6 - 1 6 - 2 6.1 บทที่ 6 ในเนื้อหาแคลคูลัส...

บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 1

บทที่ 6อินทิกรัลตามพื้นผิว

รองศาสตราจารย ดํารงค ทิพยโยธาภาควิชาคณิตศาสตรและวิทยาการคอมพิวเตอรคณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

http://www.math.sc.chula.ac.th/~tdumrong/2301217


6.1 สมการเวกเตอรของพื้นผิวในเนื้อหาแคลคูลัส 2 เราไดเคยศึกษา สมการเวกเตอรของเสนตรง และ ระนาบ มาแลว เชนสมการเวกเตอรของเสนตรง L ผานจุด 0P ( 0x , 0y , 0z )และมี A

v เปนเวกเตอรแสดงทิศทาง คือ Pv = 0P

v + tAv

สมการเวกเวกเตอรของระนาบ M ซึ่งผานจุด 0P

และมี Nv เปนเวกเตอรแนวฉากคือ PP0 ⋅Nv = 0

ในหัวขอนี้เราจะศึกษาเก่ียวกับสมการเวกเตอรของพื้นผิวการเขียนกราฟของฟงกชันคาเวกเตอรที่มีโดเมนเปนจํานวน

จริง และ กราฟของฟงกชันคาเวกเตอรที่มีโดเมนเปนสับเซตของ2R โดยจะแสดงภาพของโดเมน และ พิสัยของฟงกชัน

ในรูปที่ 6.1.1 เปนภาพที่แสดง กราฟของฟงกชันคาเวกเตอรrv(t) = (0, t, 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 4ซึ่งแสดงทั้งโดเมน [0, 4] และพิสัยของ rv(t) ซึ่งก็คือ วิถี C ของ rv(t)

รูปที่ 6.1.1


สําหรับฟงกชัน rv : T → 3R เมื่อ T เปนสับเซตของ 2R

นิยามโดย rv(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)) ... (1)สมการ (1) เรียกวา สมการเวกเตอรของพื้นผิวสมการอิงตัวแปรเสริมของพื้นผิว คือ x = X(u, v)

y = Y(u, v)z = Z(u, v)

เมื่อ (u, v) เปนสมาชิกของ Tกราฟของ rv ในปริภูมิสามมิติเรียกวาพื้นผิวของสมการเวกเตอร rv ใชสัญลักษณแทนดวย rv(T)ในการแสดงความหมายของฟงกชันคาเวกเตอร rv จาก 2R ไปยัง 3R จึงตองแสดงโดเมนของ rv ซึ่งเปนสับเซตของ 2R และ พิสัยของ rv ซึ่งเปนสับเซตของ 3R

เพราะฉะนั้นการแสดงกราฟของ rv พรอมโดเมนและพิสัยสามารถแสดงในลักษณะดังนี้



ตัวอยาง 6.1.1จงเขียนกราฟของ rv(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))1. rv(u, v) = (u, v, 4) เมื่อ rDv = [0, 4] × [0, 3]2. rv(u, v) = ( 2

u , v, 4) เมื่อ rDv = [0, 4] × [0, 3]3. rv(u, v) = (u, v, 6 – 2u – 3v) เมื่อ u ≥ 0 และ v ≥ 0 และ 6 – 2u – 3v ≥ 04. rv(u, v) = (u, v, 2u + 2v ) เมื่อ u และ v เปนจํานวนจริงวิธีทาํ1. rv(u, v) = (u, v, 4) เมื่อ rDv = [0, 4] × [0, 3]ภาพของโดเมน rv

คือส่ีเหลี่ยมผืนผา [0, 4] × [0, 3] บนระนาบ UVกราฟของ rv ในปริภูมิ XYZคือ พื้นผิว {(x, y, 4) | (x, y) ∈ [0, 4] × [0, 3]}เพราะฉะนั้นกราฟของ rv เปนดังรูปที่ 6.1.3


Calculus III page 1 / 38


2. rv(u, v) = ( 2u , v, 4) เมื่อ rDv = [0, 4] × [0, 3]

ภาพของโดเมน rv

คือส่ีเหลี่ยมผืนผา [0, 4] × [0, 3] บนระนาบ UVกราฟของ rv ในปริภูมิ XYZคือพ้ืนผิว {(x, y, 4) | (x, y) ∈ [0, 2] × [0, 3]}เพราะฉะนั้นกราฟของ rv เปนดังรูปที่ 6.1.4

รูปที่ 6.1.43. rv(u, v) = (u, v, 6 – 2u – 3v)เมื่อ u ≥ 0 และ v ≥ 0 และ 6 – 2u – 3v ≥ 0ภาพของโดเมน rv คือบริเวณ u ≥ 0 และ v ≥ 0และ 6 - 2u - 3v ≥ 0 บนระนาบ UVกราฟของ rv ในปริภูมิ XYZ คือพื้นผิว {(x, y, z) | z = 6 – 2x – 3y และ x ≥ 0และ y ≥ 0 และ 6 - 2x - 3y ≥ 0}เพราะฉะนั้นกราฟของ rv เปนระนาบ z = 6 – 2x – 3y


หรือ 2x + 3y + z = 6ซึ่งมีกราฟในในอัฐภาคที่หนึ่งดังรูปที่ 6.1.5

รูปที่ 6.1.54. rv(u, v) = (u, v, 2u + 2v ) เมื่อ u และ v เปนจํานวนจริงภาพของโดเมน rv คือบริเวณระนาบ UVกราฟของ rv ในปริภูมิ XYZคือพ้ืนผิว {(x, y, z) | z = 2x + 2y เมื่อ x, y เปนจํานวนจริง}เพราะฉะนั้นกราฟของ rv เปนกราฟของพื้นผิวอิลลิปติกพาราโบลอยด z = 2x + 2y ดังรูปที่ 6.1.6



ตัวอยาง 6.1.2 พื้นผิวซึ่งมีสมการเวกเตอรrv(u, v) = (u cos v, u sin v, u) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 4 และ 0 ≤ v ≤ 2π}มีกราฟเปนรูปอะไรวิธีทาํ rv(u, v) = (u cos v, u sin v, u) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 4 และ 0 ≤ v ≤ 2π}เมื่อ x = u cos v, y = u sin v, z = uจะได 2x + 2y = 2u 2cos v + 2u 2sin v = 2u = 2z

เพราะฉะนั้นพื้นผิว rv เปนรูปกรวย


หมายเหตุ ผลจากตัวอยางขางตนเราสรุปเปนกรณีทั่วไปไดวากรวย 2x + 2y = 2z และ 0 ≤ z ≤ kมีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(u, v) = (u cos v, u sin v, u) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ k และ 0 ≤ v ≤ 2π}


ตัวอยาง 6.1.3 พื้นผิวซึ่งมีสมการเวกเตอรrv(u, v) = (k sin u cos v, k sin u sin v, k cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π และ 0 ≤ v ≤ 2π}มีกราฟเปนรูปอะไรวิธีทาํ

รูปที่ 6.1.8rv(u, v) = (k sin u cos v, k sin u sin v, k cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π และ 0 ≤ v ≤ 2π}เมื่อ x = k sin u cos v, y = k sin u sin v, z = k cos uจะได 2x + 2y + 2z

= 2k 2sin u 2cos v + 2k 2sin u 2sin v + 2k 2cos u= 2k 2sin u( 2cos v + 2sin v) + 2k 2cos u= 2k 2sin u(1) + 2k 2cos u = 2k ( 2sin u + 2cos u) = 2k

เพราะฉะนั้นพื้นผิว rv เปนพื้นผิวทรงกลมรัศมี kและมีจุดศูนยกลางที่จุด (0, 0, 0)



หมายเหตุ 1. ผลจากตัวอยางขางตนจะไดวาทรงกลม2x + 2y + 2z = 2k มีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปน

rv(u, v) = (k sin u cos v, k sin u sin v, k cos u)เมื่อ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π และ 0 ≤ v ≤ 2π}

2. พื้นผิวครึ่งทรงกลมเหนือระนาบ XYมีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(u, v) = (k sin u cos v, k sin u sin v, k cos u)เมื่อ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2

π และ 0 ≤ v ≤ 2π}3. พื้นผิวครึ่งทรงกลมใตระนาบ XY

มีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(u, v) = (k sin u cos v, k sin u sin v, k cos u)เมื่อ T = {(u, v) | 2

π ≤ u ≤ π และ 0 ≤ v ≤ 2π}4. รูปแบบอื่น ๆ ของพ้ืนผิวครึ่งทรงกลมเหนือระนาบ XY

มีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(x, y) = (x, y, 222 yxk −− ) เมื่อ (x, y) ∈ Tโดยที่ T = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 2k เมื่อ k > 0}

5. รูปแบบอื่น ๆ ของพ้ืนผิวครึ่งทรงกลมใตระนาบ XYมีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(x, y) = (x, y, – 222 yxk −− ) เมื่อ (x, y) ∈ Tโดยที่ T = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 2k เมื่อ k > 0}


ตัวอยาง 6.1.4 จงหาสมการเวกเตอรของพื้นผิวพาราโบลอยดz = 2x + 2y เมื่อ 0 ≤ z ≤ 9วิธีทาํ

รูปที่ 6.1.9ให P(x, y, z) เปนจุดบนพาราโบลอยด z = 2x + 2y

เมื่อ 0 ≤ z ≤ 9โดยใชพิกัดทรงกระบอก จะไดวา พื้นผิวพาราโบลอยดจะมีสมการอิงตัวแปรเสริมเปน

x = u cos vy = u sin vz = 2u

เมื่อ (u, v) ∈ T โดยที่ T = [0, 3] × [0, 2π]จะไดสมการเวกเตอรของพื้นผิวrv(u, v) = (u cos v, u sin v, 2u ) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 3 และ 0 ≤ v ≤ 2π}


หมายเหตุ1. ผลจากตัวอยางขางตนจะไดวา

พาราโบลอยด z = 2x + 2y เมื่อ 0 ≤ z ≤ kมีสมการเวกเตอรเปน rv(u, v) = (u cos v, u sin v, 2u )เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ k และ 0 ≤ v ≤ 2π}

2. พาราโบลอยด z = 2x + 2y เมื่อ 0 ≤ z ≤ kสามารถกําหนดสมการเวกเตอรของพื้นผิวไดเปนrv(x, y) = (x, y , 2x + 2y ) เมื่อ (x, y) ∈ Tโดยที่ T = {(x, y) | 2x + 2y ≤ k}

ตัวอยาง 6.1.5 จงหาสมการเวกเตอรของทรงกระบอก 2x + 2y = 16 และ 0 ≤ z ≤ 5วิธีทาํ

รูปที่ 6.1.10


ให P(x, y, z) เปนจุดบนทรงกระบอก 2x + 2y = 16เมื่อ 0 ≤ z ≤ 5โดยใชพิกัดทรงกระบอก จะไดวา พื้นผิวทรงกระบอกจะมีสมการอิงตัวแปรเสริมเปน

x = 4 cos uy = 4 sin uz = v

เมื่อ (u, v) ∈ T โดยที่ T = [0, 2π] × [0, 5]จะไดสมการเวกเตอรของพื้นผิวrv(u, v) = (4 cos u, 4 sin u, v)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2π และ 0 ≤ v ≤ 5}หมายเหตุเมื่อ h, k เปนจํานวนจริงบวกผลจากตัวอยางขางตนจะไดวาทรงกระบอก 2x + 2y = 2k เมื่อ 0 ≤ z ≤ hมีสมการเวกเตอรเปน rv(u, v) = (k cos u, k sin u, v)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2π และ 0 ≤ v ≤ h}


บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 13แบบฝกหัด 6.11. จงหาสมการเวกเตอรของพื้นผิว

1.1 3x + 2y - 6z = 241.2 2x + 2y = 161.3 2x + 2y = z1.4 4 2x - 9 2y = 36z1.5 49 2x + 9 2y + 2z = 25

2. พ้ืนผิวซึ่งมีสมการเวกเตอร rv (u, v) และ โดเมน T ที่กําหนดใหตอไปนี้ มีพ้ืนผิวเปนรูปอะไร2.1 rv (u, v) = (2u, v, 4 2u + 2v ) เมื่อ T = {(u, v) | 0 ≤ 4 2u + 2v ≤ 4}2.2 rv (u, v) = (4 cos u, 4 sin u, v) เมื่อ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2π และ -4 ≤ v ≤ 4}2.3 rv (u, v) = (u + v + 4, u - v + 5, 2u) เมื่อ T = {(u, v) | u และ v เปนจํานวนจริง}2.4 rv (u, v) = (u, v, 22 vu1 −− ) เม่ือ T = {(u, v) | 0 ≤ 2u + 2v ≤ 1}

เฉลยแบบฝกหัด 6.11. 1.1 rv (u, v) = (u, v, 6

v2u324−

−− )1.2 rv (u, v) = (4 cos u, 4 sin u, v)1.3 rv (u, v) = (u cos v, u sin v, 2u )1.4 rv (u, v) = (3u, 2v, 2u - 2v )

แนะนาํ ให x = 3u และ y = 2v จะได 4 2x = 36 2u และ 9 2y = 36 2v

เพราะฉะนั้น 4 2x - 9 2y = 36 2u - 36 2v = 36( 2u - 2v ) = 36z1.5 rv (u, v) = ( 7

5 sin u cos v, 35 sin u sin v, 5 cos u)

แนะนาํ ให 7x = 5 sin u cos v และ 3y = 5 sin u sin v และ z = 5 cos uเพราะฉะนั้น 49 2x + 9 2y + 2z = (5 sin u cos v) 2 + (5 sin u sin v) 2 + (5 cos u) 2 = 25

2. 2.1 พ้ืนผิวอิลลิปติกพาราโบลอยด 2x + 2y = z โดยที่ 0 ≤ z ≤ 42.2 พ้ืนผิวทรงกระบอก 2x + 2y = 16 โดยที่ -4 ≤ z ≤ 42.3 พ้ืนผิวระนาบ x + y - z = 9

แนะนาํ ให x = u + v + 4 และ y = u - v + 5 และ z = 2uเพราะฉะนั้น x + y = 2u + 9 = z + 9 เพราะฉะนั้น x + y - z = 9

2.4 พ้ืนผิวครึ่งทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1 เหนือระนาบ XY



6.2 การหาพื้นที่ของพื้นผิวการหาพื้นที่ผิวของรูปทรงที่รูสมการเวกเตอร เชน ระนาบพื้นผิวไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด

รูปที่ 6.2.1(ก) รูปที่ 6.2.1(ข)หมายเหตุ || A

v × Bv ||

= พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานประชิดเปน A

v และ Bv

ดังรูปที่ 6.2.2 รูปที่ 6.2.2ตัวอยาง 6.2.1 จงหาพื้นที่ผิวของระนาบรูปสี่เหลี่ยมดานขนานS ที่มีดานประชิดเปน A

v = (1, –1, 2) และ Bv = (–1, 2, –1)

วิธีทาํ Av × B

v = 12 12 11 k j i

−−

−

vvv

= 12 2 1 −

− iv – 11

2 1 −− jv + 2 1

11 −− k

v

= (1 – 4) iv – (–1 + 2) j

v + (2 – 1)kv = –3 i

v – jv + k

v

เพราะฉะนั้น พื้นที่ระนาบ S = || Av × B

v ||= 222 1)1()3( +−+− = 11


ตัวอยาง 6.2.2 จงหาพื้นที่ผิวของพื้นผิวระนาบ2x + y + 3z = 6 ในอัฐภาคที่หนึ่งวิธีทาํ

รูปที่ 6.2.3 พื้นที่ผิวของระนาบ = 2

1 || AB × AC ||= 2

1 || ((0, 6, 0) – (3, 0, 0)) × ((0, 0, 2) – (3, 0, 0)) ||

= 21 || (–3, 6, 0) × (–3, 0, 2) ||

= 21 ||

2 0 30 6 3k j i

−−

vvv

||

= 21 || 20

06 iv – 23

03 −− j

v + 0363 −

− kv ||

= 21 || 12 i

v + 6 j

v + 18kv ||

= 21 32436144 ++

= 21 504

= 3 14


บทนิยาม 6.2.1 กําหนดให S เปนพื้นผิวในปริภูมิสามมิติภาพฉายของพื้นผิว S บนระนาบ XYหมายถึงเซต XYS = {(x, y, 0) | มี z ที่ทําให (x, y, z) ∈ S}ภาพฉายของพื้นผิว S บนระนาบ YZหมายถึงเซต YZS = {(0, y, z) | มี x ที่ทําให (x, y, z) ∈ S}ภาพฉายของพื้นผิว S บนระนาบ XZหมายถึงเซต XZS = {(x, 0, z) | มี y ที่ทําให (x, y, z) ∈ S}ตัวอยางเชนS = {(x, y, z) | 2x + 2y = z และ 0 ≤ z ≤ 4}

