6-estabilidad transitoria

1

ANSISPOTANSISPOTCapítulo 6

Estabilidad Transitoria

Universidad de Los AndesI M i Alb t Rí Ph DIng. Mario Alberto Ríos, Ph.D

Actualización: 14 de enero de 2011

Definiciones

• IEEE/CIGRE [5]

– “Power system stability is the ability of an electric power system, for a given initial operating condition, to regain a state of operating equilibrium after being subjected to a physical disturbance, with most system

i bl b d d th t ti ll thvariables bounded so that practically the entire system remains intact”.

– Aplica a sistemas interconectados

2

Clasificación (Tipos) de la Estabilidad de Sistemas de Potencia

Fuente: [5, 6]

Estabilidad

• Régimen permanente– Concierne con pequeñas perturbacionesConcierne con pequeñas perturbaciones

• Estabilidad transitoria– Concierne con grandes perturbaciones.

Asume que el AVR y el gobernador son lentos para responder

E t bilid d di á i• Estabilidad dinámica– Como el anterior, pero el AVR y el

gobernador son incluidos

3

Controles UnidadDe Generación

Control del Sistema de Potencia Sistema de Control

de GeneraciónControl Suplementario

De Generación

GeneradorSistema de

Excitación AVRy Control PSS

Control deGobernador

y Turbina

Vel

ocid

ad

Control del Sistema de TransmisiónPotencia

FrecuenciaFlujos por las Líneas

Inyecciones de los Generadores

Voltaje HVDC, FACTS, Controlde Voltaje y Q

Eléctrica

Estabilidad en Régimen Transitorio -Ecuación de Oscilación

mNTTTdtd

J em .2

2

Jdt

2

2

2

2

dtd

Jdtd

J

t

ejedelsincrónicavelocidadt

ejedelangularentodesplazami

doNormalizan C

R

e

R

m

R TT

TT

dtd

TJ

doNormalizan

2

2

RR

k

RRk P

W

TJ

JW

Como

2

21 2

4

Estabilidad en Régimen Transitorio -Ecuación de Oscilación

k TTdHW

H 2

22

upeupmupeupm

upeupmRR

PPTT

como

TTdtP

H

.,.,.,.,

.,.,2

upeupmR

PPdtdH

.,.,2

22

Estabilidad en Régimen Transitorio -Generador conectado a Barra Infinita

BB

AA

dondeVBAV SR

S= envío

DD

BBdondeIDCI SR

2sencos

2

RSRSS

S B

VV

B

VDP

R= recibo

senPPPP CupeS

RS

max.,

2

5


upeupm PPdtdH

.,.,2

22

upeupm

R dt .,.,2

senPPP

dt

dHCupm

Rmax.,2

22

1; DAjxBCaso

sen

1;

., x

VVP

DAjxBCaso

RSupe


8

9

10

Pe

Pmax

Asumiendo pequeño cambio en la P y

1

2

3

4

5

6

7

8

Pot

enci

a (p

.u.)

Pmec

Pe cambio en la Pe y manteniendo constante la Pm

cióndesacelera

PPSi upeupm

.,.,

-

0 45 90 135 180

Angulo

naceleració

PPSi upeupm

.,.,

6

Generador en barra infinita Condición de falla

1 00

1,50

(pu) Falla eliminada en 200 ms

P O il t i E t bl

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

0 500 1000 1500 2000 2500

Time (ms)

Acc

eler

atin

g po

wer

0

100

200

300

400

el. v

eloc

ity

rees

/s)

Proceso Oscilatorio Estable

-400

-300

-200

-100

0

0 500 1000 1500 2000 2500

Time (ms)R

otor

re

(deg

r

Pm>PeAceleración de la máquina

Al eliminar la falla, cambia elSigno de asceleración

gle

(deg

rees

)

Generador en barra infinita Condición de falla

G

N d

Xs Xt

0,600

0,800

1,000

1,200

en

cia

(p

.u.)

