1

แผนที ่6 อนุกรมอนันต์

อนุกรมอนันต์ ถ้า 1a , 2a , 3a , ..., ka เป็นล าดับจ ากัดที่มี k พจน์ แล้ว 1 2 3 ka a a ... a เป็นอนุกรมจ ากัด (finite series)

ถ้า 1a , 2a , 3a , ..., na , ... เป็นล าดับอนันต์ แล้ว 1 2 3 na a a ... a ... เป็นอนุกรมอนันต์(infinite series) ผลบวกของอนุกรมอนันต์ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

ให้ nS 1 1 1 1a a d a 2d ... a n 1 d

nS 1

n2a n 1 d

2

nS 1 1

na a n 1 d

2

nS 1 n

na a

2

ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ให้ nS 2 3 n 2 n 1

1 1 1 1 1 1a a r a r1 a r ... a r a r

nS n

1a r 1,

r 1

r 1 เหมาะส าหรับ r 1

หรือ nS n

1

n

a 1 r,

1 r

r 1 เหมาะส าหรับ r 1

2

บทนิยาม ก าหนด 1 2 3 na a a ... a ... เป็นอนุกรมอนันต์ ให้ 1S 1a

2S 1 2a a 3S 1 2 3a a a . . .

nS 1 2 3 na a a ... a ... เรียก nS ว่า ผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม เมื่อ n เป็นจ านวนเต็มบวก เรียกล าดับอนันต์

1S , 2S , 3S , ..., nS , ... ว่า ล าดับของผลบวกย่อยของอนุกรม (a sequence of partial sums)

ตัวอย่างที่ 1 ก าหนด 4 7 10 ... 3n 1 ... จงหาล าดับของผลบวกย่อยของอนุกรม วิธีท า ให้ 1S 4

2S 4 7 11

3S 4 7 10 21

nS 4 7 10 ... 3n 1

n

2 4 n 1 32

n

8 3n 32

n

3n 52

ดังนั้น ล าดับของผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 4, 11, 21, ..., n

3n 5 ,2

...

3

ตัวอย่างที่ 2 ก าหนด n

1 1 1 1... ...

2 4 8 2 จงหาล าดับของผลบวกย่อยของอนุกรม

วิธีท า ให้ 1S 1

2

2S 1 1

2 4

3

4

3S 1 1 1

2 4 8

7

8

nS n

1 1 1 1...

2 4 8 2

n1 1

12 2

11

2

n

11

2

ดังนั้น ล าดับของผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1

,2

3,

4 7

,8

..., n

11 ,

2 ...

บทนิยาม ก าหนดอนุกรมอนันต์ 1 2 3 na a a ... a ... ให้ 1S , 2S , 3S , ..., nS , ... เป็นล าดับ

ของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ ถ้าล าดับ nS เป็นล าดับลู่เข้า และ nlim

nS S เมื่อ S

เป็นจ านวนจริง แล้วอนุกรม 1 2 3 na a a ... a ... เป็นอนุกรมลู่เข้า (convergent series) เรียก S ว่า ผลบวกของอนุกรม ถ้าล าดับ nS เป็นล าดับลู่ออก แล้วอนุกรม

1 2 3 na a a ... a ... เป็นอนุกรมลู่ออก (divergent series) จากตัวอย่างท่ี 1

4 7 10 ... 3n 1 ...

ล าดับ 4, 11, 21, ..., n

3n 5 ,2

... เป็นล าดับลู่ออก

ดังนั้น 4 7 10 ... 3n 1 ... เป็นอนุกรมลู่ออก

4

จากตัวอย่างท่ี 2 n

1 1 1 1... ...

2 4 8 2

ล าดับ 1

,2

3,

4 7

,8

..., n

11 ,

2 ... เป็นล าดับลู่เข้า

nlim

nS nn

1lim 1

2

1

ดังนั้น n

1 1 1 1... ...

