6 수열과급수. -...

66 수열과 급수.

(1) Excel(1) Excel

(Lec9.xlsx 참고)

(1) Excel(1) Excel

앞 페이지의 데이터와 위 그래프로부터 우리는 주어진 수열이1에 수렴할 것으로 예측할 수 있다. 그러나 주어진 데이터는매우 한정된 값에 대한 결과만을 보여주므로 수열이 1에수렴하는 것은 수렴성의 정의를 이용하여 보여주어야 한다.

(1) Excel(1) Excel

(1) Excel(1) Excel

Fibonacci 수열의 데이터와 황금률에 대한 그래프

(1) Excel(1) Excel

(Lec9.xlsx 참고)

두 급수의 수렴성을 다루기 위하여 먼저 n에 따른 일반 항과이를 이용하여 급수의 합에 대한 데이터를 만들자.

예를 들어, 셀 B4와 셀 C5에는 각각=A4^4/2^A4와 =C4+B5

로 입력한 후 채우기 핸들로 n=50까지 채운다.

다음으로 급수의 수렴성을 비판정법과 근판정법으로확인하여 보자. 이들은 각각 다음과 같이 주어진 셀에입력하면 된다.

예를 들어, 셀 H5와 J5에는 각각=B5/B4와 =POWER(B5,1/A5)

로 입력한 후 채우기 핸들로 n=50따지 채운다.

(1) Excel(1) Excel

두 급수의 수렴성에 대한 데이터

(1) Excel(1) Excel

위의 결과로부터 첫 번째 급수는 150에 수렴하며 두 번째급수는 발산하는 것을 알 수 있다.

두 급수의 그래프

(2) Maple(2) Maple

(Lec8.mw 참고)

수열의 처음 15항까지 나열하여보자. seq(evalf(a(n)), n=1..15)

또한 n=1에서 100까지 수열의 그래프를 그려보자.A:=[[n,a(n)]$n=1..100]:plot(A, style=POINT)

(2) Maple(2) Maple

점화식으로 나타나는 수열의 일반항은 명령어 rsolve를이용할 수 있다.

rsolve({f(n)=1/(1+sqrt(f(n-1))), f(1)=1}, f(n))그러나 원하는 결과를 얻지 못한다. 이제 간단한 프로그램을이용하여 n=1에서 20까지 수열의 값을 나열하여 보자.

iterate:=proc(f,a0,n) local I, j;a(0):= evalf(a0):for I from 1 to n doa(i):= evalf(f(a(i-1)))od;a(j)$j=0..n;end;

f를 정의하고 iterate를 실행하면 0.5698로 수렴함을 안다.f:= a-> 1/(1+sqrt(a))iterate(f,1,20) 1… 0.5698402911

(2) Maple(2) Maple

(2) Maple(2) Maple

(Lec8.mw 참고)

두 급수의 일반 항을 정의하고 그 비에 대한 극한을 조사하자.a:= k->k^4/2^kL1:= limit(a(k+1)/a(k), k=infinity) 1/2b:= k-> (2*k)!/(k!)^2L2:= limit(b(k+1)/b(k), k=infinity) 4

이 결과로부터 처음 급수는 수렴한다. 이제 그 값을 구해보자. s:= n-> sum(a(k), k=1..n)points:= evalf([[I,a(i)]$i=1..30])plot(points, style=POINT)limit(s(i), i=infinity) 150

또는 간단하게 다음과 같이 명령어 sum을 이용한다.sum(a(k), k=1..infinity) 150

(2) Maple(2) Maple

(Lec8.mw 참고)

멱급수나 Taylor 급수는 명령어 taylor를 이용하면 된다. f:= x-> cos(x)taylor(f(x),x=0)

또한 Taylor 다항함수는 다음과 같이 나타낸다. 그리고이들을 주어진 함수와 비교하여 그려보자.

P1:=convert(taylor(f(x),x=0,4),polynom):P2:=convert(taylor(f(x),x=0,4),polynom):P3:=convert(taylor(f(x),x=0,4),polynom):P4:=convert(taylor(f(x),x=0,4),polynom):plot([f(x),P1,P2,P3,P4], x=-3..8,-2..2,

thickness=[3,2,2,2,2])

(2) Maple(2) Maple

Student[Calculus1] 꾸러미의 TaylorApproximation을이용하면 보다 효과적인 결과를 얻을 수 있다.

with(Student[Calculus1]):TaylorApproximation(f(x),x=0,order=5)TaylorApproximation(f(x),0,view=[-Pi..Pi, -2..2],

output=plot, order=1..7)TaylorApproximation(f(x),0,view=[-Pi..Pi, -2..2],

output=animation, order=1..7) 다음 그래프를 참고 하자.

(3) Mathematica(3) Mathematica

(Lec7.nb 참고)

수열을 정의하고 처음 15항까지 나열하여보자. a[n_]:=1+(-1)^n*n*Sin[1/n]^2N[Table[a[n],{n,1,15}]]

또한 n=1에서 100까지 수열의 그래프를 그려보자.ListPlot[Table[{n,a[n]},{n,,1,100},PlotStyle->PointSize[0.015]]

위로부터 이 수열은 수렴한다. 이제 극한값을 알아보자.Limit[a[n],n->Infinity] 1


점화식으로 나타나는 수열의 일반항은 명령어 RSolve를이용할 수 있으나 Maple과 같이 구할 수 없다. 다음과 같이n=1에서 20까지 수열의 값을 나열하여 보자. 그래프를 그리자.

f[x_]:=1/(1+Sqrt[x]):N[NestList[f,1,20],10] ListPlot[NestList[f,1,20], PlotRange->All]


(Lec7.nb 참고)

두 급수의 일반 항을 정의하고 그 비에 대한 극한을 조사하자.a[n_] := n^4/2^n; b[n_] := (2*k)!/(k!)^2Limit[a[n+1]/a[n],n->Infinity] ½Limit[b[n+1]/b[n],n->Infinity] 4

이 결과로부터 처음 급수는 수렴한다. 이제 그 값을 구해보자. ListPlot[Table[Sum[a[n], {n,1,k}, {k,1,30}]]Integrate[a[x], {x,1,Infinity}]N[%] 149.885

또는 간단하게 다음과 같이 명령어 Sum을 이용한다.Sum[a[n], {n,1,Infinity}] 150


(Lec7.nb 참고)

멱급수나 Taylor 급수는 명령어 Series를 이용하면 된다. fSeries[Cos[x], {x,0,6}]

또한 Taylor 다항함수는 Normal을 이용하여 나타낸다. 여러 가지 Taylor 다항함수들을 주어진 함수와 비교하자.

f[x_]:= Evaluate[Normal[Series[Cos[x], {x,0,3}]]];g[x_]:= Evaluate[Normal[Series[Cos[x], {x,0,6}]]];h[x_]:= Evaluate[Normal[Series[Cos[x], {x,0,9}]]];k[x_]:= Evaluate[Normal[Series[Cos[x], {x,0,15}]]];Plot[{Cos[x],f[x],g[x],h[x],k[x]}, {x,-2,8},

PlotRange->{-3,3}, PlotStyle->{{Thickness[0.005]},{Red},{Blue},{Green},{Brown}]


위 결과들을 애니메이션으로 만들어 보자. Animate[Plot[Evaluate[{Cos[x], Normal[Series[Cos[x], {x,0,n}]] }], {x,-10,10},PlotRange->3], {n,1,20,2}, AnimationDirection->ForwardBackward, AnimationRunning->False]

다음은 애니메이션 그래프이다.

6 수열과급수. -...

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