Pelec

Pm

Time (ms)

Rot

or a

ngNodo Terminal

Nodo Infinita v=1/0º

E l f ll li i d l

Ángulo relativo al nodo infinito

En 1 se tienen la condición inicial de equilibrio

tclear

0,000

0,200

0,400

0 30 60 90 120 150 180

Ángulo (Grados)

Po

te En 2 la falla es eliminada y elInterruptor se recierra

En 3 se iguala la energía de desaceleración y de aceleración (áreas iguales)

7

Criterio de áreas iguales (1)

0,800

1,000

1,200

p.u

.)

Pelec

PmPrefalla

P f ll

0,000

0,200

0,400

0,600

0 30 60 90 120 150 180

Ángulo (Grados)

Po

ten

cia

(p

Falla

Posfalla

Pmecánica (constante)

g ( )

En 2 la falla es eliminada y elInterruptor se recierra volviendo a la condición inicial

¿Cuál es la Pelec antes de la falla?

¿Cuál es la Pelec durante la falla?

¿Cuál es la Pelec después de la falla?

Criterio de áreas iguales (2)

0,800

1,000

1,200

(p.u

.)

Pelec

PmPrefalla

Posfalla

0,000

0,200

0,400

0,600

0 30 60 90 120 150 180

Ángulo (Grados)

Po

ten

cia

(

Falla

Posfalla


A1

A2

En 2 la falla es eliminada y elInterruptor se recierra volviendo a la condición inicial

¿Cuál es la energía de aceleración?

¿Cuál es la energía de desaceleración?

Criterio: si A2=A1 entonces el sistema es estable

8

Criterio de Áreas Iguales- Evaluación de Estabilidad -

• Método para predecir si un sistema es estable después

dtdd

M

Pd a

sistema es estable después

de un disturbio (perturbación) sin necesidad de solucionar las ecuaciones diferenciales

Td

JTd

J 2

dMP

d

dM

a

00

dM

Pd a

a

aa

Pdt

dM

Tdt

JTdt

J

2

00 M

0

22 dPM a

Criterio de Áreas Iguales- Evaluación de Estabilidad -

2/12

dP

d• Velocidad relativa de la

máquina con respecto a0

dPMdt a

máquina con respecto a una referencia moviéndose a velocidad constante

Si el sistema es estable, la velocidad debe ser cerocuando la aceleración es cero o se está oponiendoal movimiento del rotor

000

s

dPP

quecumplesetq

asa

s

9

Criterio de Áreas Iguales - Caso Estable

ema PPP 1

7

8

9

10

)Pe

Pm1A2

0

0

1

10

a

s

a

P

P

1

2

3

4

5

6

Pot

enci

a (p

.u.

Pm0

m1

A1Aumento dePotenciaMecánica

21 AA

Si

-

1

0 45 90 135 180

Angulo

Criterio de Áreas Iguales- Caso Inestable -

8

9

10PePm1 A2

Inestable

AA

dPPA

dPPA

s

me

em

21

12

11

1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

Pot

enci

a (p

.u.)

Pm0

A1

Inestable-

1

0 45 90 135 180

Angulo

10

Criterio de áreas iguales - ángulo crítico de eliminación de falla

0 800

1,000

1,200

.u.)

Pelec

PmPrefalla

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

0 30 60 90 120 150 180

Ángulo (Grados)

Po

ten

cia

(p

.

Falla

Posfalla


A1

A2

Ángulo (Grados)

En 2 la falla es eliminada y se convierte en el ángulo crítico c de eliminación (para un ángulo mayor, la energía de desaceleración SIEMPRE será menor a la de aceleración)

¿Cuál es la energía de aceleración?

¿Cuál es la energía de desaceleración?