2 4 8 2 เป็นอนุกรมลู่เข้า

การแสดงว่าอนุกรมอนันต์ใดเป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก ท าได้ดังนี้ 1. พิจารณาล าดับของผลบวกย่อยของอนุกรม หาสูตรผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม 2. พิจารณาลิมิตของล าดับ nS ถ้า

nlim

nS หาค่าได้ อนุกรมนั้นเป้นอนุกรมลู่เข้า ถ้าล าดับ nS ไม่

มีลิมิต อนุกรมนั้นเป็นอนุกรมลู่ออก ทฤษฎีบท ให้อนุกรมเรขาคณิตมีพจน์แรกเป็น 1a และ r เป็นอัตราส่วนร่วม

ถ้า r 1 แล้วอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี 1a

1 r เป็นผลบวกของอนุกรม

ถ้า r 1 แล้วอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก ข้อสังเกต อนุกรมเรขาคณิตที่มี 1 r 1 เป็นอนุกรมลู่เข้า อนุกรมเรขาคณิตท่ีมี r 1 หรือ r 1 เป็นอนุกรมลู่ออก

5

กิจกรรมที่ 1.2 ก

1. จงหาล าดับของผลบวกย่อยของอนุกรม และบอกว่าอนุกรมใดเป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่าใด

1) n 1

3 1 1 3 1... ...

2 2 6 2 3

2) n 1

4 8 22 ... 2 ...

3 9 3

3) 4 8 12 ... 4n ...

4) n 11 3 9 1

... 3 ...4 4 4 4

5) n 1

3 9 27 31 ... ...

4 16 64 4

6) n 1

2 4 8 21 ... ...

3 9 27 3

2. ล าดับเลขคณิตล าดับหนึ่งมีผลบวก 5 พจน์แรก และผลบวก 15 พจน์แรก เท่ากันคือ 75 จงหาพจน์ที่ 10 ของล าดับนี้

3. ถ้า S 200, 201, 202, ..., 400 จงหาผลบวกท้ังหมดของจ านวนในเซต S ที่หารด้วย 8 ลงตัว แต่หารด้วย 12 ไม่ลงตัว

4. ในการปล่อยจรวดสู่อวกาศเหนือระดับน้ าทะเล วินาทีแรกจรวดขึ้นไปได้สูง 45 ไมล์ ในวินาทีต่อๆ ไป ความสูงของจรวดจะลดลงวินาทีละ 5 ไมล์ จงหาว่านานเท่าใดจรวดอยู่เหนือระดับน้ าทะเล 210 ไมล์

5. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 5 พจน์แรก ของอนุกรมต่อไปนี้

1) 54 36 18 ... 2) 54 36 24 ...

3) 1 1

3 2 2 ...2 12

4) 1 11 111 1111 ...

6

6. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1

1 3 9 ...3

7. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีด้านยาวด้านละ 10 เซนติเมตร สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สอง ให้จุดยอด

มุมอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสี่ของรูปที่หนึ่ง สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สาม ให้จุดยอดมุมอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสี่ของรูปที่สอง ท าเช่นนี้เรื่อยไป จงหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด

8. ในการเช่าซื้ออาคารสงเคราะห์ ปีแรกเสียค่าเช่าเดือนละ 5,000 บาท ปีที่สองเสียค่าเช่าลดลง 10% ของค่าเช่าปีแรก ปีที่สามเสียค่าเช่าลดลงอีก 10% ของค่าเช่าปีที่สอง จงหาโดยใช้เครื่องค านวณ

1) ค่าเช่าอาคารสงเคราะห์ในปีที่ 10 เดือนละเท่าไร 2) ค่าเช่าทั้งหมดในเวลา 10 ปี

9. ในการก าจัดศัตรูพืชแห่งหนึ่ง เมื่อฉีดยาท าลายหนึ่งครั้งก็จะก าจัดศัตรูพืชได้เพียง 75% ของปริมาณ ศัตรูพืชที่มีอยู่ในขณะนั้นเสมอ จงหาว่าจะก าจัดศัตรูพืชได้เป็นจ านวนกี่เปอร์เซ็นต์ของปริมาณที่มีอยู่ก่อนการก าจัดเมื่อ

1) ฉีดยาท าลาย n ครั้ง 2) ฉีดยาท าลายครบ 5 ครั้ง

10. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1 3 5 7

...2 4 8 16

11. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้

1) 1 4 7 10

...3 9 27 81

2) n

3 5 7 2n 1... ...

