6. filtros activos 11
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5. FILTROS ACTIVOS.
Un filtro activo, es un circuito conformado por amplificadores operacionales y redespasivas con resistencias, capacitancias y / o inductores, que sirve para modificar elespectro de magnitud de una seal elctrica, con la finalidad de eliminar un conjuntode lneas espectrales indeseadas, y de reforzar la potencia de otros conjuntos delneas espectrales de la seal.
La ventaja que presentan los filtros activos sobre los pasivos, es decir de los que estnexclusivamente constituidos por resistencias, bobinas y / o capacitores; es que la
carga conectada a la salida no altera la ganancia )(SAV
, ya que la impedancia de
salida de un amplificador operacional es prcticamente igual a 0OUT
Z , y laimpedancia de entrada del amplificador se puede ajustar de tal forma, que la
impedancia interna de la fuente de seal a filtrar, SZ
, no perturbe la expresin querige a la ganancia de voltaje del filtro; mientras que en los filtros pasivos, la ganancia
de voltaje del filtro (o simplemente funcin de transferencia )(SH del filtro) depende
enormemente de los valores de las impedancias de la carga y de la fuente,L
Z yS
Z .
A continuacin se procede a estudiar algunos filtros activos bsicos bastante utilizadosen aplicaciones de ingeniera.
5.1 FILTRO PASABAJO DE PRIMER ORDEN
La topologa bsica de un filtro pasabajo de primer orden se ensea en la prximafigura.
Figura No. 60: Circuito de un filtro pasabajo de primer orden tipo Butterworth.
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En el dominio de S , el circuito se puede redibujar as:
Figura No. 61: Filtro pasabajos de primer orden enseando las seales elctricas msrelevantes en su funcionamiento en el dominio de la frecuencia compleja.
El amplificador operacional que posee el filtro, est en la configuracin de seguidor de
voltaje, lo cual implica que el voltaje de salida, )(SVOUT
, es el mismo voltaje de la
terminal no inversora respecto a tierra, )(SV . De la figura No. 61 se nota claramenteque el voltaje de la terminal no inversora es el mismo voltaje del capacitor, y como la
corriente que fluye por la terminal no inversora es igual a A0 , entonces lasimpedancias
SZ , R y el capacitor C estn en serie; lo cual implica que se puede
calcular el voltaje del capacitor aplicando divisor resistivo:
)(
1
1
)()( SV
SCZR
SCSVSV
S
S
C
Al simplificar la anterior expresin se llega al siguiente resultado:
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)(
1
1
)( SVV
CZRS
CZRSV
OUTS
S
S
Y por lo tanto, la ganancia de voltaje del filtro, )(SH , est regida por la siguienteexpresin:
CZRS
CZR
SV
SVSH
S
S
S
OUT
1
1
)(
)()(
Del captulo nmero 2 del presente libro, de la seccin de respuesta en frecuencia deamplificadores lineales, se aprendi que todo filtro pasabajos de primer orden posee
una ganancia de voltaje de la forma
FILTROC
FILTROCVMAX
S
ASH
)( ; donde la frecuencia
angular de cruce,CFILTROC
F 2 , es el trmino independiente del polinomio
caracterstico de primer orden de la ganancia de voltaje del filtro.
Por comparacin:
FILTROC
FILTROCVMAX
S
S
S
A
CZRS
CZRSH
1
1
)(
Por lo tanto, para que ambas expresiones sean idnticas es necesario que:
Seg
Rad
CZRS
FILTROC
1 (Importante)
Y
La ganancia de voltaje mxima en la banda de paso sea igual a 1VMAX
A .(Importante)
La grfica de la ganancia de voltaje de este filtro se ensea en la siguiente figura:
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Figura No. 62: Grfica de la ganancia de voltaje del filtro activo pasabajos bajoimplementado con un seguidor de voltaje.
La impedancia de entrada del filtro pasabajos implementado con la topologaenseada, se calcula de forma tradicional, aplicando la ley de Ohm:
)(
)()(
SI
SVSZ
IN
IN
IN
Luego de calcular el voltaje )(SVIN
y la corriente de entrada )(SIIN
, entonces la
impedancia de entrada est regida por la siguiente expresin:
SC
RSZIN
1)(
Ntese que la impedancia de entrada depende de la frecuencia compleja S de lafuente de voltaje de seal aplicada en la entrada del filtro. (Indeseable)
Para eliminar la dependencia de la impedancia de entrada con la frecuencia, seaconseja conectar a la entrada un seguidor de voltaje, tal como se ilustra en lasiguiente figura.
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Figura No. 63: Filtro de primer orden pasabajos, con seguidor de voltaje en la entrada,
para eliminar la dependencia de la impedancia de entrada con la frecuencia. Laimpedancia de entrada es igual a IN
Z .
Una desventaja que posee este filtro pasabajos de primer orden, es que en la bandade paso la ganancia de voltaje es igual a 1, y no amplifica el voltaje de la sealaplicada en la entrada. Una forma de solucionar dicho problema es usando la siguientetopologa:
Figura No.64: Topologa de un filtro pasabajos de primer orden, con gananciaprogramable en la banda de paso, ajustando los valores de las resistencias
1R y
2R .
En el dominio de la frecuencia, el circuito enseado en la anterior figura se puederedibujar as:
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Figura No. 65: Filtro pasabajos de primer orden, con ganancia de voltaje en la banda
de paso ajustable, en el dominio de la frecuencia compleja S.
Al simplificar el circuito, se llega a la siguiente red equivalente:
Figura No.66: Circuito simplificado del filtro pasabajos de primer orden en el dominiode la frecuencia, con ganancia de voltaje en la banda de paso ajustable. Ntese que el
circuito posee la misma topologa de un amplificador inversor.
De la anterior figura se nota algo interesante: El circuito simplificado en el dominio deSposee la misma estructura de un amplificador inversor, por lo tanto la ganancia devoltaje del filtro se puede evaluar as:
)(
)(
SZ
SZ
V
VSH
A
B
S
OUT
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Donde1
RZZSA
y1
1
2
2
2
CSR
RR
SCZ
B
Por lo tanto, la ganancia de voltaje del filtro es igual a:
CRS
CRRZ
R
SZ
SZ
V
VSH S
A
B
S
OUT
2
21
2
1
1
)(
)(
Ntese que la ganancia de voltaje del filtro es de la formaFILTROC
FILTROCVMAX
S
A
SH
)( ,
por lo tanto, por comparacin:
FILTROC
FILTROCVMAXS
S
A
CRS
CRRZ
R
SH
2
21
2
1
1
Al resolver la anterior identidad, se obtiene que:
CRFILTROC
2
1 y
1
2
RZ
RA
S
VMAXImportante!
Ntese que la ganancia de voltaje en la banda de paso,VMAX
A , dependiendo del valor
de2
R ,1
R yS
Z ; puede superior a la unidad.
La impedancia de entrada de este filtro pasabajos es igual a la de un amplificadorinversor:
1RZ
IN , y no depende de la frecuencia (Deseable).
Ejemplo de Aplicacin.
Disear un filtro activo pasabajos de primer orden que sirva para limitar el espectro dela voz humana, capturada mediante un micrfono que posee una impedancia interna
equivalente de K2.2 y que produce un voltaje pico de V2.0 cuando se le
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inyecta la presin mxima, entre los Hz20 y los KHz4 , que posea unaimpedancia de entrada de K2.2 en el intervalo de frecuencias de la sealinyectada por el micrfono y una ganancia de voltaje en la banda de paso igual a
10 . La carga a conectar en la salida ser una resistencia de K1 .
Solucin:
El espectro de la potencia sonora de la voz humana est entre los Hz20 hasta los KHz20 , pero la mxima concentracin de potencia est en el intervalo de los Hz20 hasta los KHz4 , tal como se ilustra en la siguiente figura:
Figura No. 67: Espectro de la voz humana. Ntese que la potencia acstica promedio
est distribuida entre los Hz20 hasta los KHz20 , pero el intervalo donde estconcentrada la mxima potencia acstica (informacin asociada a la voz) es entre los
Hz20 hasta los KHz4 .