Criterio: si A2=A1 entonces el sistema es estable

Barra InfinitaV=1 0 /0º

Ejercicio 1Criterio de áreas iguales (fallas)

G jX3

jX3

V 1.0 /0

Condición de PostfallaX = X + X + X

jX2j X1

Condición de PrefallaXtotal = X1 + X2 + X3/2

Xtotal = X1 + X2 + X3

Condición de FallaPelec <> 0

11

Ejercicio 1 - Prefalla

G

j0.1j0.15 j0.45

j0.45Barra InfinitaV=1.0 /0ºj

¿Cuál es el voltaje interno E/?El generador está entregando una potencia de 1.1 p.u. con fp=0.85 en atrasoNota: es a su vez el ángulo del rotor

º793111)850(1.1

..94.085.01.10

I

upP

º2.1935.1º0

º79.311.1)85.0cos(0.1

TotaljXIVE

aI

Ejercicio 1 - Prefalla

G

j0 1j0 15 j0 45

j0.45Barra InfinitaV=1 0 /0ºj0.1j0.15 j0.45 V=1.0 /0

¿Cuál es la ecuación eléctrica de Prefalla?Variables: Magnitud de voltajes de barra infinita y voltaje interno, reactancia serie entre E y V

EVE

P

1053.245.0

10.015.0max

sensenP

E

elec

84.235.11053.2

35.1

2

12

Ejercicio 1 - Postfalla

G

j0 1j0 15

j0.45Barra InfinitaV=1 0 /0ºj0.1j0.15 V=1.0 /0

¿Cuál es la ecuación eléctrica de Postfalla?Variables: Magnitud de voltajes de barra infinita y voltaje interno, reactancia serie entre E y V

EVE

P

43.145.010.015.0max

sensenP

E

elec

93.135.143.1

35.1

45.010.015.0

Ejercicio 1 - falla

G

j0 1j0 15

j0.45Barra InfinitaV=1 0 /0ºj0 225j0 225j0.1j0.15 V=1.0 /0

¿Cuál es la ecuación eléctrica durante la falla si ésta ocurre en la mitad de la línea?

j0.225j0.225

G

j0.1j0.15

j0.45Barra InfinitaV=1.0 /0º

j0.225j0.225 jj

TransformaciónY-

13

Ejercicio 1 - falla

G

j0 1j0 15

j0.45Barra InfinitaV 1 0 /0ºj0 225j0 225j0.1j0.15 V=1.0 /0º

¿Cuál es la ecuación eléctrica durante la falla si esta ocurre en la mitad de la línea?

VEP

21max

j0.225j0.225

senP

E

elec

13.1

35.1

2.1

Ejercicio 1 º15193.1

13.1

º2.1984.2

?¿º50935.0

4

0

senP

senP

senP

EstableSiP

postfallaelec

fallaelec

prefallaelec

clearingmec

1,5

2,0

2,5

3,0

en

cia

(p

.u.)

P prefalla

P falla

P postfalla

P mec

Energía de aceleración

A

0,0

0,5

1,0

0 30 60 90 120 150 180

Ángulo (grados)

Po

te

1 4clear

A1

s

A2

s=64º

Conclusión:Estable

14

Estabilidad Angular – Métodos de Análisis (TS)

• Métodos Numéricos– Supuestos de modelación X ’p

• Modelo Clásico (, )• Modelo Completo (, ’q’d)

– Método numérico usando modelo clásico• Modelo de máquina: E’ (E’) y Xd’• Modelo de carga: ZL = V0

2/S*• Matriz Yg para diferentes períodos de tiempo• Ecuaciones de potencia-ángulo para diferentes

períodos de tiempo

Yg

Y

~

Xd2’

E2’

~

Xd1

E1’

YL

períodos de tiempo

– Integración Numérica de ecuaciones de oscilación (“swing”)

• Euler & Euler Modificado• Runge-Kutta

Ejemplo Sistema de 9 Nodos – P. M. Anderson)

P2 P1 81

3 2

0

j0.0625

18/230

0.0119+j0.1008 j0.0586

B/2=j0.1045

0.0085+j0.072 B/2=j0.0745

2 3

45 MW 30 MVAR

7P3 230/13.8

0.03

2+j0

.161

B/2

=j0

.153

5 6

9

50 MW 25 MVAR

75 MW 40 MVAR

0.01

0+j0

.085

B/2

=j0

.088

0.01

7+j0

.092

B/2

=j0

.079

16.5

/230

j 0.