2 4 8 2

12. อนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหนึ่งมีพจน์ที่สองเท่ากับ 6 และผลบวกอนันต์เท่ากับ 24 จงหาอนุกรมนี้

7

13. ลูกปิงปองตกจากโต๊ะสูง 4 ฟุต ถ้าทุกครั้งที่ลูกปิงปองตกกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นเป็นระยะทาง 3

4

ของความสูงที่ตกมา จงหาระยะทางทั้งหมดที่ลูกปิงปองเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง

14. การเคลื่อนที่ของชิงช้าเป็นเส้นโค้ง ครั้งแรกแกว่งได้ระยะทาง 240 เซนติเมตร ครั้งต่อไปแกว่งได้

ระยะทาง 9

10 ของระยะทางครั้งก่อนเสมอ จงหาระยะทางที่ชิงช้าเริ่มแกว่งจนหยุด

15. จงหาผลบวกของอนุกรม 1 1 1 1

log 2 log 4 log8 log16 ...4 8 16 32

16. อนุกรมอนันต์อนุกรมหนึ่ง มีพจน์ที่สองเท่ากับพจน์ที่ 10 และผลบวกอนันต์เท่ากับ 9 จงหาอัตราส่วนร่วมของอนุกรมนี้

17. จงเขียนทศนิยมซ้ าต่อไปนี้ในรูปเศษส่วน

1) 0.45

2) 0.4567 สัญลักษณ์แทนการบวก

อักษรกรีก เรียกว่า ซิกมา เป็นสัญลักษณ์แทนการบวก

ซ่ึง n

i

i 1

a

1 2 3 na a a ... a

i

i 1

a

1 2 3 na a a ... a ...

8

สมบัติของ

1. n

i 1

c

nc

2. n

i

i 1

ca

n

i

i 1

c a

3. n

i i

i 1

a b

n n

i i

i 1 i 1

a b

4. n

i i

i 1

a b

n n

i i

i 1 i 1

a b

การใช้ หาผลบวก

1 2 3 ... n n

i 1

i

n

n 12

2 2 2 21 2 3 ... n n

2

i 1

i

n

n 1 2n 16

3 3 3 31 2 3 ... n n

3

i 1

i

2

nn 1

2

ตัวอย่าง

1. 5

i 1

4

5 4 20

2. 3

i 1

4n

3

i 1

4 n

4 1 2 3

3. 4

2

i 1

n n 2

4 4 4

2

i 1 i 1 i 1

n n 2

2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4 4 2

9

กิจกรรมที่ 1.2 ข

1. จงเขียนในรูปการบวก

1) 5

i 1

i 3

1 3 2 3 ……………………………………………………………………………………..

2) 4

k 1

2k 5

2 1 5 2 2 5 ………………………………………………………………………

3) 4

2

m 2

6 m

2 26 2 6 1 ………………………………………………………………..

4) 3

i 0

5 i 3

5 0 3 ………………………………………………………………………….…………………..

5) i 15

i 1

3 2

1 1

3 2……………………………………………………………………………..…………………..

6) i4

i 1

15

3

1

15

2

……………………………………………………………………………..…..……………….

7) 4

2

k 1

2k k

22 1 1 …………………………………………………………………………..…………..

8) 4

k 0

k 1

k 1

0 1

0 1

………………………………………………………….………………………..…………………..

9) 4

2n 1

2n 1

n

2

2 1 1

1

………………………………………………………..…………………..…………………..

10) 3

2

i 1

i i 1

21 1 1 ………………………………………………………………………..…………..………..

11) 13

k 11

k 6 k 7

11 6 11 7 ……………………………………………………..……………….

12) 12

2

k 10

k 4

……………………………………………………………………………..……….……………….……..

2. จงเขียนอนุกรมต่อไปนี้ในรูปสัญลักษณ์แทนการบวก

1) 1 2 2 3 3 4 4 5 ... n n 1 ………………………………………..……….……………….……

2) 22 2 2 21 3 5 7 ... 2n 1 ... ………………………………………..……….……………….……..

3)

1 1 1 1 1... ...

2 6 12 20 n n 1

………………………………………..……….……………….……..

4) n

1 2 3 n... ...

5 25 125 5 ………………………………………..……….……………….…………………….

5) 2 1 3 2 2 3 n 1 n... ...

