia a lo largo de la longitud de la barra que llega hasta la sección crítica con la dada por el anclaje mecánico; es decir, la resistencia total es la suma de las dos partes. C.12.6 - ANCLAJE MECANICO Se puede utilizar como anclaje cualquier dispositivo mecánico capaz de desarrollar la resistencia del refuerzo sin dañar el concreto. Deben presentarse al Ingeniero Diseñador y al Supervisor Técnico los resultados de ensayos que demuestren la bondad de dichos dispositivos mecánicos. - El desarrollo del refuerzo se puede obtener a través de combinar anclaje mecánico y longitud de anclaje adicional entre el anclaje mecánico y el lugar donde se debe desarrollar el máximo esfuerzo en la barra.

C.12.6 — Desarrollo de las barras corrugadas con cabeza y ancladas mecánicamente en tracción C.12.6.1 — La longitud de desarrollo en tracción de las barras corrugadas con cabeza, ldt , debe ser determinada con C.12.6.2. El uso de cabezas para desarrollar las barras corrugadas en tracción debe quedar limitado a condiciones que cumplan con (a) hasta la (f): (a) El fy de la barra no debe exceder de 420 MPa. (b) El tamaño de la barra no debe ser mayor de No. 11 (1-3/8”) ó 36M (36 mm) (c) El concreto debe ser de peso normal (d) El área de apoyo de la cabeza Abrg no debe ser menor a 4Ab (e) El recubrimiento libre para la barra no debe ser menor de 2db , y (f) El espaciamiento libre entre las barras no debe se menor de 4db

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C.12.6.2 — Para las barras corrugadas con cabeza que cumplen con C.3.5.9, la longitud de desarrollo a tracción ldt , debe ser de ( 0.19Ψe fy��´�)db , donde el valor f’c usado para calcular ldt no debe exceder de 40 MPa, y el factor Ψe debe tomarse como 1.2 para refuerzos recubiertos con epóxico y 1.0 para otros casos. Donde el refuerzo esté en exceso sobre el requerido por el análisis, excepto donde el desarrollo de fy se requiera específicamente, se permite que ldt sea multiplicado por ( As requerido)/( As entregado). La longitud ldt no debe ser menor del mayor entre 8db y 150 mm. 6.9 MALLAS ELECTROSOLDADAS Las mallas electrosoldadas se utilizan comúnmente como refuerzo a tensión para losas en una o dos direcciones y para otros tipos de elementos, como cortinas para muros estructurales. Para mallas corrugadas, una parte del desarrollo se asigna a los alambres soldados que se cruzan y otra parte a la longitud de desarrollo del alambre corrugado. C.12.7 - DESARROLLO DE MALLA ELECTROSOLDADA DE ALAM BRE CORRUGADO C.12.7.1 — La longitud de desarrollo del refuerzo electrosoldado de alambre corrugado en tracción, ld medida desde el punto de sección crítica hasta el extremo del alambre, debe calcularse como el producto de ld , de C.12.2.2 ó C.12.2.3 multiplicado por un factor para refuerzo electrosoldado de alambre Ψw obtenido deC.12.7.2 ó C.12.7.3. Se permite reducir ld de acuerdo con C.12.2.5 cuando sea aplicable, pero ld no debe ser menor a 200 mm, excepto para el cálculo de los empalmes por traslapo de acuerdo con C.12.18. Cuando se utilice Ψw de C.12.7.2, se permite usar un factor por revestimiento epóxico Ψe igual a 1.0 para refuerzo electrosoldado de alambre corrugado revestido con epóxico en C.12.2.2 y C.12.2.3. C.12.7.2 — Para refuerzo electrosoldado de alambre corrugado con al menos un alambre transversal dentro de ld y a no menos de 50 mm de la sección crítica Ψw debe tomarse como el mayor de: �� − 420

��

5�� �

pero no necesita ser mayor a 1.0, donde s es la separación entre alambres que se desarrollan. C.12.7.3 — Para refuerzo electrosoldado de alambre corrugado sin alambres transversales dentro de ld o con un alambre único a menos de 50 mm del punto de sección crítica, Ψw debe tomarse como 1.0, y ld debe determinarse igual que para alambre corrugado.

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C.12.7.4 — Cuando se presente algún alambre liso, o alambres corrugados de tamaño mayor que MD200 (16 mm de diámetro), en el refuerzo electrosoldado de alambre corrugado en la dirección de la longitud de desarrollo, el refuerzo electrosoldado de alambre debe ser desarrollado de acuerdo con C.12.8. C.12.8 — Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción La resistencia a la fluencia del refuerzo electrosoldado de alambre liso, debe considerarse que se desarrolla mediante el embebido en el concreto de 2 alambres transversales, con el alambre transversal más próximo a no menos de 50 mm de la sección crítica. Sin embargo, ld no debe ser menor que:

ld= 3.3���� � (��λ√�´�)

donde ld se mide desde la sección crítica hasta el alambre transversal más alejado, s es el espaciamiento entre alambres a desarrollarse, y λ se da en C.12.2.4(d). Cuando el refuerzo proporcionado excede del requerido, ld puede reducirse de acuerdo con C.12.2.5. La longitud ld no debe ser menor a 150 mm excepto para el cálculo de empalmes por traslapo de acuerdo con C.12.19. CR12.8 — Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción La figura CR12.8 ilustra los requisitos de desarrollo para refuerzo electrosoldado de alambre liso los cuales dependen principalmente de la localización de los alambres transversales. Para refuerzo electrosoldado de alambre fabricados con los alambres más pequeños resulta adecuado, para alcanzar la totalidad de la resistencia a la fluencia de los alambres anclados, un anclaje de, por lo menos, dos alambres transversales a 50 mm o más del punto de sección crítica. Sin embargo, para refuerzo electrosoldado de alambre liso fabricados con alambres de mayor diámetro, con una separación menor, se requiere un anclaje más largo, y para ellos se proporciona una longitud de desarrollo mínima.

C.12.14 - EMPALMES DEL REFUERZO – GENERALIDADES C.12.14.1 - Los empalmes del refuerzo deben diseñarse de acuerdo con los requisitos del presente Capítulo. En la obra los empalmes deben localizarse únicamente como lo indiquen o permitan los planos de diseño o las especificaciones, y sólo se permiten variaciones cuando las autorice el Ingeniero Diseñador. Además, en estructuras de capacidad de disipación de energía moderada (DMO) y especial (DES), deben cumplirse los requisitos adicionales del Capítulo C.21.