0576

B/2

=j0

.179

0.03

9+j0

.170

7

4

Fig. 1: WSCC 3-machine, 9-bus system; all impedances are in pu on a 100-MVA base

1 Slack bus 1

Fuente (2)

15

Ejemplo – Cálculo de Y bus interna de generadores (prefalla, falla y posfalla)

• A partir de Ybus (para las 3 condiciones)

Xd1’

)• Inclusión de:

– Cargas– Impedancia de

generadores

• Todos los datos en una base comúnConversión de carga

*LLLL IVQjP

Yg

Y

~

Xd2’

E2’

~E1’

YL

La admitancia equivalente se• Conversión de carga

– Modelo de impedancia constante (a partir del flujo de carga)

22

**

L

L

L

LL

LLL

V

Qj

V

PY

BjGVIL

equivalente se

conecta entre el nodo y la referencia

(Diagonal en la Ybus)


• Nodos adicionales representando Voltaje I representando Voltaje interno del generador. – Entre este nodo y el nodo de

conexión (terminal) se coloca -1/x’d

– En la diagonal se coloca 1/x’d• Eliminación de Krön de la

Ybus conservando solo los r

n

rrrn

nrnnn

n

V

V

YY

YYI

IYVI

0

0

Ybus conservando solo los nodos donde hay inyección de corriente, i.e. los nodos internos de los generadores.

n

Y

rnrrnrnnn

rrrrn

VYYYYI

reducida

1

16


• Condiciones inicialesVoltajes internos (E ) y

VVt – Voltajes internos (Ei) y

ángulos de rotores (io)

– A partir del Flujo de carga se tiene voltaje terminal (magnitud y ángulo) y potencia

xPj

xQVE

VV

termnodoal

refdeCambio

dd

t

'

ˆ

.

''

ángulo) y potencia aparente inyectada (P y Q) referencia

VPj

VQVE

o

dd

'

'

Ejemplo –Falla trifásica cercana a la barra 7 en la línea 5-7. La falla se aclara

abriendo la línea 5-7 en 5 ciclos

• Obtener diferencia angular en función del tiempo de los d 2 3 t l d 1 ígeneradores 2 y 3 con respecto al generador 1, así

como la variación de velocidad angular y de la frecuencia en función del tiempo de cada generador para analizar la estabilidad del sistema.

• Para determinar si el sistema es estable o inestable se debe observar la diferencia angular de los rotores, si estos crecen indefinidamente después de una fallaestos crecen indefinidamente después de una falla trifásica el sistema es inestable y con solo una máquina pierda sincronismo el sistema es inestable

17


abriendo la línea 5-7 en 5 ciclos• Sistema en operación normal entre 0 y 0.1 s (Prefalla)

• Falla trifásica en la barra 7entre 0 1 y 0 183 s• Falla trifásica en la barra 7entre 0.1 y 0.183 s.

• Despeje de la falla mediante la apertura de la línea entre 0.183 y 1 s

Curvas de Oscilación de los generadores 2 y 3 con respecto al 1

100

120

140

a A

ngul

ar

Mantiene la

20

40

60

800.

000.

050.

100.

150.

200.

250.

300.

350.

400.

450.

500.

550.

600.

650.

700.

750.

800.

850.

900.

951.

00

Tiempo (segundos)

Dif

eren

cia

Mantiene laEstabilidad


abriendo la línea 5-7 en 5 ciclos• Alrededor de 0.55 s empiezan a actuar controles

mecánicos para llevar la frecuencia a 60 Hz (acción delmecánicos para llevar la frecuencia a 60 Hz (acción del LFC y del AGC)

• Recuerde solo se está empleando modelo clásicomodelo clásico

Mantiene la

Frecuencia de los Generadores

61

61.5

Gen

erad

ores

f1

Periodo de aceleración (Falla)

Eliminación de falla

Mantiene laEstabilidad

59.5

60

60.5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Tiempo (Segundos)