XYS = {(x, y, 0) | 2x + 2y ≤ 4}เปนจุดภายในวงกลมซึ่งมีจุดศูนยกลางที่จุด (0, 0)และมีรัศมีเทากับ 2 บนระนาบ XYภาพของ S และ XYS เปนดังรูปที่ 6.2.4



ตัวอยาง 6.2.3 กําหนดสมการระนาบ M : 2x + 3y + z = 24S เปนสับเซตของพื้นผิวระนาบ M ที่มี

XYS = [0, 3] × [0, 4] × { 0 } จงหาพื้นที่ของ Sวิธีทาํ

รูปที่ 6.2.5จุด A(0, 0, 24) บน S มีภาพฉายของจุดบนระนาบ XYเปนจุด (0, 0, 0)จุด B(3, 0, 18) บน S มีภาพฉายของจุดบนระนาบ XYเปนจุด (3, 0, 0)จุด C(3, 4, 6) บน S มีภาพฉายของจุดบนระนาบ XYเปนจุด (3, 4, 0)จุด D(0, 4, 12) บน S มีภาพฉายของจุดบนระนาบ XYเปนจุด (0, 4, 0)



เพราะฉะนั้น ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานประชิดเปน AB และ AD ดังแสดงในรูปที่ 6.2.5พื้นที่ S = || AB × AD ||= || ((3, 0, 18) – (0, 0, 24)) × ((0, 4, 12) – (0, 0, 24)) ||= || (3, 0, –6) × (0, 4, –12) ||

= || 21 4 06 0 3k j i

−−

vvv

||

= || 1246 0 −

− iv – 120

6 3 −− j

v + 4003 k

v ||= || 24 i

v + 36 jv + 12k

v || = 12 || 2 iv + 3 j

v + kv ||

= 12 194 ++ = 12 14

ระนาบสัมผัสพื้นผิวA( 0x , 0y , 0z ) บนพื้นผิว S ซึ่งมีสมการพื้นผิว f(x, y, z) = 0M เปนระนาบสัมผัสพื้นผิว S ที่จุด Aเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M คือ ∇ f(A)= ( x∂

∂ f( 0x , 0y , 0z ), y∂∂ f( 0x , 0y , 0z ), y∂

∂ f( 0x , 0y , 0z ))สมการของระนาบ M คือ

x∂∂ f( 0x , 0y , 0z )(x – 0x ) + y∂

∂ f( 0x , 0y , 0z )(y – 0y ) + z∂

∂ f( 0x , 0y , 0z )(z – 0z ) = 0


ตัวอยาง 6.2.4 จงหาระนาบ M ซึ่งเปนระนาบสัมผัสพื้นผิวz = 4y – 2y – 2x + 2 ที่จุด A(3, 2, 5)และจงหาพื้นที่ S ซึ่งเปนสับเซตของพื้นผิวระนาบ M ที่มี

XYS = [2.9, 3.1] × [1.9, 2.1] × { 0 }วิธีทาํ ให f(x, y, z) = 4y – 2y – 2x + 2 – zเพราะฉะนั้น x

f∂∂ = –2x, y

f∂∂ = 4 3y – 2y, z

f∂∂ = –1

∇ f(3, 2, 5) = ( xf∂∂ (3, 2, 5), y

f∂∂ (3, 2, 5), z

f∂∂ (3, 2, 5))

= (–6, 28, –1)สมการของระนาบ M คือ(–6)(x – 3) + (28)(y – 2) + (–1)(z – 5) = 0 –6x + 28y – z = –18 + 56 – 5

–6x + 28y – z = 33



เพราะวา XYS = [2.9, 3.1] × [1.9, 2.1] × { 0 }และสมการระนาบ M คือ z = –6x + 28y – 33เพราะฉะนั้นบริเวณ S บนระนาบ M ปดลอมดวยสี่เหลี่ยมที่มีจุดมุมเปน B(3.1, 1.9, 1.6), C(3.1, 2.1, 7.2),D(2.9, 2.1, 8.4) และ E(2.9, 1.9, 2.8)เพราะฉะนั้นสี่เหลี่ยม BCDE เปนสี่เหล่ียมดานขนาน S ที่มีดานประชิดเปน BC และ BE

รูปที่ 6.2.7พื้นที่ S = พื้นที่ของสี่เหลี่ยมดานขนาน BCDE= || BC × BE ||= || ((3.1, 2.1, 7.2) – (3.1, 1.9, 1.6))

× ((2.9, 1.9, 2.8) – (3.1, 1.9, 1.6)) ||


= || (0, 0.2, 5.6) × (–0.2, 0, 1.2) ||

= || 2.102.06.52.00k j i

−

vvv

||

= || 2.106.52.0 i

v – 2.12.06.50 − j

v + 02.02.00 − k

v ||= || 0.24 i

v + 1.12 jv + 0.04k

v ||= 222 04.012.124.0 ++

= 0016.02544.10576.0 ++

= 3136.1

ในวิชาแคลคูลัล 1 เราประมาณคาพ้ืนที่ใตโคง y = f(x) กับแกน X บนชวง [x, x + ∆ x] จนสามารถหาคาของพื้นที่ระหวางเสนโคงไดดวยการอินทิเกรต ในวิชาแคลคูลัส 2 เราประมาณความยาวสวนโคง rv(t) ในชวง [t, t + ∆ t] ไดดวยความยาวเสนตรง จากจุด rv(t) ไปยังจุด rv(t + ∆ t) จนสามารถหาความยาวสวนโคงทั้งเสนไดดวยอินทิกรัลตามเสน ในแนวคิดแบบเดียวกันเราจะประมาณคาพ้ืนที่ผิวโคงชิ้นเล็ก ๆ ดวยพื้นที่ระนาบสัมผัส

แนวคิวในการหาพื้นที่ผิวขางตน จะขยายแนวคิดดังกลาวเปนการอินทิเกรตได เพ่ือใหขอสมมติตางๆ ที่จําเปนในการอินทิเกตรสามารถทําได เราจําเปนตองทราบความหมายตาง ๆ เก่ียวกับพื้นผิวเพิ่มเติมดังนี้



พื้นผิว S ที่กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร rv : T → 3R

เมื่อ T เปนสับเซตของ 2R

rv(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v))สิ่งที่ควรทราบมีดังนี้1. เมื่อ v = 0v เปนคาคงตัว จะไดวา rv(u, 0v )คือเสนโคง

0vC : rv(u, 0v ) บนพื้นผิว Sและ

ur

∂∂v (u, 0v ) เปนเวกเตอรสัมผัสเสนโคง

0vC : rv(u, 0v )2. เมื่อ u = 0u เปนคาคงตัว จะไดวา rv( 0u , v)คือเสนโคง

0uC : rv( 0u , v) บนพื้นผิว Sและ

vr

∂∂v ( 0u , v) เปนเวกเตอรสัมผัสเสนโคง

0uC : rv( 0u , v)3. rn vv (u, v) =

ur

∂∂v (u, v) ×

vr

∂∂v (u, v)

เรียกวา เวกเตอรแนวฉากของพื้นผิวNv =

|| n ||n

r

rv

vv

v เรียกวา เวกเตอรแนวฉากหนวยของพื้นผิว

4. rn vv ( 0u , 0v ) = ur

∂∂v ( 0u , 0v ) ×

vr

∂∂v ( 0u , 0v )

เรียกวาเวกเตอรแนวฉากของพื้นผิวที่ ( 0u , 0v )5. ภาพที่ใชแสดงความหมายของ จุด rv( 0u , 0v )

rn vv ( 0u , 0v ) = ur

∂∂v ( 0u , 0v ) ×

vr

∂∂v ( 0u , 0v )

เสนโคง 0vC : rv(u, 0v ) บนพื้นผิว S

ur

∂∂v (u, 0v )

เวกเตอรสัมผัสเสนโคง 0vC : rv(u, 0v )


เสนโคง 0uC : rv( 0u , v) บนพื้นผิว S

vr

∂∂v ( 0u , v)

เวกเตอรสัมผัสเสนโคง 0uC : rv( 0u , v)

โดยสังเขปคือ รูปที่ 6.2.8

รูปที่ 6.2.8บทนิยาม 6.2.1 พื้นผิว S ที่กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอรrv : T → 3R เมื่อ T เปนสับเซตของ 2R

rv(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v))rv( 0u , 0v ) เปนจุดบนพื้นผิวถา

ur

∂∂v และ

vr

∂∂v ตอเนื่องที่จุด ( 0u , 0v )

และ ur

∂∂v ( 0u , 0v ) ×

vr

∂∂v ( 0u , 0v ) ≠ 0

v

แลว rv( 0u , 0v ) เรียกวา จุดปกติถา

ur

∂∂v ไมตอเนื่องที่ ( 0u , 0v ) หรือ

vr

∂∂v ไมตอเนื่องที่ ( 0u , 0v )

หรือ ur

∂∂v ( 0u , 0v ) ×

vr

∂∂v ( 0u , 0v ) = 0

v

แลว rv( 0u , 0v ) เรียกวา จุดเอกฐาน


ตัวอยาง 6.2.5 ให S เปนพื้นผิวรูปครึ่งทรงกลมกําหนดโดยrv(u, v) = (u, v, 22 vu4 −− )เมื่อ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 4}จงหาจุดเอกฐานและจุดปกติของพื้นผิว Sวิธีทาํ rv(u, v) = (u, v, 22 vu4 −− )

ur

∂∂v = (1, 0, –

22 vu4u

−−)

vr

∂∂v = (0, 1, –

22 vu4v−−

)

rn vv = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v =

vu4v10

vu4u01

kji

22

22

−−−

−−−

vvv

=

vu4v1

vu4u0

22

22

−−−

−−−

iv –

vu4v0

vu4u1

22

22

−−−

−−−

jv

+ 1001 k

v

= (22 vu4

u−−

, 22 vu4

v−−

, 1)

เพราะวาจุดบนขอบของครึ่งทรงกลมมีคา 2u + 2v = 4เพราะฉะนั้นจุดบนขอบของครึ่งทรงกลมเปนจุดเอกฐานสวนจุดอื่น ๆ บนพื้นผิวครึ่งทรงกลมจะเปนจุดปกติ


ตัวอยาง 6.2.6 ให S เปนพื้นผิวรูปครึ่งทรงกลมกําหนดโดยrv(u, v) = (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)เมื่อ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2

π และ 0 ≤ v ≤ 2π}จงหาจุดเอกฐานของพื้นผิว Sวิธีทาํ rv(u, v) = (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)

ur

∂∂v = (2 cos u cos v, 2 cos u sin v, –2 sin u)

vr

∂∂v = (-2 sin u sin v, 2 sin u cos v, 0)

rn vv = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v

= 0vcosusin2vsinusin2

usin2vsinucos2vcosucos2kji

−

−

vvv

= 0vcosusin2usin2vsinucos2 − i

v – 0vsinusin2usin2vcosucos2 −

− jv

+ vcosusin2vsinusin2vsinucos2vcosucos2 − k

v

= 4 2sin u cos v iv + 4 2sin u sin v j

v + 4sin u cos ukv

= (4 2sin u cos v, 4 2sin u sin v, 4sin u cos u)= 2 sin u (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)เพราะวา rv(u, v) ไมเปนเวกเตอรศูนยเพราะฉะนั้น rn vv = 0

v ก็ตอเมื่อ sin u = 0เพราะฉะนั้น rn vv = 0

v ก็ตอเมื่อ u = 0เพราะฉะนั้น u = 0 จะไดวา rn vv = 0

v

เพราะฉะนั้นจุด rv(0, v) = (0, 0, 2) เปนจุดเอกฐานCalculus III page 7 / 38


ขอสังเกต บนพื้นผิว S คิดจากฟงกชันคาเวกเตอรตามตัวอยาง 6.2.5 จุด (0, 0, 2) ไมเปนจุดเอกฐาน

บทนิยาม 6.2.2 พื้นผิว S ที่กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอรrv : T → 3R เมื่อ T เปนสับเซตของ 2R

ถา rv(u, v) เปนจุดปกติ ทุก (u, v) ใน Tแลว พื้นผิว S เปน พื้นผิวเรียบถา พื้นผิว S ไมเปนพื้นผิวเรียบแต S ประกอบดวยพื้นผิวเรียบแลว พื้นผิว S เปน พื้นผิวเรียบเปนสวน ๆตัวอยางเชนพื้นผิวระนาบเปนพื้นผิวเรียบพื้นผิวลูกบาศกประกอบดวยดาน 6 ดานไมเปนพื้นผิวเรียบแตเพราะวาดานทั้ง 6 ดานเปนระนาบซึ่งเปนพื้นผิวเรียบเพราะฉะนั้น พื้นผิวลูกบาศกเปนพื้นผิวเรียบเปนสวน

ขอสังเกต1. พื้นผิว S ในปริภูมิสามมิติ อาจไดมาจากฟงกชันคาเวกเตอร

1 rv ที่มีโดเมน 1T และ S = 1 r

v ( 1T )และ 2 r

v ที่มีโดเมน 2T และ S = 2 rv ( 2T )

โดยที่ 1 rv และ 2rv ตางกัน

เพราะฉะนั้นเปนไปไดที่ จุด P บนพื้นผิว S


ถา พิจารณาโดยใช 1 rv (u, v) ที่มีโดเมน 1T

แลว จะไดวาจุด P เปนจุดปกติแต ถา พิจารณาโดยใช 2 r

v (u, v) ที่มีโดเมน 2T

แลว จะไดวาจุด P เปนจุดเอกฐาน2. ถา

ur

∂∂v และ

vr

∂∂v เปนฟงกชันตอเนื่อง

แลว ur

∂∂v ×

vr


เพราะฉะนั้น ระนาบสัมผัสจะจะการเปลี่ยนแปลงอยางตอเนื่องเพราะฉะนั้นพื้นผิวเรียบจะไมมีการหักมุม3. สําหรับฟงกชัน rv : T → 3R เมื่อ T เปนสับเซตของ 2R

เมื่อ 0vL เปนสวนเสนตรง v = 0v ในโดเมน T บนระนาบ UV

จะไดวา rv(0vL ) เปนเสนโคงบนพื้นผิว rv(T)

ur

∂∂v (u, 0v ) คือ ความเร็วของการเคลื่อนที่บนเสนโคง rv(

0vL )การเคลื่อนที่บนเสนโคง rv(

0vL ) ในชวงเวลา ∆ uมีคาประมาณเทากับ = ความเร็ว × เวลา = ||

ur

∂∂v || (∆ u)

เมื่อ 0uL เปนสวนเสนตรง u = 0u ในโดเมน T บนระนาบ UV

จะไดวา rv(0uL ) เปนเสนโคงบนพื้นผิว rv(T)

vr

∂∂v ( 0u , v) คือ ความเร็วของการเคลื่อนที่บนเสนโคง rv(

0uL )


การเคลื่อนที่บนเสนโคง rv(0uL ) ในชวงเวลา ∆ v

มีคาประมาณเทากับ = ความเร็ว × เวลา = || vr

∂∂v || (∆ v)

รูปที่ 6.2.9เพราะฉะนั้น จากรูปที่ 6.2.9บริเวณสี่เหลี่ยมผืนผา ∆ T ที่มีพื้นที่ (∆ u)(∆ v)เมื่อสงคาไปยังพ้ืนผิว rv(T)จะสงไปยังบริเวณพ้ืนผิวที่มีคาประมาณเทากับ= พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานประชิดเปนเวกเตอร

(∆ u)ur

∂∂v ( 0u , 0v ) และ (∆ v)

vr

∂∂v ( 0u , 0v )

= || (∆ u)ur

∂∂v ( 0u , 0v ) × (∆ v)

vr

∂∂v ( 0u , 0v ) ||

= || ur

∂∂v ( 0u , 0v ) ×

vr

∂∂v ( 0u , 0v ) ||(∆ u)(∆ v)

= || rn vv ( 0u , 0v ) || (∆ u)(∆ v)


เพราะฉะนั้นบริเวณสี่เหลี่ยมผืนผา ∆ T บนโดเมน Tบนระนาบ UV จะสงดวย rv(u, v) ไปยังพ้ืนผิว rv(T)ในปริภูมิสามมิติ จะมีพื้นที่โดยประมาณเทากับ || rn vv ( 0u , 0v ) || (∆ u)(∆ v)

รูปที่ 6.2.10



6.2.1 การหาพื้นที่ของพื้นผิวเรียบ rv

เมื่อโดเมน T เปนสี่เหลี่ยมผืนผากําหนดใหพื้นผิวเรียบ Sกําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร rv : T → 3R

เมื่อ T = [a, b] × [c, d] เปนสับเซตของระนาบ UVบนระนาบ UVให UP = { 0u , 1u , 2u , ... , 1iu − , iu , ... , mu }เปนผลแบงก้ันของชวง [a, b]นั่นคือ UP แบงชวง [a, b] ออกเปน m ชวงยอยดวยจุด 0u , 1u , 2u , ... , 1iu − , iu , ... , mu