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C.12.14.2 - EMPALMES POR TRASLAPO C.12.14.2.1 - No pueden utilizarse empalmes por traslapo para barras mayores de la Nº 11 (1-3/8”) ó 32M (32mm), con las excepciones indicadas en C.12.16.2 y en C.15.8.2.3. C.12.14.2.2 - Los empalmes por traslapo de barras en paquetes debe basarse en la longitud del empalme traslapado requerida para las barras individuales del paquete, incrementándolos de acuerdo con lo prescrito en C.12.4. Los empalmes por traslapo de barras individuales dentro de un paquete no deben superponerse. El paquete en su totalidad no puede empalmarse por traslapo en un mismo punto. C.12.14.2.3 - Las barras unidas por medio de empalmes por traslapo que no estén en contacto, en elementos a flexión, no pueden espaciarse transversalmente a más de 1/5 de la longitud requerida para el empalme traslapado, ni a más de 150 mm. C.12.14.3 - EMPALMES MECANICOS Y SOLDADOS C.12.14.3.1 — Debe permitirse el uso de empalmes soldados o mecánicos

C.12.14.3.2 — Un empalme mecánico completo debe desarrollar en tracción o compresión, según sea requerido, al menos 1.25fy de la barra.

C.12.14.3.3 — Excepto en lo dispuesto por este Título C del Reglamento NSR-10, toda soldadura debe estar de acuerdo con “Structural Welding Code—Reinforcing Steel” (ANSI/AWS D1.4). C.12.14.3.4 — Un empalme totalmente soldado debe desarrollar, por lo menos, 1.25fy de la barra. C.12.14.3.5 — Los empalmes soldados o mecánicos que no cumplan con los requisitos de C.12.14.3.2 ó C.12.14.3.4 se permiten sólo para barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm) y menores y de acuerdo con C.12.15.4. C.12.15 - EMPALMES A TRACCION DE BARRAS CORRUGADAS Y DE ALAMBRES CORRUGADOS DE MALLAS ELECTROSOLDADAS C.12.15.1 - La longitud mínima de traslapo para empalmes a tracción de las clases A y B no debe ser menor de 300 mm, donde: Empalme Clase A .................................................................................... 1.0 ld Empalme Clase B .................................................................................... 1.3 ld donde ld es la longitud de desarrollo a tracción para la resistencia nominal a la fluencia fy, de acuerdo con C.12.2 y sin el coeficiente de modificación de C.12.2.5. C.12.15.2 - Los empalmes por traslapo a tracción de barras corrugadas y alambres corrugados que formen parte de mallas electrosoldadas, deben ser Clase B, excepto que se permiten los de Clase A cuando el área de refuerzo suministrado es al menos el doble del requerido por análisis en toda la longitud del empalme y menos de la mitad del refuerzo total se empalma dentro de la longitud de traslapo, como lo indica la tabla C.12-1.

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C.12.15.3 - Los empalmes mecánicos o soldados que se utilicen donde el área de refuerzo suministrada sea menor del doble de lo que se requiere por el análisis, deben cumplir los requisitos de C.12.14.3.2 o C.12.14.3.4. C.12.15.4 - Los empalmes mecánicos y soldados que no cumplan los requisitos de C.12.14.3.2 o C.12.14.3.4 se permiten para barras N° 5 (5/8”) ó 16M (16 mm), o menores, donde el área de refuerzo suministrada sea al menos el doble del que se requiere por análisis, y se cumplan los siguientes requisitos: C.12.15.4.1 - Los empalmes deben escalonarse por lo menos 600 mm y deben realizarse de tal manera que desarrollen en cada sección por lo menos el doble de la fuerza de tracción calculada en esa sección, pero no menos de 140 MPa para el área total de refuerzo suministrada.

C.12.15.4.2 - Al calcular la fuerza de tracción que se desarrolla en cada sección el refuerzo empalmado puede evaluarse a la resistencia especificada del empalme. El refuerzo no empalmado debe evaluarse a aquella fracción de fy definida por la relación entre la longitud de desarrollo real, más corta y el ld que se requiera para desarrollar la resistencia nominal a la fluencia fy. C.12.15.5 - Los empalmes en tirantes, o elementos de amarre a tracción deben hacerse con una conexión mecánica total o ser totalmente soldados, de acuerdo con C.12.14.3.2 o C.12.14.3.4 y los empalmes de barras adyacentes deben escalonarse al menos 750 mm.

CR12.15 — Empalmes de alambres y barras corrugadas a tracción CR12.15.1 — Los empalmes por traslapo sometidos a tracción se clasifican como tipo A y B, en los cuales la longitud del empalme por traslapo es un múltiplo de la longitud de desarrollo en tracción ld calculada de acuerdo con C.12.2.2 ó C.12.2.3. La longitud de desarrollo ld empleada para obtener la longitud del empalme por traslapo debe basarse en fy porque las clasificaciones de empalmes ya reflejan cualquier exceso de refuerzo en el sitio del empalme; por lo tanto, no debe emplearse el factor para As en exceso de C.12.2.5. Cuando muchas barras ubicadas en el mismo plano se empalman en la misma sección, el espaciamiento libre es la distancia mínima entre empalmes adyacentes. Para empalmes por traslapo en columnas con barras desalineadas, la figura CR12.15.1(a) ilustra el espaciamiento libre que debe usarse. Para empalmes por traslapo escalonados, el espaciamiento libre se toma como la mínima distancia entre empalmes por traslapo adyacentes [véase figura CR12.15.1(b)].