En telefona, por cuestiones tcnicas (Teorema del muestreo y ancho de banda), no setrabaja con todo el espectro completo de la voz humana, si no que slo se emplea la
porcin donde se concentra toda la energa acstica, es decir entre los Hz20 hasta los KHz4 , y para tal fin, la voz humana debe ser convertida a electricidadmediante un micrfono y luego la seal elctrica proveniente del micrfono debe serfiltrada con un filtro pasabajos de primer orden con un ancho de banda o frecuencia de
cruce de KHz4 , con la finalidad de atenuar o eliminar las lneas espectrales de lavoz humana que estn por encima de los KHz4 .
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Uno de los requisitos exigidos en el diseo, es que la impedancia de entrada sea igual
a K2.2 para todo el intervalo de frecuencias de la voz humana sin filtrar. El nicofiltro pasabajos de primer orden que mantiene su impedancia de entrada constante yfinita ante la frecuencia es el que se ensea en la figura nmero 65.
La impedancia de entrada del filtro para el intervalo de frecuencias de la voz humana
( Hz20 hasta los KHz4 ), segn los requerimientos solicitados debe ser igual a KZ
IN 2.2 . Cmo la impedancia de entrada del filtro es igual a
1RZ
IN ,
entonces la resistencia1
R debe ser igual a K2.2 .
La ganancia de voltaje en la banda de paso del filtro pasabajos seleccionado es regidapor la siguiente expresin:
1
2
RZRAS
VMAX(1)
Donde:
SZ es la impedancia de salida de la fuente de seal a filtrar, que en este caso es la
impedancia de salida equivalente del micrfono, que en el ejemplo es igual a
KZS
2.2 ; la ganancia de voltaje en la banda de paso requerida,VMAX
A , es
igual a 10 y el valor de la resistencia1
R es de K2.2 .
Al reemplazar estos valores en la expresin (1), se obtiene la siguiente ecuacin:
2200220010 2
R
Por lo tanto, al despejar2
R , se obtiene que debe ser igual a
KR 44
2
Por ltimo, calculemos el valor del capacitor C, que garantice el ancho de banda de
KHz4 requerido:
Para el filtro bajo diseo, se cumple que
Seg
Rad
CRFILTROC
2
1 , o de forma equivalente Hz
CRF
FILTROC
22
1
.
Por lo tanto:
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KHzCR
42
1
2
(2)
Y como KR 442
, entonces al despejar C de la expresin (2) se obtiene que:
pFC 28.904 .
A continuacin se ensean los pasos para obtener la grfica de la magnitud de laganancia de voltaje en funcin de la frecuencia del filtro diseado, a partir de lasimulacin en el SPICE usando la herramienta AC ANALYSIS, que sirve para obtenerlas grficas de magnitud y fase de un circuito lineal alimentado con una fuentesenosoidal de frecuencia ajustable, en el dominio de la frecuencia:
PASOS PARA SIMULAR EL FILTRO DISEADO EN EL EJEMPLO.
El primer paso, consiste en dibujar en la herramienta Schematics del SPICE, el circuitoa simular con los valores correctos de los dispositivos. Como se desea obtener lagrfica de la magnitud de la ganancia de voltaje en funcin de la frecuencia del filtrodiseado, es necesario agregar marcadores de voltaje, para medir el voltaje deentrada y de salida del circuito:
Figura No. 68: Archivo en Schematics del filtro pasabajos diseado en el ejemplo.
Despus de dibujar el circuito, y luego de guardarlo, es necesario ir al men principalde la herramienta Schematics del SPICE, seleccionar el cono ANALYSIS, y luegoescoger la opcin Analysis Setup. Seleccionar el cajetn de habilitacin (Enabled) deltipo de anlisis circuital AC SWEEP (Respuesta en frecuencia de un circuito lineal):
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Figura No. 69: Cajetn de configuracin del tipo de anlisis circuital con el que sesimular el circuito.
Oprimir luego la barra AC-SWEEP, para ajustar las frecuencias de inicio y de paradade la grfica, y el nmero de puntos de la misma:
Figura No. 70: Cajetn de configuracin del anlisis AC-SWEEP.
Para la simulacin del circuito del ejemplo, la frecuencia de inicio (Start Freq) de la
grfica se ajusta en el valor ms bajo que puede generar la voz humana, Hz20 (esta frecuencia debera ser ajustada lo ms cercana a cero, mas no se puede ajustar
en 0 , porque podra provocar resultados de magnitud infinito) y la frecuencia definalizacin (End Freq) en el valor ms alto de las frecuencias que puede generar el
ser humano, KHz20 .El nmero de puntos debe ser tal que la unin de los puntos de la grfica genere unacurva suave y no poligonal. Se recomienda por ejemplo 10000 puntos, ms de estacantidad podra hacer que la velocidad de clculo del computador disminuyese,volviendo ms lento el clculo de los resultados de la simulacin. Muy pocos puntos(menos de 10000) no garantiza que la grfica obtenida sea similar a la que aparecerasobre el circuito.
Luego de configurar el tipo de anlisis circuital, se procede a correr la simulacin, y
aparecen las grficas de las magnitudes del voltaje de la salida (en rojo) y del voltaje
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de la fuente de AC senosoidal aplicada en la entrada del circuito (en verde), en funcinde la frecuencia:
Figura No. 71: Grficas generadas por el SPICE de la magnitud del voltaje de salida(en rojo llamada V(R3:2)) y de la magnitud del voltaje de entrada (en verde llamada
V(V1:+)), en funcin de la frecuencia.
Luego, en el men TRACE de la ventana donde aparecen las grficas, se seleccionala opcin ADD TRACE, y se abre la siguiente ventana de dialogo:
Figura No. 72: Cajetn de la funcin ADD TRACE para ejecutar operaciones con lasgrficas obtenidas por el SPICE durante la simulacin del circuito.
En la barra inferior del cajetn, aparece una barra llamada TRACE EXPRESSION, endicha ubicacin, se procede a calcular el cociente de la magnitud del voltaje de salidaentre la magnitud del voltaje de entrada:
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Figura No. 73: Parte inferior del cajetn de la funcin ADD TRACE, indicando laoperacin que se ejecutar: La divisin de la magnitud del voltaje de salida entre la
magnitud del voltaje de entrada.
Al oprimir OK, aparece la grfica de la ganancia de voltaje del filtro:
Figura No. 74: Grfica de la magnitud de la ganancia de voltaje del filtro en funcin dela frecuencia. Ntese que la ganancia en la banda de paso es igual a 10 , y a la
frecuencia de KHz4 la ganancia es igual a2
10.
De la figura No. 74 se nota que el filtro diseado es del tipo pasabajos, y que laganancia en la banda de paso est entre el %70 y el %100 de la ganancia devoltaje mxima que vale 10 . La frecuencia de cruce efectivamente es de KHz4 ,ya que en dicho valor, la ganancia de voltaje es aproximadamente el %70 de la
ganancia de voltaje mxima, o lo que es lo mismo, la ganancia tienen una magnitud
igual a2
10.
5.2 FILTRO PASA ALTOS DE PRIMER ORDEN
La topologa circuital de un filtro pasa altos de primer orden se ensea en la figura No.75.
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Figura No. 75: Diagrama circuital de un filtro pasa altos de primer orden.
El filtro pasa altos enseado en la figura No. 75 est compuesto por dos (2) bloques
funcionales: Un seguidor de voltaje para incrementar la impedancia de entrada, y unfiltro pasa altos de primer orden, tal como se ensea en la figura No. 76.
Figura No. 76: Bloques funcionales que componen al filtro pasa altos de primer orden.
El primer bloque, el seguidor de voltaje, slo tiene la funcin de ofrecer una altaimpedancia en la entrada independiente de la frecuencia para evitar que la impedanciade salida de la fuente de voltaje de seal decremente el voltaje aplicado en la entrada(IN) , y para garantizar que el voltaje en la entrada del filtro pasa altos (Bloque 2) sea
el de la fuente )(tvS . Por lo tanto, el circuito se puede ser redibujado en el dominio dela frecuencia compleja Stal como se ilustra en la figura No. 77.
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Figura No. 77: Circuito equivalente del filtro pasa altos: No es necesario dibujar el
seguidor de voltaje, ya que este slo sirve para garantizar que el voltaje en la entradade la etapa Filtro Pasa altos sea el mismo de la fuente )(SV
S. Ntese que el
capacitor y la resistencia estn en serie debido a que la corriente por la terminal no
inversora es igual a A0 .