โดยที่ a = 0u < 1u < 2u < ... < mu = bและ ∆ iu = iu – 1iu − ทุก i = 1, 2, ... , mให VP = { 0v , 1v , 2v , ... , 1jv − , jv , ... , nv }เปนผลแบงก้ันของชวง [c, d]นั่นคือ VP แบงชวง [c, d] ออกเปน n ชวงยอยดวยจุด 0v , 1v , 2v , ... , 1jv − , jv , ... , nv

โดยที่ c = 0v < 1v < 2v < ... < nv = dและ ∆ jv = jv – 1jv − ทุก j = 1, 2, ... , n


รูปที่ 6.2.11สําหรับคา i = 1, 2, ... , m และ j = 1, 2, ... , n

ijT = [ 1iu − , iu ] × [ 1jv − , jv ]ijS = พื้นที่ของพื้นผิว rv( ijT )

สี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD คือบริเวณ [ 1iu − , iu ] × [ 1jv − , jv ]บนระนาบ UVให rv(AB) = เสนโคง PQ บนพื้นผิว S

rv(BC) = เสนโคง QR บนพื้นผิว Srv(CD) = เสนโคง RM บนพื้นผิว Srv(DA) = เสนโคง MP บนพื้นผิว S

เพราะฉะนั้น rv(ABCD) = พื้นผิว PQRM บนพื้นผิว Sให PQ = rv(B) – rv(A)

= 1ii uu

)A(r)B(r−−

− vv ( iu – 1iu − )


เพราะวา ur


เพราะฉะนั้นตองมี *iju เปนสมาชิกของ [ 1iu − , iu ]

ที่ทําให ur

∂∂v ( *

iju ) = 1ii uu

)A(r)B(r−−

− vv

เพราะฉะนั้น PQ = ur

∂∂v ( *

iju )( iu – 1iu − )ให PM = rv(D) – rv(A) =

1jj vv)A(r)D(r

−−− vv

( jv – 1jv − )

เพราะวา vr


เพราะฉะนั้นตองมี *ijv เปนสมาชิกของ [ 1jv − , jv ]

ที่ทําให vr

∂∂v ( *

ijv ) = 1jj vv

)A(r)D(r−−

− vv

เพราะฉะนั้น PM = vr

∂∂v ( *

ijv )( jv – 1jv − ) ijS = พื้นที่พื้นผิว PQRM ≈ || PQ × PM ||

= || ur

∂∂v ( *

iju ) ( iu – 1iu − ) × vr

∂∂v ( *

ijv )( jv – 1jv − ) ||= ||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || ( iu – 1iu − )( jv – 1jv − )= ||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )

พื้นที่ของพื้นผิว S = ∑=

m

1 i∑=

n

1 jijS

= ∑=

m

1 i∑=

n

1 j||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )

เมื่อ m, n มีคาเพิ่มขึ้นอยางไมมีขีดจํากัด(m → ∞ และ n → ∞)


และ ∆ iu มีคาเขาใกล 0 ทุกคา i = 1, 2, ... , mและ ∆ jv มีคาเขาใกล 0 ทุกคา j = 1, 2, ... , nจะไดวา พื้นที่ของพื้นผิว S

= ∞→∞→

n m

lim ∑=

m

1 i∑=

n

1 j||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )

เพราะวา S เปนพื้นผิวเรียบเพราะฉะนั้น ||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || ตอเนื่องบน Tเพราะฉะนั้น ||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || อินทิเกรตไดบนโดเมน Tและพื้นที่ของพื้นผิว S = ∫∫

T|| rn vv (u, v) || dudv

เมื่อ rn vv = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v



ตัวอยาง 6.2.7 กําหนดใหพื้นผิว Sมีฟงกชันเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(u, v) = (u, v, 24 – 2u – 3v)และ (u, v) ∈ [0, 3] × [0, 4] จงหาพื้นที่ของ Sวิธีทาํ rv(u, v) = (u, v, 24 – 2u – 3v)

ur

∂∂v = (1, 0, –2)

vr

∂∂v = (0, 1, –3)

rn vv = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v

= 310201k ji

−−

vvv

= 3120 −

− iv - 30

21 −− j

v + 1001 k

v

= 2 iv + 3 j

v + kv

|| rn vv (u, v) || = || 2 iv + 3 j

v + kv || = 194 ++ = 14

พื้นที่ของพื้นผิว S = ∫∫T|| rn vv (u, v) || dudv

= ∫4

0∫3

014 dudv

= 14 (3)(4) = 12 14

หมายเหตุ เปรียบเทียบกับ ตัวอยาง 6.2.3 จะไดคําตอบเทากัน


6.2.2 การหาพื้นที่ของพื้นผิวเรียบ rv

เมื่อโดเมน T เปนบริเวณที่มีขอบเขตกําหนดใหพื้นผิวเรียบ S กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอรrv : T → 3R เมื่อ T เปนเซตที่มีขอบเขต

รูปที่ 6.2.12(ก) รูปที่ 6.2.12(ข)เพราะวา T เปนเซตมีขอบเขตเพราะฉะนั้นมี a, b, c, d เปนจํานวนจริงที่ทําให T เปนสับเซตของ [a, b] × [c, d]ให UP = { 0u , 1u , 2u , ... , 1iu − , iu , ... , mu }เปนผลแบงก้ันของชวง [a, b]นั่นคือ UP แบงชวง [a, b] ออกเปน m ชวงยอยดวยจุด 0u , 1u , 2u , ... , 1iu − , iu , ... , mu

โดยที่ a = 0u < 1u < 2u < ... < mu = bและ ∆ iu = iu – 1iu − ทุก i = 1, 2, ... , m


ให VP = { 0v , 1v , 2v , ... , 1jv − , jv , ... , nv }เปนผลแบงก้ันของชวง [c, d]นั่นคือ VP แบงชวง [c, d] ออกเปน n ชวงยอยดวยจุด 0v , 1v , 2v , ... , 1jv − , jv , ... , nv

โดยที่ c = 0v < 1v < 2v < ... < nv = dและ ∆ jv = jv – 1jv − ทุก j = 1, 2, ... , nสําหรับคา i = 1, 2, ... , m และ j = 1, 2, ... , nให ijT = [ 1iu − , iu ] × [ 1jv − , jv ]เพราะฉะนั้น ijT ∩ T ≠ ∅ หรือ ijT ∩ T = ∅

ijS = พื้นที่ของพื้นผิว rv( ijT ) เมื่อ ijT ∩ T ≠ ∅ในทํานองเดียวกันกับการแสดงขางตน จะไดวา

ijS = พื้นที่ของพื้นผิว rv( ijT )= ||

ur

∂∂v ( *

iju ) ( iu – 1iu − ) × vr

∂∂v ( *

ijv )( jv – 1jv − ) ||= ||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || ( iu – 1iu − )( jv – 1jv − )= ||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )

พื้นที่ของพื้นผิว S = ∑=

m

1 i∑=

n

1 jijS และ ijT ∩ T ≠ ∅

= ∑=

m

1 i∑=

n

1 j||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )


เมื่อ m, n มีคาเพิ่มขึ้นอยางไมมีขีดจํากัดและ ∆ iu มีคาเขาใกล 0 ทุกคา i = 1, 2, ... , mและ ∆ jv มีคาเขาใกล 0 ทุกคา j = 1, 2, ... , nจะไดวาพื้นที่ของพื้นผิว S

= ∞→∞→

n m

lim ∑=

m

1 i∑=

n

1 j||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )

เพราะวา S เปนพื้นผิวเรียบเพราะฉะนั้น ||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || มีความตอเนื่องบน Tเพราะฉะนั้น ||

ur

∂∂v ( *

iju ) × vr

∂∂v ( *

ijv ) || อินทิเกรตไดบนโดเมน Tและพื้นที่ของพื้นผิว S = ∫∫




ตัวอยาง 6.2.8 กําหนดใหพื้นผิว Sมีฟงกชันเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(u, v) = (u, v, 3

1(6 – 2u –v)) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 3 และ 0 ≤ v ≤ 6 – 2u}จงหาพื้นที่ของ Sวิธีทาํ

รูปที่ 6.2.13 rv(u, v) = (u, v, 3

1(6 – 2u –v))

ur

∂∂v = (1, 0, –

32)

vr

∂∂v = (0, 1, –

31)

rn vv (u, v) = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v =

31103201k ji

−

−

vvv


=

311320

−

−iv -

310321

−

−jv + 10

01 kv

= 32 iv + 3

1 jv + 1k

v

|| rn vv (u, v) || = || 32 iv + 3

1 jv + 1k

v ||= 3

1 || 2 iv + 1 j

v + 3kv || = 3

1 914 ++ = 31 14

T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 3 และ 0 ≤ v ≤ 6 – 2u}พื้นที่ของพื้นผิว S = ∫∫


= ∫3

0∫− u26

0 31 14 dvdu

= 31 14 ∫

3

0∫− u26

0(1) dvdu

= 31 14 ∫

3

0(6 – 2u) du

= 31 14 [ 6u – 2u ] 0 u

3 u ==

= 31 14 (18 – 9)

= 3 14

หมายเหตุ เปรียบเทียบกับ ตัวอยาง 6.2.2 จะไดคําตอบเทากัน


ตัวอยาง 6.2.9จงหาพื้นที่ของพื้นผิวของระนาบ 2x + 3y + z = 6เฉพาะสวนที่อยูภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 16วิธีทาํ

รูปที่ 6.2.14พื้นผิว S กําหนดโดยสมการเวกเตอรrv(u, v) = (u, v, 6 – 2u – 3v) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 16}

ur

∂∂v = (1, 0, –2)

vr

∂∂v = (0, 1, –3)

rn vv (u, v) = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v =

310201k ji

−−

vvv

= 3120 −

− iv - 30

21 −− j

v + 1001 k

v = 2 iv + 3 j

v + 1kv

|| rn vv (u, v) || = || 2 iv + 3 j

v + 1kv || = 194 ++ = 14


พื้นที่ของพื้นผิว S = ∫∫T|| rn vv (u, v) || dudv = ∫∫

T14 dudv

โดยการเปลี่ยนเปนพิกัดเชิงขั้ว ให u = r cos θ , v = r sin θ

จะได T = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4}และ ∫∫

T14 dudv = ∫

π2

0∫4

014 r drdθ

= 14 ∫π2

0[

2r2 ] 0r

4r== dθ

= 14 ∫π2

08 drdθ

= 14 [ 8θ ] 02

=θπ=θ

= 16 14π

เพราะฉะนั้น พื้นที่ของพื้นผิว S มีคาเทากับ 16 14π



ตัวอยาง 6.2.10จงหาพื้นที่ผิวของทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a เมื่อ a > 0วิธีทาํ

รูปที่ 6.2.15เพราะวาทรงกลมสมมาตรกับระนาบ XYเพราะฉะนั้นเราหาพื้นที่ผิวของทรงกลมที่อยูเหนือระนาบ XYสมการของผิวทรงกลมเหนือระนาบ XY คือ z = 222 yxa −−

ให S เปนพื้นผิวครึ่งทรงกลมเหนือระนาบ XYเพราะฉะนั้นพื้นผิว S กําหนดโดยสมการเวกเตอรrv(x, y) = (x, y, 222 yxa −− ) เมื่อ (x, y) ∈ Tโดยที่ T = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 2a เมื่อ a > 0}

xr

∂∂v = (1, 0, –

222 yxax

−−)

yr

∂∂v = (0, 1, –

222 yxa

y

−−)


rn vv (x, y) = xr

∂∂v ×

yr

∂∂v =

yxa

y10

yxax01

k ji

222

222

−−−

−−−

vvv

=

yxa

y1

yxax0

222

222

−−−

−−−

iv -

yxa

y0

yxax1

222

222

−−−

−−−

jv

+ 1001 k

v

= 222 yxa

x−−

iv +

222 yxa

y

−−jv + 1k

v

|| rn vv (x, y) ||= ||

222 yxax

−−iv +

222 yxa

y

−−jv + 1k

v ||

= ( 2222

yxax

−− + 222

2

yxay

−− + 1) 2

1

= 222 yxa

a−−

เพราะวา xr

∂∂v = (1, 0, –

222 yxax

−−),

yr

∂∂v = (0, 1, –

222 yxa

y

−−)


และ || rn vv || = 222 yxa

a−−

ไมตอเนื่องที่จุด (x, y)

ซึ่ง 2x + 2y = 2a

เพราะฉะนั้นการหาคา ∫∫T|| rn vv (x, y) || dxdy

ตองใชความรูเก่ียวกับอินทิกรัลไมตรงแบบให bT = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 2b } เมื่อ 0 < b < aและ A(b) = ∫∫

bT|| rn vv (x, y) || dxdy

โดยการเปลี่ยนเปนพิกัดเชิงขั้ว ให x = r cos θ , y = r sin θ

จะได bT = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ b}และ A(b) = ∫∫

bT|| rn vv (x, y) || dxdy

= ∫π2

0∫b

0 22 raa−

r drdθ = ∫π2

0a( 22 ba −− + a) dθ

= a( 22 ba −− + a)[ θ ] 02

=θπ=θ

= 2aπ( 22 ba −− + a)เพราะวา ∫∫

T|| rn vv (x, y) || dxdy

= −→ab

lim 2aπ( 22 ba −− + a) = 2 2a π

เพราะฉะนั้นพื้นที่ผิวของทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a

เมื่อ a > 0 มีคาเทากับ 2(2 2a π) = 4 2a π


หมายเหตุ ในกรณีที่เรากําหนดสมการเวกเตอรของทรงกลม2x + 2y + 2z = 2a

เปน rv(u, v) = (a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π และ 0 ≤ v ≤ 2π}การหาพื้นที่ผิวของทรงกลมทําไดดังนี้ดังนั้น พื้นผิวของวัตถุกําหนดดวยฟงกชันrv(u, v) = (a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 2π}

ur

∂∂v = (a cos u cos v, a cos u sin v, –a sin u)

vr

∂∂v = (–a sin u sin v, a sin u cos v, 0)

rn vv = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v =

0vcosusinavsinusinausinavsinucosavcosucosa

kji −

−

vvv

= 0vcosusina

usinavsinucosa

−iv

– 0vsinusina

usinavcosucosa −

−jv

+ vcosusinavsinusinavsinucosavcosucosa

−

kv

= 2a 2sin u cos v iv + 2a 2sin u sin v j

v + 2a sin u cos ukv

= ( 2a 2sin u cos v, 2a 2sin u sin v, 2a sin u cos u)Calculus III page 12 / 38


|| rn vv (u, v) ||= ucosusinavsinusinavcosusina 224244244 ++

= 2a usin2

= 2a | sin u |พื้นที่ผิวของทรงกลม = ∫∫


= ∫π2

0∫π

0

2a | sin u | dudv

= ∫π2

0∫π

0

2a sin u dudv

= 2a ∫π2

0[ –cos u ] 0u

u=π= dv

= 2a ∫π2

0(1 + 1) dv

= 2 2a ∫π2

01 dv

= 2 2a [ v ] 0v2v

=π=

= 4 2a π

เพราะฉะนั้นพื้นที่ผิวของทรงกลมตองมีคาเทากันถึงแมวาจะเขียนสมการเวกเตอรของพื้นผิวตางกัน


ตัวอยาง 6.2.11 จงหาพื้นที่ผิวของพาราโบลอยดz = 2x + 2y เมื่อ 0 ≤ z ≤ 9วิธีทาํ

รูปที่ 6.2.16แบบที่ 1 ใชสมการเวกเตอรของพาราโบลอยดrv(x, y) = (x, y, 2x + 2y ) เมื่อ (x, y) ∈ Tโดยที่ T = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 9}

xr

∂∂v = (1, 0, 2x) และ

yr

∂∂v = (0, 1, 2y)

rn vv = xr

∂∂v ×

yr

∂∂v =

y210x201

kji

vvv

= y21x20 i

v - y20x21 j

v + 1001 k

v = –2x iv – 2y j

v + 1kv

|| rn vv (x, y) || = || –2x iv – 2y j

v + 1kv ||

= (4 2x + 4 2y + 1) 21

พื้นที่ผิวของพาราโบลอยด = ∫∫T|| rn vv (x, y) || dxdy

= ∫∫T

(4 2x + 4 2y + 1) 21 dxdy


โดยการเปลี่ยนเปนพิกัดเชิงขั้ว ให x = r cos θ , y = r sin θ

จะได T = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 3}

และ ∫∫T

(4 2x + 4 2y + 1) 21 dxdy

= ∫π2

0∫3

0(4 2r + 1) 2

1 r drdθ

= ∫π2

0 121 [ (4 2r + 1) 2

3 ] 0r

3r== dθ

= 121 ∫

π2

0(37 2

3 – 1) dθ =

121 (37 37 – 1) ∫

π2

01 dθ

= 121 (37 37 – 1)[ θ ] 0

2=θ

π=θ = 6π(37 37 – 1)