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C.12.16 - EMPALMES DE BARRAS CORRUGADAS A COMPRESION C.12.16.1 - La longitud mínima para empalmes traslapados a compresión es (0.07 fy db) para fy de 420 MPa o menos, o (0.13 fy - 24)db para fy mayor de 420 MPa, pero nunca menor de 300 mm. Para fc menores de 20 MPa, la longitud de traslapo debe incrementarse en 1/3. C.12.16.2 - Cuando se empalmen por traslapo a compresión barras de diferente diámetro, la longitud del traslapo debe ser la mayor de la longitud de desarrollo de la barra mayor o de la longitud de traslapo de la barra menor. Las barras Nº 14 (1-3/4”), Nº 18 (2-1/4”), 45M (45 mm) ó 55M (55 mm) pueden empalmarse por traslapo a barras Nº 11 (1- 3/8”), 32M (32 mm) o menores. C.12.16.3 - Los empalmes mecánicos o soldados que se utilicen a compresión deben cumplir con los requisitos de C.12.14.3.2 o C.12.14.3.4. C.12.16.4 - EMPALMES POR CONTACTO EN EL EXTREMO. C.12.16.4.1 - Los esfuerzos en las barras solicitadas únicamente a compresión pueden transmitirse en sus extremos a otras barras, cuando éstos se cortan a 90º y se sostienen en contacto concéntrico con la otra barra mediante un dispositivo adecuado. C.12.16.4.2 - Los extremos de las barras deben terminarse en superficies planas, en ángulo recto, con una tolerancia de 1.5º con el eje de las barras y deben tener una tolerancia de 3º con respecto a un apoyo total después de ensamblarse. C.12.16.4.3 - Los empalmes por contacto en el extremo deben utilizarse únicamente en elementos que tengan estribos cerrados o espirales. C.12.17 - REQUISITOS ESPECIALES DE EMPALME EN COLUMNAS C.12.17.1 - Deben utilizarse empalmes por traslapo, empalmes mecánicos, empalmes soldados, o empalmes por contacto en el extremo, con las limitaciones dadas en los

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Artículos C.12.17.2 a C.12.17.4. El empalme debe cumplir los requisitos dados para todas las combinaciones de carga en la columna. Además, en las estructuras de capacidadde disipación de energía especial (DES) deben cumplirse los requisitos adicionales del Capítulo C.21. C.12.17.2 - EMPALMES POR TRASLAPO EN COLUMNAS - Deben cumplirse los siguientes requisitos para el empalme de barras por traslapo en columnas: C.12.17.2.1 - Cuando los esfuerzos en la barra debidos a las cargas mayoradas son de compresión, los empalmes por traslapo deben cumplir los requisitos de C.12.16.1, C.12.16.2, y cuando sean apropiados, los de C.12.17.2.4 o C.12.17.2.5. C.12.17.2.2 - Donde los esfuerzos en las barras longitudinales de una columna, debidos a las cargas mayoradas y calculados para las diversas combinaciones de carga, no exceden 0.5fy en tracción, los empalmes por traslapo deben ser Clase B en cualquier sección donde se empalman más de la mitad de las barras, o Clase A donde se empalman la mitad, o menos, de las barras y los empalmes entre barras alternas se escalonan a una distancia al menos igual a ld. C.12.17.2.3 - Cuando los esfuerzos en las barras, debidos a las cargas mayoradas, son mayores de 0.5fy en tracción, los empalmes por traslapo deben ser Clase B. C.12.17.2.4 - En columnas con estribos, donde los estribos en la longitud de empalme por traslapo tienen al menos un área efectiva igual a 0.0015hs, la longitud de empalme por traslapo puede multiplicarse por 0.83, pero no puede ser menor de 300 mm. En el cálculo del área efectiva deben emplearse las ramas del estribo perpendiculares a la dimensión h. C.12.17.2.5 - En columnas con refuerzo en espiral, las longitudes de empalme por traslapo de barras localizadas dentro de la espiral, pueden multiplicarse por 0.75, pero la longitud del traslapo no puede ser menor de 300 mm.

C.12.17.3 - EMPALMES MECANICOS Y SOLDADOS EN COLUMNAS C.12.17.1 — Los empalmes por traslapo, empalmes mecánicos, empalmes soldados a tope, conexiones mecánicas, o empalmes de tope deben usarse, con las limitaciones de C.12.17.2 a C.12.17.4. Los empalmes deben satisfacer los requisitos para todas las combinaciones de carga de la columna. C.12.17.2 — Empalmes por traslapo en columnas C.12.17.2.1 — Cuando el esfuerzo en las barras debido a las cargas mayoradas es de compresión, los empalmes por traslapo deben cumplir con C.12.16.1, C.12.16.2, y cuando sea aplicable C.12.17.2.4 o C.12.17.2.5.

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C.12.17.2.2 — Cuando el esfuerzo en las barras debido a las cargas mayoradas es de tracción, y no excede 0.5fy en tracción, los empalmes por traslapo por tracción deben ser Clase B si más de la mitad de las barras se empalman en cualquier sección, o empalmes por traslapo por tracción de Clase A si la mitad o menos de las barras están empalmadas por traslapo en cualquier sección, y los empalmes por traslapo tomados alternadamente están escalonados una distancia ld . C.12.17.2.3 — Cuando el esfuerzo en las barras debido a las cargas mayoradas es mayor que 0.5fy en tracción, los empalmes por traslapo por tracción deben ser Clase B.

C.12.17.2.4 — En elementos sometidos a compresión en que los estribos a lo largo de toda la longitud del empalme por traslapo tengan un área efectiva no menor que 0.0015hs , en ambas direcciones, se permite multiplicar la longitud del empalme por traslapo por 0.83, pero la longitud del empalme por traslapo no debe ser menor que 300 mm. Las ramas del estribo perpendiculares a la dimensión h deben usarse para determinar el área efectiva.

DIAGRAMA DE INTERACCION PARA SABER EN QUE CONDICION ES SE DEBE EMPALMAR (TRACCION O COMPRESION)

R12.17.2.1 — La edición de 1989 del ACI 318 se simplificó para barras en columnas que están siempre en compresión, considerando que un empalme por traslapo en compresión tiene adecuada resistencia a tracción para excluir requisitos especiales.

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Extensiones mínimas del refuerzo en losas sin vigas C.13.3.8

6.10 REFUERZO A FLEXIÓN - PUNTOS DE CORTE Y DOBLAMI ENTO Las secciones críticas a momento están ubicadas en la cara de los apoyos (flexión negativa) y cerca del centro de la luz (flexión positiva). Generalmente se usan vigas prismáticas de concreto para realizar el trabajo constructivo y agilizar la armada de las formaletas, y reducir los costos. Las barras a flexión se cortan donde no se necesita refuerzo. Puntos teóricos de corte o doblamiento La fuerza de tensión que debe resistir el refuerzo en cualquier sección transversal en una viga simplemente apoyada. M: Momento flector en la sección

jd: Brazo del momento resistente. Para la siguiente viga simplemente apoyada con carga uniforme, el diagrama de momentos es:

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El área requerida de acero es proporcional al momento flector. Para la viga cargada uniformemente mostrada, en la sección de máximo momento, se necesita el 100% del acero a tensión, mientras que en los apoyos, se requiere teóricamente el 0% del acero.