Fre

cuen

cia

de

G f2

f3

18

Ejemplo – Tiempo máximo de eliminación de la falla

Curva de Oscilación del Generador 2 con Respecto al 1 para diferentes tiempos de despeje de fallatiempos de despeje de falla

200

400

600

800

1000

Dif

eren

cia

Ang

ular

(d1 - d2) 5c

(d1 - d2) 6c

(d1 - d2) 7c

(d1 - d2) 8c

(d1 - d2) 9c

Pérdida de Sincronismo(Inestabilidad)

0

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

Tiemepo (seg)

D (d1 - d2) 9c

Ejemplo – aumento súbito de carga de 10 MW en barra 8

El comportamiento de la diferenciade la diferencia angular muestra que el sistema es

estable

19

Ejemplo – aumento súbito de carga de 10 MW en barra 8

Aumento de Pmec(Balance de Potencia)

Corrección por acción del

LFC y AGC

Reducción de Frecuencia

Modelo Lineal de un Generador- Modelo de Pequeña Señal -

• Linealización de ecuaciones no lineales l d d d t d ióalrededor de un punto de operación

• El modelo depende del punto de operación

• Bases del Modelo:Generador conectado a Barra Infinita– Generador conectado a Barra Infinita

– Potencia mecánica constante (i.e. sin modelar gobernador – turbina)

20


• Modelo No-Lineal: Modelo Clásico

RRdt

d

Modelo Clásico RDupeupm KPP

dt

dH

.,.,2

sin

int

inf0

'

'I

o

VEP

generadordelernoVoltajeEE

initabarraVoltajeVV

sin'

Ede XXP

Linealizando alrededor de 0

0'

'

cosEd

e XX

VEP

RRRdt

d


Ed

S

DEd

m

XX

VEK

KXX

VEP

dt

dH

dt

cos

cos2

0'

'

0'

'

A partir del Modelo Clásico No Lineal

m

SD

PHH

K

H

K

dt

d

02

1

022

0

21

Modelo Lineal de un Generador- Modelo de Pequeña Señal -Ks = Coeficiente de sincronización de torqueKD = Coeficiente de amortiguamiento de torqueH = Constante de inercia (MW s/MVA)

SK

01P

Pe

+-

H = Constante de inercia (MW.s/MVA)0 = 377 rad/s (f= 60 Hz)

DK

s0

sH2Pm

-

Modelo Lineal de un Generador-Modelo de Pequeña Señal, Ejemplo-

• DatosGenerador 4 555 MVA

• Cálculos

t

j

V

QjPI

01

3.09.0*

*

– Generador 4 x 555 MVA

– H = 3.5 MW.s/MVA

– KD = 0

– x’d = 0.3 p.u.

– Xe = 0.65 p.u.

– Vt = 1.0 ∟36o

– V = 0 995 ∟0o

S

o

tdtI

t

K

K

IxjVE

V

7570

92.49cos95.0

995.0123.1

92.4992.1336

92.13123.1

0.1'

V∞ 0.995 ∟0

– Pg + j Qg = 0.9 + j 0.3

m

S

P

K

0

143.0

0377

108.00

757.0

22

Modelo Dinámico de un GeneradorAVRPSS

~Turbine Pméc

Cméc

PélecUsorUexc

Red Eléctrica

• Modelo Clásico– Voltaje de excitación y Pm

constanteVitesse

l’axe quadrature

Na

c

b’

c’

l’axe directd-axisq-axis

axe de la phase aaxe de la

phase bstator

constante– Dos variables de estado: ,

• Modelos Detallados (Gen)– Modelo de ejes “d-q”– Características transitorias y

subtransitorias– 4 y 6 variables de estado:

E’ ’ E” ”

axe de la phase c

Sa’

b

c

rotationrotor

Figure 2.2.Schéma d’une machine synchrone triphasée

, , E’d, q’, E”d, q”

Fuente (4)

Modelo Lineal

• Considerando Sistema de Excitación y PSS– PSS suministra señal suplementaria de control