แบบที่ 2 ใชสมการเวกเตอรของพาราโบลอยดrv(u, v) = (u cos v, u sin v, 2u ) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2π}

ur

∂∂v = (cos v, sin v, 2u), v

r∂∂v = (–u sin v, u cos v, 0)

rn vv = ur

∂∂v × v

r∂∂v =

0vcosuvsinuu2vsinvcos

kji −

vvv

= 0vcosuu2vsin

iv –

0vsinuu2vcos

−

jv

+ vcosuvsinu

vsinvcos −

kv


= 2 2u cos v iv - 2 2u sin v j

v + (u 2cos v + u 2sin v)kv

= 2 2u cos v iv - 2 2u sin v j

v + ukv

|| rn vv (u, v) || = 22424 uvsinu4vcosu4 ++

= 24 uu4 +

= | u | 1u4 2 +

พื้นที่ผิวของพาราโบลอยด = ∫∫T|| rn vv (u, v) || dudv

= ∫π2

0∫3

0| u | 1u4 2 + dudv

= ∫π2

0∫3

0u 1u4 2 + dudv

= ∫π2

0 121 [ (4 2u + 1) 2

3 ] 0u

3u== dv

= ∫π2

0 121 (37 2

3 – 1) dv

= 121 (37 37 – 1) ∫

π2

01 dv

= 121 (37 37 – 1) ∫

π2

01 dv

= 121 (37 37 – 1)[ v ] 0v

2v=

π=

= 6π(37 37 – 1)

นั่นคือพ้ืนที่ผิวพาราโบลอยดตองมีคาเทากันถึงแมวาจะเขียนสมการเวกเตอรของพื้นผิวตางกัน


บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 50แบบฝกหัด 6.21. จงหาพ้ืนที่ของระนาบ 2x + 3y + 6z = 24 เฉพาะบริเวณที่อยูในอัฐภาคที่ 12. จงหาพ้ืนที่ของระนาบ 3x + 4y + z = 12 เฉพาะบริเวณที่อยูในอัฐภาคที่ 13. จงหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิวของระนาบ 3x + 2y + z = 6 เฉพาะบริเวณที่อยูในทรงกระบอก 2x + 2y = 254. จงหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิวของกรวย z = 22 yx + เฉพาะบริเวณที่ 0 ≤ z ≤ 35. จงหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิวพาราโบลอยด z = 4 2x + 4 2y เฉพาะบริเวณที่ 0 ≤ z ≤ 166. จงหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิว S

เมื่อ S เปนพ้ืนผิวของ z = 2x4 − บนบริเวณ {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2 และ 0 ≤ y ≤ 4}7. จงหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิว S เมื่อ S เปนพ้ืนผิว z = 2x4 − บนบริเวณ {(x, y) | 2x + 2y ≤ 4}8. จงหาพ้ืนที่ของทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 และ z ≥ 0

เฉพาะบริเวณที่อยูในทรงกระบอก 2x + 2y = 16เฉลยแบบฝกหัด 6.21. 56 2. 3 14 3. 25 14 π 4. 9 2 π

5. 96)1415125( π− 6. 4π 7. 16 8. 20π



6.3 อินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาจริงกอนศึกษาอินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาจริงในหัวขอนี้

ขอใหสังเกตวาอินทิกรัลสองชั้นที่กลาวมาแลวจากบทที่ 4 เปนเปนอินทิกรัลของฟงกชันคาจริงที่มีมีโดเมนของการอินทิเกรตเปนบริเวณซึ่งเปนสับเซตของระนาบ XY, YZ XZ ในหัวขอนี้เราจะขยายความหมายของอินทิกรัลสองชั้นของฟงกชันคาจริงใหกวางขึ้น โดยจะใหครอบคลุมถึงอินทิกรัลของฟงกชันคาจริงซึ่งมีโดเมนของการอินทิเกรตเปนสับเซตของพื้นผิว

รูปที่ 6.3.1ให S เปนพื้นผิวเรียบ ซึ่งกําหนดดวยสมการเวกเตอรrv(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v))เมื่อ (u, v) ∈ T ⊆ 2R

เราจะแบงพ้ืนผิว S ออกเปนสวนยอย โดยมีผลมาจากการแบง Tออกเปนสวนยอยตามขั้นตอนดังนี้ให [a, b] เปนภาพฉายของ T บนแกน U

[c, d] เปนภาพฉายของ T บนแกน V


แบง [a, b] ออกเปน m ชวงยอยที่จุด 0t , 1t , 2t , ... , mt

โดยที่ a = 0t < 1t < 2t < ... < mt = bแบง [c, d] ออกเปน n ชวงยอยที่จุด 0k , 1k , 2k , ... , nk

โดยที่ c = 0k < 1k < 2k < ... < nk = dแบงบริเวณ T ดวยเสนตรงขนานแกน U และ แกน V ดังนี้

เสนตรง u = it ทุกคา i = 1, 2, 3, ... , mเสนตรง v = jk ทุกคา j = 1, 2, 3, ... , n

จะไดวาบริเวณ T ถูกแบงออกเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผายอยยกเวนบริเวณขอบของ Tดังนั้นจะไดวา พื้นผิว S ถูกแบงออกเปนพื้นผิวยอยภายใตการสงของ rv

ให ∆ A( iuξ ) เปนพื้นที่ของพ้ืนผิวยอย ijS ใน 3R

( iuξ , jvξ ) เปนจุดบนสี่เหลี่ยมผืนผา ijT

ดังนั้น rv( iuξ , jvξ ) เปนจุดบนพื้นผิวยอย ijS ซึ่งสมนัยกับจุด ( iuξ , jvξ )ให f(x, y, z) เปนฟงกชันคาจริง และ f มีความตอเนื่องที่ทุกจุด (x, y, z) บนพื้นผิว S

ถา ∞→∞→

nmlim

TT

ij ⊂∑∑ f( rv( iuξ , jvξ )) ∆ A( ijS ) มีคา

แลว ∞→∞→

nmlim

TT

ij ⊂∑∑ f( rv( iuξ , jvξ )) ∆ A( ijS )


เรียกวา อินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาจริง f บน Sซึ่งเราจะเขียนแทนอินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาจริง fบน S ดวยสัญลักษณ∫∫S

f หรือ ∫∫)T(rvf หรือ ∫∫

Sf dS หรือ ∫∫

)T(rvf dS

การหาคาอินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาจริง ∫∫S

f dS

ให i∆ u และ j∆ v เปนความยาวของดานสองดานของรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ijT

เพราะฉะนั้น ∆ A( ijS ) ≈ || rn vv ( *iu , *

jv ) || i∆ u j∆ v

ดังนั้น TT


≈ TT

ij ⊂∑∑ f( rv( iuξ , jvξ )) || rn vv ( *

iu , *jv ) || i∆ u j∆ v

เมื่อ m → ∞, n → ∞และ max( i∆ u) → 0, max( j∆ v) → 0

จะไดวา ∞→∞→

nmlim

TT


= ∞→∞→

nmlim

TT

ij ⊂∑∑ f( rv( iuξ , jvξ )) || rn vv ( *

iu , *jv ) || i∆ u j∆ v

เพราะวา f( rv(u, v)) || rn vv (u, v) ||เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องบน T


เพราะฉะนั้นฟงกชัน f( rv(u, v)) || rn vv (u, v) ||อินทิเกรตไดบน Tดังนั้น ∫∫

Sf dS = ∫∫

Tf( rv(u, v)) || rn vv (u, v) || dudv

เมื่อ S เปนพื้นผิวที่เกิดจากสมการเวกเตอร rv

S เปนพื้นผิวเรียบมีโดเมน T อยูในระนาบ UVf เปนฟงกชันคาจริงซึ่งมีโดเมนครอบคลุม Sและ f มีความตอเนื่องที่ทุกจุด rv(u, v) ∈ Sเราเรียก S วา โดเมนของการอินทิเกรตขอสังเกต 1. ถา f(x, y, z) = c ทุก (x, y, z) ∈ Sแลว ∫∫

Sf dS = ∫∫

Tc || rn vv (u, v) || dudv

= c ∫∫T|| rn vv (u, v) || dudv

= c × พื้นที่ของพื้นผิว S= คาของฟงกชัน × พื้นที่ของพ้ืนผิว S

2. ให f(x, y, z) และ f( rv(u, v)) เปนคาของฟงกชัน fที่จุด (x, y, z) บนพื้นผิว Sถา f(x, y, z) = 1 ทุก (x, y, z) ∈ Sแลว ∫∫

Sf dS = ∫∫

S1 dS ซึ่งเปนพื้นที่ของพื้นผิว S



ตัวอยาง 6.3.1 จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫S

f dS

เมื่อ f(x, y, z) = xy + zและ S เปนทรงกระบอก 2x + 2y = 4, 0 ≤ z ≤ 4วิธีทาํ

รูปที่ 6.3.2กําหนดพื้นผิว S ดวยสมการเวกเตอรrv(u, v) = (2 cos u, 2 sin u, v) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 4}

ur

∂∂v = (–2 sin u, 2 cos u, 0)

vr

∂∂v = (0, 0, 1)

rn vv (u, v) = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v =

1000ucos2usin2kji

−

vvv

= 10

0ucos2 i

v – 10

0usin2 −

jv

+ 00

ucos2usin2 −

kv


= 2 cos u iv + 2 sin u j

v + 0 kv

|| rn vv (u, v) || = usin4ucos4 22 + = 2จากสูตร f(x, y, z) = xy + zได f( rv(u, v)) = 4 cos u sin u + vและ ∫∫

Sf dS = ∫∫


= ∫π2

0∫4

0(4 cos u sin u + v) 2 dvdu

= 2 ∫π2

0[ 4 cos u sin u v +

2v2 ] 0v

4v== du

= 2 ∫π2

0(16 cos u sin u + 8) du

= 16 ∫π2

0(2 cos u sin u + 1) du

= 16[ 2sin u + u ] 0u2u

=π=

= 32π



f dS

เมื่อ f(x, y, z) = 2x + y + zและ S เปนพื้นผิวของระนาบ 2x + 3y + z = 6เฉพาะสวนที่อยูภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 16วิธีทาํ

รูปที่ 6.3.3พื้นผิว S กําหนดโดยสมการสมการเวกเตอรrv(u, v) = (u, v, 6 – 2u – 3v) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 16}

ur

∂∂v = (1, 0, –2)

vr

∂∂v = (0, 1, –3)

rn vv (u, v) = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v =

310201k ji

−−

vvv

= 3120 −

− iv - 30

21 −− j

v + 1001 k

v = 2 iv + 3 j

v + 1kv


|| rn vv (u, v) || = || 2 iv + 3 j

v + 1kv || = 194 ++ = 14

จากสูตร f(x, y, z) = 2x + y + zได f( rv(u, v)) = f(u, v, 6 – 2u – 3v)= 2u + v + 6 – 2u – 3v = 6 – 2vและ ∫∫

Sf dS = ∫∫


= ∫∫T

(6 – 2v) 14 dudv

โดยการเปลี่ยนเปนพิกัดเชิงขั้ว ให u = r cos θ , v = r sin θ

จะได T = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4}และ ∫∫

T(6 - 2v) 14 dudv

= ∫π2

0∫4

0(6 – 2r sin θ) 14 r drdθ

= 2 14 ∫π2

0∫4

0(3r – 2r sin θ) drdθ

= 2 14 ∫π2

0[

2r3 2 – sin θ

3r3 ] 0r

4r== dθ

= 2 14 ∫π2

0(24 –

364 sin θ) dθ

= 2 14 [ 24θ + 3

64cos θ ] 02

=θπ=θ

= 96 14π



แบบฝกหัด 6.3จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫

S

f dS

1. f(x, y, z) = xy + zS เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 3 - 2x + y, 0 ≤ y ≤ x และ 0 ≤ x ≤ 1

2. f(x, y, z) = xyzS เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย 2z = 2x + 2y , 1 ≤ z ≤ 4, x ≥ 0 และ y ≥ 0

3. f(x, y, z) = zS เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 22 yx25 −− , 0 ≤ 2x + 2y ≤ 4

4. f(x, y, z) = 2x + 2y

S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 4 - 2x - 2y , 0 ≤ 2x + 2y ≤ 45. f(x, y, z) = 2x + 2y + z

S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = x + y, 0 ≤ x ≤ 1 และ 0 ≤ y ≤ 16. f(x, y, z) = xy

S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 2x4 − , 0 ≤ x ≤ 2 และ 0 ≤ y ≤ 1เฉลยแบบฝกหัด 6.31. 8

69 2. 1021023 3. 20π

4. 60)117391( π+ 5. 3

35 6. 2


บทที่ 6 อินทิกรัลตามพ้ืนผิว6 - 60

6.4 อินทิกรัลตามพ้ืนผิวของฟงกชันคาเวกเตอรเมื่อ S เปนพื้นผิวท่ีกําหนดดวยฟงกชันคาเวกเตอร rv บน

โดเมน T ณ แตละจุดปกติ rv (u, v) บน S จะมีเวกเตอรแนวฉากหนวยอยูสองเวกเตอรคือ เวกเตอร 1nv และ 2nv ซึ่งมีทิศทางตรงกันขาม เพราะฉะนั้น 1nv = – 2nv

ดังนั้น เมื่อกําหนดฟงกชันคาเวกเตอร rv (T) ข้ึนแทนพื้นผิว Sจะไดวา ถา 1nv มีทิศทางเดียวกับ rn vv แลว 2nv ตองมีทิศทางตรงกันขามกับ rn vv

รูปที่ 6.4.1บทนิยาม 6.4.1 ให S เปนพื้นผิวสองหนา ซึ่งกําหนดดวยฟงกชันคาเวกเตอร rv (T) และ F

v เปนฟงกชันคาเวกเตอรที่นิยามบนพ้ืนผิว S และ F

v เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องบน Sเราเรียก ∫∫

SFv ⋅Nv dS วา อินทิกรัลตามพ้ืนผิวของฟงกชันคา

เวกเตอร Fv บน S

เมื่อ Nv เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยของพ้ืนผิว S


การหาคาของอินทิกรัลตามพ้ืนผิวของฟงกชันคาเวกเตอร ∫∫

SFv ⋅Nv dS

เพราะวา Nv มีทิศทางเก่ียวกับ rn vv เพราะฉะน้ัน N

v = ||n||

n

r

rv

vv

v

ดังนั้น ∫∫S

Fv ⋅Nv dS = ∫∫

)T(rvFv ⋅

||n||n

r

rv

vv

v dS

= ∫∫T

Fv ( rv (u, v)) ⋅ ||)v,u(n||

)v,u(nrrv

vv

v || rn vv (u, v) || dudv

เพราะฉะนั้น∫∫S


TFv ( rv (u, v)) ⋅ rn vv (u, v) dudv ... (1)

ในกรณีที่ Nv มีทิศทางตรงกันขามกับ rn vv จะไดวา

∫∫S

Fv ⋅Nv dS = – ∫∫

TFv ( rv (u, v)) ⋅ rn vv (u, v) dudv ... (2)

จาก (1) และ (2) จะเห็นวาในการคํานวณคาของอินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาเวกเตอร F

v บนพ้ืนผิว Sจะตองระบุทิศทางของเวกเตอรแนวฉาก N

v ดวยวามีทิศทางเดียวกับ rn vv หรือ มีทิศทางตรงกันขามกับ rn vv

หมายเหตุ1. จุดทุกจุดบนพ้ืนผิว S มีเวกเตอรตําแหนงคือ rv (u, v)เวกเตอร rv (u, v) มีจุดเร่ิมตนอยูที่จุดกําเนิดดังนั้นเวกเตอร rv มีทิศทางพุงออกจากจุดกําเนิดเสมอ2. ทิศทางของเวกเตอร N

v หรือ rn vv จะหมายถึงทิศทางของเวกเตอรที่มีจุดเร่ิมตนอยูที่จุดบนพ้ืนผิว S


ตัวอยาง 6.4.1 จงหาอินทิกรัลตามพ้ืนผิว ∫∫S

Fv ⋅Nv dS

เมื่อ S เปนสวนของระนาบ x + y + z = 1 ในอัฐภาคท่ีหน่ึงให F

v (x, y, z) = (x, 2y, 3z) และให N

v แทนเวกเตอรแนวฉากหนวยของ S ซึ่งมีพิกัดท่ีสามมีคาไมเปนลบ

รูปที่ 6.4.2วิธีทาํ ระนาบ x + y + z = 1 เขียนในรูปแบบสมการเวกเตอรไดเปน rv (u, v) = (u, v, 1 – u – v) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 – u}

ur

∂∂v = (1, 0, –1),

vr

∂∂v = (0, 1, –1)

rn vv (v, v) = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v

= 110101k ji

−−

vvv

= 1110 −

− iv – 10

11 −− j

v + 1001 k

v

= 1 iv + 1 j

v + 1 kv = (1, 1, 1)