Para facilitar la determinación de los puntos de corte o doblamiento para luces simples, el gráfico anterior representa la mitad del diagrama de momentos para una luz simple cargada de modo uniforme. Los puntos de corte y doblamiento para vigas continuas con carga distribuida, se muestran en los diagramas de momento máximos momentos en la luz y en el apoyo.

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La siguiente figura muestra una viga continua con una envolvente de momentos producto de la aplicación de cargas uniformemente distribuidas. En la figura se indica la localización de los puntos para los cuales, en teoría, puede descontinuarse el 50% del acero superior e inferior.

De acuerdo con el C.13.3 Código NSR10 las vigas continuas de concreto reforzado, uniformemente cargadas y con luces casi uniformes, pueden diseñarse utilizando coeficientes de momento (C.13.5.5.3del NSR 10), dan una aproximación conservadora de los momentos en la luz y en los apoyos para vigas continuas. Cuando se utilizan estos coeficientes en el diseño, los puntos de corte pueden determinarse en forma conveniente a partir del siguiente gráfico. Las curvas de momento, correspondientes a los diferentes coeficientes de momento en la luz y en los apoyos, están determinadas en la parte superior e inferior de la gráfica respectivamente.

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6.10.1 Requisitos del Código En ningún caso el acero de tensión debe descontinuarse en el punto teórico descrito. El Código exige que todas las barras deben extenderse una distancia por lo menos igual a la altura efectiva de la viga o a 12 diámetros de la barra (la mayor) más allá del punto en el cual, en teoría, no se requiere más para resistir los esfuerzos, por las grietas de cortante. El esfuerzo calculado en el acero en cada sección debe desarrollarse mediante una longitud adecuada de empotramiento o un anclaje en el extremo, o una combinación de los dos.

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Debe dejarse la longitud completa de desarrollo ld más allá de las secciones críticas que presentan esfuerzos máximos en las barras o usar anclajes mecánicos. Estas secciones críticas están localizadas en los puntos de momento máximo, donde el acero eta en fluencia fy, y donde el refuerzo adyacente interrumpido no se requiere más para resistir la flexión. Por lo menos un tercio del acero para momento positivo (un cuarto para luces continuas) debe continuarse sin interrupción a lo largo de la misma cara de la viga y debe penetrar en el apoyo una distancia por lo menos igual a150 mm. Un tercio del refuerzo para momento negativo en el apoyo debe extenderse una distancia por lo menos igual a un dieciseisavo de la luz libre o d o 12db, la mayor, más allá de la posición extrema del punto de inflexión. Cuando un elemento a flexión es parte de un sistema de resistencia sísmica a cargas laterales, se requiere que el refuerzo para momento positivo se extienda dentro del apoyo y quede anclado en forma que permita desarrollar la resistencia a la fluencia de las barras en la cara del apoyo, para tener en cuenta así la posibilidad de la inversión de los momentos en los apoyos. Los requisitos para la localización de puntos de corte de barras o de doblamiento se resumen en la figura CR12.10.2 C.12.10 — Desarrollo del refuerzo de flexión — Generalidades C.12.10.1 — Se permite desarrollar el refuerzo de tracción doblándolo dentro del alma para anclarlo o hacerlo continuo con el refuerzo de la cara opuesta del elemento. CR12.10 — Desarrollo del refuerzo de flexión — Generalidades C.12.10.2 — Las secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en elementos sometidos a flexión son los puntos donde se presentan esfuerzos máximos y puntos del vano donde termina o se dobla el refuerzo adyacente. Las disposiciones de C.12.11.3 deben cumplirse. CR12.10.2 — Las secciones críticas para una viga continua típica se indican con una “ c ” o una “ x ” en la figura CR12.10.2. Para carga uniforme, el refuerzo positivo que se extiende dentro del apoyo es probable que esté controlado por los requisitos de C.12.11.3, en cambio de la consideración de la longitud de desarrollo medida a partir del punto de momento máximo o del punto de terminación de las barras. C.12.10.3 — El refuerzo se debe extender más allá del punto en el que ya no es necesario para resistir flexión por una distancia igual a d ó 12db , la que sea mayor, excepto en los apoyos de vigas simplemente apoyadas y en el extremo libre de voladizos.

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Cuando se usan barras de diferentes diámetros, la prolongación debe hacerse de acuerdo con el diámetro de la barra que se esté terminando. Una barra doblada hacia la cara lejana de la viga y continuada a partir de ahí, se puede considerar, de manera lógica, como efectiva para satisfacer las disposiciones de esta sección hasta el punto en el cual la barra cruza la mitad de la altura del elemento. CR12.10.4 — En las zonas de tracción, se producen puntos de esfuerzos máximos en las barras restantes donde se terminan o doblan las barras adyacentes. En la figura CR12.10.2 se usa la letra “ x ” para indicar los puntos de esfuerzo máximo en las barras que continúan después de que se ha cortado parte de las barras. Si las barras se dejan tan cortas como lo permita el diagrama de momentos, estos esfuerzos máximos llegan a tomar el total de fy , lo cual requiere una prolongación de ld completa como se indica. Esta prolongación puede exceder la longitud requerida por flexión. Cuando se recortan barras en zonas a tensión, existe una tendencia hacia la formación de grietas de flexión y de tensión diagonal en la vecindad del extremo cortado. Esto puede generar una reducción de la capacidad a cortante y una pérdida de la ductilidad global de la viga. El reglamento exige precauciones especiales, que especifican que ninguna barra de flexión puede terminarse en una zona a tensión a menos que se satisfaga una de las siguientes condiciones:

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1. El cortante no esté por encima de los dos tercios del que se permite normalmente y, si existe, incluya la participación del refuerzo a cortante. 2. Se colocan estribos en exceso a los que por lo general se exigen a lo largo de una distancia igual a 3/4d más allá de cada barra interrumpida y medida desde el punto de corte. Estos estribos "de unión" además deben suministrar un área As tal que Av.fy/bw.s no sea menor que 60 psi. Así mismo, el espaciamiento de los estribos no debe exceder d/8βb, donde βb es la relación entre el área de las barras cortadas y el área total de las barras en la sección. 3. Las barras que continúan, si son No. 11 o menores, suministran el doble del área requerida a flexión en ese punto y el cortante no excede tres cuartos del valor permitido. Como alternativa al corte del acero, las barras de tensión pueden anclarse doblándolas a través haciéndolas continúas con el refuerzo en la cara opuesta. Aunque esto acarrea dificultades en el despiece y en la colocación del acero, además incrementa los costos de construcción. Muchos diseñadores especifican los puntos de corte y doblamiento de las barras en puntos definidos más o menos de manera arbitraria que por experiencia han demostrado su seguridad. Para luces aproximadamente iguales y cargadas de modo uniforme en las cuales no se corta o dobla más de la mitad del acero a tensión, se pueden usar los puntos de corte ilustrados, en la siguiente figura. En esta figura que la viga en el apoyo exterior a la izquierda se indica como simplemente apoyada. Si la viga es monolítica con la columna exterior o con un muro de concreto en un extremo, los detalles para una luz interior común pueden utilizarse de igual manera para la luz extrema.

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6.10.2 Puntos de momento cero La siguiente figura muestra los diagramas representativos de momento y cortante de una viga continúa cargada uniformemente. Las barras positivas colocadas para resistir el máximo momento positivo en c deben tener una longitud completa de desarrollo más allá del punto c, medida en dirección de la disminución del momento. En el caso límite, ld podría ser exactamente la distancia desde el punto c hasta el de inflexión. Sin embargo, si se cumpliera exactamente con este requisito, en el punto b localizado a media distancia entre c y el de inflexión, estas barras tendrían disponible sólo la mitad de su longitud de desarrollo, mientras que el momento estaría aún en tres cuartos del punto c y, por tanto, faltaría por desarrollar tres cuartos de la fuerza de la barra.

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Esta situación se presenta siempre que los momentos, a lo largo de la longitud de desarrollo, sean mayores que los correspondientes a una reducción lineal hasta cero. El problema se da en la región de momento positivo de luces continuas cargadas en forma uniforme o en vigas simplemente apoyadas. La fuerza de adherencia U por unidad de longitud a lo largo del refuerzo a tensión en una viga es U = dT/dx, donde dT es el cambio en la tensión de la barra en la longitud dx. Puesto que dT = dM/jd, esto puede formularse. U=dM/(jd. dx) Es decir, la fuerza de adherencia por unidad de longitud de la barra, generada por flexión, es proporcional a la pendiente del diagrama de momento. La máxima fuerza de adherencia U en la región de momento positivo está localizada en el punto de inflexión y U disminuye en forma gradual a lo largo de la viga hacia el punto c. Un enfoque conservador para evaluar si la adhesión de las barras que continúan hasta el punto de inflexión es suficiente, consistiría en exigir que la resistencia al desprendimiento, la cual se supone que aumenta linealmente a lo largo de la barra desde su extremo, estuviera controlada por la pendiente máxima dM/dx del diagrama de momento, que para flexión positiva ocurre en el punto de inflexión. A partir de la mecánica elemental, se sabe que la pendiente del diagrama de momento en cualquier punto es igual al valor de la fuerza cortante en ese mismo punto. Por consiguiente, con referencia a la figura, la pendiente del diagrama de momento en el punto de inflexión es Vu.

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Puede trazarse entonces una línea punteada, tangente a la curva de momento en el punto de inflexión y con pendiente igual al valor de la fuerza cortante Vu. Entonces, si Mn es la resistencia nominal a flexión suministrada por las barras que se extienden hasta el punto de inflexión, y si se supone conservadoramente que el diagrama de momento varía linealmente a lo largo de la línea punteada tangente hasta la curva real de momento, se puede establecer una distancia a de acuerdo con la relación básica según la cual Mn/a = Vu: a =Mn/Vu. ' Si las barras al respecto estuvieran completamente esforzadas a una distancia a de la derecha del punto de inflexión y si el momento disminuyera linealmente hasta el punto de inflexión como lo sugiere la línea punteada, entonces el desprendimiento no ocurriría si la longitud de desarrollo ld es menor que la distancia a. Los momentos reales son menores que los indicados por la línea punteada, de modo que se cumple con el requisito de la seguridad. Si las barras se extienden más allá del punto de inflexión hacia el apoyo, como se exige en todos los casos, entonces esta extensión puede contabilizarse como contribución para satisfacer los requisitos de longitud embebida. Puede contarse con una longitud más allá del punto de inflexión, que no sea superior al mayor entre la altura de la viga d o 12 veces el diámetro de la barra db. Entonces, el requisito para las barras a tensión en los puntos de inflexión es que

Mn: Resistencia nominal a flexión con el supuesto de que todo el refuerzo de la sección está esforzado a fy Vu: Fuerza cortante mayorada en la sección ld: Longitud empotrada de la barra más allá del punto de momento cero pero sin exceder el mayor de d o 12 db Debido a los efectos benéficos de la compresión vertical en el concreto en el extremo de una luz simplemente apoyada, la cual tiende a evitar el fracturamiento y las fallas de adherencia a lo largo de las barras, se permite aumentar el valor de Mn/Vu en un 30% en estos casos. Así que, en los extremos de luces simplemente apoyadas, el requisito para el refuerzo a tensión es

La consecuencia de estos requisitos especiales para el punto de momento cero es que, en algunos casos, deben utilizarse barras con tamaños menores, para obtener menores valores

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de ld aunque se cumplan los requisitos para el desarrollo más allá del punto de máximo esfuerzo.

Problema: Revisar la longitud de desarrollo de las barras para momento positivo, en la viga simplemente apoyada f´c = 21Mpa, fy= 420 MPa.

mKN100

170

LaVu

MnLd +≤

Usar 4 φ1” = 20.4 cm2. ρrequerido = 0.009284 As requerido = 18.57 cm2. 1. Espaciamiento lateral entre barras.

.1.5265.6

65.63

54.2*4)95.04(240

Biencmd

cmS

b →=>

=−+−=

2. Longitud de desarrollo para las barras No. 7 y mayores.

bd dcf

fyL *

´5

3 αβ= 0.1

0.1

==

βα

cmLd 14054.2*215

0.1*0.1*420*3 ==

3. Momento nominal Mn

−=cf

fyfybdM n ´

59.012 ρφρ

0102.050*40

1.5*4 ===bd

Asρ

40cm

40.95

2.54 S

2.54

40.95

S S

Recubrimiento lateral = 4 + 0.95 = 4.95 > db = 2.54 cm.