De la figura No. 77 es elemental verificar, que el filtro pasa altos (Etapa 2) estconformado por una red RC y un seguidor de voltajes. Ya sabemos que el voltaje desalida de un seguidor de voltaje es el mismo voltaje aplicado en la terminal noinversora, por lo tanto:
)()( SVSVOUT
De la figura anterior, es fcil notar que el voltaje de la terminal no inversora respecto atierra es el mismo voltaje de la resistencia R respecto a tierra, por lo tanto, el voltajede salida es igual a:
)()( SVSVROUT
Como la impedancia de entrada del seguidor de voltaje es infinita, entonces la
corriente que fluye por la terminal no inversora es igual a A0 , lo cual implica que laresistencia R y el capacitor Cestn en serie con la fuente de voltaje )(SV
S; por lo
tanto el voltaje de la resistencia, )(SVR
, se puede calcular a partir de la aplicacin de
un divisor de voltaje:
)(1
)( SV
SCR
RSV
SR
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Al simplificar la anterior expresin, se obtiene que el voltaje de la resistencia, que es elmismo voltaje de la salida con respecto a tierra, es igual a:
)(1)( SV
RCS
S
SV SOUT
Por lo tanto, la ganancia de voltaje del filtro, )(
)(
SV
SVSH
S
OUT es igual a:
RC
S
SSH
1
Ntese de la expresin que rige la ganancia de voltaje del filtro, )(SH , que posee lamisma forma funcional de la ganancia de voltaje de un amplificador con respuesta
frecuencial pasa altos de primer orden,
C
V
S
SSA
)( , por lo tanto el filtro bajo
estudio es un filtro con respuesta frecuencial tipo pasa altos (el polinomiocaracterstico de la ganancia de voltaje del filtro es de primer orden, y posee un solo
cero igual a 01Z , o lo que es lo mismo, el numerador es de la forma KS).
Al comparar la expresin que rige la ganancia de voltaje del filtro pasa altos con la dela ganancia de voltaje de un amplificador con respuesta frecuencial pasa altas deprimer orden:
CS
S
RCS
S
1
Al resolver la identidad, se obtiene que la frecuencia de cruce del filtro pasa altos bajo
estudio es igual a
Seg
Rad
RCFCC
12 (Importante).
La grfica de la magnitud de la ganancia de voltaje del filtro pasa altos de primer ordenbajo estudio, se ensea en la figura No. 78.
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Figura No. 78: Grfica de la magnitud de la ganancia de voltaje del filtro pasa altos deprimer orden bajo estudio. Ntese que la ganancia de voltaje mxima es igual a 1y la
frecuencia de cruce es igual a
Seg
Rad
RCF
CC
12 .
Ejemplo de aplicacin.
Los micrfonos de multimedia para computadores personales, estn fabricados a partirde un transistor de tecnologa MOS (Metal Oxide Semiconductor), que convierte las
ondas sonoras en una seal elctrica: El transistor usado en el micrfono, se comportacomo una vlvula elctrica, es decir como un dispositivo que es capaz de controlar lacantidad de energa elctrica aplicada sobre una carga (dicha energa proviene deuna fuente de voltaje externa), a partir de una seal de baja potencia que en este casoson las ondas de presin sonora aplicadas en una terminal de control del transistor.Entre mayor sea la presin de la onda sonora captada por el micrfono, ms energaelctrica se le aplica a la carga conectada a la salida del micrfono.
Si a un micrfono de multimedia no se le aplica energa elctrica externa a partir de uncircuito de polarizacin, el transistor no podr convertir la energa sonora en energaelctrica, por tal motivo los fabricantes de las tarjetas de audio de los PCs incorporanen sus circuitos impresos las redes de polarizacin de DC de los micrfonos.
En la siguiente figura se ilustra el circuito necesario para polarizar un micrfono demultimedia.
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Figura No. 79: Apariencia de un micrfono-speaker de multimedia, y circuito depolarizacin del micrfono.
El voltaje de salida del micrfono es de la forma )()( tKpVtvSONORADCOUT
,
dondeDC
V es un voltaje constante producido por la red de polarizacin de DC, Kes
la sensibilidad del micrfono en
Pa
Voltiosy )(tp
SONORAes el cambio de la presin
atmosfrica ejercida sobre la superficie del micrfono por la onda sonora.
En ausencia de la onda sonora ( 0)( tpSONORA
), el voltaje de salida del micrfono es
igual aDCOUT
Vtv )( , es decir, el voltaje de salida del micrfono es de DC yconstante, tal como se ilustra en la figura No. 80. En presencia de la onda sonora, elvoltaje de salida es la combinacin (suma) del voltaje de DC constante (Componentede DC) ms el voltaje de AC producido por la onda de presin sonora,
)(tpSONORA
(Componente de AC), tal como se ilustra en la figura No. 81.
Figura No. 80: Voltaje de salida del micrfono en ausencia de sonidos.
Ntese que el voltaje de salida es de DC y constante y es igual a V6 .
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Figura No. 81: Grfica del voltaje de salida del micrfono en presencia de ondassonoras en su superficie. Ntese que el voltaje de salida es una componente de AC
del orden de algunas centenas de mV cabalgando sobre la componente de DCde V6 .
Si el voltaje de salida del micrfono multimedia se inyecta en la entrada de unamplificador inversor o no inversor, lo ms seguro es que debido al tamao de la
componente de DC del micrfono ( V6 para el ejemplo) el amplificador entre en lazona de saturacin, distorsionando as el voltaje amplificado producido por elmicrfono, lo cual es totalmente indeseable. Por tal motivo es necesario eliminar lacomponente de DC del voltaje de salida del micrfono, para solo inyectar lacomponente de AC a la entrada del amplificador, y as disminuir la probabilidad que el
amplificador se satur, ya que la componente de AC en estos micrfonos demultimedia posee un voltaje pico mximo de tpicamente V2.0 y quizs elamplificador operacional trabaje en la zona lineal y no se distorsione ostensiblementela seal de salida del amplificador.
Para tal fin se recomienda usar un filtro pasa altos, que bloquee la lnea espectral de
Hz0 del voltaje de salida del micrfono (Componente de DC del voltaje de salida) ypermita pasar nicamente las lneas espectrales de la componente de AC, que son lasmismas lneas espectrales asociadas a la informacin del sonido.
Los micrfonos de multimedia estn en la capacidad de recoger sonidos con
frecuencias fundamentales entre los Hz0 hasta los KHz20 , si la seal sonorasupera la frecuencia fundamental de KHz20 , el micrfono se comporta como unfiltro pasabajos, y empieza a atenuar el voltaje de salida a medida que se aumentecada vez ms la frecuencia.
Por lo tanto, las tarjetas de audio poseen un filtro pasa altos con una frecuencia de
cruce igual a HzFC 20 , para evitar que las seales sonoras con frecuencias
fundamentales inferiores a Hz20 capturadas por el micrfono, sean amplificadaspor el amplificador de la tarjeta, ya que el usuario final es el ser humano, que slo
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puede escuchar sonidos entre los Hz20 hasta los KHz20 , y adems lasseales de muy bajas frecuencias amplificadas (menores a Hz20 ) , hacen que laimpedancia de los speaker sean tan bajas que estos se comporten como corto-
circuitos, y las altas corrientes de salida generadas por dicho corto puedan provocardaos en los speaker y a la salida del amplificador de audio.
Por lo tanto, la solucin propuesta para eliminar la componente de DC y las lneas
espectrales inferiores a los Hz20 del voltaje de salida del micrfono, se ensea enla figura No. 82.
Figura No. 82: Micrfono de Multimedia conectado a la entrada del filtro pasa altos,con la finalidad de slo permitir el paso de las seales de voltaje con lneas
espectrales superiores a los Hz20 . El seguidor de voltaje no se puso ya que puedesaturarse con la componente de DC del micrfono.
El circuito elctrico equivalente de la entrada de la tarjeta de audio del PC con elmicrfono incluido es enseado en la figura No. 83.
Figura No. 83: Circuito equivalente del micrfono ms el filtro pasa altos, donde setiene en cuenta la impedancia de salida del micrfono.