เพราะวา Nv มีทิศทางเดียวกับ rn vv

เพราะฉะนั้น ∫∫S


TFv ( rv (u, v)) ⋅ rn vv (u, v) dudv

= ∫1

0∫−u1

0(u, 2v, 3(1 – u – v)) ⋅ (1, 1, 1) dvdu

= ∫1

0∫−u1

0(u + 2v + 3(1 – u – v)) dvdu

= ∫1

0∫−u1

0(3 – 2u – v) dvdu

= ∫1

0[ 3v – 2uv –

2v2 ] 0v

u1v=

−= du

= ∫1

0(3(1 – u) – 2u(1 – u) – 2

1(1 – u)2) du

= ∫1

0(2

5 – 4u + 23 2u ) du

= [ 25u – 2 2u + 2

1 3u ] 0u1u

==

= 1




Fv ⋅Nv dS

เมื่อ S แทนพื้นผิวครึ่งทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4, z ≥ 0ให N

v แทนเวกเตอรแนวฉากหนวยมีทิศทางพุงออกจากทรงกลมกําหนดให F

v (x, y, z) = (x, –y, z)วิธีทาํ

รูปที่ 6.4.3แบบที่ 1. พื้นผิว S กําหนดดวยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2

π , 0 ≤ v ≤ 2π}

ur

∂∂v = (2 cos u cos v, 2 cos u sin v, – 2 sin u)

vr

∂∂v = (–2 sin u sin v, 2 sin u cos v, 0)

rn vv (u, v) = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v



−

−

vvv


= 0vcosusin2

usin2vsinucos2

−iv–

0vsinusin2

usin2vcosucos2 −

−jv

+ vcosusin2vsinusin2

vsinucos2vcosucos2 −

kv


v

+ (4 sin u cos u 2cos v + 4 sin u cos u 2sin v) kv


v

+ (4 sin u cos u ( 2cos v + 2sin v) kv


v + 4 sin u cos u kv

= (4 2sin u cos v, 4 2sin u sin v, 4sin u cos u)= 2 sin u (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)= 2 sin u rv(u, v)เพราะวา sin u ≥ 0 เมื่อ 0 ≤ u ≤ 2

π

เพราะฉะนั้น rn vv มีทิศทางเดียวกับ rv

นั่นคือ rn vv มีทิศทางพุงออกจากทรงกลมเชนเดียวกับ rv

ดังนั้น Nv และ rn vv มีทิศทางเดียวกัน




เพราะวา Fv ( rv (u, v))

= Fv (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)

= (2 sin u cos v, –2 sin u sin v, 2 cos u)


Fv ( rv (u, v)) ⋅ rn vv (u, v)= (2 sin u cos v, –2 sin u sin v, 2 cos u)

⋅ (2 sin u (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u))= 8 sin u ( 2sin u 2cos v – 2sin u 2sin v + 2cos u)= 8( 3sin u 2cos v – 3sin u 2sin v + sin u 2cos u)เพราะฉะนั้น ∫∫

SFv ⋅Nv dS

= ∫π2

0∫π2

0(8( 3sin u 2cos v – 3sin u 2sin v + sin u 2cos u)) dvdu

= 8 ∫π2

0∫π2

0( 3sin u( 2cos v – 2sin v) + sin u 2cos u) dvdu

= 8 ∫π2

0∫π2

0( 3sin u cos 2v + sin u 2cos u) dvdu

= 8 ∫π2

0[ 3sin u

2v2sin + (sin u 2cos u) v ] 0v

2v=

π= du

= 8 ∫π2

0(sin u 2cos u)(2π) du = 16π ∫

π2

0sin u 2cos u du

= 16π ∫π2

0(– 2cos u) d(cos u) = 16π[ –

3ucos3 ]

0u2u

=

π=

= 3

16π


แบบที่ 2. พื้นผิว S กําหนดดวยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ v ≤ 2

π , 0 ≤ u ≤ 2π}

ur

∂∂v = (–2 sin v sin u, 2 sin v cos u, 0)

vr

∂∂v = (2 cos v cos u, 2 cos v sin u, –2 sin v)

rn vv = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v =

vsin2usinvcos2ucosvcos20ucosvsin2usinvsin2kji

−

−

vvv

= vsin2usinvcos2

0ucosvsin2

−iv–

vsin2ucosvcos20usinvsin2

−

−jv

+ usinvcos2ucosvcos2ucosvsin2usinvsin2

−

kv

= –4 2sin v cos u iv – 4 2sin v sin u j

v

+ (–4 sin v cos v 2sin u – 4 sin u cos u 2cos u) kv

= 4 2sin v cos u iv + 4 2sin v sin u j

v

– (4 sin v cos v ( 2sin u + 2cos u) kv

= –4 2sin v cos u iv – 4 2sin v sin u j

v – 4 sin v cos v kv

= –(4 2sin v cos u, 4 2sin v sin u, 4 sin v cos v)= –2 sin v (2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v)= (–2 sin v) rv (u, v)



เพราะวา sin v ≥ 0 เมื่อ 0 ≤ v ≤ 2π

เพราะฉะนั้น rn vv มีทิศทางตรงขามกับ rv

เพราะฉะนั้น rn vv มีทิศทางพุงเขาสูจุดศูนยกลางของทรงกลมดังนั้น N

v และ – rn vv มีทิศทางเดียวกันเพราะฉะนั้น∫∫S


TFv ( rv (u, v)) ⋅ (– rn vv (u, v)) dvdu

เพราะวาFv ( rv (u, v)) = F

v (2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v)= (2 sin v cos u, –2 sin v sin u, 2 cos v)และ rv (u, v) = (2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v)และ rn vv (u, v) = (–2 sin v) rv (u, v)เพราะฉะนั้น F

v ( rv (u, v)) ⋅ (– rn vv (u, v))= (2 sin v cos u, –2 sin v sin u, 2 cos v) ⋅ (2 sin v rv (u, v))= (2 sin v cos u, –2 sin v sin u, 2 cos v)

⋅ (2 sin v (2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v))= 8(sin v cos u, –sin v sin u, cos v)

⋅ ( 2sin v cos u, 2sin v sin u, sin v cos v))= 8( 3sin v 2cos u – 3sin v 2sin u + sin v 2cos v)



Fv ⋅Nv dS

= ∫π2

0∫π2

08 ( 3sin v 2cos u – 3sin v 2sin u + sin v 2cos v) dudv

= ∫π2

0∫π2

08 ( 3sin v 2cos u – 3sin v 2sin u + sin v 2cos v) dudv

= 3

16π


ตัวอยาง 6.4.3 กําหนดให Fv (x, y, z) = (2x, 2y, 3z)

ให S แทนพื้นผิวของพาราโบลอยด z = 2x + 2y

เมื่อ 0 ≤ z ≤ 9จงหา ∫∫

SFv ⋅Nv dS เมื่อกําหนดให N

v ⋅kv < 0

วิธีทาํ

รูปที่ 6.4.5พื้นผิว S มีสมการเวกเตอรrv (u, v) = (u cos v, u sin v, 2u ) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2π}

ur

∂∂v = (cos v, sin v, 2u) และ

vr

∂∂v = (–u sin v, u cos v, 0)

rn vv = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v =

0vcosuvsinuu2vsinvcos

kji −

vvv

= 0vcosuu2vsin

iv –

0vsinuu2vcos

−

jv

+ vcosuvsinu

vsinvcos −

kv


= –2 2u cos v iv - 2 2u sin v j

v + (u 2cos v + u 2sin v) kv

= (–2 2u cos v, –2 2u sin v, u)เพราะวา

rn vv ⋅kv = (–2 2u cos v, –2 2u sin v, u) ⋅ (0, 0, 1) = u ≥ 0เพราะฉะนั้น rn vv มีทิศทางตรงกันขามกับ N

v

ซึ่งจะไดวา ∫∫S


TFv ( rv (u, v)) ⋅ (– rn vv (u, v)) dudv

เพราะวา Fv ( rv (u, v)) ⋅ (– rn vv (u, v))

= (2u cos v, 2u sin v, 3 2u ) ⋅ (2 2u cos v, 2 2u sin v, –u)= 4 3u 2cos v + 4 3u 2sin v – 3 3u

= 4 3u ( 2cos v + 2sin v) – 3 3u

= 4 3u – 3 3u

= 3u


Fv ⋅Nv dS

= ∫∫T

Fv ( rv (u, v)) ⋅ (– rn vv (u, v)) dudv

= ∫π2

0∫3

0( 3u ) dudv

= 2π[ 4

u 4 ] 0u3u

==

= 2

81π


บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 72แบบฝกหัด 6.4จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫

S

Fv ⋅ N

v dS

1. Fv (x, y, z) = (-y, x, 9)S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 22 yx9 −− และ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 4

2. Fv (x, y, z) = (x, y, z)S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 1 - 2x - 2y และ z ≥ 0

3. Fv (x, y, z) = (-y, x, 0)S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 8x - 4y - 5 เหนือบริเวณสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด (0, 0, 0), (0, 1, 0)และ (1, 0, 0)

4. Fv (x, y, z) = (y, -x, 2)S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 2y1 − และ 0 ≤ x ≤ 5

5. Fv (x, y, z) = (-2, 3, 5)S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 2x + 2y และ 0 ≤ z ≤ 4

6. Fv (x, y, z) = (x 3

5222 )zyx( ++ , y 3

5222 )zyx( ++ , z 3

5222 )zyx( ++ ))

S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 17. F

v (x, y, z) = (x, y, z)S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1

เฉลยแบบฝกหัด 6.41. 36π 2. 2

3π 3. 2 4. 205. 20π 6. 4π 7. 4π



6.5 อินทิกรัลตามพื้นผิวในรูป∫∫S

1f (x, y, z) dydz + 2f (x, y, z) dzdx + 3f (x, y, z) dxdy

ให S เปนพื้นผิวเรียบซึ่งกําหนดสมการrv (u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)) เมื่อ (u, v) ∈ Tให 3f (x, y, z) เปนฟงกชันคาจริงซึ่งตอเนื่องทุกจุด (x, y, z)บนพื้นผิว Sสัญลักษณ ∫∫

S3f (x, y, z) dxdy หมายถึง อินทิกรัลตามพื้นผิว

∫∫T

3f ( rv (u, v)) )v,u()Y,X(

∂∂ dudv


3f (x, y, z) dxdy = ∫∫T

3f ( rv (u, v)) )v,u()Y,X(

∂∂

dudv

ในทํานองเดียวกัน∫∫S

1f (x, y, z) dydz = ∫∫T

1f ( rv (u, v)) )v,u()Z,Y(

∂∂ dudv

∫∫S

2f (x, y, z) dzdx = ∫∫T

2f ( rv (u, v)) )v,u()X,Z(

∂∂ dudv

การหาคาอินทิกรัลที่เขียนในรูป

∫∫S


ใหพื้นผิว S กําหนดโดยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (X (u, v), Y (u, v), Z(u, v)) เมื่อ (u, v) ∈ Tจะได

ur

∂∂v = (

uX∂∂ ,

uY∂∂ ,

uZ∂∂ ) และ

vr

∂∂v = (

vX∂∂ ,

vY∂∂ ,

vZ∂∂ )


rn vv (u, v) = ur

∂∂v ×

vr

∂∂v =

vZ

vY

vX

uZ

uY

uX

kji

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

vvv

= vZ

vY

uZ

uY

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

iv -

vZ

vX

uZ

uX

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

jv +

vY

vX

uY

uX

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

kv

= vZ

vY

uZ

uY

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

iv +

vX

vZ

uX

uZ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

jv +

vY

vX

uY

uX

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

kv

= )v,u()Z,Y(

∂∂ i

v + )v,u()X,Z(

∂∂ j

v + )v,u()Y,X(

∂∂ k

v

= ( )v,u()Z,Y(

∂∂ , )v,u(

)X,Z(∂∂ , )v,u(

)Y,X(∂∂ )

ให Nv เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยของพื้นผิว S

ให Fv (x, y, z) = ( 1f (x, y, z), 2f (x, y, z), 3f (x, y, z))

ให Nv มีทิศทางเดียวกับ rn vv จะได

∫∫S


TFv ⋅Nv dS = ∫∫


= ∫∫T

( 1f (x, y, z) )v,u()Z,Y(

∂∂ + 2f (x, y, z)

)v,u()X,Z(

∂∂

+ 3f (x, y, z))v,u()Y,X(

∂∂ ) dudv

= ∫∫S



ขั้นตอนการหาคา∫∫S


ขั้นที่ 1 หาสมการเวกเตอรของพื้นผิว Sใหพื้นผิว S กําหนดโดยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (X (u, v), Y (u, v), Z(u, v)) เมื่อ (u, v) ∈ Tขั้นที่ 2 หา u

r∂∂v = ( u

X∂∂ , u

Y∂∂ , u

Z∂∂ )

vr

∂∂v = ( v

X∂∂ , v

Y∂∂ , v

Z∂∂ )

rnvv (u, v) = ur

∂∂v × v

r∂∂v

หรือ rnvv (u, v) = ( )v,u()Z,Y(

∂∂ , )v,u(

)X,Z(∂∂ , )v,u(

)Y,X(∂∂ )

= (vZ

vY

uZ

uY

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

, vX

vZ

uX

uZ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

, vY

vX

uY

uX

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

)

ขั้นที่ 3 ให Nv มีทิศทางเดียวกับ rnvv

ขั้นที่ 4∫∫S


= ∫∫S

Fv ⋅Nv dS


ตัวอยาง 6.5.1 ให S เปนพื้นผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว∫∫S

yz dydz + zx dzdx + xy dxdy

โดยใชฟงกชันคาเวกเตอร rv แทนพื้นผิวซึ่งมี rnvv มีทิศทางพุงออกจากทรงกลมวิธีทาํ

รูปที่ 6.5.1ขั้นที่ 1 หาสมการเวกเตอรของพื้นผิว Sให S กําหนดดวยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (4 sin u cos v, 4 sin u sin v, 4 cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 2π}ขั้นที่ 2 หาคา u

r∂∂v , v

r∂∂v , rnvv (u, v)

ur

∂∂v = (4 cos u cos v, 4 cos u sin v, –4 sin u)

vr

∂∂v = (–4 sin u sin v, 4 sin u cos v, 0)



rnvv (u, v) = ur

∂∂v × v

r∂∂v



−

−

vvv

= 0vcosusin4

usin4vsinucos4

−iv

– 0vsinusin4

usin4vcosucos4 −

−jv

+ vcosusin4vsinusin4

vsinucos4vcosucos4 −

kv


v

+ (16 sin u cos u 2cos v + 16 sin u cos u 2sin v) kv


v

+ (16 sin u cos u ( 2cos v + 2sin v)) kv


v + 16 sin u cos u kv

= (16 2sin u cos v, 16 2sin u sin v, 16 sin u cos u)= 8(2 2sin u cos v, 2 2sin u sin v, sin 2u)เพราะวา (16 2sin u cos v, 16 2sin u sin v, 16 sin u cos u)= 4 sin u (4 sin u cos v, 4 sin u sin v, 4 cos u)= 4 sin u rv(u, v)เพราะฉะนั้น rnvv มีทิศทางเดียวกับเวกเตอรรัศมี rv

เพราะฉะนั้น rnvv มีทิศทางพุงออกจากทรงกลม


ขั้นที่ 3 ให Nv = rnvv



= ∫∫S

Fv⋅Nv dS

ให Fv (x, y, z) = (yz, zx, xy)

Fv ( rv (u, v)) = ((4 sin u sin v)(4 cos u), (4 cos u)(4 sin u cos v), (4 sin u cos v)(4 sin u sin v))= (8 sin 2u sin v, 8 sin 2u cos v, 8 2sin u sin 2v)= 8(sin 2u sin v, sin 2u cos v, 2sin u sin 2v)และ rnvv (u, v) = 8(2 2sin u cos v, 2 2sin u sin v, sin 2u)เพราะฉะนั้น ∫∫

Syz dydz + zx dzdx + xy dxdy = ∫∫

SFv ⋅Nv dS

= ∫∫T

(8(sin 2u sin v, sin 2u cos v, 2sin u sin 2v))

⋅ (8(2 2sin u cos v, 2 2sin u sin v, sin 2u)) dvdu

= 64 ∫π

0∫π2

0(sin 2u sin v, sin 2u cos v, 2sin u sin 2v)

⋅ (2 2sin u cos v, 2 2sin u sin v, sin 2u) dvdu= 64 ∫

π

0∫π2

0((sin 2u sin v)(2 2sin u cos v)