"83φ

"1φ

171

CumplemkNwl

MumkNM

mkNM

x

xxM

n

n

n

→===>=

=

−=

.5.3128

5*100

8.350

.8.376

1021

10420*0102.059.0110420*5.0*4.0*0102.0

22

6

662

φ

4. Contante último Vu (En el apoyo).

kNwL

Vu 2502

5*100

2===

5. Desarrollo del refuerzo para momento positivo.

LaV

ML

u

nd +≤

La: En el apoyo es igual a la longitud de anclaje más allá del centro de apoyo.

mLd 66.115.0250

8.376 =+≤

Como Ld = 1.40 m. es menor que 1.66m. , entonces se pueden usar barras # 8; si no fuera así, se debería disminuir el diámetro de la barra y/o aumentar f´c. 6.11 CALCULO DE LAS PUNTOS DE CORTE DE LAS BARRAS. Los puntos de corte se calculan según el siguiente Procedimiento general:

1. Punto de corte en flexión, donde no se requiere barras por flexión y determinado del diagrama de momentos.

2. Barras que se deben extender para cumplir varias reglas.

3. Estribos extras deben ser diseñados en los puntos de corte de las barras en la zona

de flexo-tensión.

172

Punto de

inflexión

Ra Rb

Punto de

inflexión

+

maxMu

+

3Mu+

3Mu

X3 X3

X4 X4

X2

X1X1

X2

Ln: Luz libre

−

maxMu

−

minMu−

2Mu−

2Mu

X1: Punto de inflexión.

X2: Corresponde al momento Mu-

2 que es el 50% de Mu-máx. , o donde se han cortado el

50% del refuerzo negativo.

• Tomando momentos en el punto de inflexión

−

maxMu

0=M

UW

• Momentos en el punto donde max2 5.0 −− = MuMu

012

1max

02

=−+

=∑

RaXWuX

Mu

M

Despejo X1

173

−

maxMu

UW

−Mu

X3: Corresponde al momento +3Mu que es el 50% de max

−Mu o donde se ha contado la

mitad del esfuerzo positivo. X4: Punto de inflexión de momento positivo o donde no se requiere refuerzo.

UW

−Mu

min−Mu

32 XLn −

• Tomando momentos en el punto de inflexión

UW

0=M

min−Mu

42 XLn −

macMu y minMu : Momentos resistentes calculados con el porcentaje de barras que

continúan.

−==

cf

fyfybdMnMu

´59.01 %)50(2

%50

ρφρφ

Con esta ecuación se calcula −2Mu y +

3Mu (momento de diseño) y despejo X2 y X3.

También se supone

02 2max

22

2 =−++− −− RaXMuWuX

Mu

Despejo X2

* Momentos en +3Mu : %)50(

+As

0)2(2

)2(3min

23

3 =−−+−

+ −+ XLnRaMuXLnWu

Mu

Despejo X3.

0)2(min)2( 42

4 =−−+− − XLnRaMuXLnWu

Despejo X4

174

2max

2

−− = Mu

Mu

y se despeja X2 y X4

2

max

3

++ = Mu

Mu

Y después se encuentra la cuantía ρ. La localización de los puntos de corte esta determinada en el NSR – 98 en el C.7.13 y el C.12.10, lo cual se puede resumir en 6 reglas para el detallado del refuerzo. Todos los Refuerzos: 1. Las barras deben extenderse una longitud d o 12db mas allá del punto de corte en flexión, excepto en soportes de vigas en voladizo. 2. Las barras deben extenderse al menos a una distancia Ld, más allá del punto donde termina el refuerzo en tracción o donde los momentos son máximos. 3. Refuerzo para momento positivo. 3.1 En vigas con apoyo simple, al menos 1/3 del refuerzo para el momento positivo debe extenderse 150 mm dentro del apoyo. 3.2 Para vigas interiores con estribos cerrados, al menos 1/4 del refuerzo a momento positivo debe extenderse 150 mm. dentro del apoyo. 3.3 Para vigas interiores sin suficientes estribos cerrados, al menos 1/4 del refuerzo a momento positivo se debe traslapar con el proveniente de la luz continua con traslapos clase A, o ancladas con gancho estándar en soportes no continuos. 3.4 Para vigas continuas perimetrales, al menos 1/4 del refuerzo a momento positivo requerido en la mitad de la luz, debe continuar alrededor del perímetro y debe ser encerrado con un estribo cerrado y ganchos de 135o alrededor a las barras superiores. 3.5 Para vigas que forman parte de un pórtico resistente a cargas laterales, el refuerzo debe ser anclado en la cara del apoyo para que desarrolle la resistencia a fluencia fy. 4. En los puntos de inflexión de las barras para momento positivo y para apoyos simples, el refuerzo debe satisfacer C.12.11 5. Refuerzo para momento negativo. 5.1 Debe ser anclado a través de las columnas al apoyo o elementos de extremo.

175

5.2 Para vigas interiores, al menos 1/3 del refuerzo para momento negativo, se debe extender por la mayor distancia de d, 12 db o Ln/16 más allá del punto de inflexión. 5.3 Para vigas perimetrales, 1/6 del refuerzo requerido en el apoyo debe ser continuo en la mitad de la luz y de la clase A. (ver grafico) En la zona de tensión cuando se cortan las barras se forman fisuras por tensión diagonal, se puede cortar siempre y cuando:

1. El cortante en el punto de suspensión no debe exceder 2/3 la resistencia de diseño a cortante

)(3

2VsVcVu +≤ φ

2. Se deben suministrar estribos para cortante y torsión a lo largo de la terminación de

barra o malla electro soldada por una distancia igual a 3/4 de la altura efectiva del elemento a partir del punto de corte. El área de estribos no debe ser menor a

fysbw2.4 , espaciadas a una distancia menos de )8( d

ds β< , βd es la relación área

de refuerzo contado, y el refuerzo total a atracción.

3. En barras No. 11 el refuerzo que continua sea el doble del área requerida por flexión en el punto de corte y el cortante no debe exceder 75% de resistencia de diseño.