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Calculemos el valor de R y Cpara garantizar que la frecuencia de cruce sea de
Hz20 :
El voltaje de salida del filtro es el voltaje de la resistenciaR
, que se puede calcularaplicando divisor resistivo:
)(1
)()( SV
CRS
SR
R
SVSVS
EQ
EQ
ROUT
Por comparacin con la expresin que rige la ganancia de voltaje de un amplificadorcon respuesta frecuencial tipo pasa altos de primer orden, es elemental verificar que la
frecuencia de cruce del filtro pasa altos del ejemplo es igual aCR
FEQ
CC
12 ,
dondeSEQ
ZRR es la resistencia serie equivalente conformada por la
impedancia de salida del micrfono, que vale tpicamente 2200 , y la resistenciadel filtro; y la ganancia de voltaje mximo
VMAXA est regida por la expresin
EQ
VMAX R
R
A .
En particular, se debe cumplir que:
Hz
ZRCRF
SEQ
C 202
1
2
1
O de forma equivalente
RC
2200401
La ganancia de voltaje mxima del filtro pasa altos del ejemplo es igual a:
RR
RZ
RA
S
VMAX
2200
Si la resistencia R del filtro se selecciona inferior a la impedancia de salida del
micrfono, entonces la ganancia de voltaje mxima ser muy inferior a 1; por lo tanto
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se recomienda escoger una resistenciaS
ZR para que la ganancia de voltajemxima se aproxime ms a la unidad.
Si elegimos arbitrariamente la resistencia del filtro igual a
220010KR , entonces el capacitor C ser igual a:
FC 65.0
Y en dicho caso la ganancia de voltaje mxima ser igual a
83.012200
10000
VMAXA
El capacitor a utilizar debe ser no polarizado, ya que los capacitores electrolticos
varan su capacitancia segn la orientacin del campo elctrico. En la figura No. 84 seilustra un posible comportamiento de un capacitor polarizado con el voltaje aplicadosobre este. Ntese que el capacitor solo muestra su valor nominal si se le aplica unvoltaje positivo con la polaridad indicada por el fabricante.
Figura No. 84: Posible comportamiento de la capacitancia de un condensadorelectroltico en funcin del voltaje aplicado sobre l. Si se le aplica un voltaje de
polaridad correcta, la capacitancia permanece constante, de lo contrario, entonces lacapacitancia cambiar de valor segn el voltaje aplicado.
Si se utiliza un capacitor electroltico, sea de tantalio o cilndrico con electrolito, lascorrientes de AC generadas por el micrfono, provocarn que la capacitancia del
condensador comience a cambiar de valor, introduciendo una molesta deformacin delvoltaje de salida del filtro. Por tal fin se recomienda usar condensadores noelectrolticos de Polister, Cermicos o de otros materiales; ya que la capacitancia deestos no cambia de valor con las corriente de AC en su banda de frecuencias detrabajo y garantizan un comportamiento casi ciento por ciento lineal, sin deformacionesen el voltaje de salida del circuito.
En caso que no se posean condensadores no polarizados para el filtro, se puedenusar dos capacitores electrolticos en Contrapolaridad, para emular un capacitor nopolarizado, tal como se ensea en la figura nmero 85.
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Figura No. 85: Ejemplo de conexin de dos condensadores electrolticos encontrapolaridad, para convertirlo en un condensador no polarizado.
El circuito a simular en el SPICE es el siguiente:
Figura No. 86: Esquema en SPICE del Filtro pasa altos del ejemplo.
La grfica de la magnitud de la ganancia de voltaje del filtro obtenida mediante elSPICE se ilustra en la figura No. 87.
Figura No. 87: Grfica de la magnitud de la ganancia de voltaje del filtro pasa altos deprimer orden diseado. Ntese que la mxima magnitud de la ganancia de voltaje es
82.0 y a la frecuencia de cruce solicitada, HzFC 20 , la magnitud de la
ganancia de voltaje es 57.0
2
82.0 , y en la simulacin da 58.0 .
-
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187
5.3 FILTROS ACTIVOS DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR.
Una serie de parmetros de filtros, muy importantes a tener en cuenta en el diseo deestos, son:
5.3PP
F 2 : Frecuencia final de la banda de paso.
5.4SS
F 2 : Frecuencia de Inicio de la banda de rechazo.
5.5P
: Atenuacin en la banda de paso. Este valor de la magnitud de la ganancia de
voltaje aparece cuandoP
.
5.6S
: Atenuacin en la banda de rechazo. Este valor de la magnitud de la ganancia
de voltaje del filtro aparece cuandoS
.5.7 N : Es el orden del polinomio caracterstico de la ganancia de voltaje del filtro.
5.8CC
F 2 : Es la frecuencia de cruce del filtro. Si la seal de entrada poseeesta frecuencia, entonces la magnitud de la ganancia de voltaje es su valor
mximo divido entre 2 (muy clsico).
En la siguiente figura, se ilustra la grfica de la magnitud de la ganancia de un filtropasabajos enseando los parmetros enseados.
Figura No. 88: Magnitud de la ganancia de voltaje de un filtro pasabajos, enseandolas bandas de paso, transicin y rechazo, y las atenuaciones con sus respectivas
frecuencias.
De forma ms general, la banda de paso se define como el intervalo de frecuencias
definido entreP
0 donde la magnitud de la ganancia de voltaje del filtro est
entre 1)1( VP A . Si la frecuencia de la seal de entrada est en el intervalo
de la banda de paso, el filtro permite el paso de la seal hacia la salida conatenuaciones mnimas.
-
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188
La banda de transicin se define como el intervalo de frecuencias definido entre
SP , donde la magnitud de la ganancia de voltaje del filtro est entre
SVP A )1( . Si la frecuencia de la seal de voltaje de entrada aplicada en
el filtro est en este intervalo, entonces el filtro rechaza parcialmente el voltaje aplicadoen la entrada.
El ancho de la banda de transicin es inversamente proporcional al orden delfiltro: Si N entonces el ancho de la banda de transicin
0 PS
. En la siguiente figura se ilustra el efecto del orden Ndel filtro sobreel ancho de la banda de transicin.
En un filtro ideal, el ancho de la banda de transicin debera ser igual a 0 ,esdecir
SP , con la finalidad de rechazar de forma absoluta los voltajes
cuyas frecuencias estn por fuera de la banda de paso.
Figura No. 89: Efecto del orden Nsobre el ancho de banda de transicin.
La banda de rechazo se define como el intervalo de frecuencias definido entre
S
, donde la magnitud de la ganancia de voltaje del filtro es inferior a la
atenuacin en la banda de rechazo,S
.Si la frecuencia del voltaje aplicado en el filtro est en esta banda, el filtro debeatenuar casi en su totalidad esta seal y no permitir que aparezca en la salida dichovoltaje.
En los filtros pasabajos y pasa altos de primer orden, es imposible ajustar laatenuacin en la banda de paso y de rechazo, y el ancho de la banda detransicin; lo nico que se puede ajustar en dichos filtros, es la frecuencia final
de la banda de paso, que es la popular frecuencia de cruceC
F , y la atenuacin
en la banda de paso en dicha frecuencia siempre ser 3.0P
, que equivale aafirmar que la magnitud de la ganancia de voltaje decae en un factor de
3.017.02
1
2VMAX
A, si 1
VMAX
A .
-
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189
Si se desea ajustar arbitrariamente a partir de un diseo, el ancho de la banda de
transicin,P
,S
,P
yS
; es necesario utilizar filtros de orden 2N .
A continuacin se proceder a estudiar algunos circuitos con amplificadores
operacionales, que sirven para implementar algunos filtros pasabajos, pasa altos,pasabandas de orden 2N , y luego se ensear como se disean filtros de orden
2N usando la tcnica de diseo de filtros de Butterworth.
5.3.1 FILTRO PASABAJOS DE SEGUNDO ORDEN IMPLEMENTADO CON UNACLULA PASABAJOS SALLEN KEY.
Todo filtro pasabajos de segundo orden posee una funcin de transferencia (funcinque rige su ganancia de voltaje) de la forma
2222
2
22)(
CCCC
VMAXC
SS
K
SS
ASH
Donde
Seg
RadF
CC 2 es la frecuencia de cruce del filtro pasabajos.
Existe un circuito implementado con amplificadores operacionales, que recibe elnombre de Clula de Segundo Orden Sallen - Key Pasabajos, que sirve paraimplementar filtros pasabajos de orden 2.
La topologa de una Clula Sallen - Key de Segundo Orden Pasabajos se ensea en lafigura No. 90.