+ (sin 2u cos v)(2 2sin u sin v) + ( 2sin u sin 2v)(sin 2u)) dvdu


= 64 ∫π

0∫π2

0( 2sin u sin 2u sin 2v + 2sin u sin 2u sin 2v

+ 2sin u sin 2u sin 2v) dvdu= 64 ∫

π

0∫π2

03 2sin u sin 2u sin 2v dvdu

= 192 ∫π

0∫π2

0

2sin u sin 2u sin 2v dvdu

= 192 ∫π

0

2sin u sin 2u [ – 2v2cos ] 0v

2v=

π= du

= 192 ∫π

0

2sin u sin 2u (0 – 0) du = 0


ตัวอยาง 6.5.2 จงหาคาของ ∫∫S

(x + y) dydz

เมื่อ S เปนพื้นผิวพาราโบลอยดซึ่งกําหนดโดยสมการเวกเตอร rv (u, v) = (u, v, 2u + 2v )เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 1}วิธีทาํ

รูปที่ 6.5.2ขั้นที่ 1 หาสมการเวกเตอรของพื้นผิว Sพื้นผิว S กําหนดโดยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (u, v, 2u + 2v ) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 1}ขั้นที่ 2 หาคา u

r∂∂v , v

r∂∂v , rn vv (u, v)

ur

∂∂v = (1, 0, 2u), v

r∂∂v = (0, 1, 2v)



rn vv (u, v) = ur

∂∂v × v

r∂∂v =

v210u201

kji

vvv

= v21u20 i

v – v20u21 j

v + 1001 k

v

= –2u iv – 2v j

v + 1 kv

= (–2u, –2v, 1)ขั้นที่ 3 ให N

v มีทิศทางเดียวกับ rn vv



= ∫∫S

Fv ⋅Nv dS

จัดรูป ∫∫S

(x + y) dydz เปน

= ∫∫S

(x + y) dydz + (0) dzdx + (0) dxdy

= ∫∫T

(u + v) )v,u()Z,Y(

∂∂ + (0) )v,u(

)X,Z(∂∂ + (0) )v,u(

)Y,X(∂∂ ) dudv

= ∫∫T

(u + v) )v,u()Z,Y(

∂∂ dudv

เพราะวา rnvv (u, v) = ( )v,u()Z,Y(

∂∂ , )v,u(

)X,Z(∂∂ , )v,u(

)Y,X(∂∂ )

= (–2u, –2v, 1)เพราะฉะนั้น )v,u(

)Z,Y(∂∂ = –2u



(x + y) dydz

= ∫∫T

(u + v)(-2u) dudv

= –2 ∫∫T

( 2u + uv) dudv

= -2 ∫−

1

1∫−

−−

2u1

2u1

( 2u + uv) dudv

= -2 ∫π2

0∫1

0( 2r 2cos θ + (r cos θ)(r sin θ)) r drdθ

(ให u = r cos θ, v = r sin θ)= -2 ∫

π2

0∫1

0( 2cos θ + cos θ sin θ) 3r drdθ

= -2 ∫π2

0( 2cos θ + cos θ sin θ) [ 4

r4 ] 0r1r

== dθ

= -2 ∫π2

0( 2cos θ + cos θ sin θ)( 4

1) dθ

= - 21 ∫

π2

0( 2cos θ dθ + cos θ sin θ) dθ

= - 21 ∫

π2

0( 2

2cos1 θ+ + 22sin θ) dθ

= - 21 [ 2

θ + 42sin θ + 4

2sin θ ] 02

=θπ=θ

= – 2π


ตัวอยาง 6.5.3 ให S เปนพื้นผิวครึ่งทรงกลมทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1 และ z ≥ 0จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫

S(x + y + z) dxdy


รูปที่ 6.5.3ขั้นที่ 1 หาสมการเวกเตอรของพื้นผิว Sให S กําหนดดวยสมการเวกเตอรrv (u, v) = u, v, 22 vu1 −− ) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | -1 ≤ u ≤ 1, -1 ≤ v ≤ 1}ขั้นที่ 2 หาคา u

r∂∂v , v

r∂∂v , rn vv (u, v)

ur

∂∂v = (1, 0,

22 vu1u−−

− )

vr

∂∂v = (0, 1,

22 vu1v−−

− )

rn vv (u, v) = ur

∂∂v × v

r∂∂v = (

22 vu1u−−

, 22 vu1

v−−

, 1)

ขั้นที่ 3 ให Nv = rn vv


ขั้นที่ 4 ∫∫S

(x + y + z) dxdy

จัดรูปเปน ∫∫S

(0) dydz + (0) dzdx + (x + y + z) dxdy

= ∫∫S


ให Fv (x, y, z) = (0, 0, x + y + z)


(x + y + z) dxdy = ∫∫S

Fv ⋅Nv dS

= ∫∫S

(0, 0, u + v + 22 vu1 −− )

⋅(22 vu1

u−−

, 22 vu1

v−−

, 1) dvdu

= ∫−

1

1∫−

−−

2v1

2v1

(u + v + 22 vu1 −− ) dvdu

= ∫π2

0∫1

0(r cos θ + r sin θ + 2r1 − ) r dr dθ

(ให u = r cos θ, v = r sin θ)

= ∫π2

0 [ 3

r3 (cos θ + sin θ) - 31(1 - 2r ) 2

3] 0r

1r== dθ

= 31 [ sin θ - cos θ - θ] 0

2=θ

π=θ

= 32π


บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 85แบบฝกหัด 6.51. จงหาคา ∫∫

S

2 dydz + 3 dzdx + 6 dxdy

S เปนพ้ืนผิวของระนาบ 3x + 2y + z = 6 เฉพาะบริเวณที่อยูในทรงกระบอก 2x + 2y = 12. จงหาคา ∫∫

S

x(y + z) dydz

S เปนพ้ืนผิวกรวย 2z = 2x + 2y , 0 ≤ z ≤ 23. ∫∫

S

(x + y + z) dydz

S เปนระนาบ 2x + 3y + 6z = 12 ในอัฐภาคที่ 14. จงหาคา ∫∫

S

z dydz + y dzdx + (2x - 1) dxdy

S เปนพ้ืนผิว z = 2x1 − และ 0 ≤ y ≤ 15. จงหาคา ∫∫

S

2x dydz + 2y dzdx + 2z dxdy

S เปนพ้ืนผิวของพาราโบลอยด z = 2x + 2y , 0 ≤ z ≤ 16. จงหาคา ∫∫

S

2z dxdy

S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4 ในอัฐภาคที่ 1เฉลยแบบฝกหัด 6.51. 18π⋅ 2. 4π⋅ 3. 3

22 4. -2 5. 3π 6. 2π⋅



6.6 ไดเวอรเจนซและเคิลของเวกเตอรหัวขอจะศึกษาเกี่ยวกับ ไดเวอรเจนซ และ เคิล

ของเวกเตอร ซึ่งมีความสัมพันธกับอินทิกรัลตามพื้นผิวและนําอินทิกรัลตามพื้นผิวไปใชประโยชนบทนิยาม 6.6.1 ให F

v = ( 1f , 2f , 3f ) เมื่อ 1f , 2f , 3f เปนฟงกชันคาจริงของสามตัวแปรซึ่งมีอนุพันธยอย ไดเวอรเจนซของ F

v คือฟงกชันคาจริง ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ divFv

นิยามโดย divFv = x

f1∂∂ + y

f2∂∂ + z

f3∂∂

ขอสังเกตให ∇ = ( x∂

∂ , y∂∂ , z∂

∂ ) F

v = ( 1f , 2f , 3f )และนิยาม ∇ ⋅ Fv ในทํานองเดียวกันกับผลคูณสเกลารกลาวคือ

∇ ⋅ Fv = xf1∂∂ + y

f2∂∂ + z

f3∂∂

ดังนั้นเราอาจเขียนแทน divFv ไดดวยสัญลักษณ ∇ ⋅ Fv


ตัวอยาง 6.6.1 ให Fv (x, y, z) = (3xy, 2x 3y , yz)

จงหา divFv ที่จุด (1, 2, 4)

วิธีทาํ divFv (x, y, z) = x∂

∂ (3xy) + y∂∂ (2x 3y ) + z∂

∂ (yz)= 3y + 6x 2y + y

divFv (1, 2, 4) = 6 + 24 + 2

= 32

ตัวอยาง 6.6.2 ให Fv (x, y, z) = (xyz, xz + 3y , 2x + yz)

จงหา divFv ที่จุด (2, 1, –1)

วิธีทาํ divFv (x, y, z)

= x∂∂ (xyz) + y∂

∂ (xz + 3y ) + z∂∂ ( 2x + yz)

= yz + 3 2y + ydivF

v (2, 1, –1) = –1 + 3 + 1 = 3

บทนิยาม 6.6.2 ให Fv = ( 1f , 2f , 3f ) เมื่อ 1f , 2f , 3f

เปนฟงกชันคาจริงของสามตัวแปรซึ่งมีอนุพันธยอย เคิล ของ Fv

คือฟงกชันคาเวกเตอร ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ curl Fv

นิยามโดย curl Fv = ( y

f3∂∂ – z

f2∂∂ , z

f1∂∂ – x

f3∂∂ , x

f2∂∂ – y

f1∂∂ )


ขอสังเกต ให ∇ = ( x∂∂ , y∂

∂ , z∂∂ ) และ F

v = ( 1f , 2f , 3f )และนิยาม ∇ × F

v ในทํานองเดียวกับผลคูณเวกเตอรกลาวคือ

ให ∇ × Fv =

fffzyx

kji

321

∂∂

∂∂

∂∂

vvv

หรือ ∇ × Fv = ( y

f3∂∂ – z

f2∂∂ , z

f1∂∂ – x

f3∂∂ , x

f2∂∂ – y

f1∂∂ )

ดังนั้น เราอาจเขียนแทน curl Fv ดวยสัญลักษณ ∇ × F

v

หมายเหตุ การหาคา curl Fv ในรูปของคากําหนดทําไดดังนี้

curl Fv =

fffzyx

kji

321

∂∂

∂∂

∂∂

vvv

ตัวอยาง 6.6.3 ใหFv (x, y, z) = (2 2x + 3yz, 3 2y + 2xz, 4 2z + xy)จงหา curl F

v

วิธีทาํ จาก Fv (x, y, z) = (2 2x + 3yz, 3 2y + 2xz, 4 2z + xy)

curl Fv =

xy4zxz2y3yz32xzyx

kji

222 +++∂∂

∂∂

∂∂

vvv

= (x – 2x) iv – (y – 3y) j

v + (2z – 3z) kv

= –x iv + 2y j

v – z kv


ตัวอยาง 6.6.4 ให Fv (x, y, z) = (3yz, 2xz, xy) จงหา curl F

v

วิธีทาํ จาก Fv (x, y, z) = (3yz, 2xz, xy)

curl Fv =

xyxz23yzzyx

kji

∂∂

∂∂

∂∂

vvv

= (x – 2x) iv – (y – 3y) j

v + (2z – 3z) kv

= –x iv + 2y j

v – z kv

ตัวอยาง 6.6.3 กําหนดให u = 2x yz จงหา div(grad u)วิธีทาํ div(grad u) = ∇ ⋅ (∇ u)เนื่องจาก ∇ u = ( x

u∂∂ , y

u∂∂ , z

u∂∂ ) = (2 xyz, 2x z, 2x y)

ดังนั้น div(grad u) = x∂∂ (2xyz) + y∂

∂ ( 2x z) + z∂∂ ( 2x y)

= 2yz ตัวอยาง 6.6.4 กําหนดให u เปนฟงกชันคาจริงซึ่งมีอนุพันธยอยอันดับที่สองมีความตอเนื่องจงพิสูจนวา curl (grad u) = 0

v

วิธีทาํ curl (grad u) =

zu

yu

xu

zyx

kji

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

vvv

= ( zyu2

∂∂∂ – yz

u2

∂∂∂ , xz

u2

∂∂∂ – zx

u2

∂∂∂ , yx

u2

∂∂∂ – xy

u2

∂∂∂ ) = 0

v



แบบฝกหัด 6.6จงหา div F

v และ curl Fv

1. Fv (x, y, z) = ( 2x yz, 3xy 3z , 2x - 2z )

2. Fv (x, y, z) = ( 2x , -2xy, y 2z )

3. Fv (x, y, z) = (yz, xz, xy)

4. Fv (x, y, z) = ( xe cos y, xe sin y, z)

5. Fv (x, y, z) = ( 2x , 2y , 2z )

6. Fv (x, y, z) = (3z, 5x, -2y)

7. Fv (x, y, z) = (y - x, z - y, x - z)

8. Fv (x, y, z) = (x + z, y + x, z + y)

9. Fv (x, y, z) = (x + cos y, y + sin z, z + xe )

10. Fv (x, y, z) = (( 2x + 2y + 2z )x, ( 2x + 2y + 2z )y, ( 2x + 2y + 2z )z)

เฉลยแบบฝกหัด 6.61. div F

v = 2xyz + 3x 3z - 2z, curl Fv = (-9xy 2z , 2x y - 2x, 3y 3z - 2x z)

2. div Fv = 2yz, curl F

v = ( 2z , 0, -2y)3. div F

v = 0, curl Fv = (0, 0, 0)

4. div Fv = 2 xe cos y + 1, curl F

v = (0, 0, 2 xe sin y)5. div F

v = 2x + 2y + 2z, curl Fv = (0, 0, 0)

6. div Fv = 0, curl F

v = (-2, 3, 5)7. div F

v = -3, curl Fv = (-1, -1, -1)

8. div Fv = 3, curl F

v = (1, 1, 1)9. div F

v = 3, curl Fv = (-cos z, - xe , sin y)

10. div Fv = 5( 2x + 2y + 2z ), curl F

v = (0, 0, 0)



6.7 ความสัมพันธระหวางอินทิกรัลตามพื้นผิวกับอินทิกรัลตามเสน

หัวขอนี้จะกลาวถึงความสัมพันธของอินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาเวกเตอรบนพื้นผิวเปดสองหนาที่มีขอบเปนเสนโคงเรียบปดกับอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาเวกเตอรที่มีความสัมพันธกับฟงกชันแรกบนเสนโคงเรียบปดซึ่งเปนขอบของพื้นผิวนั้นรูปที่ 6.7.1 S เปนพื้นผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1และ z ≥ 0ขอบของพื้นผิว S คือเสนโคง C คือ (cos θ, sin θ, 0)เมื่อ 0 ≤ θ ≤ 2π



รูปที่ 6.7.2 S เปนพื้นผิวพาราโบลอยด z = 4 2x + 2y

และ 0 ≤ z ≤ 4ขอบของพื้นผิว S คือเสนโคง C คือวงรี (cos θ, 2 sin θ, 0)เมื่อ 0 ≤ θ ≤ 2π

รูปที่ 6.7.2รูปที่ 6.7.3 S เปนพื้นผิวกรวย 2z = 2x + 2y และ 0 ≤ z ≤ 4ขอบของพื้นผิว S คือเสนโคง C คือวงกลม(4 cos θ, 4 sin θ, 0) เมื่อ 0 ≤ θ ≤ 2π



6.7.1 ทฤษฎีบทของสโตกสทฤษฎีบทที่ 6.7.1 (ทฤษฎีบทของสโตกส)กําหนดให1. T เปนอาณาบริเวณแบบเชื่อมโยงเชิงเดียวในระนาบ UV

และ Γ เปนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเรียบเปนชวงๆและลอมรอบบริเวณ T

2. มีเซตเปด D ซึ่ง T ∪ Γ ⊆ Dให rv : D → 3R เปนฟงกชัน 1 – 1 ซึ่งมีอนุพันธยอยอันดับที่สองตอเนื่องและ rnvv (u, v) ≠ 0 บน T

ถา S คือพ้ืนผิว rv(T) และ C คือเสนโคง rv(Γ) ; P, Q, Rเปนฟงกชันคาจริงซึ่งมีอนุพันธยอยตอเนื่องบน Sจะไดวา

C$ (P dx + Q dy + R dz)

= ∫∫S

[( yR∂∂

– zQ∂∂ ) dydz + ( z

P∂∂

– xR∂∂ ) dzdx + ( x

Q∂∂

– yP∂∂ ) dxdy]

... (I)โดยที่การอินทิเกรตบน C กระทําในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาของΓ ภายใตการสงของ rv

ถา Fv = (P, Q, R) และ rNv

v = n

nrrv

vv

v

เราอาจเขียนสูตร (1) ไดอีกรูปแบบหนึ่ง


คือ C$ F

v ⋅ dαv = ∫∫S

curl Fv ⋅ rNv

v dS ... (II)

เมื่อ αv (t) = rv(βv(t))โดยที่ βv นิยาม Γ ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

รูปที่ 6.7.4ตัวอยาง 6.7.1 จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว∫∫S

curl Fv ⋅Nv dS เมื่อ F

v (x, y, z) = (y, z, x)

และ S เปนสวนของพื้นผิวพาราโบลอยดz = 1 – 2x – 2y , z ≥ 0ให N

v เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยซึ่งมีสวนประกอบที่สามเปนบวก โดย