1 2 2 3 3 2 n n 1

…………………………………………………

10

3. จงหาค่าของ

1) 4

2

k 1

k 3

2 2 2 21 3 2 3 3 3 4 3

…………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….

2) 4

2

k 1

k 3

………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….

3) 49

k 0

50

……………………………………………………………………………………………….…………………..

…………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….

4) 52

k 50

k k 5

50 50 5 51 51 5 52 52 5

…………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….

4. ถ้าพจน์ที่ n ของอนุกรมเลขคณิตหนึ่ง คือ 5n 2 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมนี้

5. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 2 2 2 2 21 3 5 7 9 ...

6. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 3 3 3 32 5 8 11 ...

7. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้

1) 2 4 10 28 ... 2) 1 5 13 29 ...

8. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 2 3 5 8 8 13 11 18 ...

9. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 1 3 6 10 15 ...

11

10. จงหาผลบวกของอนุกรม

1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... n n 1 n 2 ... 20 21 22

11. ก าหนดอนุกรม 2 2 3

1 1 1 1 1 11 1 1 1 ...

3 3 3 3 3 3

จงหา

1) พจน์ที่ n 2) ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 3) ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรม

12. ก าหนด 30

n 1

a n 1 d

5,865 และ 20

n 1

a n 1 d

2,610 จงหา

50

n 1

a n 1 d

13. จงหาค่าของ

1) 7

2

n 1

n 4n 1

2)

n

n 2n 1

1 cosn

3 1

3)

n

n 1

n 3n 1

sin n 12

1 5

14. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม แล้วพิจารณาว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า

หรือไม่ ถ้าเป็นจงหาผลบวกของอนุกรม

1)

n

i 1

1

2i 1 2i 1

1 1 1 1 1

...1 3 3 5 5 7 5 7 2n 1 2n 1

2)

n

i 1

1

i i 4

1

1 5

………………………………………………………………………………………………………

12

15. จงหาผลบวกของอนุกรมในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) n 1

1

4n 3 4n 1

2)

n 1

n 1

2n 11

n n 1

3) n 1

1

n n 1 n 2

16. ก าหนดให้ล าดับ na สอดคล้องกับสมการ

1 2 3 na 2a 3a ... na n 1

n 2

ทุก n 1 จงหาค่าของ n

n 1

a

17. ก าหนดให้ a R 1 และ

3 n

2 2 2 2

a a a alog a log a log a ... log a 2,970

จงหาค่าของ 1 3 5 ... 2n 1

2 4 6 ... 2n

18. ก าหนดให้ π0 θ

2 และ 2 3 4sinθ sin θ sin θ sin θ ...

1

4

จงหาผลบวกของอนุกรม 2 3cosθ cos θ cos θ ...

19. ก าหนดให้ na k

11 2 2 3 3 3 ... n n ... n

n

โดยที่ k เป็นค่าคงตัว ที่ท าให้ nlim

na L, L 0 แล้ว 6 L k มีค่าเท่าไร

20. ก าหนดให้ na n 1 n 1

n

2 3

4

และ nb 1

1 2 ... n

ถ้า A และ B เป็นผลบวกของอนุกรม n

n 1

a

และ n

n 1

b

ตามล าดับ แล้ว A B มีค่าเท่าไร

13

21. ก าหนดให้ na และ nb เป็นล าดับ ซึ่งมีเงื่อนไขดังนี้

na 23n

n 1 เมื่อ n 500

nb 3 เมื่อ n 500

6 เมื่อ n 500 23n n 1

n 7

เมื่อ n 500

14

กิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 1. จงตรวจสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก ถ้าเป็นอนุกรมลู่เข้า จงหาผลบวก

ของอนุกรมนั้น

1) 1 14 1 ...

4 16

2) 3 9 271 ...

2 4 8

3) 5 7 93 ...

2 3 4

4) 3 43 3 3 3 ...

5) n 1

1

4n 3 4n 1

6)

22n 1

2n 1

n n 1

7) n

3n 1

e

n

2 3 4e e e

e ...8 27 64

8) n 1

1

n n 1

9) n 1

nln

n 1

10) n n

n 1

1 1

2 5

15

2. จงตรวจสอบว่าอนุกรมในข้อใดเป็นอนุกรมลู่เข้า ลิอนุกรมในข้อใดเป็นอนุกรมลู่ออก

1) k

k 1

k

2k 100

2) k

k 1

3k

2k 1

3)

k 1

kk 0

2

3 k 1

4) k

k 1k 0

k

5

5) k

k 1

10

k!