Figura No. 90: Clula SallenKey de segundo orden pasabajos.
Determinemos la expresin que rige la funcin de transferencia del filtro
)(
)()(
SV
SVSH
S
OUT de la clula Sallen Key de segundo orden pasabajos.
-
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190
Para determinar el voltaje de salida, )(SVOUT
, del circuito en trminos exclusivamente
del voltaje de entrada )(SVS
se utilizar la tcnica de solucin de circuitos de Voltaje
de Nodos en el dominio de la frecuencia compleja.
El primer paso consiste en sealar los nodos del circuito por donde se derivan lascorrientes, y los nodos asociados a las terminales inversora y no inversora delamplificador operacional con sus respectivos potenciales asignados, como lascorrientes que fluyen por los dispositivos. Este paso se ilustra en la figura No. 91.
Figura No. 91: Resolucin del filtro pasabajos de segundo orden implementado conuna clula SallenKey: Nodos, Corrientes y potenciales de cada nodo.
La corriente4I que fluye por la resistencia 1R es la misma corriente que fluye por la
resistencia2
R , debido a que la corriente que fluye por la terminal inversora del
amplificador operacional es igual a A0 . La corriente2I que fluye por la resistencia
R , es la misma corriente que fluye por el capacitor Cdebido a que la corriente por la
terminal no inversora es igual a A0 .
El segundo paso consiste en determinar las expresiones que rigen a las corrientes delcircuito en trminos de los potenciales asignados a cada nodo.
Al aplicar LCK en los nodos sealados donde efectivamente se parten las corrientesen el circuito de la figura No. 91, se obtienen las siguientes ecuaciones:
1. 0321
III
2. 043
OUTO
IIII
La ecuacin nmero 2 no es til por el momento, debido a que la corriente0I no se
puede escribir en trminos de los potenciales de los nodos. Por lo tanto es necesariobuscar una expresin alternativa que sirva para reemplazar dicha ecuacin.
-
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191
La expresin alternativa se puede obtener del principio de tierra virtual:
El voltaje de la terminal inversora con respecto a tierra, es el mismo voltaje de la
terminal no inversora respecto a tierra:32
VV .Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que se posee es:
1. 0321
III
2. 043
OUTO
IIII (NO SE USA)
3.32
VV
Donde:
A. R
VV
I S 1
1
B.2
21
2 SCVR
VVI
C. OUT
VVSCI 13
D.
2
3
1
3
4
0
R
VV
R
VI OUT
E.L
OUT
OUT
R
VI
Al reemplazar las expresiones que rigen a las corrientes en la expresin 1, se obtienela siguiente ecuacin:
1. 01
211
OUT
S VVSCR
VV
R
VV
1. 0121
21
V
RVSCVSC
RV
R OUTS
El trabajo que hay que hacer a partir de la expresin obtenida en 1, es que esta slo
est en trminos deS
V yOUT
V y no de1V y
2V , para as poder calcular
)(
)()(
SV
SVSH
S
OUT .
-
7/24/2019 6. Filtros Activos 11
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192
Una posible estrategia es la siguiente: De la ecuacin B se puede poner1V en
trminos de2V , y como
32 VV (por el principio de tierra virtual) entonces
1V se deja
reescribir de forma automtica en trminos de3V . De la ecuacin D,
3V se deja
escribir en funcin exclusiva del potencialOUT
V ; por lo tanto el potencial1V se puede
escribir exclusivamente en trminos del voltaje de salidaOUT
V .
Por el principio de tierra virtual,32
VV , y como el potencial3V se deja escribir en
funcin exclusiva del potencialOUT
V a partir de la expresin D, entonces el potencial
2V se puede poner en funcin exclusivamente de
OUTV .
Al reemplazar1V y
2V en trminos exclusivos de
OUTV en la expresin 1, se puede
despejar perfectamenteOUT
V en trminos deS
V y obtener)(
)()(
SV
SVSH
S
OUT .
Pongamos en prctica la estrategia propuesta:
De B, al despejar1V en trminos de
2V , se obtiene que
4. 21
1VRCSV
Como32
VV , entonces la expresin 4 se puede reescribir as
5. 31
1VRCSV
De la expresin D, se obtiene que
6. OUT
VRR
RV
21
1
3
Por lo tanto la expresin 5 puede rescribirse en trminos de OUTV :
7.
OUTV
RR
RCSRV
21
1
1
1
(Se cumpli el objetivo de escribir
1V en trminos de
OUTV ).
-
7/24/2019 6. Filtros Activos 11
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193
De nuevo, por tierra virtual32
VV y de la expresin 6, OUT
VRR
RV
21
1
3
,
entonces2
V se puede escribir en trminos deOUT
V as:
8. OUT
VRR
RV
21
1
2
.
Al reemplazar las expresiones 7 y 8 en la expresin 1, se llega a la siguiente ecuacin:
1.
0112
21
1
21
1
OUTOUTOUT
SV
RR
R
RSCVV
RR
RCSR
R
RCS
R
V
Al despejar OUTV se obtiene el siguiente resultado:
SOUT V
CRS
RCR
RRS
CRR
RR
SV
22
1
212
22
1
21
12)(
Por lo tanto la funcin de transferencia del filtro pasabajos de segundo ordenimplementado con una clula Sallen Key pasabajos de orden 2 est dada por lasiguiente expresin:
22
1
212
22
1
21
12)(
CRS
RCR
RRS
CRR
RR
SH IMPORTANTE!
Determinemos la expresin que rige a la frecuencia de cruce del filtro.
Al comparar la expresin que rige al filtro pasabajos Sallen Key con la expresincannica que rige a todos los filtros pasabajos de segundo orden, se llega a lasiguiente identidad:
-
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194
22
22
1
212
22
1
21
212 CCSS
K
CRS
RCRRRS
CRR
RR
Para que la identidad se cumpla, es necesario garantizar que:
RCR
RRC
1
212
2 (9) y
22
2 1
CRC
(10)
De (10), la expresin que rige a la frecuencia de cruce est dada por:
RCF
CC
12
RCF
C
2
1 (11) IMPORTANTE PARA EL DISEO
DE FILTROS PASABAJOS DE SEGUNDO ORDEN CON CLULAS SALLENKEY.
Reemplazando (11) en (9), se llega a la siguiente expresin:
12 22 RR (12) IMPORTANTE EN EL DISEO DE FILTROS PASABAJOS
DE SEGUNDO ORDEN CON CLULAS SALLENKEY.La impedancia de entrada del filtro pasabajos de segundo orden, se puede calcular a
travs de la definicin clsica:
)(
)(
SI
SVZ
IN
IN
IN
Del circuito, es elemental verificar queSIN
VV (Ya que la fuente de voltaje
conectada en la entrada del filtro no se le puso su impedancia internaS
Z ) y la
corriente de entrada es igual a )()(1 SISI
IN . Por lo tanto:
)(
)(
1 SI
SVZ S
IN
De la expresin A y de la (7), se obtiene que la corriente1I est dada por la siguiente
expresin:
R
VRR
RCSRV
I
OUTS
21
1
1
1
-
7/24/2019 6. Filtros Activos 11
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195
PeroOUT
V se puede calcular de forma gil usando la expresinSOUT
VSHV )( ,
por lo tanto la expresin que rige a1I se puede reescribir as:
S
SS
VR
RR
SHRCSR
R
VSHRR
RCSRV
I
21
1
21
1
1
)()1(1)(
1
Por lo tanto, la impedancia de entrada del filtro es igual a:
21
11 )()1(
1)(
)(
RR
SHRCSR
R
SI
SVZ S
IN
Donde
22
1
212
22
1
21
12)(
CRS
RCR
RRS
CRR
RR
SH
Ntese que la impedancia de entrada depende de la frecuencia. Si se desea mitigar
este molesto comportamiento deIN
Z , se recomienda conectar un seguidor de voltajeen la entrada del filtro.
Por ltimo, dejando atrs las expresiones que rige al filtro pasabajos de segundo ordenimplementado con una clula SallenKey, es importante garantizar que el circuito sea
siempre estable, para tal fin es importante garantizar que los polos de )(SH estnen el semiplano izquierdo del plano complejo, o lo que es lo mismo, que las partesreales de todos los polos sea menor que cero.