Fuente: P. Kundur, “Power System Stability and Control”, IEEE, 1998

23

Sistema MultimáquinasElementos del Problema

• Número N de máquinas

• Cada máquina con:Xd1’– 4 o 6 variables de estado

– AVR

– Algunas con PSS

• Gran número de cargas– Cargas estáticas (ZIP)

– Cargas dinámicas (motores)

Yg

Y

~

Xdn’

En’

~

Xd1

E1’

YL

• Otros elementos dinámicos– ULTC

– FACTS

Modelo No - Lineal• Ecuaciones algebraicas de

estado

3

2

1

34333231

24232221

14131211

3

2

1

V

V

V

YYYY

YYYY

YYYY

I

I

I

4444342414 VYYYYI

N

jjkkjjkkjjkk

N

jjkkjjkkjjkk

BGVVQ

BGVVP

1

1

)cos()sin(

)sin()cos(

Ecuacionesde Flujo dePotencia

• Ecuaciones dinámicas por máquina

dt

dKPP

dt

dH

RDupeupm

R

12.,.,2

2

24

Modelo Lineal Multimáquinas

Esquema de interacciones entre

máquinas y modelo lineal

Fuente: M. Ríos, “Estimación de Equivalentes Dinámicos con Disturbio Intencional”, UniAndes, Feb 1991

Representación Matemática Modelo Lineal Multimáquinas

Δδ

UBXAX

nAA 111

M

MFD

'q

ΔT

ΔT

Δδ

ΔE

ΔE

Δω

Δδ

11

1

1

1

UX

nnn AA

A

1

Interacción Modelo

Mn

FDn

'qn

n

n ΔT

ΔE

ΔE

Δω

Δδ Interacción dinámica entre

máquinas

Modelo lineal de una

máquina

Modelo No DesacopladoModelo No Desacoplado

25

Estabilidad Lineal

• Parámetros de cada modo de oscilación

Im

xmodo estable

modo inestable

– Modo j– Frecuencia (Hz)

– Tasa de amortiguamiento

Re

x

x

x

x

Limite de estabilidad

2π

ωf

Ejemplo de la estabilidad de modos en el plano complejo 22 ωσ

σζ

Ejemplo – SisPot linealizado

GEN 1 GEN 11

10 10120 3 13

102

110120~ ~

Generadores representados

Red de 4 máquinas

GEN 2 GEN 12

~967MW

1767MW

~

Modo Valor PropioFrecuencia

( Hz )Tasa de

amortiguamiento

1 -0,5997 ± j 7,0365 1,1199 0,0849

d

pcon 4 variables de estado. AVR de tipo ST1A

2 -0,6060 ± j 7,2470 1,1534 0,0833

3 0,0296 ± j 4,1785 0,6650 -0,0071

ModosCríticos

Adicionalmente, siempre existen dos valores propios “iguales” a cero, debido a la redundancia de variables (falta de unicidad del ángulo del rotor). El otro se debe a asumir KD=0 para todas las máquinas

26

Referencias1. P. Kundur, “Power System Stability and Control”, IEEE, 1998

2. P.M. Anderson, A.A. Fouad “Power System Control and Stability”, John Wiley & Sons Inc., Octubre 2002 (o IEEE Press 1993)

3. M. E. El-Hawary, “Electrical Power Systems”, IEEE Press, 1995y, y , ,

4. A. Snyder, “Les mesures synchronisées par GPS pour l’amortissement des oscillations de puissance dans les grands réseaux électriques interconnectés”, Tesis Doctoral, INPG, 1999, Grenoble, Francia

5. IEEE/CIGRE Task Force on Stability Terms and Definitions, “Definition and Classification of Power System Stability”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 19, No. 2, May 2004, pp. 1387-1401

6. L. L. Grigsby, “Power System Stability and Control”, Electric Power Engineering Handbook 2a Ed CRC Press 2007Engineering Handbook, 2a Ed., CRC Press, 2007

6-estabilidad transitoria

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