Problema: Despiece la viga mostrada en voladizo.

2. Cargas.

mkNWu 6.3610*7.114*4.1 =+= Usar combos NSR-10

mkNCM 14= m

kNCV 10=

Columna de apoyo

55x55

0.55m 3 m

1. Predimensionamiento

mh

mL

h

4.0

38.08

3

8≈

===

Usar b = 30 cm Sección 30 x 40 cm.

176

3. Momentos actuantes. (Apoyo).

mkNwL

Mu .7.1642

9*6.36

2

2

−=−=−=

4. Diseño de refuerzo.

)(48.157#4:

1597.14

0142535.0

´59.01

2

22

2

ArribacmUsar

cmamAs

cf

fyfybdMnMu

→=≈=

=

−==

ρ

ρφρφ

Refuerzo por temperatura: (C.7.12)

2min 16.240*30*0018.0 cmbdAs === ρ

)(98.32*99.15#2 2min AbajocmAs →==→

.

5. Cortante en la cara de la columna y Mnφ

mkNM

kNLWV

n

uu

.2.169

8.1093*6.36

====

φ

6. Corte de Acero. Si corta el 50% del acero a una distancia X1

177

mKNMu

bd

As

cf

fyfybdMu

*94.93

007371.035*302

48.15

´59.01

%50

%50%50

%)50(2%50%50

=

===

−=

−

−

ρ

ρφρ

7. Longitud de desarrollo Ld de la barra # 7 (superiores). 7.1 Separación.

BiencmdbcmS

cmS

→=≤=

=−+−=

22.274.3

74.33

22.2*4)95.04(*230

Recubrimiento:

cmdbcm 22.295.495.04 =>=+ 7.2 Longitud de desarrollo.

dbcf

fyLd

´2

3 αβ= 0.1

3.1

==

βα

cmL

cmL

finald

d

55.148.15

97.14*59.1

59.122.2*215

0.1*3.1*420*3

)( ==

==

8. Longitud de anclaje final para barras corrugadas # 7 con gancho Ldh.

6.36

19.93

2.169

1X8.109

mmX

XX

XX

80.079.0

071.758.1093.18

08.1092

*6.362.16994.93

1

11

1

21

≈==+−

=−++−

178

mmL

cmcmdL

mayorelControlacmL

cmAs

AsLL

mmcf

dbL

dh

bdh

dh

sumi

reqhbdh

hb

150

1848.178

__47

478.4648.15

97.14*4.484*

4.48421

2.22*100

´

100

≤≈=≤

→≤

≈==≤

===

El ancho de la columna es mayor que Ldh más recubrimiento 47 + 5 = 52 cm. Longitud del gancho = 15 db = 15 x 2.22 = 33.3cm. 35cm. 9. Despiece La longitud que se debe extender la barra después del punto de corte, es la mayor longitud entre:

cmLn

cmd

cmdb

8.1816

300

16

35

6.2622.2*1212

==•

=•==•

Usar: 35cm

La longitud de corte medida desde la cara del apoyo debe ser:

cmLL

cmdXL

dcorte

corte

55.1

15.135.08.01

==•=+=+=•

Usar: 1.55cm

Barra φ5/8” cmLdh 42= cmGancho dbdbdb 18936: ==+

179

Problema: Despiece el apoyo y la luz de la viga indicada como VG-1. La viga forma parte de una luz interior. Las columnas tienen sección 40 x 40 cm. El uso es para vivienda. Usar f´c = 28 MPa y fy = 420MPa. El sistema de losa funciona en una dirección, y se va a aligerar con casetón de esterilla.

1. Predimensionamiento. Viga V1.

mmLn

h 54.014

6.7

14=== (Soporta particiones)

mb 4.0= Usar: 40x50 cm.

2. Losa aligerada en una dirección (C.13.2) 2.1.Viguetas

180

5.042.0

5

<≤ bhlibre

0.05

5m

0.05

0.03

h=0.42

bw=0.10m

S=0.9

0.03

Loseta

Superior

Loseta

Inferior

mSt

cmt

05.0201

5.4

=>

>

h = Altura total losa S: Distancia libre entre nervios. t: Espesor de la loseta superior. Sm: Separación máxima entre nervios, medida centro a centro.

mhS

mS

m

m

25.15.*5.25.1

2.1

===<

2.2 Riostras SMáx. : Separación libre máxima

mzS

mhS

0.4

55.*1010

max

max ==<

3. Evaluación de Cargas. NOTA: Falta peso propio, el de abajo no está incluido en los cálculos.

22 16.4809716.101*)71.4(5.0*4.0*81.9*4.2_m

Kgfm

KNpropiopeso ===

Loseta Superior e Inferior 219208.0*2400m

Kgf==

21010.1

42.0*1.0*2400m

KgfViguetas ==

Piso baldosa de cemento = 100 kgf / m2 Casetones de esterilla = 30 kgf / m2

Muros divisórios = 300 kgf / m2

Afinado Superior e Inferior 213206.*2200m

Kgf==

181

2855m

KgfWCM =

24.8m

KNWCM =

28.1m

KNWCV =

28.14

8.1*7.14.8*4.17.14.1

mKNWu

WWWu CVCM

=

+=+=

4. Cargas sobre la viga. Por el método del área aferente, se tiene Laf= Longitud aferente

)(4.815.5*8.14

5.52

6

2

5

*8.14

1

1

MáximamKNWu

mLa

LaWu

f

f

→==

=+=

=

Falta multiplicar por 1.15 en Laf 5. Cálculo de Mu y Vu.

182

mKN

LWMu nU

*4.42711

6.7*4.81

112

2

max

=

=

=−

5.1 Cortante y momentos de diseño. Recubrimiento 6 cm.

2

* dLWuV v

du = Lvd: Longitud libre a una distancia l medida desde

la cara del apoyo. d = 50-6=44cm=0.44m

KNVud 5.2732

)2*44.06.7(*4.81 =−=

6. Acero para momento resistente negativo.

−== −

cf

fyfybdMMn U ´

59.012max

ρφρφ

)2.3.21.(025.001723.0 max C→=<= ρρ corregir ρmax

23.3044*40*01723.0 cmbdreqAs === ρ

Usar: 6#8

26.301.5*6 cmAssum ==

135.04.0*1028*85.0

10420*100

6.30

´85.0 6

62

===x

x

cbf

Asfya

5.0600

60031.0

44.0

135.01 =

+=<== β

fyd

a

d

a b

11

2

maxnU LW

Mu =−

mKN *4.42711

6.7*4.81 2

=

=

mKNLW

M nUU *9.239

16

6.7*4.81

16

22

max ===+

183

Entonces fs = fy ó alternativamente.