El polinomio caracterstico del circuito est regido por la siguiente expresin:
22
1
212 12
)(CR
SRCR
RRSSp
Recordemos que los polos son las races del polinomio caracterstico. Mediante lafrmula general de las races de un polinomio cuadrtico, se obtiene que los dos (2)
polos de )(SH estn regidos por las siguientes expresiones:
-
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22
2
1
21
1
21
1
1
2
2
2
2
CRRCR
RR
RCR
RRP
IMPORTANTE!
22
2
1
21
1
21
1
1
2
2
2
2
CRRCR
RR
RCR
RRP
IMPORTANTE!
Para que el circuito no se inestabilice, es necesario garantizar que 01 Pe y
02 Pe .
Si los polos son de la forma jBA con 0B , entonces las partes reales de lospolos estaran dadas por la siguiente expresin:
Para garantizar que 012 Pe y el filtro sea estable, es necesario cumplir que
22
1
RR IMPORTANTE!
Veamos un pequeo ejemplo de aplicacin del filtro pasabajos estudiado.
Ejemplo de Aplicacin.
Disear un filtro pasabajos de segundo orden, con una frecuencia de cruce de
Hz100 .
Solucin:
De la expresin (11), la frecuencia de cruce del filtro pasabajos de segundo orden
implementado con la clula SallenKey est dada porRC
FC
2
1 .
En particular para el diseo propuesto, tiene que cumplirse que:
RC2
1100
Si seleccionamos FC 1.0 , entonces la resistencia R ser igual a:
RCR
RRPe
1
21
12
2
2
-
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KR 9.15101.01002
16
Calculemos 1R y 2R :
De la expresin (12), para que el filtro funcione con las especificaciones del diseo
planteado, es necesario garantizar que12
22 RR .
Si selecciona KR 101
, entonces la resistencia2
R ser igual a:
KR 85.51022 42
.
Hemos calculado todos los valores de los dispositivos que conforman el filtro.
En la figura No. 92 se ensea el circuito diseado en la herramienta Schematics delSPICE.
Figura No. 92: Circuito diseado en la herramienta Schematics del Spice.
La simulacin en Spice del circuito, arroja la siguiente grfica de la magnitud de laganancia de voltaje del filtro:
-
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198
Figura No. 93: Grfica de la magnitud de la ganancia de voltaje del filtro diseado.
Ntese que la mxima ganancia de voltaje es igual a 5849.1VMAX
A y a la
frecuencia de Hz100 la magnitud de la ganancia es igual a 11.1 que es
aproximadamente igual a 2VMAX
A
.
5.3.2 FILTRO PASA ALTOS DE SEGUNDO ORDEN IMPLEMENTADO CON UNACLULA PASA ALTOS SALLENKEY.
Todo filtro pasa altos de segundo orden posee una funcin de transferencia (funcinque rige su ganancia de voltaje) de la forma
22
2
2)(
CCSS
SSH
Donde
Seg
RadF
CC 2 es la frecuencia de cruce del filtro pasa altos.
Existe un circuito implementado con amplificadores operacionales, que recibe elnombre de Clula de segundo orden Sallen Key pasa altos, que sirve paraimplementar filtros pasa altos de orden 2.
La topologa de una Clula Sallen Key de segundo orden pasa altos se ensea en lafigura No. 94.
-
7/24/2019 6. Filtros Activos 11
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199
Figura No. 94: Clula SallenKey de segundo orden pasa altos.
Determinemos la expresin que rige la funcin de transferencia del filtro
)(
)()(
SV
SVSH
S
OUT de la clula Sallen - Key de segundo orden pasa altos.
Para determinar el voltaje de salida, )(SVOUT
, del circuito en trminos exclusivamente
del voltaje de entrada )(SVS
se utilizar la tcnica de solucin de circuitos de Voltaje
de Nodos en el dominio de la frecuencia compleja.
El primer paso consiste en sealar los nodos del circuito por donde se derivan lascorrientes, y los nodos asociados a las terminales inversora y no inversora del
amplificador operacional con sus respectivos potenciales asignados, como lascorrientes que fluyen por los dispositivos. Este paso se ilustra en la figura No. 95.
Figura No. 95: Resolucin del filtro pasa altos de segundo orden implementado conuna clula SallenKey, por la tcnica de voltaje de nodos: Nodos, Corrientes y
potenciales de cada nodo del circuito.
-
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200
La corriente4I que fluye por la resistencia
1R es la misma corriente que fluye por la
resistencia2
R , debido a que la corriente que fluye por la terminal inversora del
amplificador operacional es igual a A0 . La corriente2I que fluye por la resistencia
R , es la misma corriente que fluye por el capacitor Cdebido a que la corriente por la
terminal no inversora es igual a A0 .
El segundo paso consiste en determinar las expresiones que rigen a las corrientes delcircuito en trminos de los potenciales asignados a cada nodo.
Al aplicar LCK en los nodos sealados donde efectivamente se parten las corrientesen el circuito de la figura No. 95, se obtienen las siguientes ecuaciones:
1. 0321
III
2. 043 OUTO IIII
La ecuacin nmero 2 no es til por el momento, debido a que la corriente0I no se
puede escribir en trminos de los potenciales de los nodos. Por lo tanto es necesariobuscar una expresin alternativa que sirva para reemplazar dicha ecuacin.
La expresin alternativa se puede obtener del principio de tierra virtual:
El voltaje de la terminal inversora con respecto a tierra, es el mismo voltaje de la
terminal no inversora respecto a tierra:32 VV
.
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que se posee es:
3. 0321
III
4. 043
OUTO
IIII (NO SE USA)
5.32
VV (NUEVA ECUACIN PROPUESTA)
Donde:
A. 11 VVSCI S
B. R
VVVSCI 2
212
C.R
VVI OUT
1
3
D.
2
3
1
3
4
0
R
VV
R
VI OUT
-
7/24/2019 6. Filtros Activos 11
38/53
201
E.
L
OUT
OUT
R
VI
Al reemplazar las expresiones que rigen a las corrientes en la expresin 1, se obtienela siguiente ecuacin:
1. 0121
R
VV
R
VVVSC OUT
S
1. 0111
21
V
R
V
R
VSC
R
VSCOUTS
El trabajo que se debe hacer a partir de la expresin obtenida en (1), es que esta slo
est en trminos deS
V yOUT
V y no de1V y
2V , para as poder calcular
)(
)()(
SV
SVSH
S
OUT .
Una posible estrategia para escribir la ecuacin (1) en trminos de los potencialesS
V
yOUTV
es la siguiente:
De la ecuacin B se puede escribir1V en trminos de
2V , y como
32 VV (por el
principio de tierra virtual) entonces1V se deja reescribir de forma automtica en
trminos de3V . De la ecuacin D,
3V se deja escribir en funcin exclusiva del
potencialOUT
V ; por lo tanto el potencial1V se puede escribir exclusivamente en
trminos del voltaje de salidaOUT
V .
De nuevo, por el principio de tierra virtual, 32 VV , y como el potencial 3V se dejaescribir en funcin exclusiva del potencial
OUTV a partir de la expresin D, entonces el
potencial2V se puede poner en funcin exclusivamente de
OUTV .
Al reemplazar1V y
2V en trminos exclusivos de
OUTV en la expresin 1, se puede
despejar perfectamenteOUT
V en trminos deS
V y obtener)(
)()(
SV
SVSH
S
OUT .
Al poner en prctica la estrategia propuesta:
-
7/24/2019 6. Filtros Activos 11
39/53
202
De B, al despejar1V en trminos de
2V , se obtiene que
4. 21 1 VRCS
RCSV
Como32
VV , entonces la expresin 4 se puede reescribir as
5.31
1V
RCS
RCSV
De la expresin D, se obtiene que
6. OUT
VRR
RV
21
1
3
Por lo tanto la expresin 5 puede rescribirse en trminos deOUT
V :
7. OUT
VRCS
RCS
RR
RV
1
21
1
1 (Se cumpli el objetivo de escribir
1V en
trminos deOUTV
).
De nuevo, por tierra virtual32
VV y de la expresin 6, OUT
VRR
RV
21
1
3
,
entonces2
V se puede escribir en trminos deOUT
V as:
8. OUT
VRR
RV
21
1
2
.
Al reemplazar las expresiones 7 y 8 en la expresin 1, se llega a la siguiente ecuacin:
1.