1. ใชทฤษฎีบทของสโตกส2. ไมใชทฤษฎีบทของสโตกส




รูปที่ 6.7.5ใหพื้นผิว S กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร rv โดยมีคาrv(u, v) = (u, v, 1 – 2u – 2v ), (u, v) ∈ Tเมื่อ T = {(u, v) | 2u – 2v ≤ 1 }

ur

∂∂v = (1, 0, –2u)

vr

∂∂v = (0, 1, –2v)

rn vv = ur

∂∂v × v

r∂∂v

rn vv (u, v) = (2u, 2v, 1)ดังนั้น N

v มีทิศทางเดียวกับ rnvv และ Nv = ||n||

nrrv

vvv


1. โดยใชทฤษฎีบทของสโตกสจากทฤษฎีบทของสโตกส ∫∫

Scurl F

v ⋅Nv dS = C" F

v ⋅ dαv

เราจะหาอินทิกรัลตามเสนแทนการหาอินทิกรัลตามพื้นผิวซึ่งทําไดดังนี้เสนโคง Γ ซึ่งลอมรอมบริเวณ Tกําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร βv ดังนี้βv(t) = (cos t, sin t) เมื่อ t ∈ [0, 2π]ให αv (t) = rv(βv(t)) = rv(cos t, sin t)= (cos t, sin t, 1 – tcos2 – tsin2 )= (cos t, sin t, 0) ทุกคา t ∈ [0, 2π]จะไดเสนโคง C ซึ่งเปนขอบของพื้นผิวพาราโบลอยดกําหนดโดยฟงกชัน αv และมีทิศทางสืบเนื่องมาจากทิศทางทวนเข็มนาฬิกาของ βv

จาก Fv (x, y, z) = (y, z, x)

ได Fv (αv (t)) = (sin t, 0, cos t)

เพราะฉะนั้น C$ Fv ⋅ dαv = ∫

π2

0Fv (αv (t)) ⋅ α′v (t) dt

= ∫π2

0(sin t, 0, cos t) ⋅ (–sin t, cos t, 0) dt

= ∫π2

0(– 2sin t) dt


= ∫π2

0( 2

1t2cos − ) dt

= [ 41 sin 2t – 2

1 t ] 0t2t

=π= = –π

2. โดยไมใชทฤษฎีบทของสโตกส

curl Fv =

xzyzyx

kji

∂∂

∂∂

∂∂

vvv

= (–1, –1, –1)

∫∫S

curl Fv ⋅Nv dS = ∫∫

Tcurl F

v ⋅ rnvv (u, v) dudv

= ∫∫T

(–1, –1, –1) ⋅ (2u, 2v, 1) dudv

= ∫∫T

(–2u – 2v – 1) dudv

เปลี่ยนเปนระบบพิกัดเชิงขั้ว ให u = r cos θ, v = r sin θ

เมื่อ 0 ≤ r ≤ 1 และ 0 ≤ θ ≤ 2πจะได ∫∫

T(–2u – 2v – 1) dudv

= ∫π2

0∫1

0(–2 r cos θ – 2 r sin θ – 1) r drdθ

= ∫π2

0[ –2 cos θ 3

r3 – (2 sin θ) 3r3 – 2

r2 ] 0r1r

== dθ

= ∫π2

0(–3

2cos θ – 32 sin θ – 2

1) dθ

= [ –32sin θ + 3

2cos θ – 21θ) ] 0

2=θ

π=θ = –π


หมายเหตุ การหาอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫S

curl Fv ⋅Nv dS

เมื่อ S เปนพื้นผิวเปดสองหนาที่มีขอบเปนเสนโคงเรียบปดนอกจากจะทําไดโดยการหาอินทิกรัลตามเสนแทนแลวยังอาจกระทําไดอีกวิธีหนึ่งโดยการหาอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫

1Scurl F

v ⋅ 1Nv dS แทน เมื่อ 1S เปนพื้นผิวระนาบมีโดเมน

เดียวกับ S และผานเสนโคงเรียบปดที่เปนขอบของ Sทั้งนี้ 1S ตองกําหนดดวยฟงกชัน 1 r

v

ซึ่งทําให 1 rn vv มีทิศเดียวกับเวกเตอรแนวฉากของ S ดวยความจริงขอนี้จะไมพิสูจน ณ ที่นี้แตจะแสดงใหเห็นดวยตัวอยางดังนี้ จากโจทยในตัวอยาง 6.7.1ให 1S เปนสวนของพื้นผิวระนาบ z = 0 ซึ่งมีขอบเปนวงกลม 2x + 2y = 1, z = 0ดังนั้นพื้นผิวระนาบ 1S และพ้ืนผิวพาราโบลอยด Sในโจทยมีขอบเปนเสนโคงเดียวกันให 1S กําหนดดวยฟงกชัน

1 rv (u, v) = (u, v, 0) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 1}ได

ur1 ∂∂v = (1, 0, 0),

vr1 ∂∂v = (0, 1, 0) และ 1 rn vv = (0, 0, 1)

จะเห็นวา 1 rn vv และ Nv ของพื้นผิวพาราโบลอยด

มีทิศทางเดียวกันCalculus III page 29 / 38


พิจารณา C : 2x + 2y = 1, z = 0ซึ่งเปนขอบของพื้นผิวทั้งสองให C กําหนดดวยฟงกชัน 1 α

v

ซึ่งไดมาจาก βv ภายใตการสงของ 1rv

เนื่องจาก Γ : βv(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] 1C : 1 α

v (t) = 1 rv (βv(t)) = 1 r

v (cos t, sin t) = (cos t, sin t, 0)จะเห็นวา 1 α

v และ αv มีทิศทางเดียวกัน(ในที่นี้เปนฟงกชันเดียวกันดวย ดูคา αv (t) จากตัวอยาง 6.7.1)ดังนั้น

C1$ F

v ⋅ d 1 αv =

C$ F

v ⋅ dαv

โดยอาศัยทฤษฎีบทของสโตกส จึงสรุปไดวา ∫∫1S

curl Fv ⋅ 1N

v dS

= ∫∫S

curl Fv ⋅Nv dS ... (1)

ซึ่งอาจแสดงใหเห็นจริงไดดังนี้∫∫1S

curl Fv ⋅ 1N

v dS = ∫∫T

(–1, –1, –1) ⋅ (0, 0, 1) dudv

= ∫∫T

(–1) dudv = –π

(หมายเหตุ ∫∫T

dudv เปนพื้นที่ของวงกลมรัศมียาว 1 หนวย)

จากตัวอยาง 6.7.1 หาไวแลววา ∫∫S

curl Fv ⋅Nv dS = –π

จึงเห็นวา (1) เปนจริง


ตัวอยาง 6.7.2 จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫

Scurl F

v ⋅Nv dS เมื่อกําหนดให Fv (x, y, z) = (y, z, x)

และ S เปนพื้นผิวครึ่งทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4, z ≥ 0ให N

v เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยของ S ซึ่ง Nv ⋅kv > 0


รูปที่ 6.7.6แบบที่ 1 โดยใชทฤษฎีบทของสโตกสจากสูตร ∫∫

Scurl F

v ⋅Nv dS = C$ F

v ⋅ dαv

rv(u, v) = (u, v, 22 vu4 −− ), (u, v) ∈ Tเมื่อ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 4 }ดังนั้นเราจะใชการหาอินทิกรัลตามเสนแทนการหาอินทิกรัลตามพื้นผิวในที่นี้ Γ เปนขอบของ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 4 }Γ : βv(t) = (2 cos t, 2 sin t), t ∈ [0, 2π]จะเห็นวา βv มีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา


ให C เปนภาพของ Γ ภายใตการสงของ rv

C : αv (t) = rv(βv(t))= rv(2 cos t, 2 sin t)= (2 cos t, 2 sin t, 0) เมื่อ t ∈ [ 0, 2π]

C$ F

v ⋅ dαv = ∫π2

0Fv (αv (t)) ⋅ αv ′(t) dt

= ∫π2

0(2 sin t, 0, 2 cos t) ⋅ (–2 sin t, 2 cos t, 0) dt

= ∫π2

0(–4 2sin t) dt

= ∫π2

02(cos 2 t – 1) dt

= [ sin 2t – 2t ] 0t2t

=π= = –4π

แบบที่ 2 หาอินทิกรัลตามพื้นผิวระนาบซึ่งผานขอบของทรงกลมแทนการหาอินทิกรัลตามพื้นผิวทรงกลมให 1S แทนสวนของพื้นผิวระนาบ z = 0ซึ่งกําหนดดวย 1 r

v (u, v) = (u, v, 0) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 4}ได u

r1 ∂∂v = (1, 0, 0), v

r1 ∂∂v = (0, 1, 0) และ 1 rn vv = (0, 0, 1)

จะเห็นวาพ้ืนผิว 1S และทรงกลมมีขอบเปนเสนโคงปดเดียวกันและนอกจากนั้นเมื่อกําหนด 1S ดวย 1 r

v

เวกเตอรแนวฉาก 1 rn vv ก็มีทิศทางเดียวกับ Nv


โดยอาศัยทฤษฎีบทของสโตกส จึงได∫∫S

curl Fv ⋅Nv dS = ∫∫

1Scurl F

v ⋅ 1Nv dS

= ∫∫T

(–1, –1, –1) . (0, 0, 1) dudv

= ∫∫T

(–1) dudv

= - ∫∫T

(1) dudv

= –4π (เนื่องจาก ∫∫

T(1) dudv คือพ้ืนที่ของวงกลมรัศมียาว 2 หนวย )



ตัวอยาง 6.7.3 จงใชทฤษฎีบทของสโตกสหาคาของอินทิกรัลตามเสน

C$ –z 2x dx + yz dy + x 2y dz

เมื่อ C เปนรอยตัดระหวางทรงกระบอก 2x + 2y = 2yและระนาบ y = zพรอมทั้งระบุทิศทางของการอินทิเกรตซึ่งจะทําใหอินทิกรัลตามเสนมีคาตามคําตอบที่ไดวิธีทาํ

รูปที่ 6.7.7ให F

v (x, y, z) = (–z 2x , yz, x 2y )จากทฤษฎีบทของสโตกส

C$ F

v ⋅ dαv = ∫∫S

curl Fv ⋅Nv dS

ในที่นี้ให S คือสวนของพื้นผิวระนาบ y = z ซึ่งมีขอบเปนเสนโคง C ซึ่งเปนรอยตัดระหวางระนาบ y = zกับทรงกระบอก 2x + 2y = 2y


เพราะฉะนั้น C เปนเสนโคงปดเราจะคํานวณคาของอินทิกรัลตามเสนโดยใชทฤษฎีบทของสโตกสนั่นคือจะหาคาของ ∫∫

Scurl F

v ⋅Nv dS แทน

ซึ่งทําไดดังนี้ curl Fv =

xyyzzxzyx

kji

22−∂∂

∂∂

∂∂

vvv

= (2xy – y, – 2y – 2x , 0)พื้นผิว S กําหนดไดดวยฟงกชันrv(u, v) = (u, v, v) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v – 2v ≤ 0}เพราะฉะนั้น u

r∂∂v = (1, 0, 0),

vr

∂∂v = (0, 1, 1)

และ rn vv (u, v) = (0, –1, 1) ∫∫

Scurl F

v ⋅Nv dS

= ∫∫T

curl Fv ( rv(u, v)) ⋅ rn vv (u, v) dudv

= ∫∫T

( 2u + 2v ) dudv


เปลี่ยนเปนระบบพิกัดเชิงขั้ว ให u = r cos θ, v = r sin θ

จะไดสมการวงกลมเปน 2r – 2 r sin θ = 0 หรือ r = 2 sin θ

∫∫T

( 2u + 2v ) dudv = ∫π

0∫θsin2

0

2r r drdθ

= ∫π

0[ 4

r4 ] 0rsin2r

=θ= dθ

= 23π


curl Fv ⋅Nv dS = 2

3π

ตอไปเราจะพิจารณาวาคําตอบที่ไดมาจากการอินทิเกรตตามเสนซึ่งกระทําในทิศทางใดจาก T = {(u, v) | 2u + 2v – 2 v ≤ 0}พิจารณาวงกลม 2u + 2v – 2 v = 0 ... (1)สมการ (1) แทนเสนโคงปดเชิงดียวซึ่งเปนขอบของ Tจาก (1) ได 2u + (v – 1)2 = 1ให βv(t) = (cos t, 1 + sin t), t ∈ [0, 2π]จะเห็นวา βv เปนฟงกชันคาเวกเตอรแทนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเปนขอบของ T และมีทิศทางทวนเข็มนาฬิกาให αv (t) = rv(βv(t))= rv(cos t, 1 + sin t )= (cos t, 1 + sin t, 1 + sin t ) เมื่อ t ∈ [0, 2π]


ดังนั้น αv เปนฟงกชันคาเวกเตอรซึ่งแทนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเปนขอบของ Sและมีทิศทางสืบเนื่องมาจากทิศทางทวนเข็มนาฬิกาของ βv

จึงไดวาถาการอินทิเกรตตามเสนโคง C กระทําในทิศทางเดียวกับทิศทางของ αv

แลวโดยทฤษฎีบทของสโตกสจะได

C$ –z 2x dx + yz dy + x 2y dz = 2

3π

ถาการอินทิเกรตตามเสนโคง C กระทําในทิศทางตรงกันขามกับทิศทางของ αv

แลว จะได C$ –z 2x dx + yz dy + x 2y dz = – 2

3π


บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 107แบบฝกหัด 6.7จงใชผลของทฤษฎีบทของสโตกสชวยในการคํานวณคา

C$ F

v ⋅ d αv

1. Fv (x, y, z) = (3z, 5x, -2y)C เปนรอยตัดของระนาบ z = y + 3 กับทรงกระบอก 2x + 2y = 1

2. Fv (x, y, z) = (2z, 8x - 3y, 3x + y)C เปนเสนรอบรูปสามเหลี่ยม ABC เมื่อ A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) และ C(0, 0, 2)C เปนเสนโคงปด AB + BC + CA

3. Fv (x, y, z) = (2z, x, 3y)C เปนเสนโคงที่เปนรอยตัดของระนาบ z = x กับพ้ืนผิวทรงกระบอก 2x + 2y = 4

4. Fv (x, y, z) = (y - x, x - z, x - y)C เปนเสนโคงที่เปนขอบของระนาบ x + 2y + z = 2 ในอัฐภาคที่ 1

5. Fv (x, y, z) = (y - z, y, x)C เปนเสนโคงที่เปนรอยตัดของพื้นผิวทรงกระบอก 2x - x + 2y = 0 กับพื้นผิวทรงกลม

2x + 2y + 2z = 1 และ z ≥ 06. F

v (x, y, z) = (2z, x, 3y)C เปนเสนโคงที่เปนรอยตัดของระนาบ z = x และพ้ืนผิวทรงกระบอก 2x + 2y = 4

7. Fv (x, y, z) = ( 2x - y, 4z, 2x )C เปนเสนโคงที่เปนรอยตัดของระนาบ z = 2 และพ้ืนผิวกรวย z = 22 yx +

8. Fv (x, y, z) = (xz, xy, 3xz)C เปนเสนโคงที่เปนขอบของระนาบ 2x + y + z = 2 ในอัฐภาคที่ 1

9. Fv (x, y, z) = ( 2x , 2x, 2z )C เปนเสนโคงที่เปนขอบของพื้นผิวทรงกระบอก 4 2x + 2y = 4 บนระนาบ XY

10. Fv (x, y, z) = (y, xz, 2x )C เปนเสนโคงที่เปนขอบของระนาบ x + y + x = 1 ในอัฐภาคที่ 1

11. Fv (x, y, z) = ( 2y + 2z , 2x + 2z , 2x + 2y )C เปนเสนโคงที่เปนขอบของสี่เหลี่ยมบนระนาบ XY ที่ปดลอมดวย x = ± 1, y = ± 1

จงใชผลของทฤษฎีบทของสโตกสชวยในการคํานวณคา ∫∫S

curl Fv ⋅ N

v dS

12. Fv (x, y, z) = (y, -x, yz)S เปนพ้ืนผิว z = 2x + 2y และ 0 ≤ z ≤ 4

13. Fv (x, y, z) = (3y, -2x, xyz)S เปนพ้ืนผิว z = 22 yx4 −− และ 0 ≤ z ≤ 2

14. Fv (x, y, z) = (y, -x, yz)S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + (z - 4) 2 = 10 ที่อยูใตระนาบ z = 1


บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 10815. F

v (x, y, z) = (y + z, 2x + 2z , y)S เปนพ้ืนผิวทรงกระบอก z = 2x1 − และ 0 ≤ y ≤ 1

16. Fv (x, y, z) = (yz, 3xz, 2z )S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 และ z ≤ 2

17. Fv (x, y, z) = (yz, -xz, 3z )S เปนพ้ืนผิวกรวย z = 22 yx + และ 1 ≤ z ≤ 3

18. Fv (x, y, z) = (y, -x, 0)S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 9 และ z ≥ 0

19. Fv (x, y, z) = (y, 2x , ( 2x + 4y ) 2

3sin( xyze ))