6) 2

k 1

k!

k

7)

2

22

k 1

k

2k 1

8)

2

k 1

k

k 2 k 4

9) 4

k 1

3 cosk

k

10) 3

k 1

k 1

k 1

11) k 1

1

1 k

12)

2

k 1

k 3

k k 1 k 2

16

แบบทดสอบก่อนเรยีน – หลังเรยีน

จงเลือกค าตอบที่ถูกต้อง 1. พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. na n 1

n 1 n 1

เป็นล าดับลู่ออก

ข. na n1 r

1 r

เป็นล าดับลู่ออก เมื่อ r 1

ค. n

1 1 1 1... ...

10 100 1000 10

เป็นอนุกรมลู่เข้ามีผลบวกเท่ากับ 1

11

ข้อใดต่อไปนี้สรุปเกี่ยวกับข้อความข้างต้นได้ถูกต้อง 1. ก และ ข เป็นจริง 2. ก และ ค เป็นจริง 3. ข และ ค เป็นจริง 4. ก, ข และ ค เป็นจริง

2. 7

2

n 1

n 2

มากกว่า

nn

n 2n 1

1 cosn

3 1

อยู่เท่าไร

1. 33 2. 54 3. 56 4. 58

3. ล าดับในข้อใดเป็นล าดับลู่ออก

1. na 2 21 1sin cos

n n

2. na n 1

1

2n 1

3. na n 1 n 1

1n

4. na n

2

3

17

4. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1. ถ้า 1 2 3a a a ... เป็นอนุกรมเรขาคณิต และ nS n

k

k 1

a

แล้ว nlim

nS หาค่าได้เสมอ

2. ถ้า na เป็นพจน์ที่ n ของล าดับ ซึ่งมี n 1 na a ส าหรับทุกๆ n แล้วล าดบันี้เป็นล าดับลู่ออก

3. ให้ na เป็นล าดับซึ่งก าหนดโดย na 1 เมื่อ n เป็นจ านวนคี่ และ na 2

n 1

n 3

เมื่อ n เป็น

จ านวนคู่ แล้ว na เป็นล าดับลู่เข้า

4. ผลบวกของอนุกรม 2 3 4

5 12 22 351 ...

3 3 3 3 เท่ากับ 45

8

5. ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง

1. 2 3 4

1 1 1 1...

2 2 2 2 เป็นอนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 2

2. ถ้า a 0 แล้วอนุกรม 2 3

a a a1 ...

1 a 1 a 1 a

เป็นอนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ

2

3. 1 2 3 4ln ln ln ln ...

2 3 4 5 เป็นอนุกรมลู่ออก

4. ถ้า na เป็นล าดับซึ่ง nlim

na 0 แล้ว n

10 a

n ส าหรับทุกค่าของ n

6. ผลบวก 18 พจน์แรกของอนุกรม 1 9 25 49 81 ... เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 7,734 2. 7,751 3. 7,753 4. 7,770

7. ผลบวกของอนุกรม 3 n3 3 3 3log 3 log 3 log 3 ... log 3 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1

n 1 log32

2. n

n 1 log32

3. 1

n 12

4. n

n 12

18

8. ก าหนดอนุกรม 2 3A:1 m m m ... และ 2 4 6B:1 m m m ... ถ้าท้ัง A และ B เป็นอนุกรมลู่เข้า ผลบวกของอนุกรม A เป็นสองเท่าของผลบวกของอนุกรม B แล้ว m มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1 2. 1 m 1 3. 1 4. ข้อมูลที่ให้มาไม่ถูกต้อง

9. ก าหนด c เป็นค่าคงตัว และถ้า

3 2

3 nn

5cn 3n 5c 1 1 1lim 1 ... ...

2 4 2n 1

แล้ว c เท่ากับข้อใด

ต่อไปนี้

1. 2

5

2. 1

5

3. 1

10

4. 1

20

10. ก าหนดอนุกรม

5 5 5 5

A : ... ...1 2 2 3 3 4 n n 1

1 1 1 1B:1 ... ...