0111
21
1
21
1
OUT
OUT
OUTS V
RR
R
RR
VV
RRRCS
RCSR
R
RCSSCV
Al despejarOUT
V se obtiene el siguiente resultado:
-
7/24/2019 6. Filtros Activos 11
40/53
203
SOUT V
RRCSRRSCRR
SRRCRSV
121
222
1
2
21
22
2)(
Al organizar la expresin anterior:
)(12
1
)(
22
1
212
2
1
2
SV
CRS
RCR
RRS
SR
R
SVSOUT
IMPORTANTE.
Por lo tanto la funcin de transferencia del filtro pasa altos de segundo ordenimplementado con una clula Sallen Key de orden 2 est dada por la siguienteexpresin:
22
1
212
2
1
2
12
1
)(
CRS
RCR
RRS
SR
R
SH
IMPORTANTE!
Determinemos la expresin que rige a la frecuencia de cruce del filtro pasa altos desegundo orden implementado con la clula SallenKey.
Al comparar la expresin que rige al filtro pasa altos del circuito Sallen Key con laexpresin cannica que rige a todos los filtros pasa altos de segundo orden, se llega ala siguiente identidad:
22
2
22
1
212
2
1
2
212
1
CCSS
S
CRS
RCRRRS
SR
R
Para que la identidad se cumpla, es necesario garantizar que:
RCR
RRC
1
212
2 (9) y
22
2 1
CRC
(10)
De (10), la expresin que rige a la frecuencia de cruce est dada por:
-
7/24/2019 6. Filtros Activos 11
41/53
204
RCF
CC
12
RCF
C
2
1 (11) IMPORTANTE PARA EL DISEO
DE FILTROS PASA ALTOS DE SEGUNDO ORDEN CON CLULAS SALLEN KEY.
Reemplazando (11) en (9), se llega a la siguiente expresin:
12 22 RR (12) IMPORTANTE EN EL DISEO DE FILTROS PASA ALTOS
DE SEGUNDO ORDEN CON CLULAS SALLENKEY.La impedancia de entrada del filtro pasa altos de segundo orden, se puede calcular atravs de la definicin clsica de Impedancia de Entrada de un Amplificador Lineal:
)(
)(
SI
SVZ
IN
IN
IN
Del circuito, es elemental verificar queSIN
VV (Ya que la fuente de voltaje est
conectada en la entrada del filtro y no posee su impedancia internaS
Z ) y la corriente
de entrada es igual a )()(1 SISI
IN . Por lo tanto:
)(
)(
1 SI
SVZ S
IN
De la expresin A y de la (7), se obtiene que la corriente1I est dada por la siguiente
expresin:
OUTS V
RRRCS
RCSRVSCI
21
1
1
1
PeroOUT
V se puede calcular de forma gil usando la expresinSOUT
VSHV )( ,
por lo tanto la expresin que rige a1I se puede reescribir as:
SSS
VSHRRRCS
RCSRSCVSH
RRRCS
RCSRVSCI
)(
11)(
1
21
1
21
1
1
Por lo tanto, la impedancia de entrada del filtro es igual a:
-
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205
)(1
1
1
)(
)(
21
11 SH
RRRCS
RCSRSC
SI
SVZ S
IN
Donde
22
1
212
2
1
2
12
1
)(
CRS
RCR
RRS
SR
R
SH
Ntese que la impedancia de entrada depende de la frecuencia. Si se desea atenuar la
dependencia de INZ con la frecuencia, se recomienda conectar un seguidor de voltajeen la entrada del filtro.
Ejemplo de Aplicacin.
Disear un filtro pasa altos de segundo orden, con una frecuencia de cruce de
KHz1 , usando una clula SallenKey de segundo orden.
Solucin:
De la expresin (11), la frecuencia de cruce del filtro pasabajos de segundo orden
implementado con la clula SallenKey est dada porRC
FC
2
1 .
En particular para el diseo propuesto, tiene que cumplirse que:
RC2
11000
Si seleccionamos nFC 47 , entonces la resistencia R ser igual a:
KR 38.3104710002
19
Calculemos1
R y2
R :
De la expresin (12), para que el filtro funcione con las especificaciones del diseo
planteado, es necesario garantizar que12
22 RR .
-
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Si selecciona KR 221
, entonces la resistencia2
R ser igual a:
KR 88.12102222 32
.
Hemos calculado todos los valores de los dispositivos que conforman el filtro pasaaltos implementado con una clula SallenKey.
En la figura No. 96 se ensea el circuito diseado en la herramienta Schematics delSPICE.
Figura No. 97: Filtro pasa altos de segundo orden diseado, dibujado en laherramienta Schematics del Spice.
En la figura No. 98 se ilustra la grfica obtenida mediante el Spice, de la Magnitud dela ganancia de voltaje en funcin de la frecuencia del circuito diseado propuesto en elejemplo.
Figura No. 98: Grfica de la magnitud de la ganancia de voltaje del circuito diseadopropuesto en el ejemplo.
Ntese que efectivamente la respuesta es la de un filtro pasa altos. De la grfica, la
ganancia de voltaje mxima es igual a 58.1VMAX
A , y en la frecuencia de
-
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KHz1 la magnitud de la ganancia de voltaje es igual a 11.1 , que es nada ms ni
nada menos que la ganancia mxima dividida entre 2 :2
58.1
211.1 VMAX
A,
por lo tanto la frecuencia de KHz1 es la frecuencia de cruce del filtro, que es loque se esperaba del diseo.
5.3.3 FILTRO BUTTERWORTH PASABANDAS DE SEGUNDO ORDEN,IMPLEMENTADO CON UNA CLULA SALLENKEY PASABANDAS.
Todo filtro pasabandas de segundo orden posee una funcin de transferencia (funcinque rige su ganancia de voltaje) de la forma
2
0
2)(
BWSSKSSH
Donde:
Seg
RadF
00 2 es la frecuencia central del filtro pasabandas.
Seg
RadBW
LH , es el ancho de banda del filtro pasabandas.
Seg
RadL
: Frecuencia de cruce inferior del filtro pasabandas.
Seg
RadH
: Frecuencia de cruce superior del filtro pasabandas.
En un filtro pasabandas Butterworth se cumple algo muy particular:
HL 2
0
Y Kes una constante que pertenece a los nmeros reales.
Existe una clula de segundo orden Sallen Key, que sirve para implementar filtrospasabandas de segundo orden.
El circuito de una Clula Sallen Key de segundo orden pasabandas se ilustra en lafigura No. 99.
-
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Figura No. 99: Clula SallenKey de segundo orden que sirve para implementarfiltros pasabandas de segundo orden.
A continuacin se procede a determinar la expresin que rige la funcin de
transferencia del filtro)(
)()( SV
SVSH
S
OUT
de la clula Sallen Key de segundo orden
pasabandas.
Para determinar el voltaje de salida, )(SVOUT
, del circuito en trminos exclusivamente
del voltaje de entrada )(SVS
se utilizar la tcnica de solucin de circuitos de Voltaje
de Nodos en el dominio de la frecuencia compleja.
El primer paso consiste en sealar los nodos del circuito por donde se derivan lascorrientes, y los nodos asociados a las terminales inversora y no inversora delamplificador operacional con sus respectivos potenciales asignados, como las
corrientes que fluyen por los dispositivos. Este paso se ilustra en la figura No. 100.
Figura No. 100: Resolucin del filtro pasabandas de segundo orden implementado conuna clula SallenKey, por la tcnica de voltaje de nodos: Nodos, Corrientes y
potenciales de cada nodo del circuito.
-
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De la figura No. 100, la corriente2I que fluye por el capacitor C es la misma
corriente que fluye por la resistencia R , debido a que la corriente que fluye por la
terminal no inversora del amplificador operacional es igual a A0 .
El segundo paso consiste en hallar las expresiones que rigen a las corrientes delcircuito en trminos de los potenciales asignados a cada nodo.
Al aplicar LCK en los nodos sealados donde efectivamente se parten las corrientesen el circuito de la figura No. 100, se obtienen las siguientes ecuaciones:
1. 04321
IIII
2. 04
OUTO III
La ecuacin nmero 2 no es til por el momento, debido a que la corriente 0I no sepuede representar en trminos de los potenciales de los nodos. Por lo tanto esnecesario buscar una expresin alternativa que sirva para reemplazar dicha ecuacin.Por lo tanto es necesario buscar una expresin alternativa que sirva para reemplazardicha ecuacin.