02833.0600

600´85.0 1 =

+=

fyfy

cfb

βρ

01751.002125.075.0max <== bρρ

6.1. Corte del Acero negativo. 6.1.1 Se cortan 2 barras # 8 en la cara del apoyo y se continúan hasta una distancia X1 de la cara del apoyo, hasta donde resistan las 4 barras restantes.

−=−

cf

fyfybdMU ´

59.012 ρφρ

mKNM

x

xxM

U

U

*5.304

1028

10420*44*40

1.5*4

59.0110420*44.0*4.0*44*40

1.5*4*9.0

6

6

62%50

=

−=

−

La longitud X1 es:

mKN4.81

mKNMu *5.304=−mKN *4.427

1XmKN *3.309

6.1.2. Se cortan 2 barras # 8 a una distancia X2, las barras restantes 2 # 8 es decir que al menos 1/3 del área negativa total debe extenderse más allá del punto de inflexión X3. El momento resistente donde se cortan las barras # 8 es:

mKNM

x

xxM

U

U

*95.160

1028

10420*44*40

1.5*2

59.0110420*44.0*4.0*44*40

1.5*2*9.0

6

6

62%50

=

−=

−

03095.3042

4.814.427

0

1

21 =−−+

=∑ −

XX

MU

mX

XX

42.0

09.1223.3097.40

1

12

1

==+−

184

mKN4.81

mKN *95.160mKN *4.427

2XmKN *3.309

El punto de inflexión es:

mKN4.81

0=−MumKN *4.427

3XmKN *3.309

6.1.3 Longitud que deben extenderse las barras más allá de las puntas de corte X1, X2, y X3.

ControlacmL

cmd

d

n

b

→==•

=•==•

4816

760

16

40

5.3054.2*1212

6.2 Longitud de desarrollo. 6.2.1. Separación

OKocubrimient

cmdcm

cmS

b

→>→

=>

=−+−=

54.295.4Re

54.297.2

97.25

54.2*6)95.04(240

6.2.2. Longitud de desarrollo

mmX

XX

XX

0.199.0

05.2663.3097.40

03.30995.1602

4.814.427

2

22

2

2

22

≈==+−

=−−+

mX

XX

82.1

03.3092

4.814.427

3

3

23

=

=−+

185

bd dcf

fyL *

`5

3 αβγ= α = 1.3 β = 1.0

Barra # 8

mmLd 3.121.154.2*285

0.1*420*3 ≈==

Barra #8

mmLd 6.157.154.2*285

3.1*420*3 ≈==

7. Envolvente para momento positivo. WuMín. = 415 kN.m.

mKNMu *3.218=mKNMu *3.218=

7.1. Punto de inflexión para Mu+

mKN4.81

0=+MumKN *218

4XmKN *3.309

7.2. Acero para momento resistente positivo.

mmX

XX

8.079.0

03.3092

4.81218

4

4

24

≈=

=−+

186

−=+

cf

fyfybdMU ´

59.012 ρφρ

26.9

01114.0

cmAs req =

=+

ρ

Usar: 4 # 8 24.20 cmAssum =

7.3 Cortes Se corta el 50% del acero positivo y se encuentra el momento resistente para 2 # 8.

0033.00058.0 min =>= ρρ

mKNM

x

xxM

U

U

*95.160

1028

10420*44*40

1.5*2

59.0110420*44.0*4.0*44*40

1.5*2*9.0

6

6

62%50

=

−=

−

La longitud X5 medida desde la cara de la columna, donde se cortan las barras # 8 es:

mKN4.81

mKN *9.160mKN *218

5XmKN *3.309

Las 2 # 8 se continúan hasta el punto de inflexión, ahí se corta una barra y la otra sigue hasta el apoyo (1/4 As+). 7.4. Longitud de desarrollo.

bd dcf

fyL *

`5

3 αβγ= α = 1.0 β = 1.0

mmmLd 2.116.14.20

6.19*12154.2*

285

0.1*0.1*420*3 ≈===

mX

XX

XX

54.1

09.3783.3097.40

03.3099.1604.81

218

5

52

5

5

25

=

=+−

=−++

187

7.5. Longitud de extensión a partir de X4 y X5 es la mayor de:

Controlacmd

cmdb

→=•=•

44

3112

8. Despiece. Barras superiores – Momento negativo. 8.1 Primeras 2 # 8

( ) mL

XL nbarra 2.24.048.042.024.0

162 1 =++=+

+=

(Nota:) mLL db 6.34.06.1*24.02 =+=+=

Usar Lb = 4.0 m. 8.2 Siguientes #8

( ) mL

XL nbarra 4.34.048.0124.0

162 2 =++=+

+=

(Nota:) mLXL db 5.44.06.1*242.0*24.022 1 =++=++=

Usar: .0 m. Nota: Las barras restantes deben extenderse por lo menos Ld más allá del punto teórico de corte. 8.3 Las 2 barras restantes.

mL

xL nbarra 0.54.048.0*282.1*24.0

16*22 3 =++=++=

Usando la longitud de desarrollo:

mLXL dbarra 6.54.06.1*20.1*24.022 2 =++=++=

Usar: 6.0m 9. Barras Inferiores – Momento Positivo. 9.1 Primeras 2 # 8 que se cortan:

188

mmL

XL

L nnb 0.648.52*48.054.1

2

6.7*2

16162 5 ≈=+

−=

+

−=

Usando la longitud de desarrollo:

mLl db 20.36.1*2*2 ===

Usar Lb = 6.0 m. para evitar desperdicio. 9.2 Las 2 # 8 restantes.

Se corta una barra en el punto de inflexión X4 y se prolonga mLn 48.016

= .

mL

XLl nnb 0.748.0*28.0*26.7

16*2*2 4 =+−=+−=

La barra que queda +sA4

1 total debe entrar al menos 150 mm en el apoyo.

mmlb 0.89.72*15.06.7 ≈=+=

Lb = 7.6 + 0.15 x 2 = 7.9 = 8.0 m.

189