S เปนพ้ืนผิวของ 4 2x + 9 2y + 36 2z = 36 และ z ≥ 020. F

v (x, y, z) = (2z, 3x, 5y)S เปนพ้ืนผิวที่มีสมการอิงตัวแปรเสริมเปน rv (r, θ) = (r cos θ, r sin θ, 4 - 2r ), 0 ≤ r ≤ 2และ 0 ≤ θ ≤ 2π

21. Fv (x, y, z) = ( 2x y, 2 3y z, 3z)S เปนพ้ืนผิวที่มีสมการอิงตัวแปรเสริมเปน rv (r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r), 0 ≤ r ≤ 1และ 0 ≤ θ ≤ 2π

22. Fv (x, y, z) = (3y, 5 - 2x, 2z - 2)S เปนพ้ืนผิวที่มีสมการอิงตัวแปรเสริมเปนrv (φ, θ) = ( 3 sin φ cos θ, 3 sin φ sin θ, 3 cos φ), 0 ≤ φ ≤ 2

π และ 0 ≤ θ ≤ 2π

เฉลยแบบฝกหัด 6.71. 2π 2. 4 3. -8π 4. -25. 4

π 6. -8π 7. 4π 8. -19. 4π 10. - 6

5 11. 012. -2π 13. -20π 14. -2π 15. -216. -48π 17. -52π 18. -18π 19. -6π20. 12π 21. - 4

π 22. -15π



6.8 ความสัมพันธระหวางอินทิกรัลตามพื้นผิวกับอินทิกรัลสามชั้นทฤษฎีบท 6.8.1(ทฤษฎีบทไดเวอรเจนซหรือทฤษฎีบทของเกาส)กําหนดให1. S เปนพื้นผิวเรียบเปนสวน ๆ ซึ่งปดลอมรูปทรงสามมิติ V

และ Nv เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยของพื้นผิว S

ซึ่งมีทิศทางพุงออกจาก V2. F

v (x, y, z) เปนฟงกชันคาเวกเตอรซึ่งมีความตอเนื่องและอนุพันธยอยอันดับที่หนึ่งของ F

v ก็มีความตอเนื่องทุกจุด (x, y, z) ∈ V

จะได ∫∫∫V

divFv dxdydz = ∫∫

SFv ⋅Nv dS


ในรูปที่ 6.8.1 V เปนรูปทรงในสามมิติที่ปดลอมดวย Sซึ่งประกอบดวย 3 พื้นผิวคือ

1S = {(x, y, z) | z = h(x, y), (x, y) ∈ 1T }2S = {(x, y, z) | z = g(x, y), (x, y) ∈ 1T }3S เปนพื้นผิวทรงกระบอกปดลอม V และตั้งฉากกับระนาบ XYให 1T เปนภาพฉายของรูปทรงสามมิติ V บนระนาบ XYเราสามารถเขียน V ไดดังนี้V = {(x, y, z) | g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y), (x, y) ∈ 1T }

รูปที่ 6.8.1ในการหาคา ∫∫

SFv ⋅Nv dS ตองแบงการอินทิเกรตเปน 3 สวนคือ

∫∫S


1SFv ⋅Nv dS + ∫∫

2SFv ⋅Nv dS + ∫∫

3SFv ⋅Nv dS

โดยทฤษฎีบทไดเวอรเจนซคํานวณคา ∫∫∫V

divFv dxdydz

จะได ∫∫S

Fv ⋅Nv dS = ∫∫∫

VdivF

v dxdydz



Fv ⋅Nv dS

เมื่อ Fv (x, y, z) = ( 3x , 3y , z) และ s เปนพื้นผิวซึ่งลอมรอบรูป

ทรงสามมิติ V โดยที่ S ประกอบดวยพื้นผิวทรงกระบอก 2x + 2y = 1 ระนาบ z = 0และระนาบ z = x + 2ให N

v เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยมีทิศทางพุงออกจาก Vวิธีทาํ

รูปที่ 6.8.2วิธีที่ 1 โดยใชทฤษฎีบทไดเวอรเจนซเรามีสูตร ∫∫

SFv ⋅Nv dS = ∫∫∫

VdivF

v dxdydz

เนื่องจาก Fv (x, y, z) = ( 3x , 3y , z)

ได divFv (x, y, z) = 3 2x + 3 2y + 1



V(3 2x + 3 2y + 1) dxdydz


จากลักษณะของรูปทรงตัน เปลี่ยนตัวแปรใหอยูในระบบพิกัดทรงกระบอก x = r cos θ, y = r sin θ, z = zเพราะฉะนั้น∫∫S


T(3 2r + 1) r dzdrdθ

เมื่อ T = {(r, θ, z) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1,0 ≤ z ≤ r cos θ + 2}

∫∫S

Fv ⋅Nv dS = ∫

π2

0∫1

0∫+θ 2cosr

0(3 2r + 1) r dzdrdθ

= ∫π2

0∫1

0(3 3r + r)(r cos θ + 2) drdθ

= ∫π2

0∫1

0cos θ (3 4r + 2r ) + 2(3 3r + r) drdθ

= ∫π2

0[ cos θ ( 5

r3 5 + 3r3 ) + 2

r3 4 + 2r )] 0r1r

== dθ

= ∫π2

0(15

14cos θ + 25) dθ

= [ 1514sin θ + 2

5θ ] 02

=θπ=θ

= 5π



วิธีที่ 2 ไมใชทฤษฎีบทไดเวอรเจนซ พื้นผิว S ประกอบดวยพื้นผิวสามพื้นผิว คือ

1S เปนพื้นผิวระนาบ z = x + 22S เปนพื้นผิวทรงกระบอก 2x + 2y = 13S เปนผิวระนาบ z = 0เพราะฉะนั้น ∫∫

SFv ⋅Nv dS

= ∫∫1S

Fv ⋅Nv dS + ∫∫

2SFv ⋅ 2N

v dS + ∫∫3S

Fv ⋅ 3N

v dS

ให 1S กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร 1 rv โดยมี

1 rv (u, v) = (u, v, u + 2), (u, v) ∈ 1T

เมื่อ 1T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 1} u

r1 ∂∂v = (1, 0, 1), v

r1 ∂∂v = (0, 1, 0)

และ 1 rn vv (u, v) = (–1, 0, 1)จะเห็นวา 1 rn vv มีทิศทางพุงออกจาก Vได ∫∫

1SFv ⋅ 1N

v dS = ∫∫1T

Fv ( 1 rv (u, v) ) ⋅ 1 rn vv (u, v) dudv

= ∫∫1T

( 3u , 3v , u + 2) ⋅ (–1, 0, 1) dudv

= ∫∫1T

(– 3u + u + 2) dudv


เปลี่ยนเปนระบบพิกัดเชิงขั้ว ให u = r cos θ , v = r sin θ

เพราะฉะนั้น

∫∫1S

Fv ⋅ 1N

v dS = ∫π2

0∫1

0(– 3r 3cos θ + r cos θ + 2) rdrdθ

= ∫π2

0[(– 3cos θ) 5

r5 + (cos θ) 3r3 + 2r )] 0r

1r== dθ

= ∫π2

0(–5

1 3cos θ + 31cos θ + 1) dθ

= ∫π2

0–5

1 (1 – 2sin θ) dsin θ + [ 31sin θ + θ ] 0

2=θ

π=θ

= [ –51 sin θ + 15

1 3sin θ ] 02

=θπ=θ + 2π

= 2π


ใหพื้นผิว 2S กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร 2 rv

โดยมี 2 rv (u, v) = (cos u, sin u, v), (u, v) ∈ 2T

เมื่อ 2T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ cos u + 2} u

r 2 ∂∂v = (–sin u, cos u, 0), v

r 2 ∂∂v = (0, 0, 1)

และ 2 rn vv (u, v) = (cos u, sin u, 0)จะเห็นวา 2 rn vv มีทิศทางพุงออกจาก V ได

∫∫2S

Fv ⋅ 2N

v dS = ∫∫2T

Fv ( 2 rv (u, v)) ⋅ 2 rn vv (u, v) dudv

= ∫π2

0∫+2ucos

0( 3cos u, 3sin u, v) ⋅ (cos u, sin u, 0) dvdu

= ∫π2

0∫+2ucos

0( 4cos u + 4sin u) dvdu

= ∫π2

0( 4cos u + 4sin u)(cos u + 2) du

= ∫π2

0

5cos u du + ∫π2

0

4sin u cos u du

+ 2 ∫π2

0( 4cos u + 4sin u) du

= ∫π2

0(1 – 2 2sin u + 4sin u) d(sin u) + ∫

π2

0

4sin u d(sin u)

+ 21 ∫

π2

0(3 + cos 4u) du

= [ sin u – 3usin2 3 + 5

usin2 5 + 23u + 8

u4sin ] 02

=θπ=θ

= 3π


ใหพื้นผิว 3S กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร 3 rv

โดยมี 3 rv (u, v) = (u, v, 0), (u, v) ∈ 3T

เมื่อ 3T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 1} u

r3 ∂∂v = (1, 0, 0), v

r3 ∂∂v = (0, 1, 0)

และ 3 rn vv (u, v) = (0, 0, 1) มีทิศทางชี้เขาหา Vได – 3 rn vv (u, v) = (0, 0, –1) มีทิศทางพุงออกจาก V ∫∫

3SFv ⋅ 3N

v dS = ∫∫3T

Fv ( 3 rv (u, v)) ⋅ (– 3 rn vv (u, v)) dudv

= ∫∫3T

( 3u , 3v , 0) ⋅ (0, 0, –1) dudv

= 0ดังนั้น ∫∫

SFv ⋅Nv dS

= ∫∫1S

Fv ⋅Nv dS + ∫∫

2SFv ⋅ 2N

v dS + ∫∫3S

Fv ⋅ 3N

v dS

= 2π + 3π + 0 = 5π



หมายเหตุ 1. จะเห็นวา ตัวอยาง 6.8.1เมื่อทําโดยอาศัยทฤษฎีบทไดเวอรเจนซ คือหาอินทิกรัลตามพื้นผิวจากการหาอินทิกรัลสามชั้นจะสะดวกกวาหาโดยตรงจากสูตร ∫∫

SFv ⋅Nv dS

2. ในการหา 3 rn vv (u, v) นั้นอาจจะกําหนดใหเปนเวกเตอร (0, 0, -1) ไดเนื่องจากเรารูวาเวกเตอร –k

v จะตั้งฉากกับระนาบ XYและพุงออกจาก V



Fv ⋅Nv dS

เมื่อ S เปนพื้นผิวหาหนาของรูปปริซึม ซึ่งประกอบดวยระนาบ y = 0 ระนาบ y = x ระนาบ x = 1 ระนาบ z = 0และระนาบ z = 1ให F

v (x, y, z) = (2x, 3y, z)และ N

v เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยซึ่งพุงออกจากรูปปริซึมวิธีทาํ

รูปที่ 6.8.3จากลักษณะของ S ซึ่งประกอบดวยพื้นผิวถึง 5 พื้นผิวจึงเห็นวาถาหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิวโดยใชหาจากอินทิกรัลสามชั้นจะงายกวา


ให V เปนปริมาตรของปริซึม และใหภาพฉายของ Vอยูบนระนาบ XY V = {(x, y, z) | 0 ≤ z ≤ 1 ทุก (x, y) ∈ T}เมื่อ T = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}เพราะวา F

v (x, y, z) = (2x, 3y, z)เพราะฉะนั้น divF

v = 2 + 3 + 1 = 6โดยทฤษฎีบทไดเวอรเจนซ ∫∫

SFv ⋅Nv dS

= ∫∫∫v

divFv dxdy xz

= ∫1

0∫x

0∫1

0(6) dzdydx

= ∫1

0∫x

0[ 6z ] 0z

1z== dydx

= ∫1

0∫x

06 dydx

= ∫1

0[ 6y ] 0y

xy== dx

= ∫1

06x dx

= 6[ 2x2 ] 0x

1x==

= 3


บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 120แบบฝกหัด 6.8จงใชผลของทฤษฎีบทของเกาสชวยคํานวณอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫

S

Fv ⋅ N

v dS

1. Fv (x, y, z) = ( 3x + tan(yz), 3y - xze , 3z + 3x )S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 4 และระนาบ z = 0, z = 3

2. Fv (x, y, z) = ( 2x y, 2xz, y 3z )S เปนพ้ืนผิวของทรงสี่เหลี่ยมที่ปดลอมดวย x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0 และ z = 3

3. Fv (x, y, z) = ( 2x , 2y , 2z )S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยพาราโบลอยด z = 2x + 2y และระนาบ z = 4

4. Fv (x, y, z) = (x + 2z , y - 2z , x)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยทรงกระบอก 0 ≤ 2y + 2z ≤ 1 และระนาบ z = 0, z = 2

5. Fv (x, y, z) = (2x, 3y, 4z)S เปนพ้ืนผิวของอาณาบริเวณที่ 9 ≤ 2x + 2y + 2z ≤ 16

6. Fv (x, y, z) = (2x + yz, 3y, 2z )S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1

7. Fv (x, y, z) = ( 2x , 2y , 2z )S เปนพ้ืนผิวทรงกลม (x - 2) 2 + 2y + 2z = 1

8. Fv (x, y, z) = ( 2x , 0, 0)S เปนพ้ืนผิวของทรงสี่เหลี่ยมที่ปดลอมดวย x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 และ z = 1

9. Fv (x, y, z) = (x + z, y + x, z + y)S เปนพ้ืนผิวของทรงสี่หนาในอัฐภาคที่ 1 ที่ปดลอมดวยระนาบ XY, YZ, ZX และ 3x + 4y + 2z = 12

10. Fv (x, y, z) = ( 3x , 3y , 3z )S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1

11. Fv (x, y, z) = (x + cos y, y + sin z, z + xe )S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวย z = 1 - 2x , y = 0 และ y = 2

12. Fv (x, y, z) = (x 222 zyx( ++ , y 222 zyx( ++ , z 222 zyx( ++ )S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 4 และระนาบ z = 0, z = 3

13. Fv (x, y, z) = (x, y, z)S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4

14. Fv (x, y, z) = (x + y, y + z, z + x)S เปนพ้ืนผิวของทรงสี่หนาในอัฐภาคที่ 1 ที่ปดลอมดวยระนาบ XY, YZ, ZX และ x + y + z = 1

15. Fv (x, y, z) = ( 3x , 3y , 3z )S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 9 และระนาบ z = -1, z = 4

16. Fv (x, y, z) = ( 2x + yze− , y + sin(xz), cos(xy))S เปนพ้ืนผิวของทรงสี่หนาในอัฐภาคที่ 1 ที่ปดลอมดวยระนาบ XY, YZ, ZX และ x + y + z = 1


บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 12117. F

v (x, y, z) = (x, y, 3)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยพาราโบลอยด z = 2x + 2y และระนาบ z = 4

18. Fv (x, y, z) = (x + y, y + z, z + x)18.1 S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | 0 ≤ z ≤ 4 - 2x - 2y และ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 4}18.2 S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน

{(x, y, z) | -4 + 2x + 2y ≤ z ≤ 4 - 2x - 2y และ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 4}18.3 S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | 0 ≤ 2x + 2y ≤ 9 และ 0 ≤ z ≤ 5}18.4 S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1 และ -1 ≤ z ≤ 1}

19. Fv (x, y, z) = (xy, yz, xz)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 และ 0 ≤ z ≤ 1}

20. Fv (x, y, z) = (y - x, z - y, y - x)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1 และ -1 ≤ z ≤ 1}

21. Fv (x, y, z) = (y, xy, -z)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | 0 ≤ z ≤ 4 - 2x - 2y และ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 4}

22. Fv (x, y, z) = ( 2x , -2xy, 3xz)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตันที่ปดลอมดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4 ในอัฐภาคที่ 1

23. Fv (x, y, z) = ( 222 zyx ++ (x, y, z))S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | 1 ≤ 2x + 2y + 2z ≤ 2}

เฉลยแบบฝกหัด 6.81. 108π 2. 60 3. 3

64π 4. 4π5. 1176π 6. 3

20π 7. 316π 8. 1

9. 36 10. 512π 11. 8 12. 300π

13. 4π 14. 21 15. 2

2385π 16. 41

17. 16π18. 18.1 24π 18.2 48π 18.3 135π 18.4 2419. 2

3 20. -16 21. -8π 22. 3π23. 12π


6 - 1 6 - 2 6.1 บทที่ 6 ในเนื้อหาแคลคูลัส...

Documents