La expresin extra se puede obtener del principio de tierra virtual:
El voltaje de la terminal no inversora con respecto a tierra, es el mismo voltaje de la
terminal inversora respecto a tierra, es decir,OUT
VV 2
.
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que se posee es:
1. 04321
IIII
2. 04
OUTO III (NO SE USA)
3.OUT
VV 2
(NUEVA ECUACIN PROPUESTA)
Y las expresiones que rigen a las corrientes en trminos de los potenciales de losnodos del circuito, se ilustran a continuacin:
A.RVVI S 1
1
B. R
VVVSCI 2
212 (la corriente del capacitor es idntica a la corriente
de la resistencia).
C.13
SCVI
-
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210
D.
1
1
4
R
VVI OUT
E.L
OUT
OUT
R
V
I
Al reemplazar las expresiones que rigen a las corrientes en la expresin 1, se obtienela siguiente ecuacin:
1. 01
1
121
1
R
VVSCVVVSC
R
VVOUTS
1. 01
2111
2
1
1
1
VSCV
RVSC
RRV
R OUTS
Es importante garantizar que la expresin (1), est slo en trminos deS
V yOUT
V y
no de1V y
2V , para as poder calcular
)(
)()(
SV
SVSH
S
OUT .
Una estrategia para representar la ecuacin (1) exclusivamente en trminos de los
potencialesS
V yOUT
V es la siguiente:
De la ecuacin B se puede escribir1V en trminos de
2V , y como
OUTVV
2(por el
principio de tierra virtual) entonces1V se deja reescribir de forma automtica en
trminos deOUT
V .
De nuevo, por el principio de tierra virtual, el potencial2V se puede poner en funcin
exclusivamente de OUTV .
Al reemplazar1V y
2V en trminos exclusivos de
OUTV en la expresin 1, se puede
despejar perfectamenteOUT
V en trminos deS
V y obtener)(
)()(
SV
SVSH
S
OUT .
Al poner en prctica la estrategia propuesta:
De B, al despejar1V en trminos de
2V , se obtiene que
-
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4.21
1V
RCS
RCSV
Como OUTVV 2 , entonces la expresin 4 se puede reescribir as
5.OUT
VRCS
RCSV
11
Por tierra virtual:
6.OUT
VV 2
.
Al reemplazar las expresiones (5) y (6) en la expresin 1, se llega a la siguiente
ecuacin:
1. 01121
11
11
OUTOUTOUTS
VSCVR
VRCS
RCS
RR
CSRRRRV
R
Al despejarOUT
V se obtiene el siguiente resultado:
SOUT
V
RRRCSRSCRR
RCSRSV
11
222
1
1
3
)(
Al organizar la expresin anterior:
)(3
1
)(
22
1
12
2
SV
CRR
RRS
RCS
SRC
SVSOUT
IMPORTANTE.
Por lo tanto la funcin de transferencia del filtro pasabandas de segundo ordenimplementado con una clula Sallen Key de orden 2 est dada por la siguienteexpresin:
22
1
12
2
3
1
)(
CRR
RRS
RC
S
SRC
SH IMPORTANTE!
-
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212
Determinemos la expresin que rige a la frecuencia central y a la banda de paso, delfiltro pasabandas de segundo orden implementado con la clula SallenKey.
Al comparar la expresin que rige al filtro pasabandas del circuito SallenKey con laexpresin cannica que rige a todos los filtros pasabandas de segundo orden, se llegaa la siguiente identidad:
2
0
2
22
1
12
2
3
1
)(
BWSS
KS
CRR
RRS
RCS
SRC
SH
Para que la identidad se cumpla, es necesario garantizar que:
Seg
Rad
RCBW
3(9) y
22
1
12
0
CRR
RR (10)
Por lo tanto, el ancho de banda en Hz est dado por:
RC
HzBW
2
3(11)
De (10), la expresin que rige a la frecuencia central del filtro pasabandas est regidapor:
1
1
00
12
R
RR
RCF
1
1
0
2
1
R
RR
RCF
(12) IMPORTANTE
PARA EL DISEO DE FILTROS PASABANDAS DE SEGUNDO ORDEN CONCLULAS SALLENKEY.
Reemplazando (11) en (12), se llega a la siguiente expresin:
1
1
0
3 R
RRHzBWF
(13) IMPORTANTE EN EL DISEO DE FILTROS
PASABANDAS DE SEGUNDO ORDEN CON CLULAS SALLENKEY.
La impedancia de entrada del filtro pasabandas de segundo orden, se puede calcular atravs de la definicin clsica de Impedancia de Entrada de un Amplificador Lineal:
-
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)(
)(
SI
SVZ
IN
IN
IN
Del circuito, es elemental verificar que SIN VV (Ya que la fuente de voltaje estconectada en la entrada del filtro y no posee su impedancia interna
SZ ) y la corriente
de entrada es igual a )()(1 SISI
IN . Por lo tanto:
)(
)(
1 SI
SVZ S
IN
De la expresin A y de (5), se obtiene que la corriente1I est dada por la siguiente
expresin:
OUTS VRCS
RCSV
RI
111
PeroOUT
V se puede calcular de forma gil usando la expresinSOUT
VSHV )( ,
por lo tanto la expresin que rige a1I se puede reescribir as:
SSS VSHRCS
RCS
RVSHRCS
RCSVSCI
)(
11
1)(
11
Por lo tanto, la impedancia de entrada del filtro es igual a:
)(1
1)(
)(
1 SHRCS
RCS
R
SI
SVZ S
IN
Donde
22
1
12
2
3
1
)(
CRR
RRS
RCS
SRC
SH
Ntese que la impedancia de entrada depende de la frecuencia. Si se desea atenuar la
dependencia deIN
Z con la frecuencia, se recomienda conectar un seguidor de voltajeen la entrada del filtro.
-
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214
Ejemplo de Aplicacin.
Disear un filtro pasabandas de segundo orden, con una frecuencia central de
KHz4 , y un ancho de banda de KHz5.2 , usando una clula Sallen Key desegundo orden.
Solucin:
De la expresin (11), el ancho de banda de un filtro pasabandas de segundo orden
implementado con la clula SallenKey est dado por
RCHzBW
2
3.
En particular para el diseo propuesto, tiene que cumplirse que:
RC2
32500
Si seleccionamos nFC 10 , entonces la resistencia R ser igual a:
59.19098101025002
39
R
Calculemos la resistencia1R :
De la expresin (13), para que el filtro funcione con las especificaciones del diseo
planteado, es necesario garantizar que
1
1
0
3 R
RRHzBWF
.
En particular:
1
159.19098
3
25004000
R
R
1
159.19098
8.4R
R
Al despejar1
R de la ecuacin anterior se obtiene que:
-
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215
5421.8661
R
Hemos terminado de calcular todos los valores de los dispositivos que conforman elfiltro pasabandas de segundo orden implementado con una clula SallenKey.
En la figura No. 101 se ensea el circuito diseado en la herramienta Schematics delSPICE.
Figura No. 101: Filtro pasabandas de segundo orden del ejemplo, dibujado en laherramienta Schematics del Spice.
En la figura No. 102 se ilustra la grfica obtenida mediante el Spice, de la Magnitud dela ganancia de voltaje en funcin de la frecuencia del circuito diseado propuesto en elejemplo.
Figura No. 102: Grfica de la magnitud de la ganancia de voltaje del circuito diseadopropuesto en el ejemplo.
-
7/24/2019 6. Filtros Activos 11
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Ntese de la figura No. 102 que efectivamente la respuesta de magnitud de laganancia de voltaje es la de un filtro pasabandas.
De la grfica, la ganancia de voltaje mxima es igual a 333.0VMAX
A a una
frecuencia de KHz96.3 (debera ser de KHzF 40 ), y en las frecuenciasde KHz91.2 y KHz37.5 la magnitud de la ganancia de voltaje es igual a235.0 , que es nada ms ni nada menos que la ganancia mxima dividida entre 2 :
2
333.0
2235.0 VMAX
A, por lo tanto las frecuencias de KHz91.2 y
KHz37.5 son las frecuencias de cruce inferior y superior del filtro pasabandas, ypor lo tanto el ancho de banda es igual a
KHzKHzFFHzBWLH 5.246.291.237.5 que es loque se esperaba del diseo.