2 3 4 n

n 127 3

C:15 9 ... 15 ...5 5

ข้อใดต่อไปนี้สรุปเกี่ยวกับอนุกรมข้างต้นได้ถูกต้อง 1. อนุกรมท้ังสามเป็นอนุกรมลู่เข้าทั้งหมด 2. อนุกรม A และ B เท่านั้นเป็นอนุกรมลู่เข้า 3. อนุกรม A และ C เท่านั้นเป็นอนุกรมลู่เข้า 4. ลิมิตของล าดับของพจน์ของอนุกรม B มีค่าเท่ากับศูนย์ จึงท าให้อนุกรม B เป็นอนุกรมลู่เข้า

19

11. ลิมิตของล าดับ na

1

3

2

43

11 3 n

n

5 n n

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 0

2. 1

5

3. 3

5

4. หาค่าไม่ได้ 12. ถ้า 2 3 n

a a a alog ax 2log a x 3log a x ... n log a x 110 แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 10

1

a

2. 5

1

a

3. 5

2

1

a

4. 5

4

1

a

13. ข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตค าตอบของอสมการ 3 3 3 3log x log 2x log 4x log 8x ... 1

1. 0, 3

2. 3,

3. 0,3 3

4. 3 3,

14. ข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตค าตอบของอสมการ 2 3 9 10

1 1 1 1... 1

log x log x log x log x

1. 0,1 2. 10!, 3. 0,1 10!, 4. 0,1 1,

20

15. ผลบวกของอนุกรม n

n 1

5 3

2 n n 1

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 0 2. 2 3. 4 4. 5

16. ถ้า

15

n 2

2 a

n 2 n 1 b

โดยที่ a และ b เป็นจ านวนเต็ม ซึ่ง ห.ร.ม. ของ a และ b เป็น 1 แล้ว

a b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 240 2. 329 3. 569 4. 580

17. ก าหนดให้ na n

11

2i

และ nb n

11

2i

เมื่อ 2i 1 ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง

1. n nn nlim a lim b

2. n nnlim a b 0

3. n nnlim a b 1

4. n

nn

alim 1

b

18. ผลบวกของอนุกรมจ ากัด 1 40 3 38 5 36 ... 39 2 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 5,740 2. 6,480 3. 17,220 4. 18,060

21

19. ให้ na เป็นล าดับของจ านวนจริงโดยที่ na

ln n 2

ln n 1

ทุก n 1 และให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง

นิยามโดย xf x e ถ้า y n

2009

n 1 a

1

log e

แล้วค่าของ f y เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. ln 2007 2. ln 2008 3. ln 2010 4. ln 2011

20. ก าหนดเศษท่ีได้จากการหาร 80

2

n 3

k! k 3k 1

ด้วย 2,550 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 2,510 2. 2,520 3. 2,530 4. 2,540

21. ก าหนดพจน์ที่ n ของล าดับสองล าดับ ดังนี้

na

2 2 2 2

n 1 2 3 ... n

3 1 2 3 ... n

nb 3n 2 3n 1

n 2 n 1

n nnlim a b

มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 11

3

2. 1 3

3. 1 1

2 3

4. 13

2

22

22. ถ้า na เป็นล าดับซึ่ง a 0 และ 2

n 1n

n 1 n

aa

a 2a

ส าหรับทุกจ านวนเต็มบวก n แล้ว 10

n

n 11

1a

a

มี

ค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 511 2. 512 3. 1,023 4. 1,024

23. ถ้า n เป็นจ านวนเต็มบวก ซึ่งท าให้ 3 n

2

2 2 21 log 2 log 2 ... log 2 n 21 แล้ว

2 n1 2 2 ... 2 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 63 2. 127 3. 255 4. 511

24. ผลบวกของอนุกรม 2 2 2 21 2 2 3 3 4 ... 19 20 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 40,130 2. 42,230 3. 42,130 4. 43,120

25. ให้ na เป็นล าดับของจ านวนจริงบวกท่ีสอดคล้องสมการ n n 1loga loga

n n 1a a

เมื่อ n 1

1a 8 และ 2a 16 แล้ว 2 2554log a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 2554

34

4

2. 2553

34

4

3. 2553

44

3

4. 2554

44

3